Definicija. Pokliče se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni faktor (gcd) te številke.

Poiščite največji skupni delilec števil 24 in 35.
Delitelji 24 bodo številke 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delilniki 35 pa bodo številke 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delilec - število 1. Takšna števila se imenujejo vzajemno preprosta.

Definicija. Kličejo se naravna števila vzajemno preprostače je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) je mogoče najti brez izpisovanja vseh deliteljev danih števil.

Če upoštevamo številki 48 in 36, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz dejavnikov, vključenih v razgradnjo prvega od teh števil, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugega števila (torej dva dvojka).
Dejavniki ostajajo 2 * 2 * 3. Njihov zmnožek je 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delilec treh ali več števil.

Najti največji skupni dejavnik

2) iz faktorjev, vključenih v razgradnjo enega od teh števil, izbriši tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugih števil;
3) poiščite zmnožek preostalih dejavnikov.

Če so vsa ta števila deljiva z enim od njih, potem je to število največji skupni dejavnik dane številke.
Na primer, največji skupni delilec 15, 45, 75 in 180 je 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanj skupni večkratnik (LCM)

Definicija. Najmanj skupni večkratnik (LCM) naravna števila a in b imenujemo najmanjše naravno število, ki je večkratnik a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razstavimo 75 in 60 na osnovna faktorja: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktorje, ki so vključeni v razgradnjo prvega od teh števil, in jim dodamo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razgradnje drugega števila (tj. Združimo faktorje).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih zmnožek je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik 75 in 60.

Najdemo tudi najmanj skupni večkratnik treh ali več števil.

Za najti najmanj skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razgradi na glavne dejavnike;
2) zapišite dejavnike, vključene v razgradnjo enega od števil;
3) jim dodajte manjkajoče faktorje pri razširitvah preostalih števil;
4) poiščite zmnožek nastalih dejavnikov.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi ostalimi števili, je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljiv z vsemi temi števili.

Pitagora (VI. Stoletje pr. N. Št.) In njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Število, ki je enako vsoti vseh njegovih deliteljev (brez samega števila), so imenovali popolno število. Številke 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so \u200b\u200bna primer popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Peti - 33 550 336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo že znanih 27 popolnih številk. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo nenavadna popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za prosta števila je posledica dejstva, da je katero koli število bodisi praštevilo bodisi ga lahko predstavimo kot izdelek praštevila, to pomeni, da so praštevila podobna opekam, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se prosta števila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda bolj kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosti so prosti števci. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (III. Stoletje pr. N. Št.) Je v svoji knjigi "Začetki", ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je neskončno veliko števil, torej za vsakim praštevilom je še večje praštevilo .
Za iskanje praštevil je še en grški matematik istega časa, Eratosten, pripravil tak način. Zapisal je vsa števila od 1 do določenega števila, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti glavno niti sestavljeno število, nato prečrtal vsa števila po 2 (števila, deljiva z 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prvo preostalo število po 2 je bilo 3. Nato so bila vsa števila po 3 (števila, ki so večkratniki 3, to je 6, 9, 12 itd.) Po dveh prečrtana. na koncu so ostala neprekinjena le praštevila.

Matematični izrazi in težave zahtevajo veliko dodatnega znanja. NOC je eden glavnih, še posebej pogosto uporabljen v temi, ki jo preučujejo v srednji šoli, medtem ko gradiva ni posebej težko razumeti, oseba, ki pozna stopnje in množično tabelo, ne bo težko izbrala potrebnega številke in poiščite rezultat.

Definicija

Skupno večkratnik je število, ki ga lahko hkrati popolnoma razdelimo na dve števili (a in b). Najpogosteje to število dobimo tako, da pomnožimo prvotni števili a in b. Število mora biti deljivo z obema številkama hkrati, brez odstopanj.

NOC je sprejeta oznaka kratko imezbrane iz prvih črk.

Načini za pridobitev številke

Za iskanje LCM način množenja števil ni vedno primeren; veliko bolj primeren je za enostavna enomestna ali dvomestna števila. običajno je deliti po faktorjih, večje je število, več dejavnikov bo.

Primer št. 1

Za najpreprostejši primer šole običajno uporabljajo preproste, eno- ali dvomestne številke. Na primer, morate rešiti naslednjo težavo, poiskati najmanj skupni večkratnik števil 7 in 3, rešitev je precej preprosta, samo pomnožite jih. Posledično obstaja številka 21, manjše številke preprosto ni.

