Elementarne transformacije vrstic (stolpcev) matrike pomenijo naslednja dejanja:

1. Prestavljanje dveh vrstic (stolpcev).
2. Množenje vseh elementov vrstice (stolpca) z nekim številom $ a \ neq 0 $.
3. Vsota vseh elementov ene vrstice (stolpca) z ustreznimi elementi druge vrstice (stolpca), pomnožena z nekim realnim številom.

Če na vrstice ali stolpce matrike $ A $ uporabimo neko elementarno transformacijo, dobimo novo matriko $ B $. V tem primeru je $ \ rang (A) = \ rang (B) $, tj. elementarne transformacije ne spremenijo ranga matrike.

Če je $ \ rang A = \ rang B $, se imenujeta matriki $ A $ in $ B $ enakovredno... Dejstvo, da je matrika $ A $ enakovredna matriki $ B $, se zapiše takole: $ A \ sim B $.

Pogosto se uporablja naslednji zapis: $ A \ rightarrow B $, kar pomeni, da je matrika $ B $ pridobljena iz matrike $ A $ z uporabo neke elementarne transformacije.

Pri iskanju ranga z Gaussovo metodo lahko delate tako z vrsticami kot stolpci. Primerneje je delati z nizi, zato se v primerih na tej strani transformacije izvajajo na matričnih nizih.

Upoštevajte, da transpozicija ne spremeni ranga matrike, tj. $ \ rang (A) = \ rang (A ^ T) $. V nekaterih primerih je ta lastnost priročna za uporabo (glej primer # 3), saj je po potrebi enostavno narediti stolpce vrstic in obratno.

Kratek opis algoritma

Predstavimo nekaj izrazov. Ničelna črta- niz, katerega vsi elementi so enaki nič. Neničelni niz- niz, katerega vsaj en element ni nič. Vodilni element niz, ki ni nič, se imenuje njegov prvi (štetje od leve proti desni) neničelni element. Na primer, v vrstici $ (0; 0; 5; -9; 0) $ bo vodilni element tretji element (je enak 5).

Rang katere koli ničelne matrike je 0, zato bomo upoštevali matrike, ki niso nič. Končni cilj matričnih transformacij je, da postane stopničasta. Rang stopničaste matrike je enak številu vrstic, ki niso nič.

Obravnavana metoda za iskanje ranga matrike je sestavljena iz več korakov. Prvi korak uporablja prvo vrstico, drugi korak uporablja drugo itd. Ko pod vrstico, ki jo uporabljamo v trenutnem koraku, ostane samo nič vrstic ali pa vrstic sploh ni, se algoritem ustavi, saj bo nastala matrika stopničasta.

Zdaj pa se obrnimo na tiste transformacije nad nizi, ki se izvajajo v vsakem koraku algoritma. Recimo, da so pod trenutno vrstico, ki jo moramo uporabiti v tem koraku, vrstice, ki niso nič, kjer je $ k $ število vodilnega elementa trenutne vrstice, $ k _ (\ min) $ pa je najmanjši od številke vodilnih elementov tistih vrstic, ki ležijo pod trenutno vrstico ...

• Če $ k \ lt (k _ (\ min)) $, potem pojdite na naslednji korak algoritma, tj. da uporabite naslednjo vrstico.
• Če je $ k = k _ (\ min) $, potem izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, katerih vrtilna številka je $ k _ (\ min) $. Če se prikaže nič vrstic, jih prenesemo na dno matrike. Nato preidemo na naslednji korak algoritma.
• Če $ k \ gt (k _ (\ min)) $, potem zamenjamo trenutno vrstico z eno od tistih spodnjih vrstic, v kateri je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. Po tem izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, za katere je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. Če takšnih vrstic ni, pojdite na naslednji korak algoritma. Če se prikaže nič vrstic, jih prenesemo na dno matrike.

Kako natančno so vrtilni elementi ničelni, bomo razmislili v praksi. Črke $ r $ (iz besede "vrstica") bodo označevale vrstice: $ r_1 $ je prva vrstica, $ r_2 $ je druga vrstica in tako naprej. Črke $ c $ (iz besede "stolpec") bodo označevale stolpce: $ c_1 $ - prvi stolpec, $ c_2 $ - drugi stolpec itd.

V primerih na tej strani bom uporabil $ k $ za označevanje vrtilne številke trenutne vrstice, $ k _ (\ min) $ pa bo uporabljen za označevanje najmanjšega vrtilnega števila vrstic pod trenutno vrstico.

Primer #1

Poiščite rang matrike $ A = \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (matrika) \ desno) $.

Prvi korak

V prvem koraku delamo s prvo vrstico. V prvi vrstici dane matrike je vodilni element prvi element, t.j. vrtilna številka prve vrstice $ k = 1 $. Poglejmo vrstice pod prvo vrstico. Vodilni elementi v teh vrsticah so oštevilčeni z 4, 1, 1 in 1. Najmanjše od teh številk je $ k _ (\ min) = 1 $. Ker je $ k = k _ (\ min) $, izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, za katere je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. Z drugimi besedami, morate izločiti vodilne elemente tretje, četrte in pete vrstice.

