V tem članku vam bom pokazal algoritmi za reševanje sedmih vrst racionalnih enačb, ki se s spreminjanjem spremenljivk zmanjšajo na kvadrat. V večini primerov so transformacije, ki vodijo do zamenjave, zelo netrivialne in o njih je težko sam uganiti.

Za vsako vrsto enačbe bom razložil, kako spremeniti spremenljivko v njej, nato pa v ustrezni video vadnici prikazal podrobno rešitev.

Enačbe lahko nadaljujete sami, nato pa svojo rešitev preverite v video vadnici.

Torej, začnimo.

1 ... (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) \u003d 40

Upoštevajte, da je na levi strani enačbe zmnožek štirih oklepajev, na desni pa številke.

1. Skupimo oklepaje po dva, tako da je vsota prostih izrazov enaka.

2. Pomnožimo jih.

3. Uvedemo spremembo spremenljivke.

V naši enačbi prvi oklepaj združimo s tretjim, drugega pa s četrtim, saj je (-1) + (- 4) \u003d (- 7) +2:

Na tej točki postane zamenjava spremenljivke očitna:

Dobimo enačbo

Odgovor:

2 .

Enačba te vrste je podobna prejšnji z eno razliko: na desni strani enačbe je zmnožek števila z. In rešen je na povsem drugačen način:

1. Oklepaje razvrstimo po dva, tako da je zmnožek prostih izrazov enak.

2. Pomnožite vsak par oklepajev.

3. Iz vsakega faktorja vzamemo x.

4. Delite obe strani enačbe z.

5. Uvedite zamenjavo spremenljivk.

V tej enačbi prvi oklepaj združimo s četrtim, drugega pa s tretjim, saj:

Upoštevajte, da sta v vsaki oklepaju koeficient at in prosti izraz enaka. Iz vsake oklepaja vzemite faktor:

Ker x \u003d 0 ni koren prvotne enačbe, delimo obe strani enačbe z. Dobimo:

Dobimo enačbo:

Odgovor:

3 .

Upoštevajte, da imenovalci obeh ulomkov vsebujejo kvadratni trinomiz enakim vodilnim koeficientom in prostim izrazom. Izvlečemo, kot v enačbi druge vrste, x zunaj nosilca. Dobimo:

Števec in imenovalec vsakega ulomka delimo z x:

Zdaj lahko uvedemo zamenjavo spremenljivk:

Dobimo enačbo za spremenljivko t:

4 .

Upoštevajte, da so koeficienti enačbe simetrični glede na osrednjo. Takšna enačba se imenuje vračljiv .

Da bi to rešili,

1. Ločimo obe strani enačbe z (To lahko storimo, ker x \u003d 0 ni koren enačbe.) Dobimo:

2. Razvrstimo izraze na ta način:

3. V vsaki skupini izvlecite skupni faktor iz oklepaja:

4. Uvedimo zamenjavo:

5. Skozi t izrazimo izraz:

Od tod

Dobimo enačbo za t:

Odgovor:

5. Homogene enačbe.

Enačbe s strukturo homogenega lahko najdemo pri reševanju eksponentnih, logaritemskih in trigonometrične enačbezato ga morate znati prepoznati.

Homogene enačbe imajo naslednjo strukturo:

V tej enakosti so A, B in C številke, enaki izrazi pa so označeni s kvadratom in krogom. To pomeni, da je na levi strani homogene enačbe vsota monoma z enako stopnjo (v v tem primeru stopnja monoma je 2) in prostega izraza ni.

Za rešitev homogene enačbe delimo obe strani z

Pozor! Ko delite desno in levo stran enačbe z izrazom, ki vsebuje neznano, lahko izgubite korenine. Zato je treba preveriti, ali korenine izraza, s katerim delimo obe strani enačbe, niso korenine prvotne enačbe.

Gremo po prvi poti. Dobimo enačbo:

Zdaj uvajamo zamenjavo spremenljivk:

Poenostavimo izraz in dobimo bi kvadratna enačba glede na t:

Odgovor: ali

7 .

Ta enačba ima naslednjo strukturo:

Če jo želite rešiti, morate na levi strani enačbe izbrati celoten kvadrat.

Če želite izbrati celoten kvadrat, morate dodati ali odšteti zadovoljivo delo. Nato dobimo kvadrat vsote ali razlike. To je ključnega pomena za uspešno zamenjavo spremenljivke.

