Prva točka je, kot običajno, arcsin(-a)=-arcsina. Da pridemo do druge točke, gremo po zgornji poti, torej v smeri povečevanja kota.

Tokrat se premikamo onkraj n. Kako dolgo bova? Na arcsin x. To pomeni, da je druga točka n+arcsin x. Zakaj ni minusa? Ker minus v zapisu -arcsin a pomeni gibanje v smeri urinega kazalca, mi pa smo šli v nasprotni smeri urinega kazalca. In končno dodajte 2pn na vsak konec intervala.

5) sinx>a, če je a>1.

Enotski krog v celoti leži pod premico y=a. Nad ravno črto ni niti ene točke. Torej ni rešitev.

6) sinx>-a, kjer je a>1.

V tem primeru celotna enotska krožnica v celoti leži nad premico y=a. Zato vsaka točka izpolnjuje pogoj sinx>a. To pomeni, da je x poljubno število.

In tukaj je x poljubno število, saj so točke -n/2+2nn vključene v rešitev, v nasprotju s strogo neenakostjo sinx>-1. Ničesar ni treba izključevati.

Edina točka na krogu, ki izpolnjuje ta pogoj, je n/2. Ob upoštevanju periode sinusa je rešitev te neenakosti množica točk x=n/2+2n.

Na primer, rešite neenačbo sinx>-1/2:

Neenakosti so relacije oblike a › b, kjer sta a in b izraza, ki vsebujeta vsaj eno spremenljivko. Neenakosti so lahko stroge - ‹, › in nestroge - ≥, ≤.

Trigonometrične neenakosti so izrazi oblike: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, v katerih je F(x) predstavljena z eno ali več trigonometričnimi funkcijami .

Primer najenostavnejše trigonometrične neenakosti je: sin x ‹ 1/2. Takšne probleme je običajno reševati grafično, za to sta bili razviti dve metodi.

1. način – Reševanje neenačb z grafom funkcije

Če želite najti interval, ki izpolnjuje pogoje neenakosti sin x ‹ 1/2, morate izvesti naslednje korake:

1. Vklopljeno koordinatna os sestavite sinusoido y = sin x.
2. Na isti osi narišite graf numeričnega argumenta neenakosti, tj. premico, ki poteka skozi točko ½ ordinate OY.
3. Označite presečišča obeh grafov.
4. Osenčite segment, ki je rešitev primera.

Če so v izrazu prisotni strogi znaki, presečišča niso rešitve. Ker je najmanjša pozitivna perioda sinusoide 2π, zapišemo odgovor takole:

Če znaki izraza niso strogi, mora biti interval rešitve v oglatih oklepajih - . Odgovor na problem lahko zapišemo tudi kot naslednjo neenakost:

2. način – Reševanje trigonometričnih neenakosti z uporabo enotskega kroga

Podobne probleme je mogoče enostavno rešiti s trigonometričnim krogom. Algoritem za iskanje odgovorov je zelo preprost:

1. Najprej morate narisati enotski krog.
2. Nato si morate zapomniti vrednost ločne funkcije argumenta desne strani neenakosti na loku kroga.
3. Treba je narisati ravno črto, ki poteka skozi vrednost ločne funkcije vzporedno z osjo abscise (OX).
4. Nato preostane le še izbor krožnega loka, ki je množica rešitev trigonometrične neenačbe.
5. Odgovor zapišite v zahtevani obrazec.

Analizirajmo stopnje reševanja na primeru neenačbe sin x › 1/2. Na krogu sta označeni točki α in β – vrednosti

Točki loka, ki se nahajata nad α in β, sta intervala za rešitev podane neenačbe.

Če morate rešiti primer za cos, bo lok odgovora nameščen simetrično na os OX, ne na OY. Razliko med intervali rešitve za sin in cos lahko upoštevate v diagramih spodaj v besedilu.

Grafične rešitve tangensnih in kotangensnih neenakosti se bodo razlikovale od sinusnih in kosinusnih. To je posledica lastnosti funkcij.

Arktangens in arkkotangens sta tangenti na trigonometrični krog, najmanjša pozitivna perioda za obe funkciji pa je π. Za hitro in pravilno uporabo druge metode se morate spomniti, na kateri osi so narisane vrednosti sin, cos, tg in ctg.

