Dodajanje ulomkov z istim imenovalcem

Obstajata dve vrsti dodajanja frakcij:

1. Dodajanje ulomkov z enake imenovalce
2. Dodajanje ulomkov z različni imenovalci

Najprej preučimo dodajanje ulomkov z enakimi imenovalci. Tu je vse preprosto. Če želite dodati ulomke z istim imenovalcem, dodajte njihove števce in pustite imenovalec nespremenjen. Na primer, dodajte ulomke in. Dodajte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če pici dodate pice, dobite pice:

2. primer Dodajte ulomke in.

Odgovor ni bil ustrezen ulomek ... Če se težava konča, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti napačnega ulomka, morate v njem izbrati celoten del. V našem primeru lahko celoten del zlahka ločimo - dva, deljena z dvema, je enak enemu:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate pico, dobite eno celo pico:

3. primer... Dodajte ulomke in.

Še enkrat seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

4. primer Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na enak način kot prejšnji. Dodajte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Poskusimo svojo rešitev prikazati s pomočjo slike. Če pici dodate pice in dodate pice, dobite 1 celo in več pico.

Kot lahko vidite, ni nič težkega pri dodajanju ulomkov z enakimi imenovalci. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z istim imenovalcem, morate dodati njihove števce in imenovalec pustiti nespremenjenega;

Dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo dodajati ulomke z različnimi imenovalci. Ko seštevamo ulomke, morajo biti imenovalci teh ulomkov enaki. Niso pa vedno enaki.

Na primer, lahko dodate in ulomke, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče sešteti takoj, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zmanjšati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov, kako frakcije uvrstiti v isti imenovalec. Danes bomo obravnavali le enega izmed njih, saj se ostale metode za začetnike morda zdijo težke.

Bistvo te metode je, da se najprej išče (LCM) imenovalcev obeh frakcij. Nato LCM delimo z imenovalcem prve frakcije in dobimo prvi dodatni faktor. Naredite enako z drugo frakcijo - LCM se deli z imenovalcem druge frakcije in dobi se drugi dodatni faktor.

Nato se števci in imenovalci ulomkov pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh dejanj se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne frakcije že znamo dodati.

Primer 1... Dodajte ulomke in

Najprej najdemo najmanj skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je 3, imenovalec drugega ulomka pa 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) \u003d 6

Zdaj se vrnemo k ulomkom in. Najprej LCM razdelimo na imenovalec prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. Če delimo 6 s 3, dobimo 2.

Nastalo število 2 je prvi dodatni faktor. Zapišemo v prvi ulomek. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto nad ulomkom in nad njo zapišite dodatni faktor:

Enako naredimo z drugo frakcijo. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. Če delimo 6 z 2, dobimo 3.

Nastalo število 3 je drugi dodatni faktor. Zapišemo v drugi ulomek. Spet narišemo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in nad njo zapišemo dodatni faktor:

Zdaj smo pripravljeni za dodajanje. Številke in imenovalce ulomkov je treba pomnožiti z dodatnimi faktorji:

Poglejte natančno, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne frakcije že znamo dodati. Zaključimo ta primer do konca:

Tako se primer konča. Izkazalo se je, da dodam.

Poskusimo svojo rešitev prikazati s pomočjo slike. Če pici dodate pice, dobite eno celo pico in drugo šesto pico:

Zmanjšanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko tudi upodobimo s pomočjo slike. Zmanjšanje ulomkov in do skupni imenovalec, imamo ulomke in. Ti dve frakciji bosta predstavljali isti rezini pice. Razlika je le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec).

Na prvi sliki je delček (štirje od šestih kosov), na drugi pa delček (trije od šestih kosov). Sestavitev teh kosov dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je napačen, zato smo v njem izbrali celoten del. Rezultat je bil (ena cela pica in druga šesta pica).

Upoštevajte, da smo slikali z vami dani primer preveč podrobno. IN izobraževalne ustanove ni običajno pisati tako obširno. Hitro najti morate LCM obeh imenovalcev in dodatnih dejavnikov k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s svojimi števci in imenovalci. Med šolanjem bi morali ta primer napisati takole:

Toda kovanec ima tudi slabost. Če na prvih stopnjah študija matematike ne naredite podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati takšna vprašanja »Od kod ta številka?« »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v popolnoma druge ulomke? «.

