divizije ter števec in imenovalec ulomka na njih skupni delilec razen enotnosti se imenuje zmanjšanje frakcije.

Če želite preklicati navaden ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z istim naravnim številom.

To število je največji skupni faktor števca in imenovalca ulomka.

Možne so naslednje obrazci za evidentiranje odločitev primeri za redukcijo navadnih ulomkov.

Študent ima pravico izbrati katero koli obliko prijave.

Primeri. Poenostavite ulomke.

Zmanjšajte ulomek za 3 (števec delite s 3;

imenovalec delimo s 3).

Zmanjšaj ulomek za 7.

Navedena dejanja izvajamo v števcu in imenovalcu ulomka.

Dobljeni ulomek zmanjšajte za 5.

Zmanjšajte ta ulomek 4) na 5 · 7³- največji skupni faktor (GCD) števca in imenovalca, ki ga sestavljajo skupni faktorji števca in imenovalca, vzeti na stopnjo z najmanjšim eksponentom.

Števec in imenovalec tega ulomka razširimo za primarni dejavniki.

Dobimo: 756 = 2² · 3³ · 7 in 1176 = 2³ · 3 · 7².

Določite GCD (največji skupni delilec) števca in imenovalca ulomka 5) .

To je produkt najnižjih skupnih dejavnikov.

GCD (756; 1176) = 2² · 3 · 7.

Števec in imenovalec tega ulomka delimo z njihovim GCD, to je z 2² · 3 · 7 dobimo nezmanjšljiv ulomek 9/14 .

In bilo je mogoče zapisati razširitev števca in imenovalca v obliki produkta osnovnih faktorjev, ne da bi uporabili koncept moči, in nato zmanjšali ulomek s prečrtanjem istih faktorjev v števcu in imenovalcu. Ko ni več enakih faktorjev, preostale faktorje pomnožimo ločeno v števcu in ločeno v imenovalcu ter zapišemo nastali ulomek 9/14 .

In končno je bilo mogoče zmanjšati ta delež 5) postopoma, z uporabo znakov deljenja števil tako za števec kot za imenovalec ulomka. Razmišljamo takole: številke 756 in 1176 končajo s sodo števko, kar pomeni, da sta oba deljiva z 2 ... Zmanjšajte ulomek za 2 ... Števec in imenovalec novega ulomka sta števila 378 in 588 razdeljena tudi na 2 ... Zmanjšajte ulomek za 2 ... Upoštevajte, da je številka 294 - celo in 189 - liho in zmanjšanje za 2 ni več možno. Preverimo kriterij deljivosti števil 189 in 294 na 3 .

(1 + 8 + 9) = 18 je deljivo s 3 in (2 + 9 + 4) = 15 je deljivo s 3, zato so števila sama 189 in 294 so razdeljeni na 3 ... Zmanjšajte ulomek za 3 ... Nadalje, 63 je deljivo s 3 in 98 - Ne. Gremo skozi druge glavne dejavnike. Obe številki sta deljivi s 7 ... Zmanjšajte ulomek za 7 in dobimo nezmanjšljiv ulomek 9/14 .

V tem članku si bomo ogledali osnovne operacije z algebrskimi ulomki:

• zmanjšanje frakcij
• množenje ulomkov
• delitev ulomkov

Začnimo z znižanja algebraične ulomke .

Zdi se, da algoritem očitno.

Za preklic algebraičnih ulomkov, potrebno

1. Odštej števec in imenovalec ulomka.

2. Zmanjšajte enake faktorje.

Vendar šolarji pogosto naredijo napako, da "prekličejo" ne dejavnike, ampak izraze. Na primer, obstajajo amaterji, ki v drobcu "zmanjšajo" in dobijo kot rezultat, kar seveda ni res.

