Navzkrižno množenje

Metoda skupnih deliteljev

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Če želite oceniti, kako ogromne dobičke daje najmanj pogosta večkratna metoda, poskusite izračunati iste primere z uporabo metode navzkrižnega križanja.

Skupni imenovalec ulomkov

Brez kalkulatorja, seveda. Mislim, da bodo po tem komentarji odveč.

Poglej tudi:

Prvotno sem želel vključiti metode za oddajanje skupni imenovalec v odstavku "Seštevanje in odštevanje ulomkov". Vendar je bilo toliko informacij in njihov pomen je tako velik (navsezadnje skupni imenovalci niso le za številske ulomke), da je bolje to problematiko preučiti ločeno.

Recimo, da imamo dva ulomka z različni imenovalci... In imenovalce želimo narediti enake. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki se spomnimo sliši takole:

Ulomek se ne bo spremenil, če se njegov števec in imenovalec pomnožita z enakim ne-ničelnim številom.

Če bodo faktorji pravilno izbrani, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta postopek se imenuje. In zahtevane številke, ki "izravnajo" imenovalce, se imenujejo.

Zakaj morate frakcije sploh spraviti na skupni imenovalec? Tu je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Te operacije ni mogoče drugače izvesti;
2. Primerjava ulomkov. Včasih pretvorba v skupni imenovalec to nalogo precej olajša;
3. Reševanje težav z deleži in odstotki. Odstotki so pravzaprav pogosti izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov, kako najti števila, ki pomenijo, da so imenovalci ulomkov enaki. Upoštevali jih bomo le tri - v zaporedju naraščajoče zapletenosti in v nekem smislu tudi učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejši in zanesljiv načinkar bo zagotovo poravnalo imenovalce. Nadaljevali bomo: prvi uložek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugi pa z imenovalcem prvega. Kot rezultat bodo imenovalci obeh ulomkov postali enaki zmnožku prvotnih imenovalcev. Poglej:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Kot dodatni dejavniki upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Ja, tako preprosto je. Če se šele začenjate učiti ulomke, je bolje, da delate s to določeno metodo - tako se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, ker se imenovalci pomnožijo "naravnost skozi", rezultat pa je lahko zelo velik. To je cena, ki jo je treba plačati za zanesljivost.

Metoda skupnih deliteljev

Ta tehnika pomaga močno zmanjšati izračune, vendar se na žalost le redko uporablja. Metoda je naslednja:

1. Preden nadaljujete (to je metoda navzkrižne povezave), si oglejte imenovalce. Morda enega od njih (tistega, ki je večji) deli drugi.
2. Število, pridobljeno kot rezultat takšnega deljenja, bo dodaten faktor za ulomek z nižjim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer - to je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Ker je v obeh primerih en imenovalec deljiv z drugim brez ostanka, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek ni bil nikoli ničesar pomnožen. Dejansko smo količino izračuna prepolovili!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel naključno. Če ste radovedni, jih poskusite šteti navzkrižno. Po zmanjšanju bodo odgovori enaki, a dela bo še veliko več.

To je prednost metode skupnih deliteljev, vendar, ponavljam, jo \u200b\u200bje mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar je dovolj redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko delce pripeljemo do skupnega imenovalca, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato na to število pripeljemo imenovalce obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in najmanjše med njimi ne bo nujno enako neposrednemu zmnožku imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se domneva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalca 8 in 12 je število 24 v redu, saj je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ta številka je veliko manjša od zmnožka 8 · 12 \u003d 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem, se imenuje njihovo (LCM).

Zapis: najmanj skupni večkratnik a in b je označen z LCM (a; b). Na primer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Če lahko najdete takšno število, bo skupni znesek računanja minimalen. Oglejte si primere:

Kako najti najnižji skupni imenovalec

Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta coprime (nimata skupnih faktorjev, razen 1), faktor 117 pa je pogost. Zato je LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Podobno je 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta razmeroma osnovna, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Zdaj frakcije pripeljemo do skupnih imenovalcev:

Upoštevajte, kako koristno je bilo razvrščanje prvotnih imenovalcev v faktor:

1. Ko smo našli enake dejavnike, smo takoj prišli do najmanj pogostega večkratnika, kar je na splošno netrivialna težava;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri dejavniki "manjkajo" za posamezne ulomke. Na primer 234 3 \u003d 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Ves čas se srečujejo, zgornje naloge pa niso omejitev!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", vendar je na splošno to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tu se tega ne bomo dotaknili.