Tangenta tangente poteka vzporedno z osjo OY. Če narišemo vrednost arctan a na enotski krog, potem bo druga zahtevana točka v diagonalni četrtini. Koti

So prelomne točke za funkcijo, saj se graf nagiba k njim, vendar jih nikoli ne doseže.

V primeru kotangensa poteka tangenta vzporedno z osjo OX, funkcija pa se prekine v točkah π in 2π.

Kompleksne trigonometrične neenakosti

Če argumenta funkcije neenakosti ne predstavlja samo spremenljivka, ampak celoten izraz, ki vsebuje neznano, potem govorimo o kompleksni neenakosti. Postopek in postopek reševanja se nekoliko razlikujeta od zgoraj opisanih metod. Recimo, da moramo najti rešitev za naslednjo neenakost:

Grafična rešitev vključuje konstrukcijo navadne sinusoide y = sin x z uporabo poljubno izbranih vrednosti x. Izračunajmo tabelo s koordinatami za kontrolne točke grafa:

Rezultat mora biti lepa krivulja.

Za lažje iskanje rešitve zamenjajmo argument kompleksne funkcije

Večina študentov ne mara trigonometričnih neenakosti. Ampak zaman. Kot je rekel en lik,

"Samo ne znaš jih skuhati"

Torej, kako "kuhati" in s čim predložiti neenakost s sinusom, bomo ugotovili v tem članku. Odločili se bomo na preprost način– z uporabo enotskega kroga.

Torej, najprej potrebujemo naslednji algoritem.

Algoritem za reševanje neenačb s sinusom:

1. na sinusno os nanesemo število $a$ in narišemo premico, vzporedno s kosinusno osjo, dokler se ne preseka s krožnico;
2. točke presečišča te premice s krogom bodo osenčene, če neenakost ni stroga, in ne osenčene, če je neenakost stroga;
3. območje rešitve neenačbe se nahaja nad črto in do kroga, če neenačba vsebuje znak "$>$", in pod črto in do kroga, če neenakost vsebuje znak "$<$”;
4. za iskanje presečišč rešimo trigonometrično enačbo $\sin(x)=a$, dobimo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. z nastavitvijo $n=0$ najdemo prvo presečišče (nahaja se v prvi ali četrti četrtini);
6. da najdemo drugo točko, pogledamo, v katero smer gremo skozi območje do druge presečne točke: če v pozitivno smer, potem moramo vzeti $n=1$, in če v negativno smer, potem $n=- 1$;
7. kot odgovor je interval zapisan od manjšega presečišča $+ 2\pi n$ do večjega $+ 2\pi n$.

Omejitev algoritma

Pomembno: d danem algoritmu ne deluje za neenakosti oblike $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni primeri pri reševanju neenačb s sinusom

Pomembno je tudi upoštevati naslednje primere, ki jih je veliko bolj priročno rešiti logično brez uporabe zgornjega algoritma.

Poseben primer 1. Reši neenačbo:

$\sin(x)\leq 1.$

Zaradi dejstva, da je obseg vrednosti trigonometrična funkcija$y=\sin(x)$ torej ni večji od modula $1$ leva stran neenakosti pri katerikoli$x$ iz domene definicije (in domena definicije sinusa so vsa realna števila) ni večji od $1$. In zato v odgovoru pišemo: $x \in R$.

Posledica:

$\sin(x)\geq -1.$

Poseben primer 2. Reši neenačbo:

$\sin(x)< 1.$

Z uporabo argumentov, podobnih posebnemu primeru 1, ugotovimo, da je leva stran neenakosti manjša od $1$ za vse $x \in R$, razen za točke, ki so rešitve enačbe $\sin(x) = 1$. Če rešimo to enačbo, bomo imeli:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

In zato v odgovor zapišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\desno\)$.

Posledica: neenačbo rešimo podobno

$\sin(x) > -1.$

Primeri reševanja neenačb z algoritmom.