Načeloma lahko nadaljujete z nuliranjem zgornjih elementov, vendar je za tiste pretvorbe, ki se izvedejo na nič, priročno, če je vodilni element uporabljenega niza ena. To ni potrebno, vendar so izračuni zelo preprosti. Kot vodilni element prve vrstice imamo številko -2. Obstaja več možnosti za zamenjavo "neprimerne" številke z eno (ali številko (-1)). Prvo vrstico lahko na primer pomnožite z 2 in nato od prve vrstice odštejete peto. Lahko pa preprosto zamenjate prvi in ​​tretji stolpec. Po prerazporeditvi stolpcev #1 in #3 dobimo novo matriko, enakovredno dani matriki $ A $:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (c_1 \ levodesnopuščica (c_3)) (\ sim) \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) \ krepko (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (matrika) \ desno) $$

Vodilni element prve vrstice je ena. Vrtilna številka prve vrstice se ni spremenila: $ k = 1 $. Številke vodilnih elementov vrstic pod prvimi so naslednje: 4, 1, 2, 1. Najmanjše število je $ k _ (\ min) = 1 $. Ker je $ k = k _ (\ min) $, izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, za katere je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. To pomeni, da morate izničiti vodilne elemente tretje in pete vrstice. Ti elementi so označeni z modro in zeleno.

Da bi izničili zahtevane elemente, bomo izvedli operacije z vrsticami matrike. Te operacije bom napisal ločeno:

$$ \ begin (poravnano) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ krepko (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) ( \ krepko (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ konec (poravnano) $$

Zapis $ r_3 + 5r_1 $ pomeni, da so ustrezni elementi prve vrstice, pomnoženi s pet, dodani elementom tretje vrstice. Rezultat je zapisan namesto tretje vrstice v novi matriki. Če se pojavijo težave pri ustnem izvajanju takšne operacije, se to dejanje lahko izvede ločeno:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

Podobno je dejanje $ r_5-r_1 $. Kot rezultat transformacije nizov dobimo naslednjo matriko:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ fantom (0) \\ r_5-r_1 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (matrika) \ desno) $$

Na tej točki lahko štejemo, da je prvi korak končan. Ker so pod prvo vrstico vrstice, ki niso nič, morate nadaljevati z delom. Edino opozorilo: v tretji vrstici nastale matrike so vsi elementi v celoti razdeljeni z 2. Za zmanjšanje številk in poenostavitev naših izračunov pomnožimo elemente tretje vrstice z $ \ frac (1) (2) $ , nato pa nadaljujte z drugim korakom:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (matrika) \ sim \ left (\ begin (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ konec (matrika) \ desno) $$

Drugi korak

V drugem koraku delamo z drugo vrstico. V drugi vrstici matrike je vodilni element četrti, t.j. vrtilna številka druge vrstice $ k = 4 $. Poglejmo vrstice pod drugo vrstico. Vodilni elementi v teh vrsticah so oštevilčeni z 2, 2 in 2. Najmanjše od teh številk je $ k _ (\ min) = 2 $. Ker $ k \ gt (k _ (\ min)) $, morate trenutno drugo vrstico zamenjati z eno od tistih vrstic, katerih vrtilna številka je $ k _ (\ min) $. Z drugimi besedami, drugo vrstico morate spremeniti s tretjo, četrto ali peto. Izbral bom peto vrstico (s tem se bomo izognili pojavu ulomkov), t.j. zamenjaj peto in drugo vrstico:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (r_2 \ levodesnopuščica (r_5)) (\ sim) \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ krepko (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (matrika) \ desno) $$

Poglejmo si še enkrat drugo vrstico. Zdaj je vodilni element drugi element (označen je z rdečo), t.j. $ k = 2 $. Najmanjše od vrtilnih številk spodnjih vrstic (to je številk 2, 2 in 4) bo $ k _ (\ min) = 2 $. Ker je $ k = k _ (\ min) $, izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, za katere je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. To pomeni, da morate izničiti vodilne elemente tretje in četrte vrstice. Ti elementi so označeni z modro in zeleno.

Upoštevajte, da je bila v prejšnjem koraku 1 s pomočjo permutacije stolpcev postavljena kot vrtilna točka trenutne vrstice. To je bilo storjeno, da bi se izognili delu z ulomki. Tudi tukaj lahko enega postavite na mesto vrtišča druge vrstice: na primer tako, da zamenjate drugi in četrti stolpec. Vendar tega ne bomo storili, saj ulomki tako ali tako ne bodo nastali. Dejanja z nizi bodo taka:

$$ \ begin (poravnano) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ krepko (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ krepko (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ konec (poravnano) $$

Z izvajanjem navedenih operacij pridemo do naslednje matrike:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ fantom (0) \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (matrika ) \ desno) $$

Drugi korak je končan. Ker so pod drugo vrstico vrstice, ki niso nič, nadaljujemo s tretjim korakom.

