Razne akcije z ulomki lahko na primer dodajate ulomke. Dodajanje ulomkov lahko razdelimo na več vrst. Vsaka vrsta seštevanja ulomkov ima svoja pravila in algoritem dejanj. Podrobno razmislimo o vsaki vrsti dodajanja.

Dodajanje ulomkov z istim imenovalcem.

Na primeru poglejmo, kako dodamo ulomke s skupnim imenovalcem.

Pohodniki so se odpravili na pohod od točke A do točke E. Prvi dan so hodili od točke A do B ali \\ (\\ frac (1) (5) \\) od vse poti. Drugi dan so hodili od točke B do D ali \\ (\\ frac (2) (5) \\) do konca. Kako daleč so šli od začetka poti do točke D?

Če želite najti razdaljo od točke A do točke D, dodajte ulomke \\ (\\ frac (1) (5) + \\ frac (2) (5) \\).

Dodajanje ulomkov z enake imenovalce je, da morate dodati števce teh ulomkov, imenovalec pa bo ostal enak.

\\ (\\ frac (1) (5) + \\ frac (2) (5) \u003d \\ frac (1 + 2) (5) \u003d \\ frac (3) (5) \\)

IN dobesedna oblika vsota ulomkov z enakimi imenovalci bo videti takole:

\\ (\\ bf \\ frac (a) (c) + \\ frac (b) (c) \u003d \\ frac (a + b) (c) \\)

Odgovor: turisti so šli \\ (\\ frac (3) (5) \\) do konca.

Dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Oglejmo si primer:

Dodajte dva ulomka \\ (\\ frac (3) (4) \\) in \\ (\\ frac (2) (7) \\).

Če želite dodati ulomke z različnimi imenovalci, morate najprej najtiin nato uporabite pravilo za dodajanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Za imenovalca 4 in 7 je skupni imenovalec 28. Prvi ulomek \\ (\\ frac (3) (4) \\) je treba pomnožiti s 7. Drugi ulomek \\ (\\ frac (2) (7) \\) mora biti pomnoženo s 4.

\\ (\\ frac (3) (4) + \\ frac (2) (7) \u003d \\ frac (3 \\ krat \\ barva (rdeča) (7) + 2 \\ krat \\ barva (rdeča) (4)) (4 \\ krat \\ color (rdeča) (7)) \u003d \\ frac (21 + 8) (28) \u003d \\ frac (29) (28) \u003d 1 \\ frac (1) (28) \\)

V dobesedni obliki dobimo naslednjo formulo:

\\ (\\ bf \\ frac (a) (b) + \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (a \\ krat d + c \\ krat b) (b \\ krat d) \\)

Dodajanje mešanih števil ali mešanih ulomkov.

Seštevanje poteka po zakonu seštevanja.

Za mešane frakcije dodajte cele dele s celimi deli in delne dele z delnimi deli.

Če so delni deli mešana števila imajo enake imenovalce, nato dodamo števce, imenovalec pa ostane enak.

Dodajte mešana števila \\ (3 \\ frac (6) (11) \\) in \\ (1 \\ frac (3) (11) \\).

\\ (3 \\ frac (6) (11) + 1 \\ frac (3) (11) \u003d (\\ barva (rdeča) (3) + \\ barva (modra) (\\ frac (6) (11))) + ( \\ color (rdeča) (1) + \\ color (modra) (\\ frac (3) (11))) \u003d (\\ color (rdeča) (3) + \\ color (rdeča) (1)) + (\\ color ( modra) (\\ frac (6) (11)) + \\ barva (modra) (\\ frac (3) (11))) \u003d \\ barva (rdeča) (4) + (\\ barva (modra) (\\ frac (6 + 3) (11))) \u003d \\ barva (rdeča) (4) + \\ barva (modra) (\\ frac (9) (11)) \u003d \\ barva (rdeča) (4) \\ barva (modra) (\\ frac (9) (11)) \\)

Če imajo delni deli mešanih števil različna imenovalca, potem najdemo skupni imenovalec.

Dodajte mešana števila \\ (7 \\ frac (1) (8) \\) in \\ (2 \\ frac (1) (6) \\).

Imenovalec je drugačen, zato morate najti skupni imenovalec, enak je 24. Prvi ulomek \\ (7 \\ frac (1) (8) \\) pomnožite z dodatnim faktorjem 3, drugi ulomek \\ (2 \\ frac (1) (6) \\) za 4.

