N -ti koren števila x je nenegativno število z, ki se, ko se dvigne na n -to stopnjo, spremeni v x. Opredelitev korena je vključena v seznam osnovnih aritmetičnih operacij, s katerimi se spoznavamo v otroštvu.

Matematični zapis

"Koren" izhaja iz latinske besede radix, danes pa se beseda "radikal" uporablja kot sinonim za ta matematični izraz. Matematiki že od 13. stoletja označujejo operacijo ekstrakcije korena s črko r z vodoravno črto nad radikalnim izrazom. V 16. stoletju je bila uvedena oznaka V, ki je postopoma nadomestila znak r, vodoravna črta pa je ostala. Enostavno je vnesti tipografijo ali ročno napisano, vendar elektronske izdaje in programiranje se je razširilo črkovna oznaka root - sqrt. Tako bomo v tem članku označili kvadratne korenine.

Kvadratni koren

Kvadratni radikal števila x je število z, ki ga, pomnoženo s samim seboj, postane x. Če na primer pomnožimo 2 z 2, dobimo 4. Dva v tem primeru je kvadratni koren štirih. Pomnožimo 5 s 5, dobimo 25, zdaj pa že poznamo vrednost izraza sqrt (25). Lahko pomnožimo in - 12 z -12 in dobimo 144, radikal 144 pa je 12 in −12. Očitno so kvadratni korenini lahko pozitivna in negativna števila.

Za reševanje je pomemben nekakšen dualizem takšnih korenin kvadratne enačbe, zato morate pri iskanju odgovorov pri takšnih težavah navesti obe korenini. Pri odločanju algebrski izrazi uporabljajo se aritmetični kvadratni korenini, torej le njihove pozitivne vrednosti.

Številke, katerih korenine so cele, imenujemo popolni kvadrati. Obstaja celo zaporedje takšnih številk, katerih začetek izgleda tako:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Kvadratni korenini drugih števil so iracionalna števila. Na primer sqrt (3) = 1,73205080757 ... itd. To število je neskončno in ni periodično, kar povzroča nekatere težave pri izračunu takšnih radikalov.

Srednješolska matematika navaja, da iz negativnih števil ne morete izvleči kvadratnih korenin. Kot smo izvedeli na univerzitetnem tečaju matanalize, je to mogoče in treba storiti - za to so potrebna kompleksna števila. Vendar je naš program zasnovan tako, da izvleče prave vrednosti korenin, zato ne izračuna niti radikalov iz negativnih števil.

Kubični koren

Kubični radikal števila x je število z, ki trikrat pomnoženo s seboj da število x. Če na primer pomnožimo 2 × 2 × 2, dobimo 8. Zato je dva kocka korenine osmih. Če trikrat pomnožimo štiri, dobimo 4 × 4 × 4 = 64. Očitno je štiri koren kocke 64. Obstaja neskončno zaporedje števil, katerih kubični radikali so cela števila. Njegov začetek izgleda tako:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Za ostale številke so korenine kocke iracionalna števila. Za razliko od kvadratnih radikalov lahko kubične korenine, tako kot vse lihe korenine, izvlečemo iz negativnih števil. Vse gre za produkt števil manj kot nič... Minus za minus daje plus - pravilo, znano iz šole. In minus za plus - daje minus. Če negativna števila pomnožimo z liho število krat, bo tudi rezultat negativen, zato izvlecite lihi radikal iz negativno število nič nas ne moti.

Vendar pa kalkulator deluje drugače. V bistvu je izvlečenje korena obrnjena eksponenciacija. Kvadratni koren se šteje kot eksponenciacija 1/2, kubični koren pa kot 1/3. Formulo za stopnjevanje 1/3 lahko spremenimo in izrazimo kot 2/6. Rezultat je enak, vendar takega korena ne morete izvleči iz negativnega števila. Tako naš kalkulator izračuna samo aritmetične korenine iz pozitivnih števil.

N -ti koren

Tako okrašen način izračuna radikalov vam omogoča, da iz katerega koli izraza določite korenine katere koli stopnje. Izvlečete lahko 5. koren kocke števila ali 19. radikal 12. stopnje. Vse to je elegantno izvedeno v obliki dviga na moč 3/5 oziroma 12/19.

Poglejmo primer

Diagonala kvadrata

Neracionalnost diagonale kvadrata je bila znana že starim Grkom. Soočili so se s problemom izračuna diagonale ravnega kvadrata, saj je njegova dolžina vedno sorazmerna s korenom dveh. Formula za določanje dolžine diagonale izhaja iz in ima na koncu obliko:

d = a × sqrt (2).