Začnimo z iskanjem podvojenega izdelka. To bo ključ za zamenjavo spremenljivke. V naši enačbi je dvakratnik izdelka

Zdaj pa ocenimo, kaj je za nas bolj priročno - kvadrat vsote ali razlika. Najprej razmislimo o vsoti izrazov:

Globa! ta izraz je popolnoma enak dvakratnemu zmnožku. Nato, da dobite kvadrat vsote v oklepajih, morate dodati in odšteti podvojeni zmnožek:

Preprosto povedano, gre za enačbe, v katerih je vsaj ena s spremenljivko v imenovalcu.

Na primer:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Primer ne delne racionalne enačbe:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frak (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Kako se rešujejo delne racionalne enačbe?

Glavno, česar se moramo spomniti pri delnih racionalnih enačbah, je, da v njih pišemo. In po iskanju korenin jih obvezno preverite glede dopustnosti. V nasprotnem primeru se lahko pojavijo tuje korenine in celotna odločitev se bo štela za napačno.

Algoritem za reševanje delne racionalne enačbe:

Zapišite in rešite DHS.

Pomnožite vsak člen v enačbi z skupni imenovalec in zmanjšajte nastale frakcije. Imenovalci bodo izginili.

Zapišite enačbo, ne da bi odprli oklepaje.

Rešite nastalo enačbo.

Najdene korenine preverite z ODZ.

V odgovor zapišite korenine, ki so opravile preverjanje v 7. koraku.

Ne zapomnite si algoritma, 3-5 rešenih enačb - in zapomnil si ga bo sam.

Primer ... Rešite delno racionalno enačbo \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Sklep:

Odgovor: \(3\).

Primer ... Poiščite korenine delne racionalne enačbe \\ (\u003d 0 \\)

Sklep:

Odgovor: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Cilji lekcije:

Izobraževalna:

• oblikovanje koncepta delnih racionalnih enačb;
• preučiti različne načine reševanja delnih racionalnih enačb;
• razmislite o algoritmu za reševanje delnih racionalnih enačb, vključno s pogojem enakosti ulomka na nič;
• naučiti rešitve delnih racionalnih enačb z algoritmom;
• preverjanje stopnje obvladovanja teme z izvajanjem testnega dela.

Razvijanje:

• razvoj sposobnosti pravilnega upravljanja pridobljenega znanja, logičnega mišljenja;
• razvoj intelektualnih veščin in miselnih operacij - analiza, sinteza, primerjava in posploševanje;
• razvoj pobude, sposobnost odločanja, pri tem se ne ustavite;
• razvoj kritičnega mišljenja;
• razvoj raziskovalnih veščin.

Izobraževalna:

• izobraževanje kognitivnega zanimanja za predmet;
• negovanje neodvisnosti pri reševanju učni cilji;
• spodbujanje volje in vztrajnosti za doseganje končnih rezultatov.

Vrsta lekcije: lekcija - razlaga novega gradiva.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Zdravo družba! Enačbe so zapisane na tabli, pozorno si jih oglejte. Ali lahko rešite vse te enačbe? Kateri niso in zakaj?

Enačbe, v katerih sta leva in desna stran delno racionalni izrazi, imenujemo frakcijske racionalne enačbe. Kaj mislite, da se bomo danes učili pri pouku? Oblikujte temo lekcije. Torej odpremo zvezke in zapišemo temo lekcije "Reševanje delnih racionalnih enačb."