Tretji korak

V tretjem koraku delamo s tretjo vrstico. V tretji vrstici matrike je vodilni element četrti, t.j. vrtilna številka tretje vrstice $ k = 4 $. Poglejmo vrstice pod tretjo vrstico. Vodilna elementa v teh vrsticah sta oštevilčena s 4 in 4, od katerih je najmanjši $ k _ (\ min) = 4 $. Ker je $ k = k _ (\ min) $, izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, za katere je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. To pomeni, da morate izničiti vodilne elemente četrte in pete vrstice. Preobrazbe, ki se izvajajo v ta namen, so popolnoma podobne tistim, ki so bile izvedene prej:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matrika) \ desno) $$

Pod tretjo vrstico je samo nič vrstic. To pomeni, da je pretvorba končana. Matriko smo spravili v stopničasto obliko. Ker reducirana matrika vsebuje tri vrstice, ki niso nič, je njen rang 3. Posledično je tudi rang prvotne matrike tri, tj. $ \ rang A = 3 $. Celotna rešitev brez pojasnila je:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (c_1 \ levodesnopuščica (c_3)) (\ sim) \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ fantom (0) \\ r_5-r_1 \ konec (matrika) \ sim $$ $$ \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (matrika) \ desno) \ begin (matrika) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (r_2 \ puščica levo desno (r_5)) (\ sim ) \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (matrika) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ \ fantom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matrika) \ desno) $$

Odgovori: $ \ rang A = 3 $.

Primer št. 2

Poiščite rang matrike $ A = \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ konec (matrika) \ desno) $.

Ta matrika ni nič, kar pomeni, da je njen rang večji od nič. Pojdimo na prvi korak algoritma.

Prvi korak

V prvem koraku delamo s prvo vrstico. V prvi vrstici dane matrike je vodilni element prvi element, t.j. vrtilna številka prve vrstice $ k = 1 $. Poglejmo vrstice pod prvo vrstico. Vodilni elementi na teh vrsticah so oštevilčeni z 1, t.j. najmanjše vrtilno število spodnjih črt je $ k _ (\ min) = 1 $. Ker je $ k = k _ (\ min) $, je treba izničiti vrtilne elemente tistih osnovnih vrstic, katerih vrtilna številka je $ k _ (\ min) $. Z drugimi besedami, morate izločiti vodilne elemente druge, tretje in četrte vrstice.

Za udobje izračunov bomo naredili tako, da bo vodilni element prve vrstice ena. V prejšnjem primeru smo za to zamenjali stolpce, vendar to dejanje ne bo delovalo s to matriko - v tej matriki ni elementov, enakih eni. Izvedemo eno pomožno dejanje: $ r_1-5r_2 $. Potem bo vrtilna točka prve vrstice 1.

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) r_1-5r_2 \\ \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ konec (matrika) \ desno) $$

Vodilni element prve vrstice je ena. Izničimo vodilne elemente spodnjih vrstic:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ konec (matrika) \ desno) $$

Prvi korak je končan. Ker so pod prvo vrstico vrstice, ki niso nič, morate nadaljevati z delom.

Drugi korak

V drugem koraku delamo z drugo vrstico. V drugi vrstici matrike je vodilni element drugi, t.j. vrtilna številka druge vrstice $ k = 2 $. Vodilni elementi v spodnjih vrsticah imajo enako število 2, torej $ k _ (\ min) = 2 $. Ker je $ k = k _ (\ min) $, izničimo vrtilne elemente tistih spodnjih vrstic, za katere je vrtilna številka $ k _ (\ min) $. To pomeni, da morate izničiti vodilne elemente tretje in četrte vrstice.

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ konec (matrika) \ desno) $$

Pojavila se je ničelna vrstica. Spustimo ga na dno matrike:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (r_3 \ levo desnopuščica (r_4)) (\ sim) \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ konec (matrika) \ desno) $$

Drugi korak je končan. Upoštevajte, da imamo že stopničasto matriko. Vendar pa lahko formalno zaključimo naš algoritem. Ker so pod drugo vrstico vrstice, ki niso nič, bi morali iti na tretji korak in delati s tretjo vrstico, vendar pod tretjo vrstico ni ničelnih vrstic. Zato je pretvorba končana.

Mimogrede, nastala matrica je trapezna. Trapezna matrica je poseben primer stopničaste matrike.

Ker ta matrika vsebuje tri vrstice, ki niso nič, je njen rang 3. Posledično je rang prvotne matrike tudi tri, tj. $ \ rang (A) = 3 $. Celotna rešitev brez pojasnila je:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) r_1-5r_2 \\ \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ konec (matrika) \ sim $$ $$ \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (r_3 \ puščica levo desno (r_4)) ( \ sim ) \ levo (\ začetek (matrika) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ konec (matrika) \ desno) $$

Odgovori: $ \ rang A = 3 $.