S kalkulatorjem poiščimo kvadratni radikal dveh. V celico "Število (x)" vnesemo vrednost 2, v "Moč (n)" pa tudi 2. Kot rezultat dobimo izraz sqrt (2) = 1.4142. Tako za grobo oceno diagonale kvadrata zadostuje pomnožiti njegovo stran s 1,4142.

Zaključek

Iskanje radikala je standardna aritmetična operacija, brez katere so znanstveni ali oblikovalni izračuni nepogrešljivi. Seveda nam ni treba določiti korenin za reševanje vsakodnevnih težav, vendar bo naš spletni kalkulator zagotovo prišel prav šolarjem ali študentom, da preverijo domače naloge iz algebre ali matematične analize.

Čas je, da razstavimo metode ekstrakcije korenin... Temeljijo na lastnostih korenin, zlasti na enakosti, ki velja za katero koli negativno število b.

Spodaj si bomo ogledali glavne metode pridobivanja korenin.

Začnimo z najpreprostejšim primerom - izvlečenjem korenin iz naravnih števil z uporabo tabele kvadratov, tabele kock itd.

Če so tabele kvadratov, kock itd. ni pri roki, potem je logično uporabiti metodo pridobivanja korena, ki pomeni razgradnjo radikalnega števila na osnovne faktorje.

Ločeno se je treba osredotočiti na to, kaj je mogoče za korenine z lihimi kazalniki.

Na koncu poglejmo še način za zaporedno iskanje številk korenske vrednosti.

Začnimo.

Uporaba tabele kvadratov, kocke itd.

V najpreprostejših primerih lahko za pridobivanje korenin uporabite tabele kvadratov, kock itd. Kaj so te mize?

Tabelo kvadratov celih števil od 0 do vključno 99 (prikazano spodaj) sestavljata dve coni. Prvo območje tabele se nahaja na sivem ozadju in omogoča ustvarjanje številke od 0 do 99 z izbiro določene vrstice in določenega stolpca. Na primer, izberite desetice vrstice 8 in stolpce 3, s tem smo popravili številko 83. Druga cona zaseda preostanek mize. Vsaka njena celica se nahaja na presečišču določene vrstice in določenega stolpca in vsebuje kvadrat ustreznega števila od 0 do 99. Na presečišču izbrane vrstice z 8 deseticami in stolpca s 3 enotami je celica s številko 6 889, ki je kvadrat številke 83.

Tabele kock, tabele četrtih stopenj števil od 0 do 99 itd. So podobne tabeli kvadratov, le da v drugi coni vsebujejo kocke, četrte moči itd. ustrezne številke.

Tabele kvadratov, kock, četrtih stopenj itd. vam omogočajo, da izvlečete kvadratne korenine, kockaste korenine, četrte korenine itd. oziroma iz številk v teh tabelah. Razložimo načelo njihove uporabe pri pridobivanju korenin.

Recimo, da moramo izvleči n-ti koren števila a, medtem ko je število a vsebovano v n-ti tabeli moči. Iz te tabele najdemo tako število b, da je a = b n. Potem , zato bo število b zahtevani n -ti koren.

Kot primer prikazujemo, kako je kocka iz 19.683 izvedena s pomočjo kocke tabele. V tabeli kock najdemo število 19 683, iz nje ugotovimo, da je to število kocka števila 27, zato .

Jasno je, da so n-te tabele moči zelo priročne za pridobivanje korenin. Vendar pa jih pogosto ni pri roki, njihovo sestavljanje pa zahteva določen čas. Poleg tega je pogosto treba izvleči korenine iz številk, ki niso v ustreznih tabelah. V teh primerih morate uporabiti druge metode pridobivanja korenin.

Prvo faktoriziranje radikalnega števila

Precej priročen način za pridobivanje korena iz naravnega števila (če je seveda koren izvlečen) je razširitev radikalnega števila v osnovne faktorje. Njegovo bistvo je naslednje: potem, ko ga je dovolj enostavno predstaviti v obliki stopinje z želenim eksponentom, ki vam omogoča, da dobite vrednost korena. Naj pojasnimo to točko.

