Tema "Več številk" se preučuje v 5. razredu Srednja šola. Njegov cilj je izboljšati pisne in ustne veščine matematičnih izračunov. V tej lekciji so predstavljeni novi koncepti - "več številk" in "deliteljev", tehnika iskanja deliteljev in večkratnikov naravnega števila, sposobnost iskanja LCM na različne načine.

Ta tema je zelo pomembna. Znanje o tem se lahko uporabi pri reševanju primerov z ulomki. Za to morate najti skupni imenovalec z izračunom najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

Večkratnik A je celo število, ki je deljivo z A brez ostanka.

Vsako naravno število ima neskončno število večkratnikov. Šteje se za najmanjšo. Večkratnik ne more biti manjši od samega števila.

Treba je dokazati, da je število 125 večkratnik števila 5. Če želite to narediti, morate prvo število deliti z drugo. Če je 125 deljivo s 5 brez ostanka, je odgovor pritrdilen.

Ta metoda je uporabna za majhno število.

Pri izračunu LCM obstajajo posebni primeri.

1. Če morate najti skupni večkratnik za 2 številki (na primer 80 in 20), kjer je eno od njiju (80) deljivo brez preostanka z drugim (20), potem je to število (80) najmanjše večkratnik teh dveh številk.

LCM (80, 20) = 80.

2. Če dva nimata skupnega delitelja, potem lahko rečemo, da je njun LCM produkt teh dveh števil.

LCM (6, 7) = 42.

Razmislite o zadnjem primeru. 6 in 7 glede na 42 sta delitelja. Večkratnik delijo brez ostanka.

V tem primeru sta 6 in 7 delitelja parov. Njihov produkt je enak največkratnemu številu (42).

Število imenujemo pra, če je deljivo samo s sabo ali z 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se imenujejo sestavljeni.

V drugem primeru morate ugotoviti, ali je 9 delilec glede na 42.

42:9=4 (preostalo 6)

Odgovor: 9 ni delilec 42, ker ima odgovor ostanek.

Delitelj se od večkratnika razlikuje po tem, da je delilec število, s katerim so deljena naravna števila, večkratnik pa je sam deljiv s tem številom.

največji skupni delilecštevilke a in b, pomnožen z njihovim najmanjšim večkratnikom, bo dal zmnožek samih števil a in b.

In sicer: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Skupne večkratnike za kompleksnejša števila najdemo na naslednji način.

Na primer, poiščite LCM za 168, 180, 3024.

Ta števila razstavimo na prafaktorje, jih zapišemo kot produkt potenk:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Znaki deljivosti naravnih števil.

Številke, deljive z 2 brez ostanka, se imenujejocelo .

Številke, ki niso enakomerno deljive z 2, se imenujejoČuden .

Znak deljivosti z 2

Če se zapis naravnega števila konča s sodo številko, potem je to število deljivo z 2 brez ostanka, in če se zapis števila konča s liho številko, potem to število ni deljivo z 2 brez ostanka.

Na primer številke 60 , 30 8 , 8 4 so brez ostanka deljiva z 2, števila pa 51 , 8 5 , 16 7 niso deljivi z 2 brez ostanka.

Znak deljivosti s 3

Če je vsota števk števila deljiva s 3, je število deljivo tudi s 3; Če vsota števk števila ni deljiva s 3, potem število ni deljivo s 3.

Na primer, ugotovimo, ali je število 2772825 deljivo s 3. Če želite to narediti, izračunamo vsoto števk tega števila: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - je deljivo s 3 Torej, število 2772825 je deljivo s 3.

Znak deljivosti s 5

Če se zapis naravnega števila konča z 0 ali 5, potem je to število brez ostanka deljivo s 5. Če se zapis števila konča z drugo številko, potem števila ni mogoče deliti s 5 brez ostanka.

Na primer številke 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 so brez ostanka deljiva s 5, števila pa 17 , 37 8 , 9 1 ne delite.

Znak deljivosti z 9

Če je vsota števk števila deljiva z 9, je število deljivo tudi z 9; Če vsota števk števila ni deljiva z 9, potem število ni deljivo z 9.

Na primer, ugotovimo, ali je število 5402070 deljivo z 9. Če želite to narediti, izračunamo vsoto števk tega števila: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ni deljivo z 9. To pomeni, da število 5402070 ni deljivo z 9.