Poglej tudi:

Skupni imenovalec ulomkov

Prvotno sem želel v odstavek Dodajanje in odštevanje ulomkov vključiti metode skupnega imenovalca. Vendar je bilo toliko informacij in njihov pomen je tako velik (navsezadnje skupni imenovalci niso le za številske ulomke), da je bolje to problematiko preučiti ločeno.

Recimo, da imamo dva ulomka z različnimi imenovalci. In imenovalce želimo narediti enake. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki se spomnimo sliši takole:

Ulomek se ne bo spremenil, če se njegov števec in imenovalec pomnožita z enakim ne-ničelnim številom.

Če bodo faktorji pravilno izbrani, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta postopek se imenuje. In zahtevane številke, ki "izravnajo" imenovalce, se imenujejo.

Zakaj morate frakcije sploh spraviti na skupni imenovalec?

Skupni imenovalec, pojem in opredelitev.

Tu je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Te operacije ni mogoče drugače izvesti;
2. Primerjava ulomkov. Včasih pretvorba v skupni imenovalec to nalogo precej olajša;
3. Reševanje težav z deleži in odstotki. Odstotki so pravzaprav pogosti izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov, kako najti števila, ki pomenijo, da so imenovalci ulomkov enaki. Upoštevali jih bomo le tri - v zaporedju naraščajoče zapletenosti in v nekem smislu tudi učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejši in najbolj zanesljiv način, s katerim je zagotovljeno poravnavanje imenovalcev. Nadaljevali bomo: prvi uložek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugi pa z imenovalcem prvega. Kot rezultat bodo imenovalci obeh ulomkov postali enaki zmnožku prvotnih imenovalcev. Poglej:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Kot dodatni dejavniki upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Ja, tako preprosto je. Če se šele začenjate učiti ulomke, je bolje, da delate s to določeno metodo - tako se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, ker se imenovalci pomnožijo "naravnost skozi", rezultat pa je lahko zelo velik. To je cena, ki jo je treba plačati za zanesljivost.

Metoda skupnih deliteljev

Ta tehnika pomaga močno zmanjšati izračune, vendar se na žalost le redko uporablja. Metoda je naslednja:

1. Preden nadaljujete (to je metoda navzkrižne povezave), si oglejte imenovalce. Morda enega od njih (tistega, ki je večji) deli drugi.
2. Število, pridobljeno kot rezultat takšnega deljenja, bo dodaten faktor za ulomek z nižjim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer - to je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Ker je v obeh primerih en imenovalec deljiv z drugim brez ostanka, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek ni bil nikoli ničesar pomnožen. Dejansko smo količino izračuna prepolovili!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel naključno. Če ste radovedni, jih poskusite šteti navzkrižno. Po zmanjšanju bodo odgovori enaki, a dela bo še veliko več.

To je prednost metode skupnih deliteljev, vendar, ponavljam, jo \u200b\u200bje mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar je dovolj redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko delce pripeljemo do skupnega imenovalca, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato na to število pripeljemo imenovalce obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in najmanjše med njimi ne bo nujno enako neposrednemu zmnožku imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se domneva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalca 8 in 12 je število 24 v redu, saj je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ta številka je veliko manjša od zmnožka 8 · 12 \u003d 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem, se imenuje njihovo (LCM).

Zapis: najmanj skupni večkratnik a in b je označen z LCM (a; b). Na primer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Če lahko najdete takšno število, bo skupni znesek računanja minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta coprime (nimata skupnih faktorjev, razen 1), faktor 117 pa je pogost. Zato je LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Podobno je 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta razmeroma osnovna, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Zdaj frakcije pripeljemo do skupnih imenovalcev:

Upoštevajte, kako koristno je bilo razvrščanje prvotnih imenovalcev v faktor:

1. Ko smo našli enake dejavnike, smo takoj prišli do najmanj pogostega večkratnika, kar je na splošno netrivialna težava;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri dejavniki "manjkajo" za posamezne ulomke. Na primer 234 3 \u003d 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, kako ogromne dobičke daje najmanj pogosta večkratna metoda, poskusite izračunati iste primere z uporabo metode navzkrižnega križanja. Brez kalkulatorja, seveda. Mislim, da bodo po tem komentarji odveč.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Ves čas se srečujejo, zgornje naloge pa niso omejitev!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", vendar je na splošno to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tu se tega ne bomo dotaknili.