Primer 1: Reši neenačbo:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Označimo koordinato $\frac(1)(2)$ na sinusni osi.
2. Narišimo premico, ki je vzporedna s kosinusno osjo in poteka skozi to točko.
3. Označimo presečišča. Osenčeni bodo, ker neenakost ni stroga.
4. Znak neenakosti je $\geq$, kar pomeni, da pobarvamo območje nad črto, tj. manjši polkrog.
5. Najdemo prvo stičišče. To naredimo tako, da neenakost spremenimo v enakost in jo rešimo: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Nadalje nastavimo $n=0$ in poiščemo prvo presečišče: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Najdemo drugo točko. Naše območje gre v pozitivni smeri od prve točke, kar pomeni, da smo $n$ postavili na $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Tako bo rešitev dobila obliko:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \n \in Z.$

Primer 2: Reši neenačbo:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Označimo koordinato $-\frac(1)(2)$ na sinusni osi in narišimo premico, ki je vzporedna s kosinusno osjo in poteka skozi to točko. Označimo presečišča. Ne bodo zasenčene, saj je neenakost stroga. Znak neenakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\levo(-\frac(1)(2)\desno))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Nadalje ob predpostavki, da je $n=0$, najdemo prvo presečišče: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše območje gre v negativno smer od prve točke, kar pomeni, da smo $n$ postavili na $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Torej bo rešitev te neenakosti interval:

$x \in \levo(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\desno), \n \in Z.$

Primer 3: Reši neenačbo:

$1 – 2\sin(\levo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq 0.$

Tega primera ni mogoče takoj rešiti z uporabo algoritma. Najprej ga morate preoblikovati. Naredimo točno to, kar bi storili z enačbo, vendar ne pozabite na znak. Deljenje ali množenje z negativnim številom obrne!

Torej, premaknimo vse, kar ne vsebuje trigonometrične funkcije, na desno stran. Dobimo:

$- 2\sin(\levo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq -1.$

Levo in desno stran delimo z $-2$ (ne pozabite na znak!). Bo imel:

$\sin(\levo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \geq \frac(1)(2).$

Spet imamo neenačbo, ki je ne moremo rešiti z algoritmom. Toda tukaj je dovolj, da spremenite spremenljivko:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Dobimo trigonometrično neenačbo, ki jo lahko rešimo z algoritmom:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ta neenakost je bila rešena v primeru 1, zato si sposodimo odgovor od tam:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$

S tem pa odločitev še ni končana. Moramo se vrniti k prvotni spremenljivki.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$

Predstavljajmo si interval kot sistem:

$\levo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(matrika) \right.$

Na levi strani sistema je izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), ki pripada intervalu. Za prvo neenakost je odgovorna leva meja intervala, za drugo pa desna meja. Poleg tega imajo oklepaji pomembno vlogo: če je oklepaj kvadraten, bo neenakost ohlapna, če je okrogel, pa bo stroga. naša naloga je, da dobimo $x$ z leve v obeh neenakostih.

Premaknimo $\frac(\pi)(6)$ z leve strani na desno, dobimo:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(matrika) \right.$.

Če poenostavimo, imamo:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(matrika) \right.$

Če pomnožimo levo in desno stran s 4$, dobimo:

$\levo\(\begin(matrika)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(matrika) \desno. $

Če sistem sestavimo v interval, dobimo odgovor:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \n \in Z.$

1. Če je argument zapleten (različen od X), nato ga zamenjajte z t.

2. Gradimo v eni koordinatni ravnini igrača funkcijski grafi y=strošek in y=a.

3. Takšne najdemo dve sosednji točki presečišča grafov, med katerima se nahaja nad ravno črto y=a. Tem točkam poiščemo abscise.

4. Za argument zapišite dvojno neenakost t, ob upoštevanju kosinusne dobe ( t bo med najdenimi abscisami).

5. Izvedite obratno zamenjavo (vrnite se na prvotni argument) in izrazite vrednost X iz dvojne neenačbe zapišemo odgovor v obliki številskega intervala.

Primer 1.

Nato v skladu z algoritmom določimo te vrednosti argumenta t, kjer se nahaja sinusoid višji naravnost. Zapišimo te vrednosti kot dvojno neenakost ob upoštevanju periodičnosti kosinusne funkcije in se nato vrnemo k prvotnemu argumentu X.

Primer 2.

Izbira obsega vrednosti t, v kateri je sinusoida nad ravno črto.

