V tej lekciji si bomo ogledali pretvorbo ulomkov v skupni imenovalec in bomo rešili težave na to temo. Dajmo definicijo pojmu skupni imenovalec in dodatni dejavnik, pripomnimo medsebojno praštevila... Določimo koncept najmanjšega skupnega imenovalca (LCD) in rešimo številne težave, da ga najdemo.

Tema: Seštevanje in odštevanje ulomkov z različni imenovalci

Lekcija: Pretvorba ulomkov v skupni imenovalec

Ponovitev. Glavna lastnost ulomka.

Če se števec in imenovalec ulomka pomnoži ali deli z istim naravno število, dobite enak ulomek.

Na primer, števec in imenovalec ulomka lahko delimo z 2. Dobimo ulomek. Ta operacija se imenuje zmanjšanje frakcije. Obrnjeno transformacijo lahko izvedete tudi tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožite z 2. V tem primeru pravimo, da smo ulomek zmanjšali na nov imenovalec. Število 2 se imenuje komplementarni faktor.

Izhod.Ulomek lahko zmanjšamo na kateri koli imenovalec, večkratnik imenovalca danega ulomka. Da bi ulomek pripeljali do novega imenovalca, se njegov števec in imenovalec pomnoži z dodatnim faktorjem.

1. Ulomek pripeljemo do imenovalca 35.

35 je večkratnik 7, to pomeni, da je 35 deljivo s 7 brez ostanka. To pomeni, da je ta preobrazba možna. Poiščimo dodaten dejavnik. Če želite to narediti, delite 35 s 7. Dobimo 5. Števec in imenovalec izvirnega ulomka pomnožimo s 5.

2. Drobce pripeljemo k imenovalcu 18.

Poiščimo dodaten dejavnik. Za to novi imenovalec delimo s prvotnim. Dobimo 3. Števec in imenovalec tega ulomka pomnožimo s 3.

3. Ulomek pripeljemo do imenovalca 60.

Če delimo 60 s 15, dobimo dodaten multiplikator. Je 4. Pomnožite števec in imenovalec s 4.

4. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24

V preprostih primerih se zmanjšanje na nov imenovalec izvede v mislih. Sprejemljivo je navesti le dodaten množitelj zunaj oklepaja tik desno in nad prvotnim ulomkom.

Ulomek lahko zmanjšamo na imenovalec 15, ulomek pa na 15. Ulomki imajo tudi skupni imenovalec 15.

Skupni imenovalec ulomkov je lahko kateri koli skupni večkratnik njihovih imenovalcev. Zaradi enostavnosti so ulomki najmanjši skupni imenovalec. Enako je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev teh ulomkov.

Primer. Zmanjšaj na najmanjši skupni imenovalec ulomka in.

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov. To število je 12. Poiščimo dodaten faktor za prvi in \u200b\u200bza drugi ulomek. Da bi to naredili, 12 delimo s 4 in s 6. Tri je dodaten faktor za prvi ulomek, dva pa za drugi. Zmanjšajmo ulomke na imenovalec 12.

Drobnice smo pripeljali do skupnega imenovalca, se pravi našli smo jim ulomke, ki so jim enaki.

Pravilo. Če želite delce pripeljati do najmanjšega skupnega imenovalca, potrebujete

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo njihov najmanjši skupni imenovalec;

Drugič, razdeli najnižji skupni imenovalec z imenovalci teh ulomkov, to je poišči dodaten faktor za vsak ulomek.

Tretjič, pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem.

a) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 12. Dodatni faktor za prvi ulomek je 4, za drugega pa 3. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24.

b) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 45. Če delimo 45 z 9 s 15, dobimo 5 oziroma 3. Ulomke pripeljemo k imenovalcu 45.

c) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Skupni imenovalec je 24. Dodatna faktorja sta 2 oziroma 3.

Včasih je težko ustno najti najnižji skupni večkratnik za imenovalce danih ulomkov. Nato najdemo skupni imenovalec in dodatne dejavnike z razširitvijo v glavni dejavniki.