Znak deljivosti z 10

Če se zapis naravnega števila konča s številko 0, je to število deljivo brez ostanka z 10. Če se zapis naravnega števila konča z drugo številko, potem ni deljivo z 10 brez ostanka.

Na primer številke 40 , 17 0 , 1409 0 so brez ostanka deljiva z 10, števila pa 17 , 9 3 , 1430 7 - ne delite.

Pravilo za iskanje največjega skupnega delitelja (gcd).

Če želite najti največji skupni delitelj več naravnih števil, morate:

2) iz faktorjev, vključenih v razširitev enega od teh številk, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;

3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Primer. Poiščimo GCD (48;36). Uporabimo pravilo.

1. Števili 48 in 36 razstavimo na prafaktorje.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Iz faktorjev, vključenih v razširitev števila 48, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razširitev števila 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Obstajajo faktorji 2, 2 in 3.

3. Pomnožite preostale faktorje in dobite 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, morate:

1) jih razstavimo na prafaktorje;

2) napišite faktorje, ki so vključeni v razširitev ene od številk;

3) prištej jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk;

4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Primer. Najdimo LCM (75;60). Uporabimo pravilo.

1. Števili 75 in 60 razstavimo na pra faktorje.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Zapiši faktorje, ki so vključeni v razširitev števila 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Dodajte jim manjkajoče faktorje iz razgradnje števila 60, t.j. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Poišči zmnožek nastalih faktorjev

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Začnimo preučevati najmanjši skupni večkratnik dveh ali več številk. V poglavju bomo podali definicijo pojma, obravnavali izrek, ki vzpostavlja razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem ter navedli primere reševanja problemov.

Navadni večkratniki - definicija, primeri

V tej temi nas bodo zanimali le skupni večkratniki celih števil, ki niso nič.

Opredelitev 1

Skupni večkratnik celih števil je celo število, ki je večkratnik vseh danih števil. Pravzaprav je to katero koli celo število, ki ga je mogoče deliti s katerim koli od danih številk.

Definicija skupnih večkratnikov se nanaša na dva, tri ali več celih števil.

Primer 1

V skladu z zgornjo definicijo za število 12 sta skupna večkratnika 3 in 2. Tudi število 12 bo skupni večkratnik številk 2, 3 in 4. Števili 12 in -12 sta skupna večkratnika številk ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Hkrati bodo skupni večkratnik številk 2 in 3 števila 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 in številne druge.

Če vzamemo števila, ki so deljiva s prvo številko para in niso deljiva z drugim, potem takšna števila ne bodo skupni večkratniki. Torej za številki 2 in 3 števila 16 , − 27 , 5009 , 27001 ne bodo skupni večkratniki.

0 je skupni večkratnik katerega koli niza celih števil, ki niso nič.

Če se spomnimo lastnosti deljivosti glede na nasprotne številke, potem se izkaže, da bo neko celo število k skupni večkratnik teh števil na enak način kot število - k. To pomeni, da so skupni delitelji lahko pozitivni ali negativni.

Ali je mogoče najti LCM za vse številke?

Skupni večkratnik je mogoče najti za vsa cela števila.

Primer 2

Recimo, da nam je dano k cela števila a 1, a 2, …, a k. Število, ki ga dobimo med množenjem številk a 1 a 2 … a k glede na lastnost deljivosti bo razdeljena z vsakim od faktorjev, ki so bili vključeni v izvirni produkt. To pomeni, da je produkt številk a 1, a 2, …, a k je najmanjši skupni večkratnik teh številk.

Koliko skupnih večkratnikov imajo lahko ta cela števila?

Skupina celih števil ima lahko veliko število skupnih večkratnikov. Pravzaprav je njihovo število neskončno.

Primer 3

Recimo, da imamo neko število k. Potem bo produkt številk k · z , kjer je z celo število, skupni večkratnik številk k in z . Glede na to, da je število številk neskončno, je število skupnih večkratnikov neskončno.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM) – definicija, simbol in primeri

Spomnimo se koncepta najmanjšega števila iz dani kompletštevilk, ki smo jih obravnavali v razdelku Primerjava celih števil. S tem konceptom v mislih oblikujemo definicijo najmanjšega skupnega večkratnika, ki ima med vsemi skupnimi večkratniki največji praktični pomen.