Poglej tudi:

Skupni imenovalec ulomkov

Prvotno sem želel v odstavek Dodajanje in odštevanje ulomkov vključiti metode skupnega imenovalca. Vendar je bilo toliko informacij in njihov pomen je tako velik (navsezadnje skupni imenovalci niso le za številske ulomke), da je bolje to problematiko preučiti ločeno.

Recimo, da imamo dva ulomka z različnimi imenovalci. In imenovalce želimo narediti enake. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki se spomnimo sliši takole:

Ulomek se ne bo spremenil, če se njegov števec in imenovalec pomnožita z enakim ne-ničelnim številom.

Če bodo faktorji pravilno izbrani, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta postopek se imenuje. In zahtevane številke, ki "izravnajo" imenovalce, se imenujejo.

Zakaj morate frakcije sploh spraviti na skupni imenovalec? Tu je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Te operacije ni mogoče drugače izvesti;
2. Primerjava ulomkov. Včasih pretvorba v skupni imenovalec to nalogo precej olajša;
3. Reševanje težav z deleži in odstotki. Odstotki so pravzaprav pogosti izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov, kako najti števila, ki pomenijo, da so imenovalci ulomkov enaki. Upoštevali jih bomo le tri - v zaporedju naraščajoče zapletenosti in v nekem smislu tudi učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejši in najbolj zanesljiv način, s katerim je zagotovljeno poravnavanje imenovalcev. Nadaljevali bomo: prvi uložek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugi pa z imenovalcem prvega. Kot rezultat bodo imenovalci obeh ulomkov postali enaki zmnožku prvotnih imenovalcev.

Poglej:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Kot dodatni dejavniki upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Ja, tako preprosto je. Če se šele začenjate učiti ulomke, je bolje, da delate s to določeno metodo - tako se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, ker se imenovalci pomnožijo "naravnost skozi", rezultat pa je lahko zelo velik. To je cena, ki jo je treba plačati za zanesljivost.

Metoda skupnih deliteljev

Ta tehnika pomaga močno zmanjšati izračune, vendar se na žalost le redko uporablja. Metoda je naslednja:

1. Preden nadaljujete (to je metoda navzkrižne povezave), si oglejte imenovalce. Morda enega od njih (tistega, ki je večji) deli drugi.
2. Število, pridobljeno kot rezultat takšnega deljenja, bo dodaten faktor za ulomek z nižjim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer - to je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Ker je v obeh primerih en imenovalec deljiv z drugim brez ostanka, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek ni bil nikoli ničesar pomnožen. Dejansko smo količino izračuna prepolovili!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel naključno. Če ste radovedni, jih poskusite šteti navzkrižno. Po zmanjšanju bodo odgovori enaki, a dela bo še veliko več.

To je prednost metode skupnih deliteljev, vendar, ponavljam, jo \u200b\u200bje mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar je dovolj redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko delce pripeljemo do skupnega imenovalca, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato na to število pripeljemo imenovalce obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in najmanjše med njimi ne bo nujno enako neposrednemu zmnožku imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se domneva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalca 8 in 12 je število 24 v redu, saj je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ta številka je veliko manjša od zmnožka 8 · 12 \u003d 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem, se imenuje njihovo (LCM).

Zapis: najmanj skupni večkratnik a in b je označen z LCM (a; b). Na primer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Če lahko najdete takšno število, bo skupni znesek računanja minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta coprime (nimata skupnih faktorjev, razen 1), faktor 117 pa je pogost. Zato je LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Podobno je 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta razmeroma osnovna, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Zdaj frakcije pripeljemo do skupnih imenovalcev:

Upoštevajte, kako koristno je bilo razvrščanje prvotnih imenovalcev v faktor:

1. Ko smo našli enake dejavnike, smo takoj prišli do najmanj pogostega večkratnika, kar je na splošno netrivialna težava;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri dejavniki "manjkajo" za posamezne ulomke. Na primer 234 3 \u003d 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, kako ogromne dobičke daje najmanj pogosta večkratna metoda, poskusite izračunati iste primere z uporabo metode navzkrižnega križanja. Brez kalkulatorja, seveda. Mislim, da bodo po tem komentarji odveč.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Ves čas se srečujejo, zgornje naloge pa niso omejitev!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", vendar je na splošno to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tu se tega ne bomo dotaknili.