Privedemo ulomek k skupnemu imenovalcu.

Razširimo številki 60 in 168 v osnovna faktorja. Zapišemo razgradnjo 60 in dodamo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz druge razgradnje. Pomnožite 60 s 14, da dobite skupni imenovalec 840. Dopolnilni faktor za prvi ulomek je 14. Dopolnilni faktor za drugi ulomek je 5. Zmanjšajte ulomke na skupni imenovalec 840.

Seznam referenc

1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. in druga matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 6. razred matematike. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Y., Vilenkin N.Y. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za predmet 5-6. Razred matematike. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. in drugi: Matematika: Učbenik-sogovornik za 5-6 razred srednje šole. Knjižnica učitelja matematike. - Razsvetljenje, 1989.

Knjige iz točke 1.2 lahko prenesete. te lekcije.

Domača naloga

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et al. Matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012. (povezava glej 1.2)

Domača naloga: # 297, # 298, # 300.

Druge naloge: # 270, # 290

V tej lekciji bomo preučili zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec in rešili probleme na to temo. Dajmo definicijo pojmu skupni imenovalec in dodatni faktor, ne pozabimo na coprime števil. Določimo koncept najmanjšega skupnega imenovalca (LCD) in rešimo številne težave, da ga najdemo.

Tema: Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Lekcija: Pretvorba ulomkov v skupni imenovalec

Ponovitev. Glavna lastnost ulomka.

Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom, dobimo enak ulomek.

Na primer, števec in imenovalec ulomka lahko delimo z 2. Dobimo ulomek. Ta operacija se imenuje zmanjšanje frakcije. Obrnjeno transformacijo lahko izvedete tudi tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožite z 2. V tem primeru pravimo, da smo ulomek zmanjšali na nov imenovalec. Število 2 se imenuje komplementarni faktor.

Izhod.Ulomek lahko zmanjšamo na kateri koli imenovalec, večkratnik imenovalca danega ulomka. Da bi ulomek pripeljali do novega imenovalca, se njegov števec in imenovalec pomnoži z dodatnim faktorjem.

1. Ulomek pripeljemo do imenovalca 35.

35 je večkratnik 7, to pomeni, da je 35 deljivo s 7 brez ostanka. To pomeni, da je ta preobrazba možna. Poiščimo dodaten dejavnik. Če želite to narediti, delite 35 s 7. Dobimo 5. Števec in imenovalec izvirnega ulomka pomnožimo s 5.

2. Drobce pripeljemo k imenovalcu 18.

Poiščimo dodaten dejavnik. Za to novi imenovalec delimo s prvotnim. Dobimo 3. Števec in imenovalec tega ulomka pomnožimo s 3.

3. Ulomek pripeljemo do imenovalca 60.

Če delimo 60 s 15, dobimo dodaten multiplikator. Je 4. Pomnožite števec in imenovalec s 4.

4. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24

V preprostih primerih se zmanjšanje na nov imenovalec izvede v mislih. Sprejemljivo je navesti le dodaten množitelj zunaj oklepaja tik desno in nad prvotnim ulomkom.

Ulomek lahko zmanjšamo na imenovalec 15, ulomek pa na 15. Ulomki imajo tudi skupni imenovalec 15.

Skupni imenovalec ulomkov je lahko kateri koli skupni večkratnik njihovih imenovalcev. Zaradi enostavnosti so ulomki najmanjši skupni imenovalec. Enako je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev teh ulomkov.

Primer. Zmanjšaj na najmanjši skupni imenovalec ulomka in.

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov. To število je 12. Poiščimo dodaten faktor za prvi in \u200b\u200bza drugi ulomek. Da bi to naredili, 12 delimo s 4 in s 6. Tri je dodaten faktor za prvi ulomek, dva pa za drugi. Zmanjšajmo ulomke na imenovalec 12.

Drobnice smo pripeljali do skupnega imenovalca, se pravi našli smo jim ulomke, ki so jim enaki.

