Zmanjšanje ulomkov je potrebno, da se ulomek spravi v enostavnejšo obliko, na primer v odgovoru, dobljenem kot rezultat reševanja izraza.

Zmanjšanje ulomkov, definicija in formula.

Kaj je zmanjšanje frakcije? Kaj pomeni zmanjšati ulomek?

Opredelitev:
Zmanjšanje frakcije- to je deljenje števca in imenovalca ulomkov z istim pozitivnim številom, ki ni enako nič in ena. Kot rezultat redukcije dobimo ulomek z manjšim števcem in imenovalcem, ki je enak prejšnjemu ulomku po.

Formula za zmanjšanje frakcij glavna lastnina racionalna števila.

\(\frac(p \krat n)(q \krat n)=\frac(p)(q)\)

Razmislite o primeru:
Zmanjšaj ulomek \(\frac(9)(15)\)

rešitev:
Ulomek lahko razgradimo na primarni dejavniki in zmanjšati skupne dejavnike.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(rdeča) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \krat 1=\frac(3)(5)\)

Odgovor: po redukciji smo dobili ulomek \(\frac(3)(5)\). Glede na glavno lastnost racionalnih števil sta začetni in končni ulomek enaki.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kako zmanjšati ulomke? Redukcija ulomka v nereducibilno obliko.

Da bi kot rezultat dobili nezmanjšljiv ulomek, potrebujemo poiščite največjega skupni delilec(GCD) za števec in imenovalec ulomka.

Obstaja več načinov za iskanje GCD, v primeru bomo uporabili razgradnjo števil na prafaktorje.

Dobite nezmanjšljiv ulomek \(\frac(48)(136)\).

rešitev:
Poiščite GCD(48, 136). Zapišimo številki 48 in 136 v prafaktorje.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\barva(rdeča) (2 \krat 2 \krat 2) \krat 2 \krat 3)(\barva(rdeča) (2 \krat 2 \krat 2) \times 17)=\frac(\color(rdeča) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Pravilo za zmanjševanje ulomka v nezvodljivo obliko.

1. Poiščite največji skupni delilec za števec in imenovalec.
2. Števec in imenovalec morate kot rezultat delitve deliti z največjim skupnim deliteljem, da dobite nezmanjšljiv ulomek.

Primer:
Zmanjšaj ulomek \(\frac(152)(168)\).

rešitev:
Poiščite GCD(152, 168). Zapišimo številki 152 in 168 v prafaktorje.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(rdeča) (6) \times 19)(\color(rdeča) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Odgovor: \(\frac(19)(21)\) je nezmanjšljiv ulomek.

Okrajšava nepravilnega ulomka.

Kako zmanjšati nepravilni ulomek?
Pravila za zmanjševanje ulomkov za pravilne in nepravilne ulomke so enaka.

Razmislite o primeru:
Zmanjšaj nepravilni ulomek \(\frac(44)(32)\).

rešitev:
Zapišimo števec in imenovalec v prafaktorje. In potem zmanjšamo skupne dejavnike.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(rdeča) (2 \krat 2) \krat 11)(\barva(rdeča) (2 \krat 2) \krat 2 \krat 2 \krat 2 )=\frac(11)(2 \krat 2 \krat 2)=\frac(11)(8)\)

Zmanjšanje mešanih frakcij.

Mešane frakcije sledijo enakim pravilom kot navadne frakcije. Edina razlika je v tem, da zmoremo ne dotikajte se celotnega dela, ampak zmanjšajte delni del oz Pretvorite mešani ulomek v nepravilen ulomek, zmanjšajte in pretvorite nazaj v pravilen ulomek.

Razmislite o primeru:
Zmanjšajte mešani ulomek \(2\frac(30)(45)\).

rešitev:
Rešimo ga na dva načina:
Prvi način:
Ulomni del bomo zapisali v prafaktorje, celega dela pa se ne bomo dotaknili.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Drugi način:
Najprej prevedemo v nepravilni ulomek, nato pa ga zapišemo v prafaktorje in zmanjšamo. Nastali nepravilni ulomek pretvorite v pravilnega.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \krat 2 \krat 2)(3 \krat \color(rdeča) (3 \krat 5))=\frac(2 \krat 2 \krat 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Povezana vprašanja:
Ali je mogoče zmanjšati ulomke pri seštevanju ali odštevanju?
Odgovor: ne, najprej morate dodati ali odšteti ulomke v skladu s pravili in šele nato zmanjšati. Razmislite o primeru:

Ocenite izraz \(\frac(50+20-10)(20)\) .

rešitev:
Pogosto naredijo napako, da zmanjšajo enaka števila v števcu in imenovalcu v našem primeru, številki 20, vendar jih ni mogoče zmanjšati, dokler ne izvedete seštevanja in odštevanja.