Primer št. 3

Poiščite rang matrike $ A = \ levo (\ začetek (matrika) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ konec (matrika) \ desno) $.

Včasih je priročno transponirati matriko med postopkom rešitve. Ker je rang transponirane matrike enak rangu originalne matrike, je takšna operacija povsem dopustna. Ta primer bo obravnaval ravno tak primer. Med transformacijami se bosta pojavila dva enaka niza $ (0; \; 1; \; - 2) $ (prvi in ​​četrti). Načeloma lahko izvedete dejanje $ r_4-r_1 $, potem bo četrta vrstica ničelna, vendar se bo s tem rešitev podaljšala le za en zapis, zato ne bomo izvajali ničelne vrednosti četrte vrstice.

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ phantom (0) \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ konec (matrika) \ desno) \ sim $$ $$ \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (r_1 \ levodesnopuščica (r_2)) (\ sim) \ levo (\ začetek ( niz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ r_3 + 2r_1 \ konec (matrika) \ sim $$ $$ \ levo (\ začetek (matrika) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ konec (matrika) \ desno) \ začetek (matrika) (l) \ fantom (0) \\ \ fantom (0) \\ r_3-3r_2 \ konec (matrika) \ sim \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ konec (matrika) \ desno) $$

Rang transformirane matrike je 2, zato je rang prvotne matrike $ \ rang (A) = 2 $. Načeloma je bilo mogoče najti rang brez transponiranja matrike: zamenjati prvo vrstico z drugo, tretjo ali peto in nadaljevati običajne transformacije z vrsticami. Metoda reduciranja matrike v stopničasto obliko omogoča variacije v procesu reševanja.

Odgovori: $ \ rang A = 2 $.

Primer št. 4

Poiščite rang matrike $ A = \ levo (\ začetek (matrika) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ konec (matrika) \ desno) $.

Ta matrika ni nič, tj. njen rang je večji od nič. Pojdimo na prvi korak algoritma.

Prvi korak

V prvem koraku delamo s prvo vrstico. V prvi vrstici dane matrike je vodilni element drugi, t.j. vrtilna številka prve vrstice $ k = 2 $. Razmislite o vrsticah pod prvo vrstico. Vodilni elementi v teh vrsticah so oštevilčeni s 3, t.j. najmanjše vrtilno število spodnjih črt je $ k _ (\ min) = 3 $. Ker $ k \ lt (k _ (\ min)) $, nadaljujemo z naslednjim korakom algoritma.

Drugi korak

V drugem koraku delamo z drugo vrstico. V drugi vrstici je vodilni element tretji, t.j. vrtilna številka druge vrstice $ k = 3 $. Pod drugo vrstico je le ena tretja vrstica, katere vrtilno število je 3, torej $ k _ (\ min) = 3 $. Ker $ k = k _ (\ min) $, izničimo vodilni element tretje vrstice:

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (matrika) \ desno) \ begin (matrika) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-2r_2 \ end (matrika) \ sim \ left (\ begin (matrika) ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ end (matrika) \ desno) $$

Prejeto stopničasto matriko. Rang transformirane matrike in s tem rang prvotne matrike je 3.

Odgovori: $ \ rang A = 3 $.

Primer št. 5

Poiščite rang matrike $ A = \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ Konec (matrika) \ desno) $.

Včasih je mogoče zmanjšati matriko na stopničasto matriko z uporabo samo ene permutacije vrstic ali stolpcev. To se seveda zgodi izjemno redko, vendar lahko uspešna preureditev bistveno poenostavi rešitev.

$$ \ levo (\ začetek (matrika) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ konec (matrika ) \ desno) \ prekoračitev (r_1 \ levodesnopuščica (r_3)) (\ sim) \ levo (\ začetek (matrika) (cccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ konec (matrika) \ desno) \ prekoračitev (c_1 \ puščica levo desno (c_4)) (\ sim) \ levo (\ začetek (matrika) (cccccc) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (matrika) \ desno) $$

Matrica zmanjšana na stopničasto, $ \ rang (A) = 3 $.

Odgovori: $ \ rang A = 3 $.

Ta članek bo obravnaval koncept, kot je rang matrike, in potrebne dodatne koncepte. Podali bomo primere in dokaze za iskanje ranga matrike, povedali pa vam bomo tudi, kaj je matrični minor in zakaj je tako pomemben.

Manjša matrica

Če želite razumeti, kakšen je rang matrike, morate razumeti takšen koncept, kot je minor matrike.

Opredelitev 1

Manjšik- matrika reda je determinanta kvadratne matrike reda k × k, ki jo sestavljajo elementi matrike A, ki se nahajajo v vnaprej izbranih k-vrsticah in k-stolpcih, pri čemer ohranja položaj elementov matrike A.