Poglej tudi:

Skupni imenovalec ulomkov

Prvotno sem želel v odstavek Dodajanje in odštevanje ulomkov vključiti metode skupnega imenovalca. Vendar je bilo toliko informacij in njihov pomen je tako velik (navsezadnje skupni imenovalci niso le za številske ulomke), da je bolje to problematiko preučiti ločeno.

Recimo, da imamo dva ulomka z različnimi imenovalci. In imenovalce želimo narediti enake. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki se spomnimo sliši takole:

Ulomek se ne bo spremenil, če se njegov števec in imenovalec pomnožita z enakim ne-ničelnim številom.

Če bodo faktorji pravilno izbrani, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta postopek se imenuje. In zahtevane številke, ki "izravnajo" imenovalce, se imenujejo.

Zakaj morate frakcije sploh spraviti na skupni imenovalec? Tu je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Te operacije ni mogoče drugače izvesti;
2. Primerjava ulomkov. Včasih pretvorba v skupni imenovalec to nalogo precej olajša;
3. Reševanje težav z deleži in odstotki. Odstotki so pravzaprav pogosti izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov, kako najti števila, ki pomenijo, da so imenovalci ulomkov enaki. Upoštevali jih bomo le tri - v zaporedju naraščajoče zapletenosti in v nekem smislu tudi učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejši in najbolj zanesljiv način, s katerim je zagotovljeno poravnavanje imenovalcev. Nadaljevali bomo: prvi uložek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugi pa z imenovalcem prvega. Kot rezultat bodo imenovalci obeh ulomkov postali enaki zmnožku prvotnih imenovalcev. Poglej:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Kot dodatni dejavniki upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Ja, tako preprosto je. Če se šele začenjate učiti ulomke, je bolje, da delate s to določeno metodo - tako se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, ker se imenovalci pomnožijo "naravnost skozi", rezultat pa je lahko zelo velik.

Skupni imenovalec ulomkov

To je cena, ki jo je treba plačati za zanesljivost.

Metoda skupnih deliteljev

Ta tehnika pomaga močno zmanjšati izračune, vendar se na žalost le redko uporablja. Metoda je naslednja:

1. Preden nadaljujete (to je metoda navzkrižne povezave), si oglejte imenovalce. Morda enega od njih (tistega, ki je večji) deli drugi.
2. Število, pridobljeno kot rezultat takšnega deljenja, bo dodaten faktor za ulomek z nižjim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer - to je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Ker je v obeh primerih en imenovalec deljiv z drugim brez ostanka, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek ni bil nikoli ničesar pomnožen. Dejansko smo količino izračuna prepolovili!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel naključno. Če ste radovedni, jih poskusite šteti navzkrižno. Po zmanjšanju bodo odgovori enaki, a dela bo še veliko več.

To je prednost metode skupnih deliteljev, vendar, ponavljam, jo \u200b\u200bje mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar je dovolj redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko delce pripeljemo do skupnega imenovalca, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato na to število pripeljemo imenovalce obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in najmanjše med njimi ne bo nujno enako neposrednemu zmnožku imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se domneva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalca 8 in 12 je število 24 v redu, saj je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ta številka je veliko manjša od zmnožka 8 · 12 \u003d 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem, se imenuje njihovo (LCM).

Zapis: najmanj skupni večkratnik a in b je označen z LCM (a; b). Na primer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Če lahko najdete takšno število, bo skupni znesek računanja minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednosti izrazov:

Upoštevajte, da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta coprime (nimata skupnih faktorjev, razen 1), faktor 117 pa je pogost. Zato je LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Podobno je 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta razmeroma osnovna, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Zdaj frakcije pripeljemo do skupnih imenovalcev:

Upoštevajte, kako koristno je bilo razvrščanje prvotnih imenovalcev v faktor:

1. Ko smo našli enake dejavnike, smo takoj prišli do najmanj pogostega večkratnika, kar je na splošno netrivialna težava;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri dejavniki "manjkajo" za posamezne ulomke. Na primer 234 3 \u003d 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, kako ogromne dobičke daje najmanj pogosta večkratna metoda, poskusite izračunati iste primere z uporabo metode navzkrižnega križanja. Brez kalkulatorja, seveda. Mislim, da bodo po tem komentarji odveč.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Ves čas se srečujejo, zgornje naloge pa niso omejitev!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", vendar je na splošno to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tu se tega ne bomo dotaknili.