\(\frac(50+\color(rdeča) (20)-10)(\color(rdeča) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Za katero število lahko zmanjšate ulomek?
Odgovor: Ulomek lahko zmanjšate za največji skupni delitelj ali običajni delilec števca in imenovalca. Na primer, ulomek \(\frac(100)(150)\).

Zapišimo številki 100 in 150 v prafaktorje.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Največji skupni delilec bo število gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \krat 50)(3 \krat 50)=\frac(2)(3)\)

Dobili smo neredčljivi ulomek \(\frac(2)(3)\).

Vendar ni treba vedno deliti z GCD, nezmanjšljiv ulomek ni vedno potreben, ulomek lahko zmanjšate s preprostim deliteljem števca in imenovalca. Število 100 in 150 imata na primer skupni delilec 2. Zmanjšajmo ulomek \(\frac(100)(150)\) za 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \krat 50)(2 \krat 75)=\frac(50)(75)\)

Dobili smo zmanjšan ulomek \(\frac(50)(75)\).

Katere ulomke je mogoče zmanjšati?
Odgovor: Zmanjšate lahko ulomke, pri katerih imata števec in imenovalec skupni delilec. Na primer, ulomek \(\frac(4)(8)\). Število 4 in 8 imata število, s katerim sta obe deljivi s tem številom 2. Zato lahko tak ulomek zmanjšamo za število 2.

Primer:
Primerjaj dva ulomka \(\frac(2)(3)\) in \(\frac(8)(12)\).

Ta dva ulomka sta enaka. Podrobno razmislite o ulomku \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \krat 1=\frac(2)(3)\)

Od tu dobimo, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dva ulomka sta enaka, če in samo, če enega od njiju dobimo tako, da drugi ulomek zmanjšamo s skupnim faktorjem števca in imenovalca.

Primer:
Če je mogoče, zmanjšaj naslednje ulomke: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

rešitev:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \krat 3 \krat 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(rdeča) (3 \krat 3) \krat 3)(\barva(rdeča) (3 \krat 3) \krat 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) nezmanjšljiv ulomek
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\barva(rdeča) (2 \krat 5 \krat 5) \krat 2)(\barva(rdeča) (2 \krat 5 \krat 5) \ krat 5)=\frac(2)(5)\)

Ne da bi vedeli, kako zmanjšati ulomek in imeli stalno spretnost pri reševanju podobni primeri V šoli je zelo težko študirati algebro. Čim dlje, tem bolj se nanaša na osnovno znanje o redukciji navadnih ulomkov nove informacije. Najprej so stopnje, nato faktorji, ki kasneje postanejo polinomi.

Kako se tukaj ne zmotiti? Temeljito utrdite veščine v prejšnjih temah in se postopoma pripravite na znanje, kako zmanjšati ulomek, ki je iz leta v leto bolj zapleten.

Osnovno znanje

Brez njih se ne bo mogoče spopasti z nalogami katere koli ravni. Če želite razumeti, morate razumeti dvoje preprosti trenutki. Prvič, lahko samo zmanjšate množitelje. Ta odtenek se izkaže za zelo pomemben, ko se v števcu ali imenovalcu pojavijo polinomi. Nato morate jasno razlikovati, kje je množitelj in kje je izraz.

Druga točka pravi, da je vsako število mogoče predstaviti kot faktorje. Poleg tega je rezultat zmanjšanja tak ulomek, katerega števca in imenovalca ni več mogoče zmanjšati.

Pravila za zmanjševanje navadnih ulomkov

Najprej je treba preveriti, ali je števec deljiv z imenovalcem ali obratno. Potem morate za to številko zmanjšati. To je najlažja možnost.

Druga je analiza videzštevilke. Če se oba končata z eno ali več ničlami, jih je mogoče zmanjšati za 10, 100 ali tisoč. Tukaj lahko vidite, ali so številke sode. Če je tako, potem lahko varno zmanjšate za dva.

Tretje pravilo, kako zmanjšati ulomek, je razgradnja števca in imenovalca na prafaktorje. V tem času morate aktivno uporabljati vse znanje o znakih deljivosti številk. Po takšni razgradnji ostane le najti vse ponavljajoče se, jih pomnožiti in zmanjšati za nastalo število.

Kaj pa, če ulomek vsebuje algebraični izraz?

Tu se pojavijo prve težave. Ker se tukaj pojavljajo izrazi, ki so lahko identični dejavnikom. Res bi jih rad posekal, a ne morem. Preden lahko algebraični ulomek zmanjšamo, ga je treba pretvoriti tako, da ima faktorje.