Za lažje dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelimo na imenovalec vsake frakcije in dobimo dodaten faktor za vsako frakcijo;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji;
4. Dodajte ulomke, ki imajo enak imenovalec;
5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, izberite celoten njegov del;

2. primer Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgornja navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalci ulomkov so števila 2, 3 in 4.

Korak 2. LCM razdelimo na imenovalec vsake frakcije in dobimo dodaten faktor za vsako frakcijo

LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec prvega ulomka pa je številka 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobimo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj delimo LCM z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Razdelimo 12 s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugi ulomek:

Zdaj delimo LCM z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. Delimo 12 s 4, dobimo 3. Tretji dodatni faktor 3. Zapišemo v tretji zlom:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z našimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Te frakcije je treba še dodati. Dodamo:

Dodatek ni ustrezal eni vrstici, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Če izraz ne ustreza eni vrstici, se prenese v naslednjo vrstico, na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice pa je treba postaviti znak enačbe (\u003d). Znak enačbe v drugi vrstici pomeni, da gre za nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, izberite celoten del v njem

V našem odgovoru smo dobili napačen ulomek. Iz njega moramo izbrati celoten del. Označite:

Prejel odgovor

Odštevanje ulomkov z istim imenovalcem

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z istim imenovalcem
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z istim imenovalcem. Tu je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega ulomka, imenovalec pa pustiti enakega.

Najdimo na primer vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, od števca prvega ulomka odštejte števec drugega ulomka in imenovalec pustite nespremenjenega. Naredimo to:

Ta primer lahko enostavno razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če izrežete pice iz pice, dobite pice:

2. primer Poiščite vrednost izraza.

Še enkrat odštejemo števec drugega ulomka od števca prvega ulomka, imenovalec pa ostane nespremenjen:

Ta primer lahko zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če izrežete pice iz pice, dobite pice:

3. primer Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič težko. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, od števca prvega ulomka odštejte števca drugega ulomka in imenovalec pustite nespremenjenega;
2. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, morate v njem izbrati celoten del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, saj imajo ti ulomki enak imenovalec. Toda od ulomka ne morete odšteti ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zmanjšati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabljali pri dodajanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki ga zapišemo nad prvim ulomkom. Podobno se LCM deli z imenovalcem druge frakcije in dobi se drugi dodatni faktor, ki se zapiše nad drugo frakcijo.

Ulomke nato pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se frakcije z različnimi imenovalci pretvorijo v frakcije z enakimi imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate pripeljati do istega (skupnega) imenovalca.

Najprej najdemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je 3, imenovalec drugega ulomka pa 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) \u003d 12

Zdaj pa k ulomkom in

Poiščimo dodaten faktor za prvi ulomek. Za to LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec prvega ulomka pa je številka 3. Če delimo 12 s 3, dobimo 4. Štiri zapišemo nad prvo ulomko:

Enako naredimo z drugo frakcijo. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je številka 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. Če delimo 12 s 4, dobimo 3. Trije zapišemo čez drugi ulomek:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Še vedno je treba ulomke pomnožiti z vašimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti. Zaključimo ta primer do konca:

Prejel odgovor

Poskusimo svojo rešitev prikazati s pomočjo slike. Če režete pice iz pice, dobite pico

To je podrobna različica rešitve. V šoli bi morali ta primer rešiti na krajši način. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjšanje ulomkov in na skupni imenovalec je mogoče prikazati tudi s pomočjo slike. Če te frakcije pripeljemo do skupnega imenovalca, dobimo frakcije in. Te frakcije bodo predstavljale iste rezine pice, tokrat pa bodo razdeljene na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Prva risba prikazuje frakcijo (osem od dvanajstih kosov), druga risba pa frakcijo (tri od dvanajstih kosov). Če izrežemo tri kose iz osmih kosov, dobimo pet kosov od dvanajstih. Ulomek in opisuje teh pet kosov.

2. primer Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej pripeljati do istega (skupnega) imenovalca.

Poiščite LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalci ulomkov so 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM (10, 3, 5) \u003d 30

Zdaj najdemo dodatne dejavnike za vsak ulomek. Da bi to naredili, LCM delimo z imenovalcem vsake frakcije.

Poiščimo dodaten faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če delimo 30 z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodaten faktor za drugi ulomek. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če delimo 30 s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugi ulomek:

Zdaj najdemo dodaten faktor za tretji ulomek. LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je 30, imenovalec tretjega ulomka pa 5. Če delimo 30 s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretji ulomek:

Vse je zdaj pripravljeno za odštevanje. Še vedno je treba ulomke pomnožiti z vašimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti. Zaključimo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo ustrezalo eni vrstici, zato nadaljevanje prenesemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačbo (\u003d) v novi vrstici:

Odgovor se je izkazal za pravi ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi si olajšati. Kaj je mogoče storiti? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite ulomek zmanjšati, morate njegov števec in imenovalec deliti s številkama 20 in 30 (GCD).