Vrednosti zapišemo v obliki dvojne neenakosti t, izpolnjevanje pogoja. Ne pozabite, da je najmanjša doba funkcije y=strošek enako 2π. Vrnitev k spremenljivki X, postopoma poenostavlja vse dele dvojne neenakosti.

Odgovor zapišemo v obliki zaprtega številskega intervala, saj neenakost ni bila stroga.

Primer 3.

Zanimalo nas bo območje vrednosti t, pri kateri bodo točke sinusoide ležale nad ravno črto.

Vrednote t zapišite v obliki dvojne neenakosti, prepišite enake vrednosti za 2x in izraziti X. Odgovor zapišimo v obliki številskega intervala.

In spet formula stroški>a.

če stroški>a, (-1≤A≤1), potem - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Uporabite formule za reševanje trigonometričnih neenakosti in prihranili boste čas pri testiranju izpita.

In zdaj formula , ki bi ga morali uporabiti na UNT ali Enotnem državnem izpitu pri reševanju trigonometrične neenakosti oblike stroški

če stroški , (-1≤A≤1), potem arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Uporabite to formulo za rešitev neenakosti, obravnavanih v tem članku, in dobili boste odgovor veliko hitreje in brez grafov!

Ob upoštevanju periodičnosti sinusne funkcije zapišemo dvojno neenakost za vrednosti argumenta t, ki izpolnjuje zadnjo neenakost. Vrnimo se k prvotni spremenljivki. Transformirajmo nastalo dvojno neenakost in izrazimo spremenljivko X. Odgovor zapišimo v obliki intervala.

Rešimo drugo neenačbo:

Pri reševanju druge neenačbe smo morali levo stran te neenačbe transformirati s formulo dvojnega argumenta sinusa, da smo dobili neenakost oblike: sint≥a. Nato smo sledili algoritmu.

Rešimo tretjo neenačbo:

Dragi diplomanti in kandidati! Upoštevajte, da so metode za reševanje trigonometričnih neenakosti, kot je zgoraj navedena grafična metoda in, verjetno vam znana, metoda reševanja z enotnim trigonometričnim krogom (trigonometrični krog), uporabne le v prvih fazah študija razdelka trigonometrije. "Reševanje trigonometričnih enačb in neenačb." Mislim, da se spomnite, da ste najenostavnejše trigonometrične enačbe najprej reševali z uporabo grafov ali kroga. Vendar pa zdaj ne bi pomislili na reševanje trigonometričnih enačb na ta način. Kako jih rešujete? Tako je, po formulah. Zato je treba trigonometrične neenakosti reševati z uporabo formul, zlasti med testiranjem, ko vsaka minuta je dragocena. Torej, rešite tri neenakosti te lekcije z uporabo ustrezne formule.

če sint>a, kjer je -1≤ a≤1, torej arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Naučite se formule!

In za konec: ste vedeli, da so matematika definicije, pravila in FORMULE?!

Seveda! In najbolj radovedni, ko so preučili ta članek in si ogledali video, so vzkliknili: »Kako dolgo in težko! Ali obstaja formula, ki vam omogoča, da rešite takšne neenakosti brez grafov ali krogov?« Ja, seveda obstaja!

ZA REŠEVANJE NEENAČB OBLIKE: greh (-1≤A≤1) velja formula:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Uporabite ga na obravnavanih primerih in veliko hitreje boste dobili odgovor!

Zaključek: NAUČITE SE FORMULE, PRIJATELJI!

Stran 1 od 1 1

Med praktičnim poukom bomo ponovili glavne vrste nalog iz teme “Trigonometrija”, dodatno analizirali probleme povečane kompleksnosti in obravnavali primere reševanja različnih trigonometričnih neenakosti in njihovih sistemov.

Ta lekcija vam bo pomagala pri pripravi na eno od vrst nalog B5, B7, C1 in C3.

Začnimo s pregledom glavnih vrst nalog, ki smo jih obravnavali v temi "Trigonometrija", in rešimo več nestandardnih problemov.

Naloga št. 1. Pretvori kote v radiane in stopinje: a) ; b) .

a) Uporabimo formulo za pretvorbo stopinj v radiane

Vanjo nadomestimo podano vrednost.

b) Uporabi formulo za pretvorbo radianov v stopinje

Izvedemo zamenjavo .

