Kvadratni trinom   imenovan polinom oblike sekira 2 +bx +ckje x   Je spremenljivka a,bc   Je nekaj številk in ≠ 0.

Koeficient ampak   so poklicani višje razmerje, c – brezplačni član   kvadratni trinom.

Primeri kvadratnih trinomilov:

2 x 2 + 5x + 4   (tukaj a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5   (tukaj a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9   (tukaj a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficient b   ali koeficient c   ali pa sta oba koeficienta hkrati lahko enaka nič. Na primer:

5 x 2 + 3x(tukaja \u003d 5,b \u003d 3,c \u003d 0, zato vrednost c v enačbi ni).

6x 2 - 8 (tukaj   a \u003d 6, b \u003d 0, c \u003d -8)

2x 2   (tukaj   a \u003d 2, b \u003d 0, c \u003d 0)

Vrednost spremenljivke, pri kateri polinom izgine, se imenuje polinomski koren.

Da bi našli korenine kvadratnega trinomasekira 2 + bx + c, ga morate izenačiti z ničlo -
  t.j. reši kvadratno enačbosekira 2 + bx + c \u003d0 (glej razdelek "Kvadratna enačba").

Faktorizacija kvadratnega trinomala

Primer:

Faktor trinoma 2 x   2 + 7x - 4.

Vidimo: koeficient ampak = 2.

Zdaj najdemo korenine trinoma. Če želite to narediti, ga enačimo z ničlo in rešimo enačbo

2x   2 + 7x - 4 \u003d 0.

Kako je takšna enačba rešena, si oglejte v razdelku »Formule korenin kvadratne enačbe. Diskriminatorna. " Tukaj takoj pokličemo rezultat izračunov. Naš trinomal ima dve korenini:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d –4.

V svoji formuli nadomestimo vrednosti korenin in pri tem vzamemo vrednost koeficienta ampak, in dobili:

2x 2 + 7x - 4 \u003d 2 (x - 1/2) (x + 4).

Rezultat lahko zapišemo drugače, če koeficient 2 pomnožimo z binomom x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 \u003d (2x - 1) (x + 4).

Problem je rešen: trinomal je faktoriziran.

Takšno razkroj lahko dobimo za kateri koli kvadratni trinomal s koreninami.

POZOR!

Če je diskriminator kvadratnega trinomala nič, potem ima ta trinomial eno korenino, pri razširitvi trinomala pa ta koren vzamemo kot vrednost dveh korenin - torej kot isto vrednost x   1 inx 2 .

Na primer, trinomal ima en koren, ki je enak 3. Nato je x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

bryansk

povzetek lekcije

na temo

Učitelj matematike in računalništva

Kireeva Marija Algpimantasovna

Cilji:

priklicati načine faktoringa: izven oklepaja, z uporabo formul skrajšanega množenja in metode razvrščanja;

vnesite faktorski faktor za kvadratni trinom in ga dokažite;

razviti uporabo formule s primeri;

ustvariti pogoje za razvoj kognitivnega zanimanja za predmet, oblikovanje logičnega razmišljanja in samokontrole pri uporabi faktorizacije.

Vrsta lekcije:   pouk učenje novega gradiva

Oprema   projektor, predstavitev, kartice s številkami 1, 2,3,4.

Organizacijski trenutek. Poročanje tem, ciljev, ciljev pouka in motivacija za učne dejavnosti (2 min).

Posodabljanje znanja študentov (5 min)

Učenje novega gradiva (15 min).

Pritrditev formule v primerih (15 min).

Testiranje samokontrole (3 min).

Povzemanje pouka (1 min).

Postavitev domače naloge (1 min).

Odsev (0,5 min).

Napredek lekcije:

Kvadratni trinomal je polinom oblike ax ^ 2 + bx + c, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in a ni enako nič.
   Pravzaprav je prva stvar, ki jo moramo vedeti, da lahko določimo nesrečni trinomal, teorem. Izgleda nekako takole: "Če sta x1 in x2 korenine kvadratne trinomske seki ^ 2 + bx + c, potem je os ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x1) (x-x2)". Seveda obstaja dokaz te teoreme, vendar zahteva nekaj teoretičnega znanja (če v polinomni os ^ 2 + bx + c dobimo faktor a, dobimo os ^ 2 + bx + c \u003d a (x ^ 2 + (b / a)) x + c / a) Po Viettovem teoremu je x1 + x2 \u003d - (b / a), x1 * x2 \u003d c / a, torej b / a \u003d - (x1 + x2), c / a \u003d x1 * x2. , x ^ 2 + (b / a) x + c / a \u003d x ^ 2- (x1 + x2) x + x1x2 \u003d x ^ 2-x1x-x2x + x1x2 \u003d x (x-x1) -x2 (x-x1 ) \u003d (x-x1) (x-x2). Zato je sekira ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x1) (x-x2) Včasih so učitelji prisiljeni učiti dokaz, če pa ni povpraševanja, svetujem, da se le spomnite končna formula.