Tako najdemo GCD številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in števec in imenovalec ulomka delimo z najdenim GCD, to je z 10

Prejel odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec tega ulomka pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti enakega.

Primer 1... Pomnoži ulomek z 1.

Števec ulomka pomnoži z 1

Snemanje lahko razumemo kot polkratno. Če na primer enkrat vzamete pice, jih dobite

Iz zakonov množenja vemo, da če se množitelj in množitelj zamenjata, se izdelek ne bo spremenil. Če je izraz zapisan kot, bo izdelek še vedno enak. Ponovno deluje pravilo za množenje celotnega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot zavzemanje polovice enega. Če je na primer 1 cela pica in jo vzamemo polovico, bomo imeli pico:

2. primer... Poiščite vrednost izraza

Števec vašega ulomka pomnožite s 4

Odgovor je napačen ulomek. Izberimo celoten del v njem:

Izraz lahko razumemo tako, da traja dve četrtini 4-krat. Če na primer pice vzamete 4-krat, dobite dve celi pici

In če mestoma spremenimo multiplikator in multiplikator, dobimo izraz. Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot jemanje dveh pic iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, morate v njem izbrati celoten del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Zaželeno je skrajšati to frakcijo. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna odločitev v naslednji obliki:

Izraz lahko razumemo kot jemanje pice iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako dobiti dve tretjini te polovice? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva iz teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Ne pozabite, kako izgleda pica, če je razdeljena na tri dele:

Ena rezina te pice in dve rezini, ki smo jih vzeli, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, prihaja približno enake velikosti pice. Zato je vrednost izraza

2. primer... Poiščite vrednost izraza

Števec prvega ulomka pomnoži s števcem drugega ulomka, imenovalec prvega ulomka pa z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je napačen ulomek. Izberimo celoten del v njem:

3. primer Poiščite vrednost izraza

Števec prvega ulomka pomnoži s števcem drugega ulomka, imenovalec prvega ulomka pa z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor se je izkazal za pravi ulomek, vendar bo dobro, če ga zmanjšate. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka razdeliti na največji skupni delitelj (Gcd) številki 105 in 450.

Poiščimo torej GCD številk 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora na GCD, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev ulomka celega števila

Vsako celo število lahko predstavimo kot ulomek. Številko 5 lahko na primer predstavimo kot. Iz tega pet ne bo spremenil svoje vrednosti, saj izraz pomeni "število pet, deljeno z enim", in to je, kot veste, enako pet:

Obrnjene številke

Zdaj bomo spoznali zelo zanimiva tema iz matematike. Imenuje se "zadnje številke".

Definicija. Inverzna številkaa je število, ki se pomnoži za daje enega.

Nadomestimo v tej definiciji namesto spremenljivke a številka 5 in poskusite prebrati definicijo:

Inverzna številka 5 je število, ki se pomnoži z 5 daje enega.

Ali lahko najdete številko, ki, če jo pomnožimo s 5, da eno? Izkazalo se je, da lahko. Predstavljajmo pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek samo, samo spremenite mesta števca in imenovalca. Z drugimi besedami, ulomek pomnožimo samo, samo obrnjeno:

Kakšen bo rezultat tega? Če še naprej rešujemo ta primer, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzna številka 5 številka, saj se 5 pomnoži z eno.

Vzajemno vrednost je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Vzajemno vrednost lahko najdete tudi za kateri koli drug ulomek. Če želite to narediti, ga preprosto obrnite.

Delitev ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga na dva dela. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da sta po razdelitvi polovice pice dve enaki rezini, od katerih vsaka sestavlja pico. Tako vsi dobijo pico.

Delitev ulomkov se izvede z uporabo vzajemnih števil. Inverzna števila omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite ulomek deliti s številom, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

S tem pravilom zapišite delitev naše polovice pice na dva dela.

Torej morate ulomek deliti s številom 2. Tu je deljivo ulomek, delitelj pa število 2.