Odgovori. A) ; b) .

Naloga št. 2. Izračunaj: a) ; b) .

a) Ker gre kot daleč čez tabelo, ga bomo zmanjšali tako, da odštejemo sinusno periodo. Ker Kot je naveden v radianih, potem bomo obdobje obravnavali kot .

b) V tem primeru je situacija podobna. Ker je kot naveden v stopinjah, bomo obdobje tangente obravnavali kot .

Nastali kot, čeprav manjši od periode, je večji, kar pomeni, da se ne nanaša več na glavni, temveč na podaljšani del tabele. Da ne bi znova urili svojega spomina s pomnjenjem razširjene tabele vrednosti trigofunkcije, ponovno odštejmo tangentno periodo:

Izkoristili smo nenavadnost funkcije tangente.

Odgovori. a) 1; b) .

Naloga št. 3. Izračunaj , Če .

Zmanjšajmo celoten izraz na tangente tako, da števec in imenovalec ulomka delimo z . Hkrati se tega ne moremo bati, saj v tem primeru tangentna vrednost ne bi obstajala.

Naloga št. 4. Poenostavite izraz.

Podani izrazi so pretvorjeni z redukcijskimi formulami. Samo nenavadno so napisani z uporabo stopinj. Prvi izraz na splošno predstavlja število. Poenostavimo vse trigofunkcije eno za drugo:

Ker , potem se funkcija spremeni v kofunkcijo, tj. na kotangens, in kot pade v drugo četrtino, v kateri ima prvotni tangens negativen predznak.

Iz istih razlogov kot v prejšnjem izrazu se funkcija spremeni v kofunkcijo, tj. na kotangens, kot pade v prvo četrtino, v kateri ima prvotni tangens pozitiven predznak.

Nadomestimo vse v poenostavljen izraz:

Problem #5. Poenostavite izraz.

Zapišimo tangens dvojnega kota z ustrezno formulo in poenostavimo izraz:

Zadnja identiteta je ena od univerzalnih nadomestnih formul za kosinus.

Problem št. 6. Izračunaj.

Glavna stvar je, da ne naredite običajne napake, da ne podate odgovora, da je izraz enak . Osnovne lastnosti arktangensa ne morete uporabiti, dokler je zraven faktor v obliki dve. Da se ga znebimo, bomo zapisali izraz po formuli za tangento dvojnega kota, medtem ko bomo obravnavali , kot navaden argument.

Zdaj lahko uporabimo osnovno lastnost arktangensa; ne pozabite, da ni nobenih omejitev glede njegovega numeričnega rezultata.

Problem št. 7. Reši enačbo.

Pri reševanju enačbe v ulomku, ki je enaka nič, je vedno označeno, da je števec enak nič, imenovalec pa ne, ker Ne morete deliti z ničlo.

Prva enačba je poseben primer najenostavnejše enačbe, ki jo je mogoče rešiti s pomočjo trigonometričnega kroga. Zapomnite si to rešitev tudi sami. Drugo neenačbo rešimo kot najenostavnejšo enačbo z uporabo splošne formule za korenine tangente, vendar le s predznakom, ki ni enak.

Kot vidimo, ena družina korenin izključuje drugo družino povsem istega tipa korenin, ki ne zadovoljujejo enačbe. Tisti. brez korenin.

Odgovori. Ni korenin.

Problem št. 8. Reši enačbo.

Takoj zapomnimo, da lahko vzamemo skupni faktor in naredimo to:

Enačba je reducirana na eno od standardnih oblik, kjer je produkt več faktorjev enak nič. Vemo že, da je v tem primeru ena od njiju enaka nič, druga ali tretja. Zapišimo to v obliki niza enačb:

Prvi dve enačbi sta posebna primera najpreprostejših, s podobnimi enačbami smo se že večkrat srečali, zato bomo takoj navedli njuni rešitvi. Tretjo enačbo reduciramo na eno funkcijo z uporabo formule sinusa dvojnega kota.

Rešimo zadnjo enačbo posebej:

Ta enačba nima korenin, ker sinusna vrednost ne more presegati .

