Na prvi pogled se zdijo algebrski razlomki zelo zapleteni in neizučeni študent lahko misli, da z njimi ni mogoče storiti ničesar. Mešanje spremenljivk, števil in celo stopinj vzbuja strah. Vendar se ista pravila uporabljajo za okrajševanje pravilnih (npr. 15/25) in algebrskih ulomkov.

Koraki

Zmanjšanje frakcij

Oglejte si korake z enostavni ulomki... Operacije z navadnimi in algebrskimi ulomki so podobne. Na primer, vzemimo ulomek 15/35. Za poenostavitev tega ulomka je treba najti skupni delilec... Obe številki sta deljivi s pet, zato lahko v števcu in imenovalcu označimo 5:

Zdaj lahko zmanjšati skupne dejavnike, to je v števcu in imenovalcu prečrtaj 5. Kot rezultat dobimo poenostavljeni ulomek 3/7 ... IN algebrski izrazi skupni dejavniki so razporejeni na enak način kot običajni dejavniki. V prejšnjem primeru smo lahko zlahka ločili 5 od 15 - enako načelo velja za bolj zapletene izraze, na primer 15x - 5. Poiščite skupni faktor. V tem primeru bo 5, saj sta oba izraza (15x in -5) deljiva s 5. Kot prej izberite skupni faktor in ga prenesite naprej levo.

15x - 5 \u003d 5 * (3x - 1)

Če želite preveriti, ali je vse pravilno, je dovolj, da izraz v oklepajih pomnožite s 5 - rezultat bo enak številu, ki je bilo sprva. Kompleksne člane lahko izberemo na enak način kot preproste. Za algebraične ulomke veljajo enaka načela kot za navadne. To je najlažji način za zmanjšanje delca. Upoštevajte naslednji ulomek:

Upoštevajte, da števec (zgoraj) in imenovalec (spodaj) vsebujeta izraz (x + 2), zato ga je mogoče preklicati na enak način kot skupni faktor 5 v ulomku 15/35:

Kot rezultat dobimo poenostavljen izraz: (x-3) / (x + 10)

Zmanjšanje algebrskih ulomkov

Poiščite skupni faktor v števcu, to je na vrhu ulomka. Pri preklicu algebrskega ulomka je prvi korak poenostavitev obeh njegovih delov. Začnite s števcem in ga poskusite razširiti na čim več dejavnikov. V tem razdelku upoštevajte naslednji ulomek:

Začnimo s števcem: 9x - 3. Pri 9x in -3 je skupni faktor 3. Iz oklepajev vzamemo 3, tako kot pri običajnih številkah: 3 * (3x-1). Kot rezultat te transformacije bomo dobili naslednjo frakcijo:

V števcu poiščite skupni faktor. Nadaljujmo z zgornjim primerom in izpišemo imenovalec: 15x + 6. Kot prej poiščite število, s katerim sta oba dela deljiva. V tem primeru je skupni faktor 3, zato lahko zapišete: 3 * (5x +2). Ulomek napišimo takole:

Zmanjšajte enake člane. V tem koraku lahko ulomek poenostavite. Preklic enakih izrazov v števcu in imenovalcu. V našem primeru je to število 3.

Ugotovite, kaj ima ulomek najpreprostejši pogled... Ulomek je popolnoma poenostavljen, če v števcu in imenovalcu ni več skupnih faktorjev. Upoštevajte, da izrazov, ki so v oklepajih, ne morete preklicati - v zgornjem primeru x ni mogoče ločiti od 3x in 5x, saj sta celotna izraza (3x -1) in (5x + 2). Tako ulomek kljubuje nadaljnji poenostavitvi, končni odgovor pa je videti takole:

Vadite sami rezati ulomke. Najboljši način nauči se metoda je neodvisna odločitev naloge. Pravilni odgovori so podani pod primeri.

Odgovor: (x \u003d 13)

Odgovor:(2x-1) / 5

Posebni triki

Vzemite ven negativni znak onstran ulomka. Recimo, da je podan naslednji ulomek:

Upoštevajte, da sta (x-4) in (4-x) "skoraj" enaki, vendar ju ni mogoče hkrati skrajšati, ker sta "obrnjeni". Vendar lahko (x - 4) zapišemo kot -1 * (4 - x), tako kot (4 + 2x) lahko zapišemo kot 2 * (2 + x). To se imenuje "obrat znaka".