2. Posodabljanje znanja. Frontalna anketa, ustno delo z razredom.

In zdaj bomo ponovili glavno teoretično gradivo, ki ga potrebujemo za preučevanje nove teme. Prosimo, odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kaj je enačba? ( Enakost s spremenljivko ali spremenljivkami.)
2. Kako se imenuje enačba # 1? ( Linearno.) Rešitev linearne enačbe. (Premaknite vse z neznanim v leva stran enačbe, vsa števila na desni. Prinesite podobne izraze. Poiščite neznan dejavnik).
3. Kako se imenuje enačba # 3? ( Kvadrat.) Metode reševanja kvadratnih enačb. ( Izbira celotnega kvadrata s formulami z uporabo Vieta-ovega izreka in njegovih posledic.)
4. Kaj je razmerje? ( Enakost dveh razmerij.) Glavna lastnost sorazmerja. ( Če je razmerje pravilno, je zmnožek njegovih ekstremnih členov enak zmnožku srednjih izrazov.)
5. Katere lastnosti se uporabljajo za reševanje enačb? ( 1. Če v enačbi izraz prenesemo iz enega dela v drugega in spremenimo njegov predznak, potem dobimo enačbo, enakovredno dani. 2. Če se obe strani enačbe pomnožijo ali delijo z enakim ničelnim številom, potem dobimo enačbo, ki je enaka dani.)
6. Kdaj je ulomek nič? ( Ulomek je nič, če je števec nič in imenovalec ni nič.)

3. Pojasnilo novega gradiva.

Enačbo številko 2 rešite v zvezkih in na tabli.

Odgovorite: 10.

Katero delno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti z uporabo glavne lastnosti proporcije? (Št. 5).

(x-2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Enačbo številko 4 rešite v zvezkih in na tabli.

Odgovorite: 1,5.

Katero delno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti tako, da pomnožite obe strani enačbe z imenovalcem? (Št. 6).

x 2 -7x + 12 \u003d 0

D \u003d 1 ›0, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Odgovorite: 3;4.

Zdaj poskusite rešiti enačbo št. 7 na enega od načinov.

Pojasnite, zakaj se je to zgodilo? Zakaj so v enem primeru tri korenine, v drugih dveh? Katera števila so korenine te delne racionalne enačbe?

Doslej se študentje še niso srečali s konceptom tuje korenine, resnično težko razumejo, zakaj se je to zgodilo. Če nihče v razredu ne more jasno pojasniti te situacije, potem učitelj postavlja vodilna vprašanja.

• V čem se enačbi 2 in 4 razlikujeta od enačb 5,6,7? ( V enačbah št. 2 in 4 v imenovalcu števila, št. 5-7 - izrazi s spremenljivko.)
• Kaj je koren enačbe? ( Vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane resnična enakost.)
• Kako veste, ali je število koren enačbe? ( Naredite pregled.)

Pri izvajanju preizkusa nekateri učenci opazijo, da jih je treba deliti z nič. Ugotavljajo, da številki 0 in 5 nista korenini te enačbe. Postavlja se vprašanje: ali obstaja način za reševanje delnih racionalnih enačb, ki bi to napako odpravili? Da, ta metoda temelji na pogoju enakosti ulomka na nič.

x 2 -3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, x 1 \u003d 5, x 2 \u003d -2.

Če je x \u003d 5, potem je x (x-5) \u003d 0, potem je 5 tuji koren.

Če je x \u003d -2, je x (x-5) ≠ 0.

Odgovorite: -2.

Poskusimo na ta način oblikovati algoritem za reševanje delnih racionalnih enačb. Otroci sami oblikujejo algoritem.

Algoritem za reševanje delno racionalnih enačb:

1. Premakni vse v levo.
2. Drobke pripelji do skupnega imenovalca.
3. Naredite sistem: ulomek je nič, če je števec nič in imenovalec ni nič.
4. Reši enačbo.
5. Preverite neenakost, da izključite tuje korenine.
6. Zapišite svoj odgovor.

Razprava: kako formalizirati rešitev, če uporabimo osnovno lastnost proporcije in množenje obeh strani enačbe s skupnim imenovalcem. (Dopolnite rešitev: iz njenih korenin izključite tiste, zaradi katerih je skupni imenovalec nič).

4. Primarno razumevanje novega gradiva.

Delo v parih. Študenti sami izberejo način reševanja enačbe, odvisno od vrste enačbe. Naloge iz učbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: št. 600 (b, c, i); Št. 601 (a, e, g). Učitelj nadzoruje izvajanje naloge, odgovarja na vprašanja, ki se porajajo, in pomaga učencem, ki se slabo obnesejo. Samotestiranje: Odgovori so zapisani na tabli.

b) 2 - tuj koren. Odgovor: 3.

c) 2 - tuj koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12,5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domači nalogi.

1. Preberite 25. odstavek iz učbenika, analizirajte primere 1-3.
2. Spoznajte algoritem za reševanje delnih racionalnih enačb.
3. Rešite v zvezkih št. 600 (a, d, e); Št. 601 (g, h).
4. Poskusite rešiti # 696 (a) (neobvezno).