Pravilo. Če želite delce pripeljati do najmanjšega skupnega imenovalca, potrebujete

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo njihov najmanjši skupni imenovalec;

Drugič, razdeli najnižji skupni imenovalec z imenovalci teh ulomkov, to je poišči dodaten faktor za vsak ulomek.

Tretjič, pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem.

a) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 12. Dodatni faktor za prvi ulomek je 4, za drugega pa 3. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24.

b) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 45. Če delimo 45 z 9 s 15, dobimo 5 oziroma 3. Ulomke pripeljemo k imenovalcu 45.

c) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Skupni imenovalec je 24. Dodatna faktorja sta 2 oziroma 3.

Včasih je težko ustno najti najnižji skupni večkratnik za imenovalce danih ulomkov. Nato najdemo skupni imenovalec in dodatne dejavnike z uporabo faktorizacije.

Privedemo ulomek k skupnemu imenovalcu.

Razširimo številki 60 in 168 v osnovna faktorja. Zapišemo razgradnjo 60 in dodamo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz druge razgradnje. Pomnožite 60 s 14, da dobite skupni imenovalec 840. Dopolnilni faktor za prvi ulomek je 14. Dopolnilni faktor za drugi ulomek je 5. Zmanjšajte ulomke na skupni imenovalec 840.

Seznam referenc

1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. in druga matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 6. razred matematike. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Y., Vilenkin N.Y. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za predmet 5-6. Razred matematike. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. in drugi: Matematika: Učbenik-sogovornik za 5-6 razred srednje šole. Knjižnica učitelja matematike. - Razsvetljenje, 1989.

Knjige iz točke 1.2 lahko prenesete. te lekcije.

Domača naloga

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et al. Matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012. (povezava glej 1.2)

Domača naloga: # 297, # 298, # 300.

Druge naloge: # 270, # 290

Gradivo v tem članku pojasnjuje, kako najti najnižji skupni imenovalec in kako ulomke spraviti v skupni imenovalec... Najprej so podane definicije skupnega imenovalca ulomkov in najnižji skupni imenovalec, prikazano pa je tudi, kako najti skupni imenovalec ulomkov. Sledi pravilo za zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec in obravnavani so primeri uporabe tega pravila. Za zaključek so analizirani primeri približevanja treh ali več ulomkov skupnemu imenovalcu.

Navigacija po strani.

Kaj imenujemo zmanjševanje frakcij s skupnim imenovalcem?

Zdaj lahko rečemo, kakšno je zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec. Skupni imenovalec ulomkov Ali je množenje števcev in imenovalcev teh ulomkov s tako dodatnimi faktorji, da je rezultat ulomek z enakimi imenovalci.

Skupni imenovalec, opredelitev, primeri

Zdaj je čas, da določimo skupni imenovalec ulomkov.

Z drugimi besedami, skupni imenovalec nabora navadnih ulomkov je katero koli naravno število, ki je deljivo z vsemi imenovalci teh ulomkov.

Iz zgornje definicije izhaja, da ima dani niz ulomkov neskončno veliko skupnih imenovalcev, saj je neskončno veliko skupnih večkratnikov vseh imenovalcev prvotnega nabora ulomkov.

Določitev skupnega imenovalca ulomkov vam omogoča, da poiščete skupne imenovalce danih ulomkov. Denimo, da sta na primer uloma 1/4 in 5/6 njihova imenovalca 4 oziroma 6. Pozitivni skupni večkratniki 4 in 6 so 12, 24, 36, 48, ... Vsako od teh števil je skupni imenovalec 1/4 in 5/6.

Za utrditev gradiva razmislite o rešitvi naslednjega primera.

Primer.

Ali lahko ulomke 2/3, 23/6 in 7/12 zmanjšamo na skupni imenovalec 150?

Sklep.