\\ (7 \\ frac (1) (8) + 2 \\ frac (1) (6) \u003d 7 \\ frac (1 \\ krat \\ barva (rdeča) (3)) (8 \\ krat \\ barva (rdeča) (3) ) \u003d 2 \\ frac (1 \\ krat \\ barva (rdeča) (4)) (6 \\ krat \\ barva (rdeča) (4)) \u003d 7 \\ frac (3) (24) + 2 \\ frac (4) (24 ) \u003d 9 \\ frac (7) (24) \\)

Vprašanja na temo:
Kako dodam ulomke?
Odgovor: najprej se morate odločiti, kateremu tipu pripada izraz: ulomki imajo enake imenovalce, različne imenovalce ali mešane ulomke. Glede na vrsto izraza preidemo na algoritem rešitve.

Kako rešiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: najti je treba skupni imenovalec, nato pa po pravilu dodajanja ulomkov z enakimi imenovalci.

Kako rešiti mešane frakcije?
Odgovor: dodajamo cele dele s celimi deli in delne dele z delnimi deli.

1. primer:
Ali lahko vsota dveh povzroči pravi ulomek? Napačen ulomek? Navedite primere.

\\ (\\ frac (2) (7) + \\ frac (3) (7) \u003d \\ frac (2 + 3) (7) \u003d \\ frac (5) (7) \\)

Ulomek \\ (\\ frac (5) (7) \\) je običajen ulomek, je vsota dveh pravilnih ulomkov \\ (\\ frac (2) (7) \\) in \\ (\\ frac (3) (7) \\ ).

\\ (\\ frac (2) (5) + \\ frac (8) (9) \u003d \\ frac (2 \\ krat 9 + 8 \\ krat 5) (5 \\ krat 9) \u003d \\ frac (18 + 40) (45) \u003d \\ frac (58) (45) \\)

Ulomek \\ (\\ frac (58) (45) \\) je neustrezen ulomek, je vsota pravilnih ulomkov \\ (\\ frac (2) (5) \\) in \\ (\\ frac (8) (9) \\).

Odgovor: Odgovor na obe vprašanji je pritrdilen.

2. primer:
Dodajte ulomke: a) \\ (\\ frac (3) (11) + \\ frac (5) (11) \\) b) \\ (\\ frac (1) (3) + \\ frac (2) (9) \\).

a) \\ (\\ frac (3) (11) + \\ frac (5) (11) \u003d \\ frac (3 + 5) (11) \u003d \\ frac (8) (11) \\)

b) \\ (\\ frac (1) (3) + \\ frac (2) (9) \u003d \\ frac (1 \\ krat \\ barva (rdeča) (3)) (3 \\ krat \\ barva (rdeča) (3)) + \\ frac (2) (9) \u003d \\ frac (3) (9) + \\ frac (2) (9) \u003d \\ frac (5) (9) \\)

3. primer:
Zapisati mešani strel kot vsota naravnega števila in pravilnega ulomka: a) \\ (1 \\ frac (9) (47) \\) b) \\ (5 \\ frac (1) (3) \\)

a) \\ (1 \\ frac (9) (47) \u003d 1 + \\ frac (9) (47) \\)

b) \\ (5 \\ frac (1) (3) \u003d 5 + \\ frac (1) (3) \\)

Primer # 4:
Izračunaj vsoto: a) \\ (8 \\ frac (5) (7) + 2 \\ frac (1) (7) \\) b) \\ (2 \\ frac (9) (13) + \\ frac (2) (13 ) \\) c) \\ (7 \\ frac (2) (5) + 3 \\ frac (4) (15) \\)

a) \\ (8 \\ frac (5) (7) + 2 \\ frac (1) (7) \u003d (8 + 2) + (\\ frac (5) (7) + \\ frac (1) (7)) \u003d 10 + \\ frac (6) (7) \u003d 10 \\ frac (6) (7) \\)

b) \\ (2 \\ frac (9) (13) + \\ frac (2) (13) \u003d 2 + (\\ frac (9) (13) + \\ frac (2) (13)) \u003d 2 \\ frac (11 ) (trinajst) \\)

c) \\ (7 \\ frac (2) (5) + 3 \\ frac (4) (15) \u003d 7 \\ frac (2 \\ krat 3) (5 \\ krat 3) + 3 \\ frac (4) (15) \u003d 7 \\ frac (6) (15) + 3 \\ frac (4) (15) \u003d (7 + 3) + (\\ frac (6) (15) + \\ frac (4) (15)) \u003d 10 + \\ frac (10) (15) \u003d 10 \\ frac (10) (15) \u003d 10 \\ frac (2) (3) \\)

Naloga številka 1:
Za kosilo smo jedli \\ (\\ frac (8) (11) \\) iz torte, zvečer za večerjo pa \\ (\\ frac (3) (11) \\). Mislite, da je torta v celoti pojeta ali ne?

