Lep pozdrav, mačke! Zadnjič smo podrobno preučili, kaj so korenine (če se ne spomnite, priporočam branje). Glavni pouk te lekcije je, da obstaja le ena univerzalna definicija korenin, ki jo morate vedeti. Ostalo je sranje in izguba časa.

Danes gremo še dlje. Naučili se bomo množiti korenine, preučevali nekaj težav, povezanih z množenjem (če se te težave ne rešijo, potem lahko na izpitu postanejo usodne) in pravilno vadili. Zato se založite s kokicami, udobno se počutite in začeli bomo. :)

Še niste poskusili, kajne?

Lekcija se je izkazala za precej dolgo, zato sem jo razdelil na dva dela:

1. Najprej bomo preučili pravila množenja. Pokrov, kot da namiguje: takrat sta dve korenini, med njimi je znak »pomnoži« - in mi želimo nekaj storiti glede tega.
2. Nato bomo analizirali obratno situacijo: obstaja ena velika korenina in bili smo navdušeni, ko smo jo predstavili kot produkt dveh enostavnejših korenin. S kakšnim strahom je to potrebno - ločeno vprašanje. Analizirali bomo samo algoritem.

Za tiste, ki so nestrpni, da gredo naravnost v drugi del - vabljeni. Začnimo z ostalim po vrsti.

Osnovno pravilo množenja

Začnimo z najpreprostejšimi - klasičnimi kvadratnimi koreninami. Isti, ki sta označeni kot $ \\ sqrt (a) $ in $ \\ sqrt (b) $. Zanje je na splošno vse očitno:

Pravilo množenja. Če želite en kvadratni koren pomnožiti z drugim, morate samo pomnožiti njihove radikalne izraze in rezultat zapisati pod skupni radikal:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

Številke na desni ali levi nobenih dodatnih omejitev niso naložene: če obstajajo koreninski dejavniki, obstaja tudi izdelek.

Primeri. Oglejmo si štiri primere s številkami hkrati:

\\ [\\ začeti (poravnati) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27 )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ konec (poravnaj) \\]

Kot lahko vidite, je bistvo tega pravila poenostaviti iracionalne izraze. In če bi v prvem primeru sami izvlekli korenine iz 25 in 4 brez kakršnih koli novih pravil, potem se kositer začne naprej: $ \\ sqrt (32) $ in $ \\ sqrt (2) $ sami ne štejejo, ampak njihov izdelek se izkaže za natančen kvadrat, zato je njegov koren enak racionalnemu številu.

Prav tako bi rad opozoril na zadnjo vrstico. Tam sta oba radikalna izraza ulomka. Zahvaljujoč izdelku je več dejavnikov preklicanih in celoten izraz se spremeni v ustrezno število.

Seveda ne bo vedno vse tako lepo. Včasih bo pod koreninami popolna zmešnjava - ni jasno, kaj storiti z njo in kako se po množenju preoblikovati. Nekoliko kasneje, ko začnete preučevati iracionalne enačbe in neenakosti, bodo na splošno vse vrste spremenljivk in funkcij. In zelo pogosto pripravljavci nalog samo pričakujejo, da boste našli nekaj preklicnih pogojev ali dejavnikov, nato pa bo naloga zelo poenostavljena.

Poleg tega sploh ni treba pomnožiti natančno dveh korenin. Lahko pomnožite tri naenkrat, štiri - vendar vsaj deset! To ne bo spremenilo pravila. Poglej:

\\ [\\ začeti (poravnati) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0,001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0,001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ konec (poravnaj) \\]

In spet majhna pripomba po drugem primeru. Kot lahko vidite, je v tretjem faktorju pod korenom decimalni ulomek - v procesu izračunov ga nadomestimo z običajnim, po katerem se vse enostavno prekliče. Torej: toplo priporočam, da se znebite decimalnih ulomkov v vseh iracionalnih izrazih (tj. Vsebujejo vsaj en radikalni znak). V prihodnosti vam bo to prihranilo veliko časa in živcev.