Opredelitev 2

Najmanjši skupni večkratnik danih celih števil je najmanj pozitiven skupni večkratnik teh števil.

Najmanjši skupni večkratnik obstaja za poljubno število danih števil. Okrajšava NOK je v referenčni literaturi najpogosteje uporabljena za označevanje koncepta. Okrajšava za najmanjši skupni večkratnik za številke a 1, a 2, …, a k bo videti kot LCM (a 1, a 2, …, a k).

Primer 4

Najmanjši skupni večkratnik 6 in 7 je 42. tiste. LCM(6, 7) = 42. Najmanjši skupni večkratnik štirih števil - 2, 12, 15 in 3 bo enak 60. Okrajšava bo LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Ne za vse skupine danih števil je najmanjši skupni večkratnik očiten. Pogosto ga je treba izračunati.

Razmerje med NOC in NOD

Najmanjši skupni mnogokratnik in največji skupni delilec sta povezana. Razmerje med pojmi je vzpostavljeno z izrekom.

Izrek 1

Najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil a in b je enak zmnožku števil a in b, deljenim z največjim skupnim deliteljem števil a in b, to je LCM (a, b) = a b: GCD (a , b) .

Dokaz 1

Recimo, da imamo neko število M, ki je večkratnik številk a in b. Če je število M deljivo z a , obstaja tudi neko celo število z , pod katerim je enakost M = a k. Po definiciji deljivosti, če je M deljivo tudi z b, torej a k deljeno s b.

Če uvedemo nov zapis za gcd (a, b) kot d, potem lahko uporabimo enakosti a = a 1 d in b = b 1 · d . V tem primeru bosta obe enakosti sopraprosti števili.

To smo že ugotovili zgoraj a k deljeno s b. Zdaj lahko ta pogoj zapišemo takole:
a 1 d k deljeno s b 1 d, kar je enako pogoju a 1 k deljeno s b 1 glede na lastnosti deljivosti.

Glede na lastnost relativno praštevil, če a 1 in b 1 so vzajemno praštevili, a 1 ni deljivo z b 1 Kljub dejstvu, da a 1 k deljeno s b 1, potem b 1 bi moral deliti k.

V tem primeru bi bilo primerno domnevati, da obstaja številka t, za kar k = b 1 t, in od takrat b1=b:d, potem k = b: d t.

Zdaj namesto k postaviti v enakopravnost M = a k izraz oblike b: d t. To nam omogoča, da pridemo do enakosti M = a b: d t. Pri t=1 lahko dobimo najmanj pozitivni skupni večkratnik a in b , enako a b: d, pod pogojem, da sta številki a in b pozitivno.

Tako smo dokazali, da je LCM (a, b) = a b: GCD (a,b).

Vzpostavitev povezave med LCM in GCD vam omogoča, da najdete najmanjši skupni večkratnik prek največjega skupnega delitelja dveh ali več danih števil.

Opredelitev 3

Izrek ima dve pomembni posledici:

• večkratniki najmanjšega skupnega večkratnika dveh števil so enaki skupnim večkratnikom teh dveh števil;
• najmanjši skupni večkratnik sopraprostega pozitivne številke a in b je enak njunemu produktu.

Ti dve dejstvi ni težko utemeljiti. Vsak skupni večkratnik M števil a in b je definiran z enakostjo M = LCM (a, b) t za neko celo število t. Ker sta a in b sopraprosta, potem je gcd (a, b) = 1, torej LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več številk

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik več številk, morate zaporedoma najti LCM dveh števil.

2. izrek

Pretvarjajmo se a 1, a 2, …, a k so nekatera pozitivna cela števila. Za izračun LCM m k te številke moramo zaporedno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Dokaz 2

Prva posledica prvega izreka, obravnavanega v tej temi, nam bo pomagala dokazati pravilnost drugega izreka. Razmišljanje je zgrajeno po naslednjem algoritmu:

• skupni večkratniki števil a 1 in a 2 sovpadajo z večkratniki njihovega LCM, pravzaprav sovpadajo z večkratniki števila m2;
• skupni večkratniki števil a 1, a 2 in a 3 m2 in a 3 m 3;
• skupni večkratniki števil a 1, a 2, …, a k sovpadajo s skupnimi večkratniki števil m k - 1 in a k, torej sovpadajo z večkratniki števila m k;
• zaradi dejstva, da je najmanjši pozitivni večkratnik števila m k je številka sama m k, nato najmanjši skupni večkratnik števil a 1, a 2, …, a k je m k.