Oglejmo si nekaj primerov:

1. Zmanjšaj frakcijo:

1. Razložimo števec po formuli kvadrata vsote, imenovalec pa po formuli razlike kvadratov

2. Števec in imenovalec delite z

2. Zmanjšaj frakcijo:

1. Faktor števec. Ker števec vsebuje štiri člene, bomo uporabili združevanje.

2. Faktor imenovalec. Uporabili bomo tudi razvrščanje v skupine.

3. Zapišimo ulomek, ki smo ga dobili, in izničimo iste faktorje:

Množenje algebraičnih ulomkov.

Pri množenju algebrskih ulomkov števec pomnožimo s števcem, imenovalec pa pomnožimo z imenovalcem.

Pomembno! Z množenjem v števcu in imenovalcu ulomka ni treba hiteti. Ko smo v števcu zapisali zmnožek števcev ulomkov in v imenovalec zmnožek imenovalcev, moramo vsak faktor razstaviti v faktorje in ulomek razveljaviti.

Oglejmo si nekaj primerov:

3. Poenostavite izraz:

1. Zapišimo zmnožek ulomkov: v števcu zmnožek števcev in v imenovalcu zmnožek imenovalcev:

2. Faktorizirajmo vsak oklepaj:

Zdaj moramo odpraviti iste dejavnike. Upoštevajte, da se izrazi in razlikujejo le v predznaku: in kot rezultat delitve prvega izraza z drugim, dobimo -1.

torej

Delitev algebrskih ulomkov izvedemo po naslednjem pravilu:

to je če želite deliti z ulomkom, morate pomnožiti z "obrnjeno".

Vidimo, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje in množenje se na koncu zmanjša na preklic ulomkov.

Poglejmo primer:

4. Poenostavite izraz:

Otroci se v šoli naučijo pravil za zmanjševanje ulomkov v 6. razredu. V tem članku vam bomo najprej povedali, kaj to dejanje pomeni, nato pa bomo razložili, kako pretvoriti preklicni ulomek v nepreklicnega. Naslednja točka bodo pravila za zmanjševanje ulomkov, nato pa bomo postopoma prišli do primerov.

Kaj pomeni "preklicati ulomek"?

Torej vsi vemo, da so navadni ulomki razdeljeni v dve skupini: preklicne in nezmanjšljive. Že po imenih je razbrati, da so tista, ki jih je mogoče skrajšati, okrajšana, tista, ki so nezvodljivi, pa niso okrajšana.

• Zmanjšanje ulomka pomeni deljenje imenovalca in števca z njunim (razen enega) pozitivnim deliteljem. Rezultat je seveda nov ulomek z nižjim imenovalcem in števcem. Nastali ulomek bo enak prvotnemu ulomku.

Omeniti velja, da v knjigah matematike z nalogo "zmanjšaj ulomek" to pomeni, da morate prvotni ulomek spraviti v to nezmanjšljivo obliko. Če se pogovarjamo s preprostimi besedami, potem je delitev imenovalca in števca z njunim največjim skupnim deliteljem preklic.

Kako zmanjšati ulomek. Pravila za zmanjšanje ulomkov (6. razred)

Torej, tukaj obstajata samo dve pravili.

1. Prvo pravilo za zmanjševanje ulomkov: najprej morate najti največji skupni imenovalec imenovalca in števec vašega ulomka.
2. Drugo pravilo: imenovalec in števec delite z največjim skupnim faktorjem, na koncu dobite nezmanjšljiv ulomek.

Kako razveljaviti nepravilni ulomek?

Pravila za zmanjševanje ulomkov so enaka tistim za preklic nepravilnih ulomkov.

Če želite razveljaviti nepravilni ulomek, morate imenovalec in števec najprej zapisati v prafaktorje in šele nato zmanjšati skupne faktorje.

Zmanjšanje mešanih frakcij

Pravila o zmanjševanju ulomkov veljajo tudi za zmanjšanje mešane frakcije... Obstaja le majhna razlika: ne moremo se dotakniti celotnega dela, temveč zmanjšamo ulomek ali mešani ulomek na napačnega, ga nato prekličemo in ponovno pretvorimo v redni ulomek.