6. Izpolnjevanje kontrolne naloge na preučeni temi.

Delo poteka na papirjih.

Primer zaposlitve:

A) Katere enačbe so delno racionalne?

B) Ulomek je nič, če je števec ______________________ in imenovalec _______________________.

V) Ali je številka -3 koren enačbe št. 6?

D) Reši enačbo št. 7.

Merila za ocenjevanje naloge:

• "5" se postavi, če je učenec pravilno opravil več kot 90% naloge.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" dobi študent, ki je opravil manj kot 50% naloge.
• Rezultat 2 ni vpisan v dnevnik, 3 je neobvezen.

7. Odsev.

Na koščke papirja s samostojnim učenjem položite:

• 1 - če vam je bilo pri pouku zanimivo in razumljivo;
• 2 - zanimivo, a nejasno;
• 3 - ni zanimivo, a razumljivo;
• 4 - ni zanimivo, ni jasno.

8. Povzetek lekcije.

Tako smo se danes v lekciji srečali z delnimi racionalnimi enačbami in se naučili, kako te enačbe rešiti različne poti, so svoje znanje preizkusili s treningom samostojno delo... Rezultate samostojnega dela se boste naučili v naslednji lekciji, doma boste imeli priložnost utrditi pridobljeno znanje.

Kateri način reševanja delnih racionalnih enačb je po vašem mnenju lažji, dostopnejši, racionalnejši? Ne glede na način reševanja delnih racionalnih enačb, česa se morate spomniti? Kaj je "zahrbtnost" delnih racionalnih enačb?

Hvala vsem, pouk je končan.

"Reševanje delnih racionalnih enačb"

Cilji lekcije:

Izobraževalna:

oblikovanje koncepta delnih racionalnih enačb; preučiti različne načine reševanja delnih racionalnih enačb; razmislite o algoritmu za reševanje delnih racionalnih enačb, vključno s pogojem enakosti ulomka na nič; naučiti rešitve delnih racionalnih enačb z algoritmom; preverjanje stopnje obvladovanja teme z izvajanjem testnega dela.

Razvijanje:

razvoj sposobnosti pravilnega upravljanja pridobljenega znanja, logičnega mišljenja; razvoj intelektualnih veščin in miselnih operacij - analiza, sinteza, primerjava in posploševanje; razvoj pobude, sposobnost odločanja, pri tem se ne ustavite; razvoj kritičnega mišljenja; razvoj raziskovalnih veščin.

Izobraževalna:

izobraževanje kognitivnega zanimanja za predmet; negovanje samostojnosti pri reševanju vzgojnih problemov; spodbujanje volje in vztrajnosti za doseganje končnih rezultatov.

Vrsta lekcije: lekcija - razlaga novega gradiva.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Zdravo družba! Enačbe so zapisane na tabli, pozorno si jih oglejte. Ali lahko rešite vse te enačbe? Kateri niso in zakaj?

Enačbe, v katerih sta leva in desna stran delno racionalni izrazi, imenujemo frakcijske racionalne enačbe. Kaj mislite, da se bomo danes učili pri pouku? Oblikujte temo lekcije. Torej odpremo zvezke in zapišemo temo lekcije "Reševanje delnih racionalnih enačb."

2. Posodabljanje znanja. Frontalna anketa, ustno delo z razredom.

In zdaj bomo ponovili glavno teoretično gradivo, ki ga potrebujemo za preučevanje nove teme. Prosimo, odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kaj je enačba? ( Enakost s spremenljivko ali spremenljivkami.)

2. Kako se imenuje enačba # 1? ( Linearno.) Metoda za reševanje linearnih enačb. ( Premakni vse z neznanim na levo stran enačbe, vsa števila pa na desno. Prinesite podobne izraze. Poiščite neznan dejavnik).

3. Kako se imenuje enačba # 3? ( Kvadrat.) Metode reševanja kvadratnih enačb. ( Izbira celotnega kvadrata s formulami z uporabo Vieta-ovega izreka in njegovih posledic.)

4. Kaj je razmerje? ( Enakost dveh razmerij.) Glavna lastnost sorazmerja. ( Če je razmerje pravilno, je zmnožek njegovih ekstremnih členov enak zmnožku srednjih izrazov.)

5. Katere lastnosti se uporabljajo za reševanje enačb? ( 1. Če v enačbi izraz prenesemo iz enega dela v drugega in spremenimo njegov predznak, potem dobimo enačbo, enakovredno dani. 2. Če se obe strani enačbe pomnožijo ali delijo z enakim ničelnim številom, potem dobimo enačbo, ki je enaka dani.)

6. Kdaj je ulomek nič? ( Ulomek je nič, če je števec nič in imenovalec ni nič.)

3. Pojasnilo novega gradiva.

Enačbo številko 2 rešite v zvezkih in na tabli.

Odgovorite: 10.

Katero delno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti z uporabo glavne lastnosti proporcije? (Št. 5).

(x-2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Enačbo številko 4 rešite v zvezkih in na tabli.

Odgovorite: 1,5.

Katero delno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti tako, da pomnožite obe strani enačbe z imenovalcem? (Št. 6).

D \u003d 1 ›0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Odgovorite: 3;4.

Zdaj poskusite rešiti enačbo št. 7 na enega od načinov.

Pojasnite, zakaj se je to zgodilo? Zakaj so v enem primeru tri korenine, v drugih dveh? Katera števila so korenine te delne racionalne enačbe?

Doslej se študentje še niso srečali s konceptom tuje korenine, resnično težko razumejo, zakaj se je to zgodilo. Če nihče v razredu ne more jasno pojasniti te situacije, potem učitelj postavlja vodilna vprašanja.

V čem se enačbi 2 in 4 razlikujeta od enačb 5,6,7? ( V enačbah št. 2 in 4 v imenovalcu števila, št. 5-7 - izrazi s spremenljivko.) Kaj je koren enačbe? ( Vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane resnična enakost.) Kako ugotoviti, ali je število koren enačbe? ( Naredite pregled.)

Pri izvajanju preizkusa nekateri učenci opazijo, da jih je treba deliti z nič. Ugotavljajo, da številki 0 in 5 nista korenini te enačbe. Postavlja se vprašanje: ali obstaja način za reševanje delnih racionalnih enačb, ki bi to napako odpravili? Da, ta metoda temelji na pogoju enakosti ulomka na nič.

x2-3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Če je x \u003d 5, potem je x (x-5) \u003d 0, potem je 5 tuji koren.

Če je x \u003d -2, je x (x-5) ≠ 0.

Odgovorite: -2.

Poskusimo na ta način oblikovati algoritem za reševanje delnih racionalnih enačb. Otroci sami oblikujejo algoritem.

Algoritem za reševanje delno racionalnih enačb:

1. Vse premaknite v levo.

2. Drobke pripelji do skupnega imenovalca.

3. Sestavite sistem: ulomek je nič, če je števec nič in imenovalec ni nič.

4. Reši enačbo.

5. Preverite neenakost, da izključite tuje korenine.

6. Zapišite svoj odgovor.

Razprava: kako formalizirati rešitev, če uporabimo osnovno lastnost proporcije in množenje obeh strani enačbe s skupnim imenovalcem. (Dopolnite rešitev: iz njenih korenin izključite tiste, zaradi katerih je skupni imenovalec nič).

4. Primarno razumevanje novega gradiva.

Delo v parih. Študenti sami izberejo način reševanja enačbe, odvisno od vrste enačbe. Naloge iz učbenika "Algebra 8", 2007: № 000 (b, c, i); Št. 000 (a, e, g). Učitelj nadzoruje izvajanje naloge, odgovarja na vprašanja, ki se porajajo, in pomaga učencem, ki se slabo obnesejo. Samotestiranje: Odgovori so zapisani na tabli.

b) 2 - tuj koren. Odgovor: 3.

c) 2 - tuj koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12,5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domači nalogi.

2. Spoznajte algoritem za reševanje delnih racionalnih enačb.

3. Rešite v zvezkih št. 000 (a, d, e); Št. 000 (g, h).

4. Poskusite rešiti številko 000 (a) (neobvezno).

6. Izpolnjevanje kontrolne naloge na preučeni temi.

Delo poteka na papirjih.

Primer zaposlitve:

A) Katere enačbe so delno racionalne?

B) Ulomek je nič, če je števec ______________________ in imenovalec _______________________.

V) Ali je številka -3 koren enačbe št. 6?