Za reševanje primerov z ulomki morate najti najmanjši skupni imenovalec. Spodaj je podrobno navodilo.

Kako najti najnižji skupni imenovalec - koncept

Najmanj skupni imenovalec (LCN) z enostavnimi besedami Je najmanjše število, ki je deljivo z imenovalci vseh ulomkov ta primer... Z drugimi besedami, imenuje se najmanj pogost večkratnik (LCM). NOZ se uporablja le, če so imenovalci ulomkov različni.

Kako najti najnižji skupni imenovalec - primeri

Poglejmo primere iskanja NOZ.

Izračunaj 3/5 + 2/15.

Rešitev (potek dela):

• Pogledamo imenovalce ulomkov, poskrbimo, da so različni in so izrazi čim bolj zmanjšani.
• Najti najmanjše število, ki je deljivo s 5 in 15. To število bo 15. Tako je 3/5 + 2/15 \u003d? / 15.
• Imenovalec je urejen. Kaj bo v števcu? Dodatni multiplikator nam bo pomagal ugotoviti to. Dodaten faktor je število, dobljeno z delitvijo NOZ z imenovalcem določenega ulomka. Za 3/5 je dodatni faktor 3, saj je 15/5 \u003d 3. Za drugi ulomek je dodatni faktor 1, saj je 15/15 \u003d 1.
• Ko smo ugotovili dodatni faktor, ga pomnožimo s števci ulomkov in dodamo nastale vrednosti. 3/5 + 2/15 \u003d (3 * 3 + 2 * 1) / 15 \u003d (9 + 2) / 15 \u003d 11/15.

Odgovor: 3/5 + 2/15 \u003d 11/15.

Če se v primeru ne dodajo ali odštejejo ne 2, ampak 3 ali več ulomkov, potem je treba NOZ iskati za toliko ulomkov, kot je navedeno.

Izračunaj: 1/2 - 5/12 + 3/6

Rešitev (zaporedje ukrepov):

• Poiščite najnižji skupni imenovalec. Najmanjše deljivo z 2, 12 in 6 je 12.
• Dobimo: 1/2 - 5/12 + 3/6 \u003d? / 12.
• Iščemo dodatne dejavnike. Za 1/2 - 6; za 5/12 - 1; za 3/6 - 2.
• Pomnožimo s števci in dodelimo ustrezne znake: 1/2 - 5/12 + 3/6 \u003d (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 \u003d 7/12.

Odgovor: 1/2 - 5/12 + 3/6 \u003d 7/12.

Kako najti LCM (najmanj pogost večkratnik)

Najmanj skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjši izmed vseh celih števil, ki je enakomerno deljivo z obema podanima številkama.

1. metoda... LCM lahko poiščete za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vse številke, ki jih dobite tako, da jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedoma z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedoma z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe številki majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Včasih pa je treba najti LCM za dvomestne ali trimestne številke, pa tudi, ko so izvirne številke tri ali celo več.

2. metoda... LCM lahko najdete tako, da razširite prvotne številke v glavni dejavniki.
Po razširitvi je treba iz številnih glavnih faktorjev prečrtati enake številke. Preostala števila prve številke bodo faktor za drugo, preostala števila druge pa faktor za prvo.

Primerza število 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Za to 75 in 60 razširimo na glavna dejavnika:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot vidite, faktorja 3 in 5 najdemo v obeh vrsticah. Mentalno jih "prečrtamo".
Zapišimo preostale dejavnike, vključene v razgradnjo vsakega od teh števil. Pri razširitvi števila 75 nam ostane število 5, pri razgradnji števila 60 pa 2 * 2
Torej, da določimo LCM za števili 75 in 60, moramo preostala števila iz razgradnje 75 (to je 5) pomnožiti s 60 in števila, ki ostanejo pri razgradnji števila 60 (to je 2 * 2) pomnožimo s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja pravimo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za številki 60 in 75. To je število 300.