Obstajata dva načina za zmanjšanje mešanih frakcij.

Prvič: zapisati delni del v prafaktorje in nato pustiti celoten del pri miru.

Drugi način: najprej prevedite v nepravilni ulomek, zapišite v običajne faktorje, nato zmanjšajte ulomek. Pretvorite že prejeti napačni ulomek v pravilnega.

Primere lahko vidite na zgornji fotografiji.

Resnično upamo, da smo lahko pomagali vam in vašim otrokom. Pravzaprav so v razredu zelo pogosto nepazljivi, zato se morate doma intenzivneje učiti sami.

Zmanjšanje frakcij je potrebno, da bi ulomek dosegli več preprost um, na primer v odgovoru, dobljenem kot rezultat reševanja izraza.

Zmanjšanje ulomkov, definicija in formula.

Kaj je zmanjšanje frakcije? Kaj pomeni preklicati ulomek?

Opredelitev:
Zmanjševanje frakcij- to je deljenje števca in imenovalca ulomkov z istim pozitivno število ni enako nič in ena. Kot rezultat redukcije dobimo ulomek z nižjim števcem in imenovalcem, ki je enak prejšnjemu ulomku po.

Formula za redukcijo frakcij glavna lastnost racionalnih števil.

\ (\ frac (p \ krat n) (q \ krat n) = \ frac (p) (q) \)

Poglejmo primer:
Prekliči ulomek \ (\ frac (9) (15) \)

rešitev:
Ulomek lahko razdelimo na prafaktorje in prekličemo skupne faktorje.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3 \ krat 3) (5 \ krat 3) = \ frac (3) (5) \ krat \ barva (rdeča) (\ frac (3) (3) ) = \ frac (3) (5) \ krat 1 = \ frac (3) (5) \)

Odgovor: po redukciji smo dobili ulomek \ (\ frac (3) (5) \). Glede na osnovno lastnost racionalnih števil sta začetni in nastali ulomek enaka.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3) (5) \)

Kako zmanjšam ulomke? Zmanjšanje ulomka v nereducibilno obliko.

Da bi kot rezultat dobili neredčljiv ulomek, potrebujemo poišči največji skupni faktor (gcd) za števec in imenovalec ulomka.

Obstaja več načinov za iskanje GCD, v primeru bomo uporabili razgradnjo števil na prafaktorje.

Pridobite nepreklicni ulomek \ (\ frac (48) (136) \).

rešitev:
Poiščite GCD (48, 136). Zapišimo številki 48 in 136 s prostimi faktorji.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD (48, 136) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (48) (136) = \ frac (\ barva (rdeča) (2 \ krat 2 \ krat 2) \ krat 2 \ krat 3) (\ barva (rdeča) (2 \ krat 2 \ krat 2) \ krat 17) = \ frak (\ barva (rdeča) (6) \ krat 2 \ krat 3) (\ barva (rdeča) (6) \ krat 17) = \ frak (2 \ krat 3) (17) = \ frac (6) (17) \)

Pravilo za zmanjševanje ulomka v nezvodljivo obliko.

1. Poiščite največji skupni faktor za števec in imenovalec.
2. Števec in imenovalec je treba kot rezultat delitve deliti z največjim skupnim deliteljem, da dobimo nezmanjšljiv ulomek.

Primer:
Prekliči ulomek \ (\ frac (152) (168) \).

rešitev:
Poiščite GCD (152, 168). Zapišimo številki 152 in 168 s prostimi faktorji.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD (152, 168) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (152) (168) = \ frac (\ barva (rdeča) (6) \ krat 19) (\ barva (rdeča) (6) \ krat 21) = \ frac (19) (21) \)

Odgovor: \ (\ frac (19) (21) \) je nezmanjšljiv ulomek.

Nepravilno zmanjšanje frakcij.

Kako razveljaviti nepravilni ulomek?
Pravila za zmanjševanje ulomkov za pravilne in nepravilne ulomke so enaka.