Naj bo n -ti koren izvlečen iz naravnega števila a, njegova vrednost pa je enaka b. V tem primeru velja enakost a = b n. Število b, kot vsako naravno število, lahko predstavimo kot produkt vseh njegovih osnovnih faktorjev p 1, p 2, ..., pm v obliki p 1 p 2 ... 2 ·… · pm) n. Ker je razgradnja števila na osnovne faktorje edinstvena, bo razgradnja radikalnega števila a na osnovne faktorje imela obliko (p 1 · p 2 ·… · pm) n, kar omogoča izračun vrednosti korena kot.

Upoštevajte, da če faktoriranja radikalnega števila a ni mogoče predstaviti v obliki (p 1 · p 2 · ... · p m) n, potem n-ti koren takega števila a ni popolnoma izvlečen.

Ugotovimo to pri reševanju primerov.

Primer.

Vzemite kvadratni koren 144.

Rešitev.

Če se obrnemo na tabelo kvadratov iz prejšnjega odstavka, je jasno razvidno, da je 144 = 12 2, od koder je jasno, da je kvadratni koren 144 12.

Toda glede na to točko nas zanima, kako se koren ekstrahira z razkrojem radikala 144 na osnovne faktorje. Analizirajmo to rešitev.

Razširimo 144 po osnovnih faktorjih:

To pomeni, da je 144 = 2 2 2 2 3 3. Na podlagi dobljene razgradnje je mogoče izvesti naslednje transformacije: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Zato, .

Z uporabo lastnosti stopnje in lastnosti korenin lahko raztopino oblikujemo na nekoliko drugačen način:.

Odgovor:

Za utrditev gradiva razmislite o rešitvah še dveh primerov.

Primer.

Izračunajte korensko vrednost.

Rešitev.

Prva faktorizacija radikala 243 je 243 = 3 5. Tako .

Odgovor:

Primer.

Je korenska vrednost celo število?

Rešitev.

Za odgovor na to vprašanje razstavimo radikalno število na osnovne faktorje in poglejmo, ali ga je mogoče predstaviti kot kocko celega števila.

Imamo 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Nastala razgradnja ni predstavljena kot kocka celega števila, saj je stopnja glavni faktor 7 ni večkratnik treh. Zato koren kocke številke 285 768 ni popolnoma izvlečen.

Odgovor:

Ne.

Izvlečenje korenin iz ulomkov

Čas je, da ugotovimo, kako se izvleče korenina delno število... Naj bo ulomljeno radikalno število zapisano kot p / q. Glede na lastnost korena količnika velja naslednja enakost. Ta enakost pomeni delni koren: koren ulomka je enak količniku deljenja korena števca na koren imenovalec.

Oglejmo si primer pridobivanja korena iz ulomka.

Primer.

Kaj je kvadratni koren navadni ulomek 25/169 .

Rešitev.

Iz tabele kvadratov ugotovimo, da je kvadratni koren števca izvirnega ulomka 5, kvadratni koren imenovalec pa 13. Potem ... S tem se ekstrakcija korena iz navadnega ulomka 25/169 zaključi.

Odgovor:

Koren decimalnega ali mešanega števila se pridobi po zamenjavi radikalnih števil z navadnimi ulomki.

Primer.

Izvlecite koren kocke decimalnega mesta 474.552.

Rešitev.

Predstavljajte si izvirnik decimalno kot navaden ulomek: 474,552 = 474552/1000. Potem ... Ostaja še izvleči korenine kocke, ki so v števcu in imenovalcu nastalega ulomka. Ker 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 in 1000 = 10 3, potem in ... Ostaja le dokončati izračune .

Odgovor:

.

Izvlečenje korena negativnega števila

Ločeno se je treba osredotočiti na pridobivanje korenin iz negativnih števil. Pri preučevanju korenin smo rekli, da ko je eksponent korena liho število, je lahko pod korenskim znakom negativno število. Takšnim vnosom smo dali naslednji pomen: za negativno število −a in lih eksponent korena 2n - 1 imamo ... Ta enakost daje pravilo za izvlečenje lihih korenin iz negativnih števil: če želite izvleči koren negativnega števila, morate izvleči koren nasprotnega pozitivnega števila in pred rezultat postaviti znak minus.

Razmislimo o rešitvi primera.

Primer.

Poiščite korensko vrednost.

Rešitev.

Izvirni izraz spremenimo tako, da se pojavi pod korenskim znakom pozitivno število: ... Zdaj mešano število nadomesti z navadnim ulomkom: ... Uporabljamo pravilo pridobivanja korena iz navadnega ulomka: ... Ostaja izračunati korenine v števcu in imenovalec nastalega ulomka: .

