Stopnja se uporablja za poenostavitev zapisa za množenje števila samo po sebi. Na primer, namesto da pišete, lahko pišete   4 5 (\\ prikazni slog 4 ^ (5))   (razlaga takega prehoda je podana v prvem oddelku tega članka). Stopnje olajšajo pisanje dolgih ali zapletenih izrazov ali enačb; stopinj je enostavno dodajati in odštevati, kar poenostavi izraz ali enačbo (npr.   4 2 ∗ 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Opomba:   če morate rešiti eksponentno enačbo (v takšni enačbi je neznanka v eksponenti), preberite.

Koraki

Reševanje preprostih težav s stopinjami

  Pomnožite osnovo stopnje s številom krat, ki je enako eksponentu.   Če morate težavo rešiti s stopinjami ročno, napišite stopnjo v obliki operacije množenja, kjer se osnova stopnje pomnoži sama. Na primer, podeljena je diploma.   3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4)). V tem primeru je treba podnožje stopnje 3 pomnožiti 4-krat:   3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Tu je še nekaj primerov:

  Najprej pomnožite prvi dve številki.   Na primer   4 5 (\\ prikazni slog 4 ^ (5)) =   4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Brez skrbi - postopek izračuna ni tako zapleten, kot se zdi na prvi pogled. Najprej pomnožite prvi dve štirici, nato pa ju nadomestite z rezultatom. Takole:

•   4 5 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  •   4 ∗ 4 \u003d 16 (\\ prikazni slog 4 * 4 \u003d 16)

1.   Rezultat pomnožite (v našem primeru 16) z naslednjo številko. Vsak naslednji rezultat se bo sorazmerno povečal. V našem primeru pomnožite 16 s 4. Takole:

   •   4 5 \u003d 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     •   16 ∗ 4 \u003d 64 (\\ prikazni slog 16 * 4 \u003d 64)
   •   4 5 \u003d 64 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     •   64 ∗ 4 \u003d 256 (\\ prikazni slog 64 * 4 \u003d 256)
   •   4 5 \u003d 256 ∗ 4 (\\ prikazni slog 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     •   256 ∗ 4 \u003d 1024 (\\ prikazni slog 256 * 4 \u003d 1024)
   • Nadaljujte z množenjem rezultata, če prvi dve številki pomnožite z naslednjo številko, dokler ne dobite končnega odgovora. Če želite to narediti, pomnožite prvi dve številki in nato rezultat pomnožite z naslednjo številko v zaporedju. Ta metoda velja za katero koli diplomo. V našem primeru morate dobiti:   4 5 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2.   Rešite naslednje naloge.   Odgovor preverite s kalkulatorjem.

   •   8 2 (\\ prikazni slog 8 ^ (2))
   •   3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   •   10 7 (\\ displaystyle 10 ^ (7))

3.   Na kalkulatorju poiščite ključ z oznako "exp" ali "   x n (\\ displaystyle x ^ (n))", Ali" ^ ".   S to tipko boste številko dvignili na moč. Skoraj nemogoče je ročno izračunati stopnjo z velikim eksponentom (na primer stopnjo   9 15 (\\ displaystyle 9 ^ (15))), vendar se kalkulator zlahka spopade s to nalogo. V sistemu Windows 7 lahko standardni kalkulator preide v inženirski način; Če želite to narediti, kliknite »Pogled« -\u003e »Inženiring«. Za prehod v običajni način kliknite "Pogled" -\u003e "Normalno".

   • Preverite odziv z iskalnikom (Google ali Yandex). S tipko »^« na računalniški tipkovnici v iskalnik vnesite izraz, ki takoj prikaže pravilen odgovor (in po možnosti ponuja podobne izraze za študij).

   Seštevanje, odštevanje, množenje stopinj

   1.   Dodajanje in odštevanje stopenj je možno le, če imata isti temelj.   Če morate dodati stopnje z enakimi podlagami in kazalci, lahko postopek dodajanja nadomestite z operacijo množenja. Na primer izraz   4 5 + 4 5 (\\ prikazni slog 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Ne pozabite na to stopnjo   4 5 (\\ prikazni slog 4 ^ (5))   lahko predstavimo kot   1 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); na ta način   4 5 + 4 5 \u003d 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 \u003d 2 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (kjer je 1 +1 \u003d 2). Se pravi, preštejte število podobnih stopenj, nato pa takšno stopnjo in to število pomnožite. V našem primeru dvignite 4 na peto moč in nato rezultat pomnožite z 2. Ne pozabite, da lahko operacijo seštevanja nadomestimo z operacijo množenja, npr.   3 + 3 \u003d 2 ∗ 3 (\\ prikazni slog 3 + 3 \u003d 2 * 3). Tu je še nekaj primerov:

