Kako pretvoriti ulomke v skupni imenovalec

Če navadne frakcije imenovalci, potem pravijo, da ti ulomke dobimo v skupnem imenovalcu.

Primer 1

Na primer, ulomka $ \\ frac (3) (18) $ in $ \\ frac (20) (18) $ imata enak imenovalec. Menda naj bi imeli skupni imenovalec 18 dolarjev. Ulomki $ \\ frac (1) (29) $, $ \\ frac (7) (29) $ in $ \\ frac (100) (29) $ imajo tudi enak imenovalec. Menda naj bi imeli skupni imenovalec 29 dolarjev.

Če imajo ulomki različne imenovalce, jih lahko zmanjšamo na skupni imenovalec. Če želite to narediti, morate njihove števce in imenovalce pomnožiti z nekaterimi dodatnimi faktorji.

2. primer

Kako zmanjšati dva ulomka $ \\ frac (6) (11) $ in $ \\ frac (2) (7) $ na skupni imenovalec.

Sklep.

Ulomke $ \\ frac (6) (11) $ in $ \\ frac (2) (7) $ pomnožite z dodatnimi faktorji 7 $ oziroma 11 $ in jih zmanjšajte na skupni imenovalec $ 77 $:

$ \\ frac (6 \\ cdot 7) (11 \\ cdot 7) \u003d \\ frac (42) (77) $

$ \\ frac (2 \\ cdot 11) (7 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (22) (77) $

Tako zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec je množenje števca in imenovalca teh ulomkov z dodatnimi faktorji, ki vam posledično omogočajo, da dobite ulomke z enakimi imenovalci.

Skupni imenovalec

Opredelitev 1

Vsak pozitiven skupni večkratnik vseh imenovalcev nekaterih množic ulomkov se imenuje skupni imenovalec.

Z drugimi besedami, skupni imenovalec danih ulomkov je poljuben naravno število, ki ga lahko delimo z vsemi imenovalci danih ulomkov.

Opredelitev pomeni neskončen nabor skupnih imenovalcev za dani nabor ulomkov.

3. primer

Poiščite skupne imenovalce ulomkov $ \\ frac (3) (7) $ in $ \\ frac (2) (13) $.

Sklep.

Ti ulomki imajo imenovalce 7 USD oziroma 13 USD. Pozitivni skupni večkratniki 2 $ in 5 $ so 91, 182, 273, 364 $ itd.

Katero koli od teh števil lahko uporabimo kot skupni imenovalec ulomkov $ \\ frac (3) (7) $ in $ \\ frac (2) (13) $.

4. primer

Ugotovite, ali lahko ulomke $ \\ frac (1) (2) $, $ \\ frac (16) (7) $ in $ \\ frac (11) (9) $ zmanjšamo na skupni imenovalec $ 252 $.

Sklep.

Če želite določiti, kako ulomek pripeljemo do skupnega imenovalca 252 $, morate preveriti, ali je število 252 $ skupni večkratnik imenovalcev 2, 7 in 9 $. Če želite to narediti, razdelite število 252 $ na vsak imenovalec:

$ \\ frac (252) (2) \u003d 126, $ $ \\ frac (252) (7) \u003d 36 $, $ \\ frac (252) (9) \u003d 28 $.

Število $ 252 $ je deljivo z vsemi imenovalci, tj. je skupni večkratnik 2, 7 in 9 dolarjev. Zato lahko dane ulomke $ \\ frac (1) (2) $, $ \\ frac (16) (7) $ in $ \\ frac (11) (9) $ zmanjšamo na skupni imenovalec 252 $.

Odgovor: lahko.

Najmanj skupni imenovalec

Opredelitev 2

Med vsemi skupnimi imenovalci danih ulomkov lahko ločimo najmanjše naravno število, ki se imenuje najnižji skupni imenovalec.