Zdaj lahko enake izraze (4-x) zmanjšate:

Tako smo dobili končni odgovor: -3/5 ... Naučite se prepoznavati razliko v kvadratih. Razlika kvadratov je, ko kvadrat enega števila odštejemo od kvadrata drugega števila, kot v izrazu (a 2 - b 2). Razliko celotnih kvadratov lahko vedno razstavimo na dva dela - vsoto in razliko ustreznih kvadratne korenine... Potem bo izraz imel naslednjo obliko:

A 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Ta tehnika je zelo koristna pri iskanju pogostih izrazov v algebrskih ulomkih.

• Preverite, ali ste pravilno razložili ta ali tisti izraz. Če želite to narediti, pomnožite faktorje - rezultat mora biti enak.
• Če želite delček popolnoma poenostaviti, vedno izberite največje dejavnike.

V tem članku bomo podrobno analizirali, kako zmanjšanje frakcij... Najprej se pogovorimo o tem, kar se imenuje zmanjšanje frakcije. Po tem se pogovorimo o zmanjšanju deleža, ki ga je mogoče preklicati, v nespremenljivo obliko. Nadalje bomo dobili pravilo za zmanjševanje ulomkov in na koncu preučili primere uporabe tega pravila.

Navigacija po strani.

Kaj pomeni preklicati ulomek?

Vemo, da so navadne frakcije razdeljene na frakcije, ki jih je mogoče preklicati, in jih ni mogoče zmanjšati. Iz imen lahko ugibate, da je deleže, ki jih je mogoče preklicati, mogoče zmanjšati, nereducibilnih pa ne.

Kaj pomeni preklicati ulomek? Zmanjšajte frakcijo - to pomeni, da se njegov števec in imenovalec deli na pozitiven in neenakomeren. Jasno je, da kot rezultat zmanjšanja ulomka dobimo nov ulomek z manjšim števcem in imenovalcem, tako da je na podlagi osnovne lastnosti ulomka nastali ulomek enak izvirniku.

Na primer, zmanjšajmo skupni ulomek 8/24 tako, da njegov števec in imenovalec delimo z 2. Z drugimi besedami, ulomek 8/24 lahko zmanjšamo za 2. Ker je 8: 2 \u003d 4 in 24: 2 \u003d 12, je rezultat tega zmanjšanja ulomek 4/12, ki je enak prvotnemu ulomku 8/24 (glej enake in neenake frakcije). Kot rezultat imamo.

Zmanjšanje navadnih frakcij v nespremenljivo obliko

Običajno je končni cilj zmanjšanja ulomka dobiti nesvodljivo frakcijo, ki je enaka prvotni odpovedani frakciji. Ta cilj je mogoče doseči z zmanjšanjem prvotnega razveljavljivega ulomka za njegov števec in imenovalec. Kot rezultat takšnega zmanjšanja vedno dobimo nesvodljivo frakcijo. Dejansko je ulomek ni mogoče zmanjšati, saj je iz tega znano, da in -. Tu recimo, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka največje število, s katerim je mogoče ta delež zmanjšati.

Torej, zmanjšanje navadne frakcije v nespremenljivo obliko sestoji iz deljenja števca in imenovalca prvotnega razveljavljivega ulomka z njihovim GCD.

Poglejmo primer, za katerega se vrnemo k ulomku 8/24 in ga zmanjšamo za največji skupni delilec števil 8 in 24, ki je 8. Ker je 8: 8 \u003d 1 in 24: 8 \u003d 3, potem pridemo do nesvodljive frakcije 1/3. Torej,.

Upoštevajte, da stavek "zmanjšaj ulomek" pogosto pomeni zmanjšanje prvotnega ulomka v nespremenljivo obliko. Z drugimi besedami, delitev števca in imenovalca z njihovim največjim skupnim deliteljem (in ne s katerim koli skupnim delilnikom) zelo pogosto imenujemo zmanjšanje ulomka.

Kako lahko skrajšaš ulomek? Pravilo in primeri zmanjševanja ulomkov

Ostalo je le analizirati pravilo za zmanjševanje frakcij, ki pojasnjuje, kako ta delež zmanjšati.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov je sestavljen iz dveh korakov:

• najprej je GCD števca in imenovalca ulomka;
• drugič, števec in imenovalec ulomka se delita s svojim GCD, kar daje nesvodljiv ulomek, enak izvirniku.