Torej smo izrek dokazali.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Spletni kalkulator vam omogoča hitro iskanje največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika dveh ali katerega koli drugega števila števil.

Kalkulator za iskanje GCD in NOC

Poiščite GCD in NOC

Najdeno GCD in NOC: 6433

Kako uporabljati kalkulator

• V vnosno polje vnesite številke
• V primeru vnosa napačnih znakov bo vnosno polje označeno rdeče
• pritisnite gumb "Najdi GCD in NOC"

Kako vnesti številke

• Številke se vnesejo ločene s presledki, pikami ali vejicami
• Dolžina vnesenih številk ni omejena, zato iskanje gcd in lcm dolgih števil ne bo težko

Kaj je NOD in NOK?

Največji skupni delilec več števil je največje naravno celo število, s katerim so vsa prvotna števila deljiva brez ostanka. Največji skupni delitelj je skrajšano kot GCD.
Najmanj pogosti večkratnik več številk je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od prvotnih števil brez ostanka. Najmanj pogosti večkratnik je skrajšano kot NOC.

Kako preveriti, ali je število deljivo z drugim številom brez ostanka?

Če želite ugotoviti, ali je eno število deljivo z drugim brez ostanka, lahko uporabite nekatere lastnosti deljivosti števil. Nato lahko z združevanjem preverimo deljivost po nekaterih od njih in njihovih kombinacijah.

Nekateri znaki deljivosti števil

1. Znak deljivosti števila z 2
Če želite ugotoviti, ali je število deljivo z dvema (ali je sodo), je dovolj, da pogledate zadnjo številko tega števila: če je enako 0, 2, 4, 6 ali 8, je število sodo, kar pomeni, da je deljivo z 2.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo z 2.
Odločitev: poglejte zadnjo številko: 8 pomeni, da je število deljivo z dvema.

2. Znak deljivosti števila s 3
Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Če želite torej ugotoviti, ali je število deljivo s 3, morate izračunati vsoto števk in preveriti, ali je deljivo s 3. Tudi če se je vsota števk izkazala za zelo veliko, lahko ponovite isti postopek ponovno.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo s 3.
Odločitev:štejemo vsoto števk: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deljivo s 3, kar pomeni, da je število deljivo s tri.

3. Znak deljivosti števila s 5
Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja številka nič ali pet.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo s 5.
Odločitev: poglejte zadnjo številko: 8 pomeni, da število NI deljivo s pet.

4. Znak deljivosti števila z 9
Ta znak je zelo podoben znaku deljivosti s tri: število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo z 9.
Odločitev: izračunamo vsoto števk: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deljivo z 9, kar pomeni, da je število deljivo z devet.

Kako najti GCD in LCM dveh številk

Kako najti GCD dveh številk

Večina na preprost način Izračun največjega skupnega delitelja dveh števil je, da poiščemo vse možne delitelje teh števil in izberemo največje od njih.

Razmislite o tej metodi na primeru iskanja GCD(28, 36):

1. Razložimo obe številki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Najdemo skupne faktorje, torej tiste, ki jih imata obe številki: 1, 2 in 2.
3. Izračunamo produkt teh faktorjev: 1 2 2 \u003d 4 - to je največji skupni delilec številk 28 in 36.

Kako najti LCM dveh številk

Obstajata dva najpogostejša načina za iskanje najmanjšega večkratnika dveh števil. Prvi način je, da lahko zapišete prve večkratnike dveh števil, nato pa med njimi izberete takšno število, ki bo skupno obema številoma in hkrati najmanjše. In drugo je najti GCD teh številk. Samo razmislimo.

Za izračun LCM morate izračunati zmnožek prvotnih številk in ga nato deliti s predhodno najdenim GCD. Poiščimo LCM za isti številki 28 in 36:

1. Poiščite zmnožek številk 28 in 36: 28 36 = 1008
2. Za gcd(28, 36) je že znano, da je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Iskanje GCD in LCM za več številk

Največji skupni delilec lahko najdemo za več številk in ne samo za dva. Za to se števila, ki jih je treba najti za največji skupni delilec, razstavijo na prafaktorje, nato najdemo produkt skupnih faktorjev primarni dejavniki te številke. Če želite najti GCD več številk, lahko uporabite to razmerje: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobna relacija velja tudi za najmanjši skupni večkratnik števil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primer: poiščite GCD in LCM za števila 12, 32 in 36.