Toda to je bila lirična digresija. Zdaj razmislite o več splošni primer - ko korenski eksponent vsebuje poljubno število $ n $, ne samo "klasična" dva.

Samovoljni eksponentni primer

Torej smo ugotovili kvadratne korenine. In kaj storiti s kubičnimi? Ali na splošno s koreninami poljubne stopnje $ n $? Ja, vse je enako. Pravilo ostaja enako:

Če želite pomnožiti dve korenini stopnje $ n $, je dovolj, da pomnožite njihove radikalne izraze in rezultat zapišete pod en radikal.

Na splošno nič zapletenega. Le da je količina izračuna lahko večja. Oglejmo si nekaj primerov:

Primeri. Izračunajte izdelke:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d pet; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0,16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (\\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3)) )) \u003d \\ sqrt (((\\ levo (\\ frac (4) (25) \\ desno)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ konec (poravnaj) \\]

In spet pozornost na drugi izraz. Množimo se kubične korenine, znebiti se decimalno in kot rezultat dobimo v imenovalcu zmnožek števil 625 in 25. To je povsem veliko število - osebno ne bom takoj izračunal, čemu je enak.

Zato smo v števcu in imenovalcu preprosto izbrali natančno kocko in nato uporabili eno ključnih lastnosti (ali, če želite, definicijo) $ n $ -tega korena:

\\ [\\ začeti (poravnati) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (2n))) \u003d \\ levo | a \\ desno |. \\\\ \\ konec (poravnaj) \\]

Takšne "mahinacije" vam lahko močno prihranijo čas na izpitu oz testno delozato ne pozabite:

Ne hitite z množenjem števil v radikalnem izrazu. Najprej preverite: kaj če je tam natančno določena stopnja nekega izraza "šifrirana"?

Kljub očitnosti te pripombe moram priznati, da večina neizurjenih študentov ne vidi natančnih stopinj v neposredni bližini. Namesto tega vse pomnožijo in se nato vprašajo: zakaj so dobili tako brutalne številke? :)

Vse to pa je otročje v primerjavi s tem, kar bomo zdaj preučevali.

Množenje korenin z različnimi kazalniki

V redu, zdaj lahko pomnožimo korenine z istimi kazalci. Kaj če so kazalniki drugačni? Povejte, kako pomnožiti običajni $ \\ sqrt (2) $ s kakšno sranje, kot je $ \\ sqrt (23) $? Ali je to sploh mogoče storiti?

Ja, seveda lahko. Vse se naredi po tej formuli:

Pravilo množenja korenin. Če želite pomnožiti $ \\ sqrt [n] (a) $ z $ \\ sqrt [p] (b) $, morate samo izvesti naslednjo preobrazbo:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Vendar ta formula deluje le, če radikalni izrazi niso negativni... To je zelo pomembna točka, na katero se bomo vrnili nekoliko kasneje.

Za zdaj si oglejmo nekaj primerov:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81 \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568); \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ konec (poravnaj) \\]

Kot vidite, nič zapletenega. Zdaj pa ugotovimo, od kod izvira zahteva po negativnosti in kaj se zgodi, če jo kršimo. :)

Zakaj bi radikalni izrazi morali biti negativni?

Seveda lahko človek postane tak šolski učitelji in pametno citirati vadnico:

Zahteva po nenegativnosti je povezana z različnimi definicijami korenin sodo in liho stopnjo (različna so tudi njihova področja opredelitve).

No, je postalo bolj jasno? Osebno, ko sem v 8. razredu prebiral te neumnosti, sem spoznal nekaj takega: »Zahteva po nenegativnosti je povezana z * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%« - skratka, nisem Ta čas ne razumem sranja. :)

Tako da bom zdaj vse razložil na običajen način.