2 korak

Vzemimo za primer trinomial 3x ^ 2-24x + 21. Prva stvar, ki jo moramo storiti, je enačitev trinomala na nič: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0. Korenine dobljene kvadratne enačbe bodo korenine trinomala.

3 korak

Reši enačbo 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0. a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21. Tako se odločimo. Kdo ne ve, kako rešiti kvadratne enačbe, poglej moje navodilo z dvema načinoma, kako jih rešiti na primeru iste enačbe. Nastale korenine so x1 \u003d 7, x2 \u003d 1.

4 korak

Zdaj, ko imamo korenine trinomala, jih lahko varno nadomestimo v formuli \u003d) ax ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x1) (x-x2)
  dobimo: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 3 (x-7) (x-1)
  Član a se lahko znebite tako, da ga v oklepaju: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d (x-7) (x * 3-1 * 3)
na koncu dobimo: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d (x-7) (3x-3). Opomba: vsak od pridobljenih faktorjev ((x-7), (3x-3) je polinom prve stopnje. To je celotna ekspanzija \u003d) Če dvomite v odgovor, ga lahko vedno preverite tako, da pomnožite oklepaje.

5 korakov

Preverjanje rešitve. 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 3 (x-7) (x-3)
  (x-7) (3x-3) \u003d 3x ^ 2-3x-21x + 21 \u003d 3x ^ 2-24x + 21. Zdaj zagotovo vemo, da je naša odločitev prava! Upam, da moj pouk komu pomaga \u003d) Srečno s študijem!

• V našem primeru smo v enačbi D\u003e 0 dobili vsaka 2 korenini. Če bi bil D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Če kvadratni trinomi nima korenin, potem ga ni mogoče faktorizirati, to so polinomi prve stopnje.

Razvoj odprtega pouka

v algebri v 8. razredu

na temo: “Kvadratni trinom. Faktorizacija kvadratnega trinoma. "

Učitelj matematike na srednji šoli №16 KSU v Karagandi

Bekenova G.M.

Karaganda 2015

"Matematike ni mogoče proučevati z opazovanjem."

Larry Niven - profesor matematike

Tema lekcije:

Kvadratni trinom.

Faktorizacija kvadratnega trinomala.

Cilji lekcije:

1. Za uspešno izpolnjevanje in uporabo znanja vseh učencev v razredu s faktorjem kvadratnega triniala.

2. Spodbujati: a) razvoj samokontrole in samoizobraževanja,

b) sposobnost uporabe interaktivne table,

c) razvoj matematične pismenosti, natančnosti.

3. Vzgojiti sposobnost kompetentnega, jedrnatega izražanja misli, prenašati stališče sošolcev in prejemati zadovoljstvo nad doseženimi rezultati.

Vrsta lekcije:   kombinirana lekcija z diferenciranim in individualnim pristopom z elementi razvijanja in izpopolnjevanja.

Kraj pouka:   tretjo lekcijo na to temo (osnovno), v prvih dveh so se učenci naučili definicije kvadratnega trinomala, se naučili poiskati njegove korenine, se seznanili z algoritmom za razgradnjo kvadratnega trinomala na faktorje, kar bo še naprej pomagalo pri reševanju enačb, zmanjšanju ulomkov in preoblikovanju algebričnih izrazov.

Struktura lekcije:

1   Posodabljanje znanja z diferenciranim pristopom do študentov.

2   Nadzor - samotestiranje predhodno pridobljenega znanja.

3   Predstavitev novega gradiva je deloma način iskanja.

4   Primarna konsolidacija preučenega, individualno diferenciranega pristopa.

5   Razumevanje, posploševanje znanja.

6   Postavitev domačih nalog z metodo problemskega usposabljanja.

Oprema interaktivna tabla, deska, opravilne kartice, učbenik Algebra 8, ogljikov papir in prazni papirji, fiziognostični simboli.

Lekcija

Organizacijski trenutek   (1 minuta).

1. pozdrav študentov; preverjanje njihove pripravljenosti za pouk.

2. Sporočite namen lekcije.

I oder.

“Ponavljanje je mati učenja. "

1. Preverite domače naloge. Št. 476 (b, d), št. 474, št. 475

2. Individualno delo s kartami (4 osebe) (med preverjanjem domače naloge) (5 minut)

II stopnja.

»Zaupajte, vendar preverite«

Preverjanje deluje s samokontrolo.

Preverjanje (prek ogljikovega papirja) s samopreizkusom.

I možnost m II možnosti t

1) 2)

2. S faktorjem sestavite kvadratni trinom:

Odgovori

za preizkus dela

"Zaupajte, vendar preverite."

1. Poiščite korenine kvadratnega trinoma:

I varianta II spremenljivka nt

2. S faktorjem sestavite kvadratni trinom:

1) (X-3) (X + 5); 1) (X + 9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X (X-16);

3) 4 (X-6) (X + 6). 3) 7 (X-3) (X + 3).

Nekaj \u200b\u200bživih odgovorov na opombo.

Vprašanje za študente:

Kje po vašem mnenju je mogoče uporabiti faktorizacijo kvadratnega trinomala?

Res je: pri reševanju enačb oz.

ob zmanjšanju frakcij,

pri preoblikovanju algebričnih izrazov.

II. Stopnja

” Spretnost in delovna sila bosta vse pomenila   (10 minut)

1. Razmislite o uporabi faktorizacije kvadratskega triinoma pri zmanjšanju ulomkov. Študenti delajo na tabli.

Zmanjšajte delež:

2. Zdaj razmislimo o uporabi faktorizacije kvadratnega triinoma pri transformacijah algebričnih izrazov.

Učbenik. Algebra 8. str. 126 št. 570 (b)

Zdaj pokažite, kako uporabljate faktorizacijo kvadratnega trinomala.

Stopnja IV

"Stisnite železo, ko je vroče!"

Samostojno delo (13 minut)

Možnost I I možnost

Zmanjšajte delež:

5. Spoznal sem, da ........

6. Zdaj lahko ........

7. Čutil sem, da ... ..

8. pridobil sem….

9. Naučil sem se ........

10. To sem storil ...........

11. Lahko bi ...

12. Bom poskusil .......

13. Bil sem presenečen ... ..

14. Lekcija mi je dala življenje….

15. Hotel sem….

Informacije o domači nalogi: za naslednjo lekcijo prinesite domačo nalogo, ki smo jo prejeli pred tednom dni.

Domače samostojno delo.

Možnost I I možnost

№ 560 (a, c) št. 560 (b, d)

№ 564 (a, c) št. 564 (b, d)

№ 566 (a) št. 566 (b)

№ 569 (a) št. 569 (b)

№ 571 (a, c) št. 571 (b, d)

Pouk je končan.

Svet je potopljen v ogromnem številu. Vsak izračun se pojavi z njihovo pomočjo.

Ljudje se naučijo številk, da v poznejšem življenju ne bi padli za prevaro. Ogromno časa je treba posvetiti izobraževanju in izračunu lastnega proračuna.

Matematika je natančna znanost, ki igra veliko vlogo v življenju. V šoli se otroci naučijo številk, nato pa akcije na njih.

Dejanja na števila so popolnoma različna: množenje, razkroj, seštevanje in drugo. Poleg preprostih formul se pri preučevanju matematike uporabljajo tudi bolj zapletena dejanja. Obstaja ogromno število formul, po katerih se prepoznajo katere koli vrednosti.

V šoli se takoj, ko se pojavi algebra, v življenje učenca dodajo formule za poenostavitev. Ko obstajata dve neznani številki, obstaja enačba, vendar ju ni mogoče najti na preprost način. Trinomial - spojina treh monomelov z uporabo preproste metode odštevanja in seštevanja. Trinomal se reši s pomočjo teorema Vieta in diskriminatorno.

Faktor za kvadratno trinomalno faktorizozacijo

Obstajata dve pravilni in preprosti primerni rešitvi.:

• diskriminatorno;
• vieta izrek.

Kvadratni trinom je neznano kvadrata kot tudi število brez kvadrata. Prva možnost za rešitev težave uporablja formulo Vieta. To je preprosta formula., če bodo številke, ki se soočajo z neznano, najmanjša vrednost.