Primer... Določite LCM za številke 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Najprej pa kot vedno vse številke razdelimo na osnovne faktorje
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše izmed vseh števil (to je število 12) in zaporedoma pregledujemo njegove faktorje in jih prečrtamo, če ima vsaj ena od drugih serij števil enak, še ne prečrtan faktor.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh vrsticah števil. Mi jih prečrtamo.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. Pri glavnih faktorjih števila 12 ostane le število 3. Toda v glavnih faktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko pri številu 16 ni dejanja.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razširitvi številke 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev NOC končana. Ostane le izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzamemo preostale faktorje števila 16 (najbližje v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta način omogoča hitrejše iskanje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Gradivo v tem članku pojasnjuje, kako najti najnižji skupni imenovalec in kako ulomke spraviti v skupni imenovalec... Najprej so podane definicije skupnega imenovalca ulomkov in najnižji skupni imenovalec, prikazano pa je tudi, kako najti skupni imenovalec ulomkov. Sledi pravilo za zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec in obravnavani so primeri uporabe tega pravila. Za zaključek so analizirani primeri približevanja treh ali več ulomkov skupnemu imenovalcu.

Navigacija po strani.

Kaj imenujemo zmanjševanje frakcij s skupnim imenovalcem?

Zdaj lahko rečemo, kakšno je zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec. Skupni imenovalec ulomkov Ali je množenje števcev in imenovalcev teh ulomkov s tako dodatnimi faktorji, da je rezultat ulomek z enakimi imenovalci.

Skupni imenovalec, opredelitev, primeri

Zdaj je čas, da določimo skupni imenovalec ulomkov.

Z drugimi besedami, skupni imenovalec nabora navadnih ulomkov je katero koli naravno število, ki je deljivo z vsemi imenovalci teh ulomkov.

Iz zgornje definicije izhaja, da ima dani niz ulomkov neskončno veliko skupnih imenovalcev, saj je neskončno veliko skupnih večkratnikov vseh imenovalcev prvotnega nabora ulomkov.

Določitev skupnega imenovalca ulomkov vam omogoča, da poiščete skupne imenovalce danih ulomkov. Naj bodo na primer ulomki 1/4 in 5/6, njihova imenovalca sta 4 oziroma 6. Pozitivni skupni večkratniki 4 in 6 so 12, 24, 36, 48, ... Vsako od teh števil je skupni imenovalec 1/4 in 5/6.

Za utrditev gradiva razmislite o rešitvi naslednjega primera.

Primer.

Ali lahko ulomke 2/3, 23/6 in 7/12 zmanjšamo na skupni imenovalec 150?

Sklep.

Da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje, moramo ugotoviti, ali je število 150 skupni večkratnik imenovalcev 3, 6 in 12. Če želite to narediti, preverite, ali je 150 enakomerno deljivo z vsakim od teh števil (po potrebi glejte pravila in primere za delitev naravnih števil ter pravila in primere za delitev naravnih števil s preostankom): 150: 3 \u003d 50, 150 : 6 \u003d 25, 150: 12 \u003d 12 (počitek 6).

Torej, 150 ni enakomerno deljivo z 12, torej 150 ni skupni večkratnik 3, 6 in 12. Število 150 torej ne more biti skupni imenovalec izvirnih ulomkov.

Odgovor:

Ne moreš.

Najnižji skupni imenovalec, kako ga najti?

V množici števil, ki so skupni imenovalci teh ulomkov, je najmanjše naravno število, ki se imenuje najnižji skupni imenovalec. Oblikujmo definicijo najmanjšega skupnega imenovalca teh ulomkov.

Definicija.

Najmanj skupni imenovalec Je najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov.

Treba je še ugotoviti, kako najti najmanjšega skupni delitelj.

Ker je najmanj pozitiven skupni imenovalec danega nabora števil, je LCM imenovalcev teh ulomkov najnižji skupni imenovalec teh ulomkov.

Tako se iskanje najnižjega skupnega imenovalca ulomkov zmanjša na imenovalce teh ulomkov. Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov 3/10 in 277/28.

Sklep.

Imenovalec teh ulomkov je 10 in 28. Želeni najnižji skupni imenovalec najdemo kot LCM 10 in 28. V našem primeru je to enostavno: ker je 10 \u003d 2 5 in 28 \u003d 2 2 7, potem je LCM (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140.

Odgovor:

140 .