Najprej ugotovimo, od kod prihaja zgoraj navedena formula množenja. Če želite to narediti, naj vas spomnim na eno pomembno lastnost korena:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

Z drugimi besedami, radikalni izraz lahko varno povzdignemo v katerega koli naravna stopnja $ k $ - v tem primeru bo treba korenski eksponent pomnožiti z enako močjo. Zato lahko katere koli korenine enostavno zmanjšamo na skupen kazalnik in jih nato pomnožimo. Zato je vzeta formula za množenje:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Vendar obstaja en problem, ki močno omejuje uporabo vseh teh formul. Razmislite o tej številki:

Po pravkar navedeni formuli lahko dodamo poljubno stopnjo. Poskusimo dodati $ k \u003d 2 $:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((\\ levo (-5 \\ desno)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (2))) \\]

Minus smo odstranili ravno zato, ker kvadrat kuri minus (kot katera koli druga enakomerna moč). In zdaj bomo izvedli obratno transformacijo: dva bomo "zmanjšali" v eksponentu in stopnji. Navsezadnje lahko vsako enakost beremo tako od leve proti desni kot od desne proti levi:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n ] (a); \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ konec (poravnaj) \\]

Potem pa se izkaže neka sranje:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

To ne more biti, ker $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ in $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. To pomeni, da naša formula ne deluje več pri enakomernih stopinjah in negativnih številih. Potem imamo dve možnosti:

1. Udarite se ob zid, da trdite, da je matematika neumna znanost, kjer "obstajajo nekatera pravila, vendar to ni točno";
2. Uvedite dodatne omejitve, po katerih bo formula 100-odstotno delovala.

Pri prvi možnosti bomo morali nenehno loviti "nedelujoče" primere - to je težko, dolgo in na splošno fu. Zato so matematiki raje izbrali drugo možnost. :)

A brez skrbi! V praksi ta omejitev nikakor ne vpliva na izračune, ker se vsi opisani problemi nanašajo samo na korenine nenavadne stopnje in iz njih lahko izvlečete minuse.

Zato bomo oblikovali še eno pravilo, ki na splošno velja za vsa dejanja s koreninami:

Pred množenjem korenin naredite radikalne izraze nenegativne.

Primer. V številu $ \\ sqrt (-5) $ lahko izbrišete minus pod korenskim znakom - potem bo vse v redu:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ end (poravnaj) \\]

Ali čutite razliko? Če minus pustite pod korenom, potem ko je izraz radikala na kvadrat, izgine in začne se sranje. In če najprej odstranite minus, lahko kvadrat postavite / odstranite, še preden postane modra - številka bo ostala negativna. :)

Tako najbolj pravilno in najbolj zanesljiv način množenje korenin je naslednje:

1. Odstranite vse minuse izpod radikalov. V koreninah nenavadne množine so samo pomanjkljivosti - lahko jih postavimo pred koren in jih po potrebi skrajšamo (na primer, če sta dve od teh pomanjkljivosti).
2. Množite v skladu s pravili, obravnavanimi zgoraj v današnji lekciji. Če so indeksi korenin enaki, radikalne izraze preprosto pomnožimo. In če se razlikujejo, uporabimo zlobno formulo \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\].
3. 3. Uživamo v rezultatu in dobrih ocenah. :)

No? Vadimo?

Primer 1. Poenostavite izraz:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ levo (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3 )) \\ desno) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ sqrt (64) \u003d - 4; \\ konec (poravnaj) \\]

To je najpreprostejša možnost: indeksi korenin so enaki in nenavadni, težava je le v minusu drugega faktorja. Odstranimo ta minus nafig, po katerem se vse zlahka upošteva.

Primer 2. Poenostavite izraz:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5))) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((\\ levo (((2) ^ (5)) \\ desno)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ levo (((2) ^ (2)) \\ desno)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ end ( poravnaj) \\]

Tu bi marsikoga zmedlo dejstvo, da je bil rezultat iracionalno število. Ja, zgodi se: korena se nismo mogli popolnoma znebiti, vendar smo vsaj izraz bistveno poenostavili.

