Elementi kombinatorne analize

Povezave. Prazno A a 1 , a 2, a 3 …a n A m (m od n povezave od n elementov po m

Permutacije. Prazno A- niz, sestavljen iz končnega števila elementov a 1 , a 2, a 3 …a n... Od različnih elementov kompleta A lahko se oblikujejo skupine. Če vsaka skupina vsebuje enako število elementov m (m od n), potem pravijo, da tvorijo povezave od n elementov po m v vseh. Obstajajo tri vrste povezav: postavitev, kombinacije in permutacije.

Namestitev. Povezave, od katerih vsaka vsebuje m različni elementi ( m < n) odvzet od n elementov sklopa A, ki se med seboj razlikujejo po sestavi elementov ali njihovem vrstnem redu se imenujejo umestitve od n elementov po m v vseh. Število takšnih umestitev je označeno s simbolom

Izrek 1. Število vseh različnih permutacij n elementov je

N (n-1) (n-2) (n-3)… .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3… (n-1) n = n!

2. izrek. Število vseh umestitev od n elementov po m izračunano po formuli:

Kombinacije. Povezave od katerih vsak vsebuje m različni elementi ( m < n) odvzet od n elementov sklopa A se med seboj razlikujejo vsaj eden od elementov (samo sestava). kombinacije od n elementov po m v vseh. Število takih kombinacij je označeno s simbolom

Izrek 3. Število vseh kombinacij n elementov po m je določeno s formulo:

Včasih se za beleženje števila umestitev uporablja naslednja formula:

Bistvo in pogoji za uporabo teorije verjetnosti.

Teorija verjetnosti

Slučajni pojav -

samo

T.v. služi za utemeljitev matematične in uporabne statistike, ki se uporablja pri načrtovanju organizacije proizvodnje itd.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti.

Teorija verjetnosti obstaja matematična znanost, ki preučuje vzorce v naključnih pojavih.

Slučajni pojav - gre za takšen pojav, da se ob večkratnem ponavljanju istega poskusa vsakič odvija nekoliko drugače.

Metode teorije verjetnosti so naravno prilagojene samo za preučevanje množičnih naključnih pojavov; ne omogočajo napovedovanja izida posameznega naključnega pojava, omogočajo pa napovedovanje povprečnega skupnega rezultata množice homogenih naključnih dogodkov.

V teoriji verjetnosti test običajno se imenuje poskus, ki ga (vsaj teoretično) lahko izvedemo pod enakimi pogoji neomejeno število krat.

Rezultat ali izid vsakega testa se kliče dogodek. Dogodek je osnovni koncept teorije verjetnosti. Dogodke bomo označili s črkami A, B, C.

Vrste dogodkov:

zanesljiv dogodek- dogodek, ki se bo zagotovo zgodil kot rezultat izkušenj.

nemogoč dogodek- dogodek, ki se ne more zgoditi kot posledica izkušenj.

naključni dogodek- dogodek, ki se lahko zgodi ali pa tudi ne v določeni izkušnji. Enakost dogodkov

Verjetnost razvoj dogodkov A(označi P (A) A(označi m (A)), N tiste. P (A)= m (A) / N.

Verjetnostni prostor.

Verjetnostni prostor Je matematični model naključnega poskusa (eksperimenta) v aksiomatiki A.N. Kolmogorov. Verjetnostni prostor vsebuje vse informacije o lastnostih naključnega eksperimenta, ki so potrebne za njegovo matematično analizo s pomočjo teorije verjetnosti. Vsak problem teorije verjetnosti se rešuje v okviru določenega verjetnostnega prostora, ki je na začetku popolnoma določen. Problemi, pri katerih verjetnostni prostor ni v celoti določen, manjkajoče informacije pa je treba pridobiti iz rezultatov opazovanj, spadajo v področje matematične statistike.

Verjetnostni prostor je definiran s trojko komponent (simbolov) (Ω, S, P), kjer je Ω prostor elementarnih dogodkov

S-∂ (sigma) -algebra dogodkov, P - verjetnost, Ω-zanesljiv dogodek, S-sistem podmnožic prostora elementarnih izidov Ω.

5. 5. Neposreden izračun verjetnosti.

Klasična definicija verjetnosti na podlagi koncepta pravičnost dogodkov .

Enakost dogodkov pomeni, da ni razloga, da bi kateri koli od njih dali prednost pred drugim.

Razmislite o preizkusu, ki lahko povzroči dogodek A... Vsak rezultat, v katerem se zgodi dogodek A je poklican ugodno dogodek A.

Verjetnost razvoj dogodkov A(označi P (A)) je razmerje med številom izidov, ugodnih za dogodek A(označi m (A)), na število vseh izidov poskusov - N tiste. P (A)= m (A) / N.