Tu je kratek zapis rešitve: .

Odgovor:

.

Postopno iskanje korenske vrednosti

V splošni primer pod korenom je število, ki ga s zgoraj obravnavanimi tehnikami ni mogoče predstaviti kot n -to stopnjo katerega koli števila. Toda v tem primeru je treba vsaj z natančnostjo do določenega predznanja poznati vrednost danega korena. V tem primeru lahko za izvlečenje korena uporabite algoritem, ki vam omogoča zaporedno pridobivanje dovolj vrednosti števk zahtevanega števila.

Na prvem koraku tega algoritma morate ugotoviti, kateri je najpomembnejši bit korenske vrednosti. Za to se številke 0, 10, 100, ... zaporedno dvignejo na stopnjo n do trenutka, ko je sprejeto število, ki presega radikalno število. Potem bo število, ki smo ga v prejšnjem koraku dvignili na n, označilo ustrezen najpomembnejši bit.

Na primer, pri ekstrahiranju upoštevajte ta korak algoritma kvadratni koren od petih. Vzamemo številke 0, 10, 100, ... in jih kvadratimo, dokler ne dobimo števila, večjega od 5. Imamo 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, kar pomeni, da bodo najpomembnejši bit tisti bit. Vrednost tega bita, pa tudi nižjih, bomo našli v naslednjih korakih algoritma ekstrakcije korenov.

Vsi naslednji koraki algoritma so namenjeni zaporednemu izboljšanju vrednosti korena zaradi dejstva, da najdemo vrednosti naslednjih števk želene vrednosti korena, začenši z najpomembnejšim in se premaknemo proti najmanjšemu pomembne. Na primer, korenska vrednost na prvem koraku je 2, na drugem - 2,2, na tretjem - 2,23 in tako naprej 2,236067977 ... Opišimo, kako pride do iskanja vrednosti števk.

Iskanje števk se izvede z naštevanjem njihovih možnih vrednosti 0, 1, 2, ..., 9. V tem primeru se n-te moči ustreznih števil izračunajo vzporedno in jih primerjajo z radikalnim številom. Če na neki stopnji vrednost stopnje presega radikalno število, se šteje, da je vrednost števke, ki ustreza prejšnji vrednosti, najdena in da se izvede prehod na naslednji korak algoritma za ekstrakcijo korena, če to ne zgodi, potem je vrednost te številke 9.

Razložimo te točke z istim primerom pridobivanja kvadratnega korena pet.

Najprej ugotovimo vrednost števk tistih. Ponavljali bomo vrednosti 0, 1, 2,…, 9 in izračunali 0 2, 1 2,…, 9 2, dokler ne dobimo vrednosti, večje od korenske številke 5. Vsi ti izračuni so priročno predstavljeni v obliki tabele:

Torej je vrednost števk tistih 2 (od 22<5 , а 2 3 >5). Obrnili se bomo na iskanje vrednosti desetinke. V tem primeru bomo kvadrat 2, 2, 2, 2, 2, ..., 2, 9, primerjali dobljene vrednosti z radikalnim številom 5:

Od 2.2.2<5 , а 2,3 2 >5, potem je decimalna vrednost 2. Poiščete lahko vrednost stotink:

Tako najdeno naslednja vrednost koren pet, je enako 2,23. Tako lahko še naprej iščete vrednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Za utrjevanje materiala bomo z upoštevanjem upoštevanega algoritma analizirali ekstrakcijo korena z natančnostjo stotink.

Najprej določimo najpomembnejši bit. Če želite to narediti, kocke kocke 0, 10, 100 itd. dokler ne dobimo števila, ki je večje od 2,151,186. Imamo 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, zato je najpomembnejša številka desetice.

Določimo njen pomen.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, potem je vrednost števke desetice 1. Preidimo na enote.

Tako je vrednost tistih mest 2. Prehajamo na desetine.

Ker je celo 12,9 3 manjše od radikalne številke 2 151,186, je vrednost desetega mesta 9. Še vedno je treba izvesti zadnji korak algoritma, ki nam bo dal vrednost korena z zahtevano natančnostjo.

Na tej stopnji se vrednost korena ugotovi z natančnostjo stotink: .

Na koncu tega članka bi rad povedal, da obstaja veliko drugih načinov za pridobivanje korenin. Toda za večino nalog zadostujejo tiste, ki smo jih preučili zgoraj.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8. razred izobraževalne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetek analize: Učbenik za 10 - 11 razrede izobraževalnih ustanov.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (vodnik za prijavitelje na tehniških šolah).