Primer 3. Poenostavite izraz:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ levo ((( a) ^ (4)) \\ desno)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ end (poravnaj) \\]

Na to nalogo bi vas rad opozoril. Hkrati sta dve točki:

1. Koren ni določeno število ali stopnja, temveč spremenljivka $ a $. Na prvi pogled je to nekoliko nenavadno, v resnici pa se morate pri reševanju matematičnih problemov najpogosteje spoprijeti s spremenljivkami.
2. Na koncu nam je uspelo "zmanjšati" korenski eksponent in stopnjo v radikalnem izrazu. To se zgodi pogosto. To pomeni, da je bilo mogoče bistveno poenostaviti izračune, če niste uporabili osnovne formule.

Lahko na primer naredite to:

\\ [\\ začeti (poravnati) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ levo (((a) ^ ( 4)) \\ desno)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ \\ \\ konec (poravnaj) \\]

Pravzaprav so bile vse transformacije izvedene le z drugim radikalom. In če ne boste podrobno opisali vseh vmesnih korakov, se bo na koncu količina izračunov znatno zmanjšala.

Pravzaprav smo že naleteli na podobno nalogo pri reševanju primera $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $. Zdaj je to mogoče opisati na veliko preprostejši način:

\\ [\\ začetek (poravnava) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (( (\\ levo (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ desno)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((\\ levo (75 \\ desno)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ konec (poravnaj) \\]

No, ugotovili smo množenje korenin. Zdaj pa razmislimo o obratni operaciji: kaj storiti, ko je izdelek pod korenom?

Izvlečenje kvadratnega korena števila ni edina operacija, ki jo je mogoče izvesti s tem matematičnim pojavom. Tako kot običajna števila se kvadratne korenine seštevajo in odštevajo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pravila seštevanja in odštevanja za kvadratne korenine

Ukrepi, kot sta seštevanje in odštevanje kvadratnega korena, so možni le, če je izraz enak.

Primer 1

Izraze lahko dodajate ali odštevate 2 3 in 6 3ne pa 5 6 in 9 4. Če je mogoče poenostaviti izraz in ga z enakim radikalnim številom pripeljati do korenin, potem poenostavite in nato dodajte ali odštejte.

Koreninske dejavnosti: osnove

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritem delovanja:

1. Poenostavite radikalno izražanje... Da bi to naredili, je treba radikalni izraz razstaviti na dva faktorja, od katerih je eden kvadratno število (število, iz katerega je izvlečen celoten kvadratni koren, na primer 25 ali 9).
2. Nato morate izvleči koren kvadratnega števila in dobljeno vrednost zapišite pred korenski znak. Upoštevajte, da je drugi faktor vpisan pod korenskim znakom.
3. Po postopku poenostavitve je treba korenine poudariti z enakimi radikalnimi izrazi - le te je mogoče seštevati in odštevati.
4. Za korenine z enakimi radikalnimi izrazi je treba dodati ali odšteti faktorje, ki so pred znakom korena. Radikalni izraz ostaja nespremenjen. Ne morete dodajati ali odštevati radikalnih števil!

Nasvet 1

Če imate primer z velikim številom enakih radikalnih izrazov, jih podčrtajte z enojnimi, dvojnimi in trojnimi črtami, da olajšate postopek izračuna.

3. primer

Poskusimo rešiti ta primer:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2. Najprej morate razgraditi 50 na 2 faktorja 25 in 2, nato izvleči koren 25, kar je 5, in izvleči 5 izpod korena. Po tem morate pomnožiti 5 s 6 (faktor v korenu) in dobiti 30 2.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 × 2) 2 \u003d 4 2. Najprej morate 8 razdeliti na 2 dejavnika: 4 in 2. Nato izvlecite koren iz 4, kar je 2, in 2 vzemite izpod korena. Po tem morate pomnožiti 2 z 2 (faktor v korenu) in dobiti 4 2.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 10 3. Najprej morate 12 razdeliti na 2 dejavnika: 4 in 3. Nato izvlecite koren iz 4, ki je 2, in jo vzemite izpod korena. Po tem morate pomnožiti 2 s 5 (faktor v korenu) in dobiti 10 3.