Klasična definicija verjetnosti pomeni naslednje: lastnosti :

Verjetnost katerega koli dogodka je med nič in ena.

Dokaz... Ker potem delimo vse dele neenakosti z N, dobimo

Od tod po klasični definiciji verjetnosti sledi, da

Verjetnost določenega dogodka je enaka ena.

Verjetnost nemogočega dogodka je nič

6. 6. Teoremi seštevanja verjetnosti.

Če sta A in B neskladna, potem je P (A + B) = P (A) + P (B)

Če sta A in B nasprotna dogodka, potem

Element sigma algebre se bo odslej imenoval naključni dogodek.

Dokončajte skupino dogodkov

Popolna skupina dogodkov je popolna skupina podmnožic, od katerih je vsaka dogodek. Dogodki polne skupine naj bi bili delitev prostora elementarnih izidov.

Končno aditivna funkcija

Naj bo A – algebra. Funkcija , ki algebro preslika v množico realnih števil

se imenuje končno aditivna, če za katero koli končno množico parno nezdružljivih dogodkov

Številčno-aditivna funkcija

Naj bo F- algebra ali sigma-algebra. Funkcija

se imenuje štetno aditivna, če je končno aditivna in za kateri koli štetni niz parno nekonsistentnih dogodkov

Mera je nenegativna štetno aditivna funkcija, definirana na sigma algebri, ki izpolnjuje pogoj

Končni ukrep

Izmerite se imenuje končna če

Verjetnost

Verjetnost (verjetnostna mera) P to je tak ukrep, da

Od zdaj naprej bomo verjetnost nehali meriti v odstotkih in jo začeli meriti z realnimi števili od 0 do 1.

se imenuje verjetnost dogodka A

Verjetnostni prostor

Verjetnostni prostor je zbirka treh objektov - prostora elementarnih izidov, sigma algebre dogodkov in verjetnosti.

To je matematični model naključnega pojava ali predmeta.

Paradoks definiranja verjetnostnega prostora

Vrnimo se k prvotni formulaciji problema teorije verjetnosti. Naš cilj je bil zgraditi matematični model naključnega pojava, ki bi pomagal kvantificirati verjetnosti naključnih dogodkov. Hkrati je za konstruiranje verjetnostnega prostora potrebno nastaviti verjetnost, t.j. zdi se, da je točno to, kar iščemo (?).

Rešitev tega paradoksa je popolna opredelitev verjetnosti kot funkcije na vseh elementih F, navadno zadostuje, da ga vprašamo le o nekaterih dogodkih iz F, katerega verjetnost je enostavno določiti , in nato z uporabo njegove štetne aditivnosti izračunaj za kateri koli element F.

Neodvisni dogodki

Neodvisnost je pomemben koncept v teoriji verjetnosti.

Dogodka A in B imenujemo neodvisna če

tiste. verjetnost hkratnega nastopa teh dogodkov je enaka zmnožku njihovih verjetnosti.

Dogodki v štetju ali končnem nizu se imenujejo neodvisni pari, če je kateri koli par par neodvisnih dogodkov

Skupaj

Dogodki v štetju ali končni množici se imenujejo neodvisni v agregatu, če je verjetnost hkratnega nastopa katere koli končne podmnožice enaka zmnožku verjetnosti dogodkov te podmnožice.

Jasno je, da so dogodki, ki so neodvisni v agregatu, neodvisni in v parih. Obratno ne drži.

Pogojna verjetnost

Pogojna verjetnost dogodka A, pod pogojem, da se je zgodil dogodek B, je vrednost

Doslej bomo pogojno verjetnost definirali le za dogodke B, katerih verjetnost ni nič.

Če sta dogodka A in B neodvisna, potem

Lastnosti in izreki

Najenostavnejše lastnosti verjetnosti

Oblika dogodkov polna skupinače bo vsaj eden od njih nujno nastal kot rezultat poskusa in je parno nezdružljiv.

Recimo dogodek A se lahko zgodi le skupaj z enim od več parno nezdružljivih dogodkov, ki tvorijo popolno skupino. Poklicali bomo dogodke ( jaz= 1, 2,…, n) hipoteze dodatne izkušnje (a priori). Verjetnost pojava dogodka A je določena s formulo polna verjetnost :

Primer 16. Obstajajo tri žare. Prva žara vsebuje 5 belih in 3 črne kroglice, druga 4 bele in 4 črne kroglice, tretja pa 8 belih kroglic. Ena od žar je izbrana naključno (to lahko na primer pomeni, da se izbira iz pomožne žare, kjer so tri kroglice oštevilčene s številkami 1, 2 in 3). Iz te žare se naključno izvleče žoga. Kakšna je verjetnost, da se izkaže za temnopoltega?