Če želite ulomek deliti z 2, morate ta uložek pomnožiti z vzajemno vrednostjo delitelja 2. Vzajemna vrednost 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti z

Navadna delna števila se najprej srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi celo življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba predmet obravnavati ali uporabiti ne v celoti, temveč v ločenih delih. Začetek preučevanja te teme so delnice. Delnice so enaki deli, na katerega je razdeljen ta ali tisti predmet. Navsezadnje ni vedno mogoče na primer izraziti dolžine ali cene blaga kot celo število, upoštevati je treba dele ali delce neke mere. Nastala je iz glagola "split" - deliti na dele in z arabskimi koreninami, v VIII stoletju je beseda "frakcija" nastala v ruščini.

Drobni izrazi že dolgo veljajo za najtežje področje matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki za matematiko, so jih poimenovali "lomljena števila", kar je bilo zelo težko prikazati v razumevanju ljudi.

Sodoben videz preproste delne ostanke, katerih deli so ločeni z vodoravno črto, je najprej promoviral Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegova dela so datirana v leto 1202. Toda namen tega članka je bralcu preprosto in jasno razložiti, kako pride do množenja mešanih frakcij z različnimi imenovalci.

Množenje ulomkov z različnimi imenovalci

Sprva je vredno določiti sorte frakcij:

• pravilno;
• narobe;
• mešano.

Nato se morate spomniti, kako se množijo delna števila z enakimi imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati sami: rezultat množenja enostavnih ulomkov z enakimi imenovalci je ulomek, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev te frakcije. To je pravzaprav novi imenovalec kvadrat enega od obstoječih.

Pri množenju preprosti ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:

a /b * c /d = a * c / b * d.

Edina razlika je v tem, da bo nastalo število pod drobno črto zmnožek različnih števil in seveda kvadrat enega numerični izraz nemogoče ga je imenovati.

Pomembno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci s primeri:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primeri uporabljajo metode za zmanjšanje delnih izrazov. Prekličete lahko le številke števca s številkami imenovalca, sosednjih faktorjev nad ali pod drobno črto ni mogoče preklicati.

Skupaj s preprostimi delnimi števili obstaja koncept mešanih frakcij. Mešano število je sestavljeno iz celotnega števila in delnega dela, to je vsota teh števil:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako deluje množenje?

V obravnavo je predlaganih več primerov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primer uporablja množenje števila z navaden delni del, lahko za to dejanje zapišete pravilo po formuli:

a * b /c = a * b /c.

Pravzaprav je tak produkt vsota istih delnih ostankov in število izrazov to kaže naravno število. Poseben primer:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Obstaja še ena rešitev za množenje števila z delnim preostankom. Deliti morate imenovalec s to številko:

d * e /f = e /f: d.

Koristno je uporabljati to tehniko, kadar imenovalec delimo z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, popolnoma.

Mešane številke pretvorite v neprimerne frakcije in dobite izdelek na prej opisani način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ta primer vključuje način predstavitve mešanega ulomka v napačnem, lahko pa ga predstavimo tudi kot splošno formulo:

a bc = a * b + c / c, kjer imenovalec novega ulomka nastane tako, da se celoštevilčni del pomnoži z imenovalcem in sešteje v števcu prvotnega delnega ostanka, imenovalec pa ostane enak.

Ta postopek deluje v zadnja stran... Če želite izbrati celoten del in delni ostanek, morate števec nepravilnega ulomka razdeliti na njegov imenovalec "vogal".

Množenje nepravilnih ulomkov proizvedena na običajen način. Ko gre zapis pod eno delno črto, morate po potrebi zmanjšati ulomke, da boste po tej metodi zmanjšali števila in lažje izračunali rezultat.

Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje celo zapletenih matematičnih problemov v različne različice programov. Zadostna količina take storitve ponujajo svojo pomoč pri štetju množenja ulomkov z različne številke v imenovalcih - tako imenovani spletni kalkulatorji za izračun ulomkov. Zmožni so ne samo množenja, temveč tudi izvajanje vseh drugih preprostih računskih operacij z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Z njim ni težko delati, na strani spletnega mesta se izpolnijo ustrezna polja, izbere se znak matematično delovanje in pritisnite "izračun". Program izračuna samodejno.

Tema aritmetičnih operacij z delnimi števili je pomembna v celotnem izobraževanju srednješolskih in starejših šolarjev. V srednji šoli ne veljajo več za najpreprostejše vrste, ampak celoštevilčni delni izrazi, vendar znanje predhodno pridobljenih pravil za pretvorbo in izračune se uporablja v prvotni obliki. Dobro obvladano osnovno znanje daje popolno zaupanje v dobra odločitev najbolj težke naloge.

Za zaključek je smiselno citirati besede Leva Nikolajeviča Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je drobec. Človek ni v moči, da poveča svoj števec - njegovo dostojanstvo, vendar lahko vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in s tem zmanjšanjem se lahko približa svoji popolnosti. "

) in imenovalec z imenovalcem (dobimo imenovalec izdelka).

Formula za množenje ulomkov:

Na primer:

Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti možnost zmanjšanja ulomka. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje nadaljevali z izračuni.

Delitev navadnega ulomka v ulomek.

Delitev ulomkov z naravnim številom.

Ni tako strašno, kot se sliši. Tako kot v primeru seštevanja tudi celo število pretvorimo v ulomek z enim v imenovalcu. Na primer:

Množenje mešanih frakcij.

Pravila za množenje ulomkov (mešane):

• pretvorba mešanih frakcij v nepravilne;
• pomnožimo števce in imenovalce ulomkov;
• zmanjšamo ulomek;
• če imate napačen ulomek, pretvorite napačen ulomek v mešanega.

Opomba! Množiti mešani strel z drugim mešanim ulomkom jih morate najprej spraviti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti v skladu s pravilom množenja navadnih ulomkov.

Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Morda je bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja. navadna frakcija po številu.

Opomba! Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka razdeliti na to število in števec pustiti nespremenjenega.

Iz zgornjega primera je razvidno, da je to možnost bolj priročno uporabiti, če je imenovalec ulomka razdeljen brez ostanka z naravnim številom.

Večnadstropne frakcije.

V srednji šoli pogosto najdemo trinadstropne (ali več) ulomke. Primer:

Da bi takšen ulomek prišel v običajno obliko, se uporablja delitev na 2 točki:

Opomba!Pri deljenju ulomkov je zelo pomemben vrstni red delitve. Bodite previdni, tu se zlahka zmedete.

Opomba, npr.

Pri deljenju enega s katerim koli ulomkom bo rezultat enak, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Pri delu z delnimi izrazi je najpomembnejša natančnost in skrbnost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se v izračunih v glavi zmedete.

2. Pri nalogah z različne vrste ulomki - pojdite na obliko navadnih ulomkov.

3. Zmanjšajte vse frakcije, dokler je ne bo mogoče zmanjšati.

4. Večnadstropni delni izrazi se pretvorijo v navadne z uporabo delitve na 2 točki.

5. Enoto miselno razdelite na ulomek, le zlomka obrnite.

Nazadnje smo se naučili dodajanja in odštevanja ulomkov (glej lekcijo »Dodajanje in odštevanje ulomkov«). Najtežji trenutek v teh dejanjih je bilo zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da ugotovimo množenje in deljenje. Dobra novica je, da je te operacije še lažje izvesti kot seštevanje in odštevanje. Za začetek si oglejmo najpreprostejši primer, ko sta dva pozitivna ulomka brez namenskega celoštevilskega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njihove števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite deliti dva ulomka, morate prvi uložek pomnožiti z "obrnjeno" drugo.

Oznaka:

Iz definicije izhaja, da se delitev ulomkov zmanjša na množenje. Če želite "zrcaliti" ulomek, je dovolj, da zamenjate položaje števca in imenovalca. Zato bomo celotno lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot rezultat množenja lahko nastane (in pogosto se pojavi) ukinljivi ulomek - seveda ga je treba preklicati. Če se je po vseh kontrakcijah ulomek izkazal za napačnega, je treba vanj izbrati celoten del. Kar pa se z množenjem vsekakor ne bo zgodilo, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, največjih dejavnikov in najmanj pogostih večkratnikov.

Po definiciji imamo:

Množenje celih in negativnih ulomkov

Če je v ulomkih celoštevilski del, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj opisanimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko odstranimo iz obsega množenja ali celo odstranimo v skladu z naslednjimi pravili:

1. Plus in minus daje minus;
2. Dva negativna sta pritrdilna.

Do zdaj so se ta pravila srečevala le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celotnega dela. Za proizvodnjo jih je mogoče posplošiti, da "opečejo" več pomanjkljivosti hkrati:

1. V dvojicah prečrtajte minuse, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnem primeru lahko preživi en minus - tisti, za katerega ni bilo para;
2. Če ne ostanejo minusi, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker zanj ni bilo para, ga premaknemo iz območja množenja. Dobiš negativni ulomek.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Vse ulomke prevedemo v nepravilne in nato premike minus premaknemo iz obsega množenja. Kar ostane, pomnožimo po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da minus, ki stoji pred ulomkom z označenim cel del, se nanaša posebej na celoten ulomek in ne samo na njegov celoštevilski del (to velja za zadnja dva primera).

