Podanih je 8 primerov faktoriziranja polinomov. Vključujejo primere reševanja kvadratnih in bikvadratnih enačb, primere recipročnih polinomov in primere iskanja celoštevilskih korenin polinomov tretje in četrte stopnje.

1. Primeri z reševanjem kvadratne enačbe

Primer 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

rešitev

Vzamemo x 2 zunaj oklepaja:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Koreni enačbe:
, .

.

Odgovori

Primer 1.2

Faktor polinom tretje stopnje:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

rešitev

Vzemimo x iz oklepaja:
.
Odločimo se kvadratna enačba x 2 + 6 x + 9 = 0:
Njegov diskriminant: .
Ker je diskriminanta nič, so koreni enačbe večkratniki: ;
.

Od tu dobimo faktorizacijo polinoma:
.

Odgovori

Primer 1.3

Deformirajte polinom pete stopnje:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

rešitev

Vzamemo x 3 zunaj oklepaja:
.
Reševanje kvadratne enačbe x 2 - 2 x + 10 = 0.
Njegov diskriminant: .
Ker je diskriminant manj kot nič, potem so koreni enačbe kompleksni: ;
, .

Faktorizacija polinoma ima obliko:
.

Če nas zanima faktorizacija z realnimi koeficienti, potem:
.

Odgovori

Primeri faktoriziranja polinomov z uporabo formul

Primeri z bikvadratnimi polinomi

Primer 2.1

Faktorirajte bikvadratni polinom:
x 4 + x 2 - 20.

rešitev

Uporabimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Odgovori

Primer 2.2

Faktoriziraj polinom, ki se reducira na bikvadraten:
x 8 + x 4 + 1.

rešitev

Uporabimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Odgovori

Primer 2.3 s ponavljajočim se polinomom

Faktorirajte recipročni polinom:
.

rešitev

Recipročni polinom ima liho stopnjo. Zato ima koren x = - 1 . Polinom delite z x - (-1) = x + 1. Kot rezultat dobimo:
.
Naredimo zamenjavo:
, ;
;


;
.

Odgovori

Primeri faktoriziranja polinomov s celimi koreni

Primer 3.1

Faktoriraj polinom:
.

rešitev

Predpostavimo, da enačba

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Tako smo našli tri korenine:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Ker je prvotni polinom tretje stopnje, nima več kot treh korenin. Ker smo našli tri korene, so preprosti. Potem
.

Odgovori

Primer 3.2

Faktoriraj polinom:
.

rešitev

Predpostavimo, da enačba

ima vsaj en cel koren. Potem je to delitelj števila 2 (član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
-2, -1, 1, 2 .
Te vrednosti zamenjamo eno za drugo:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Če predpostavimo, da ima ta enačba celoštevilski koren, potem je delitelj števila 2 (član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
1, 2, -1, -2 .
Zamenjajmo x = -1 :
.

Torej, našli smo še en koren x 2 = -1 . Možno bi bilo, kot v prejšnjem primeru, deliti polinom z , vendar bomo člene združili v skupine:
.

Ker je enačba x 2 + 2 = 0 nima pravih korenin, potem ima faktorizacija polinoma obliko.

Poiščimo vsoto in produkt korenin kvadratne enačbe. Z uporabo formul (59.8) za korenine zgornje enačbe dobimo

(prva enakost je očitna, drugo dobimo po preprostem izračunu, ki ga bo bralec izvedel samostojno; priročno je uporabiti formulo za množenje vsote dveh števil z njuno razliko).

Dokazano je naslednje

Vietov izrek. Vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu c nasprotno znamenje, njihov produkt pa je enak prostemu členu.

V primeru nereducirane kvadratne enačbe je treba izraze formule (60.1) nadomestiti s formulami (60.1) in prevzeti obliko

Primer 1. Sestavite kvadratno enačbo z njenimi koreninami:

Rešitev, a) Ugotovimo, da ima enačba obliko

Primer 2. Poiščite vsoto kvadratov korenin enačbe, ne da bi rešili samo enačbo.

rešitev. Vsota in produkt korenov sta znana. Predstavimo vsoto kvadratnih korenov v obliki

in dobimo

Iz Vietinih formul je enostavno dobiti formulo

izražanje pravila za faktorizacijo kvadratnega trinoma.

Res, zapišimo formule (60.2) v obliki

Zdaj imamo

kar smo morali dobiti.

Zgornja izpeljava Vietovih formul je bralcu znana iz tečaja algebre Srednja šola. Drug zaključek je mogoče podati z uporabo Bezoutovega izreka in faktorizacije polinoma (odstavka 51, 52).

Naj bodo torej koreni enačbe splošno pravilo(52.2) je trinom na levi strani enačbe faktoriziran:

Če odpremo oklepaje na desni strani te enake enakosti, dobimo

in primerjava koeficientov pri istih potencah nam bo dala formulo Vieta (60.1).