      •   3 2 + 3 2 \u003d 2 ∗ 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      •   4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 ∗ 4 5 (\\ prikazni slog 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      •   4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ prikazni slog 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      •   4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ prikaz slog 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2.   Ko množimo stopnje z isto bazo, se njihovi kazalniki seštevajo (osnova se ne spreminja).   Na primer izraz   x 2 ∗ x 5 (\\ prikaz slog x ^ (2) * x ^ (5)). V tem primeru morate samo sešteti kazalnike, pri čemer osnovo pustite nespremenjeno. Na ta način   x 2 ∗ x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Tu je jasna razlaga tega pravila:

        Ko dvignemo moč na moč, se kazalniki pomnožijo.   Na primer, podeljena je diploma. Ker se eksponenti množijo, torej   (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Bistvo tega pravila je, da stopnjo pomnožite   (x 2) (\\ prikazni slog (x ^ (2)))   k sebi petkrat. Takole:

      •   (x 2) 5 (\\ prikazni slog (x ^ (2)) ^ (5))
      •   (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Ker je osnova enaka, se eksponenti preprosto seštevajo:   (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3.   Negativno stopnjo je treba pretvoriti v ulomek (obratno).   Ni pomembno, če ne veste, kaj je obratna stopnja. Če ste dobili diplomo z negativnim kazalnikom, npr.   3 - 2 (\\ prikazni slog 3 ^ (- 2)), napišite to stopnjo v imenovalec ulomka (v števcu vstavite 1) in indikator naredite pozitiven. V našem primeru:   1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2)))). Tu je še nekaj primerov:

        Pri delitvi stopenj z isto bazo se njihovi kazalniki odštejejo (osnova se hkrati ne spreminja).   Operacija delitve je nasprotna operaciji množenja. Na primer izraz   4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Odštejemo eksponent v imenovalcu od eksponenta v števcu (ne spreminjajmo osnove). Na ta način   4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Stopnjo v imenovalcu lahko zapišete na naslednji način: 1 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) =   4 - 2 (\\ prikazni slog 4 ^ (- 2)). Ne pozabite, da je ulomek število (stopnja, izraz) z negativnim eksponentom.

   4.   Spodaj je nekaj izrazov, s pomočjo katerih se boste naučili reševati težave s stopinjami.   Zgornji izrazi zajemajo material, predstavljen v tem razdelku. Če želite videti odgovor, samo izberite prazen prostor za znakom enako.

   Reševanje težav z delnimi eksponenti

     Stopnja z delnim eksponentom (na primer) se pretvori v operacijo ekstrakcije korenov.   V našem primeru:   x 1 2 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (2))) =   x (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). Ni pomembno, kakšno je število v imenovalcu delne eksponente. Na primer   x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4)))   - to je koren četrte stopnje iz "x", torej   x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Če je eksponent napačna frakcija, potem lahko takšno stopnjo razstavimo na dve stopinji, da bi poenostavili rešitev problema. Pri tem ni nič zapletenega - samo spomnite se pravila množenja stopinj. Na primer, podeljena je diploma. Takšno stopnjo spremenite v koren, katere stopnja bo enaka imenovalcu kazalca frakcije, in nato dvignite korenino do stopnje, ki je enaka števcu kazalca frakcije. Če želite to narediti, si to zapomnite   5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) =   (1 3) ∗ 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). V našem primeru:

      •   x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)))
      •   x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      •   x 5 3 \u003d x 5 ∗ x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) =   (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Na nekaterih kalkulatorjih je gumb za izračun stopinj (najprej morate vnesti bazo, nato pritisniti gumb in nato vnesti indikator). Označena je kot ^ ali x ^ y.
   3. Ne pozabite, da je katero koli število v prvi stopnji enako sebi, npr.   4 1 \u003d 4. (\\ prikazni slog 4 ^ (1) \u003d 4.)   Poleg tega je vsako število, pomnoženo ali deljeno z enim, enako sebi, npr.   5 ∗ 1 \u003d 5 (\\ prikazni slog 5 * 1 \u003d 5)   in   5/1 \u003d 5 (\\ prikazni slog 5/1 \u003d 5).
   4. Vedite, da stopnja 0 0 ne obstaja (takšna stopnja nima rešitve). Če poskusite rešiti takšno stopnjo na kalkulatorju ali v računalniku, se prikaže napaka. Ne pozabite pa, da je katero koli število do ničle moči 1, npr.   4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. V višji matematiki, ki deluje z namišljenimi števili:   e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)kje   i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e konstanta, približno enaka 2,7; a je poljubna konstanta. Dokaz te enakosti je v katerem koli učbeniku o višji matematiki.