Sklep:
Imenovalec ulomka je 11, označuje, na koliko kosov je torta razdeljena. Pri kosilu smo pojedli 8 kosov torte od 11. Pri večerji smo pojedli 3 kose torte od 11. Dodajte 8 + 3 \u003d 11, pojedli koščke torte od 11, torej celo torto.

\\ (\\ frac (8) (11) + \\ frac (3) (11) \u003d \\ frac (11) (11) \u003d 1 \\)

Odgovor: pojedli so celo torto.

Študijo vprašanja odštevanja ulomkov z različnimi imenovalci najdemo v šolski predmet Algebra v osmem razredu in včasih otrokom oteži razumevanje. Če želite odštevati ulomke z različnimi imenovalci, uporabite naslednjo formulo:

Postopek odštevanja ulomkov je podoben seštevanju, saj popolnoma kopira načelo delovanja.

Najprej izračunamo največ majhno število, ki je večkratnik enega in drugega imenovalca.

Drugič, števec in imenovalec vsakega ulomka pomnožimo z določenim številom, kar nam bo omogočilo, da imenovalec zmanjšamo na dani najmanjši skupni imenovalec.

Tretjič, postopek samega odštevanja poteka, ko je posledično imenovalec podvojen in števec drugega ulomka odštet od prvega.

Primer: 8/3 2/4 \u003d 8/3 1/2 \u003d 16/6 3/6 \u003d 13/6 \u003d 2 celi 1/6

Najprej jih je treba pripeljati do istega imenovalca, nato pa jih odšteti. Na primer 1/2 - 1/4 \u003d 2/4 - 1/4 \u003d 1/4. Ali pa težje, 1/3 - 1/5 \u003d 5/15 - 3/15 \u003d 2/15. Pojasnite, kako se ulomki zmanjšajo na skupni imenovalec?

Za operacije, kot sta seštevanje ali odštevanje navadne frakcije pri različnih imenovalcih velja preprosto pravilo - imenovalci teh ulomkov se zmanjšajo na eno število, samo dejanje pa se izvede s števili v števcu. To pomeni, da ulomki dobijo skupni imenovalec in se zdi, da so združeni v enega. Iskanje skupnega imenovalca za poljubni ulomki ponavadi se zmanjša na preprosto množenje vsakega ulomka z imenovalcem drugega ulomka. Toda v enostavnejših primerih lahko takoj najdete dejavnike, ki bodo imenovalce ulomkov pripeljali do istega števila.

Primer odštevanja ulomkov: 2/3 - 1/7 \u003d 2 * 7/3 * 7 - 1 * 3/7 * 3 \u003d 14/21 - 3/21 \u003d (14-3) / 21 \u003d 11/21

Mnogi odrasli so že pozabili kako odšteti ulomke z različnimi imenovalci, vendar to dejanje pripada osnovni matematiki.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci, jih morate pripeljati do skupnega imenovalca, to je najti najmanjši skupni večkratnik imenovalcev, nato pa števce pomnožiti z dodatnimi faktorji, enakimi razmerju med najmanjšim skupnim večkratnikom in imenovalcem.

Znaki ulomkov so ohranjeni. Ko imajo ulomki enake imenovalce, lahko odštejete in nato, če je mogoče, ulomek zmanjšate.

Elena, odločila si se ponoviti šolski tečaj matematika?)))

Če želite odštevati ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej pripeljati do istega imenovalca in nato odšteti. Najlažja možnost: števec in imenovalec prvega ulomka pomnožite z imenovalcem drugega ulomka, števec in imenovalec drugega ulomka pa pomnožite z imenovalcem prvega ulomka. Prejeli smo dve ulomki z enakimi imenovalci. Zdaj od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in imajo enak imenovalec.

Na primer, tri petine odštejemo dve sedmini, je enako enaindvajsetim petintridesetim odštejemo deset petintrideset in to je enajst petintrideset.