1. Najprej razložimo števila: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Poiščimo skupne faktorje: 1, 2 in 2 .
3. Njihov produkt bo dal gcd: 1 2 2 = 4
4. Zdaj poiščimo LCM: za to najprej poiščemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Če želite najti LCM vseh treh številk, morate najti GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Nadaljujmo z razpravo o najmanjšem skupnem večkratniku, ki smo jo začeli v razdelku LCM – Najmanj skupni večkratnik, definicija, primeri. V tej temi bomo preučili načine, kako najti LCM za tri ali več števila, analizirali bomo vprašanje, kako najti LCM negativnega števila.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek gcd

Vzpostavili smo že razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem. Zdaj pa se naučimo, kako definirati LCM prek GCD. Najprej ugotovimo, kako to narediti za pozitivna števila.

Opredelitev 1

Najmanjši skupni večkratnik lahko najdete prek največjega skupnega delitelja s formulo LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Primer 1

Treba je najti LCM številk 126 in 70.

Odločitev

Vzemimo a = 126 , b = 70 . Zamenjajte vrednosti v formuli za izračun najmanjšega skupnega večkratnika skozi največji skupni delitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Najde GCD številk 70 in 126. Za to potrebujemo Evklidov algoritem: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , torej gcd (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM (126, 70) = 630.

Primer 2

Poiščite nok številk 68 in 34.

Odločitev

GCD v ta primer Najti ga je enostavno, saj je 68 deljivo s 34. Izračunajte najmanjši skupni mnogokratnik s formulo: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

V tem primeru smo uporabili pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika pozitivnih celih števil a in b: če je prvo število deljivo z drugim, bo LCM teh številk enak prvemu številu.

Iskanje LCM s faktorjenjem števil v prafaktorje

Zdaj pa poglejmo, kako najti LCM, ki temelji na razgradnji števil na prafaktorje.

Opredelitev 2

Za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika moramo izvesti več preprostih korakov:

• sestavimo zmnožek vseh prafaktorjev števil, za katere moramo najti LCM;
• iz njihovih pridobljenih produktov izločimo vse osnovne faktorje;
• produkt, ki ga dobimo po izločitvi skupnih prafaktorjev, bo enak LCM danih števil.

Ta način iskanja najmanjšega skupnega večkratnika temelji na enakosti LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) . Če pogledate formulo, bo postalo jasno: produkt številk a in b je enak zmnožku vseh dejavnikov, ki sodelujejo pri razširitvi teh dveh številk. V tem primeru je GCD dveh števil enak zmnožku vseh pra faktorjev, ki so hkrati prisotni v faktorizacijah teh dveh števil.

Primer 3

Imamo dve številki 75 in 210. Lahko jih razdelimo takole: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Če naredite zmnožek vseh faktorjev dveh izvirnih števil, dobite: 2 3 3 5 5 5 7.

Če izključimo faktorje, ki so skupni številu 3 in 5, dobimo produkt naslednje oblike: 2 3 5 5 7 = 1050. Ta izdelek bo naš LCM za številki 75 in 210.

Primer 4

Poiščite LCM številk 441 in 700 , pri čemer obe številki razgradimo na prafaktorje.

Odločitev

Poiščimo vse glavne faktorje števil, podanih v pogoju:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobimo dve verigi števil: 441 = 3 3 7 7 in 700 = 2 2 5 5 7 .

Produkt vseh dejavnikov, ki so sodelovali pri širitvi teh številk, bo videti takole: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poiščimo skupne dejavnike. Ta številka je 7. Izključimo ga iz splošnega izdelka: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izkazalo se je, da NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LCM (441, 700) = 44 100 .

Naj podamo še eno formulacijo metode za iskanje LCM z razgradnjo števil na prafaktorje.

Opredelitev 3

Prej smo iz skupnega števila dejavnikov, skupnih obema številkama, izključili. Zdaj bomo naredili drugače:

• Razstavimo obe številki na prafaktorje:
• zmnožku prafaktorjev prvega števila dodaj manjkajoče faktorje drugega števila;
• dobimo produkt, ki bo želeni LCM dveh številk.