   Opozorila

   • S povečanjem eksponenta se njegova vrednost znatno poveča. Če se vam torej zdi odgovor napačen, se lahko v resnici izkaže, da je pravilen. To lahko preverite tako, da narišete katero koli eksponentno funkcijo, na primer 2 x.

Dvig do negativne stopnje je eden osnovnih elementov matematike, ki ga pogosto najdemo pri reševanju algebričnih problemov. Glejte spodaj za podrobna navodila.

Kako do negativne stopnje - teorija

Ko številimo običajno moč, njeno vrednost pomnožimo večkrat. Na primer, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Z negativnim deležem velja ravno obratno. Splošni pogled po formuli ima naslednjo obliko: a -n \u003d 1 / a n. Če želite število dvigniti na negativno stopnjo, morate enoto razdeliti na dano število, vendar na pozitivno.

Kako do negativne stopnje - primeri navadnih številk

Upoštevajoč zgornje pravilo, rešimo nekaj primerov.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
  Odgovor: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
  Odgovor je -4 -2 \u003d 1/16.

Toda zakaj je odgovor v prvem in drugem primeru enak? Dejstvo je, da ko negativno število dvignemo na enakomerno moč (2, 4, 6 itd.), Znak postane pozitiven. Če bi bila stopnja enakomerna, bi minus ostal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako zvišati na negativno stopnjo - številke od 0 do 1

Spomnimo se, da pri dvigu števila v območju od 0 do 1 na pozitivno stopnjo vrednost pada z naraščajočo stopnjo. Torej na primer 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25

Primer 3: Izračunajte 0,5 -2
  Rešitev: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
  Odgovor: 0,5 -2 \u003d 4

Analiza (zaporedje dejanj):

• Decimalni ulomek 0,5 prevedemo v delno 1/2. To je lažje.
    Dvignite 1/2 do negativne stopnje. 1 / (2) –2. Razdelimo 1 na 1 / (2) 2, dobimo 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Primer 4: Izračunajte 0,5 –3
  Rešitev: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Primer 5: Izračunajte -0,5 -3
  Rešitev: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
  Odgovor: -0,5 -3 \u003d -8

Na podlagi 4. in 5. primera izvlečemo več sklepov:

• Za pozitivno število v območju od 0 do 1 (primer 4), dvignjeno na negativno stopnjo, enakomernost ali nenavadnost stopnje ni pomembna, vrednost izraza bo pozitivna. V tem primeru je večja stopnja, večja je vrednost.
• Pri negativnem številu v območju od 0 do 1 (primer 5), dvignjenem na negativno stopnjo, sta enakomernost ali neparnost stopinje nepomembni, vrednost izraza bo negativna. Poleg tega je večja stopnja, manjša je vrednost.

Kako zvišati na negativno stopnjo - stopnjo v obliki delne številke

Izrazi te vrste imajo naslednjo obliko: a -m / n, kjer je a navadno število, m je števec stopinj, n je imenovalec stopnje.

Razmislite o primeru:
  Izračunajte: 8 -1/3

Rešitev (zaporedje dejanj):

• Spomnimo se pravila dviga števila na negativno stopnjo. Dobimo: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Obvestilo v imenovalcu je številka 8 delna moč. Splošna oblika izračuna frakcijske stopnje je naslednja: a m / n \u003d n √8 m.
• Tako je 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Dobimo kocko korenine osem, kar je 2. Na podlagi tega je 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Odgovor: 8 -1/3 \u003d 2

V šoli vsi poznamo pravilo eksponentizacije: vsako število z indeksom N je enako rezultatu, če to število pomnožimo s samim N-im številom krat. Z drugimi besedami, 7 na moč 3 je 7 pomnoženo s trikrat, to je 343. Drugo pravilo - dvig poljubne vrednosti na moč 0 daje eno, dvig negativne vrednosti pa je rezultat običajnega dviga na moč, če je enakomeren, enak rezultat z znakom minus, če je liho.