Rešitev sta torej le prvi dve družini korenov; ju je mogoče združiti v eno, kar je enostavno prikazati na trigonometričnem krogu:

To je družina vseh polovic, tj.

Preidimo k reševanju trigonometričnih neenakosti. Najprej bomo analizirali pristop k reševanju primera brez uporabe formul za splošne rešitve, ampak z uporabo trigonometričnega kroga.

Problem št. 9. Reši neenačbo.

Narišimo pomožno črto na trigonometričnem krogu, ki ustreza sinusni vrednosti, ki je enaka, in pokažimo območje kotov, ki izpolnjujejo neenakost.

Zelo pomembno je natančno razumeti, kako navesti nastali interval kotov, tj. kakšen je njen začetek in kakšen je njen konec. Začetek intervala bo kot, ki ustreza točki, v katero bomo vstopili na samem začetku intervala, če se premikamo v nasprotni smeri urnega kazalca. V našem primeru je to točka, ki je na levi, saj premikanje v nasprotni smeri urinega kazalca in mimo desne točke, nasprotno, zapustimo zahtevano območje kotov. Desna točka bo torej ustrezala koncu vrzeli.

Zdaj moramo razumeti kota začetka in konca našega intervala rešitev neenakosti. Tipična napaka je, da takoj označite, da desna točka ustreza kotu, leva pa poda odgovor. To ni res! Upoštevajte, da smo pravkar navedli interval, ki ustreza zgornjemu delu kroga, čeprav nas zanima spodnji del, z drugimi besedami, pomešali smo začetek in konec intervala rešitve, ki ga potrebujemo.

Da se interval začne od vogala desne točke in konča z vogalom leve točke, mora biti prvi določeni kot manjši od drugega. Da bi to naredili, bomo morali izmeriti kot desne točke v negativni referenčni smeri, tj. v smeri urinega kazalca in bo enako . Potem, ko se začnemo premikati od nje v pozitivni smeri urinega kazalca, bomo za levo točko prišli do desne točke in dobili zanjo vrednost kota. Zdaj je začetek intervala kotov manjši od konca in lahko zapišemo interval rešitev brez upoštevanja obdobja:

Glede na to, da se bodo taki intervali ponovili neskončno število krat po poljubnem celem številu vrtljajev, dobimo splošno rešitev ob upoštevanju sinusne periode:

Oklepaje postavimo, ker je neenakost stroga, in na krogu izberemo točke, ki ustrezajo koncem intervala.

Prejeti odgovor primerjajte s formulo za splošno rešitev, ki smo jo podali na predavanju.

Odgovori. .

Ta metoda je dobra za razumevanje, od kod izvirajo formule za splošne rešitve najpreprostejših trigonskih neenačb. Poleg tega je koristno za tiste, ki so preleni, da bi se naučili vseh teh okornih formul. Vendar tudi sama metoda ni enostavna; izberite, kateri pristop k rešitvi vam najbolj ustreza.

Za reševanje trigonometričnih neenakosti lahko uporabite tudi grafe funkcij, na katerih je zgrajena pomožna premica, podobno kot je prikazana metoda z uporabo enotskega kroga. Če vas zanima, poskusite sami ugotoviti ta pristop k rešitvi. V nadaljevanju bomo uporabili splošne formule za reševanje preprostih trigonometričnih neenakosti.

Problem št. 10. Reši neenačbo.

Uporabimo formulo za splošno rešitev, pri čemer upoštevamo, da neenakost ni stroga:

V našem primeru dobimo:

Odgovori.

Problem št. 11. Reši neenačbo.

Uporabimo splošno formulo rešitve za ustrezno strogo neenakost:

Odgovori. .

Problem št. 12. Rešite neenačbe: a) ; b) .

V teh neenakostih ni treba hiteti z uporabo formul za splošne rešitve ali trigonometrični krog, dovolj je, da si zapomnite obseg vrednosti sinusa in kosinusa.

a) Odkar , potem neenakost ni smiselna. Zato ni rešitev.

b) Ker podobno sinus katerega koli argumenta vedno izpolnjuje neenakost, navedeno v pogoju. Zato vse realne vrednosti argumenta izpolnjujejo neenakost.

Odgovori. a) ni rešitev; b) .

Problem 13. Reši neenačbo .