D) Reši enačbo št. 7.

Merila za ocenjevanje naloge:

"5" se postavi, če je učenec pravilno opravil več kot 90% naloge. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" dobi študent, ki je opravil manj kot 50% naloge. Rezultat 2 ni vpisan v dnevnik, 3 je neobvezen.

7. Odsev.

Na koščke papirja s samostojnim učenjem položite:

1 - če vam je bilo pri pouku zanimivo in razumljivo; 2 - zanimivo, a nejasno; 3 - ni zanimivo, a razumljivo; 4 - ni zanimivo, ni jasno.

8. Povzetek lekcije.

Tako smo se danes na lekciji seznanili z delnimi racionalnimi enačbami, se naučili, kako te enačbe rešiti na različne načine, s pomočjo izobraževalnega samostojnega dela preverjali svoje znanje. Rezultate samostojnega dela se boste naučili v naslednji lekciji, doma boste imeli priložnost utrditi pridobljeno znanje.

Kateri način reševanja delnih racionalnih enačb je po vašem mnenju lažji, dostopnejši, racionalnejši? Ne glede na način reševanja delnih racionalnih enačb, česa se morate spomniti? Kaj je "zahrbtnost" delnih racionalnih enačb?

Hvala vsem, pouk je končan.

T. Kosyakova,
šola št. 80, Krasnodar

Reševanje kvadratnih in delnih racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Namen lekcije:oblikovati sposobnost reševanja delno-racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre.

Vrsta lekcije: uvedba novega gradiva.

1. (Besedno) Rešite enačbe:

Primer 1... Reši enačbo

Sklep.

Poiščite neveljavne vrednosti a:

Odgovor. Če če a = – 19 , potem ni korenin.

2. primer... Reši enačbo

Sklep.

Poiščite neveljavne vrednosti parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovor. Če a = 5 a № 5 potem x \u003d 10– a .

3. primer... Pri katerih vrednostih parametra b enačba Ima:

a) dve korenini; b) en sam koren?

Sklep.

1) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov b :

x \u003d b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b \u003d 0 ali b = 2;
x \u003d 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b \u003d 2 oz b = – 2.

2) Reši enačbo x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D \u003d 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D \u003d 4 b 2 .

in)

Izključitev neveljavnih vrednosti parametrov b , dobimo, da ima enačba dve korenini, če b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, vendar to ni veljavna vrednost parametra b ; če b 2 –1=0 , tj. b=1 ali.

Odgovor: a) če b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , nato dve korenini; b) če b=1 ali b \u003d –1 , potem edini koren.

Samostojno delo

1. možnost

Rešite enačbe:

2. možnost

Rešite enačbe:

Odgovori

IN 1... kaj če a=3 , potem ni korenin; če b) če je a № 2 , potem ni korenin.

IN 2. Če a=2 , potem ni korenin; če a=0 , potem ni korenin; če
b) če a=– 1 , potem enačba izgubi svoj pomen; če ni korenin;
če

Domača naloga.

Rešite enačbe:

Odgovori: a) Če a № –2 potem x \u003d a ; če a=–2 , potem ni rešitev; b) če a № –2 potem x \u003d 2 ; če a=–2 , potem ni rešitev; c) če a=–2 potem x - katero koli številko, razen 3 ; če a № –2 potem x \u003d 2 ; d) če a=–8 , potem ni korenin; če a=2 , potem ni korenin; če

Lekcija 5

Tema lekcije: "Rešitev delnih racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre."

Cilji lekcije:

usposabljanje za reševanje enačb z nestandardnim pogojem;
zavestna asimilacija študentov algebrskih konceptov in povezav med njimi.

Vrsta lekcije: sistematizacija in posploševanje.

Preverjanje domače naloge.

Primer 1... Reši enačbo

a) glede na x; b) glede na y.

Sklep.

a) Poiščite neveljavne vrednosti y: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 –2y,

y \u003d 0 - neveljavna vrednost parametra y.

Če y№ 0 potem x \u003d y - 2 ; če y \u003d 0 , potem enačba postane nesmiselna.

b) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov x: y \u003d x, 2x - x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - neveljavna vrednost parametra x; y (2 + x - y) \u003d 0, y \u003d 0 ali y \u003d 2 + x;

y \u003d 0 ne izpolnjuje pogoja y (y - x)№ 0 .