Rezultat poenostavitve: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Kot rezultat smo videli, koliko enakih radikalnih izrazov je v ta primer... Zdaj pa vadimo z drugimi primeri.

4. primer

• Poenostavimo (45). Faktor 45: (45) \u003d (9 × 5);
• Izpod korena vzamemo 3 (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Dodajte faktorje pri koreninah: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

5. primer

6 40 - 3 10 + 5:

• Poenostavite 6 40. Faktor 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Izvlečemo 2 izpod korena (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Pomnožimo dejavnike, ki stojijo pred korenino: 12 10;
• Izraz zapišemo v poenostavljeni obliki: 12 10 - 3 10 + 5;
• Ker imata prva dva člana enaka korenska števila, jih lahko odštejemo: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

Primer 6

Kot lahko vidimo, poenostavitve radikalnih števil ni mogoče, zato v primeru iščemo člane z enakimi radikalnimi številkami, izvajamo matematične operacije (seštevanje, odštevanje itd.) In zapis rezultata:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Nasvet:

• Pred dodajanjem ali odštevanjem je nujno poenostaviti (če je le mogoče) radikalne izraze.
• Dodajanje in odštevanje korenin z različnimi radikalnimi izrazi je strogo prepovedano.
• Celo število ali koren se ne sme dodajati ali odštevati: 3 + (2 x) 1/2.
• Ko izvajate dejanja z ulomki, morate najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem, nato pa ulomke zmanjšati na skupni imenovalec, nato dodajte števce in imenovalce pustite nespremenjene.

Če v besedilu opazite napako, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in hranimo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nas obvestite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, s katerimi je mogoče določiti določeno osebo ali stopiti v stik z njo.

Ko se obrnete na nas, boste morda kadar koli pozvani, da navedete svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu pustite zahtevo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in poročamo edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za notranje namene, kot so izvajanje revizij, analiza podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, natečaju ali podobnem promocijskem dogodku, lahko podatke, ki jih navedete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Podatkov, ki smo jih prejeli od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi - v skladu z zakonom, sodno odločbo, v sojenjein / ali na podlagi javnih prošenj ali prošenj vladnih agencij na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Informacije o vas lahko tudi razkrijemo, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih družbeno pomembnih razlogov.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zbiramo, prenesemo na ustrezno tretjo osebo - pravno naslednico.

Zaščita osebnih podatkov

Sprejemamo varnostne ukrepe - vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi - za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim predstavljamo pravila o zaupnosti in varnosti ter strogo spremljamo izvajanje ukrepov zaupnosti.

Koren od številke najlažje odštejemo s pomočjo kalkulatorja. Če pa kalkulatorja nimate, morate poznati algoritem za izračun kvadratnega korena. Dejstvo je, da je pod korenom kvadratno število. Na primer, 4 na kvadrat je 16. To pomeni, da je kvadratni koren 16 enak štirim. Tudi 5 na kvadrat je 25. Torej bo koren 25 5. 5. In tako naprej.

Če je število majhno, ga je mogoče zlahka odšteti ustno, na primer koren 25 bo 5, koren 144 pa 12. Izračunate lahko tudi na kalkulatorju, obstaja posebna korenska ikona, morate vnesti številko in klikniti na ikono.

Pomagala bo tudi kvadratna korenska tabela:

Obstaja več načinov, ki so bolj zapleteni, a zelo učinkoviti:

Koren lahko s pomočjo kalkulatorja odštejemo od katere koli številke, še posebej, ker je danes v vsakem telefonu.

Lahko poskusite približno oceniti, kako lahko pride do tega števila, tako da eno število pomnožite samo.