Primer št. 2

Druga varianta naloge je veliko težja. Glede na številki 300 in 1260 je iskanje LCM obvezno. Za rešitev naloge se predpostavljajo naslednja dejanja:

Razgradnja prvega in drugega števila na najpreprostejše dejavnike. 300 \u003d 2 2 * 3 * 5 2; 1260 \u003d 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je končana.

Druga stopnja vključuje delo z že prejetimi podatki. Vsaka od dobljenih številk mora sodelovati pri izračunu končnega rezultata. Za vsak faktor iz sestave prvotnih številk največ veliko število pojavov. NOC je skupno številozato je treba dejavnike iz števil v vsem ponoviti na enega, tudi tiste, ki so prisotni v enem izvodu. Obe začetni številki imata v svoji sestavi številki 2, 3 in 5, v različnih stopnjah je v enem primeru le 7.

Za izračun končnega rezultata morate vzeti vsako število v največji izmed moči, predstavljeni v enačbi. Preostane le pomnožiti in dobiti odgovor, s pravilnim izpolnjevanjem pa se naloga razloži v dva koraka brez obrazložitve:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM \u003d 6300.

To je celotna težava, če poskusite izračunati zahtevano število z množenjem, potem odgovor zagotovo ne bo pravilen, saj je 300 * 1260 \u003d 378.000.

Preverjanje:

6300/300 \u003d 21 - res;

6300/1260 \u003d 5 - pravilno.

Pravilnost dobljenega rezultata se določi s preverjanjem - LCM se deli z obema začetnima številkama, če je število v obeh primerih celo število, potem je odgovor pravilen.

Kaj pomeni LCM v matematiki

Kot veste, v matematiki ni niti ene neuporabne funkcije, to ni nobena izjema. Najpogostejša uporaba te številke je pretvorba ulomkov v skupni imenovalec... Kaj se običajno poučuje v 5-6. Razredu srednje šole. Poleg tega je skupni delitelj za vse večkratnike, če so takšni pogoji v težavi. Podoben izraz lahko najde večkratnik ne le dveh števil, temveč tudi veliko večjega števila - treh, petih itd. Več številk - več dejanj v nalogi, vendar se zapletenost od tega ne poveča.

Na primer, glede na številke 250, 600 in 1500 morate najti njihov skupni LCM:

1) 250 \u003d 25 * 10 \u003d 5 2 * 5 * 2 \u003d 5 3 * 2 - v tem primeru je faktorizacija podrobno opisana, brez preklica.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Za sestavo izraza je treba omeniti vse dejavnike, v tem primeru so podani 2, 5, 3, - za vsa ta števila je treba določiti največjo stopnjo.

Pozor: vse multiplikatorje je treba, če je le mogoče, popolnoma poenostaviti in razširiti na raven enovrednostnih.

Preverjanje:

1) 3000/250 \u003d 12 - res;

2) 3000/600 \u003d 5 - res;

3) 3000/1500 \u003d 2 - res.

Ta metoda ne zahteva nobenih trikov ali genialnih sposobnosti, vse je preprosto in enostavno.

Še en način

V matematiki je veliko povezanega, veliko je mogoče rešiti na dva ali več načinov, enako velja za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika LCM. Naslednja metoda se lahko uporablja pri enostavnih dvomestnih in enomestnih številkah. Sestavljena je tabela, v katero je množitelj vpisan navpično, množitelj vodoravno in izdelek je prikazan v sekajočih se celicah stolpca. Tabelo lahko odražate s pomočjo vrstice, vzame se število in v zaporedju se zapišejo rezultati množenja tega števila s celimi števili od 1 do neskončnosti, včasih je dovolj 3-5 točk podvržen enakemu računskemu procesu. Vse se zgodi, dokler ne najdemo skupnega večkratnika.

Glede na številke 30, 35, 42 morate najti LCM, ki povezuje vse številke:

1) večkratniki 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Večkratniki 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Večkratniki 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Opaziti je, da so vse številke precej različne, edina pogosta številka med njimi je 210, torej bo LCM. Med procesi, povezanimi s tem izračunom, je tudi največji skupni delilec, ki se izračuna po podobnih načelih in ga pogosto srečamo pri sosednjih problemih. Razlika je majhna, vendar dovolj pomembna, LCM predpostavlja izračun števila, ki je deljeno z vsemi temi začetnimi vrednostmi, GCD pa izračun največja vrednost s katerim se delijo izvirne številke.