Primer 5

Vrnimo se k številki 75 in 210 , za katera smo v enem od prejšnjih primerov že iskali LCM. Razdelimo jih na preproste dejavnike: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Na produkt faktorjev 3, 5 in 5 številka 75 dodaj manjkajoče faktorje 2 in 7 številke 210. Dobimo: 2 3 5 5 7 . To je LCM številk 75 in 210.

Primer 6

Potrebno je izračunati LCM številk 84 in 648.

Odločitev

Razstavimo števila iz pogoja na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7 in 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Zmnožku faktorjev 2 , 2 , 3 in 7 števila 84 manjkajoči faktorji 2 , 3 , 3 in
3 številke 648 . Dobimo izdelek 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . To je najmanjši skupni večkratnik 84 in 648.

odgovor: LCM (84, 648) = 4536.

Iskanje LCM treh ali več številk

Ne glede na to, s kolikšnimi številkami imamo opravka, bo algoritem naših dejanj vedno enak: dosledno bomo našli LCM dveh številk. Za ta primer obstaja izrek.

Izrek 1

Recimo, da imamo cela števila a 1, a 2, …, a k. NOC m k teh številk najdemo v zaporednem izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Zdaj pa poglejmo, kako lahko izrek uporabimo za posebne probleme.

Primer 7

Izračunati morate najmanjši skupni večkratnik štirih številk 140, 9, 54 in 250 .

Odločitev

Uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnimo z izračunom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Za izračun GCD števil 140 in 9 uporabimo Evklidov algoritem: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobimo: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Zato je m 2 = 1 260 .

Zdaj izračunajmo po istem algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Med izračuni dobimo m 3 = 3 780.

Ostaja nam, da izračunamo m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Delujemo po istem algoritmu. Dobimo m 4 \u003d 94 500.

LCM štirih številk iz primera pogoja je 94500.

odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kot lahko vidite, so izračuni preprosti, vendar precej naporni. Če želite prihraniti čas, lahko greste v drugo smer.

Opredelitev 4

Ponujamo vam naslednji algoritem dejanj:

• razstaviti vsa števila na prafaktorje;
• zmnožku faktorjev prvega števila prištej manjkajoče faktorje iz zmnožka drugega števila;
• produktu, pridobljenemu v prejšnji fazi, dodamo manjkajoče faktorje tretjega števila itd.;
• dobljeni produkt bo najmanjši skupni večkratnik vseh števil iz pogoja.

Primer 8

Treba je najti LCM petih številk 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odločitev

Razstavimo vseh pet števil na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . praštevila, ki je število 7 , ni mogoče razčleniti v prafaktorje. Takšna števila sovpadajo z njihovo razgradnjo na prafaktorje.

Zdaj vzemimo zmnožek prafaktorjev 2, 2, 3 in 7 števila 84 in jim prištejmo manjkajoče faktorje drugega števila. Število 6 smo razstavili na 2 in 3. Ti faktorji so že v zmnožku prvega števila. Zato jih izpustimo.

Še naprej dodajamo manjkajoče množitelje. Obrnemo se na število 48, iz produkta prafaktorjev katerega vzamemo 2 in 2. Nato dodamo preprost faktor 7 iz četrtega števila in faktorje 11 in 13 od petega. Dobimo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. To je najmanjši skupni večkratnik petih izvirnih številk.

odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil

Najti najmanjši skupni večkratnik negativne številke, je treba te številke najprej nadomestiti s številkami z nasprotno znamenje, nato pa izvedite izračune v skladu z zgornjimi algoritmi.

Primer 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) in LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Takšna dejanja so dopustna zaradi dejstva, da če je to sprejeto a in − a- nasprotne številke
potem množica večkratnikov a sovpada z množico večkratnikov števila − a.

Primer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih števil − 145 in − 45 .

Odločitev

Spremenimo številke − 145 in − 45 na njihova nasprotna števila 145 in 45 . Zdaj z uporabo algoritma izračunamo LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pri čemer smo predhodno določili GCD z Euklidovim algoritmom.

Dobimo, da je LCM števil − 145 in − 45 enaka 1 305 .

odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter