Vsakdanji ulomkov se prvič srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba upoštevati ali uporabiti kakšen predmet ne v celoti, ampak v ločenih delih. Začetek študija te teme - delite. Deleži so enaki na katere je predmet razdeljen. Navsezadnje ni vedno mogoče izraziti na primer dolžine ali cene izdelka kot celega števila; treba je upoštevati dele ali deleže katere koli mere. Nastala iz glagola "zdrobiti" - razdeliti na dele in z arabskimi koreninami se je v VIII stoletju sama beseda "frakcija" pojavila v ruščini.

Ulomki so že dolgo veljali za najtežji del matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki matematike, so jih imenovali "zlomljene številke", kar je bilo ljudem zelo težko prikazati.

moderen videz preproste ulomke, katerih deli so ločeni natančno z vodoravno črto, je prvi prispeval Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi so datirani iz leta 1202. Toda namen tega članka je bralcu preprosto in jasno razložiti, kako pride do množenja. mešane frakcije z različne imenovalce.

Množenje ulomkov z različnimi imenovalci

Na začetku je treba določiti sorte ulomkov:

• pravilno;
• narobe;
• mešano.

Nato se morate spomniti, s čim se množijo ulomna števila enaki imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja enostavni ulomki z enakima imenovalcema je ulomkov izraz, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev danih ulomkov. To pomeni, da je novi imenovalec kvadrat enega od prvotno obstoječih.

Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Edina razlika je v tem, da bo nastalo število pod ulomkovo zmnožek različnih števil in seveda kvadrata enega številski izraz nemogoče ga je poimenovati.

Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primeri uporabljajo načine za zmanjševanje ulomkov. S števili imenovalca lahko zmanjšate le števila števca, sosednjih faktorjev nad ali pod ulomkovo palico pa ni mogoče zmanjšati.

Poleg preprostih ulomkov obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in delnega dela, to je vsota teh števil:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako deluje množenje?

Za razmislek je na voljo več primerov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primer uporablja množenje števila s navaden ulomek, lahko zapišete pravilo za to dejanje s formulo:

a * b/c = a*b /c.

Pravzaprav je tak izdelek vsota enakih frakcijskih ostankov in število členov to kaže naravno število. poseben primer:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Obstaja še ena možnost za reševanje množenja števila z delnim ostankom. Samo imenovalec morate deliti s tem številom:

d* e/f = e/f: d.

Koristno je uporabiti to tehniko, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, popolnoma.

Mešana števila pretvorite v neprave ulomke in dobite zmnožek na prej opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ta primer vključuje način predstavitve mešanega ulomka kot nepravilnega ulomka, lahko pa ga predstavimo tudi kot splošno formulo:

a bc = a*b+ c / c, kjer se imenovalec novega ulomka oblikuje tako, da se celoštevilski del pomnoži z imenovalcem in ga prišteje k števcu prvotnega ulomkovega ostanka, imenovalec pa ostane enak.

Ta postopek deluje tudi v hrbtna stran. Če želite izbrati celo število in ulomek, morate števec razdeliti nepravilni ulomek na njegov imenovalec "kotiček".

Množenje nepravih ulomkov proizvedeno na običajen način. Ko gre vnos pod eno samo ulomkovo črto, morate po potrebi zmanjšati ulomke, da s to metodo zmanjšate števila in lažje izračunate rezultat.

Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje še tako zapletenih matematičnih problemov razne variacije programi. Zadostna količina tovrstne storitve ponujajo svojo pomoč pri štetju množenja ulomkov s različne številke v imenovalcih – tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne le množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste računske operacije z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Z njim je enostavno delati, na strani spletnega mesta so izpolnjena ustrezna polja, izbran je znak matematično dejanje in kliknite "izračunaj". Program samodejno šteje.

Tema aritmetičnih operacij z ulomki je pomembna v celotnem izobraževanju srednješolskih in višjih šolarjev. V srednji šoli ne obravnavajo več najpreprostejše vrste, ampak celi ulomki, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračune, pridobljeno prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro naučeno osnovno znanje daje popolno zaupanje dobra odločitev večina zahtevne naloge.

Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je delček. Ni v moči človeka, da poveča svoj števec - lastne zasluge, lahko pa vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.

Zdaj, ko smo se naučili seštevati in množiti posamezne ulomke, lahko razmislimo o več kompleksne strukture. Na primer, kaj če se seštevanje, odštevanje in množenje ulomkov pojavi v eni težavi?

Najprej morate vse ulomke pretvoriti v nepravilne. Nato zaporedno izvedemo zahtevana dejanja - v istem vrstnem redu kot pri navadnih številkah. namreč:

1. Najprej se izvede potenciranje - znebite se vseh izrazov, ki vsebujejo eksponente;
2. Nato - deljenje in množenje;
3. Zadnji korak je seštevanje in odštevanje.

Seveda, če so v izrazu oklepaji, se vrstni red dejanj spremeni - najprej je treba upoštevati vse, kar je znotraj oklepajev. In ne pozabite na nepravilne ulomke: cel del morate izbrati šele, ko so vsa druga dejanja že opravljena.

Prevedimo vse ulomke iz prvega izraza v nepravilne in nato izvedimo naslednja dejanja:

Zdaj pa poiščimo vrednost drugega izraza. Tukaj ulomki z cel del ne, so pa oklepaji, zato najprej naredimo seštevanje in šele nato deljenje. Upoštevajte, da je 14 = 7 2 . Nato:

Nazadnje razmislite o tretjem primeru. Tukaj so oklepaji in diploma - bolje jih je šteti ločeno. Glede na to, da je 9 = 3 3 , imamo:

Bodite pozorni na zadnji primer. Če želite ulomek povečati na potenco, morate posebej dvigniti števec na to potenco in ločeno imenovalec.

Lahko se odločite drugače. Če se spomnimo definicije stopnje, se bo problem zmanjšal na običajno množenje ulomkov:

Večnadstropni ulomki

Doslej smo upoštevali samo »čiste« ulomke, ko sta števec in imenovalec navadne številke. To je skladno z definicijo številskega ulomka, podano v prvi lekciji.

Kaj pa, če je v števcu ali imenovalcu postavljen bolj zapleten predmet? Na primer, še en številski ulomek? Takšne konstrukcije se pojavljajo precej pogosto, zlasti pri delu z dolgimi izrazi. Tukaj je nekaj primerov:

Za delo z večnadstropnimi frakcijami obstaja samo eno pravilo: takoj se jih morate znebiti. Odstranitev "dodatnih" nadstropij je precej preprosta, če se spomnite, da delna vrstica pomeni standardno operacijo delitve. Zato lahko vsak ulomek prepišemo na naslednji način:

Ob upoštevanju tega dejstva in po postopku lahko kateri koli večnadstropni del enostavno zmanjšamo na navadnega. Oglejte si primere:

Naloga. Pretvori večnadstropne ulomke v običajne:

V vsakem primeru prepišemo glavni ulomek in zamenjamo ločnico z znakom za deljenje. Ne pozabite tudi, da je vsako celo število mogoče predstaviti kot ulomek z imenovalcem 1. To pomeni, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobimo:

V zadnjem primeru so bili ulomki zmanjšani pred končnim množenjem.

Posebnosti dela z večnadstropnimi frakcijami

V večnadstropnih frakcijah obstaja ena subtilnost, ki si jo je treba vedno zapomniti, sicer lahko dobite napačen odgovor, tudi če so bili vsi izračuni pravilni. Poglej:

1. V števcu je ločeno število 7, v imenovalcu pa ulomek 12/5;
2. Števec je ulomek 7/12, imenovalec pa eno samo število 5.

Tako smo za eno ploščo dobili kar dve različne interpretacije. Če štejete, bodo tudi odgovori različni:

Da zagotovite, da je vnos vedno nedvoumno prebran, uporabite preprosto pravilo: ločnica glavnega ulomka mora biti daljša od ugnezdene črte. Po možnosti večkrat.

Če sledite temu pravilu, je treba zgornje ulomke zapisati takole:

Ja, verjetno je grdo in zavzame preveč prostora. Boš pa pravilno štela. Za konec še nekaj primerov, kjer se res pojavljajo večnivojski ulomki:

Naloga. Poiščite vrednosti izraza:

Torej, poglejmo prvi primer. Pretvorimo vse ulomke v neprave in nato izvedemo operaciji seštevanja in deljenja:

Naredimo enako z drugim primerom. Pretvorite vse ulomke v nepravilne in izvedite zahtevane operacije. Da ne bom bralca dolgočasil, bom izpustil nekaj očitnih izračunov. Imamo:

Ker sta v števcu in imenovalcu glavnih ulomkov vsote, se pravilo zapisovanja večnadstropnih ulomkov samodejno upošteva. Tudi v zadnjem primeru smo namenoma pustili število 46/1 v obliki ulomka, da bi lahko izvedli deljenje.

Opažam tudi, da v obeh primerih ulomek dejansko nadomesti oklepaje: najprej smo našli vsoto in šele nato - količnik.

Nekdo bo rekel, da je bil prehod na nepravilne ulomke v drugem primeru očitno odveč. Mogoče pa je tako. A tako se zavarujemo pred napakami, saj se lahko naslednjič primer izkaže za veliko bolj zapletenega. Sami izberite, kaj je bolj pomembno: hitrost ali zanesljivost.

Prej ali slej se vsi otroci v šoli začnejo učiti ulomkov: njihovega seštevanja, deljenja, množenja in vseh možnih dejanj, ki jih je mogoče izvajati samo z ulomki. Da bi otroku zagotovili ustrezno pomoč, starši sami ne bi smeli pozabiti, kako so cela števila razdeljena na ulomke, sicer mu ne boste mogli nikakor pomagati, ampak ga samo zmedite. Če si morate zapomniti to dejanje, vendar ne morete združiti vseh informacij v svoji glavi v eno pravilo, vam bo ta članek pomagal: naučili se boste, kako število deliti z ulomkom, in si oglejte ilustrativne primere.

Kako razdeliti število na ulomek

Zapišite svoj primer na osnutek, da si boste lahko delali zapiske in madeže. Ne pozabite, da je celo število zapisano med celicami, tik na njihovem presečišču, in ulomki - vsako v svoji celici.

• AT ta metoda ulomek morate obrniti na glavo, to je, da zapišete imenovalec v števec in števec v imenovalec.
• Znak deljenja je treba spremeniti v množenje.
• Zdaj morate le izvesti množenje v skladu s pravili, ki ste jih že preučili: števec se pomnoži s celim številom, imenovalec pa se ne dotika.

Seveda boste zaradi takšnega dejanja dobili zelo velika številka v števniku. V tem stanju je nemogoče pustiti delček - učitelj preprosto ne bo sprejel tega odgovora. Zmanjšajte ulomek tako, da števec delite z imenovalcem. Nastalo celo število zapišite levo od ulomka na sredino celic, ostanek pa bo nov števec. Imenovalec ostane nespremenjen.

Ta algoritem je precej preprost, tudi za otroka. Ko ga opravi pet ali šestkrat, si bo dojenček zapomnil postopek in ga bo lahko uporabil za poljubne ulomke.

Kako deliti število z decimalko

Obstajajo še druge vrste ulomkov - decimalke. Razdelitev nanje poteka po popolnoma drugačnem algoritmu. Če se soočite s takim primerom, sledite navodilom:

• Najprej spremenite obe številki v decimalke. To je preprosto narediti: vaš delitelj je že predstavljen kot ulomek, deljivo naravno število pa ločite z vejico in tako dobite decimalni ulomek. To pomeni, da če je dividenda številka 5, dobite delček 5,0. Število morate ločiti s toliko ciframi, kolikor jih stoji za decimalno vejico in deliteljem.
• Nato morate oba decimalna ulomka narediti naravna števila. Sprva se vam bo to morda zdelo nekoliko zmedeno, a to je najbolj hiter način delitev, ki vam bo po nekaj vadbah vzela nekaj sekund. Ulomek 5,0 bo postal številka 50, ulomek 6,23 pa 623.
• Naredi delitev. Če se je izkazalo, da so številke velike ali pa se bo delitev zgodila z ostankom, jo ​​izvedite v stolpcu. Tako lahko jasno vidite vsa dejanja ta primer. Ni vam treba posebej postaviti vejice, saj se bo pojavila v procesu delitve v stolpec.

Tovrstno deljenje se na začetku zdi preveč zmedeno, saj morate dividendo in delitelj spremeniti v ulomek in nato nazaj v naravna števila. Toda po kratkem treningu boste takoj začeli videti tiste številke, ki jih morate samo deliti med seboj.