Druga številka: b \u003d

Števčno ločilo Ni prostora za ločilo "´

Rezultat:

Največji skupni delitelj GCD ( a,b)=6

Najmanj pogosti večkratni LCM ( a,b)=468

Pokliče se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni dejavnik (Gcd) teh številk. Označeno z gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) ali hcf (a, b).

Najmanj pogosti večkratnik (LCM) dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. LCM je označen (a, b) ali lcm (a, b).

Pokličeta se celi števili a in b vzajemno preprostače nimajo nobenih skupnih delilnikov, razen +1 in -1.

Največji skupni delitelj

Glede na dva pozitivne številke a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. poiščite tako številko λ ki deli številke a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.

1) V tem članku bo beseda številka razumljena kot celo število.

Naj bo a 1 ≥ a 2 in naj

kje m 1 , a 3 nekaj celih števil, a 3 <a 2 (preostanek delitve a 1 naprej a 2 mora biti manj a 2).

Pretvarjajmo se λ deli a 1 in a 2, potem λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Izjava 2 članka "Delljivost števil. Znak delljivosti"). Iz tega sledi, da je vsak skupni delilec a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delitelj a 2 in a 3, potem m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 so tudi razdeljeni na λ ... Od tod skupni delitelj a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1, potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšano na enostavnejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .

Če a 3 ≠ 0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem

,

kje m 1 in a 4 nekaj celih števil, ( a 4 preostanek a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim sklepanjem pridemo do zaključka, da so skupni delitelji števil a 3 in a 4 so enaki skupnim delilnikom a 2 in a 3, pa tudi s skupnimi dejavniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... številke se nenehno zmanjšujejo in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato v nekem koraku n, preostanek delitve a n naprej a n + 1 bo enako nič ( a n + 2 \u003d 0).

.

Vsak skupni delilec λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n + 1. Res je tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n + 1 so tudi delitelji števil a n - 1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Toda skupni delitelj števil a n in a n + 1 je število a n + 1, ker a n in a n + 1 so deljivi z a n + 1 (ne pozabite a n + 2 \u003d 0). Posledično a n + 1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .

Upoštevajte, da je številka a n + 1 je največji delilec števil a n in a n + 1, saj je največji delitelj a n + 1 je sam a n + 1. Če a n + 1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi pogosti delitelji števil a 1 in a 2. Številka a n + 1 se imenujejo največji skupni dejavnik številke a 1 in a 2 .

Številke a 1 in a 2 sta lahko pozitivni in negativni številki. Če je eno od števil nič, bo največji skupni delilec teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj ničelnih števil ni opredeljen.

Zgornji algoritem se imenuje evklidov algoritemnajti največji skupni delilec dveh celih števil.

Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil

Poiščite največji skupni faktor dveh števil 630 in 434.

• Korak 1. Število 630 delimo s 434. Preostanek je 196.
• Korak 2. Število 434 delimo na 196. Preostanek je 42.
• Korak 3. Število 196 razdelimo na 42. Preostanek je 28.
• Korak 4. Število 42 delimo z 28. Preostanek je 14.
• Korak 5. Število 28 razdelimo na 14. Preostanek je 0.

V koraku 5 je preostanek delitve 0. Zato je največji skupni delilec 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta 2 in 7 tudi delitelja 630 in 434.

Vzajemno praštevila

Definicija 1. Naj največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Potem se pokličejo te številke coprime številkeki nimajo skupnega delitelja.

Izrek 1. Če a 1 in a 2 coprime številki in λ neko število, nato kateri koli skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .

Dokazi. Upoštevajmo Euclidov algoritem za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).

.

Iz pogojev izreka izhaja, da je največji skupni delilec števil a 1 in a 2 in zato a n in a n + 1 je 1. To pomeni, a n + 1 \u003d 1.

Vse te enakosti pomnožimo z λ potem

.