Analizirajmo primer zmanjšanja frakcije po navedenem pravilu.

Primer.

Zmanjšaj ulomek 182/195.

Sklep.

Izvedimo oba koraka, predpisana s pravilom zmanjšanja ulomka.

Najprej poiščite GCD (182, 195). Najbolj priročno je uporabljati Euclidov algoritem (glej): 195 \u003d 182 1 + 13, 182 \u003d 13 14, to je GCD (182, 195) \u003d 13.

Zdaj števec in imenovalec ulomka 182/195 delimo s 13 in dobimo nesvodljiv ulomek 14/15, ki je enak prvotnemu ulomku. S tem se zmanjšanje frakcije zaključi.

Na kratko lahko rešitev zapišemo takole:

Odgovor:

Tu lahko končamo z zmanjšanjem frakcij. Toda za popolnost razmislite o še dveh načinih za zmanjšanje ulomkov, ki se običajno uporabljajo v enostavnih primerih.

Včasih je števec in imenovalec preklicanega ulomka enostaven. Zmanjšanje ulomka je v tem primeru zelo preprosto: iz števca in imenovalca morate samo odstraniti vse pogoste dejavnike.

Omeniti velja, da ta metoda neposredno izhaja iz pravila za zmanjševanje ulomkov, saj je zmnožek vseh skupnih osnovnih faktorjev števca in imenovalca enak njihovemu največjemu skupnemu delitelju.

Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Zmanjšaj ulomek 360/2 940.

Sklep.

Števnik in imenovalec razširimo na osnovna faktorja: 360 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 in 2 940 \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. Tako .

Zdaj se znebimo pogostih dejavnikov v števcu in imenovalcu, zaradi udobja pa jih samo prečrtamo: .

Na koncu pomnožite še preostale faktorje :, in zmanjšanje je končano.

Tu je povzetek rešitve: .

Odgovor:

Razmislite o drugem načinu za zmanjšanje ulomka, ki je zaporedno zmanjšanje. Tu se ulomek na vsakem koraku prekliče s skupnim deliteljem števca in imenovalca, kar je očitno ali enostavno določiti z uporabo

Ne da bi vedeli, kako zmanjšati ulomek, in da bi imeli stabilno znanje pri reševanju podobni primeri zelo težko je študirati algebro v šoli. Čim dlje, tem več o osnovnem znanju zmanjšanja navadne frakcije prekrivajo nove informacije... Najprej se pojavijo stopinje, nato dejavniki, ki kasneje postanejo polinomi.

Kako se tukaj ne bi zmedli? Temeljito utrdite spretnosti iz prejšnjih tem in se postopoma pripravite na znanje, kako zmanjšati delež, ki se iz leta v leto bolj zapleta.

Osnovno znanje

Brez njih se ne boste mogli spoprijeti z nalogami katere koli stopnje. Da bi razumeli, morate razumeti dva preprosti trenutki... Najprej je mogoče preklicati samo multiplikatorje. Ta odtenek se izkaže za zelo pomembnega, kadar se v števcu ali imenovalcu pojavijo polinomi. Potem morate jasno ločiti, kje je dejavnik in kje izraz.

Druga točka pravi, da lahko katero koli število predstavimo kot dejavnike. Poleg tega je rezultat zmanjšanja tak ulomek, katerega števca in imenovalca ni več mogoče zmanjšati.

Pravila zmanjšanja za običajne ulomke

Najprej je vredno preveriti, ali je števec deljiv z imenovalcem ali obratno. Potem je treba to število zmanjšati. To je najlažja možnost.

Druga je analiza videz številke. Če se oba končata z eno ali več ničel, jih je mogoče zmanjšati za 10, 100 ali tisoč. Tu lahko vidite, ali so številke sodo. Če je tako, ga lahko varno zmanjšate za dva.

Tretje pravilo, kako zmanjšati ulomek, je glavno razdeljevanje števca in imenovalca. V tem času morate aktivno uporabljati vse znanje o znakih deljivosti števil. Po takšni razgradnji ostane le najti vse ponavljajoče se, jih pomnožiti in zmanjšati za nastalo število.

Kaj če je v ulomku algebrski izraz?