Pravila dajejo tudi odgovor, kako številko dvigniti na negativno stopnjo. Če želite to narediti, morate na običajen način sestaviti želeno vrednost na indikatorski modul in nato enoto razdeliti na rezultat.

Iz teh pravil je jasno, da bo za izvajanje resničnih nalog z velikimi količinami potrebna razpoložljivost tehničnih sredstev. Ročno se bo izkazalo, da sam pomnoži največji obseg števil do dvajset in trideset, nato pa največ tri- ali štirikrat. Ne gre omeniti dejstva, da je potem tudi enota razdeljena na rezultat. Zato bomo za tiste, ki nimate pri roki posebnega inženirskega kalkulatorja, povedali, kako v Excelu dvigniti številko na negativno moč.

Reševanje težav v Excelu

Za reševanje težav z odličnostjo vam Excel omogoča uporabo ene od dveh možnosti.

Prva je uporaba formule s standardnim simbolom kapice. V celice delovnega lista vnesite naslednje podatke:

Na enak način lahko poljubno zvišujete želeno vrednost - negativno, delno. Izvedemo naslednje korake in odgovorimo na vprašanje, kako določiti številko na negativno stopnjo. Primer:

V formuli lahko neposredno popravite \u003d B2 ^ -C2.

Druga možnost je uporaba pripravljene funkcije "Stopnja", ki prevzame dva potrebna argumenta - številko in indikator. Če ga želite začeti uporabljati, je dovolj, da v katero koli prazno celico vstavite znak enakosti (\u003d), ki označi začetek formule, in vnesete zgornje besede. Ostane še dve celici, ki bosta sodelovali v operaciji (ali ročno določite določene številke) in pritisnite tipko Enter. Oglejmo si nekaj preprostih primerov.

Kot vidite, ni ničesar zapletenega pri povečanju števila na negativno moč in na običajno, ki uporablja Excel. Za reševanje te težave lahko uporabite tako znan simbol "cap" in vgrajeno programsko funkcijo, ki je primerna za zapomnitev. To je vsekakor plus!

Pojdimo na bolj zapletene primere. Spomnimo se pravila, kako številko dvigniti na negativno moč frakcijskega značaja in videti, da se ta naloga v Excelu zelo enostavno reši.

Delni kazalniki

Skratka, algoritem za izračun števila z delnim eksponentom je naslednji.

1. Delno pretvorite v pravi ali napačen ulomek.
2. Zvišajte našo številko na števcu dobljenega pretvorbenega uloma.
3. Iz števila, dobljenega v prejšnjem odstavku, izračunajte koren, s pogojem, da bo imenovalec uloma, dobljen v prvi stopnji, eksponent korena.

Strinjajte se, da lahko takšni izračuni tudi z majhnim številom in pravimi ulomki trajajo veliko časa. Dobro je, da procesorju tabel Excel ni vseeno, katero številko in v kakšni stopnji zvišati. Poskusite rešiti naslednji primer na delovnem listu v Excelu:

S pomočjo zgornjih pravil lahko preverite in se prepričate, da je izračun pravilen.

Na koncu našega članka predstavljamo v obliki tabele s formulami in daje več primerov, kako številko dvigniti na negativno stopnjo, pa tudi nekaj primerov z delujočimi delnimi številkami in stopinjami.

Tabela primerov

Preverite naslednje primere na delovnem listu delovnega zvezka Excela. Da bi vse pravilno delovalo, morate pri kopiranju formule uporabiti mešano povezavo. Popravite številko stolpca, ki vsebuje dvignjeno številko, in številko vrstice, ki vsebuje metriko. Vaša formula naj bo videti nekako takole: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Upoštevajte, da je mogoče pozitivne številke (tudi neštevilčna števila) izračunati brez težav pri katerem koli kazalcu. Z gradnjo poljubnih števil v celotnih številkah ni težav. Toda dvig negativne številke na delno moč se bo za vas izkazal za napako, saj je nemogoče izpolniti pravilo, ki je navedeno na začetku našega članka o dvigu negativnih števil, ker je parnost značilnost celotnega celotnega števila.

Število, dvignjeno na moč   pokličejo številko, ki se večkrat pomnoži sama s seboj.

Stopnja števila z negativno vrednostjo (a - n)    lahko določimo po podobnosti, kako določimo stopnjo istega števila s pozitivnim kazalcem (a n)   . Vendar pa zahteva tudi dodatno opredelitev. Formula je opredeljena kot:

a - n    \u003d (1 / a n)

Lastnosti negativnih vrednosti moči števil so podobne močim pozitivnega eksponenta. Oddana enačba a   m / a n \u003d a m-n    lahko pošteno kot

« Nikjer, tako kot pri matematiki, jasnost in natančnost sklepa ne omogoča, da se človek zbere od odgovora s pogovorom o vprašanju».

A. D. Alexandrov

ob n    več m   , in m    več n   . Razmislite o primeru: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Najprej morate določiti številko, ki deluje kot definicija stopnje. b \u003d a (-n)   . V tem primeru -n    je kazalnik stopnje b    - želeno številčno vrednost, a    - osnova stopnje v obliki naravne številčne vrednosti. Nato določite modul, to je absolutno vrednost negativnega števila, ki deluje kot eksponent. Izračunajte stopnjo določenega števila relativnega absolutnega števila kot kazalca. Stopnjo ugotovimo tako, da enoto delimo s posledičnim številom.

Sl. 1

Upoštevajte moč negativnega delnega števila. Predstavljajte si, da je a poljubno pozitivno število, številka n    in m   - naravne številke. Po definiciji a   dvignili na oblast -    je enaka enoti, deljeni z istim številom s pozitivno stopnjo (slika 1). Kadar je moč števila ulomek, se v takih primerih uporabljajo samo številke s pozitivnimi eksponenti.

Vredno si je zapomnitida nič ne more biti kazalnik moči števila (pravilo delitve na nič).

Širjenje takšnega pojma kot število je postalo takšno manipulacijo, kot so izračuni izračunov, pa tudi razvoj matematike, kot je znanost. Vnos negativnih vrednosti je bil posledica razvoja algebre, ki je dala splošne rešitve aritmetičnih problemov, ne glede na njihov specifičen pomen in začetne številčne podatke. V Indiji, že v VI-XI stoletju, so se negativne vrednosti števil sistematično uporabljale med reševanjem problemov in so jih razlagale enako kot danes. V evropski znanosti so se negativna števila začela širše uporabljati zahvaljujoč R. Descartesu, ki je dal geometrijsko razlago negativnih števil kot smeri segmentov. Descartes je predlagal določitev števila dvignjenih na moč, ki bi jo lahko prikazali kot dvotirno formulo a n .

najdemo z uporabo množenja. Na primer: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. Ta izraz pravi, da je seštevek enakih izrazov spremenil v delo. In obratno, če beremo to enakost od desne proti levi, dobimo, da smo seštevek enakih izrazov razširili. Podobno lahko zmanjšate produkt iz več enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6.

To pomeni, da namesto množenja šestih enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 napišejo 5 6 in rečejo "pet do šeste moči".

Izraz 5 6 je moč števila, kjer:

5 - stopnja osnova;

6 - eksponent.

Pokličejo se dejanja, s katerimi se produkt enakih faktorjev zmanjša na moč eksponentacija.

Na splošno je stopnja z bazo "a" in eksponentom "n" zapisana kot

Dvigniti število a na moč n pomeni najti produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak a

Če je osnova stopnje „a“ enaka 1, bo vrednost stopnje za vsako pozitivno celo število n enaka 1. Na primer, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Če zvišate številko "a", ki jo želite dvigniti prva stopnja, dobimo številko a: a 1 \u003d a

Če zvišate katero koli številko v nič stopinj, potem kot rezultat izračunov dobimo enega. a 0 \u003d 1

Posebej upoštevajte drugo in tretjo stopnjo števila. Prišli so do imen: imenuje se druga stopnja kvadratna številkatretji - kocka   od tega števila.

Vsako število lahko povečamo na moč - pozitivno, negativno ali nič. Hkrati se ne uporabljajo naslednja pravila:

Ko ugotovimo stopnjo pozitivnega števila, dobimo pozitivno število.

