Imenovalec aritmetičnega ulomka a / b je število b, ki prikazuje velikosti enotnih ulomkov, ki sestavljajo ulomek. Imenovalec algebrskega ulomka A / B je algebrski izraz B. Za izvajanje računskih operacij z ulomki jih je treba zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec.

Boste potrebovali

• Če želite delati z algebrskimi ulomki pri iskanju najmanjšega skupnega imenovalca, morate poznati metode faktorjenja polinoma.

Navodila

Razmislite o zmanjšanju na najmanjši skupni imenovalec dveh aritmetičnih ulomkov n / m in s / t, kjer so n, m, s, t cela števila. Jasno je, da se ti dve ulomki lahko zmanjšata na poljuben imenovalec, deljiv z m in t. Toda poskušajo jih pripeljati do najnižjega skupnega imenovalca. Enako je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev m in t teh ulomkov. Najmanjše število (LCM) števil je najmanjše, ki je deljivo z vsemi danimi števili hkrati. Tisti. v našem primeru je treba najti najmanj skupni večkratnik števil m in t. Označena je kot LCM (m, t). Nato se frakcije pomnožijo z ustreznimi: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Poiščimo najnižji skupni imenovalec treh ulomkov: 4/5, 7/8, 11/14. Najprej razširimo imenovalce 5, 8, 14: 5 \u003d 1 * 5, 8 \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3, 14 \u003d 2 * 7. Nato izračunamo LCM (5, 8, 14), množenje vseh števil, vključenih v vsaj eno razširitev. LCM (5, 8, 14) \u003d 5 * 2 ^ 3 * 7 \u003d 280. Upoštevajte, da če pride do faktorja pri razširitvi več števil (faktor 2 pri razširitvi imenovalcev 8 in 14), potem vzamemo faktor v večji meri (2 ^ 3 v našem primeru).

Torej, skupni znesek je prejet. To je 280 \u003d 5 * 56 \u003d 8 * 35 \u003d 14 * 20. Tu dobimo številke, s katerimi moramo ulomke pomnožiti z ustreznimi imenovalci, da jih pripeljemo do najnižjega skupnega imenovalca. Dobimo 4/5 \u003d 56 * (4/5) \u003d 224/280, 7/8 \u003d 35 * (7/8) \u003d 245/280, 11/14 \u003d 20 * (11/14) \u003d 220/280.

Algebrski ulomki se po analogiji z aritmetičnimi znižajo na najmanjši skupni imenovalec. Zaradi jasnosti razmislite o problemu na primeru. Naj bosta podana dva ulomka (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) in (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). Faktorja oba imenovalca. Upoštevajte, da je imenovalec prvega ulomka popoln kvadrat: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 \u003d (3 * y + 1) ^ 2. Za

Toda številna naravna števila so enakomerno deljiva z drugimi naravnimi števili.

na primer:

Število 12 je deljivo z 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Število 36 je deljivo z 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Številke, s katerimi je število enakomerno deljivo (za 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delilci... Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki deli dano število a brez ostanka. Pokliče se naravno število, ki ima več kot dva delitelja sestavljeni .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne dejavnike. To so številke: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj dveh danih števil a in b - to je število, s katerim sta obe dani številki deljivi brez ostanka ain b.

Skupno večkratnik več števil je število, ki je deljivo z vsako od teh števil. na primer, števila 9, 18 in 45 imajo skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njihova skupna večkratnika. Med vsemi j skupnimi večkratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je 90. To število se imenuje najmanjšiskupni večkratnik (LCM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega števila, za katerega je določeno.

Najmanj skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Zamenljivost:

Asocijativnost:

Zlasti, če in so vmesne številke, potem:

Najmanj skupni večkratnik dveh celih števil min n je delitelj vseh drugih skupnih večkratnikov min n... Poleg tega nabor skupnih večkratnikov m, n sovpada z množico večkratnikov za LCM ( m, n).

Asimptotiko za lahko izrazimo z nekaterimi teoretičnimi funkcijami.

Torej, Funkcija Čebiševa ... In:

To izhaja iz definicije in lastnosti funkcije Landau g (n).

Kaj sledi iz zakona o porazdelitvi praštevil.

Iskanje najmanj skupnega večkratnika (LCM).