Rešitev. Dogodek A- črna krogla je odstranjena. Če bi bilo znano, iz katere žare je bila izvlečena žogica, bi lahko želeno verjetnost izračunali po klasični definiciji verjetnosti. Uvedemo predpostavke (hipoteze), katera žara je izbrana za ekstrakcijo žoge.

Žogico je mogoče izvleči bodisi iz prve žare (hipoteza), bodisi iz druge (hipoteza) ali iz tretje (hipoteza). Ker so možnosti za izbiro katere koli žare enake .

Iz tega sledi

Primer 17. Električne sijalke izdelujejo v treh tovarnah. Prvi obrat proizvede 30% celotnega števila električnih svetilk, drugi - 25%,
in tretji je ostalo. Izdelki prvega obrata vsebujejo 1% okvarjenih žarnic, drugega - 1,5%, tretjega - 2%. Trgovina prejema izdelke vseh treh tovarn. Kakšna je verjetnost, da je svetilka, kupljena v trgovini, pokvarjena?

Rešitev. Treba je predvideti, v kateri tovarni je bila žarnica izdelana. Če to vemo, lahko ugotovimo verjetnost, da je pokvarjena. Naj uvedemo zapis za dogodke: A- kupljena žarnica se je izkazala za pokvarjeno, - svetilko je izdelal prvi obrat, - svetilko je izdelal drugi obrat,
- svetilko izdeluje tretji obrat.

Zahtevano verjetnost najdemo po formuli skupne verjetnosti:

Bayesova formula.

Pustiti je popolna skupina parno nezdružljivih dogodkov (hipoteze). A- naključni dogodek. potem

Zadnja formula, ki omogoča precenjevanje verjetnosti hipotez, potem ko je rezultat testa znan, zaradi česar se je pojavil dogodek A, se imenuje Bayesova formula .

Primer 18. V povprečju je 50 % bolnikov s to boleznijo sprejetih v specializirano bolnišnico TO, 30% - z boleznijo L, 20 % –
z boleznijo M... Verjetnost popolnega zdravljenja bolezni K enako 0,7 za bolezni L in M ti verjetnosti sta 0,8 oziroma 0,9. Bolnik, ki je bil sprejet v bolnišnico, je bil odpuščen zdrav. Ugotovite verjetnost, da je imel ta bolnik zdravstveno stanje K.

Rešitev. Uvedemo hipoteze: - bolnik je zbolel za boleznijo TO L, - bolnik je zbolel za boleznijo M.

Potem imamo glede na pogoj problema. Predstavimo dogodek A- bolnik, ki je bil sprejet v bolnišnico, je bil odpuščen zdrav. Glede na pogoje

Po formuli skupne verjetnosti dobimo:

Po Bayesovi formuli.

Verjetnostni prostor

Prvi teoretični rezultati v teoriji verjetnosti vključujejo

do sredine 17. stoletja in pripadajo B. Pascalu, P. Fermi, H. Huygensu, J. Bernoulliju. Ta teorija dolguje svoje uspehe v 18. stoletju in na začetku 19. stoletja A. Moivreju, P. Laplaceu, C. Gausu, S. Poissonu, A. Legendru. Pomemben napredek v teoriji verjetnosti je bil dosežen v poznem 19. in začetku 20. stoletja v delih L. Boltzmanna, P. Čebiševa, A. Lyapunova, A. Markova, E. Borela itd. Vendar pa je že v začetku 20. stoletja, stroga in dosledna teorija. Le aksiomatski pristop je to omogočil. Prvič je aksiomatsko konstrukcijo teorije izdelal S.N.Bernstein leta 1917, ki je svoje konstrukcije zasnoval na primerjavi naključnih dogodkov glede na njihovo verjetnost. Vendar ta pristop ni dobil nadaljnjega razvoja. Aksiomatski pristop, ki temelji na teoriji množic in teoriji meril, ki ga je razvil A. N. Kolmogorov v dvajsetih letih prejšnjega stoletja, se je izkazal za bolj plodnega. V aksiomatiki Kolmogorova pojem naključnega dogodka v nasprotju s klasičnim pristopom ni začetni, ampak je posledica bolj elementarnih pojmov. Kolmogorovljevo izhodišče je množica (prostor) W elementarnih dogodkov (prostor rezultatov, vzorčni prostor). Narava elementov tega prostora ni pomembna.

Če A, B, C Î W, so očitne naslednje relacije, vzpostavljene v teoriji množic:

A + A = A, AA = A, AÆ = Æ, A + Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

kjer zgornji stolpec označuje komplement v W; A + B = A B, AB = A + B, AB = BA, A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), (AB) C = A (BC) , A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C);

tukaj Æ označuje prazen niz, t.j. nemogoč dogodek.