Odgovor: a) če y \u003d 0 , potem enačba izgubi svoj pomen; če y№ 0 potem x \u003d y - 2 ; b) če x \u003d 0 x№ 0 potem y \u003d 2 + x .

2. primer... Katere celoštevilčne vrednosti parametra a so korenine enačbe pripadajo intervalu

D \u003d (3 a + 2) 2 – 4a(a + 1) 2 \u003d 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D \u003d ( a + 2) 2 .

Če a № 0 ali a № – 1 potem

Odgovor: 5 .

3. primer... Poiščite relativno x celoštevilne rešitve enačbe

Odgovor. Če y \u003d 0 potem je enačba brez pomena; če y \u003d –1 potem x - katero koli celo število, razen nič; če y№ 0, y№ - 1, potem ni rešitev.

4. primer Reši enačbo s parametri a in b .

Če a№ - b potem

Odgovor. Če a \u003d0 ali b \u003d0 , potem enačba izgubi svoj pomen; če a№ 0, b№ 0, a \u003d –b potem x - katero koli število, razen nič; če a№ 0, b№ 0, a№ –B, potem x \u003d –a, x \u003d –b .

5. primer... Dokažite, da je za kateri koli ničelni parameter n enačba ima en sam koren, enak - n .

Sklep.

tj. x \u003d –n , kot je potrebno za dokazovanje.

Domača naloga.

1. Poiščite celotne rešitve enačbe

2. Pri katerih vrednostih parametra c enačba Ima:
a) dve korenini; b) en sam koren?

3. Poiščite vse celoštevilčne korenine enačbe če aO N .

4. Reši enačbo 3xy - 5x + 5y \u003d 7:a) glede y ; b) relativno x .

1. Enačbo izpolnjujejo poljubne celoštevilčne vrednosti x in y, razen nič.
2.a) Za
b) na oz
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Če potem ni korenin; če
b) če potem ni korenin; če

Preizkus

1. možnost

1. Določite vrsto enačbe 7c (c + 3) x 2 + (c - 2) x - 8 \u003d 0 na: a) c \u003d –3 ; b) c \u003d 2; v) c \u003d 4 .

2. Reši enačbe: a) x 2 –bx \u003d 0; b) cx 2 –6x + 1 \u003d 0 ; v)

3. Reši enačbo 3x - xy - 2y \u003d 1:

a) glede x ;
b) relativno y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, vedoč, da parameter n zajema samo celoštevilčne vrednosti.

5. Za katere vrednosti b enači enačba ima:

a) dve korenini;
b) en sam koren?

2. možnost

1. Določite vrsto enačbe 5c (c + 4) x 2 + (c - 7) x + 7 \u003d 0 na: a) c \u003d –4; b) c \u003d 7; v) c \u003d 1 .

2. Reši enačbe: a) y 2 + cy \u003d 0; b) ny 2 –8y + 2 \u003d 0; v)

3. Reši enačbo 6x - xy + 2y \u003d 5:

a) glede x ;
b) relativno y .

4. Poiščite celotne korenine enačbe nx 2 –22x + 2n \u003d 0, vedoč, da parameter n zajema samo celoštevilčne vrednosti.

5. Za katere vrednosti parametra a enačba ima:

a) dve korenini;
b) en sam koren?

Odgovori

IN 1. 1. a) Linearna enačba;
b) nepopolna kvadratna enačba; c) kvadratna enačba.
2.a) Če b \u003d 0 potem x \u003d 0 ; če b # 0 potem x \u003d 0, x \u003d b;
b) če cО (9; + Ґ) , potem ni korenin;
c) če a=–4 , potem enačba izgubi svoj pomen; če a№ –4 potem x \u003d - a .
3.a) Če y \u003d 3 , potem ni korenin; če);
b) a=–3, a=1.

Dodatne naloge

Rešite enačbe:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrih od samega začetka. - Tutor, št. 2/1991, str. 3-13.
2. Gronshtein PI, Polonskiy VB, Yakir MS. Potrebni pogoji pri težavah s parametri. - Kvant, št. 11/1991, str. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Reševanje problemovki vsebujejo parametre. 2. del - M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Petsto štirinajst nalog s parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Naloge s parametri. - M., Izobraževanje, 1986.