To bo zahtevalo več korakov. Morda boste morali iti skozi vse ali pa bo prvi ponudil ustrezno možnost.

Preverite, ali se števec in imenovalec ali kateri koli izraz v njih razlikujeta po predznaku. V tem primeru morate samo odstraniti oklepaje minus ena. To povzroči enake množitelje, ki jih je mogoče zmanjšati.

Preverite, ali je skupni faktor mogoče zakleniti iz polinoma. Morda se bo to izkazalo za oklepaj, ki ga je mogoče tudi zmanjšati, ali pa bo šlo za odstranjeni monom.

Poskusite izvesti združevanje monomov, da bi nato iz njih izločili skupni faktor. Po tem se lahko izkaže, da se bodo pojavili dejavniki, ki jih je mogoče zmanjšati ali spet oklepati skupne elemente.

Poskusite pisno razmisliti o formuli skrajšanega množenja. Z njihovo pomočjo bo polinom enostavno pretvoriti v faktorje.

Zaporedje dejanj z ulomki s potenci

Da bi zlahka razumeli vprašanje, kako zmanjšati ulomek s stopinjami, se je treba trdno spomniti osnovnih dejanj z njimi. Prva od njih je povezana z množenjem moči. V tem primeru, če so osnove enake, je treba dodati kazalnike.

Druga je delitev. Ponovno, za tiste, ki imajo enako bazo, bo treba kazalnike odšteti. Poleg tega morate od števila, ki je v dividendi, odšteti in ne obratno.

Tretja je eksponentacija. V tem primeru se kazalniki pomnožijo.

Uspešno zmanjšanje bo zahtevalo tudi sposobnost približevanja stopenj na iste baze. To pomeni, da vidimo, da je štiri dva na kvadrat. Ali 27 je kocka treh. Ker je rezanje 9 na kvadrat in 3 na kocke težko. Če pa prvi izraz preoblikujemo kot (3 2) 2 , potem bo redukcija uspela.

Spletni kalkulator deluje redukcija algebričnih ulomkov v skladu s pravilom zmanjševanja ulomkov: zamenjava prvotnega ulomka z enakim ulomkom, vendar z manjšim števcem in imenovalcem, t.j. hkratna delitev števca in imenovalca ulomka z njunim skupnim največjim skupnim delilnikom (GCD). Kalkulator prikaže tudi podrobno rešitev, ki vam bo pomagala razumeti zaporedje zmanjšanja.

dano:

rešitev:

Izvajanje zmanjševanja ulomkov

preverjanje možnosti izvedbe redukcije algebraičnega ulomka

1) Določanje največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca ulomka

določitev največjega skupnega delitelja (gcd) števca in imenovalca algebraičnega ulomka

2) Zmanjšanje števca in imenovalca ulomka

zmanjšanje števca in imenovalca algebraičnega ulomka

3) Izbira celega dela ulomka

ekstrahiranje celega dela algebraičnega ulomka

4) Pretvorba algebraičnega ulomka v decimalni ulomek

pretvorba algebraičnega ulomka v decimalka

Pomoč pri razvoju projekta spletnega mesta

Spoštovani obiskovalec strani.
Če niste našli tistega, kar ste iskali - vsekakor napišite o tem v komentarjih, kaj spletno mesto zdaj manjka. To nam bo pomagalo razumeti, v katero smer se moramo premakniti naprej, drugi obiskovalci pa bodo kmalu lahko dobili potrebno gradivo.
Če se vam je spletno mesto izkazalo za uporabno, podarite spletno mesto projektu samo 2 ₽ in vedeli bomo, da se premikamo v pravo smer.

Hvala, ker nisi šel mimo!

I. Postopek za zmanjševanje algebrskega ulomka s spletnim kalkulatorjem:

1. Če želite zmanjšati algebraični ulomek, v ustrezna polja vnesite vrednosti števca in imenovalca ulomka. Če je ulomek mešan, izpolnite tudi polje, ki ustreza celemu delu ulomka. Če je ulomek preprost, pustite polje celega dela prazno.
2. Če želite določiti negativni ulomek, v celi del ulomka vstavite znak minus.
3. Glede na dani algebraični ulomek se samodejno izvede naslednje zaporedje dejanj:

• določanje največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca ulomka;
• zmanjšanje števca in imenovalca ulomka za gcd;
• ekstrahiranje celega dela ulomkače je števec končnega ulomka večji od imenovalca.
• pretvorba končnega algebraičnega ulomka v decimalni ulomek zaokroženo na stotinke.