Naj skupni delitelj a 1 λ in a 2 je δ ... Potem δ je dejavnik pri a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (glej "Delljivost števil", izjava 2). Nadalje δ je dejavnik pri a 2 λ in m 2 a 3 λ , in je zato dejavnik pri a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

S takšnim razmišljanjem smo prepričani, da δ je dejavnik pri a n - 1 λ in m n - 1 a n λ , in zato v a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Ker a n + 1 \u003d 1, potem δ je dejavnik pri λ ... Od tod tudi številka δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .

Poglejmo posebne primere teorema 1.

Posledica 1. Naj bo a in c praštevila so relativna b... Nato njihov izdelek ak je praštevilo glede na b.

Res. Iz teorema 1 ak in b imajo enake skupne dejavnike kot c in b... Toda številke c in b medsebojno preprosta, tj. imajo edinstven skupni delilec 1. Nato ak in b imajo tudi edinstven skupni delilec 1. Zato ak in b vzajemno preprosta.

Posledica 2. Naj bo a in b coprime številke in naj b deli ak... Potem b deli in k.

Res. Iz pogoja izjave ak in b imajo skupni delitelj b... Po izrek 1 b mora biti skupni delitelj b in k... Posledično b deli k.

Posledico 1 lahko posplošimo.

Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m prime glede na število b... Potem a 1 a 2 , a 1 a 2. a 3 , ..., a 1 a 2 a 3. a m, zmnožek teh števil je prost glede na število b.

2. Naj imamo dve vrstici števil

tako, da je vsako število v prvi vrstici prosto glede na vsako število v drugi vrstici. Nato izdelek

Najti je treba takšna števila, ki so deljiva z vsako od teh števil.

Če je število deljivo z a 1, potem ima obliko sa 1, kjer s poljubno število. Če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, potem

kje s 1 je nekaj celo število. Potem

je najmanj pogosti večkratniki a 1 in a 2 .

a 1 in a 2 coprime, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:

Poiščite najmanj skupni večkratnik teh števil.

Iz zgoraj navedenega izhaja, da je poljubno večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik števil ε in a 3 in obratno. Naj najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 je ε eno. Nadalje večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik števil ε 1 in a štiri. Naj najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 je ε 2. Tako smo ugotovili, da vsi večkratniki a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpadajo z večkratniki nekega določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.

V posebnem primeru, ko številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m so coprime, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Nadalje, saj a 3 prime glede na številke a 1 , a 2, potem a 3 prime na število a ena · a 2 (posledica 1). Najmanj skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a ena · a 2. a 3. Na podoben način trdimo, da pridemo do naslednjih trditev.

Izjava 1. Najmanj skupni večkratnik primerljivih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enako njihovemu izdelku a ena · a 2. a 3. a m.

Izjava 2. Katero koli število, ki je deljivo z vsakim od sočasnih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je deljiv tudi z njihovim izdelkom a ena · a 2. a 3. a m.

Kako najti LCM (najmanj pogost večkratnik)

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjši izmed vseh celih števil, ki je enakomerno deljivo z obema podanima številkama.

1. metoda... LCM lahko poiščete za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vse številke, ki jih dobite tako, da jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedoma z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedoma z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe številki majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Včasih pa je treba najti LCM za dvomestne ali trimestne številke, pa tudi, ko so izvirne številke tri ali celo več.

2. metoda... LCM lahko najdete tako, da izvirne številke razširite na proste faktorje.
Po razširitvi je treba iz številnih glavnih faktorjev prečrtati enake številke. Preostala števila prve številke bodo množitelj za drugo, preostala števila druge pa bodo faktor za prvo.

Primerza število 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi večkratnike teh števil zaporedoma izpisali. Da bi to naredili, razstavimo 75 in 60 na glavna faktorja:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot vidite, faktorja 3 in 5 najdemo v obeh vrsticah. Mentalno jih "prečrtamo".
Zapišimo preostale dejavnike, vključene v razgradnjo vsakega od teh števil. Pri razširitvi števila 75 nam ostane število 5, pri razširitvi števila 60 pa 2 * 2
Torej, da določimo LCM za števili 75 in 60, moramo preostala števila iz razgradnje 75 (to je 5) pomnožiti s 60 in števila, ki ostanejo pri razgradnji števila 60 (to je 2 * 2 ) pomnožimo s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja pravimo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za številki 60 in 75. To je številka 300.