LCM ( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je znan največji skupni delilec, lahko uporabite njegovo razmerje z LCM:

2. Naj bo znana kanonična razgradnja obeh števil na prosta faktorja:

kje p 1, ..., p k - različno praštevila, in d 1, ..., d k in e 1, ..., e k - nenegativna cela števila (lahko so ničle, če pri razgradnji ni ustreznega prostega števila).

Potem LCM ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, razgradnja LCM vsebuje vse osnovne faktorje, vključene v vsaj eno od razširitev števila a, b, in vzet je največji od dveh eksponentov tega faktorja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo. Če želite najti LCM serije številk, potrebujete:

- razstaviti števila na proste faktorje;

- prenesite največjo ekspanzijo v faktorje želenega izdelka (produkt faktorjev največjega števila danih), nato pa dodajte faktorje iz ekspanzije drugih števil, ki se ne pojavijo v prvi številki ali se pojavijo v manjkrat;

- nastali zmnožek glavnih faktorjev bo LCM danih števil.

Vsako dve ali več naravnih števil ima svoj LCM. Če števila niso večkratna ali če nimajo enakih faktorjev pri razširitvi, je njihov LCM enak zmnožku teh števil.

Glavni faktorji števila 28 (2, 2, 7) so bili dopolnjeni s faktorjem 3 (številka 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše številoki je deljivo z 21 in 28.

Glavni faktorji največjega števila 30 so bili dopolnjeni s faktorjem 5 od 25, dobljeni zmnožek 150 je večji od največjega števila 30 in je razdeljen na vsa dana števila brez ostanka. To je najmanjši možni izdelek (150, 250, 300 ...), ki je večkratnik vseh danih števil.

Števila 2,3,11,37 so prosta, zato je njihov LCM enak zmnožku danih števil.

Pravilo... Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti med seboj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanj skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavite vsako število kot zmnožek glavnih faktorjev, na primer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite moči vseh glavnih faktorjev:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse glavne delitelje (faktorje) vsakega od teh števil;

4) izberite najvišjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdemo pri vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te stopinje.

Primer ... Poiščite LCM številk: 168, 180 in 3024.

Sklep ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Zapišemo največje moči vseh glavnih faktorjev in jih pomnožimo:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.

Večina operacij z algebrskimi ulomki, na primer seštevanje in odštevanje, zahteva predhodno zmanjšanje teh ulomkov na enake imenovalce... Takšni imenovalci so pogosto označeni tudi z besedno zvezo „ skupni imenovalec". V tej temi bomo obravnavali definicijo pojmov "skupni imenovalec algebrskih ulomkov" in "najmanjši skupni imenovalec algebrskih ulomkov (LCF)", razmislili o algoritmu iskanja skupnega imenovalca po točkah in rešili več problemov na temo .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Skupni imenovalec algebrskih ulomkov

Če govorimo o navadnih ulomkih, potem je skupni imenovalec število, ki je deljivo s katerim koli imenovalcem izvirnih ulomkov. Za navadne frakcije 1 2 in 5 9 36 je lahko skupni imenovalec, saj je deljiv z 2 in 9 brez ostanka.

Skupni imenovalec algebrskih ulomkov je definiran na podoben način, namesto številk se uporabljajo samo polinomi, saj so ti v števnikih in imenovalcih algebrskega ulomka.

Opredelitev 1

Skupni imenovalec algebrskega ulomkaJe polinom, ki je deljiv z imenovalcem katerega koli ulomka.

V zvezi s posebnostmi algebrskih ulomkov, o katerih bomo razpravljali v nadaljevanju, bomo pogosto obravnavali skupne imenovalce, predstavljene v obliki izdelka in ne v obliki standardnega polinoma.

Primer 1

Polinom, zapisan kot zmnožek 3 x 2 (x + 1), ustreza polinumu standardne oblike 3 x 3 + 3 x 2... Ta polinom je lahko skupni imenovalec algebrskih ulomkov 2 x, - 3 x y x 2 in y + 3 x + 1, ker je deljiv z x, dne x 2 in naprej x + 1... Informacije o deljivosti polinoma so v ustrezni temi našega vira.

Najmanj skupni imenovalec (LCN)

Za dane algebrske ulomke je lahko število skupnih imenovalcev neskončno.

2. primer

Za primer vzemimo ulomka 1 2 x in x + 1 x 2 + 3. Njihov skupni imenovalec je 2 x (x 2 + 3)všeč - 2 x (x 2 + 3)všeč x (x 2 + 3)všeč 6,4 x (x 2 + 3) (y + y 4)všeč - 31 x 5 (x 2 + 3) 3itd.