II. Za referenco:

Ulomek je število, sestavljeno iz enega ali več delov (ulomkov) enote. Navadni ulomek(preprosti ulomek) je zapisan kot dve številki (števec ulomka in imenovalec ulomka), ločeni z vodoravno črto (dlomna črtica), ki označuje predznak deljenja. Števec ulomka je število nad črto ulomka. Števec kaže, koliko delov je bilo vzetih iz celote. Imenovalec ulomka je število pod ulomno črto. Imenovalec kaže na koliko enakih delov je razdeljena celota. Preprost ulomek je ulomek, ki nima celega dela. Preprost ulomek je lahko pravilen ali napačen. Pravi ulomek je ulomek, katerega števec manj kot imenovalec, zato je pravi ulomek vedno manjši od ena. Primer pravilnih ulomkov: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravilni ulomek je ulomek, katerega števec je večji ali enak imenovalcu, zato je nepravilen ulomek vedno večji ali enak ena. Primer nepravilnih ulomkov: 7/6, 8/7, 13/13. mešani ulomek - število, ki vključuje celo število in pravi ulomek ter označuje vsoto tega celega števila in pravilnega ulomka. Vsak mešani ulomek se lahko pretvori v nepravilen preprost ulomek. Primer mešane frakcije: 1¼, 2½, 4¾.

III. Opomba:

1. Blok izvornih podatkov je označen rumena , blok vmesnih izračunov je označen z modro, blok raztopine, označen z zeleno.
2. Za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje navadnih ali mešanih ulomkov uporabite spletni kalkulator ulomkov s podrobno rešitvijo.

Zadnjič smo naredili načrt, po katerem se lahko naučite, kako hitro zmanjšati ulomke. Zdaj razmislite konkretni primeri okrajšave ulomkov.

Primeri.

Preverimo, ali je večje število deljivo z manjšim (števec z imenovalcem ali imenovalec s števcem)? Da, v vseh treh primerih je večje število deljivo z manjšim. Tako vsak ulomek zmanjšamo za manjše število (za števec ali imenovalec). Imamo:

Preverite, ali je večje število deljivo z manjšim? Ne, ne deli se.

Nato nadaljujemo s preverjanjem naslednje točke: ali se zapis tako števca kot imenovalca konča z eno, dvema ali več ničlami? V prvem primeru se števec in imenovalec končata z ničlo, v drugem - z dvema ničlama, v tretjem - s tremi ničlami. Torej, prvi ulomek zmanjšamo za 10, drugi za 100 in tretji za 1000:

Pridobite nezmanjšljive ulomke.

Večjega števila ni deljivo z manjšim, zapis števil se ne konča z ničlami.

Zdaj preverimo, ali sta števec in imenovalec v istem stolpcu v tabeli množenja? 36 in 81 sta deljiva z 9, 28 in 63 - s 7, 32 in 40 - z 8 (deljiva sta tudi s 4, če pa je izbira, bomo vedno zmanjšali za več). Tako pridemo do odgovorov:

Vsa nastala števila so nezmanjšljivi ulomki.

Večjega števila ni deljivo z manjšim. Toda zapis tako števca kot imenovalca se konča na nič. Torej zmanjšamo ulomek za 10:

Ta delež je še vedno mogoče zmanjšati. Preverimo po tabeli množenja: tako 48 kot 72 se deli z 8. Ulomek zmanjšamo za 8:

Dobljeni ulomek lahko zmanjšamo tudi za 3:

Ta ulomek je nezmanjšljiv.

Večje število ni deljivo z manjšim. Zapis števca in imenovalca se konča z nič, torej ulomek zmanjšamo za 10.

Preverimo dobljene številke v števcu in imenovalcu za in . Ker je vsota števk tako 27 kot 531 deljiva s 3 in 9, lahko ta ulomek zmanjšamo tako za 3 kot za 9. Izberemo večjega in zmanjšamo za 9. Rezultat je nezmanjšljiv ulomek.

Na prvi pogled se zdijo algebraični ulomki zelo zapleteni in nepripravljen učenec lahko pomisli, da je z njimi nemogoče storiti ničesar. Kopičenje spremenljivk, številk in celo moči vzbuja strah. Vendar pa se za zmanjševanje ulomkov (na primer 15/25) in algebraičnih ulomkov uporabljajo ista pravila.