Primer... Določite LCM za številke 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Najprej pa, kot vedno, vsa števila razstavimo na proste faktorje
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše izmed vseh števil (to je število 12) in zaporedoma preberemo njegove faktorje in jih prečrtamo, če vsaj ena od drugih serij števil vsebuje enak, še ne prečrtan faktor.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh vrsticah števil. Prečrtaj jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. Pri glavnih faktorjih števila 12 ostane le število 3. Toda v glavnih faktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko pri številu 16 ni dejanja.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razširitvi številke 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev NOC končana. Ostane le izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzamemo preostale faktorje števila 16 (najbližje v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta način omogoča hitrejše iskanje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Toda številna naravna števila so enakomerno deljiva z drugimi naravnimi števili.

na primer:

Število 12 je deljivo z 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Število 36 je deljivo z 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Številke, s katerimi je število enakomerno deljivo (za 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delilci... Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki deli dano število a brez ostanka. Pokliče se naravno število, ki ima več kot dva delitelja sestavljeni .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne dejavnike. To so številke: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj dveh danih števil a in b - to je število, s katerim sta obe dani številki deljivi brez ostanka ain b.

Skupno večkratnik več števil je število, ki je deljivo z vsako od teh števil. na primer, števila 9, 18 in 45 imajo skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njihova skupna večkratnika. Med vsemi j skupnimi večkratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je 90. To število se imenuje najmanjšiskupni večkratnik (LCM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega števila, za katerega je določeno.

Najmanj skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Zamenljivost:

Asocijativnost:

Zlasti, če in so vmesne številke, potem:

Najmanj skupni večkratnik dveh celih števil min n je delitelj vseh drugih skupnih večkratnikov min n... Poleg tega nabor skupnih večkratnikov m, n sovpada z množico večkratnikov za LCM ( m, n).

Asimptotiko za lahko izrazimo z nekaterimi teoretičnimi funkcijami.

Torej, Funkcija Čebiševa ... In:

To izhaja iz definicije in lastnosti funkcije Landau g (n).

Kaj sledi iz zakona o porazdelitvi praštevil.

Iskanje najmanj skupnega večkratnika (LCM).

LCM ( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je znan največji skupni delilec, lahko uporabite njegovo razmerje z LCM:

2. Naj bo znana kanonična razgradnja obeh števil na prosta faktorja:

kje p 1, ..., p k - različne prime, in d 1, ..., d k in e 1, ..., e k - nenegativna cela števila (lahko so ničle, če pri razgradnji ni ustreznega prostega števila).

Potem LCM ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, razgradnja LCM vsebuje vse osnovne faktorje, vključene v vsaj eno od razširitev števila a, b, in vzet je največji od dveh eksponentov tega faktorja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo. Če želite najti LCM serije številk, potrebujete:

- razstaviti števila na proste faktorje;

- prenesite največjo ekspanzijo v faktorje želenega izdelka (produkt faktorjev največjega števila danih), nato pa dodajte faktorje iz ekspanzije drugih števil, ki se ne pojavijo v prvem številu ali se pojavijo v manjkrat;

- nastali zmnožek glavnih faktorjev bo LCM danih števil.

Vsako dve ali več naravnih števil ima svoj LCM. Če števila niso večkratna ali če nimajo enakih faktorjev pri razširitvi, je njihov LCM enak zmnožku teh števil.

Glavni faktorji števila 28 (2, 2, 7) so bili dopolnjeni s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.

Glavni faktorji največjega števila 30 so bili dopolnjeni s faktorjem 5 od 25, dobljeni zmnožek 150 je večji od največjega števila 30 in je razdeljen na vsa dana števila brez ostanka. To je najmanjši možni izdelek (150, 250, 300 ...), ki je večkratnik vseh danih števil.

Števila 2,3,11,37 so prosta, zato je njihov LCM enak zmnožku danih števil.

Pravilo... Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti med seboj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanj skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavite vsako število kot zmnožek glavnih faktorjev, na primer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite moči vseh glavnih faktorjev:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse glavne delitelje (faktorje) vsakega od teh števil;

4) izberite najvišjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdemo pri vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te stopinje.

Primer ... Poiščite LCM številk: 168, 180 in 3024.

Sklep ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Zapišemo največje moči vseh glavnih faktorjev in jih pomnožimo:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.