Pazite tudi na negativna števila: ko se pomnožijo, so v oklepajih. To se naredi, da se minusi ločijo od množilnih znakov in se celoten zapis natančneje opredeli.

Zmanjšanje frakcij sproti

Množenje je zelo dolgotrajna operacija. Številke tukaj se izkažejo za precej velike in za poenostavitev naloge lahko poskusite še manj zmanjšati ulomek pred množenjem... Dejansko so števci in imenovalci ulomkov običajni dejavniki, zato jih je mogoče preklicati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so številke, ki so se zmanjšale, in tisto, kar je ostalo od njih, označene z rdečo.

Prosimo, upoštevajte: v prvem primeru so se multiplikatorji popolnoma zmanjšali. Namesto njih je le nekaj takih, ki jih na splošno ni mogoče napisati. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je celotna količina izračuna še vedno zmanjšala.

Vendar te tehnike v nobenem primeru ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so tam podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj si oglejte:

Tega ne moreš storiti!

Napaka nastane zaradi dejstva, da se pri seštevanju v števcu ulomka pojavi vsota in ne zmnožek števil. Posledično je nemogoče uporabiti osnovno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja z množenjem števil.

Enostavno ni drugega razloga za zmanjšanje frakcij, zato pravilna odločitev prejšnja naloga je videti tako:

Pravilna odločitev:

Kot vidite, se je izkazal, da pravilen odgovor ni tako lep. Na splošno bodite previdni.

T vrsta lekcije: ONZ (odkritje novega znanja - po tehnologiji učne metode, ki temelji na dejavnosti).

Osnovni cilji:

1. Izvedite metode delitve ulomka z naravnim številom;
2. Oblikovati sposobnost delitve ulomka z naravnim številom;
3. Ponovite in utrdite delitev ulomkov;
4. Vadite sposobnost zmanjševanja ulomkov, analiziranja in reševanja problemov.

Predstavitveni material opreme:

1. Naloge za posodabljanje znanja:

Primerjaj izraze:

Referenca:

2. Poskusna (individualna) naloga.

1. Izvedite delitev:

2. Izvedite delitev, ne da bi izvedli celotno verigo izračunov :.

Standardi:

• Ko delce delite z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožite s tem številom, števec pa ostane enak.

• Če je števec deljen z naravnim številom, lahko pri deljenju ulomka s tem številom števnik delimo s številom, imenovalec pa ostane nespremenjen.

Med poukom

I. Motivacija (samoodločba) za učne dejavnosti.

Cilj odra:

1. Organizirati aktualizacijo zahtev za učenca s strani izobraževalnih dejavnosti ("mora");
2. Organizirati študentske dejavnosti za postavitev tematskih okvirov (»lahko«);
3. Ustvariti pogoje za pojav notranje potrebe, da bi bil študent vključen v izobraževalne dejavnosti ("hočem").

Organizacija izobraževalnega procesa na I. stopnji

Zdravo! Vesel sem, da vas vidim pri pouku matematike. Upam, da je vzajemno.

Fantje, kakšno novo znanje ste pridobili na zadnji lekciji? (Razdeli ulomke).

Prav. Kaj vam pomaga pri deljenju ulomkov? (Pravilo, lastnosti).

Kje potrebujemo to znanje? (V primerih, enačbe, problemi).

Dobro opravljeno! V zadnji lekciji ste se dobro odrezali. Si danes želite sami odkriti novo znanje? (Da).

Potem - gremo! Moto tečaja je izjava »Matematike ne moreš učiti, ko gledaš, kako jo dela sosed!«.

II. Aktualizacija znanja in določitev posameznih težav pri poskusnem delovanju.

Cilj odra:

1. Organizirajte aktualizacijo preučenih metod delovanja, ki zadostujejo za izgradnjo novega znanja. Te metode zabeležite ustno (v govoru) in jih podpišite (standardno) ter jih posplošite;
2. Organizirati aktualizacijo miselnih operacij in kognitivnih procesov, ki zadostujejo za izgradnjo novega znanja;
3. Motivirati za preizkus ukrepa in njegovo neodvisno izvajanje in utemeljitev;
4. Predstavite posamezno nalogo za poskusno akcijo in jo analizirajte, da boste prepoznali nove izobraževalne vsebine;
5. Organizirajte določitev vzgojnega cilja in teme lekcije;
6. Organizirati izvedbo poskusnega dejanja in določitev težave;
7. Organizirajte analizo prejetih odgovorov in zabeležite posamezne težave pri izvedbi poskusnega dejanja ali njegove utemeljitve.