Za ostale enačbe, kjer je število pred neznanim, mora biti enačba rešena z diskriminatorno. To je bolj zapletena rešitev, vendar diskriminatorno uporabljajo veliko pogosteje kot izrek Viete.

Za začetek morate poiskati vse spremenljivke enačbe na 0. Rešitev primera lahko preverite in številke pravilno prilagodite.

Diskriminatorno

1. Enačbo je treba enačiti z 0.

2. Vsako število pred x se imenuje številke a, b, c. Ker pred prvim kvadratom x ni številke, je enako 1.

3. Zdaj se rešitev enačbe začne z diskriminatorno:

4. Zdaj najdemo diskriminatorno in najdemo dva x. Razlika je v tem, da se bo v enem primeru soočal s plusom, v drugem pa s minusom:

5. S sklepom sta se izkazali dve številki -2 in -1. Nadomestite prvotno enačbo:

6. V tem primeru smo dobili dve pravilni možnosti. Če sta obe rešitvi ustrezni, potem je vsaka resnična.

Preko diskriminatornih se rešujejo tudi bolj zapletene enačbe. Če pa je diskriminatorna vrednost manjša od 0, je primer napačen. Razlikovalec pri iskanju je vedno pod korenom, negativna vrednost pa ne more biti v korenu.

Teorem Vieta

Uporablja se za reševanje enostavnih težav, kjer prvi x nima števila, torej a \u003d 1. Če se možnost ujema, potem se izračun izvede s teoremom Vieta.

Za reševanje katerega koli trinoma   treba je enačbo dvigniti na 0. Prvi koraki v diskriminatornem in teoremu Vieta se ne razlikujejo.

2. Zdaj se začnejo razlike med obema metodama. Vietajev izrek ne uporablja le "suhega" izračuna, temveč tudi logiko in intuicijo. Vsaka številka ima svojo črko a, b, c. Izrek uporablja vsoto in zmnožek dveh števil.

Ne pozabite! Pri dodajanju številka b vedno stoji z nasprotnim znakom, medtem ko število c ostane nespremenjeno!

Nadomestitev podatkovnih vrednosti v primer , dobimo:

3. Z metodo logike nadomestimo najprimernejša števila. Razmislimo o vseh možnostih rešitve:

1. Sliki 1 in 2. Pri seštevanju dobimo 3, če pa pomnožite, ne deluje 4. Ne ustreza.
2. Vrednost je 2 in -2. Ko se pomnoži, bo to -4, ko pa se doda, se izkaže 0. Ni primerno.
3. Številki 4 in -1. Ker ima množenje negativno vrednost, to pomeni, da bo eno od številk z minusom. Pri seštevanju in množenju je primerno. Pravilna možnost.

4. Ostaja le še preveriti, določiti številke in videti pravilnost izbrane možnosti.

5. Zahvaljujoč spletnemu preverjanju smo ugotovili, da -1 ne ustreza pogojem zgleda, kar pomeni, da je napačna rešitev.

Ko dodate negativno vrednost v primeru, morate v oklepaju vnesti številko.

V matematiki bodo vedno preproste naloge in zapletene. Sama znanost vključuje različne probleme, teoreme in formule. Če razumete in pravilno uporabljate znanje, bodo morebitne težave pri izračunih malenkosti.

Matematika ne potrebuje stalnega pomnjenja. Naučiti se morate razumeti rešitev in se naučiti nekaterih formul. Postopoma je po logičnih zaključkih mogoče rešiti podobne probleme, enačbe. Takšna znanost se lahko na prvi pogled zdi zelo težavna, a če se potopite v svet števil in nalog, se bo vaš pogled dramatično spremenil na bolje.

Tehnične posebnosti   vedno ostajajo najbolj iskani na svetu. Zdaj je matematika v svetu sodobne tehnologije postala nepogrešljiv atribut katerega koli področja. Vedno se morate spomniti uporabnih lastnosti matematike.

Trokenska ekspanzija bracken

Poleg rešitve na običajen način obstaja še en - razpad v oklepaje. Uporabite po formuli Vieta.

1. Enačbo enačite z 0.

sekira 2   + bx + c= 0

2. Korenine enačbe ostanejo enake, a namesto nič, zdaj uporabite formulo za razgradnjo v oklepaje.

sekira 2   + bx + c \u003d a (   x - x 1) (   x - x 2)

2   x 2 – 4   x – 6 = 2 (   x + 1) (   x – 3)

4. Rešitev x \u003d -1, x \u003d 3