Pri reševanju problemov si lahko olajšate delo z uporabo skupnega imenovalca, ki ima med vsemi sklopi imenovalcev najpreprostejšo obliko. Ta imenovalec se pogosto imenuje najnižji skupni imenovalec.

Opredelitev 2

Najmanj skupni imenovalec algebrskih ulomkov Je skupni imenovalec algebrskih ulomkov, ki ima najpreprostejšo obliko.

Mimogrede, izraz "najnižji skupni imenovalec" ni splošno sprejet, zato je bolje, da se omejimo na izraz "skupni imenovalec". In prav zato.

Prej smo vašo pozornost usmerili na besedno zvezo »imenovalec najbolj preprosta vrsta". Glavni pomen tega stavka je naslednji: kateri koli drugi skupni imenovalec podatkov v pogoju problema algebrskih ulomkov je treba deliti brez ostanka z imenovalcem najpreprostejše oblike. V tem primeru lahko v izdelku, ki je skupni imenovalec ulomkov, uporabite različne številčne koeficiente.

3. primer

Vzemi ulomke 1 2 x in x + 1 x 2 + 3. Ugotovili smo že, da nam bo najlažje delati s skupnim imenovalcem obrazca 2 x (x 2 + 3). Tudi skupni imenovalec teh dveh ulomkov je lahko x (x 2 + 3)ki ne vsebuje številskega faktorja. Vprašanje je, kateri od teh dveh skupnih imenovalcev je najmanjši skupni imenovalec ulomkov. Ni nedvoumnega odgovora, zato je pravilneje govoriti zgolj o skupnem imenovalcu in pri delu upoštevati možnost, s katero bo najprimerneje delati. Torej, lahko uporabimo tako skupne imenovalce kot x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ali - 15 x 5 (x 2 + 3) 3ki imajo več zapleten pogledvendar je z njimi težje ravnati.

Iskanje skupnega imenovalca algebrskih ulomkov: algoritem dejanj

Recimo, da imamo več algebrskih ulomkov, za katere moramo najti skupni imenovalec. Za rešitev te težave lahko uporabimo naslednji algoritem dejanj. Najprej moramo razdeliti imenovalce prvotnih ulomkov. Nato sestavimo delo, v katerega zaporedoma vključimo:

• vsi dejavniki iz imenovalca prvega ulomka skupaj s pooblastili;
• vsi dejavniki, ki so prisotni v imenovalcu drugega ulomka, vendar jih ni v pisnem delu ali njihova stopnja ni dovolj;
• vsi manjkajoči dejavniki iz imenovalca tretjega ulomka itd.

Nastali zmnožek bo skupni imenovalec algebrskih ulomkov.

Kot pomnoževalci zmnožka lahko vzamemo vse imenovalce ulomkov, podanih v problemu. Vendar bo množitelj, ki ga dobimo na koncu, daleč od NOZ in njegova uporaba bo nerazumna.

4. primer

Poiščite skupni imenovalec ulomkov 1 x 2 y, 5 x + 1 in y - 3 x 5 y.

Sklep

V tem primeru nam ni treba izločati imenovalcev prvotnih ulomkov. Zato bomo algoritem začeli uporabljati s sestavljanjem dela.

Iz imenovalca prvega ulomka vzamemo faktor x 2 y, iz imenovalca drugega ulomka faktor x + 1... Dobili smo delo x 2 y (x + 1).

Imenovalec tretjega ulomka nam lahko da množitelj x 5 letvendar v delu, ki smo ga zbrali prej, že obstajajo dejavniki x 2 in y... Zato dodajamo še več x 5 - 2 \u003d x 3... Dobili smo delo x 2 y (x + 1) x 3ki se lahko zmanjša na obliko x 5 let (x + 1)... To bo naša NOZ algebrskih ulomkov.

Odgovor: x 5 y (x + 1).

Zdaj bomo obravnavali primere problemov, ko imajo imenovalci algebrskih ulomkov celoštevilske številske faktorje. V takih primerih delujemo tudi v skladu z algoritmom, pri čemer smo predhodno razčlenili celoštevilske številske faktorje na proste faktorje.

5. primer

Poiščite skupni imenovalec ulomkov 1 12 x in 1 90 x 2.