Prednost te izpeljave je, da jo je mogoče uporabiti tudi za enačbe višje stopnje da bi dobili izraze za koeficiente enačbe skozi njene korene (brez iskanja samih korenov!). Na primer, če so korenine dane kubične enačbe

bistvo je, da glede na enakost (52.2) najdemo

(v našem primeru z odpiranjem oklepajev na desni strani enakosti in zbiranjem koeficientov na različnih stopnjah dobimo

Svet je potopljen v ogromno število številk. Z njihovo pomočjo se pojavijo kakršni koli izračuni.

Ljudje se učijo številk, da bi se izognili prevaram v kasnejšem življenju. Potrebno je ogromno časa, da se izobražujete in ugotovite svoj proračun.

Matematika je eksaktna veda, ki ima v življenju veliko vlogo. V šoli otroci preučujejo številke in nato dejanja na njih.

Operacije s številkami so popolnoma drugačne: množenje, razširitev, seštevanje in druge. Poleg preprostih formul se pri študiju matematike uporabljajo tudi bolj zapletena dejanja. Obstaja ogromno formul, s katerimi lahko ugotovimo poljubne vrednosti.

V šoli, takoj ko se pojavi algebra, se v učenčevo življenje dodajo formule za poenostavitev. Obstajajo enačbe, kjer sta dve neznani števili, vendar poiščite na preprost način ne bo delovalo. Trinom je kombinacija treh monomov z uporabo preproste metode odštevanja in seštevanja. Trinom je rešen z uporabo Vietovega izreka in diskriminante.

Formula za faktorizacijo kvadratnega trinoma

Obstajata dve pravilni in enostavne rešitve primer:

• diskriminator;
• Vietov izrek.

Kvadratni trinom ima neznano na kvadrat in tudi število brez kvadrata. Prva možnost za rešitev problema uporablja Vietino formulo. To je preprosta formula, če bodo števila, ki stojijo pred neznano najmanjša vrednost.

Za druge enačbe, kjer je število pred neznanko, je treba enačbo rešiti z diskriminanto. To je bolj zapletena rešitev, vendar se diskriminant uporablja veliko pogosteje kot Vietov izrek.

Sprva najti vse spremenljivke enačbe primer je treba dvigniti na 0. Rešitev primera lahko preverite in ugotovite, ali so števila pravilno prilagojena.

Diskriminator

1. Enačbo je potrebno enačiti z 0.

2. Vsako število pred x bomo imenovali števila a, b, c. Ker pred prvim kvadratom x ni števila, je enako 1.

3. Zdaj se rešitev enačbe začne skozi diskriminanto:

4. Zdaj smo našli diskriminanto in našli dva x. Razlika je v tem, da bo v enem primeru pred b stal plus, v drugem pa minus:

5. Pri reševanju dveh števil sta bila rezultata -2 in -1. Nadomestite v prvotno enačbo:

6. V tem primeru sta se izkazala dva pravilne možnosti. Če obe rešitvi ustrezata, potem je vsaka od njiju resnična.

Kompleksnejše enačbe se rešujejo tudi z diskriminanto. Če pa je sama diskriminantna vrednost manjša od 0, potem primer ni pravilen. Pri iskanju je diskriminant vedno v korenu, negativna vrednost pa ne more biti v korenu.

Vietov izrek

Uporablja se za reševanje enostavnih problemov, kjer pred prvim x ni številka, to je a=1. Če se možnost ujema, se izračun izvede z uporabo Vietovega izreka.

Za rešitev katerega koli trinoma je treba enačbo dvigniti na 0. Prvi koraki diskriminante in Vietovega izreka se ne razlikujejo.

2. Zdaj se začnejo razlike med obema metodama. Vietin izrek ne uporablja samo "suhega" izračuna, temveč tudi logiko in intuicijo. Vsaka številka ima svojo črko a, b, c. Izrek uporablja vsoto in produkt dveh števil.

Ne pozabite! Število b ima pri seštevanju vedno nasprotni predznak, število c pa ostane nespremenjeno!

Zamenjava vrednosti podatkov v primeru , dobimo:

3. Z metodo logike zamenjamo najprimernejša števila. Razmislimo o vseh možnih rešitvah:

1. Števili sta 1 in 2. Če jih seštejemo, dobimo 3, če pa pomnožimo, ne dobimo 4. Ne ustreza.
2. Vrednost 2 in -2. Pri množenju bo -4, pri seštevanju pa se izkaže, da je 0. Ni primerno.
3. Števili 4 in -1. Ker množenje vključuje negativno vrednost, to pomeni, da bo eno od števil negativno. Primerno za seštevanje in množenje. Pravilna možnost.

4. Vse, kar ostane, je, da preverite s postavitvijo številk in preverite, ali je izbrana možnost pravilna.

5. Zahvaljujoč spletnemu preverjanju smo ugotovili, da -1 ne ustreza pogojem primera in je zato nepravilna rešitev.

Ko v primeru dodajate negativno vrednost, morate številko dati v oklepaj.