Poglejmo primer:
Prekliči nepravilni ulomek \ (\ frac (44) (32) \).

rešitev:
Zapišimo števec in imenovalec v prafaktorje. In potem bomo zmanjšali skupne dejavnike.

\ (\ frac (44) (32) = \ frac (\ barva (rdeča) (2 \ krat 2) \ krat 11) (\ barva (rdeča) (2 \ krat 2) \ krat 2 \ krat 2 \ krat 2 ) = \ frac (11) (2 \ krat 2 \ krat 2) = \ frac (11) (8) \)

Zmanjšanje mešanih frakcij.

Mešane frakcije po enakih pravilih kot navadni ulomki... Edina razlika je v tem, da zmoremo ne dotikajte se celotnega dela, ampak zmanjšajte delni del oz pretvorite mešani ulomek v nepravilen ulomek, zmanjšajte in pretvorite nazaj v pravilen ulomek.

Poglejmo primer:
Prekliči mešani ulomek \ (2 \ frac (30) (45) \).

rešitev:
Rešili bomo na dva načina:
Prvi način:
Zapišimo ulomni del na prafaktorje, a se celotnega dela ne bomo dotikali.

\ (2 \ frac (30) (45) = 2 \ frac (2 \ krat \ barva (rdeča) (5 \ krat 3)) (3 \ krat \ barva (rdeča) (5 \ krat 3)) = 2 \ frac (2) (3) \)

Drugi način:
Najprej ga prevedemo v nepravilen ulomek, nato pa ga zapišemo v prafaktorje in ga prekličemo. Nastali nepravilni ulomek pretvorimo v pravilnega.

\ (2 \ frac (30) (45) = \ frac (45 \ krat 2 + 30) (45) = \ frac (120) (45) = \ frac (2 \ krat \), barva (rdeča) (5 \ krat) 3) \ krat 2 \ krat 2) (3 \ krat \ barva (rdeča) (3 \ krat 5)) = \ frac (2 \ krat 2 \ krat 2) (3) = \ frac (8) (3) = 2 \ frac (2) (3) \)

Vprašanja na temo:
Ali je mogoče preklicati seštevanje ali odštevanje ulomkov?
Odgovor: ne, najprej morate dodati ali odšteti ulomke v skladu s pravili in šele nato zmanjšati. Poglejmo primer:

Ocenite izraz \ (\ frac (50 + 20-10) (20) \).

rešitev:
Pogosto naredijo napako, da v našem primeru v števcu in imenovalcu prekličejo enaka števila, število 20, vendar jih ni mogoče preklicati, dokler ne izvedete seštevanja in odštevanja.

\ (\ frac (50+ \ barva (rdeča) (20) -10) (\ barva (rdeča) (20)) = \ frac (60) (20) = \ frac (3 \ krat 20) (20) = \ frac (3) (1) = 3 \)

Za katera števila je mogoče zmanjšati ulomek?
Odgovor: Ulomek lahko prekličete z največjim skupnim faktorjem ali običajnim delilcem števca in imenovalca. Na primer, ulomek \ (\ frac (100) (150) \).

Zapišimo številki 100 in 150 v prafaktorje.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Največji skupni faktor bo število GCD (100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ krat 50) (3 \ krat 50) = \ frac (2) (3) \)

Prejel je nezmanjšljiv ulomek \ (\ frac (2) (3) \).

Vendar ni treba vedno deliti z GCD, nezmanjšljiv ulomek ni vedno potreben, ulomek lahko zmanjšate s prvim delilcem števca in imenovalca. Število 100 in 150 imata na primer skupni delilec 2. Zmanjšajte ulomek \ (\ frac (100) (150) \) za 2.

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ krat 50) (2 \ krat 75) = \ frac (50) (75) \)

Prejel preklican ulomek \ (\ frac (50) (75) \).

Katere ulomke je mogoče skrajšati?
Odgovor: prekličete lahko ulomke, pri katerih imata števec in imenovalec skupni delilec. Na primer, ulomek \ (\ frac (4) (8) \). Število 4 in 8 imata število, s katerim oba delita to število 2. Zato lahko tak ulomek prekličemo s številom 2.