Sklep

Če razširimo števila v imenovalcih ulomkov na proste faktorje, dobimo 1 2 2 3 x in 1 2 3 2 5 x 2. Zdaj lahko nadaljujemo s pripravo skupnega imenovalca. Če želite to narediti, iz imenovalca prve frakcije vzamemo izdelek 2 2 3 x in dodajte faktorje 3, 5 in x iz imenovalca drugega ulomka. Dobimo 2 2 3 x 3 5 x \u003d 180 x 2... To je naš skupni imenovalec.

Odgovor: 180 x 2.

Če natančno pogledate rezultate dveh analiziranih primerov, boste opazili, da skupni imenovalci ulomkov vsebujejo vse dejavnike, ki so prisotni v razširitvah imenovalcev, in če je določen dejavnik prisoten v več imenovalcih, se vzame z največjim od razpoložljivih eksponentov. In če so v imenovalcih celoštevilčni koeficienti, je v skupnem imenovalcu številčni faktor, enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh številskih koeficientov.

Primer 6

V imenovalcih obeh algebrskih ulomkov 1 12 x in 1 90 x 2 je faktor x... V drugem primeru je faktor x na kvadrat. Za sestavljanje skupnega imenovalca moramo v največji meri vzeti ta faktor, tj. x 2... Drugih multiplikatorjev s spremenljivkami ni. Celoštevilski številski koeficienti izvirnih ulomkov 12 in 90 , njihov najmanjši skupni večkratnik pa je 180 ... Izkazalo se je, da ima iskani skupni imenovalec obliko 180 x 2.

Zdaj lahko napišemo še en algoritem za iskanje skupnega faktorja algebrskih ulomkov. Za to smo:

• imenovalce vseh ulomkov razstavimo na dejavnike;
• sestavite zmnožek vseh abecednih faktorjev (če je faktor v več razširitvah, izberemo možnost z najvišjo eksponento);
• dobljenemu produktu dodamo LCM številskih koeficientov raztezanja.

Navedeni algoritmi so enakovredni, zato lahko katerega koli izmed njih uporabimo pri reševanju problemov. Pomembno je biti pozoren na podrobnosti.

Obstajajo primeri, ko skupni faktorji v imenovalcih ulomkov za številčnimi koeficienti morda niso opazni. Tu je priporočljivo najprej odstraniti numerične koeficiente pri največjih močeh spremenljivk zunaj oklepajev v vsakem od faktorjev v imenovalcu.

7. primer

Kaj je skupni imenovalec ulomkov 3 5 - x in 5 - x · y 2 2 · x - 10.

Sklep

V prvem primeru je treba iz oklepajev odstraniti minus eno. Dobimo 3 - x - 5. Števec in imenovalec pomnožimo z - 1, da se znebimo minusa v imenovalcu: - 3 x - 5.

V drugem primeru iz oklepaja damo dva. To nam omogoča, da dobimo ulomek 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Očitno je skupni imenovalec teh algebrskih ulomkov - 3 x - 5 in 5 - x y 2 2 x - 5 2 (x - 5).

Odgovor: 2 (x - 5).

Podatki o ulomkih v stavku o problemu imajo lahko delne koeficiente. V teh primerih se morate najprej znebiti delnih koeficientov tako, da števec in imenovalec pomnožite z nekim številom.

Primer 8

Poenostavite algebrski ulomki 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 in - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, nato določite njihov skupni imenovalec.

Sklep

Rešimo se delnih koeficientov tako, da v prvem primeru števec in imenovalec pomnožimo s 14, v drugem primeru pa s 3. Dobimo:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 7 x + 1 x 2 + 2 in - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 \u003d 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 \u003d - 6 2 x 2 + 4 \u003d - 6 2 x 2 + 2.

Po izvedenih preobrazbah postane jasno, da je skupni imenovalec 2 (x 2 + 2).

Odgovor: 2 (x 2 + 2).

Če v besedilu opazite napako, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Večkratnik je število, ki je enakomerno deljeno z dano številko. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) skupine števil je najmanjše število, ki je enakomerno deljeno z vsako številko v skupini. Če želite najti najmanj skupni večkratnik, morate najti glavne faktorje danih števil. LCM lahko izračunamo tudi s pomočjo številnih drugih metod, ki so uporabne za skupine z dvema ali več števili.