V matematiki bo vedno preproste naloge in zapleteno. Sama znanost vključuje različne probleme, izreke in formule. Če znanje razumete in pravilno uporabite, bodo težave z izračuni nepomembne.

Matematika ne zahteva stalnega pomnjenja. Naučiti se morate razumeti rešitev in se naučiti več formul. Postopoma je po logičnih sklepih mogoče rešiti podobne probleme in enačbe. Takšna znanost se na prvi pogled morda zdi zelo težka, a če se potopite v svet številk in problemov, se pogled dramatično spremeni. boljša stran.

Tehnične posebnosti vedno ostajajo najbolj iskani na svetu. Zdaj, v svetu sodobne tehnologije, je matematika postala nepogrešljiv atribut katerega koli področja. Vedno se moramo spominjati koristne lastnosti matematika.

Razširitev trinoma z uporabo oklepaja

Poleg reševanja običajnih metod obstaja še ena - razčlenitev v oklepajih. Uporablja se po formuli Vieta.

1. Enačbo enačite z 0.

sekira 2 +bx+c= 0

2. Koreni enačbe ostajajo enaki, vendar namesto ničle zdaj uporabljajo formule za razširitev v oklepaje.

sekira 2 + bx + c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Rešitev x=-1, x=3

Faktoriziranje kvadratnih trinomov je ena izmed šolskih nalog, s katero se prej ali slej sreča vsak. Kako narediti? Kakšna je formula za faktorizacijo kvadratnega trinoma? Ugotovimo korak za korakom z uporabo primerov.

Splošna formula

Kvadratni trinomi so faktorizirani z reševanjem kvadratne enačbe. To je preprost problem, ki ga je mogoče rešiti na več načinov – z iskanjem diskriminante, z uporabo Vietovega izreka, obstaja tudi grafična rešitev. Prvi dve metodi se učijo v srednji šoli.

Splošna formula izgleda takole:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritem za dokončanje naloge

Če želite faktorizirati kvadratne trinome, morate poznati Vitin izrek, imeti pri roki program za reševanje, biti sposoben grafično poiskati rešitev ali iskati korenine enačbe druge stopnje z diskriminantno formulo. Če je podan kvadratni trinom in ga je treba faktorizirati, je algoritem naslednji:

1) Izenačite izvirni izraz z nič, da dobite enačbo.

2) Pripelji podobni pogoji(če obstaja taka potreba).

3) Poiščite korenine katerega koli na znan način. Grafično metodo je najbolje uporabiti, če je vnaprej znano, da so koreni cela in majhna števila. Ne smemo pozabiti, da je število korenin enako največji stopnji enačbe, to pomeni, da ima kvadratna enačba dve korenini.

4) Nadomestite vrednost X v izraz (1).

5) Zapišite faktorizacijo kvadratnih trinomov.

Primeri

Praksa vam omogoča, da končno razumete, kako se ta naloga izvaja. Primeri ponazarjajo faktorizacijo kvadratnega trinoma:

izraz je treba razširiti:

Zatecimo se k našemu algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) podobni pogoji so zmanjšani

3) z uporabo Vietove formule je težko najti korenine za ta primer, zato je bolje uporabiti izraz za diskriminanto:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Nadomestimo najdene korene v osnovno formulo za razgradnjo:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potem bo odgovor tak:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Preverimo, ali rešitve, ki jih je našel diskriminant, ustrezajo formulam Vieta:

14,845 . 2,155=32

Za te korene velja Vietov izrek, našli so jih pravilno, kar pomeni, da je tudi faktorizacija, ki smo jo dobili, pravilna.

Podobno razširimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

V prejšnjem primeru so bile rešitve necela, temveč realna števila, ki jih zlahka najdemo, če imamo pred seboj kalkulator. Zdaj pa poglejmo bolj zapleten primer, v katerem bodo korenine kompleksne: faktor x 2 + 4x + 9. Z uporabo Vietove formule korenin ni mogoče najti, diskriminanta pa je negativna. Korenine bodo na kompleksni ravnini.

D=-20

Na podlagi tega dobimo korene, ki nas zanimajo -4+2i*5 1/2 in -4-2i * 5 1/2, ker je (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Želeno razgradnjo dobimo tako, da korene nadomestimo v splošno formulo.

Drug primer: izraz morate faktorizirati 23x 2 -14x+7.

Imamo enačbo 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

To pomeni, da so korenine 14+21.166i in 14-21.166i. Odgovor bo:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Naj navedemo primer, ki ga je mogoče rešiti brez pomoči diskriminatorja.

Recimo, da moramo kvadratno enačbo razširiti x 2 -32x+255. Očitno jo je mogoče rešiti tudi z uporabo diskriminante, vendar je hitrejša v tem primeru pobrati korenine.

x 1 =15

x 2 =17

Pomeni x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).