Če so imenovalci veliki, potem lahko najdete njihov najmanj skupni večkratnik, tj. število, ki bo deljivo z enim ali drugim imenovalcem. In privedite oba ulomka na skupni imenovalec (najmanj skupni večkratnik)

Kako odštevati ulomke z različnimi imenovalci je zelo preprosta naloga - ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca in nato v števcu odštejemo.

Mnogi ljudje se soočajo s težavami, ko so poleg teh ulomkov celo število, zato sem želel pokazati, kako to storiti, z naslednjim primerom:

odštevanje ulomkov s celoštevilskim delom in z različnimi imenovalci

najprej odštejemo cele dele 8-5 \u003d 3 (trije ostanejo blizu prve frakcije);

ulomke pripeljemo na skupni imenovalec 6 (če je števec prvega ulomka večji od drugega, ga odštejemo in zapišemo blizu celotnega dela, v našem primeru gremo naprej);

celoten del 3 je razdeljen na 2 in 1;

1 je zapisan kot ulomek 6/6;

6/6 + 3 / 6-4 / 6 pišemo pod skupni imenovalec 6 in dejanja izvajamo v števcu;

zapišite najden rezultat 2 5/6.

Pomembno je vedeti, da se odštevanje ulomkov izvaja, kadar imajo enak imenovalec. Torej, ko imamo v razliki ulomke z različnimi imenovalci, jih je preprosto treba spraviti do skupnega imenovalca, kar pa ni težko narediti. Vsak ulomek moramo le razdeliti na faktorje in izračunati najmanjši skupni večkratnik, ki ne sme biti nič. Ne pozabite tudi števcev pomnožiti s posledičnimi dodatnimi faktorji, ampak tukaj je primer za udobje:



Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, morate najprej najti skupni imenovalec za ta dva ulomka. In nato od števca prvega ulomka odštej drugega. Izkaže se nov ulomek z novo vrednostjo.

Kolikor se spominjam iz tečaja matematike v 3. razredu, je treba za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci najprej izračunati skupni imenovalec in ga zmanjšati nanj, nato pa se števci preprosto odštejejo in imenovalec ostaja ta skupni .

Če želimo odštevati ulomke z različnimi imenovalci, moramo najprej najti najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov.

Vzemimo primer:



Večje število 25 razdelite na manjše število 20. Ni deljivo. Tako pomnožimo imenovalec 25 s takim številom, tako dobljenim zneskom, da ga lahko delimo z 20. To število bo 4. 25x4 \u003d 100. 100: 20 \u003d 5. Tako smo našli najnižji skupni imenovalec - 100.

Zdaj moramo poiskati dodaten faktor za vsak ulomek. V ta namen novi imenovalec delimo s starim.

Pomnožite 9 s 4 \u003d 36. 7 pomnožite s 5 \u003d 35.

Ob skupnem imenovalcu odštejemo, kot je prikazano v primeru, in dobimo rezultat.

Dodajanje ulomkov z istim imenovalcem

Obstajata dve vrsti dodajanja frakcij:

1. Dodajanje ulomkov z istim imenovalcem
2. Dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej preučimo dodajanje ulomkov z enakimi imenovalci. Tu je vse preprosto. Če želite dodati ulomke z istim imenovalcem, dodajte njihove števce in pustite imenovalec nespremenjen. Na primer, dodajte ulomke in. Dodajte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če pici dodate pice, dobite pice:

2. primer Dodajte ulomke in.

Odgovor je napačen ulomek. Če se težava konča, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti napačnega ulomka, morate v njem izbrati celoten del. V našem primeru cel del zlahka izstopa - dva, deljena z dva, je enaka ena:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate pico, dobite eno celo pico:

3. primer... Dodajte ulomke in.

Še enkrat seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

4. primer Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na enak način kot prejšnji. Dodajte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Poskusimo svojo rešitev prikazati s pomočjo slike. Če pici dodate pice in pici dodate pice, dobite 1 celo in več pico.

Kot lahko vidite, ni nič težkega pri dodajanju ulomkov z enakimi imenovalci. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z istim imenovalcem, dodajte njihove števce in pustite imenovalec nespremenjen;

Dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo dodajati ulomke z različnimi imenovalci. Ko seštevamo ulomke, morajo biti imenovalci teh ulomkov enaki. Niso pa vedno enaki.