Koraki

Zmanjšanje frakcije

Naučite se delati s preprostimi ulomki. Operacije z navadnimi in algebrskimi ulomki so podobne. Na primer, vzemite ulomek 15/35. Da poenostavimo ta ulomek, poiščite skupni delilec. Obe številki sta deljivi s pet, zato lahko v števcu in imenovalcu izvlečemo 5:

Zdaj lahko zmanjšati skupne dejavnike, torej prečrtaj 5 v števcu in imenovalcu. Kot rezultat dobimo poenostavljen ulomek 3/7 . V algebraični izrazi skupni dejavniki se razlikujejo na enak način kot pri navadnih. V prejšnjem primeru smo lahko zlahka izluščili 5 od 15 – enako načelo velja za bolj zapletene izraze, kot je 15x – 5. Poiščimo skupni faktor. V tem primeru bo 5, saj sta oba člena (15x in -5) deljiva s 5. Kot prej izberemo skupni faktor in ga prenesemo levo.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Če želite preveriti, ali je vse pravilno, je dovolj, da izraz v oklepaju pomnožite s 5 - rezultat bodo enake številke, kot so bile sprva. Kompleksne izraze lahko ločimo na enak način kot preproste. Za algebraične ulomke veljajo enaka načela kot za navadne ulomke. To je najlažji način za zmanjšanje ulomka. Razmislite o naslednjem ulomku:

Upoštevajte, da imata tako števec (zgoraj) kot imenovalec (spodaj) člen (x+2), zato ga je mogoče zmanjšati na enak način kot skupni faktor 5 v 15/35:

Kot rezultat dobimo poenostavljen izraz: (x-3)/(x+10)

Zmanjšanje algebraičnih ulomkov

Poiščite skupni faktor v števcu, to je na vrhu ulomka. Pri redukciji algebraičnega ulomka je prvi korak poenostavitev obeh njegovih delov. Začnite s števcem in ga poskusite razložiti na čim več faktorjev. V tem razdelku razmislite o naslednjem ulomku:

Začnimo s števcem: 9x - 3. Za 9x in -3 je skupni faktor število 3. Vzemimo 3 iz oklepajev, tako kot pri navadnih številih: 3 * (3x-1). Kot rezultat te pretvorbe bomo dobili naslednji ulomek:

Poiščite skupni faktor v števcu. Nadaljujmo z izvedbo zgornjega primera in izpišemo imenovalec: 15x+6. Kot prej najdemo, s katerim številom sta oba dela deljiva. In v tem primeru je skupni faktor 3, tako da lahko zapišemo: 3 * (5x +2). Prepišimo ulomek v naslednji obliki:

Zmanjšajte identične izraze. V tem koraku lahko poenostavite ulomek. Prekliči iste člene v števcu in imenovalcu. V našem primeru je to število 3.

Ugotovite, kaj ima ulomek najpreprostejša oblika. Ulomek je popolnoma poenostavljen, če v števcu in imenovalcu ni več skupnih faktorjev. Upoštevajte, da izrazov, ki so v oklepajih, ne morete skrajšati - v zgornjem primeru ni mogoče izvleči x iz 3x in 5x, saj sta (3x -1) in (5x + 2) polnopravna člana. Tako ulomka ni mogoče dodatno poenostaviti, končni odgovor pa je naslednji:

Vadite zmanjševanje ulomkov sami. Najboljši način Metoda prebave je, da samostojna odločitev naloge. Pravilni odgovori so navedeni pod primeri.

odgovor:(x=13)

odgovor:(2x-1)/5

Posebne poteze

Vzemite ven negativni predznak onkraj ulomka. Recimo, da smo dobili naslednji ulomek:

Upoštevajte, da sta (x-4) in (4-x) "skoraj" enaka, vendar ju ni mogoče dokončno preklicati, ker sta "obrnjena". Vendar pa (x - 4) lahko zapišemo kot -1 * (4 - x), tako kot (4 + 2x) lahko zapišemo kot 2 * (2 + x). To se imenuje "obrnitev znakov".

Zdaj lahko zmanjšate iste izraze (4-x):

Tu je torej končni odgovor: -3/5 . Naučite se prepoznati razliko med kvadrati. Razlika kvadratov je, ko se kvadrat enega števila odšteje od kvadrata drugega števila, kot v izrazu (a 2 - b 2). Razliko popolnih kvadratov lahko vedno razstavimo na dva dela - vsoto in razliko ustreznih kvadratne korenine. Potem bo izraz dobil naslednjo obliko:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ta trik je zelo uporaben pri iskanju običajnih izrazov v algebraičnih ulomkih.

• Preverite, ali ste pravilno razčlenili ta ali oni izraz. Če želite to narediti, pomnožite faktorje - rezultat mora biti enak izraz.
• Za popolno poenostavitev ulomka vedno izberite največje faktorje.