Preprosto povedano, če v matriki A izbrišemo (pk) vrstice in (nk) stolpce in iz tistih elementov, ki ostanejo, sestavimo matriko, pri čemer ohranimo razporeditev elementov matrike A, potem je determinanta nastale matrike minor reda k matrike A.

Iz primera sledi, da so minori prvega reda matrike A sami elementi matrike.

Obstaja več primerov mladoletnikov 2. reda. Izberemo dve vrstici in dva stolpca. Na primer, 1. in 2. vrstica, 3. in 4. stolpec.

S to izbiro elementov bo minor drugega reda - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Drugi minor drugega reda matrike A je 0 0 1 1 = 0

Podali bomo ilustracije konstrukcije minore drugega reda matrike A:

Minor 3. reda dobimo tako, da izbrišemo tretji stolpec matrike A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustracija, kako dobimo minor 3. reda matrike A:

Za dano matriko ni manjših, višjih od 3. reda, ker

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Koliko minorov reda k je za matriko A reda p × n?

Število mladoletnikov se izračuna po naslednji formuli:

C p k × C n k, kjer je e e C p k = p! k! (p - k)! in C n k = n! k! (n - k)! - število kombinacij od p do k, od n do k.

Ko smo se odločili, kakšni so minori matrike A, lahko nadaljujemo z določanjem ranga matrike A.

Uvrstitev matrike: metode iskanja

Matrični rang - najvišji vrstni red matrike, razen nič.

Oznaka 1

rang (A), Rg (A), Rang (A).

Iz definicije ranga matrike in minora matrike postane jasno, da je rang ničelne matrike nič, rang matrike, ki ni nič, pa ni nič.

Iskanje ranga matrike po definiciji

Naštevanje mladoletnikov - metoda, ki temelji na določanju ranga matrike.

Algoritem dejanj s štetjem mladoletnikov :

Treba je najti rang matrike A reda str× n... Če obstaja vsaj en element, ki ni nič, je rang matrike vsaj enak eni ( od je minor 1. reda, ki ni enak nič).

Sledi naštevanje mladoletnikov drugega reda. Če so vsi minorji 2. reda enaki nič, je rang enak ena. Če obstaja vsaj en minor 2. reda, ki ni nič, je treba iti na naštevanje minorov 3. reda in bo rang matrike v tem primeru enak vsaj dvema.

Na podoben način bomo ravnali z rangom 3. reda: če so vsi minori matrike enaki nič, bo rang enak dvema. Če obstaja vsaj en minor reda 3, ki ni nič, potem je rang matrike vsaj tri. In tako naprej, po analogiji.

Primer 2

Poiščite rang matrike:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Ker matrica ni nič, je njen rang vsaj ena.

Minor 2. reda - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 ni nič. Iz tega sledi, da je rang matrike A vsaj dva.

Iteriramo po minorih 3. reda: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 kosov.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minori 3. reda so enaki nič, zato je rang matrike enak dvema.

Odgovori : Uvrstitev (A) = 2.

Iskanje ranga matrike po metodi obrobljanja minorov

Metoda obmejnih mladoletnikov - metoda, ki vam omogoča, da dobite rezultat z manj računskega dela.

Soočanje z mladoletnimi - minor M ok (k + 1) -ti red matrike A, ki meji na minor M reda k matrike A, če matrika, ki ustreza minoru M ok "vsebuje" matriko, ki ustreza mladoletni M.

Preprosto povedano, matriko, ki ustreza obrobljenemu minoru M, dobimo iz matrike, ki ustreza obrobnemu minoru M o k, tako da izbrišemo elemente ene vrstice in enega stolpca.

Primer 3

Poiščite rang matrike:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Za iskanje ranga vzamemo minor 2. reda М = 2 - 1 4 1

Zapišemo vse mejne mladoletnike:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Za utemeljitev metode obrobljanja mladoletnikov predstavljamo izrek, katerega formulacija ne zahteva dokazne osnove.

Izrek 1

Če so vsi minori, ki mejijo na k-ti minor matrike A reda p z n, enaki nič, potem so vsi minori reda (k + 1) matrike A enaki nič.

Algoritem dejanj :

Da bi našli rang matrike, ni treba iterirati po vseh minorih, dovolj je, da pogledamo mejne.

Če so obrobni minori enaki nič, je rang matrike enak nič. Če obstaja vsaj en minor, ki ni enak nič, potem upoštevamo mejne minore.

Če so vsi enaki nič, je rang (A) dva. Če obstaja vsaj en mejni minor, ki ni nič, potem nadaljujemo z obravnavanjem njegovih obrobnih minorjev. In tako naprej, na podoben način.

Primer 4

Poišči rang matrike po metodi mejnih minorov

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Kako rešiti?