Kako frakcije spraviti v skupni imenovalec? Pravilo, primeri, rešitve

Običajno navadne frakcije vodijo do najnižjega skupnega imenovalca. Zdaj bomo zapisali pravilo, ki pojasnjuje, kako ulomke spraviti na najnižji skupni imenovalec.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec je sestavljen iz treh korakov:

• Najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov.
• Drugič, za vsak ulomek se izračuna dodaten faktor, za katerega je najmanjši skupni imenovalec deljen z imenovalcem vsakega ulomka.
• Tretjič, števec in imenovalec vsakega ulomka se pomnoži z dodatnim faktorjem.

Navedeno pravilo uporabimo za rešitev naslednjega primera.

Primer.

Drobke 5/14 in 7/18 pripeljemo do najmanjšega skupnega imenovalca.

Sklep.

Izvedimo vse korake algoritma za zmanjšanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec.

Najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec, ki je najnižji skupni večkratnik 14 in 18. Ker je 14 \u003d 2 7 in 18 \u003d 2 3 3, je LCM (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126.

Zdaj izračunamo dodatne faktorje, s katerimi bomo ulomke 5/14 in 7/18 zmanjšali na imenovalec 126. Za ulomek 5/14 je dodatni množitelj 126: 14 \u003d 9, za ulomek 7/18 pa dodatni množitelj 126: 18 \u003d 7.

Še vedno je treba števce in imenovalce ulomkov 5/14 in 7/18 pomnožiti z dodatnimi faktorji 9 oziroma 7. Imamo in .

Tako je uvrstitev ulomkov 5/14 in 7/18 na najnižji skupni imenovalec končana. Rezultat so frakcije 45/126 in 49/126.

Da bi razumeli, kako izračunati LCM, se morate najprej odločiti o pomenu izraza "večkratnik".

Večkratnik A je naravno število, ki je deljivo z A. Torej, večkratnike 5 lahko štejemo 15, 20, 25 itd.

Deliteljev določenega števila je lahko omejeno, večkratnikov pa je neskončno veliko.

Skupno večkratnik naravna števila - število, ki je z njimi deljeno brez ostanka.

Kako najti najmanj skupni večkratnik števil

Najmanj skupni večkratnik (LCM) števil (dve, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsemi temi števili.

LCM lahko najdete na več načinov.

Za majhna števila je priročno zapisati vse večkratnike teh števil v vrstico, dokler med njimi ni skupnega. Množniki so v vnosu označeni z veliko začetnico K.

Na primer, večkratnike 4 lahko zapišemo tako:

K (4) \u003d (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) \u003d (12, 18, 24, ...)

Tako lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik 4 in 6 24. Ta vnos se izvede na naslednji način:

LCM (4, 6) \u003d 24

Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več števil, potem je bolje uporabiti drugo metodo za izračun LCM.

Za dokončanje naloge morate predlagana števila razstaviti na proste faktorje.

Najprej morate v vrstico napisati razširitev največjega števila, pod njim pa ostalo.

Pri razširitvi vsakega števila je lahko prisotno različno število dejavnikov.

Na primer, števila 50 in 20 razdelimo na osnovna faktorja.

Pri razširitvi manjšega števila bi morali poudariti dejavnike, ki so odsotni pri razširitvi prvega največjega števila, in jim jih nato dodati. V predstavljenem primeru manjkata dva.

Zdaj lahko izračunate najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

LCM (20, 50) \u003d 2 * 5 * 5 * 2 \u003d 100

Zmnožek glavnih faktorjev večjega števila in faktorjev drugega števila, ki niso vključeni v razširitev večjega števila, bo najmanj skupni večkratnik.

Če želite najti LCM treh ali več številk, jih je treba razgraditi na proste faktorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer poiščite najmanjši skupni večkratnik 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Torej, pri razčlenjevanju večjega števila na faktorje nista bila vključena le dva dvojčka od razstavitve šestnajstih (ena je pri štiriindvajsetih).

Tako jih je treba dodati k širitvi večjega števila.

LCM (12, 16, 36) \u003d 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 \u003d 9

Obstajajo posebni primeri določitve najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če je eno izmed števil mogoče brez ostanka deliti z drugim, bo večje od teh števil najmanjši skupni večkratnik.

Na primer, LCM dvanajstih in štiriindvajsetih bi bil štiriindvajset.

Če morate najti najmanj skupni večkratnik medsebojno praštevilaki nimajo enakih delilnikov, bo njihov LCM enak njihovemu izdelku.

Na primer, LCM (10, 11) \u003d 110.