Organizacija izobraževalnega procesa na II. Stopnji.

Spredaj, s tabletami (posamezne table).

1. Primerjaj izraze:

(Ti izrazi so enaki)

Katere zanimive stvari ste opazili? (Števec in imenovalec dividende, števec in imenovalec delitelja v vsakem izrazu se poveča za enako število krat. Tako so dividende in delilniki v izrazih predstavljeni z ulomki, ki so med seboj enaki).

Poiščite pomen izraza in ga zapišite na tablico. (2)

Kako zapišem to številko kot ulomek?

Kako ste izvedli akcijo delitve? (Otroci izgovorijo pravilo, učitelj visi na tabli črkovne oznake)

2. Izračunajte in zabeležite samo rezultate:

3. Seštejte svoje rezultate in zapišite svoj odgovor. (2)

Kako se imenuje številka, pridobljena v 3. nalogi? (Naravno)

Ali mislite, da lahko ulomek delimo z naravnim številom? (Da, poskusili bomo)

Poskusite to.

4. Individualna (poskusna) naloga.

Izvedite delitev: (samo primer a)

Kakšno pravilo ste naredili pri delitvi? (V skladu s pravilom delitve ulomka z ulomkom)

Zdaj deli ulomek z naravnim številom, večjim od na preprost načinbrez izvajanja celotne verige izračunov: (primer b). Za to vam dam 3 sekunde.

Kdo ni uspel opraviti naloge v 3 sekundah?

Kdo je to storil? (Takšnih ni)

Zakaj? (Ne vem poti)

Kaj si dobil (Težavnost)

Kaj mislite, da bomo naredili na lekciji? (Ulomke delimo z naravnimi števili)

Prav, odprite zvezke in zapišite temo lekcije "Delitev ulomka z naravnim številom."

Zakaj se ta tema sliši kot nova, ko že veste, kako deliti ulomke? (Potrebujem nov način)

Prav. Danes bomo vzpostavili tehniko, ki poenostavi delitev ulomka z naravnim številom.

III. Opredelitev kraja in vzroka težave.

Cilj odra:

1. Organizirajte obnovo izvedenih operacij in določite (besedno in simbolno) mesto - korak, operacijo, kjer je prišlo do težav;
2. Organizirajte korelacijo ravnanja učencev z uporabljeno metodo (algoritmom) in določitvijo vzroka težave v zunanjem govoru - tistim specifičnim znanjem, veščinam ali sposobnostim, ki jim primanjkuje za rešitev prvotnega problema te vrste.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji III.

Kakšno nalogo ste morali opraviti? (Ulomek delimo z naravnim številom, ne da bi šli skozi celotno verigo izračunov)

Kaj vam je povzročilo težave? (Nisem se mogel odločiti za kratek čas hitra pot)

Kaj je cilj, ki smo si ga zastavili pri pouku? (Najti hitra pot delitev ulomka z naravnim številom)

Kaj vam bo pomagalo? (Že znano pravilo za delitev ulomkov)

IV. Izdelava projekta za izhod iz težave.

Cilj odra:

1. Pojasnitev namena projekta;
2. Izbira metode (pojasnilo);
3. Določanje sredstev (algoritem);
4. Oblikovanje načrta za dosego cilja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IV.

Vrnimo se k testni nalogi. Ste rekli, da ste razdeljeni po pravilu delitve? (Da)

Če želite to narediti, nadomestiti naravno število z ulomkom? (Da)

Kateri korak (ali korake) je po vašem mnenju mogoče preskočiti?

(Na plošči je odprta veriga rešitev:

Analizirajte in naredite zaključek. (Korak 1)

Če odgovora ni, povzemamo vprašanja:

Kam je izginil naravni delilec? (V imenovalec)

Se je števec spremenil? (Ne)

Kateri korak torej lahko "izpustite"? (Korak 1)

Akcijski načrt:

• Imenovalec ulomka pomnožimo z naravnim številom.
• Števca ni mogoče spremeniti.
• Dobimo novo frakcijo.