Ker element a 11 matrike A ni enak nič, vzamemo minor 1. reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Našli smo obrobni minor 2. reda, ki ni enak nič 2 0 4 1.

Ponovimo čez obrobne minore - (obstaja (4 - 2) × (5 - 2) = 6 kosov).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Odgovori : Uvrstitev (A) = 2.

Iskanje ranga matrike po Gaussovi metodi (z uporabo osnovnih transformacij)

Spomnimo se, kaj so osnovne transformacije.

Elementarne transformacije:

• s prerazporeditvijo vrstic (stolpcev) matrike;
• z množenjem vseh elementov katere koli vrstice (stolpca) matrike s poljubnim številom k, ki ni nič;

tako, da elementom katere koli vrstice (stolpca) dodamo elemente, ki ustrezajo drugi vrstici (stolpcu) matrike, ki se pomnožijo s poljubnim številom k.

Definicija 5

Iskanje ranga matrike po Gaussovi metodi - metoda, ki temelji na teoriji ekvivalence matrik: če je matrika B pridobljena iz matrike A z uporabo končnega števila elementarnih transformacij, potem je rang (A) = rang (B).

Veljavnost te izjave izhaja iz definicije matrike:

• v primeru permutacije vrstic ali stolpcev matrike njena determinanta spremeni predznak. Če je enak nič, ostane enak nič pri prerazporeditvi vrstic ali stolpcev;
• v primeru množenja vseh elementov katere koli vrstice (stolpca) matrike s poljubnim številom k, ki ni enako nič, je determinanta nastale matrike enaka determinanti prvotne matrike, ki se pomnoži po k;

v primeru dodajanja elementom določene vrstice ali stolpca matrike ustreznih elementov druge vrstice ali stolpca, ki jih pomnožimo s številom k, ne spremeni njegove determinante.

Bistvo metode elementarnih transformacij : zmanjšaj matriko, katere rang je treba najti, na trapezoidno z uporabo elementarnih transformacij.

Za kaj?

Uvrstitev tovrstnih matrik je precej enostavno najti. Enako je številu vrstic, ki vsebujejo vsaj en element, ki ni nič. In ker se rang med osnovnimi transformacijami ne spremeni, bo to rang matrike.

Ponazorimo ta postopek:

• za pravokotne matrike A reda p do n, katerih število vrstic je večje od števila stolpcev:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• za pravokotne matrike A reda p do n, katerih število vrstic je manjše od števila stolpcev:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• za kvadratne matrike A reda n po n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 k 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Primer 5

Poiščite rang matrike A z uporabo osnovnih transformacij:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Kako rešiti?

Ker element a 11 ni nič, je treba elemente prve vrstice matrike A pomnožiti z 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Elementom 2. vrstice dodajte ustrezne elemente 1. vrstice, ki jih pomnožite z (-3). Elementom 3. vrstice dodajte elemente 1. vrstice, ki jih pomnožite z (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) ni nič, zato elemente 2. vrstice matrike A pomnožimo z A (2) z a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Elementom 3. vrstice nastale matrike dodamo ustrezne elemente 2. vrstice, ki jih pomnožimo s 3 2;
• na elemente 4. vrstice - elemente 2. vrstice, ki se pomnožijo z 9 2;
• na elemente 5. vrstice - elemente 2. vrstice, ki se pomnožijo s 3 2.

Vsi elementi vrstice so nič. Tako smo s pomočjo elementarnih transformacij matriko pripeljali v trapezoidno obliko, od koder je razvidno, da je R a n k (A (4)) = 2. Iz tega sledi, da je rang prvotne matrike enak dvema.

Komentar

Če izvajate osnovne transformacije, potem približne vrednosti niso dovoljene!

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Opredelitev. Po rangu matrice je največje število linearno neodvisnih vrstic, ki se štejejo za vektorje.

Izrek 1 o rangu matrike. Po rangu matrice je največji vrstni red neničelnega minora matrike.

V lekciji o determinantah smo že analizirali pojem minor, zdaj pa ga bomo posplošili. Vzemimo v matriko nekaj vrstic in nekaj stolpcev in ta "nekaj" mora biti manjše od števila vrstic in stolpcev matrike, za vrstice in stolpce pa mora biti ta "nekaj" enako število. Nato na presečišču nekaterih vrstic in koliko stolpcev bo matrika nižjega reda od naše prvotne matrike. Določnik te matrike bo minor k-toga reda, če omenjeno »nekaj« (število vrstic in stolpcev) označimo s k.

Opredelitev. Manjši ( r+1)-ti vrstni red, znotraj katerega leži izbrani mladoletnik r--ti vrstni red se imenuje mejni za dano mladoletnico.

Dve najpogosteje uporabljeni metodi sta iskanje ranga matrike... to način meje mladoletnikov in metoda elementarnih transformacij(po Gaussovi metodi).

Naslednji izrek se uporablja za metodo mejnih manjših.