Na primer, lahko dodate in ulomke, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče sešteti takoj, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zmanjšati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov, kako frakcije uvrstiti v isti imenovalec. Danes bomo obravnavali le enega izmed njih, saj se ostale metode za začetnike morda zdijo težke.

Bistvo te metode je, da se najprej išče (LCM) imenovalcev obeh frakcij. Nato LCM delimo z imenovalcem prve frakcije in dobimo prvi dodatni faktor. Naredite enako z drugo frakcijo - LCM se deli z imenovalcem druge frakcije in dobi se drugi dodatni faktor.

Nato se števci in imenovalci ulomkov pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh dejanj se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne frakcije že znamo dodati.

Primer 1... Dodajte ulomke in

Najprej najdemo najmanj skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je 3, imenovalec drugega ulomka pa 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) \u003d 6

Zdaj se vrnemo k ulomkom in. Najprej LCM razdelimo na imenovalec prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. Če delimo 6 s 3, dobimo 2.

Nastalo število 2 je prvi dodatni faktor. Zapišemo v prvi ulomek. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto nad ulomkom in nad njo zapišite dodatni faktor:

Enako naredimo z drugo frakcijo. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. Če delimo 6 z 2, dobimo 3.

Nastalo število 3 je drugi dodatni faktor. Zapišemo v drugi ulomek. Spet narišemo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in nad njo zapišemo dodatni faktor:

Zdaj smo pripravljeni za dodajanje. Številke in imenovalce ulomkov je treba pomnožiti z dodatnimi faktorji:

Poglejte natančno, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne frakcije že znamo dodati. Zaključimo ta primer do konca:

Tako se primer konča. Izkazalo se je, da dodam.

Poskusimo svojo rešitev prikazati s pomočjo slike. Če pici dodate pice, dobite eno celo pico in drugo šesto pico:

Zmanjšanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko tudi upodobimo s pomočjo slike. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in. Ti dve frakciji bosta predstavljeni z enakimi rezinami pice. Razlika je le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec).

Na prvi sliki je delček (štirje od šestih kosov), na drugi pa delček (trije od šestih kosov). Z dodajanjem teh kosov dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je napačen, zato smo v njem izbrali celoten del. Rezultat je bil (ena cela pica in druga šesta pica).

Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. IN izobraževalne ustanove ni običajno pisati tako obširno. Hitro najti morate LCM obeh imenovalcev in dodatnih dejavnikov k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s svojimi števci in imenovalci. Med šolanjem bi morali ta primer napisati takole:

Vendar obstaja tudi zadnja stran medalje. Če na prvih stopnjah študija matematike ne naredite podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati takšna vprašanja »Od kod ta številka?« »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v popolnoma druge ulomke? «.

Za lažje dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelimo na imenovalec vsake frakcije in dobimo dodaten faktor za vsako frakcijo;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji;
4. Dodajte ulomke, ki imajo enak imenovalec;
5. Če je odgovor napačen ulomek, izberite njegov celoten del;

2. primer Poiščite vrednost izraza .

Uporabljajmo zgornja navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalci ulomkov so števila 2, 3 in 4.

Korak 2. LCM razdelimo na imenovalec vsake frakcije in dobimo dodaten faktor za vsako frakcijo

LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec prvega ulomka pa je številka 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobimo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj delimo LCM z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Razdelimo 12 s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugi ulomek:

Zdaj delimo LCM z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je 12, imenovalec tretjega ulomka pa 4. Delimo 12 s 4, dobimo 3. Tretji dodatni faktor 3. Zapišemo v tretji ulomek:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z našimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Te frakcije je treba še dodati. Dodamo:

Dodatek ni ustrezal eni vrstici, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Če izraz ne ustreza eni vrstici, se prenese v naslednjo vrstico in na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice morate vedno postaviti znak enačbe (\u003d). Znak enačbe v drugi vrstici pomeni, da gre za nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, izberite celoten del v njem

V našem odgovoru smo dobili napačen ulomek. Iz njega moramo izbrati celoten del. Označite:

Prejel odgovor

Odštevanje ulomkov z istim imenovalcem

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z istim imenovalcem
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej preučimo odštevanje ulomkov z istim imenovalcem. Tu je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega ulomka, imenovalec pa pustiti enakega.

Najdimo na primer vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, od števca prvega ulomka odštejte števec drugega ulomka in imenovalec pustite nespremenjenega. Naredimo to:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če izrežete pice iz pice, dobite pice:

2. primer Poiščite vrednost izraza.

Še enkrat odštejemo števec drugega ulomka od števca prvega ulomka, imenovalec pa ostane nespremenjen:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če izrežete pice iz pice, dobite pice:

3. primer Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič težko. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, od števca prvega ulomka odštejte števca drugega ulomka in imenovalec pustite nespremenjenega;
2. Če je odgovor napačen ulomek, morate v njem izbrati celoten del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, saj imajo ti ulomki enak imenovalec. Toda od ulomka ne morete odšteti ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zmanjšati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabljali pri dodajanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki ga zapišemo nad prvim ulomkom. Podobno se LCM deli z imenovalcem druge frakcije in dobi se drugi dodatni faktor, ki se zapiše nad drugo frakcijo.

Ulomke nato pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se frakcije z različnimi imenovalci pretvorijo v frakcije z enakimi imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate pripeljati do istega (skupnega) imenovalca.

Najprej najdemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je 3, imenovalec drugega ulomka pa 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) \u003d 12

Zdaj pa k ulomkom in

Poiščimo dodaten faktor za prvi ulomek. Za to LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec prvega ulomka pa je številka 3. Če delimo 12 s 3, dobimo 4. Nad prvo frakcijo zapišemo štiri:

Enako naredimo z drugo frakcijo. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. Če delimo 12 s 4, dobimo 3. Trije zapišemo čez drugi ulomek:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Še vedno je treba ulomke pomnožiti z vašimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti. Zaključimo ta primer do konca:

Prejel odgovor

Poskusimo svojo rešitev prikazati s pomočjo slike. Če režete pice iz pice, dobite pico

To je podrobna različica rešitve. V šoli bi morali ta primer rešiti na krajši način. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjšanje ulomkov in na skupni imenovalec je mogoče prikazati tudi s pomočjo slike. Če te frakcije pripeljemo do skupnega imenovalca, dobimo frakcije in. Te frakcije bodo predstavljale iste rezine pice, tokrat pa bodo razdeljene na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Prva risba prikazuje frakcijo (osem od dvanajstih kosov), druga risba pa frakcijo (tri od dvanajstih kosov). Če odrežemo tri kose iz osmih kosov, dobimo pet kosov od dvanajstih. Ulomek in opisuje teh pet kosov.

2. primer Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej pripeljati do istega (skupnega) imenovalca.

Poiščite LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalci ulomkov so 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM (10, 3, 5) \u003d 30

Zdaj najdemo dodatne dejavnike za vsak ulomek. Za to delimo LCM z imenovalcem vsake frakcije.

Poiščimo dodaten faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če delimo 30 z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodaten faktor za drugi ulomek. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če delimo 30 s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugi ulomek:

Zdaj najdemo dodaten faktor za tretji ulomek. LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. Če delimo 30 s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretji ulomek:

Vse je zdaj pripravljeno za odštevanje. Še vedno je treba ulomke pomnožiti z vašimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti. Zaključimo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo ustrezalo eni vrstici, zato nadaljevanje prenesemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačbo (\u003d) v novi vrstici:

Odgovor se je izkazal za pravi ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi si olajšati. Kaj je mogoče storiti? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite ulomek zmanjšati, morate njegov števec in imenovalec deliti s številkama 20 in 30 (GCD).

Tako najdemo GCD številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in števec in imenovalec ulomka delimo z najdenim GCD, to je z 10

Prejel odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec tega ulomka pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti enakega.

Primer 1... Pomnoži ulomek z 1.

Števec ulomka pomnoži z 1

Snemanje lahko razumemo kot polkratno. Če na primer enkrat vzamete pice, jih dobite

Iz zakonov množenja vemo, da če se množitelj in množitelj zamenjata, se izdelek ne bo spremenil. Če je izraz zapisan kot, bo izdelek še vedno enak. Ponovno deluje pravilo za množenje celotnega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot zavzemanje polovice enega. Če je na primer 1 cela pica in jo vzamemo polovico, bomo imeli pico:

2. primer... Poiščite vrednost izraza

Števec ulomka pomnoži s 4

Odgovor je napačen ulomek. Izberimo celoten del v njem:

Izraz lahko razumemo tako, da traja dve četrtini 4-krat. Če na primer pice vzamete 4-krat, dobite dve celi pici.

