Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni. Paralelogram ima tudi lastnosti, kot so nasprotne strani enake, nasprotni koti so enaki, vsota vseh kotov je 360 \u200b\u200bstopinj.

Potrebovali boste

• Znanje geometrije.

Navodila za uporabo

1.   Predstavljajte si, da smo dali enega od kotov paralelograma in je enak A. Najdemo vrednosti preostalih 3. Po lastnostih paralelograma so enaki nasprotni koti. Torej je kot, ki leži nasprotno od tega, enak temu in njegova vrednost je A.

2.   Najdemo preostala dva kota. Ker je vsota vseh kotov v paralelogramu 360 stopinj, nasprotni koti pa so enaki drug drugemu, se izkaže, da je kot, ki pripada eni strani s podatki, kot (360 - 2A) / 2. No, ali kasneje po reformi dobimo 180 - A. Tako sta v paralelogramu dva kota enaka A, dva druga kota pa 180 - A.

Bodite pozorni!
  Vrednost enega kota ne sme presegati 180 stopinj. Dobljene vrednosti kota se enostavno preverijo. Če želite to narediti, jih dodajte in če je vsota 360, se vse izračuna pravilno.

Koristni nasvet
  Pravokotnik in romb sta posebna primera paralelograma, zato vse lastnosti in metode izračuna kotov veljajo zanje.

1. naloga. Eden od kotov paralelograma je 65 °. Poiščite preostale kote paralelograma.

∠C \u003d ∠A \u003d 65 ° kot nasprotni koti paralelograma.

∠A + ∠B \u003d 180 ° kot kotov, ki mejijo na eno stran paralelograma.

∠V \u003d 180 ° - ∠A \u003d 180 ° - 65 ° \u003d 115 °.

∠D \u003d ∠B \u003d 115 ° kot nasprotni koti paralelograma.

Odgovor: ∠A \u003d ∠S \u003d 65 °; ∠V \u003d ∠D \u003d 115 °.

2. naloga  Vsota dveh kotov paralelograma je 220 °. Poiščite kote paralelograma.

Ker ima paralelogram 2 enaka ostra kota in 2 enaka nepropustna kota, dobimo vsoto dveh močnih kotov, tj. ∠V + ∠D \u003d 220 °. Potem je ∠V \u003d ∠D \u003d 220 ° :   2 \u003d 110 °.

+ A + ∠B \u003d 180 ° kot kotov, ki mejijo na eno stran paralelograma, zato je ∠A \u003d 180 ° - ∠B \u003d 180 ° - 110 ° \u003d 70 °. Potem je ∠C \u003d ∠A \u003d 70 °.

Odgovor: ∠А \u003d ∠С \u003d 70 °; ∠V \u003d ∠D \u003d 110 °.

3. naloga.  Eden od vogalov paralelograma je 3-krat večji od drugega. Poiščite kote paralelograma.

Naj bo ∠A \u003d x. Potem je ∠V \u003d 3h. Vemo, da je vsota kotov paralelograma, ki meji na eno stran, enaka 180 °, naredimo enačbo.

x \u003d 180 : 4;

Dobimo: ∠A \u003d h \u003d 45 °, in ∠В \u003d 3h \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

Nasproti koti paralelograma so torej enaki,

∠A \u003d ∠S \u003d 45 °; ∠V \u003d ∠D \u003d 135 °.

Odgovor: ∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠V \u003d ∠D \u003d 135 °.

4. naloga.  Dokažite, da če ima štirikotnik dve strani vzporedno in enako, potem je ta štirikotnik paralelogram.

Dokaz.

Narišite diagonalo BD in upoštevajte Δ ADB in Δ CBD.