Inženirski kalkulator na spletu

Mudi se nam, da vsem predstavimo brezplačni inženirski kalkulator. Z njegovo pomočjo lahko vsak učenec hitro in kar je najpomembneje enostavno izvede različne vrste matematičnih izračunov na spletu.

Preprost in enostaven za uporabo inženirski kalkulator z nevsiljivim in razumljivim vmesnikom bo resnično koristen najširšemu krogu uporabnikov interneta. Ko potrebujete kalkulator, obiščite našo spletno stran in uporabite brezplačni inženirski kalkulator.

Inženirski kalkulator lahko izvaja tako preproste aritmetične operacije kot precej zapletene matematične izračune.

Web20calc je inženirski kalkulator, ki ima ogromno funkcij, na primer, kako izračunati vse osnovne funkcije. Kalkulator podpira tudi trigonometrične funkcije, matrike, logaritme in celo grafikone.

Nedvomno bo Web20calc zanimiv za tisto skupino ljudi, ki v iskanju preprostih rešitev v iskalnike vnese poizvedbo: spletni matematični kalkulator. Brezplačna spletna aplikacija vam bo pomagala v trenutku izračunati rezultat nekega matematičnega izraza, na primer odšteti, seštevati, deliti, izvleči koren, dvigniti na stopnjo itd.

V izrazu lahko uporabite operacije eksponenciacije, seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja, odstotka, konstantnega PI. Za zapletene izračune uporabite oklepaje.

Značilnosti inženirskega kalkulatorja:

1. osnovne aritmetične operacije;
2. delo s številkami v standardni obliki;
3. izračun trigonometričnih korenin, funkcij, logaritmov, eksponenciacije;
4. statistični izračuni: seštevek, aritmetična sredina ali standardni odklon;
5. uporaba spominske celice in uporabniško določenih funkcij dveh spremenljivk;
6. delo s koti v radianih in stopinjskih merah.

Inženirski kalkulator vam omogoča uporabo različnih matematičnih funkcij:

Ekstrakcija korenin (kvadratni koren, kubični in n-ti koren);
ex (e na x moč), eksponent;
trigonometrične funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangenta - tan;
inverzne trigonometrične funkcije: arcsin - sin -1, arccosin - cos -1, arctangent - tan -1;
hiperbolične funkcije: sinus - sinh, kosinus - koš, tangenta - tanh;
logaritmi: binarna osnova logaritma dva - log2x, decimalna osnova logaritma deset - dnevnik, naravni logaritem - ln.

Ta inženirski kalkulator vključuje tudi kalkulator količine z možnostjo pretvorbe fizikalnih količin za različne merilne sisteme - računalniške enote, razdaljo, težo, čas itd. S to funkcijo lahko takoj pretvorite milje v kilometre, funte v kilograme, sekunde v ure itd.

Za matematične izračune najprej v ustrezno polje vnesite zaporedje matematičnih izrazov, nato kliknite na znak enakosti in si oglejte rezultat. Vrednosti lahko vnesete neposredno s tipkovnice (za to mora biti območje kalkulatorja aktivno, zato ne bo odveč, če kurzor postavite v polje za vnos). Med drugim lahko podatke vnesete z gumbi na samem kalkulatorju.

Za izdelavo grafov v vnosnem polju napišite funkcijo, kot je navedeno v polju s primeri, ali uporabite posebej oblikovano orodno vrstico (če se želite pomakniti nanjo, kliknite gumb z ikono v obliki grafa). Za pretvorbo vrednosti pritisnite Enota, za delo z matrikami - Matrika.

Pred prihodom kalkulatorjev so učenci in učitelji ročno izračunali kvadratne korenine. Obstaja več načinov za ročni izračun kvadratnega korena številke. Nekateri ponujajo le približno rešitev, drugi pa natančen odgovor.

Koraki

Osnovna faktorizacija

Faktor radikalnega števila, ki je kvadratno. Odvisno od korenske številke boste dobili približen ali natančen odgovor. Kvadratne številke so številke, iz katerih je mogoče izvleči cel kvadratni koren. Dejavniki so številke, ki pri množenju dajo prvotno število. Na primer, faktorja 8 sta 2 in 4, saj sta 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 kvadratna števila, saj je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratni faktorji so faktorji, ki so kvadratne številke. Najprej poskusite kvadratiti korensko številko.