In če množitelj in množitelj na mestih zamenjamo, dobimo izraz. Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot jemanje dveh pic iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, morate v njem izbrati celoten del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Zaželeno je skrajšati to frakcijo. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna odločitev v naslednji obliki:

Izraz lahko razumemo kot jemanje pice iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako dobiti dve tretjini te polovice? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva iz teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Ne pozabite, kako izgleda pica, če je razdeljena na tri dele:

Ena rezina te pice in dve rezini, ki smo jih vzeli, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, prihaja približno enake velikosti pice. Zato je vrednost izraza

2. primer... Poiščite vrednost izraza

Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, imenovalec prvega ulomka pa z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je napačen ulomek. Izberimo celoten del v njem:

3. primer Poiščite vrednost izraza

Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, imenovalec prvega ulomka pa z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je pravi ulomek, vendar bo dobro, če ga zmanjšate. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka razdeliti na največji skupni delitelj (Gcd) številki 105 in 450.

Poiščimo torej GCD številk 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora na GCD, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev ulomka celega števila

Vsako celo število lahko predstavimo kot ulomek. Številko 5 lahko na primer predstavimo kot. Iz tega pet ne bo spremenil svoje vrednosti, saj izraz pomeni "število pet, deljeno z enim", in to je, kot veste, enako pet:

Obrnjene številke

Zdaj bomo spoznali zelo zanimiva tema iz matematike. Imenuje se "zadnje številke".

Definicija. Inverzna številkaa je število, ki se pomnoži za daje enega.

Nadomestimo v tej definiciji namesto spremenljivke a številka 5 in poskusite prebrati definicijo:

Inverzna številka 5 je število, ki se pomnoži z 5 daje enega.

Ali lahko najdete število, ki ga pomnožimo s 5 in ga dobimo? Izkazalo se je, da lahko. Predstavljajmo pet kot ulomek:

Nato ta uložek pomnožite sam, samo zamenjajte mesti števca in imenovalca. Z drugimi besedami, ulomek pomnožimo samo, samo obrnjeno:

Kakšen bo rezultat tega? Če še naprej rešujemo ta primer, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzna številka 5 številka, saj se 5 pomnoži z eno.

Vzajemno vrednost je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Vzajemno vrednost lahko najdete tudi za kateri koli drug ulomek. Če želite to narediti, ga preprosto obrnite.

Delitev ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Delite ga enako na dva dela. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da sta po razdelitvi polovice pice dve enaki rezini, od katerih vsaka sestavlja pico. Tako vsi dobijo pico.

Delitev ulomkov se izvede z uporabo vzajemnih števil. Inverzna števila omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite ulomek deliti s številom, morate ta ulomek pomnožiti z vzajemno vrednostjo delitelja.

S tem pravilom bomo zapisali delitev naše polovice pice na dva dela.

Torej morate ulomek deliti s številko 2. Tu je deljivo ulomek, delitelj pa je število 2.

Če želite ulomek deliti z 2, morate ta uložek pomnožiti z vzajemno vrednostjo delitelja 2. Vzajemna vrednost 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti z

Ta lekcija bo zajemala seštevanje in odštevanje. algebrski ulomki z različnimi imenovalci. Znamo že seštevati in odštevati navadne ulomke z različnimi imenovalci. Če želite to narediti, je treba ulomke zmanjšati na skupni imenovalec. Izkazalo se je, da algebrski ulomki upoštevajo ista pravila. Hkrati že vemo, kako spraviti algebrske ulomke v skupni imenovalec. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je ena najpomembnejših in najtežjih tem v tečaju 8. razreda. Kamor ta naslov bo prikazan v številnih temah tečaja algebre, ki jih boste študirali v prihodnosti. V okviru lekcije bomo preučili pravila seštevanja in odštevanja algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci ter analizirali številne tipične primere.

Poglejmo si najpreprostejši primer za navadne ulomke.

Primer 1.Dodajte ulomke :.

Sklep:

Spomnimo se pravila za dodajanje ulomkov. Za začetek je treba ulomke spraviti v skupni imenovalec. Skupni imenovalec navadnih ulomkov je najmanj skupni večkratnik (LCM) začetni imenovalci.

Definicija

Vsaj naravno število, ki je hkrati deljivo s števili in.