Koraki

Niz večkratnikov

Oglejte si dane številke. Tu opisano metodo je najbolje uporabiti, če sta podani dve številki, od katerih je vsaka manjša od 10. Če so številke velike, uporabite drugo metodo.

• Poiščite na primer najmanjši skupni večkratnik 5 in 8. To so majhna števila, zato lahko uporabite to metodo.

1. Večkratnik je število, ki je enakomerno deljeno z dano številko. V tabeli množenja lahko najdete več števil.

   • Na primer, števila, ki so večkratniki 5, so: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite vrsto števil, ki so večkratniki prve številke. Naredite to pod večkratniki prve številke, če želite primerjati dve vrstici števil.

   • Števila, ki so večkratniki 8, so na primer: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 in 64.

3. Poiščite najmanjše število, ki se pojavi v obeh vrsticah večkratnikov. Za iskanje boste morda morali napisati dolge nize večkratnikov skupno število... Najmanjše število, ki se pojavi v obeh vrsticah večkratnikov, je najmanjši skupni večkratnik.

   • Na primer, najmanjše število, ki se pojavi v seriji večkratnikov 5 in 8, je 40. Zato je 40 najmanjši skupni večkratnik 5 in 8.

   Faktorizacija glavnega primera

   1. Oglejte si dane številke. Tu opisano metodo je najbolje uporabiti, če sta podani dve številki, od katerih je vsaka večja od 10. Če so dane številke manjše, uporabite drugo metodo.

      • Poiščite na primer najnižji skupni večkratnik 20 in 84. Vsako od števil je večje od 10, zato lahko uporabite to metodo.

   2. Prvo število štejemo v proste faktorje. To pomeni, da morate najti taka praštevila, pri množenju katerih dobite dano število. Ko najdete glavne dejavnike, jih zapišite kot enakosti.

      • Na primer, 2 × 10 \u003d 20 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ krat 10 \u003d 20) in 2 × 5 \u003d 10 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ krat (\\ mathbf (5)) \u003d 10)... Tako po glavnih faktorjih številke 20 so številki 2, 2 in 5. Zapiši jih kot izraz :.

   3. Uštevaj drugo številko. Naredite to na enak način, kot ste razčlenili prvo številko, to je, poiščite praštevila, ki bodo, če jih pomnožimo, dali dano število.

      • Na primer, 2 × 42 \u003d 84 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ krat 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (\\ displaystyle (\\ mathbf (7)) \\ krat 6 \u003d 42) in 3 × 2 \u003d 6 (\\ displaystyle (\\ mathbf (3)) \\ krat (\\ mathbf (2)) \u003d 6)... Tako so glavni faktorji 84 2, 7, 3 in 2. Zapišite jih kot izraz :.

   4. Zapišite dejavnike, ki so skupni obema številkama. Te dejavnike zapišite kot operacijo množenja. Ko zapišete posamezni faktor, ga prečrtajte v obeh izrazih (izrazih, ki opisujejo razčlenjevanja glavnih faktorjev).

      • Na primer, skupni faktor za obe številki je 2, zato pišite 2 × (\\ displaystyle 2 \\ krat) in v obeh izrazih prečrtaj 2.
      • Obema številkama je skupen še en faktor 2, zato pišite 2 × 2 (\\ displaystyle 2 \\ krat 2) in v obeh izrazih prečrtaj drugo 2.

   5. Preostalim faktorjem dodajte operacijo množenja. To so dejavniki, ki niso prečrtani v obeh izrazih, torej dejavniki, ki niso skupni obema številkama.

      • Na primer v izrazu 20 \u003d 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 20 \u003d 2 \\ krat 2 \\ krat 5) oba dva (2) sta prečrtana, ker sta pogosta dejavnika. Faktor 5 ni prečrtan, zato napišite postopek množenja takole: 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ krat 2 \\ krat 5)
      • V izrazu 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (\\ displaystyle 84 \u003d 2 \\ krat 7 \\ krat 3 \\ krat 2) oba dva sta tudi prečrtana (2). Faktorja 7 in 3 nista prečrtana, zato napiši operacijo množenja takole: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\\ displaystyle 2 \\ krat 2 \\ krat 5 \\ krat 7 \\ krat 3).

   6. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik. Če želite to narediti, pomnožite številke v zabeleženi operaciji množenja.