Ne pozabite, da je sposobnost pravilne delitve ulomkov in celih števil nanje lahko uporabna večkrat v življenju, zato mora otrok ta pravila in preprosta načela popolnoma poznati, da v starejših razredih ne postanejo kamen spotike, zaradi katerega otrok se ne more odločiti za zahtevnejše naloge.

Z ulomki lahko izvedete vsa dejanja, vključno z deljenjem. Ta članek prikazuje delitev navadni ulomki. Podane bodo definicije, obravnavani bodo primeri. Poglejmo si delitev ulomkov z naravnimi števili in obratno. Upoštevali bomo delitev navadnega ulomka z mešanim številom.

Deljenje navadnih ulomkov

Deljenje je obratno od množenja. Pri deljenju se neznani faktor nahaja pri znano delo in drugi faktor, kjer se njegov pomen ohrani z navadnimi ulomki.

Če je treba navadni ulomek a b razdeliti na c d, potem morate za določitev takšnega števila pomnožiti z deliteljem c d, kar bo na koncu dalo dividendo a b. Vzemimo število in ga zapišimo a b · d c , kjer je d c recipročna vrednost c d števila. Enačbe lahko zapišemo z uporabo lastnosti množenja, in sicer: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , kjer je izraz a b d c količnik deljenja a b s c d .

Od tu dobimo in oblikujemo pravilo za deljenje navadnih ulomkov:

Definicija 1

Če želite navadni ulomek a b deliti s c d, je treba dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

Zapišimo pravilo kot izraz: a b: c d = a b d c

Pravila deljenja so reducirana na množenje. Če se želite tega držati, morate biti dobro seznanjeni z izvajanjem množenja navadnih ulomkov.

Preidimo k deljenju navadnih ulomkov.

Primer 1

Izvedite deljenje 9 7 s 5 3 . Rezultat zapiši kot ulomek.

rešitev

Število 5 3 je recipročna vrednost 3 5 . Uporabiti morate pravilo za deljenje navadnih ulomkov. Ta izraz zapišemo na naslednji način: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Pri zmanjševanju ulomkov poudarite cel del, če je števec večji od imenovalca.

Primer 2

Deli 8 15 : 24 65 . Odgovor zapiši kot ulomek.

rešitev

Rešitev je preklop z deljenja na množenje. Zapišemo ga v tej obliki: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Treba je narediti zmanjšanje, in to se naredi na naslednji način: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Izberemo celoštevilski del in dobimo 13 9 = 1 4 9 .

odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Deljenje izjemnega ulomka z naravnim številom

Uporabljamo pravilo deljenja ulomka z naravnim številom: če želite a b deliti z naravnim številom n, morate z n pomnožiti samo imenovalec. Od tu dobimo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo deljenja je posledica pravila množenja. Če torej naravno število predstavimo kot ulomek, dobimo enakost te vrste: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Razmislite o tej delitvi ulomka s številom.

Primer 3

Ulomek 1645 delite s številom 12.

rešitev

Uporabite pravilo za deljenje ulomka s številom. Dobimo izraz kot je 16 45: 12 = 16 45 12 .

Zmanjšajmo ulomek. Dobimo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom

Pravilo delitve je podobno približno pravilo deljenja naravnega števila z navadnim ulomkom: da bi naravno število n delili z navadnim a b, je treba število n pomnožiti z recipročno vrednostjo ulomka a b.

Na podlagi pravila imamo n: a b \u003d n b a, zahvaljujoč pravilu množenja naravnega števila z navadnim ulomkom pa dobimo naš izraz v obliki n: a b \u003d n b a. To delitev je treba obravnavati na primeru.

Primer 4

Deli 25 s 15 28 .

rešitev

Od deljenja moramo preiti k množenju. Zapišemo v obliki izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Zmanjšajmo ulomek in dobimo rezultat v obliki ulomka 46 2 3 .

odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Deljenje navadnega ulomka z mešanim številom

Ko delite navaden ulomek z mešanim številom, lahko zlahka zablestite pri deljenju navadnih ulomkov. Mešano število morate pretvoriti v nepravilni ulomek.

Primer 5

Razdelite ulomek 35 16 s 3 1 8 .

rešitev

Ker je 3 1 8 mešano število, ga predstavimo kot nepravi ulomek. Potem dobimo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Zdaj pa razdelimo ulomke. Dobimo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Deljenje mešanega števila poteka na enak način kot navadna števila.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter