Šolarji dobijo veliko matematičnih nalog. Med njimi so zelo pogoste naloge z naslednjo formulacijo: obstajata dva pomena. Kako najdem najmanj skupni večkratnik danih števil? Takšne naloge mora biti sposoben opravljati, saj se s pridobljenimi veščinami kadar dela različni imenovalci... V tem članku bomo analizirali, kako najti LCM in osnovne koncepte.

Preden poiščete odgovor na vprašanje, kako najti LCM, se morate odločiti za izraz večkratnik... Najpogosteje je formulacija tega koncepta naslednja: večkratnik neke vrednosti A se imenuje tak naravno število, ki bo deljivo z A. Torej bodo za 4 množitelji 8, 12, 16, 20 itd. do zahtevane meje.

V tem primeru je lahko število delilnikov za določeno vrednost omejeno in večkratnikov je neskončno veliko. Enaka vrednost je tudi za naravne vrednote. To je kazalnik, ki ga delijo brez ostanka. Potem ko smo se ukvarjali s konceptom najnižje vrednosti za nekatere kazalnike, pojdimo naprej, kako ga najti.

Poiščite LCM

Najmanjše število dveh ali več eksponentov je najmanjše naravno število, ki je v celoti deljivo z vsemi navedenimi števili.

Takšno vrednost lahko najdemo na več načinov., upoštevajte naslednje metode:

1. Če so številke majhne, \u200b\u200bvpišite v vrstico vse, deljive z njo. Tako nadaljujte, dokler ne najdete nekaj skupnega. V zapisu so označeni s črko K. Na primer, za 4 in 3 je najmanjši večkratnik 12.
2. Če so te velike ali morate najti večkratnik 3 ali več vrednosti, je treba tukaj uporabiti drugo tehniko, ki vključuje razgradnjo števil v glavni dejavniki... Najprej položite največjo od naštetih, nato vse ostale. Vsak od njih ima svoje število dejavnikov. Kot primer razširimo 20 (2 * 2 * 5) in 50 (5 * 5 * 2). Pri manjšem podčrtajte dejavnike in dodajte največjemu. Rezultat je 100, kar bo najmanjši skupni večkratnik zgornjih števil.
3. Pri iskanju 3 števil (16, 24 in 36) so načela enaka kot pri ostalih dveh. Razširimo vsakega od njih: 16 \u003d 2 * 2 * 2 * 2, 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3. V razširitev največjega nista bila vključena le dva dvojčka iz razširitve 16. Dodajte jih in dobimo 144, kar je najmanjši rezultat za prej navedene številčne vrednosti.

Zdaj vemo, kakšna je splošna metodologija za iskanje najmanjše vrednosti za dve, tri ali več vrednosti. Obstajajo pa tudi zasebne metodepomoč pri iskanju NOC, če prejšnji ne pomagajo.

Kako najti GCD in LCM.

Zasebni načini iskanja

Kot pri vsakem matematičnem oddelku obstajajo posebni primeri iskanja LCM, ki pomagajo v določenih situacijah:

• če je eno od števil deljeno z drugimi brez ostanka, potem je najnižji večkratnik teh števil enak njemu (LCM 60 in 15 je 15);
• vzajemno praštevila nimajo skupnih glavnih dejavnikov. Njihova najmanjša vrednost je enaka zmnožku teh števil. Tako bo za števili 7 in 8 to 56;
• isto pravilo velja za druge primere, vključno s posebnimi, o katerih je mogoče prebrati v specializirani literaturi. Sem bi morali biti vključeni tudi primeri razgradnje sestavljenih števil, ki so tema posameznih člankov in celo kandidatnih disertacij.

Posebni primeri so manj pogosti kot standardni primeri... Toda po njihovi zaslugi se lahko naučite delati z delci različnih stopenj zapletenosti. To še posebej velja za ulomke.kjer obstajajo različni imenovalci.

Nekaj \u200b\u200bprimerov

Oglejmo si nekaj primerov, zahvaljujoč katerim lahko razumete načelo iskanja najmanjšega večkratnika:

1. Poiščite LCM (35; 40). Najprej postavimo 35 \u003d 5 * 7, nato 40 \u003d 5 * 8. Najmanjšemu številu dodajte 8 in dobite LCM 280.
2. LCM (45; 54). Postavimo vsakega od njih: 45 \u003d 3 * 3 * 5 in 54 \u003d 3 * 3 * 6. K številu prištejemo številko 6. LCM dobimo 270.
3. No, zadnji primer. Obstajata 5 in 4. Zanje ni večkratnikov, zato bo v tem primeru najmanjši skupni večkratnik njihov zmnožek, enak 20.

Zahvaljujoč primerom lahko razumemo, kako se nahaja LCM, kakšne so nianse in kakšen je pomen takšnih manipulacij.

Iskanje NOC je veliko lažje, kot se sprva zdi. Za to se uporabljata tako enostavno razširitev kot množenje preproste vrednosti Drug drugega... Sposobnost dela s to vejo matematike pomaga pri nadaljnjem preučevanju matematičnih tem, zlasti frakcij različnih stopenj zapletenosti.

Ne pozabite se redno lotevati primerov različne metode, razvija logični aparat in omogoča zapomnitev številnih izrazov. Spoznajte metode iskanja takšne metrike in lahko boste dobro sodelovali z ostalimi matematičnimi razdelki. Veselo učenje matematike!

Video

Ta video vam bo pomagal razumeti in si zapomniti, kako najti najmanj skupni večkratnik.

Druga številka: b \u003d

Števčno ločilo Ni prostora za ločilo "´

Rezultat:

Največji skupni delitelj GCD ( a,b)=6

Najmanj pogosti večkratni LCM ( a,b)=468

Pokliče se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni dejavnik (Gcd) te številke. Označeno z gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) ali hcf (a, b).

Najmanj pogosti večkratnik (LCM) dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. LCM je označen (a, b) ali lcm (a, b).

Pokličeta se celi števili a in b vzajemno preprostače nimajo nobenih skupnih delilnikov, razen +1 in -1.

Največji skupni delitelj

Glede na dve pozitivni številki a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. poiščite tako številko λ ki deli številke a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.

1) V tem članku bo beseda številka razumljena kot celo število.

Naj bo a 1 ≥ a 2 in pusti

kje m 1 , a 3 nekaj celih števil, a 3 <a 2 (preostanek delitve a 1 naprej a 2 mora biti manj a 2).

Pretvarjajmo se λ deli a 1 in a 2, potem λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Izjava 2 članka "Delljivost števil. Znak delljivosti"). Iz tega sledi, da je vsak skupni delilec a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delitelj a 2 in a 3, potem m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 so tudi razdeljeni na λ ... Od tod skupni delitelj a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1, potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšano na enostavnejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .

Če a 3 ≠ 0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem

,

kje m 1 in a 4 nekaj celih števil, ( a 4 preostanek a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim sklepanjem pridemo do zaključka, da so skupni delitelji števil a 3 in a 4 so enaki skupnim delilnikom a 2 in a 3, pa tudi s skupnimi dejavniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... številke se nenehno zmanjšujejo in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato v nekem koraku n, preostanek delitve a n naprej a n + 1 bo enako nič ( a n + 2 \u003d 0).

.

Vsak skupni delilec λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n + 1. Res je tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n + 1 so tudi delitelji števil a n - 1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Toda skupni delitelj števil a n in a n + 1 je število a n + 1, ker a n in a n + 1 so deljivi z a n + 1 (ne pozabite a n + 2 \u003d 0). Posledično a n + 1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .

Upoštevajte, da je številka a n + 1 je največji delilec števil a n in a n + 1, saj je največji delitelj a n + 1 je sam a n + 1. Če a n + 1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi pogosti delitelji števil a 1 in a 2. Številka a n + 1 se imenujejo največji skupni dejavnik številke a 1 in a 2 .

Številke a 1 in a 2 sta lahko pozitivni in negativni številki. Če je eno od števil nič, bo največji skupni delilec teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj ničelnih števil ni opredeljen.

Zgornji algoritem se imenuje evklidov algoritemnajti največji skupni delilec dveh celih števil.

Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil

Poiščite največji skupni faktor dveh števil 630 in 434.

• Korak 1. Število 630 delimo s 434. Preostanek je 196.
• Korak 2. Število 434 delimo z 196. Preostanek je 42.
• Korak 3. Število 196 razdelimo na 42. Preostanek je 28.
• Korak 4. 42 delimo z 28. Preostanek je 14.
• Korak 5. Število 28 razdelimo na 14. Preostanek je 0.

V 5. koraku je preostanek delitve 0. Zato je največji skupni delilec 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta 2 in 7 tudi delitelja 630 in 434.

Vzajemno praštevila

Definicija 1. Naj največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Potem se pokličejo te številke medsebojno prosta številaki nimajo skupnega delitelja.

Izrek 1. Če a 1 in a 2 coprime številki in λ neko število, nato kateri koli skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .

Dokazi. Upoštevajmo Euclidov algoritem za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).

.

Iz pogojev izreka izhaja, da je največji skupni delilec števil a 1 in a 2 in zato a n in a n + 1 je 1. To pomeni, a n + 1 \u003d 1.

Vse te enakosti pomnožimo z λ potem

.

Naj skupni delitelj a 1 λ in a 2 je δ ... Potem δ je dejavnik pri a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (glej "Delljivost števil", izjava 2). Nadalje δ je dejavnik pri a 2 λ in m 2 a 3 λ , in je zato dejavnik pri a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

S takšnim razmišljanjem smo prepričani, da δ je dejavnik pri a n - 1 λ in m n - 1 a n λ , in zato v a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Ker a n + 1 \u003d 1, potem δ je dejavnik pri λ ... Od tod tudi številka δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .

Poglejmo posebne primere teorema 1.

Posledica 1. Naj bo a in c praštevila so relativna b... Nato njihov izdelek ak je praštevilo glede na b.

Res. Iz teorema 1 ak in b imajo enake skupne dejavnike kot c in b... Toda številke c in b medsebojno preprosta, tj. imajo edinstven skupni delilec 1. Nato ak in b imajo tudi edinstven skupni delilec 1. Zato ak in b vzajemno preprosta.

Posledica 2. Naj bo a in b coprime številke in naj b deli ak... Potem b deli in k.

Res. Iz pogoja izjave ak in b imajo skupni delitelj b... Po izrek 1 b mora biti skupni delitelj b in k... Posledično b deli k.

Posledico 1 lahko posplošimo.

Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m prime glede na število b... Potem a 1 a 2 , a 1 a 2. a 3 , ..., a 1 a 2 a 3. a m, zmnožek teh števil je prost glede na število b.

2. Naj imamo dve vrstici števil

tako, da je vsako število v prvi vrstici prosto glede na vsako število v drugi vrstici. Nato izdelek

Poiskati je treba številke, ki so deljive z vsako od teh števil.

Če je število deljivo z a 1, potem ima obliko sa 1, kjer s poljubno število. Če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, potem

kje s 1 je nekaj celo število. Potem

je najmanj pogosti večkratniki a 1 in a 2 .

a 1 in a 2 coprime, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:

Poiščite najmanj skupni večkratnik teh števil.

Iz zgoraj navedenega izhaja, da je poljubno večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik števil ε in a 3 in obratno. Naj najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 je ε eno. Nadalje večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik števil ε 1 in a štiri. Naj najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 je ε 2. Tako smo ugotovili, da so vsi večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpadajo z večkratniki nekega določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.

V posebnem primeru, ko številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m so coprime, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Nadalje, od a 3 prime glede na številke a 1 , a 2, potem a 3 prime na število a ena · a 2 (posledica 1). Najmanj skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a ena · a 2. a 3. Na podoben način trdimo, da pridemo do naslednjih trditev.

Izjava 1. Najmanj skupni večkratnik primerljivih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enako njihovemu izdelku a ena · a 2. a 3. a m.

Izjava 2. Katero koli število, ki je deljivo z vsakim od enakovrednih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je deljiv tudi z njihovim izdelkom a ena · a 2. a 3. a m.

Kako najti LCM (najmanj pogost večkratnik)

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjši izmed vseh celih števil, ki je enakomerno deljivo z obema podanima številkama.

1. metoda... LCM lahko poiščete za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vse številke, ki jih dobite tako, da jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedoma z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedoma z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe številki majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Včasih pa je treba najti LCM za dvomestne ali trimestne številke, pa tudi, ko so izvirne številke tri ali celo več.

2. metoda... LCM lahko poiščete tako, da izvirne številke razširite na proste faktorje.
Po razširitvi je treba iz številnih glavnih faktorjev prečrtati enake številke. Preostala števila prve številke bodo faktor za drugo, preostala števila druge pa faktor za prvo.

Primerza število 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Za to 75 in 60 razširimo na glavna dejavnika:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot vidite, faktorja 3 in 5 najdemo v obeh vrsticah. Mentalno jih "prečrtamo".
Zapišimo preostale dejavnike, vključene v razgradnjo vsakega od teh števil. Pri razširitvi števila 75 nam ostane število 5, pri razširitvi števila 60 pa 2 * 2
Torej, da določimo LCM za števili 75 in 60, moramo preostala števila iz razgradnje 75 (to je 5) pomnožiti s 60 in števila, ki ostanejo pri razgradnji števila 60 (to je 2 * 2 ) pomnožimo s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja pravimo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za številki 60 in 75. To je število 300.

Primer... Določite LCM za številke 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Najprej pa kot vedno vse številke razdelimo na osnovne faktorje
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše izmed vseh števil (to je število 12) in zaporedoma preberemo njegove faktorje ter jih prečrtamo, če vsaj ena od drugih serij števil vsebuje isti, še ne prečrtan faktor.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh vrsticah števil. Mi jih prečrtamo.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. Pri glavnih faktorjih števila 12 ostane le število 3. Toda v glavnih faktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko pri številu 16 ni dejanja.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razširitvi številke 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev NOC končana. Ostane le izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzamemo preostale faktorje števila 16 (najbližje v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta način omogoča hitrejše iskanje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Razmislite o treh načinih, kako najti najmanj skupni večkratnik.

Ugotavljanje s faktoringom

Prvi način je najti najmanj skupni večkratnik tako, da ta števila razstavimo na proste faktorje.

Recimo, da moramo najti LCM števil: 99, 30 in 28. Za to vsako od teh števil razstavimo na proste faktorje:

Da je želeno število deljivo z 99, 30 in 28, je nujno in dovolj, da vanj vstopijo vsi glavni faktorji teh deliteljev. Da bi to naredili, moramo vse glavne faktorje teh števil odnesti do največje moči, ki jo imamo, in jih pomnožiti skupaj:

2 2 3 2 5 7 11 \u003d 13 860

Tako je LCM (99, 30, 28) \u003d 13 860. Nobena druga številka, manjša od 13 860, ni deljiva z 99, 30 ali 28.

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik teh števil, jih morate razdeliti na proste faktorje, nato vzeti vsak glavni faktor z največjim eksponentom, ki mu ustreza, in te faktorje pomnožiti.

Ker koprimena števila nimajo skupnih osnovnih faktorjev, je njihov najmanjši skupni večkratnik enak zmnožku teh števil. Na primer, tri številke: 20, 49 in 33 so medsebojno proste. torej

LCM (20, 49, 33) \u003d 20 49 33 \u003d 32 340.

Enako je treba storiti, ko iščemo najmanj pogost večkratnik različnih osnovnih števil. Na primer, LCM (3, 7, 11) \u003d 3 7 11 \u003d 231.

Iskanje z izbiro

Drugi način je najti najmanj skupni večkratnik z vgradnjo.

Primer 1. Ko je največje od danih števil v celoti deljeno z drugimi danimi števili, je LCM teh števil enak večjemu od njih. Na primer, če dobimo štiri številke: 60, 30, 10 in 6. Vsako od njih je deljivo s 60, zato:

LCM (60, 30, 10, 6) \u003d 60

V nasprotnem primeru se za iskanje najmanj skupnega večkratnika uporabi naslednji postopek:

1. Določite največje število teh števil.
2. Nato najdemo števila, ki so večkratniki največjega števila, pomnožimo ga z naravnimi števili v naraščajočem vrstnem redu in preverimo, ali so preostala dana števila deljiva s nastalim zmnožkom.

Primer 2. Glede na tri števila 24, 3 in 18. Določite največje med njimi - to je število 24. Nato poiščite števila, ki so večkratniki 24, in preverite, ali je vsako od njih deljivo z 18 in 3:

24 1 \u003d 24 - deljivo s 3, ne pa tudi z 18.

24 2 \u003d 48 - deljivo s 3, ne pa tudi z 18.

24 3 \u003d 72 - deljivo s 3 in 18.

Torej je LCM (24, 3, 18) \u003d 72.

Iskanje z zaporednim iskanjem LCM

Tretji način je najti najmanj skupni večkratnik z zaporednim iskanjem LCM.

LCM dveh danih števil je enak zmnožku teh števil, deljenem z njihovim največjim skupnim deliteljem.

Primer 1. Poiščimo LCM dveh danih števil: 12 in 8. Določimo njihov največji skupni delilec: GCD (12, 8) \u003d 4. Pomnožimo ta števila:

Delo razdelimo na njihov GCD:

Tako je LCM (12, 8) \u003d 24.

Če želite najti LCM treh ali več številk, uporabite naslednji postopek:

1. Najprej poiščite LCM katerih koli dveh danih številk.
2. Nato LCM najdenega najmanjšega skupnega večkratnika in tretjega podanega števila.
3. Nato LCM nastalega najmanjšega skupnega večkratnika in četrte številke itd.
4. Tako se iskanje LCM nadaljuje, dokler obstajajo številke.

Primer 2. Poiščimo LCM treh danih števil: 12, 8 in 9. LCM števil 12 in 8 smo že našli v prejšnjem primeru (to je število 24). Treba je najti najmanjši skupni večkratnik 24 in tretje dano število - 9. Določite njihov največji skupni delilec: GCD (24, 9) \u003d 3. Pomnožite LCM s številom 9:

Delo razdelimo na njihov GCD:

Torej je LCM (12, 8, 9) \u003d 72.

Definicija. Pokliče se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni faktor (gcd) te številke.

Poiščite največji skupni delilec števil 24 in 35.
Delitelji 24 bodo števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji 35 pa bodo števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delilec - število 1. Takšna števila se imenujejo vzajemno preprosta.

Definicija. Kličejo se naravna števila vzajemno preprostače je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) je mogoče najti brez izpisovanja vseh deliteljev danih števil.

Če upoštevamo številki 48 in 36, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz dejavnikov, vključenih v razgradnjo prvega od teh števil, izbrišite tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugega števila (to je dva dvojka).
Dejavniki ostajajo 2 * 2 * 3. Njihov zmnožek je 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delilec treh ali več števil.

Najti največji skupni dejavnik

2) iz faktorjev, vključenih v razgradnjo enega od teh števil, izbriši tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugih števil;
3) poiščite zmnožek preostalih dejavnikov.

Če so vsa ta števila deljiva z enim od njih, potem je to število največji skupni dejavnik dane številke.
Na primer, največji skupni delilec 15, 45, 75 in 180 je 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanj skupni večkratnik (LCM)

Definicija. Najmanj skupni večkratnik (LCM) naravna števila a in b imenujemo najmanjše naravno število, ki je večkratnik a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razstavimo 75 in 60 na osnovna faktorja: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktorje, ki so vključeni v razgradnjo prvega od teh števil, in jim dodamo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razgradnje drugega števila (tj. Kombiniramo faktorje).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih zmnožek je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik 75 in 60.

Poiščite tudi najmanj skupni večkratnik treh ali več števil.

Za najti najmanj skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razgradi na glavne dejavnike;
2) zapišite dejavnike, vključene v razgradnjo enega od števil;
3) jim dodajte manjkajoče faktorje pri razširitvah preostalih števil;
4) poiščite zmnožek nastalih dejavnikov.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi ostalimi števili, je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljiv z vsemi temi števili.

Pitagora (VI. Stoletje pr. N. Št.) In njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Število, ki je enako vsoti vseh njegovih deliteljev (brez samega števila), so imenovali popolno število. Številke 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so \u200b\u200bna primer popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Peto - 33.550.336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo že znanih 27 popolnih številk. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo nenavadna popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Interes starodavnih matematikov za prosta števila je posledica dejstva, da je katero koli število bodisi praštevilo bodisi ga lahko predstavimo kot produkt praštevil, to pomeni, da so praštevila podobna opeki, iz katere so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se števila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda bolj ko se premikamo po številski vrsti, manj pogosti so prosti števci. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (III. Stoletje pr. N. Št.) Je v svoji knjigi "Začetki", ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je neskončno veliko število, torej za vsakim praštevilom še večje praštevilo .
Za iskanje praštevil je še en grški matematik istega časa, Eratosten, pripravil tak način. Zapisal je vsa števila od 1 do neke številke, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti glavno niti sestavljeno število, nato prečrtal vsa števila po 2 (števila, deljiva z 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvo preostalo število po 2 je bilo 3. Nato so bila vsa števila po 3 (števila, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.) Po dveh prečrtana. na koncu so ostala neprekinjena le praštevila.