      • Na primer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 \u003d 420 (\\ displaystyle 2 \\ krat 2 \\ krat 5 \\ krat 7 \\ krat 3 \u003d 420)... Torej je najmanjši skupni večkratnik 20 in 84 420.

   Iskanje skupnih deliteljev

   1. Narišite mrežo kot pri igri s tik-takti. Takšna mreža je sestavljena iz dveh vzporednih ravnih črt, ki se sekata (pod pravim kotom) z ostalima dvema vzporednima premicama. To se bo končalo s tremi vrsticami in tremi stolpci (mreža je zelo podobna znaku #). Prvo številko zapišite v prvo vrstico in drugi stolpec. V prvo vrstico in tretji stolpec zapišite drugo številko.

      • Poiščite na primer najnižji skupni večkratnik 18 in 30. V prvo vrstico in drugi stolpec napišite 18, v prvo in tretji stolpec pa 30.

   2. Poiščite delilnik, skupen obema številkama. Zapišite ga v prvo vrstico in prvi stolpec. Bolje je iskati glavne dejavnike, vendar to ni pogoj.

      • Na primer, 18 in 30 sta parni števili, zato je njihov skupni delilec 2. Torej v prvo vrstico in prvi stolpec napišite 2.

   3. Vsako število delite s prvim delilnikom. Vsak količnik zapišite pod ustrezno številko. Količnik je rezultat deljenja dveh števil.

      • Na primer, 18 ÷ 2 \u003d 9 (\\ displaystyle 18 \\ div 2 \u003d 9)torej piši 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (\\ displaystyle 30 \\ div 2 \u003d 15)torej piši 15 pod 30.

   4. Poiščite delilnik, skupen obema količnikoma. Če takega delitelja ni, preskočite naslednja dva koraka. V nasprotnem primeru delitelj zapišite v drugo vrstico in prvi stolpec.

      • Na primer, 9 in 15 sta deljiva s 3, zato v drugo vrstico in prvi stolpec napišite 3.

   5. Vsak količnik delite z drugim faktorjem. Vsak rezultat delitve zapišite pod ustrezen količnik.

      • Na primer, 9 ÷ 3 \u003d 3 (\\ displaystyle 9 \\ div 3 \u003d 3)torej piši 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (\\ displaystyle 15 \\ div 3 \u003d 5)torej napišite 5 pod 15.

   6. Po potrebi v mrežo dodajte dodatne celice. Ponavljajte opisane korake, dokler količniki nimajo skupnega delitelja.

   7. Obkrožite številke v prvem stolpcu in zadnji vrstici mreže. Nato izbrane številke zapišite kot množenje.

      • Številki 2 in 3 sta na primer v prvem stolpcu, številki 3 in 5 pa v zadnji vrstici, zato napišite postopek množenja takole: 2 × 3 × 3 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ krat 3 \\ krat 3 \\ krat 5).

   8. Poiščite rezultat množenja števil. To bo izračunalo najmanjši skupni večkratnik obeh danih števil.

      • Na primer, 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (\\ displaystyle 2 \\ krat 3 \\ krat 3 \\ krat 5 \u003d 90)... Torej je najmanjši skupni večkratnik 18 in 30 90.

   Evklidov algoritem

   1. Ne pozabite na terminologijo, povezano z delitvijo. Dividenda je število, ki se deli. Delitelj je število, deljeno s. Količnik je rezultat deljenja dveh števil. Preostanek je preostala številka, če se dve številki delita.

      • Na primer v izrazu 15 ÷ 6 \u003d 2 (\\ displaystyle 15 \\ div 6 \u003d 2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je delitelj
        2 je količnik
        3 je preostanek.

Največji skupni delitelj

Opredelitev 2

Če je naravno število a deljivo z naravnim številom $ b $, potem se $ b $ imenuje delitelj $ a $, $ a $ pa večkratnik $ b $.

Naj bosta $ a $ in $ b $ naravna števila. Število $ c $ se imenuje skupni delitelj za $ a $ in $ b $.

Nabor skupnih deliteljev za $ a $ in $ b $ je končen, saj nobeden od teh deliteljev ne more biti večji od $ a $. Zato je med temi delilniki največji, ki se imenuje največji skupni delitelj števil $ a $ in $ b $, za njegovo označevanje pa se uporablja zapis:

$ Gcd \\ (a; b) \\ ali \\ D \\ (a; b) $

Če želite najti največji skupni delitelj dveh števil, morate:

1. Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Nastalo število bo želeni največji skupni delilec.

Primer 1

Poiščite gcd številk $ 121 $ in $ 132. $

242 $ \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

132 USD \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Izberite števila, ki so vključena v razgradnjo teh števil

242 $ \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

132 USD \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Nastalo število bo želeni največji skupni faktor.

$ Gcd \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

2. primer

Poiščite GCD monomi 63 in 81 dolarjev.

Našli bomo po predstavljenem algoritmu. Za to:

Razstavimo števila na proste faktorje

63 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

81 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

Izberemo števila, ki so vključena v razgradnjo teh števil

63 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

81 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Nastalo število bo želeni največji skupni faktor.

$ Gcd \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d 9 $

GCD dveh števil lahko najdete na drug način, z uporabo nabora deliteljev števil.

3. primer

Poiščite GCD številk 48 $ in 60 $.

Sklep:

Poiščite nabor deliteljev števila $ 48 $: $ \\ left \\ ((\\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ right \\) $

Zdaj najdemo nabor deliteljev števila $ 60 $: $ \\ \\ left \\ ((\\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ right \\ ) $

Poiščimo presečišče teh množic: $ \\ left \\ ((\\ rm 1,2,3,4,6,12) \\ right \\) $ - ta niz bo določil nabor skupnih deliteljev števil $ 48 $ in 60 $. Največji element v ta sklop bo število $ 12 $. Torej bo največji skupni delitelj števil 48 in 60 dolarjev 12 dolarjev.

Opredelitev LCM

Opredelitev 3

Skupni večkratnik naravnih števil $ a $ in $ b $ je naravno število, ki je večkratnik tako $ a $ kot $ b $.

Skupni večkratniki števil so števila, ki jih je mogoče deliti s prvotnimi številkami brez ostanka. Na primer, za števili $ 25 $ in 50 $ bodo skupni večkratniki številke 50.100.150.200 $ itd.

Najmanjši skupni večkratnik se imenuje najmanj skupni večkratnik in je označen z LCM $ (a; b) $ ali K $ (a; b). $

Če želite najti LCM dveh številk, potrebujete:

1. Številke faktorjev
2. Zapišite faktorje, ki so del prve številke, in jim dodajte faktorje, ki so del druge in ne spadajo v prvo

4. primer

Poiščite LCM številk $ 99 $ in $ 77 $.

Našli bomo po predstavljenem algoritmu. Za to

Številke faktorjev

99 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Zapišite dejavnike, vključene v prvo

jim dodajte dejavnike, ki so del drugega in ne spadajo v prvega

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Nastalo število bo želeni najmanjši skupni večkratnik

$ LCM \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 \\ cdot 7 \u003d 693 $

Sestavljanje seznamov deliteljev številk je pogosto zelo dolgotrajno. Obstaja način, kako najti GCD, ki se imenuje Euclidov algoritem.

Izjave, na katerih temelji evklidov algoritem:

Če sta $ a $ in $ b $ naravna števila in $ a \\ vdots b $, potem je $ D (a; b) \u003d b $

Če sta $ a $ in $ b $ naravni številki, da je $ b

Z uporabo $ D (a; b) \u003d D (a-b; b) $ lahko zaporedoma zmanjšujemo upoštevana števila, dokler ne dosežemo takšnega para števil, da je eno od njih deljivo z drugim. Potem bo manjše od teh števil želeni največji skupni delilec za števili $ a $ in $ b $.

Lastnosti GCD in LCM

1. Vsak skupni večkratnik $ a $ in $ b $ je deljiv s K $ (a; b) $
2. Če je $ a \\ vdots b $, potem je K $ (a; b) \u003d a $

Če je K $ (a; b) \u003d k $ in $ m $ naravno število, potem je K $ (am; bm) \u003d km $

Če je $ d $ skupni delilec za $ a $ in $ b $, potem je K ($ \\ frac (a) (d); \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (d ) $

Če $ a \\ vdots c $ in $ b \\ vdots c $, je $ \\ frac (ab) (c) $ skupni večkratnik $ a $ in $ b $

Za vsa naravna števila $ a $ in $ b $ je enakost

$ D (a; b) \\ cdot К (a; b) \u003d ab $

Vsak skupni delilec števil $ a $ in $ b $ je delilec števila $ D (a; b) $