AD \u003d BC pod pogojem. Stran BD je pogosta. ∠1 \u003d ∠2 kot notranje, ki ležijo navzkrižno za vzporedni (po predpostavki) premici AD in BC in sekant BD. Zato je Δ ADB \u003d Δ CBD na dveh straneh in kot med njimi (prvi znak enakosti trikotnikov). V enakih trikotnikov so ustrezni koti enaki, kar pomeni, da je ∠3 \u003d ∠4. In ti koti ležijo navzkrižno na premicah AB in CD in sekancu BD. To pomeni vzporednost vrstic AB in CD. Tako so v tem štirikotniku ABCD nasprotne strani parno vzporedne, torej po definiciji ABCD - paralelogrami, kot je potrebno.

5. naloga  Dve strani paralelograma se nanašata kot 2 :   5, obod pa 3,5 m. Poiščite stranice paralelograma.

∙   (AB + AD).

En del označimo s x. potem je AB \u003d 2x, AD \u003d 5x metrov. Ob vedenju, da je obod paralelograma 3,5 m, sestavimo enačbo:

2 ∙   (2x + 5x) \u003d 3,5;

2 ∙   7x \u003d 3,5;

x \u003d 3,5 : 14;

En del je 0,25 m. Nato je AB \u003d 2 ∙   0,25 \u003d 0,5 m; AD \u003d 5 ∙   0,25 \u003d 1,25 m.

Preverjanje

Obseg paralelograma P ABCD \u003d 2 ∙   (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙   1,75 \u003d 3,5 (m).

Ker sta nasprotni strani paralelograma enaki, potem je CD \u003d AB \u003d 0,25 m; BC \u003d AD \u003d 1,25 m.

Odgovor: CD \u003d AB \u003d 0,25 m; BC \u003d AD \u003d 1,25 m.

Tako kot v evklidski geometriji sta točka in ravna črta glavna elementa teorije ravnin, tako je paralelogram ena ključnih figur konveksnih štirikotnikov. Iz njega kot niti iz kroglice pritekajo pojmi „pravokotnik“, „kvadrat“, „romb“ in druge geometrijske količine.

Vkontakte

Opredelitev paralelograma

Konveksni štirikotnik, sestavljen iz segmentov, katerih vsak par je vzporeden, je v geometriji znan kot paralelogram.

Klasični paralelogram izgleda kot štirikotnik ABCD. Strani se imenujejo osnove (AB, BC, CD in AD), pravokotna črta iz katere koli točke na stran nasproti te točke se imenuje višina (BE in BF), črte AC in BD pa imenujemo diagonali.

Pozor!  Kvadrat, romb in pravokotnik so posebni primeri paralelograma.

Strani in koti: značilnosti razmerja

Ključne značilnosti na splošno   vnaprej določeno z notacijo, jih dokazuje teorem. Te lastnosti so naslednje:

1. Stranke, ki so nasprotne, so v parih enake.
2. Koti, ki se nahajajo drug proti drugemu, so enaki v parih.

Dokaz: upoštevajte ∆ABC in ∆ADC, ki ju dobite zaradi ločitve štirikotnika ABCD premice AC. ∠BCA \u003d ∠CAD in ∠BAC \u003d ∠ACD, saj sta AC skupna zanje (navpični koti za BC || AD in AB || CD). Iz tega sledi: ∆ABC \u003d ∆ADC (drugi znak enakosti trikotnikov).

Segmenta AB in BC v ∆ABC parno ustrezata črtama CD in AD v ∆ADC, kar pomeni njuno identiteto: AB \u003d CD, BC \u003d AD. Tako ∠B ustreza ∠D in so enaki. Ker so ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD, ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD, ki so tudi parno enaki, potem je ∠A \u003d ∠C. Lastnost je dokazana.

Značilnosti diagonale figure

Glavni simptomteh paralelogramskih črt: presečišče jih deli na polovico.

Dokaz: Naj bo T. E presečišče diagonale AC in BD na sliki ABCD. Tvorijo dva sorazmerna trikotnika - ∆ABE in ∆CDE.