Izrek 2 o rangu matrike.Če je iz elementov matrike mogoče sestaviti minor r th reda, ki ni enak nič, potem je rang matrike r.

Pri metodi elementarnih transformacij se uporablja naslednja lastnost:

Če z osnovnimi transformacijami dobimo trapezoidno matriko, ki je enakovredna prvotni, potem rang te matrike je število vrstic v njem, razen vrstic, ki so v celoti sestavljene iz nič.

Iskanje ranga matrike po metodi obrobljanja minorov

Mejni minor je minor višjega reda glede na danega, če ta minor višjega reda vsebuje ta minor.

Na primer glede na matriko

Vzemimo mladoletnika

meji bodo naslednji mladoletniki:

Algoritem za iskanje ranga matrike Naslednji.

1. Poišči neničelne minore drugega reda. Če so vsi minori drugega reda enaki nič, bo rang matrike enak eni ( r =1 ).

2. Če obstaja vsaj en minor drugega reda, ki ni enak nič, potem sestavimo mejne minore tretjega reda. Če so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang matrike enak dvema ( r =2 ).

3. Če vsaj eden od mejnih minorov tretjega reda ni enak nič, potem sestavimo mejne minore. Če so vsi mejni minori četrtega reda enaki nič, je rang matrike enak tri ( r =2 ).

4. Nadaljujte, dokler velikost matrice dopušča.

Primer 1. Poiščite rang matrike

.

Rešitev. Minor drugega reda .

Uokvirimo ga. Na meji bodo štirje mladoletniki:

,

,

Tako so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, zato je rang te matrike enak dvema ( r =2 ).

Primer 2. Poiščite rang matrike

Rešitev. Rang te matrike je 1, saj so vsi minori drugega reda te matrike enaki nič (v tem, tako kot v primerih mejnih mladoletnikov v naslednjih dveh primerih, so dragi študenti povabljeni, da sami preverijo, po možnosti z uporabo pravil za izračun determinant) in med minorji prvega reda , torej med elementi matrike, ni enakih nič.

Primer 3. Poiščite rang matrike

Rešitev. Minor drugega reda te matrike, v vseh minorih tretjega reda te matrike je enak nič. Zato je rang te matrike dva.

Primer 4. Poiščite rang matrike

Rešitev. Rang te matrike je 3, saj je edini minor tretjega reda te matrike 3.

Iskanje ranga matrike z metodo elementarnih transformacij (Gaussova metoda)

Že v primeru 1 je razvidno, da problem določanja ranga matrike po metodi obrobljanja minorov zahteva izračun velikega števila determinant. Vendar pa obstaja način, kako zmanjšati količino izračunov na minimum. Ta metoda temelji na uporabi elementarnih matričnih transformacij in se imenuje tudi Gaussova metoda.

Elementarne matrične transformacije razumemo kot naslednje operacije:

1) množenje katere koli vrstice ali stolpca matrike s številom, ki ni nič;

2) dodajanje elementom katere koli vrstice ali stolpca matrike ustreznih elementov druge vrstice ali stolpca, pomnoženih z istim številom;

3) zamenjava dveh vrstic ali stolpcev matrike;

4) odstranitev "nič" vrstic, to je tistih, katerih vsi elementi so enaki nič;

5) izbris vseh proporcionalnih vrstic razen ene.

Izrek. Elementarna transformacija ne spremeni ranga matrike. Z drugimi besedami, če uporabimo elementarne transformacije iz matrike Ašel v matrico B, potem .

Vrstice (stolpci). Več vrstic (stolpcev) se imenujejo linearno neodvisne, če nobene od njih ni mogoče linearno izraziti z drugimi. Rang sistema vrstic je vedno enak rangu sistema stolpcev in to število se imenuje rang matrike.

Uvrstitev matrike je najvišji od vrstnih redov vseh možnih minorov te matrike, ki niso nič. Rang ničelne matrike katere koli velikosti je nič. Če so vsi minori drugega reda nič, potem je rang ena in tako naprej.

Rang matrike je dimenzija slike dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ operatorname (im) (A))) linearni operater, ki mu ustreza matrika.

Običajno rang matrike A (\ slog prikaza A) označeno zvoni ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rang) A), r ⁡ A (\ slog prikaza \ ime operaterja (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rg) A) oz rang ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rank) A)... Slednja različica je značilna za angleščino, prvi dve pa za nemščino, francoščino in številne druge jezike.

Kolegij YouTube

• 1 / 5

  Pustiti je pravokotna matrika.

  Nato po definiciji rang matrike A (\ slog prikaza A) je:

  Izrek (o pravilnosti definicije rangov). Naj vse manjše matrike A m × n (\ slog prikaza A_ (m \ krat n)) naročilo k (\ slog prikaza k) enako nič ( M k = 0 (\ slog prikaza M_ (k) = 0)). Potem ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0)če obstajajo.