Ko izračunamo nič v naravni stopnji, dobimo nič.

x m X n \u003d x m + n

na primer: 7 1,7,7 - 0,9 \u003d 7 1,7 + (- 0,9) \u003d 7 1,7 - 0,9 \u003d 7 0,8

Do razdeljene stopnje z enakimi razlogi   osnova se ne spremeni in odštejemo eksponente:

x m / x n \u003d x m - n kje m\u003e n,

na primer: 13 3,8 / 13 -0,2 \u003d 13 (3,8 -0,2) \u003d 13 3,6

V izračunih eksponentacija   ne spreminjamo osnove, ampak eksponente množimo med seboj.

(pri m ) n \u003d y m   n

na primer: (2 3) 2 \u003d 2 3 · 2 \u003d 2 6

(x y) n \u003d x n · pri m ,

na primer: (2 · 3) 3 \u003d 2 n · 3 m,

Pri izvajanju izračunov na eksponentacijana to stopnjo dvignemo števec in imenovalec ulomka

(x / y) n \u003d x n / n

na primer: (2/5) 3 \u003d (2/5) · (2/5) · (2/5) \u003d 2 3/5 3.

Zaporedje izračunov pri delu z izrazi, ki vsebujejo stopnjo.

Pri izračunih izrazov brez oklepajev, ki vsebujejo stopnje, se najprej dvignejo do stopnje, nato operacije množenja in deljenja in šele nato operacije seštevanja in odštevanja.

Če morate izračunati izraz, ki vsebuje oklepaje, najprej v zgornjem vrstnem redu opravite izračune v oklepajih, nato pa preostala dejanja v istem zaporedju od leve proti desni.

V praktičnih izračunih so pripravljene tabele stopinj zelo široko uporabljene v praktičnih izračunih.

Lekcija in predstavitev na temo: "Stopnja z negativnim kazalnikom. Opredelitev in primeri reševanja problemov"

Dodatni materiali
  Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov. Vse materiale preverja protivirusna programska oprema.

Priročniki za usposabljanje in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 8. razred
Priročnik za učbenik Muravina G.K. Priročnik za učbenik Alimova Sh.A.

Negativno izpostavljanje

Dobro vemo, da je katero koli število na ničelni stopnji enako enaki. $ a ^ 0 \u003d 1 $, $ a ≠ 0 $.
  Postavlja se vprašanje, kaj se bo zgodilo, če bo število dvignjeno na negativno moč? Na primer, koliko je število $ 2 ^ (- 2) $?
  Prvi matematiki, ki so postavili to vprašanje, so se odločili, da ni vredno ponovno izumiti kolesa, in dobro je, da so vse lastnosti stopinj ostale enake. Se pravi, ko se stopnje pomnožijo z isto osnovo, se eksponenti seštevajo.
  Poglejmo naslednji primer: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
  Dobili smo, da mora produkt takšnih številk dati enotnost. Enota v izdelku dobimo z množenjem vzajemnih števil, to je $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

Takšno sklepanje je privedlo do naslednje opredelitve.
  Opredelitev Če je $ n $ pozitivno celo število in $ a ≠ 0 $, velja enakost: $ a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

Pomembna identiteta, ki se pogosto uporablja, je: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (\\ frac (b) (a)) ^ n $.
  Zlasti $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d a ^ n $.

Primeri rešitev

Rešitev.
Vsak termin obravnavamo posebej.
  1. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
  2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (25) (4) $.
  3. $ 8 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
  Ostaja izvajanje operacij seštevanja in odštevanja: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) \u003d 6 \\ frac (1) (4) $.
  Odgovor: $ 6 \\ frac (1) (4) $.

Primer 2
Predstavi dano število kot moč primarnega $ \\ frac (1) (729) $.

Rešitev.
Očitno je, da je $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
  Toda 729 ni prvo število, ki se konča z 9. Lahko je domnevati, da je to število moč treh. Kasneje 729 razdelite na 3.
  1) $ \\ frac (729) (3) \u003d 243 $;
  2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $;
  3) $ \\ frac (81) (3) \u003d 27 USD;
  4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $;
  5) $ \\ frac (9) (3) \u003d 3 $;
  6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
  Končanih je šest operacij, kar pomeni: 729 $ \u003d 3 ^ 6 $.
  Za našo nalogo:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
  Odgovor: $ 3 ^ (- 6) $.

Primer 3. Predstavljajte si izraz kot moč: $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
  Rešitev. Prvo dejanje se vedno izvede znotraj oklepajev, nato pa množenje $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5))) \u003d a ^ (-4 - (- 5)) \u003d a ^ (- 4 + 5) \u003d a $.
  Odgovor: $ a $.