AB \u003d CD, saj so nasprotni. Glede na črte in sekante sta ∠ABE \u003d ∠CDE in ∠BAE \u003d ∠DCE.

Po drugem kriteriju enakosti je ΔABE \u003d ΔCDE. To pomeni, da sta elementa ∆ABE in ∆CDE: AE \u003d CE, BE \u003d DE in sta hkrati sorazmerna dela AC in BD. Lastnost je dokazana.

Značilnosti sosednjih vogalov

Na sosednjih straneh je vsota kotov 180 °, saj ležijo na eni strani vzporednih črt in sekant. Za štirikotnik ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

Lastnosti bisektorjev:

1.   , spuščeni na eno stran, so pravokotni;
2. nasprotni vrhovi imajo vzporedne bisektorje;
3. trikotnik, ki ga dobimo z držanjem bisektorja, bodo enake.

Določanje značilnih značilnosti paralelograma po izrek

Značilnosti te številke izhajajo iz njenega glavnega izrekanja, ki navaja naslednje: štirikotnik se šteje za paralelogramv primeru, da se njegove diagonale sekajo, in ta točka jih razdeli na enake segmente.

Dokaz: Predpostavimo, da v T. E sekata premici AC in BD štirikotnika ABCD. Ker sta ∠AED \u003d ∠BEC in AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD, ∆AED \u003d ∆BEC (s prvim znakom enakosti trikotnikov). Se pravi, ∠EAD \u003d ∠ECB. So tudi notranji prečni koti sekanca AC za ravne črte AD in BC. Tako po definiciji paralelizma - AD || Pr. Podobna lastnost linij BC in CD je tudi izhodna. Izrek je dokazan.

Izračun površine slike

Območje te številke   ki jih najdemo z več metodamiena najpreprostejših: pomnožitev višine in osnove, na katero je vlečena.

Dokaz: črpamo pravokotni BE in CF iz točki B in C. ∆ABE in ∆DCF sta enaki, saj sta AB \u003d CD in BE \u003d CF. ABCD je izometričen s pravokotnikom EBCF, saj so sestavljeni iz proporcionalnih številk: S ABE in S EBCD, pa tudi S DCF in S EBCD. Iz tega sledi, da je območje te geometrijske figure enako pravokotniku:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

Za določitev splošne formule območja paralelograma označimo višino kot hbin na stran b. V skladu s tem:

Drugi načini iskanja območja

Površinski izračuni skozi stranice paralelograma in kotaki jih tvorijo je druga znana metoda.

,

Spr-ma - območje;

a in b sta njegovi strani

α je kot med odsekoma a in b.

Ta metoda praktično temelji na prvi, vendar v primeru, da ni znana. vedno odreže pravi trikotnik, katerega parametri so trigonometrične identitete, to je. Preoblikovanje odnosa dobimo. V enačbi prve metode nadomestimo višino s tem izdelkom in pridobimo dokaz veljavnosti te formule.

Skozi diagonale paralelograma in kota oz.  ki jih ustvarijo na križišču, najdete tudi območje.

Dokaz: AC in BD, ki se sekata, tvorita štiri trikotnike: ABE, BEC, CDE in AED. Njihova vsota je enaka površini tega štirikotnika.

Območje vsakega od teh ∆ lahko najdemo za izrazom, kjer je a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. Od takrat se v izračunih uporablja ena sama vrednost sinusa. Tako je. Ker je AE + CE \u003d AC \u003d d 1 in BE + DE \u003d BD \u003d d 2, se formula formule zmanjša na:

.

Uporaba v vektorski algebri

Značilnosti sestavnih delov tega štirikotnika so našle uporabo v vektorski algebri, in sicer: dodajanje dveh vektorjev. Pravilo paralelograma določa, da če imajo vektorje  in  ne  kolinearna, potem bo njihova vsota enaka diagonali te številke, katere osnove ustrezajo tem vektorjem.