V aksiomatiki Kolmogorova se upošteva določen sistem U podmnožic množice W, katerega elementi se imenujejo naključni dogodki. Sistem U izpolnjuje naslednje zahteve: če sta podmnožici A in B množice W vključeni v sistem U, potem ta sistem vsebuje tudi množice A È B, A Ç B, A in B; sama množica W. je tudi element sistema U. Tak sistem množic imenujemo (boolova) algebra množic.

Očitno iz definicije algebre množic sledi, da tudi prazna množica Æ pripada družini U. Tako je algebra množic (tj. množica naključnih dogodkov) zaprta glede na operacije seštevanja, preseka in tvorbe komplementov, zato elementarne operacije nad naključnimi dogodki ne presegajo množice naključnih dogodkov U. .

Za večino aplikacij je treba zahtevati, da družina množic U vključuje ne le končne vsote in presečišča podmnožic množice W, temveč tudi štetne vsote in presečišča. To nas pripelje do definicije s-algebre.

Opredelitev 1.1. S-algebra je družina podmnožic (U) množice W, ki je zaprta z operacijami oblikovanja komplementov, štetljivih vsot in štetnih presečišč.

Jasno je, da vsaka s-algebra vsebuje samo množico W in prazno množico. Če je podana poljubna družina U podmnožic množice W, se najmanjša s-algebra, ki vsebuje vse množice družine U, imenuje s-algebra, ki jo generira družina U.

Največja s-algebra vsebuje vse podmnožice s; uporaben je v diskretnih prostorih W, v katerih je verjetnost običajno določena za vse podmnožice množice W. Vendar pa je v bolj splošnih prostorih nemogoče ali nezaželeno določiti verjetnost (definicija verjetnosti bo podana spodaj) za vse podmnožice. Druga skrajna definicija s-algebre je lahko s-algebra, sestavljena samo iz množice W. in prazne množice Æ.

Kot primer izbire W in s-algebre podmnožic U si oglejte igro, v kateri udeleženci na vsako od svojih šestih strani mečejo kocko s številkami od 1 do 6. Za vsako metanje kocke je samo šest realizirana so stanja: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 in w 6, od katerih i-to pomeni pridobitev i točk. Družina U naključnih dogodkov je sestavljena iz 2 6 = 64 elementov, sestavljenih iz vseh možnih kombinacij w i: w 1,…, w 6; (š 1, š 6), ..., (š 5, š 6); (š 1, š 2, š 3), ..., (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5 , w 6) Æ.

Naključni dogodki, tj. elemente s-algebre U bomo pogosto označevali s črkami A, B, ... Če dva naključna dogodka A in B ne vsebujeta istih elementov w i ÎW, ju bomo imenovali nezdružljiva. Dogodka A in A imenujemo nasprotna (v drugih zapisih namesto A lahko postavimo CA). Zdaj lahko nadaljujemo z opredelitvijo pojma verjetnosti.

Opredelitev 1.2. Verjetnostna mera P na s-algebri U podmnožic množice W je množična funkcija P, ki izpolnjuje naslednje zahteve:

1) P (A) ³ 0; AÎU;

, tj. ki ima lastnost štetne aditivnosti, kjer sta A k medsebojno disjunktni množici iz U.

Tako ne glede na vzorčni prostor W dodelimo verjetnosti le množicam neke s-algebre U, te verjetnosti pa določa vrednost mere P na teh množicah.

Tako je pri vsakem problemu preučevanja naključnih dogodkov začetni koncept vzorčni prostor s, v katerem je tako ali drugače izbrana s-algebra, na kateri je verjetnostna mera P že določena. naslednjo definicijo

Opredelitev 1.3. Verjetnostni prostor je trojka (W, U, P), sestavljena iz vzorčnega prostora W, s-algebre U njegovih podmnožic in verjetnostne mere P, definirane na U.

V praksi lahko pride do težav, pri katerih se enakim naključnim dogodkom iz U. dodelijo različne verjetnosti. Na primer, v primeru simetrične kocke je naravno položiti:

P (w 1) = P (w 2) = ... = P (w 6) == 1/6,

in če je kost asimetrična, se lahko izkaže, da so naslednje verjetnosti bolj skladne z realnostjo: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

V bistvu bomo obravnavali množice W, ki so podmnožice končnodimenzionalnega evklidskega prostora R n. Glavni predmet teorije verjetnosti so naključne spremenljivke, t.j. nekatere funkcije, definirane na vzorčnem prostoru W. Naša prva naloga je omejiti razred funkcij, s katerimi bomo delovali. Zaželeno je izbrati takšen razred funkcij, pri katerem standardnih operacij ne bi razbrali iz tega razreda, zlasti zato, da se ne bi deducirali na primer operacije prevzemanja točkovnih omejitev, sestave funkcij itd. iz tega razreda.