Da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje, moramo ugotoviti, ali je število 150 skupni večkratnik imenovalcev 3, 6 in 12. Če želite to narediti, preverite, ali je 150 enakomerno deljivo z vsakim od teh števil (po potrebi glejte pravila in primere za delitev naravnih števil ter pravila in primere za delitev naravnih števil s preostankom): 150: 3 \u003d 50, 150: 6 \u003d 25, 150: 12 \u003d 12 (počitek 6).

Torej, 150 ni enakomerno deljivo z 12, torej 150 ni skupni večkratnik 3, 6 in 12. Število 150 torej ne more biti skupni imenovalec izvirnih ulomkov.

Odgovor:

Ne moreš.

Najnižji skupni imenovalec, kako ga najti?

V množici števil, ki so skupni imenovalci teh ulomkov, je najmanjše naravno število, ki se imenuje najnižji skupni imenovalec. Oblikujmo definicijo najmanjšega skupnega imenovalca teh ulomkov.

Definicija.

Najmanj skupni imenovalec Je najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov.

Treba je še ugotoviti, kako najti najmanj skupni delilec.

Ker je najmanjši pozitivni skupni imenovalec danega nabora števil, je LCM imenovalcev teh ulomkov najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov.

Tako se iskanje najnižjega skupnega imenovalca ulomkov zmanjša na imenovalce teh ulomkov. Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov 3/10 in 277/28.

Sklep.

Imenovalec teh ulomkov je 10 in 28. Želeni najnižji skupni imenovalec najdemo kot LCM števil 10 in 28. V našem primeru je to enostavno: ker je 10 \u003d 2 5 in 28 \u003d 2 2 7, potem je LCM (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140.

Odgovor:

140 .

Kako frakcije spraviti v skupni imenovalec? Pravilo, primeri, rešitve

Običajno navadne frakcije vodijo do najnižjega skupnega imenovalca. Zdaj bomo zapisali pravilo, ki pojasnjuje, kako ulomke spraviti na najnižji skupni imenovalec.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec je sestavljen iz treh korakov:

• Najprej najdemo najnižji skupni imenovalec ulomkov.
• Drugič, za vsak ulomek se izračuna dodaten faktor, za katerega je najmanjši skupni imenovalec deljen z imenovalcem vsakega ulomka.
• Tretjič, števec in imenovalec vsakega ulomka se pomnoži z dodatnim faktorjem.

Navedeno pravilo uporabimo za rešitev naslednjega primera.

Primer.

Drobke 5/14 in 7/18 pripeljemo do najmanjšega skupnega imenovalca.

Sklep.

Izvedimo vse korake algoritma za zmanjšanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec.

Najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec, ki je najnižji skupni večkratnik 14 in 18. Ker je 14 \u003d 2 7 in 18 \u003d 2 3 3, je LCM (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126.

Zdaj izračunamo dodatne faktorje, s katerimi bomo ulomke 5/14 in 7/18 zmanjšali na imenovalec 126. Za ulomek 5/14 je dodatni faktor 126: 14 \u003d 9, za ulomek 7/18 pa dodatni faktor 126: 18 \u003d 7.

Še vedno je treba števce in imenovalce ulomkov 5/14 in 7/18 pomnožiti z dodatnimi faktorji 9 oziroma 7. Imamo in .

Tako je uvrstitev ulomkov 5/14 in 7/18 na najnižji skupni imenovalec končana. Rezultat so frakcije 45/126 in 49/126.

Sprva sem želel vključiti metode skupnih imenovalcev v odstavek Dodajanje in odštevanje ulomkov. Vendar je bilo toliko informacij in njihov pomen je tako velik (navsezadnje skupni imenovalci niso le za številske ulomke), da je bolje to problematiko preučiti ločeno.

Recimo, da imamo dva ulomka z različnimi imenovalci. In želimo zagotoviti, da imenovalci postanejo enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki se spomnimo sliši takole:

Ulomek se ne bo spremenil, če se njegov števec in imenovalec pomnožita z enakim ne-ničelnim številom.