Dokaz: iz poljubno izbranega začetka - tj. - konstruiramo vektorje in. Nato konstruiramo paralelogram OASV, kjer sta segmenta OA in OB strani. Tako OS leži na vektorju ali vsoti.

Formule za izračun parametrov paralelograma

Podatki za identiteto so pod naslednjimi pogoji:

1. a in b, α sta strani in kot med njima;
2. d 1 in d 2, γ sta diagonali na mestu njihovega presečišča;
3. h a in h b sta višini, spuščeni na straneh a in b;

Parameter	Formula
Iskanje strank
vzdolž diagonale in kosinusa kota med njimi
diagonalno in stransko
skozi višino in nasprotni vrh
Iskanje dolžine diagonale
ob straneh in velikosti vrha med njimi

Paralelogram je štirikotnik, v katerem sta nasprotni strani dvojno vzporedni.

Paralelogram ima vse lastnosti štirikotnikov, poleg tega pa ima tudi svoje značilnosti. Če jih poznamo, zlahka najdemo obe strani in kote paralelograma.

Lastnosti paralelograma

1. Vsota kotov v katerem koli paralelogramu, kot v katerem koli štirikotniku, je 360 \u200b\u200b°.
2. Srednje črte paralelograma in njegove diagonale se v eni točki sekajo in delijo na polovico. To točko imenujemo središče simetrije paralelograma.
3. Nasproti strani paralelograma sta vedno enaki.
4. Tudi ta številka ima vedno nasprotne kote.
5. Vsota kotov, ki mejijo na obe strani paralelograma, je vedno 180 °.
6. Vsota kvadratov diagonale paralelograma je enaka dvakratni vsoti kvadratov njegovih dveh sosednjih strani. To je izraženo s formulo:
   • d 1 2 + d 2 2 \u003d 2 (a 2 + b 2), kjer sta d 1 in d 2 diagonali, a in b sosednji strani.
7. Kosinus nejasnega kota je vedno manjši od nič.

Kako najti kote določenega paralelograma z uporabo teh lastnosti v praksi? In katere druge formule nam lahko pomagajo pri tem? Razmislite o posebnih nalogah, ki zahtevajo: poiščite vrednosti kotov paralelograma.

Iskanje kotov paralelograma

Primer 1. Znana je mera nejasnega kota, treba je najti akutni kot.

Primer: V paralelogramu ABCD je kot A 120 °. Poiščite merilo preostalih kotov.

Rešitev: S pomočjo lastnosti št. 5 lahko najdemo merilo kota B zraven kota, ki je naveden v nalogi. To bo enako:

• 180 ° -120 ° \u003d 60 °

Zdaj s pomočjo lastnosti št. 4 ugotovimo, da sta preostala dva kota C in D nasprotna tistim kotom, ki smo jih že našli. Kot C je nasproten kotu A, kot D je kot B. Zato sta v paru enaka njim.

• Odgovor: B \u003d 60 °, C \u003d 120 °, D \u003d 60 °

Primer 2. Znane so dolžine stranic in diagonale.

V tem primeru moramo uporabiti izrek kosinusa.

Najprej lahko s formulo izračunamo kosinus kota, ki ga potrebujemo, nato pa poiščemo, kakšen je kot enak uporabi posebne tabele.

Za akutni kot je formula naslednja:

• cosa \u003d (A² + V² - d²) / (2 * A * B), kjer
• in - to je želeni akutni kot,
• A in B sta strani paralelograma,
• d - manjša diagonala

Za natančen kot se formula rahlo spremeni:

• cosß \u003d (A² + V² - D²) / (2 * A * B), kjer
• ß je tupak kot
• A in B sta strani
• D - velika diagonala

Primer: najti morate akutni kot paralelograma, katerega stranice sta 6 cm in 3 cm, manjši diagonali pa 5,2 cm

V formuli nadomestimo vrednosti za iskanje akutnega kota:

• cosa \u003d (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) \u003d 17,96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• koza \u003d 1/2. Po tabeli ugotovimo, da je želeni kot 60 °.