Izračun kvadratnega korena števila ni težaven, še posebej, če imate posebno tabelo. Znana tabela iz lekcij algebre. Ta operacija se imenuje kvadratni koren števila a, z drugimi besedami, reševanje enačbe. Skoraj vsi kalkulatorji v pametnih telefonih imajo funkcijo za določanje kvadratnega korena.



Rezultat ekstrakcije kvadratnega korena znanega števila bo drugo število, ki bo, ko se dvigne na drugo stopnjo (kvadrat), dalo enako število, kot ga poznamo. Upoštevajmo enega od opisov izračunov, ki se zdi jedrnat in razumljiv:







Tukaj je povezan video:

Obstaja več načinov za izračun kvadratnega korena števila.

Najbolj priljubljen način je uporaba posebne korenske tabele (glej spodaj).

Vsak kalkulator ima tudi funkcijo, s katero lahko najdete koren.

Ali pa s posebno formulo.



Obstaja več načinov za pridobivanje kvadratnega korena števila. Eden izmed njih je najhitrejši z uporabo kalkulatorja.

Če pa kalkulatorja ni, lahko to storite ročno.

Rezultat bo natančen.

Načelo je skoraj enako kot dolga delitev:



















Poskusimo brez kalkulatorja najti kvadratni koren števila, na primer 190969.







Tako je vse zelo preprosto. Pri izračunih je glavno, da se držimo določenih preprosta pravila in razmišljati logično.

Za to je potrebna tabela kvadratov



Na primer, koren 100 \u003d 10, 20 \u003d 400 od 43 \u003d 1849

Zdaj lahko skoraj vsi kalkulatorji, vključno s pametnimi telefoni, izračunajo kvadratni koren števila. Toda če nimate kalkulatorja, lahko najdete koren številke na več preprostih načinov:

Razgradnja na glavni dejavniki



Upoštevaj radikalno število, ki je kvadratna števila... Glede na korensko številko boste dobili približen ali natančen odgovor. Kvadratna števila so števila, iz katerih je mogoče izvleči celoten kvadratni koren. Številčni faktorji, ki pri pomnožitvi dajo prvotno številko. Na primer, faktorja 8 sta 2 in 4, saj so 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 kvadratna števila, saj so 25 \u003d 5, 36 \u003d 6, 49 \u003d 7. Kvadratni faktorji so faktorji, ki so kvadratna števila. .. Najprej poskusite kvadratno številko korenine.

Na primer, izračunajte kvadratni koren 400 (ročno). Najprej poskusite na kvadrat postaviti 400. 400 je večkratnik 100, to je deljivo s 25 je kvadratno število. Če 400 delite s 25, dobite 16, kar je tudi kvadratno število. Tako lahko 400 razstavimo na kvadratne faktorje 25 in 16, to je 25 x 16 \u003d 400.

Zapišite ga kot: 400 \u003d (25 x 16).



Kvadratni koren zmnožka nekaterih izrazov je enak zmnožku kvadratnih korenin vsakega izraza, to je (a x b) \u003d a x b. S tem pravilom vzemite kvadratni koren vsakega kvadratnega faktorja in pomnožite rezultate, da poiščete svoj odgovor.

V našem primeru izvlecite koren 25 in 16.



Če se korenska številka ne razdeli na dva dela kvadratni faktor (in to se v večini primerov zgodi), natančnega odgovora v obliki celotnega števila ne boste mogli najti. Toda težavo lahko poenostavite z razgradnjo korensko-radikalnega števila na kvadratni faktor in navadni faktor (število, iz katerega ni mogoče izvleči celotnega kvadratnega korena). Nato vzamete kvadratni koren kvadratnega faktorja in vzamete koren navadnega faktorja.

Na primer, izračunajte kvadratni koren števila 147. Števila 147 ni mogoče razdeliti na dva kvadratna faktorja, lahko pa ga razdelimo na naslednja faktorja: 49 in 3. Problem rešite na naslednji način:



Zdaj lahko ocenite vrednost korena (poiščite približno vrednost) tako, da jo primerjate z vrednostmi korenin kvadratnih števil, ki so najbližje (na obeh straneh številske črte) številki korena. Korensko vrednost boste dobili kot decimalni ulomek, ki ga je treba pomnožiti s številom za korenskim znakom.