V. Izvedba zaključenega projekta.

Cilj odra:

1. Organizirati komunikacijsko interakcijo za izvedbo zaključenega projekta, namenjenega pridobivanju manjkajočega znanja;
2. Organizirajte fiksiranje konstruirane metode delovanja v govoru in znakih (z uporabo standarda);
3. Organizirajte rešitev prvotne težave in popravite premagovanje težave;
4. Organizirajte razjasnitev splošne narave novega znanja.

Organizacija izobraževalnega procesa na V. stopnji

Zdaj naredite testni primer na nov način in hitro.

Zdaj ste nalogo lahko hitro opravili? (Da)

Pojasnite, kako ste to storili? (Otroci govorijo)

To pomeni, da smo prejeli novo znanje: pravilo za delitev ulomka z naravnim številom.

Dobro opravljeno! Govorite v dvoje.

Nato en učenec govori z razredom. Pravilo-algoritem popravimo ustno in v obliki standarda na plošči.

Zdaj vnesite črke in zapišite formulo našega pravila.

Študent na tablo zapiše, pravi pravilo: pri deljenju ulomka z naravnim številom lahko imenovalec pomnožite s tem številom, števec pa ostane enak.

(Formulo vsi zapišejo v zvezke).

Zdaj znova analizirajte verigo reševanja problemov, pri čemer bodite še posebej pozorni na odgovor. Kaj si naredil? (Števec ulomka 15, deljen (pomanjšan) s številom 3)

Kakšna je ta številka? (Naravno, delitelj)

Torej, kako drugače lahko ulomek delimo z naravnim številom? (Preverite: če je števec ulomka deljiv s tem naravnim številom, potem lahko števec razdelite s tem številom, rezultat zapišete v števec novega ulomka in imenovalec ostane enak)

Zapiši to metodo kot formulo. (Učenec napiše pravilo na tablo. Formulo vsak zapiše v zvezke.)

Vrnimo se k prvi metodi. Ali ga lahko uporabim, če je a: n? (Da splošen način)

In kdaj je druga metoda primerna za uporabo? (Ko je števec ulomka deljiv z naravnim številom brez ostanka)

Vi. Primarna ojačitev z izgovorjavo v zunanjem govoru.

Cilj odra:

1. Organizirati asimilacijo novega načina delovanja otrok pri reševanju tipičnih problemov z njihovo izgovorjavo v zunanjem govoru (frontalno, v parih ali skupinah).

Organizacija izobraževalnega procesa na VI. Stopnji.

Izračunajte na nov način:

• Št. 363 (a; d) - izvedeno na tabli z izgovarjanjem pravila.
• Št. 363 (d; f) - v paru s preverjanjem vzorca.

Vii. Samostojno delo s samotestiranjem v skladu s standardom.

Cilj odra:

1. Organizirati samostojno izpolnjevanje nalog učencev za nov način delovanja;
2. Organizirati samotestiranje na podlagi primerjave s standardom;
3. Na podlagi rezultatov izvedbe samostojno delo organizirati razmislek o asimilaciji novega načina delovanja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VII.

Izračunajte na nov način:

• Št. 363 (b; c)

Študenti preverijo standard, upoštevajo pravilnost izvedbe. Vzroki napak se analizirajo in napake odpravijo.

Učitelj vpraša tiste učence, ki so storili napake, kaj je razlog?

Na tej stopnji je pomembno, da vsak študent sam preveri svoje delo.

VIII. Vključevanje in ponavljanje znanja.

Cilj odra:

1. Organizirajo prepoznavanje meja uporabe novega znanja;
2. Uredite ponavljanje izobraževalnih vsebin, ki so potrebne za zagotovitev kontinuitete vsebine.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VIII.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IX.

1. Pogovorno okno:

Fantje, kakšno novo znanje ste danes odkrili? (Naučili smo se, kako ulomek na preprost način delimo z naravnim številom)

Oblikujte splošen način. (Pravijo)

Na kakšen način in v katerih primerih lahko uporabite več? (Pravijo)

V čem je prednost nove metode?

Ali smo dosegli svoj cilj pouka? (Da)

Kakšno znanje ste uporabili za dosego cilja? (Pravijo)

Vam je uspelo?

Kakšne težave so bile?

2. Domača naloga: str 3.2.4; Št. 365 (l, n, o, p); Št. 370.

3. Učitelj: Vesel sem, da so bili danes vsi aktivni in so uspeli najti izhod iz težave. In kar je najpomembneje, niso bili sosedje, ko so odpirali novega in ga zavarovali. Hvala za lekcijo, otroci!