Opredelitev 1.4. Najmanjši razred funkcij B, zaprt glede na točkovni prehod do meje (tj. če ¦ 1, ¦ 2, ... pripadajo razredu B in za vse x je meja ¦ (x) = lim¦ n (x) obstaja, potem ¦ ( x) pripada B), ki vsebuje vse neprekinjene funkcije, imenujemo Baireov razred.

Iz te definicije sledi, da so vsota, razlika, produkt, projekcija, sestava dveh Baireovih funkcij spet Baireove funkcije, t.j. vsaka funkcija Baireove funkcije je spet Baireova funkcija. Izkazalo se je, da če se omejimo na ožje razrede funkcij, potem ne moremo dobiti nobene okrepitve ali poenostavitve teorije.

V splošnem primeru so naključne spremenljivke, t.j. funkcije X = U (х), kjer je XÎWÌR n, je treba definirati tako, da imajo dogodki (X £ t) za kateri koli t določeno verjetnost, t.j. tako da množice (X £ t) pripadajo družini U, za katere elemente so določene verjetnosti P, tj. tako da se določijo vrednosti P (X £ t). To nas pripelje do naslednje definicije merljivosti funkcije glede na družino U.

Opredelitev 1.5. Realna funkcija U (x), xÎW, se imenuje U-merljiva, če za kateri koli realni t množica tistih točk xÎW, za katere U (x) £ t pripada družini U.

Ker je s-algebra U zaprta z operacijo jemanja komplementov, lahko v definiciji merljivosti neenakost £ nadomestimo s katero koli od neenakosti ³,>,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Kot je bilo že navedeno, je s-algebro mogoče izbrati povsem poljubno, predvsem pa takole: najprej so definirani n-dimenzionalni intervali na prostoru WÎR n, nato pa z uporabo operacij algebre množic množice a iz teh intervalov je mogoče sestaviti kompleksnejšo strukturo in oblikovati družine množic. Med vsemi možnimi družinami lahko izberemo tisto, ki vsebuje vse odprte podmnožice v W. Podobna konstrukcija vodi do naslednje definicije.

Opredelitev 1.6. Najmanjša s-algebra U b, ki vsebuje vse odprte (in zato vse zaprte) podmnožice z množicami WÌ R n, se imenuje Borelova s-algebra, njene množice pa Borelove.

Izkazalo se je, da je razred Berianovih funkcij B identičen razredu funkcij, merljivih glede na s-algebro U b Borelovih množic.

Zdaj lahko jasno definiramo pojem naključne spremenljivke in verjetnostno funkcijo njene porazdelitve.

Opredelitev 1.7. Naključna spremenljivka X je realna funkcija X = U (x), xÎW, merljiva glede na s-algebro U, vključeno v definicijo verjetnostnega prostora.

Opredelitev 1.8. Funkcija porazdelitve naključne spremenljivke X je funkcija F (t) = P (X £ t), ki določa verjetnost, da naključna spremenljivka X ne preseže vrednosti t.

Za dano porazdelitveno funkcijo F je mogoče enolično konstruirati verjetnostno mero in obratno.

Oglejmo si glavne verjetnostne zakonitosti na primeru končne množice W. Naj A, BÌ W. Če A in B vsebujeta skupne elemente, t.j. AB¹0, potem lahko zapišemo: A + B = A + (B-AB) in B = AB + (B-AB), kjer so na desni strani disjunktne množice (tj. nezdružljivi dogodki) in zato, z verjetnostno mero lastnosti aditivnosti: P (A + B) = P (B-AB) + P (A), P (B) = P (AB) + P (B-AB); od tu sledi Formula za vsoto verjetnosti poljubnih dogodkov: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Če pri izračunu verjetnosti dogodka A niso naloženi nobeni pogoji, se verjetnost P (A) imenuje brezpogojna. Če je dogodek A realiziran, na primer, pod pogojem, da je realiziran dogodek B, potem govorijo o pogojni verjetnosti in jo označujejo s simbolom P (A / B). V aksiomatski teoriji verjetnosti se po definiciji predpostavlja:

P (A / B) = P (AB) / P (B).

Da bo ta definicija intuitivno jasna, upoštevajte na primer naslednjo situacijo. V škatli naj bo k kosov papirja, označenih s črko A, r kosov papirja, označenih s črko B, m kosov papirja, označenih s črkami AB, in n praznih kosov papirja. Skupaj je p = k + r + n + m kosov papirja. In naj se iz škatle izvleče en kos papirja za drugim in po vsakem izvleku se zabeleži vrsta izvlečenega papirja in se vrne v škatlo. Zapisani so rezultati zelo velikega števila tovrstnih testov. Pogojna verjetnost P (A / B) pomeni, da se dogodek A upošteva le v povezavi z izvedbo dogodka B. V tem primeru to pomeni, da je treba prešteti število izvlečenih papirjev s črkami AB in črko B in prvo število delimo z vsoto prvega in drugega števila. Pri dovolj velikem številu testov se bo to razmerje nagibalo k številu, ki določa pogojno verjetnost P (A / B). Podobno število drugih kosov papirja bo to pokazalo

Izračun razmerja

poskrbimo, da natančno sovpada s predhodno izračunano vrednostjo za verjetnost P (A / B). Tako dobimo

P (A B) = P (A / B) P (B).