Tu se pojavijo prve težave. Ker se tu pojavijo izrazi, ki so lahko enaki dejavnikom. Resnično jih želim rezati, vendar ne morem. Preden režete algebrski ulomek, treba ga je preoblikovati, da bo imel dejavnike.

To zahteva nekaj korakov. Morda boste morali prebrati vse, ali pa vam bo prvi ponudil primerno možnost.

Preverite, ali se števnik in imenovalec ali kateri koli izraz v njih razlikujeta po znaku. V tem primeru morate samo postaviti minus eno zunaj oklepajev. To daje enake dejavnike, ki jih je mogoče preklicati.

Poglejte, ali je mogoče skupni faktor izvleči iz polinoma. Morda bo to povzročilo oklepaje, ki jih je mogoče tudi skrajšati ali pa odstraniti monom.

Poskusite združiti monomije, da bi nato iz njih izvlekli skupni dejavnik. Po tem se lahko izkaže, da obstajajo dejavniki, ki jih je mogoče zmanjšati, ali pa se lahko ponavljajoči skupni elementi v oklepajih ponovijo.

Poskusite v zapisu upoštevati skrajšano formulo množenja. Z njihovo pomočjo bo polinom enostavno pretvoriti v faktorje.

Zaporedje dejanj z ulomki s pooblastili

Da bi zlahka razumeli vprašanje, kako zmanjšati ulomek z močmi, se morate trdno spomniti osnovnih dejanj z njimi. Prva je povezana z množenjem stopinj. V tem primeru, če so osnove enake, je treba dodati kazalnike.

Druga je delitev. Tudi pri tistih, ki imajo enako osnovo, bo treba kazalnike odšteti. Poleg tega morate odšteti od števila, ki je v dividendi, in ne obratno.

Tretja je stopnjevanje. V tem primeru se kazalniki pomnožijo.

Za uspešno znižanje bo potrebna tudi sposobnost znižanja stopinj na enake osnove. To pomeni, da vidimo, da je štiri dva na kvadrat. Ali 27 je kocka treh. Ker je težko rezati 9 na kvadrat in 3 kocke. Če pa prvi izraz pretvorite v (3 2) 2, bo zmanjšanje uspešno.

Mnogi učenci delajo enake napake pri delu z ulomki. In vse zato, ker pozabijo na osnovna pravila. aritmetika... Danes bomo ta pravila ponovili za posebne nalogeki jih dajem na predavanjih.

Tu je težava, ki jo predlagam vsem, ki se pripravljajo na izpit iz matematike:

Naloga. Pliskavka dnevno poje 150 gramov krme. Toda odraščala je in začela jesti 20% več. Koliko gramov krme zdaj poje prašič?

Ne pravilna odločitev... To je težava v odstotkih, ki se nanaša na enačbo:

Mnogi (zelo veliko) zmanjšajo število 100 v števcu in imenovalcu ulomka:

To je napaka, ki jo je moj študent storil prav na dan, ko je bil napisan članek. Številke, ki so bile izrezane, so označene z rdečo barvo.

Ni treba posebej poudarjati, da se je odgovor izkazal za napačnega. Presodite sami: prašič je pojedel 150 gramov in začel jesti 3150 gramov. Povečanje ni 20%, ampak 21-krat, tj. za 2000%.

Da bi se izognili takšnim nesporazumom, si zapomnite osnovno pravilo:

Množitelje lahko samo zmanjšate. Pogojev ne morete zmanjšati!

Tako je pravilna rešitev prejšnje težave videti takole:

Števke so označene z rdečo barvo, ki so zmanjšane v števcu in imenovalcu. Kot lahko vidite, števec vsebuje zmnožek, imenovalec je navadna številka... Zato je znižanje popolnoma zakonito.

Delo s proporci

Še eno težavno mesto — razmerja... Še posebej, če je spremenljivka na obeh straneh. Na primer:

Naloga. Reši enačbo:

Napačna odločitev - nekateri ljudje dobesedno srbijo, da vse zmanjšajo za m:

Skrajšane spremenljivke so prikazane rdeče. Izkazalo se je, da je izraz 1/4 \u003d 1/5 - popolna neumnost, te številke niso nikoli enake.

In zdaj - prava odločitev. V bistvu je to običajno linearna enačba ... Reši se s prenosom vseh elementov v eno smer ali z glavno lastnostjo proporcije:

Številni bralci bodo ugovarjali: "Kje je napaka pri prvi odločitvi?" No, ugotovimo. Spomnimo se pravila za delo z enačbami:

Vsako enačbo lahko delimo in pomnožimo s poljubnim številom, nično.