Primer:
Primerjaj dva ulomka \ (\ frac (2) (3) \) in \ (\ frac (8) (12) \).

Ta dva ulomka sta enaka. Podrobno razmislite o ulomku \ (\ frac (8) (12) \):

\ (\ frac (8) (12) = \ frac (2 \ krat 4) (3 \ krat 4) = \ frac (2) (3) \ krat \ frac (4) (4) = \ frac (2)) (3) \ krat 1 = \ frac (2) (3) \)

Iz tega dobimo \ (\ frac (8) (12) = \ frac (2) (3) \)

Dva ulomka sta enaka, če in samo, če enega od njiju dobimo tako, da drugi ulomek zmanjšamo s skupnim faktorjem števca in imenovalca.

Primer:
Če je mogoče, zmanjšajte naslednje ulomke: a) \ (\ frac (90) (65) \) b) \ (\ frac (27) (63) \) c) \ (\ frac (17) (100) \) d ) \ (\ frac (100) (250) \)

rešitev:
a) \ (\ frac (90) (65) = \ frac (2 \ krat \ barva (rdeča) (5) \ krat 3 \ krat 3) (\ barva (rdeča) (5) \ krat 13) = \ frac) (2 \ krat 3 \ krat 3) (13) = \ frac (18) (13) \)
b) \ (\ frac (27) (63) = \ frac (\ barva (rdeča) (3 \ krat 3) \ krat 3) (\ barva (rdeča) (3 \ krat 3) \ krat 7) = \ frac (3) (7) \)
c) \ (\ frac (17) (100) \) nezmanjšljiv ulomek
d) \ (\ frac (100) (250) = \ frac (\ barva (rdeča) (2 \ krat 5 \ krat 5) \ krat 2) (\ barva (rdeča) (2 \ krat 5 \ krat 5) \ krat 5) = \ frac (2) (5) \)

Torej, že vemo, da lahko števec in imenovalec ulomka pomnožimo in delimo z istim številom, od tega se ulomek ne bo spremenil. Razmislite o treh pristopih:

Prvi pristop.

Za preklic delite števec in imenovalec s skupnim faktorjem. Oglejmo si nekaj primerov:

Naj skrajšamo:

V navedenih primerih takoj vidimo, katere delilnike vzeti za redukcijo. Postopek je preprost - ponovimo 2,3,4,5 in tako naprej. V večini primerov šolskega tečaja je to dovolj. Toda če obstaja ulomek:

Tukaj lahko postopek z izbiro delilnikov traja dolgo;). Seveda so takšni primeri zunaj šolskega tečaja, vendar se jim morate znati spopasti. Spodaj bomo videli, kako se to naredi. Za zdaj se vrnimo k postopku redukcije.

Kot smo že omenili, da bi zmanjšali ulomek, smo izvedli deljenje s skupnim delilnikom (li), ki smo ga določili sami. Tako je! Treba je dodati le znake deljivosti števil:

- če je število sodo, je deljivo z 2.

- če je število zadnjih dveh števk deljivo s 4, je število samo deljivo s 4.

- če je vsota števk, ki sestavljajo število, deljiva s 3, je število samo deljivo s 3. Na primer 125031, 1 + 2 + 5 + 0 + 3 + 1 = 12. Dvanajst je deljivo s 3, zato je 123031 deljivo s 3.

- če je na koncu števila 5 ali 0, se število deli s 5.

- če je vsota števk, ki sestavljajo število, deljiva z 9, potem je samo število deljivo z 9. Na primer, 625032 =.> 6 + 2 + 5 + 0 + 3 + 2 = 18. Osemnajst je deljivo z 9, torej je 623032 deljivo z 9.

Drugi pristop.