Če izvedemo podobno sklepanje, zamenjamo A in B, dobimo

P (A B) = P (B / A) P (A)

Enakost

P (A B) = P (A / B) P (B) = P (B / A) P (A)

se imenuje izrek množenja verjetnosti.

Obravnavani primer nam omogoča tudi, da jasno preverimo veljavnost naslednje enakosti za A B¹Æ:

P (A + B) == P (A) + P (B) - P (A · B).

Primer 1.1. Naj se kocka vrže dvakrat in treba je določiti verjetnost P (A / B), da izpade v vsoti 10 točk, če ima prvi meg 4.

Drugi meg 6 ima možnost 1/6. zato

Primer 1.2. Naj bo 6 ur:

žara tipa А 1 - dve beli in ena črna krogla, žara tipa А 2 - dve beli in dve črni krogli, v urni tipa А 3 - dve črni in ena bela krogla. Obstaja 1 žara tipa А 1, 2 žari tipa А 2 in 3 žare tipa А 3. Žara je naključno izbrana in iz nje žoga. Kolikšna je verjetnost, da je ta kroglica bela? Označimo z B dogodek, ko izvlečemo belo kroglo.

Za rešitev problema predpostavimo, da je nek dogodek B realiziran le skupaj z enim od n nezdružljivih dogodkov A1, ..., In n, t.j. В =, kjer sta dogodka BA i in BA j z različnimi indeksi i in j nezdružljiva. Iz lastnosti aditivnosti verjetnosti P sledi:

Če tu nadomestimo odvisnost (1.1), dobimo

ta formula se imenuje formula skupne verjetnosti. Za rešitev zadnjega primera bomo uporabili formulo za skupno verjetnost. Ker lahko belo kroglo (dogodek B) vzamemo iz ene od treh žar (dogodki A1, A2, A3), lahko zapišemo

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Formula za skupno verjetnost daje

Izračunajmo verjetnosti, vključene v to formulo. Verjetnost, da je žogica vzeta iz žare tipa A1, je očitno enaka P (A1) = 1/6, iz žare tipa A2: P (A2) = 2/6 == 1/3 in iz žare tipa A3: P (A 3) = 3/6 = 1/2. Če je kroglica vzeta iz žare tipa A1, potem je P (B / A 1) = 2/3, če iz žare tipa A2, potem je P (B / A 2) = 1/2 in če iz žare tipa A1 žara tipa A3, potem P (B / A 3) = 1/3. tako,

P (B) = (1/6) (2 / Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Pogojna verjetnost P (B / A) ima vse lastnosti verjetnosti P (B / A) ³0, B (B / B) = 1 in P (B / A) je aditivna.

V kolikor

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B),

potem sledi, da če A ni odvisno od B, torej če

P (A / B) = P (A),

potem B ni odvisen od A, tj. P (B / A) = P (B).

Tako ima v primeru neodvisnih dogodkov izrek množenja najenostavnejšo obliko:

P (A B) = P (A) P (B) (1,3)

Če sta dogodka A in B neodvisna, je neodvisen tudi vsak od naslednjih parov dogodkov: (A, B), (A, B), (A, B). Prepričajmo se na primer, da če sta A in B neodvisna, potem oba A in B. pogojev P (B / A) = P (B), sledi: P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

Dogodki so lahko parno neodvisni, vendar se izkažejo za odvisne v agregatu. V zvezi s tem se uvaja tudi koncept medsebojne neodvisnosti: dogodki А 1, ..., А n se imenujejo medsebojno neodvisni, če je za katero koli podmnožico E indeksov 1,2, ..., n enakost

V praksi je pogosto treba oceniti verjetnosti hipotez po opravljenem nekem testu. Naj se na primer dogodek B uresniči samo z enim od nezdružljivih dogodkov A1, ..., In n, t.j. in naj se realizira dogodek B. Najti je treba verjetnost hipoteze (dogodka) A i pod pogojem

kaj se je zgodilo. Iz izreka množenja

P (A i B) = P (B) P (A i / B) = P (A i) P (B / A i)

Če upoštevamo formulo za skupno verjetnost za P (B), to pomeni

Te formule se imenujejo Bayesove formule.

Primer 1.3. Recimo, da je v primeru 1.2 izvlečena bela kroglica in je treba določiti, kakšna je verjetnost, da je vzeta iz žare tipa 3.