Ste zamudili žeton? Lahko se deli samo s številkami nično... Zlasti je mogoče s spremenljivko m deliti le, če je m! \u003d 0. Kaj pa, če je navsezadnje m \u003d 0? Zamenjajmo in preverimo:

Dobili smo pravilno številčno enačbo, tj. m \u003d 0 je koren enačbe. Za preostalo m! \u003d 0 dobimo izraz oblike 1/4 \u003d 1/5, kar pa seveda ne drži. Tako ni ničelnih korenin.

Zaključki: vse skupaj

Torej za rešitev delne racionalne enačbe zapomnite si tri pravila:

1. Množitelje lahko samo zmanjšate. Pogoji niso dovoljeni. Zato se naučite odštevati števec in imenovalec;
2. Glavna lastnost sorazmerja: zmnožek skrajnih elementov je enak zmnožku povprečja;
3. Enačbe lahko pomnožimo in delimo samo z ničelnimi števili k. Primer k \u003d 0 je treba preveriti ločeno.

Zapomnite si ta pravila in ne delajte napak.

Divizija ter števec in imenovalec ulomka na njih skupni deliteljrazen enotnosti se imenuje zmanjšanje frakcije.

Če želite preklicati navaden ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z istim naravnim številom.

To število je največji skupni faktor števca in imenovalca ulomka.

Možno je naslednje obrazci za evidentiranje odločb primeri za zmanjševanje navadnih ulomkov.

Študent ima pravico izbrati katero koli obliko prijave.

Primeri. Poenostavite ulomke.

Zmanjšaj ulomek za 3 (števec deli z 3;

delite imenovalec s 3).

Zmanjšaj ulomek za 7.

Navedena dejanja izvajamo v števcu in imenovalcu ulomka.

Zmanjšaj nastalo frakcijo za 5.

Zmanjšaj to frakcijo 4) na 5,7³ - največji skupni faktor (GCD) števca in imenovalca, ki je sestavljen iz skupnih faktorjev števca in imenovalca, vzeto v potenco z najmanjšim eksponentom.

Razširimo števec in imenovalec tega ulomka na osnovna faktorja.

Dobimo: 756 \u003d 2² · 3³ · 7 in 1176 \u003d 2³ · 3 · 7².

Določite GCD (največji skupni delitelj) števca in imenovalca ulomka 5) .

To je plod najnižjih pogostih dejavnikov.

GCD (756; 1176) \u003d 2² · 3 · 7.

Števec in imenovalec tega ulomka delimo z njihovim GCD, to je z 2² · 3 · 7dobimo nesvodljivo frakcijo 9/14 .

Razširitev števca in imenovalca je bilo mogoče zapisati v obliki zmnožka glavnih faktorjev, ne da bi uporabili koncept moči, nato pa ulomek zmanjšali tako, da smo v števcu in imenovalcu prečrtali iste faktorje. Ko ni več enakih faktorjev, preostale faktorje pomnožimo ločeno v števcu in ločeno v imenovalcu ter izpišemo nastali ulomek 9/14 .

In končno, to frakcijo je bilo mogoče zmanjšati 5) postopoma z uporabo znakov delitve števil na števec in imenovalec ulomka. Razmišljamo takole: številke 756 in 1176 konča s sodo številko, kar pomeni, da sta obe deljivi s 2 ... Zmanjšaj ulomek za 2 ... Števec in imenovalec novega ulomka sta števili 378 in 588 tudi razdeljeno na 2 ... Zmanjšaj ulomek za 2 ... Upoštevajte, da je številka 294 - celo, in 189 - nenavadno in zmanjšanje za 2 ni več mogoče. Preverimo merilo delljivosti števil 189 in 294 na 3 .

(1 + 8 + 9) \u003d 18 je deljivo s 3 in (2 + 9 + 4) \u003d 15 je deljivo s 3, zato so številke same 189 in 294 so razdeljeni na 3 ... Zmanjšaj ulomek za 3 ... Nadalje, 63 je deljivo s 3 in 98 - ne. Gremo skozi druge glavne dejavnike. Obe številki sta deljivi s 7 ... Zmanjšaj ulomek za 7 in dobimo nesvodljivo frakcijo 9/14 .