Paralelogram je štirikotnik, v katerem sta nasprotni strani vzporedni, to je, da ležita na vzporednih črtah (slika 1).

  Izrek 1 O lastnosti strani in kotov paralelograma.  V paralelogramu sta nasprotni strani enaki, nasprotni koti so enaki, vsota kotov, ki mejijo na eno stran paralelograma, pa je 180 °.

Dokaz. V tem paralelogramu ABCD narišemo diagonalo AC in dobimo dva trikotnika ABC in ADC (slika 2).

Ti trikotniki so enaki, saj so ∠ 1 \u003d ∠ 4, ∠ 2 \u003d ∠ 3 (ležijo vogali navzkrižno za vzporedne črte), stran zvočnika pa je pogosta. Iz enakosti Δ ABC \u003d Δ ADC izhaja, da je AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. Vsota kotov, ki mejijo na eno stran, na primer kota A in D, je 180 ° kot enostranska z vzporednimi črtami. Izrek je dokazan.

Opomba. Enakost nasprotnih strani paralelograma pomeni, da so odseki vzporednih, odrezani z vzporednikom, enaki.

Ugotovitev 1. Če sta dve premici vzporedni, so vse točke ene premice na isti razdalji od druge.

Dokaz. Pravzaprav naj bo || b (slika 3).

Iz katere koli dve točki B in C črte b povlecite pravokotni BA in CD na črko a. Ker je AB || CD, potem je figura ABCD paralelogram in zato je AB \u003d CD.

Razdalja med dvema vzporednima črtama je razdalja od poljubne točke ene od premic do druge črte.

Glede na dokazano je enaka dolžini pravokotne črte od neke točke ene od vzporednih črt do druge črte.

Primer 1  Obseg paralelograma je 122 cm. Ena od njegovih strani je 25 cm večja od druge. Poiščite stranice paralelograma.

Rešitev. Po teoremu 1 sta nasprotni strani paralelograma enaki. Eno stran paralelograma označimo s x, drugo pa z y. Potem s pogojem $$ \\ left \\ (\\ začetek (matrica) 2x + 2y \u003d 122 \\\\ x - y \u003d 25 \\ konec (matrica) \\ desno. $$ Rešitev tega sistema dobimo x \u003d 43, y \u003d 18. Tako Tako so stranice paralelograma 18, 43, 18 in 43 cm.

Primer 2

Rešitev.   Pogoj problema naj ustreza sliki 4.

AB označimo s x, BC pa z y. Pod pogojem je obod paralelograma 10 cm, to je 2 (x + y) \u003d 10 ali x + y \u003d 5. Obod trikotnika ABD je 8 cm. In ker je AB + AD \u003d x + y \u003d 5, potem je BD \u003d 8 - 5 \u003d 3. Torej BD \u003d 3 cm.

Primer 3  Poiščite kote paralelograma, pri čemer veste, da je eden od njih 50 ° večji od drugega.

Rešitev.   Stanje problema naj ustreza sliki 5.

Merimo stopnjo kota A s x. Nato je stopinska mera kota D x + 50 °.

Kotoma BAD in ADC sta enostranski notranji z vzporednima ravnima AB in DC ter seantnim AD. Potem bo vsota teh poimenovanih kotov 180 °, tj.
  x + x + 50 ° \u003d 180 °, ali x \u003d 65 °. Tako je ∠ A \u003d ∠ C \u003d 65 °, a ∠ B \u003d ∠ D \u003d 115 °.

Primer 4  Strani paralelograma so 4,5 dm in 1,2 dm. Z vrha akutnega kota se nariše bisektor. Na katere dele se deli večja stran paralelograma?

Rešitev.   Stanje problema naj ustreza sliki 6.

AE je bisektor akutnega kota paralelograma. Zato je ∠ 1 \u003d ∠ 2.