Verjetnosti in pravila za ravnanje z njimi. Za popoln opis mehanizma raziskanega naključnega eksperimenta ni dovolj navesti le prostor elementarnih dogodkov. Očitno bi morali poleg navajanja vseh možnih izidov naključnega eksperimenta, ki ga preučujemo, vedeti tudi, kako pogosto se lahko zgodi en ali drugačen elementarni dogodek v dolgi seriji takšnih poskusov. Če se vrnemo, recimo, k primerom, si je enostavno predstavljati, da v okviru vsakega od

Iz teh prostorov elementarnih dogodkov lahko upoštevamo neskončno število naključnih poskusov, ki se bistveno razlikujejo po mehanizmu. Torej bomo v primerih 4.1-4.3 imeli bistveno različne relativne frekvence pojavljanja istih elementarnih izidov, če uporabimo različne trenutke in kocke (simetrične, z rahlo premaknjenim težiščem, z močno premaknjenim težiščem itd.) V primerih 4.4-4.7 pogostost pojavljanja izdelkov z napako, narava kontaminacije z okvarjenimi izdelki v kontroliranih serijah in pogostost pojavljanja določenega števila okvar avtomatskih linijskih strojev bo odvisna od stopnje tehnološke opremljenosti preučevane proizvodnje: ob enakem prostoru elementarnih dogodkov bo pogostost pojavljanja »dobrih« elementarnih izidov v proizvodnji večja. z višjo stopnjo tehnologije.

Za izgradnjo (v diskretnem primeru) popolne in popolne matematične teorije naključnega eksperimenta - teorije verjetnosti je treba poleg že uvedenih začetnih konceptov naključnega eksperimenta, elementarnega izida in naključnega dogodka narediti zalogo še ena začetna predpostavka (aksiom), ki postulira obstoj verjetnosti elementarnih dogodkov (ki izpolnjujejo določeno normalizacijo) in določa verjetnost katerega koli naključnega dogodka.

aksiom. Vsak element prostora elementarnih dogodkov Q ustreza neki nenegativni številčni karakteristiki možnosti njegovega pojava, imenovani verjetnost dogodka in

(iz tega zlasti sledi, da za vse).

Določanje verjetnosti dogodka. Verjetnost katerega koli dogodka A je opredeljena kot vsota verjetnosti vseh elementarnih dogodkov, ki sestavljajo dogodek A, to je, če uporabite simboliko za označevanje "verjetnosti dogodka A", potem

Iz tega in (4.2) takoj sledi, da je poleg tega verjetnost zanesljivega dogodka vedno

je enaka eni in verjetnost nemogočega dogodka je nič. Vsi drugi koncepti in pravila za dejanja z verjetnostmi in dogodki bodo že izpeljani iz štirih začetnih definicij, predstavljenih zgoraj (naključni poskus, elementarni izid, naključni dogodek in njegova verjetnost) in enega aksioma.

Tako je za izčrpen opis mehanizma raziskanega naključnega eksperimenta (v diskretnem primeru) treba določiti končno ali šteto množico vseh možnih elementarnih izidov Q in vsakemu osnovnemu izidu pripisati nekaj nenegativnih (ne presega ena) numerična karakteristika, ki se interpretira kot verjetnost izida izida, in uveljavljeni tip korespondence morata izpolnjevati zahtevo po normalizaciji (4.2).

Verjetnostni prostor je ravno koncept, ki formalizira takšen opis mehanizma naključnega eksperimenta. Postaviti verjetnostni prostor pomeni postaviti prostor elementarnih dogodkov Q in v njem definirati zgornjo korespondenco tipa

Očitno je korespondenco tipa (4.4) mogoče določiti na različne načine: s pomočjo tabel, grafov, analitičnih formul in na koncu algoritemsko.

Kako zgraditi verjetnostni prostor, ki ustreza raziskanemu realnemu kompleksu pogojev? Praviloma ni težav pri zapolnjevanju konceptov naključnega poskusa, elementarnega dogodka, prostora elementarnih dogodkov in v diskretnem primeru kakršnega koli razstavljivega naključnega dogodka s konkretno vsebino. Ni pa tako enostavno določiti verjetnosti posameznih elementarnih dogodkov iz specifičnih pogojev problema, ki se rešuje! V ta namen se uporablja eden od naslednjih treh pristopov.