Na kratko, pravzaprav se celotno dejanje zvodi na faktorje števca in imenovalca v faktorje in nato na preklic enakih faktorjev v števcu in imenovalcu (ta pristop je posledica prvega pristopa):

Vizualno, da se ne bi zmedli in da se ne bi zmotili, so enaki dejavniki preprosto prečrtani. Vprašanje je - kako faktorirati število? Z izčrpnim iskanjem je treba določiti vse delilnike. To je ločena tema, ni težko, poglejte si informacije v učbeniku ali na internetu. S faktorjenjem številk, ki so prisotne v delcih šolskega tečaja, ne boste naleteli na velike težave.

Formalno lahko načelo redukcije zapišemo takole:

Tretji pristop.

Tukaj je najbolj zanimivo za napredne in tiste, ki to želijo postati. Zmanjšaj ulomek 143/273. Poskusite sami! Kako se je torej hitro izšlo? Zdaj pa poglej!

Obrnemo ga (zamenjamo števec in imenovalec). Dobljeni ulomek razdelite z vogalom in ga pretvorite v mešano število, torej izberite cel del:

Je že lažje. Vidimo, da je mogoče števec in imenovalec preklicati s 13:

In zdaj ne pozabite ponovno obrniti ulomka nazaj, zapišite celotno verigo:

Preverjeno - traja manj časa kot iskanje in preverjanje deliteljev. Vrnimo se k našim dvema primeroma:

Prvič. Delimo z vogalom (ne na kalkulatorju), dobimo:

Ta ulomek je seveda enostavnejši, vendar je spet problem z zmanjšanjem. Zdaj ločeno razčlenimo ulomek 1273/1463, ga obrnemo:

Tukaj je že lažje. Takšen delilec lahko štejemo kot 19. Ostalo ne ustreza, vidi se: 190: 19 = 10, 1273: 19 = 67. Hura! Zapišimo:

Naslednji primer. Skrajšajmo 88179/2717.

Razdelimo, dobimo:

Ločeno razčlenimo ulomek 1235/2717, ga obrnemo:

Takšen delilec lahko štejemo za 13 (do 13 ni primerno):

Števec 247: 13 = 19 Imenovalec 1235: 13 = 95

* V procesu smo videli še en delilec, enak 19. Izkazalo se je, da:

Zdaj zapišemo prvotno številko:

In ni pomembno, kaj bo v ulomku več - števec ali imenovalec, če je imenovalec, ga obrnemo in ravnamo, kot je opisano. Tako lahko zmanjšamo kateri koli ulomek, tretji pristop lahko imenujemo univerzalni.

Seveda oba zgoraj obravnavana primera nista lahka. Poskusimo to tehnologijo na "preprostih" ulomkih, ki smo jih že obravnavali:

Dve četrtini.

Dvainšestdeseta. Števec je večji od imenovalca, ni ga treba obrniti:

Seveda je bil pri tem uporabljen tretji pristop preprosti primeri samo kot alternativa. Metoda je, kot že omenjeno, univerzalna, vendar ni priročna in pravilna za vse ulomke, to še posebej velja za preproste.

Raznolikost frakcij je velika. Pomembno je, da se natančno naučite načel. Za delo z ulomki preprosto ni strogega pravila. Pogledali smo, ugotovili, kako je bolj priročno ravnati in gremo naprej. S prakso boste pridobili spretnost in jih boste klikali kot semena.

Izhod:

Če za števec in imenovalec vidite skupni delitelj (-e), jih uporabite za zmanjšanje.

Če veste, kako hitro faktorizirati število, nato razširite števec in imenovalec, nato zmanjšajte.

Če skupnega delitelja nikakor ne morete določiti, uporabite tretji pristop.

* Za zmanjševanje ulomkov se je pomembno naučiti principov redukcije, razumeti osnovno lastnost ulomka, poznati pristope k rešitvi, biti izjemno previdni pri izračunih.

In zapomni si! Običajno je ulomek zmanjšati do konca, to je, da ga zmanjšamo, medtem ko obstaja skupni delilec.

Lep pozdrav, Alexander Krutitskikh.