Da bi našli LCM, je treba imenovalce razširiti na glavni dejavniki, nato pa izberite vse glavne dejavnike, ki so vključeni v razširitev obeh imenovalcev.

; ... Nato mora LCM številk vključevati dve dvojki in dve trojki :.

Po iskanju skupnega imenovalca je treba poiskati dodaten faktor za vsak ulomek (v resnici skupni imenovalec delimo z imenovalcem ustreznega ulomka).

Nato se vsaka frakcija pomnoži z nastalim dodatnim faktorjem. Dobimo ulomke z enakimi imenovalci, ki smo se jih naučili dodajati in odštevati v prejšnjih lekcijah.

Dobimo: .

Odgovor:.

Razmislite zdaj o dodajanju algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej razmislite o ulomkih, katerih imenovalci so številke.

2. primerDodajte ulomke :.

Sklep:

Algoritem rešitve je popolnoma podoben prejšnjemu primeru. Za te ulomke je enostavno najti skupni imenovalec in dodatne dejavnike za vsakega od njih.

.

Odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci:

1. Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov.

2. Poiščite dodatne faktorje za vsak ulomek (tako, da skupni imenovalec delite z imenovalcem danega ulomka).

3. Pomnožite števce z ustreznimi dodatnimi faktorji.

4. Seštevanje ali odštevanje ulomkov z uporabo pravil za seštevanje in odštevanje ulomkov z istim imenovalcem.

Poglejmo zdaj primer z ulomki, v imenovalcu katerih obstajajo črkovni izrazi.

3. primerDodajte ulomke :.

Sklep:

Ker sta dobesedna izraza v obeh imenovalcih enaka, bi morali najti skupni imenovalec števil. Končni skupni imenovalec bo :. Tako je rešitev tega primera videti tako:

Odgovor:.

4. primerOdštej ulomke :.

Sklep:

Če pri izbiri skupnega imenovalca ne morete "goljufati" (ne morete ga razčleniti ali uporabiti skrajšanih formul za množenje), potem morate za skupni imenovalec vzeti zmnožek obeh ulomkov.

Odgovor:.

Na splošno pri odločanju podobni primeri, najtežja naloga je najti skupni imenovalec.

Oglejmo si bolj zapleten primer.

5. primer.Poenostavite :.

Sklep:

Pri iskanju skupnega imenovalca morate najprej poskusiti izločiti imenovalce prvotnih ulomkov (za poenostavitev skupnega imenovalca).

V tem primeru:

Potem je enostavno določiti skupni imenovalec: .

Določimo dodatne dejavnike in rešimo ta primer:

Odgovor:.

Zdaj pa popravimo pravila za dodajanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer 6.Poenostavite :.

Sklep:

Odgovor:.

7. primerPoenostavite :.

Sklep:

.

Odgovor:.

Poglejmo si zdaj primer, v katerem se dodajo ne dva, ampak tri ulomke (navsezadnje pravila seštevanja in odštevanja za več frakcije ostanejo enake).

Primer 8.Poenostavite :.

Pravila za dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci so zelo preprosta.

Upoštevajte pravila za dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci v korakih:

1. Poiščite LCM (najmanj skupni večkratnik) imenovalcev. Nastali LCM bo skupni imenovalec ulomkov;

2. Drobke pripelji do skupnega imenovalca;

3. Drobljene frakcije dodajte skupnemu imenovalcu.

Vklopljeno preprost primer naučili se bomo, kako uporabiti pravila za dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer

Primer dodajanja ulomkov z različnimi imenovalci.

Dodajte ulomke z različnimi imenovalci:

Odločali se bomo po korakih.

1. Poiščite LCM (najmanj skupni večkratnik) imenovalcev.

Število 12 je deljivo s 6.

Iz tega sklepamo, da je 12 najmanjši skupni večkratnik 6 in 12.

Odgovor: številki 6 in 12 sta 12:

LCM (6, 12) \u003d 12

Nastali LCM bo skupni imenovalec dveh ulomkov 1/6 in 5/12.

2. Drobke pripelji do skupnega imenovalca.

V našem primeru je treba le prvi ulomek zmanjšati na skupni imenovalec 12, ker ima drugi ulomek že enak 12.

Skupni imenovalec 12 delimo z imenovalcem prvega ulomka:

2 ima dodaten multiplikator.

Števec in imenovalec prvega ulomka (1/6) pomnožimo z dodatnim faktorjem 2.