Primer 4. Dokažite identiteto:
  $ (\\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

Rešitev.
  Na levi strani upoštevamo vsak faktor v oklepajih posebej.
  1. $ \\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \\ frac (y) (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \\ y ^ 2) (x + 2y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x) ) \u003d \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
  2. $ \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x))) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d \\ frac (y) (x ^ 2) $.
  3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
  4. Preidemo na ulomek, v katerega delimo.
  $ \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1- \\ frac (y) (x)) (\\ frac (x) (y) +1 ) \u003d \\ frac (\\ frac (xy) (x)) (\\ frac (x + y) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
  5. Izvedite delitev.
$ \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
  Po potrebi smo dobili pravilno identiteto.

Na koncu lekcije ponovno zapišemo pravila delovanja s stopinjami, tukaj je eksponent celo število.
  $ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
  $ \\ frac (a ^ s) (a ^ t) \u003d a ^ (s-t) $.
  $ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
  $ (ab) ^ s \u003d a ^ s * b ^ s $.
  $ (\\ frac (a) (b)) ^ s \u003d \\ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Naloge za samostojno rešitev

Dvig do negativne stopnje je eden osnovnih elementov matematike, ki ga pogosto najdemo pri reševanju algebričnih problemov. Glejte spodaj za podrobna navodila.

  Kako do negativne stopnje - teorija

Ko številimo običajno moč, njeno vrednost pomnožimo večkrat. Na primer, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Z negativnim deležem velja ravno obratno. Splošni pogled po formuli ima naslednjo obliko: a -n \u003d 1 / a n. Če želite število dvigniti na negativno stopnjo, morate enoto razdeliti na dano število, vendar na pozitivno.

  Kako do negativne stopnje - primeri navadnih številk

Upoštevajoč zgornje pravilo, rešimo nekaj primerov.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
  Odgovor: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
  Odgovor je -4 -2 \u003d 1/16.

Toda zakaj je odgovor v prvem in drugem primeru enak? Dejstvo je, da ko negativno število dvignemo na enakomerno moč (2, 4, 6 itd.), Znak postane pozitiven. Če bi bila stopnja enakomerna, bi minus ostal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

  Kako zvišati na negativno stopnjo - številke od 0 do 1

Spomnimo se, da pri dvigu števila v območju od 0 do 1 na pozitivno stopnjo vrednost pada z naraščajočo stopnjo. Torej na primer 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primer 3: Izračunajte 0,5 -2
  Rešitev: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
  Odgovor: 0,5 -2 \u003d 4

Analiza (zaporedje dejanj):

• Decimalni ulomek 0,5 prevedemo v delno 1/2. To je lažje.
    Dvignite 1/2 do negativne stopnje. 1 / (2) –2. Razdelimo 1 na 1 / (2) 2, dobimo 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Primer 4: Izračunajte 0,5 –3
  Rešitev: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Primer 5: Izračunajte -0,5 -3
  Rešitev: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
  Odgovor: -0,5 -3 \u003d -8

Na podlagi 4. in 5. primera izvlečemo več sklepov:

• Za pozitivno število v območju od 0 do 1 (primer 4), dvignjeno na negativno stopnjo, enakomernost ali nenavadnost stopnje ni pomembna, vrednost izraza bo pozitivna. V tem primeru je večja stopnja, večja je vrednost.
• Pri negativnem številu v območju od 0 do 1 (primer 5), dvignjenem na negativno stopnjo, sta enakomernost ali neparnost stopinje nepomembni, vrednost izraza bo negativna. Poleg tega je večja stopnja, manjša je vrednost.

  Kako zvišati na negativno stopnjo - stopnjo v obliki delne številke

Izrazi te vrste imajo naslednjo obliko: a -m / n, kjer je a navadno število, m je števec stopinj, n je imenovalec stopnje.

Razmislite o primeru:
  Izračunajte: 8 -1/3

Rešitev (zaporedje dejanj):

• Spomnimo se pravila dviga števila na negativno stopnjo. Dobimo: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Obvestilo v imenovalcu je številka 8 delna moč. Splošna oblika izračuna frakcijske stopnje je naslednja: a m / n \u003d n √8 m.
• Tako je 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Dobimo kocko korenine osem, kar je 2. Na podlagi tega je 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Odgovor: 8 -1/3 \u003d 2