Vrnimo se k našemu primeru. Koreninsko število je 3. Najbližja kvadratna števila mu bodo številki 1 (1 \u003d 1) in 4 (4 \u003d 2). Torej je 3 med 1 in 2. Ker je 3 verjetno bližje 2 kot 1, je naša ocena 3 \u003d 1,7. To vrednost pomnožimo s številom pri korenskem znaku: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Če opravite izračune na kalkulatorju, dobite 12,13, kar je precej blizu našemu odgovoru.

Ta metoda deluje tudi pri velikih številkah. Na primer, upoštevajte 35. Korensko število 35. Najbližja kvadratna števila so mu 25 (25 \u003d 5) in 36 (36 \u003d 6). Tako je 35 med 5 in 6. Ker je 35 veliko bližje 6 kot 5 (ker je 35 le 1 manj kot 36), lahko rečemo, da je 35 nekaj manj kot 6. Preverjanje kalkulatorja nam da odgovor 5.92 - imeli smo prav.



Drugi način je, da se radikalno število razdeli na osnovne faktorje. Glavni faktorji števil, ki so deljive samo z 1 in s seboj. Zapišite glavne faktorje v vrsti in poiščite pare istih faktorjev. Takšne dejavnike lahko odstranimo zunaj koreninskega znaka.

Na primer, izračunamo kvadratni koren iz 45. Razstavimo radikalno število na proste faktorje: 45 \u003d 9 x 5 in 9 \u003d 3 x 3. Tako je 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 lahko vzamemo izven korenskega znaka: 45 \u003d 35. Zdaj lahko ocenite 5.

Poglejmo še en primer: 88.

\u003d (2 x 4 x 11)

\u003d (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelje 2; vzemite jih nekaj in jih postavite zunaj koreninskega znaka.

2 (2 x 11) \u003d 22 x 11. Zdaj lahko ocenite 2 in 11 in poiščete grob odgovor.

Ta videoposnetek z vajami je lahko v pomoč tudi:

Če želite izvleči koren številke, uporabite kalkulator, ali če ni ustreznega, vam svetujem, da obiščete to spletno mesto in težavo rešite s pomočjo spletni kalkulatorkar bo v nekaj sekundah dobilo pravilno vrednost.

Seštevanje in odštevanje korenin je eden najpogostejših "kamnov spotike" za tiste, ki obiskujejo tečaj matematike (algebre) v srednji šoli. Zelo pomembno pa je, da se jih naučimo pravilno seštevati in odštevati, ker so primeri vsote ali razlike korenin vključeni v program osnovnega enotnega državnega izpita iz discipline "matematika".

Da bi obvladali rešitev takšnih primerov, sta potrebni dve stvari - razumevanje pravil in tudi razvijanje prakse. Po rešitvi enega ali dveh ducatov tipičnih primerov bo študent to spretnost dovedel do avtomatizma, nato pa se na izpitu ne bo imel česa bati. Priporočljivo je, da začnete obvladovanje aritmetičnih operacij z dodajanjem, ker je njihovo dodajanje nekoliko lažje kot odštevanje.

To najlažje razložimo s primerom kvadratnega korena. V matematiki obstaja ustaljen izraz "kvadrat". "Na kvadrat" pomeni, da določeno število enkrat pomnožimo samostojno... Če na primer kvadrat 2, dobite 4. Če kvadrat 7, dobite 49. Kvadrat 9 je 81. Torej kvadratni koren 4 je 2, 49 je 7 in 81 je 9.

Učenje te teme v matematiki se praviloma začne s kvadratnimi koreninami. Da bi jo dijak lahko takoj ugotovil, mora tabelo množenja znati na pamet. Tisti, ki niso prepričani v to tabelo, morajo uporabiti namige. Običajno je postopek pridobivanja korenskega kvadrata iz števila podan v obliki tabele na platnicah številnih šolskih matematičnih zvezkov.