Če torej izberete prave faktorje, bodo imenovalci ulomkov enaki - temu postopku pravimo zmanjšanje skupnega imenovalca. Zahtevana števila, ki "izravnajo" imenovalce, se imenujejo dodatni dejavniki.

Zakaj morate frakcije sploh spraviti na skupni imenovalec? Tu je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Te operacije ni mogoče drugače izvesti;
2. Primerjava ulomkov. Včasih pretvorba v skupni imenovalec to nalogo precej olajša;
3. Reševanje težav z deleži in odstotki. Odstotki so pravzaprav pogosti izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov, kako najti števila, ki pomenijo, da so imenovalci ulomkov enaki. Upoštevali jih bomo le tri - zaradi naraščajoče zapletenosti in v nekem smislu tudi učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejši in zanesljiv načinkar bo zagotovo poravnalo imenovalce. Nadaljevali bomo: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Kot rezultat bodo imenovalci obeh ulomkov postali enaki zmnožku prvotnih imenovalcev. Poglej:

Kot dodatni dejavniki upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Ja, tako preprosto je. Če se šele začenjate učiti ulomke, je bolje, da delate s to določeno metodo - tako se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo "pred časom" in posledično je mogoče dobiti zelo velika števila. To je cena, ki jo je treba plačati za zanesljivost.

Metoda skupnih deliteljev

Ta tehnika pomaga močno zmanjšati izračune, vendar se na žalost le redko uporablja. Metoda je naslednja:

1. Preden nadaljujete (to je metoda navzkrižne povezave), si oglejte imenovalce. Morda enega od njih (tistega, ki je večji) deli drugi.
2. Število, pridobljeno kot rezultat takšnega deljenja, bo dodaten faktor za ulomek z nižjim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer - to je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Ker je v obeh primerih en imenovalec deljiv z drugim brez ostanka, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek ni bil nikoli ničesar pomnožen. Dejansko smo količino izračuna prepolovili!

Mimogrede, zlomke v tem primeru sem vzel z razlogom. Če ste radovedni, jih poskusite šteti navzkrižno. Po zmanjšanju bodo odgovori enaki, a dela bo še veliko več.

To je moč metode skupni delitelji, vendar ga je spet mogoče uporabiti le, če je en imenovalec razdeljen na drugega brez ostanka. Kar je dovolj redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko pripeljemo ulomke k skupnemu imenovalcu, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato na to število pripeljemo imenovalce obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in najmanjše med njimi ne bo nujno enako neposrednemu zmnožku imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se domneva v metodi "navzkrižno".

Na primer za imenovalca 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ta številka je veliko manjša od izdelka 8 12 \u003d 96.

Najmanjše število, ki je deljiv z vsakim imenovalcem, se imenuje njihov najmanjši skupni večkratnik (LCM).

Zapis: najmanj skupni večkratnik a in b je označen z LCM (a; b). Na primer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Če lahko najdete takšno število, bo skupni znesek računanja minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 3. Faktorja 2 in 3 sta razmeroma osnovna (nimata skupnih delilnikov, razen 1), faktor 117 pa je pogost. Zato je LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Podobno je 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 4. Faktorja 3 in 4 sta razmeroma pomembna, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Zdaj frakcije pripeljemo do skupnih imenovalcev:

Upoštevajte, kako koristno je bilo razvrščanje prvotnih imenovalcev v faktor:

1. Ko smo našli enake dejavnike, smo takoj prišli do najmanj pogostega večkratnika, kar je na splošno netrivialna težava;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri dejavniki "manjkajo" za posamezne ulomke. Na primer 234 3 \u003d 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, kako ogromne dobičke daje najmanj pogosta večkratna metoda, poskusite izračunati iste primere z uporabo metode navzkrižnega križanja. Brez kalkulatorja, seveda. Mislim, da bodo po tem komentarji odveč.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Ves čas se srečujejo, zgornje naloge pa niso omejitev!

Edina težava je, kako najti ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", vendar je na splošno to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tu se tega ne bomo dotaknili.