• Na primer, izračunajte kvadratni koren 400 (ročno). Najprej poskusite na kvadrat 400. 400 je večkratnik 100, torej deljiv s 25 - to je kvadratno število. Če 400 delite s 25, dobite 16. 16 je tudi kvadratno število. Tako lahko 400 vnesemo v kvadratne faktorje 25 in 16, to je 25 x 16 = 400.
• Lahko ga zapišemo na naslednji način: √400 = √ (25 x 16).

1. Kvadratni koren produkta nekaterih izrazov je enak produktu kvadratnih korenin vsakega izraza, to je √ (a x b) = √a x √b. Uporabite to pravilo in vzemite kvadratni koren vsakega kvadratnega faktorja in pomnožite rezultate, da poiščete svoj odgovor.

   • V našem primeru izvlecite koren 25 in 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Če se radikalno število ne razgradi na dva kvadratna faktorja (in to se zgodi v večini primerov), ne boste mogli najti natančnega odgovora v obliki celega števila. Problem pa lahko poenostavite tako, da koreninsko radikalno število razgradite na kvadratni faktor in navaden faktor (število, iz katerega ni mogoče izvleči celotnega kvadratnega korena). Nato boste vzeli kvadratni koren kvadratnega faktorja in vzeli koren običajnega faktorja.

   • Izračunajte na primer kvadratni koren števila 147. Številke 147 ni mogoče razdeliti na dva kvadratna faktorja, lahko pa jo razdelite na naslednje faktorje: 49 in 3. Problem rešite na naslednji način:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Po potrebi ocenite vrednost korena. Zdaj lahko vrednost korena ocenite (poiščite približno vrednost) tako, da ga primerjate z vrednostmi korenin kvadratnih števil, ki so najbližje (na obeh straneh številske črte) korenski številki. Koreninsko vrednost boste dobili kot decimalni ulomek, ki ga je treba pomnožiti s številko za korenskim znakom.

   • Vrnimo se k našemu primeru. Radikalno število 3. Najbližje kvadratne številke bodo števila 1 (√1 = 1) in 4 (√4 = 2). Torej je √3 med 1 in 2. Ker je √3 verjetno bližje 2 kot 1, je naša ocena √3 = 1,7. To vrednost pomnožimo s številom pri korenskem znaku: 7 x 1,7 = 11,9. Če izračune izvedete na kalkulatorju, dobite 12,13, kar je precej blizu našemu odgovoru.
     • Ta metoda deluje tudi pri velikih številkah. Na primer, upoštevajte √35. Korenska številka je 35. Najbližje kvadratne številke bodo številki 25 (√25 = 5) in 36 (√36 = 6). Torej je √35 med 5 in 6. Ker je √35 veliko bližje 6 kot 5 (ker je 35 le 1 manj kot 36), lahko rečemo, da je √35 nekoliko manj kot 6. Če preverimo kalkulator, dobimo odgovor 5,92 - imeli smo prav.

4. Drug način je, da radikalno število faktorite v primarne faktorje. Glavni faktorji so števila, ki so deljiva samo z 1 in sami. Zapišite glavne faktorje v vrsto in poiščite pare istih faktorjev. Takšne dejavnike lahko vzamemo izven koreninskega znaka.

   • Izračunajte na primer kvadratni koren 45. Radikalno število razstavimo na osnovne faktorje: 45 = 9 x 5 in 9 = 3 x 3. Tako je √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 lahko vzamemo izven koreninskega znaka: √45 = 3√5. Zdaj lahko ocenite √5.
   • Razmislite o drugem primeru: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelje 2; vzemite jih nekaj in jih postavite izven koreninskega znaka.
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x √11. Zdaj lahko ocenite √2 in √11 in poiščete grob odgovor.

   Ročni izračun kvadratnega korena

   Dolga delitev

   1. Ta metoda vključuje postopek, podoben dolgi delitvi, in daje natančen odgovor. Najprej narišite navpično črto, ki list razdeli na dve polovici, nato pa na desni in nekoliko pod zgornjim robom lista narišite vodoravno črto do navpične črte. Zdaj radikalizirano število razdelite na pare številk, začenši z delnim delom po decimalni vejici. Torej je številka 79520789182.47897 zapisana kot "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Izračunajmo na primer kvadratni koren 780,14. Narišite dve vrstici (kot je prikazano na sliki) in v zgornjem levem kotu dano številko napišite kot "7 80, 14". Normalno je, da je prva številka na levi neparna številka. Odgovor (koren dane številke) bo zapisan v zgornjem desnem kotu.

   2. Za prvi par številk (ali eno številko) na levi poiščite največje celo število n, katerega kvadrat je manjši ali enak zadevnemu številu (ali eni številki). Z drugimi besedami, poiščite kvadratno število, ki je najbližje prvemu paru številk (ali eni številki) na levi strani, vendar manjše, in izvlecite kvadratni koren tega kvadratnega števila; dobite številko n. Najdeno n zapišite v zgornjem desnem kotu in kvadrat n v spodnjem desnem kotu.

      • V našem primeru bo prva številka na levi številka 7. Nato 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Od prvega para številk na levi (ali ene številke) odštejte kvadrat števila n, ki ste ga pravkar našli. Rezultat izračuna zapišite pod odštet (kvadrat števila n).

      • V našem primeru odštejte 4 od 7, da dobite 3.

   4. Povlecite drugi par številk in ga zapišite blizu vrednosti, dobljene v prejšnjem koraku. Nato podvojite število zgoraj desno in rezultat zapišite spodaj desno z dodatkom "_ × _ =".

      • V našem primeru je drugi par številk "80". Zapiši "80" za 3. Nato podvoji številko v zgornjem desnem kotu in dobi 4. Napiši "4_ × _ =" spodaj desno.

   5. Na desni strani vnesite pomišljaje.

      • V našem primeru, če namesto črtic postavimo številko 8, potem 48 x 8 = 384, kar je več kot 380. Zato je 8 preveliko število, vendar bo 7. Namesto črtic napišite 7 in dobite: 47 x 7 = 329. Zgoraj desno napišite 7 - to je druga številka v zahtevanem kvadratnem korenu 780,14.

   6. Dobljeno število odštejte od trenutne številke na levi. Rezultat iz prejšnjega koraka zapišite pod trenutno številko na levi, poiščite razliko in jo zapišite pod odšteto.

      • V našem primeru odštejte 329 od 380, kar je 51.

   7. Ponovite korak 4.Če je porušeni par številk delni del prvotnega števila, ločilo (vejico) celega in delnega dela postavite v želeni kvadratni koren od zgoraj desno. Na levi povlecite naslednji par številk navzdol. Podvojite številko zgoraj desno in zapišite rezultat spodaj desno z dodanim "_ × _ =".

      • V našem primeru bo naslednji par številk, ki jih je treba zrušiti, delni del številke 780.14, zato ločilo celega in delnega dela postavite v želeni kvadratni koren v zgornjem desnem kotu. Spustite 14 in zapišite spodaj levo. Podvojena številka zgoraj desno (27) je 54, zato spodaj desno napišite "54_ × _ =".

   8. Ponovite koraka 5 in 6. Poiščite tako največje število namesto pomišljajev na desni (namesto črtic morate zamenjati isto število), tako da je rezultat množenja manjši ali enak trenutnemu številu na levi.

      • V našem primeru je 549 x 9 = 4941, kar je manj kot trenutno število na levi (5114). Zgoraj desno napišite 9 in od trenutnega števila na levi odštejte množenje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Če morate za kvadratni koren poiskati več decimalnih mest, napišite nekaj ničel na trenutno številko na levi in ​​ponovite korake 4, 5 in 6. Ponavljajte korake, dokler ne dobite želene natančnosti (število decimalnih mest) ).

   Razumevanje procesa

   Če želite obvladati to metodo, si predstavljajte število, katerega kvadratni koren najdemo kot površino kvadrata S. V tem primeru boste iskali dolžino stranice L takega kvadrata. Izračunamo vrednost L, za katero je L² = S.

   Za vsako številko v odgovoru vnesite črko. Označimo z A prvo številko vrednosti L (zahtevani kvadratni koren). B bo druga številka, C tretja itd.

   Določite črko za vsak par prvih števk. S S a označimo prvi par števk v vrednosti S, s S b - drugi par števk itd.

   Razumeti razmerje med to metodo in dolgo delitvijo. Tako kot pri delitvi, kjer nas vsakič, ko nas zanima le ena naslednja številka dividende, pri izračunu kvadratnega korena delamo zaporedno s parom števk (da dobimo eno naslednjo številko v vrednosti kvadratnega korena).

   1. Razmislite o prvem paru števk Sa števila S (Sa = 7 v našem primeru) in poiščite njegov kvadratni koren. V tem primeru bo prva številka A želene vrednosti kvadratnega korena takšna števka, katere kvadrat je manjši ali enak S a (to pomeni, da iščemo A A tako, da je neenakost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Recimo, da želite 88962 razdeliti na 7; tukaj bo prvi korak podoben: upoštevamo prvo številko dividendne številke 88962 (8) in izberemo največje število, ki, pomnoženo s 7, daje vrednost manjšo ali enako 8. To pomeni, da iščemo številka d, za katero velja neenakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Predstavljajte si kvadrat, katerega površino morate izračunati. Iščete L, to je dolžino stranice kvadrata, katerega površina je S. A, B, C so števke v številki L. Lahko ga zapišete drugače: 10A + B = L (za dva- številsko število) ali 100A + 10B + C = L (za trimestno število) itd.

      • Naj bo (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... Ne pozabite, da je 10A + B število, kjer B pomeni enote, A pa desetice. Na primer, če je A = 1 in B = 2, potem je 10A + B enako 12. (10A + B) ² je površina celotnega kvadrata, 100A²- območje velikega notranjega kvadrata, B²- območje majhnega notranjega kvadrata, 10A × B je površina vsakega od dveh pravokotnikov. Če dodate površine opisanih oblik, boste našli površino prvotnega kvadrata.

Navodila

Če želite dvigniti številko na stopnjo 1/3, vnesite to številko, nato kliknite gumb za stopnjevanje in vnesite približno vrednost 1/3 - 0,333. Ta natančnost zadošča za večino izračunov. Vendar je natančnost izračunov zelo enostavno izboljšati - samo dodajte toliko trojk, kot jih bo ustrezalo indikatorju kalkulatorja (na primer 0,33333333333333333). Nato pritisnite gumb "=".

Če želite izračunati koren tretje moči z računalnikom, zaženite program za kalkulator Windows. Postopek za izračun korena tretje stopnje je popolnoma podoben zgoraj opisanemu. Edina razlika je v zasnovi gumba za povečanje. Na virtualni tipkovnici kalkulatorja je označeno z "x ^ y".

Koren tretje stopnje je mogoče izračunati tudi v MS Excelu. Če želite to narediti, vnesite "=" v katero koli celico in izberite ikono "vstavi" (fx). V oknu, ki se prikaže, izberite funkcijo "STOPNJA" in pritisnite gumb "V redu". V oknu, ki se prikaže, vnesite vrednost številke, za katero želite izračunati koren tretje moči. V "Degree" vnesite številko "1/3". V tej obliki pokličite številko 1/3 - kot običajno. Po tem kliknite gumb »V redu«. Koren kocke danega števila se bo pojavil v celici tabele, kjer je bil ustvarjen.

Če je treba koren tretje moči nenehno izračunati, potem nekoliko izboljšajte zgoraj opisano metodo. Kot številko, iz katere želite izvleči koren, ne podajte same številke, ampak celico tabele. Po tem v vsaki celici vnesite izvirno številko - njen koren kocke se bo pojavil v celici s formulo.

Sorodni videoposnetki

Opomba

Zaključek. V tem prispevku so bile obravnavane različne metode za izračun vrednosti korenine kocke. Izkazalo se je, da lahko vrednosti korenine kocke poiščemo z metodo ponavljanja, lahko tudi približamo koren kocke, številko dvignemo na stopnjo 1/3, poiščemo vrednosti korena korenine tretja moč z uporabo Microsoft Office Ecxel, ki določa formule v celicah.

Koristni nasvet

Korenine druge in tretje stopnje se uporabljajo zlasti pogosto in imajo zato posebna imena. Kvadratni koren: v tem primeru je eksponent običajno izpuščen, izraz "koren", ne da bi navedel eksponent, pa najpogosteje pomeni kvadratni koren. Praktični izračun korenin Algoritem za iskanje korena n -te stopnje. Kvadratne in kubične korenine običajno najdemo v vseh kalkulatorjih.

Viri:

• tretji koren
• Kako izvleči kvadratni koren v N moč v Excelu

Operacija iskanja korena tretji stopnjo običajno imenujemo ekstrakcija "kockastega" korena, vendar je sestavljena iz iskanja takega realnega števila, katerega kocka bo dala vrednost, ki je enaka korenskemu številu. Operacija ekstrahiranja aritmetičnega korena katerega koli stopnjo n je enakovredno stopnjevanju 1 / n. Obstaja več načinov za izračun korenine kocke v praksi.