Korenine so naslednjih vrst:

• kvadrat;
• kubična (ali tako imenovana tretja stopnja);
• četrta stopnja;
• peta stopnja.

Pravila seštevanja

Da bi lahko uspešno rešili tipičen primer, upoštevati je treba, da niso vsa korenska števila lahko zloženi med seboj... Da jih je mogoče zložiti, jih je treba pripeljati do običajnega vzorca. Če to ni mogoče, potem težava nima rešitve. Takšne težave pogosto najdemo tudi v učbenikih matematike kot nekakšno past za učence.

Seštevanje ni dovoljeno pri nalogah, kadar se radikalni izrazi med seboj razlikujejo. To lahko ponazorimo z ilustrativnim primerom:

• študent je pred nalogo: dodaj kvadratni koren 4 in 9;
• neizkušen študent, ki ne pozna pravil, običajno napiše: "koren 4 + koren 9 \u003d koren 13".
• zelo enostavno je dokazati, da je tak način reševanja napačen. Če želite to narediti, morate najti kvadratni koren 13 in preveriti, ali je primer pravilno rešen;
• z mikrokalkulatorjem lahko ugotovite, da je približno 3,6. Zdaj je še treba preveriti rešitev;
• koren 4 \u003d 2 in 9 \u003d 3;
• Vsota števil "dva" in "tri" je pet. Tako lahko ta algoritem rešitve štejemo za napačen.

Če so korenine enake stopnje, vendar različne številski izrazi, je vzet iz oklepajev in v oklepajih je vsota dveh radikalnih izrazov... Tako se iz te količine že pridobi.

Algoritem seštevanja

Da bi se pravilno odločili najpreprostejša naloga, je potrebno:

1. Ugotovite, kaj natančno zahteva dodajanje.
2. Ugotoviti, ali je mogoče medsebojno dodajati vrednosti, pri čemer se ravnajo po pravilih, ki obstajajo v matematiki.
3. Če jih ni mogoče zložiti, jih morate preoblikovati, da jih je mogoče zložiti.
4. Po opravljenih vseh potrebnih transformacijah je treba izvesti dodajanje in zapisati končni odgovor. Seštevanje lahko opravite miselno ali z mikro kalkulatorjem, odvisno od zahtevnosti primera.

Kaj so podobne korenine

Če želite pravilno rešiti primer seštevanja, morate najprej razmisliti, kako ga lahko poenostavite. Če želite to narediti, morate imeti osnovno znanje o tem, kaj je podobnost.

Sposobnost prepoznavanja podobnih pomaga hitro rešiti istovrstne primere seštevanja in jih poenostaviti. Za poenostavitev tipičnega primera seštevanja morate:

1. Poiščite podobne in jih izberite v eni skupini (ali v več skupinah).
2. Znova napišite obstoječi primer tako, da korenine, ki imajo enak indikator, gredo jasno ena za drugo (to se imenuje "združevanje v skupine").
3. Nato izraz znova prepišite, tokrat tako, da si podobni (ki imajo enak indikator in enako radikalno število) sledijo tudi drug za drugim.

Po tem je poenostavljen primer ponavadi enostavno rešiti.

Da bi pravilno rešili kateri koli primer dodajanja, je treba jasno razumeti osnovna pravila seštevanja, pa tudi vedeti, kaj je koren in kako se to zgodi.

Včasih so takšna opravila na prvi pogled videti zelo težka, običajno pa jih je enostavno rešiti z združevanjem podobnih. Najpomembnejša stvar je vaja, nato pa bo študent začel »klikati težave kot orehi«. Dodajanje korenin je eno najpomembnejših področij matematike, zato bi morali učitelji porabiti dovolj časa za njegovo proučevanje.

Video

Ta video vam bo pomagal razumeti enačbe s kvadratnimi koreninami.