  Povezane definicije

  Lastnosti

  • Izrek (o osnovnem molu): Naj bo r = rang ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ ime operaterja (razpon) A, M_ (r))- osnovni minor matrike A (\ slog prikaza A), potem:
  • Posledice:
  • Izrek (o invariantnosti ranga pri elementarnih transformacijah): Uvedemo zapis za matrike, pridobljene druga iz druge z elementarnimi transformacijami. Potem drži naslednja izjava: Če A ∼ B (\ displaystyle A \ sim B), potem so njihovi rangi enaki.
  • Kronecker-Capellijev izrek: Sistem linearnih algebraičnih enačb je konsistenten, če in samo če je rang njegove glavne matrike enak rangu njegove razširjene matrike. Še posebej:
    • Število glavnih spremenljivk sistema je enako rangu sistema.
    • Skupni sistem bo določen (njegova rešitev je edinstvena), če je rang sistema enak številu vseh njegovih spremenljivk.
  • Sylvestrova neenakost:Če A in B matrike velikosti m x n in n x k, potem
  rang ⁡ A B ≥ rang ⁡ A + rang ⁡ B - n (\ displaystyle \ operatorname (razpon) AB \ geq \ operatorname (range) A + \ operatorname (range) B-n)

  To je poseben primer naslednje neenakosti.

  • Frobeniusova neenakost:Če so AB, BC, ABC dobro definirani, potem
  zvoni ⁡ A B C ≥ zvoni ⁡ A B + zvoni ⁡ B C - zvoni ⁡ B (\ displaystyle \ operatorname (rang) ABC \ geq \ operatorname (range) AB + \ operatorname (range) BC- \ operatorname (range) B)

  Linearna transformacija in rang matrike

  Naj bo A (\ slog prikaza A)- matrika velikosti m × n (\ slog prikaza m \ krat n) nad poljem C (\ slog prikaza C)(oz R (\ slog prikaza R)). Naj bo T (\ displaystyle T)- ustrezna linearna transformacija A (\ slog prikaza A) na standardni osnovi; to pomeni to T (x) = A x (\ slog prikaza T (x) = Ax). Matrični rang A (\ slog prikaza A) je dimenzija obsega vrednosti transformacije T (\ displaystyle T).

  Metode

  Obstaja več metod za iskanje ranga matrike:

  • Osnovna metoda preoblikovanja
  Rang matrike je enak številu neničelnih vrstic v matriki, potem ko jo reduciramo na stopničasto obliko z uporabo elementarnih transformacij nad vrsticami matrike.
  • Metoda obmejnih mladoletnikov
  Pustite v matrici A (\ slog prikaza A) Najden manjši minor k (\ slog prikaza k)-to naročilo M (\ slog prikaza M)... Upoštevajte vse mladoletnike (k + 1) (\ slog prikaza (k + 1))-. red, vključno z (mejnimi) manjšimi M (\ slog prikaza M); če so vsi enaki nič, potem je rang matrike enak k (\ slog prikaza k)... V nasprotnem primeru je med obmejnimi mladoletniki nenič in se celoten postopek ponovi.

  Vsaka matrica A naročilo m × n lahko gledate kot komplet m vrstični vektorji oz n vektorji stolpcev.

  Po rangu matrice A naročilo m × n je največje število linearno neodvisnih vektorjev stolpcev ali vektorjev vrstic.

  Če je rang matrike A je enako r, potem je zapisano:

  Iskanje ranga matrike

  Naj bo A poljubna matrika vrstnega reda m× n... Za iskanje ranga matrike A uporabite metodo Gaussove eliminacije.

  Upoštevajte, da če je na neki stopnji izključitve vrtilna točka enaka nič, potem to vrstico zamenjamo z vrstico, v kateri je vrtišče nenič. Če se izkaže, da takšne vrstice ni, pojdite na naslednji stolpec itd.

  Po neposredni potezi eliminacije Gaussa dobimo matriko, katere elementi pod glavno diagonalo so enaki nič. Poleg tega lahko obstajajo vektorji brez črt.

  Število vektorjev vrstic, ki niso nič, bo rang matrike A.

  Poglejmo vse to s preprostimi primeri.

  Primer 1.

  Če prvo vrstico pomnožimo s 4 in dodamo drugi vrstici ter prvo vrstico pomnožimo z 2 in dodamo tretji vrstici, imamo:

  

  Druga vrstica se pomnoži z -1 in doda tretji vrstici:

  

  Dobili smo dve vrstici, ki ni nič, zato je rang matrike 2.

  Primer 2.

  Poiščite rang naslednje matrike:

  

  Prvo vrstico pomnožite z -2 in dodajte drugi vrstici. Podobno izničimo elemente tretje in četrte vrstice prvega stolpca:

  

  Elemente tretje in četrte vrstice drugega stolpca naničite tako, da v drugo vrstico dodate ustrezne vrstice, pomnožene z -1.