Ker LCM - najmanjši pozitiv skupni delitelj danega nabora števil, potem je LCM imenovalcev danih ulomkov najnižji skupni imenovalec teh ulomkov.

Če želite torej najti najmanjši skupni imenovalec ulomkov, morate poiskati LCM imenovalcev teh ulomkov.

5. primer

Podana sta ulomka $ \\ frac (4) (15) $ in $ \\ frac (37) (18) $. Poiščite njihov najnižji skupni imenovalec.

Sklep.

Imenovalec teh ulomkov je 15 in 18 dolarjev. Poiščite najmanj skupni imenovalec kot LCM števil 15 $ in 18 $. Za to uporabljamo razgradnjo števil na glavni dejavniki:

15 $ \u003d 3 \\ cdot 5 $, 18 $ \u003d 2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

$ LCM (15, 18) \u003d 2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 5 \u003d 90 $.

Odgovor: 90 USD.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec

Najpogosteje pri reševanju nalog iz algebre, geometrije, fizike itd. običajno je, da navadne ulomke zmanjšujemo na najmanjši skupni imenovalec in ne na noben skupni imenovalec.

Algoritem:

1. Poiščite najmanjši skupni imenovalec z uporabo LCM imenovalcev danih ulomkov.
2. 2. Izračunaj dodaten faktor za dane ulomke. Da bi to naredili, moramo najti najnižji skupni imenovalec deliti z imenovalcem vsakega ulomka. Nastalo število bo dodaten faktor tega ulomka.
3. Pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim najdenim faktorjem.

Primer 6

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov $ \\ frac (4) (16) $ in $ \\ frac (3) (22) $ in oba ulomka zmanjšajte nanj.

Sklep.

Uporabimo algoritem za zmanjšanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec.

Izračunajte najmanjši skupni večkratnik 16 $ in 22 $:

Delimo imenovalce na osnovne faktorje: 16 $ \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 $, 22 $ \u003d 2 \\ cdot 11 $.

$ LCM (16, 22) \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 11 \u003d 176 $.

Izračunajmo dodatne faktorje za vsako frakcijo:

176 $ \\ div 16 \u003d 11 $ - za ulomek $ \\ frac (4) (16) $;

$ 176 \\ div 22 \u003d 8 $ - za ulomek $ \\ frac (3) (22) $.

Števce in imenovalce ulomkov $ \\ frac (4) (16) $ in $ \\ frac (3) (22) $ pomnožite z dodatnimi faktorji 11 $ oziroma 8 $. Dobimo:

$ \\ frac (4) (16) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 11) (16 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (44) (176) $

$ \\ frac (3) (22) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 8) (22 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (24) (176) $

Oba ulomka sta postavljena na najnižji skupni imenovalec 176 USD.

Odgovor: $ \\ frac (4) (16) \u003d \\ frac (44) (176) $, $ \\ frac (3) (22) \u003d \\ frac (24) (176) $.

Včasih morate za iskanje najnižjega skupnega imenovalca izvesti številne zamudne izračune, ki morda ne upravičujejo cilja rešitve problema. V tem primeru lahko uporabite največ enostaven način - frakcije znižamo na skupni imenovalec, ki je zmnožek imenovalcev teh ulomkov.

Če želite ulomke spraviti na najmanjši skupni imenovalec, morate: 1) poiskati najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo najmanjši skupni imenovalec. 2) poiščite dodaten faktor za vsak ulomek, za katerega se novi imenovalec deli z imenovalcem vsakega ulomka. 3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem.

Primeri. Naslednje ulomke zmanjšaj na najmanjši skupni imenovalec.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev: LCM (5; 4) \u003d 20, saj je 20 najmanjše število, ki ga lahko delimo s 5 in 4. Za 1. ulomek poiščimo dodaten faktor 4 (20 : 5 \u003d 4). Za 2. ulomek je dodatni faktor 5 (20 : 4 \u003d 5). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 4, števec in imenovalec 2. ulomka pa s 5. Te ulomke pripeljemo do najnižjega skupnega imenovalca ( 20 ).

Najnižji skupni imenovalec teh ulomkov je 8, saj je 8 deljivo s 4 in samo s seboj. Za prvi ulomek ne bo dodatnega faktorja (ali lahko rečemo, da je enak enemu), za drugi ulomek pa je dodatni faktor 2 (8 : 4 \u003d 2). Števec in imenovalec 2. ulomka pomnožimo z 2. Te ulomke smo pripeljali do najnižjega skupnega imenovalca ( 8 ).

Te frakcije niso nezdružljive.

Zmanjšajte 1. ulomek za 4 in 2. ulomek za 2. ( glej primere zmanjševanja običajnih ulomkov: Zemljevid strani → 5.4.2. Primeri zmanjšanja običajnih frakcij). Poiščite LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 \u003d 80. Dodatni faktor za 1. frakcijo je 5 (80 : 16 \u003d 5). Dodatni faktor za 2. frakcijo je 4 (80 : 20 \u003d 4). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 5, števec in imenovalec 2. ulomka pa s 4. Te ulomke pripeljemo do najnižjega skupnega imenovalca ( 80 ).

Poiščite najnižji skupni imenovalec NOZ (5 ; 6 in 15) \u003d LCM (5 ; 6 in 15) \u003d 30. Dodatni faktor k 1. frakciji je 6 (30 : 5 \u003d 6), dodatni faktor k drugi frakciji je 5 (30 : 6 \u003d 5), dodatni faktor k 3. frakciji je 2 (30 : 15 \u003d 2). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 6, števec in imenovalec 2. ulomka s 5, števec in imenovalec 3. ulomka pa z 2. Te ulomke smo zmanjšali na najnižji skupni imenovalec ( 30 ).

Stran 1 od 1 1

V tej lekciji si bomo ogledali zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec in rešili probleme na to temo. Dajmo definicijo pojmu skupni imenovalec in dodatni dejavnik, pripomnimo medsebojno praštevila... Določimo koncept najmanjšega skupnega imenovalca (LCD) in rešimo številne težave, da ga najdemo.

Tema: Seštevanje in odštevanje ulomkov z različni imenovalci

Lekcija: Pretvorba ulomkov v skupni imenovalec

Ponovitev. Glavna lastnost ulomka.

Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom, dobimo enak ulomek.

Na primer, števec in imenovalec ulomka lahko delimo z 2. Dobimo ulomek. Ta operacija se imenuje zmanjšanje frakcije. Obrnjeno transformacijo lahko izvedete tudi tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožite z 2. V tem primeru pravijo, da smo ulomek zmanjšali na nov imenovalec. Število 2 se imenuje komplementarni faktor.

Izhod.Ulomek lahko zmanjšamo na kateri koli imenovalec, večkratnik imenovalca danega ulomka. Da bi ulomek pripeljali do novega imenovalca, se njegov števec in imenovalec pomnoži z dodatnim faktorjem.

1. Ulomek pripeljemo do imenovalca 35.

35 je večkratnik 7, to pomeni, da je 35 deljivo s 7 brez ostanka. To pomeni, da je ta preobrazba možna. Poiščimo dodaten dejavnik. Če želite to narediti, delite 35 s 7. Dobimo 5. Števec in imenovalec izvirnega ulomka pomnožimo s 5.

2. Drobce pripeljemo k imenovalcu 18.

Poiščimo dodaten dejavnik. Za to novi imenovalec delimo s prvotnim. Dobimo 3. Števec in imenovalec tega ulomka pomnožimo s 3.

3. Ulomek pripeljemo do imenovalca 60.

Če delimo 60 s 15, dobimo dodaten faktor. Je 4. Pomnožite števec in imenovalec s 4.

4. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24

V preprostih primerih se zmanjšanje na nov imenovalec izvede v mislih. Sprejemljivo je navesti le dodaten množitelj zunaj oklepaja tik desno in nad prvotnim ulomkom.

Ulomek lahko zmanjšamo na imenovalec 15, ulomek pa na 15. Frakcije imajo tudi skupni imenovalec 15.

Skupni imenovalec ulomkov je lahko kateri koli skupni večkratnik njihovih imenovalcev. Zaradi enostavnosti so ulomki najmanjši skupni imenovalec. Enako je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev teh ulomkov.

Primer. Zmanjšaj na najmanjši skupni imenovalec ulomka in.

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov. To število je 12. Poiščimo dodaten faktor za prvi in \u200b\u200bza drugi ulomek. Če želite to narediti, 12 delite s 4 in 6. Tri je dodaten faktor za prvi ulomek, dva pa za drugi. Zmanjšamo ulomke na imenovalec 12.

Dlomke smo pripeljali do skupnega imenovalca, se pravi našli smo jim ulomke, ki so jim enaki.

Pravilo. Če želite delce pripeljati do najmanjšega skupnega imenovalca, potrebujete

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo njihov najmanjši skupni imenovalec;

Drugič, razdeli najnižji skupni imenovalec z imenovalci danih ulomkov, torej poišči dodaten faktor za vsak ulomek.

Tretjič, pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem.

a) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 12. Dodatni faktor za prvi ulomek je 4, za drugega pa 3. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24.

b) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 45. Če delimo 45 z 9 s 15, dobimo 5 oziroma 3. Ulomke pripeljemo k imenovalcu 45.

c) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Skupni imenovalec je 24. Dodatna faktorja sta 2 oziroma 3.

Včasih je težko ustno najti najmanjši skupni večkratnik za imenovalce teh ulomkov. Nato najdemo skupni imenovalec in dodatne dejavnike z uporabo faktorizacije.

Privedemo ulomek k skupnemu imenovalcu.

Razdelimo številki 60 in 168 na osnovna faktorja. Zapišemo razgradnjo 60 in dodamo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz druge razgradnje. Pomnožite 60 s 14, da dobite skupni imenovalec 840. Dopolnilni faktor za prvi ulomek je 14. Dopolnilni faktor za drugi ulomek je 5. Zmanjšajte ulomke na skupni imenovalec 840.

Seznam referenc

1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. in druga matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 6. razred matematike. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Y., Vilenkin N.Y. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za predmet 5-6. Razred matematike. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. Matematika: Učbenik-sogovornik za 5-6. razred srednje šole. Knjižnica učitelja matematike. - Razsvetljenje, 1989.

Knjige, določene v oddelku 1.2, lahko prenesete. te lekcije.

Domača naloga

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et al. Matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012. (povezava glej 1.2)

Domača naloga: # 297, # 298, # 300.

Druge naloge: # 270, # 290

V tej lekciji bomo preučili zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec in rešili probleme na to temo. Dajmo definicijo pojmu skupni imenovalec in dodatni faktor, ne pozabimo na coprime števil. Določimo koncept najmanjšega skupnega imenovalca (LCD) in rešimo številne težave, da ga najdemo.

Tema: Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Lekcija: Pretvorba ulomkov v skupni imenovalec

Ponovitev. Glavna lastnost ulomka.

Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom, dobimo enak ulomek.

Na primer, števec in imenovalec ulomka lahko delimo z 2. Dobimo ulomek. Ta operacija se imenuje zmanjšanje frakcije. Obrnjeno transformacijo lahko izvedete tudi tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožite z 2. V tem primeru pravijo, da smo ulomek zmanjšali na nov imenovalec. Število 2 se imenuje komplementarni faktor.

Izhod.Ulomek lahko zmanjšamo na kateri koli imenovalec, večkratnik imenovalca danega ulomka. Da bi ulomek pripeljali do novega imenovalca, se njegov števec in imenovalec pomnoži z dodatnim faktorjem.

1. Ulomek pripeljemo do imenovalca 35.

35 je večkratnik 7, to pomeni, da je 35 deljivo s 7 brez ostanka. To pomeni, da je ta preobrazba možna. Poiščimo dodaten dejavnik. Če želite to narediti, delite 35 s 7. Dobimo 5. Števec in imenovalec izvirnega ulomka pomnožimo s 5.

2. Drobce pripeljemo k imenovalcu 18.

Poiščimo dodaten dejavnik. Za to novi imenovalec delimo s prvotnim. Dobimo 3. Števec in imenovalec tega ulomka pomnožimo s 3.

3. Ulomek pripeljemo do imenovalca 60.

Če delimo 60 s 15, dobimo dodaten faktor. Je 4. Pomnožite števec in imenovalec s 4.

4. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24

V preprostih primerih se zmanjšanje na nov imenovalec izvede v mislih. Sprejemljivo je navesti le dodaten množitelj zunaj oklepaja tik desno in nad prvotnim ulomkom.

Ulomek lahko zmanjšamo na imenovalec 15, ulomek pa na 15. Frakcije imajo tudi skupni imenovalec 15.

Skupni imenovalec ulomkov je lahko kateri koli skupni večkratnik njihovih imenovalcev. Zaradi enostavnosti so ulomki najmanjši skupni imenovalec. Enako je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev teh ulomkov.

Primer. Zmanjšaj na najmanjši skupni imenovalec ulomka in.

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov. To število je 12. Poiščimo dodaten faktor za prvi in \u200b\u200bza drugi ulomek. Če želite to narediti, 12 delite s 4 in 6. Tri je dodaten faktor za prvi ulomek, dva pa za drugi. Zmanjšamo ulomke na imenovalec 12.

Dlomke smo pripeljali do skupnega imenovalca, se pravi našli smo jim ulomke, ki so jim enaki.

Pravilo. Če želite delce pripeljati do najmanjšega skupnega imenovalca, potrebujete

Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo njihov najmanjši skupni imenovalec;

Drugič, razdeli najnižji skupni imenovalec z imenovalci danih ulomkov, torej poišči dodaten faktor za vsak ulomek.

Tretjič, pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem.

a) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 12. Dodatni faktor za prvi ulomek je 4, za drugega pa 3. Drobce pripeljemo k imenovalcu 24.

b) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Najnižji skupni imenovalec je 45. Če delimo 45 z 9 s 15, dobimo 5 oziroma 3. Ulomke pripeljemo k imenovalcu 45.

c) Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec.

Skupni imenovalec je 24. Dodatna faktorja sta 2 oziroma 3.

Včasih je težko ustno najti najmanjši skupni večkratnik za imenovalce teh ulomkov. Nato najdemo skupni imenovalec in dodatne dejavnike z uporabo faktorizacije.

Privedemo ulomek k skupnemu imenovalcu.

Razdelimo številki 60 in 168 na osnovna faktorja. Zapišemo razgradnjo 60 in dodamo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz druge razgradnje. Pomnožite 60 s 14, da dobite skupni imenovalec 840. Dopolnilni faktor za prvi ulomek je 14. Dopolnilni faktor za drugi ulomek je 5. Zmanjšajte ulomke na skupni imenovalec 840.

Seznam referenc

1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. in druga matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 6. razred matematike. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Y., Vilenkin N.Y. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za predmet 5-6. Razred matematike. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. Matematika: Učbenik-sogovornik za 5-6. razred srednje šole. Knjižnica učitelja matematike. - Razsvetljenje, 1989.

Knjige, določene v oddelku 1.2, lahko prenesete. te lekcije.

Domača naloga

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et al. Matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012. (povezava glej 1.2)

Domača naloga: # 297, # 298, # 300.

Druge naloge: # 270, # 290