A priori pristop k izračunu verjetnosti je sestavljen iz teoretične, špekulativne analize specifičnih pogojev določenega naključnega eksperimenta (pred samim poskusom). Ta predhodna analiza v številnih situacijah omogoča teoretično utemeljitev metode za določanje želenih verjetnosti. Na primer, možen je primer, ko je prostor vseh mogočih

elementarnih izidov sestavlja končno število N elementov, pogoji za izdelavo preiskovanega naključnega eksperimenta pa so takšni, da se nam zdi, da so verjetnosti vsakega od teh N elementarnih izidov enake (v tej situaciji se znajdemo pri metanju simetričnega kovanca, metanju pravilne kocke, naključnem vlečenju igralne karte iz dobro mešanega krova itd.). Na podlagi aksioma (4.2) je verjetnost vsakega elementarnega dogodka v tem primeru enaka MN. To vam omogoča, da dobite preprost recept za izračun verjetnosti katerega koli dogodka: če dogodek A vsebuje osnovne dogodke NA, potem v skladu z definicijo (4.3)

Pomen formule (4.3) je, da je verjetnost dogodka v danem razredu situacij mogoče opredeliti kot razmerje med številom ugodnih izidov (tj. elementarnih izidov, vključenih v ta dogodek) in številom vseh možnih izidov ( tako imenovana klasična definicija verjetnosti). V sodobni interpretaciji formula (4.3) ni definicija verjetnosti: uporabna je le v posebnem primeru, ko so vsi osnovni izidi enako verjetni.

A posteriorno-frekvenčni pristop k izračunu verjetnosti se v bistvu začne z definicijo verjetnosti, ki jo je sprejel tako imenovani frekvenčni koncept verjetnosti (za več podrobnosti o tem konceptu glej na primer v,). V skladu s tem konceptom je verjetnost opredeljena kot meja relativne pogostosti pojavljanja izida c v procesu neomejenega povečanja skupnega števila naključnih poskusov, t.j.

kjer je število naključnih poskusov (od skupnega števila izvedenih naključnih poskusov), pri katerih je bil zabeležen pojav elementarnega dogodka. V skladu s tem je za praktično (približno) določanje verjetnosti predlagano, da se vzamejo relativne frekvence pojav dogodka ω v dovolj dolgem času

vrsta naključnih eksperimentov Ta metoda izračunavanja verjetnosti ni v nasprotju s sodobnim (aksiomatskim) konceptom teorije verjetnosti, saj je slednja zgrajena tako, da je empirični (ali selektivni) analog objektivno obstoječe verjetnosti katerega koli dogodka A relativno pogostost tega dogodka v seriji neodvisnih testov. Definicije verjetnosti se v teh dveh konceptih izkažejo za različne: v skladu s frekvenčnim konceptom verjetnost ni objektiv, ki bi obstajal pred izkušnjo, lastnost preučevanega pojava, ampak se pojavi le v povezavi z izvedbo eksperimenta oz. opazovanje; to vodi do mešanice teoretičnih (res, zaradi resničnega kompleksa pogojev za »obstoj« preučevanega pojava), verjetnostnih značilnosti in njihovih empiričnih (selektivnih) analogov. Kot piše G. Kramer, "določeno definicijo verjetnosti je mogoče primerjati na primer z definicijo geometrijske točke kot meje lis krede neomejenih padajočih velikosti, vendar sodobna aksiomatska geometrija ne uvaja takšne definicije" () . Tu se ne bomo zadrževali na matematičnih pomanjkljivostih frekvenčnega koncepta verjetnosti. Opažamo le temeljne težave pri izvajanju računske tehnike pridobivanja približnih vrednosti z uporabo relativnih frekvenc. Prvič, ohranjanje pogojev naključnega eksperimenta (tj. ohranjanje pogojev statističnega ansambla), v katerem predpostavke o težnji relativnih frekvenc, da se združijo okoli konstantne vrednosti, ni mogoče podpirati v nedogled in z visoko natančnostjo. Zato za ocenjevanje verjetnosti z uporabo relativnih frekvenc ni

smiselno je vzeti predolge serije (tj. prevelike) in zato, mimogrede, natančen prehod do meje (4.5) ne more imeti pravega smisla. Drugič, v situacijah, ko imamo dovolj veliko število možnih elementarnih izidov (in lahko tvorijo neskončno in celo, kot je navedeno v razdelku 4.1, neprekinjeno množico), bomo imeli tudi v poljubno dolgi seriji naključnih poskusov možne rezultate, ki med našim eksperimentom niso bili nikoli realizirani; in za ostale možne rezultate bodo približne vrednosti verjetnosti, dobljene z uporabo relativnih frekvenc, v teh pogojih izjemno nezanesljive.

A posteriori-modelski pristop k določanju verjetnosti, ki ustrezajo konkretno raziskanemu realnemu kompleksu pogojev, je trenutno morda najbolj razširjen in najbolj priročen v praksi. Logika tega pristopa je naslednja. Po eni strani je v okviru apriornega pristopa, torej v okviru teoretične, špekulativne analize možnih variant specifičnosti hipotetičnih realnih kompleksov pogojev, nabor modelnih verjetnostnih prostorov (binomski, Poissonov, normalno, eksponentno itd., glej § 6.1). Po drugi strani ima raziskovalec rezultate omejenega števila naključnih poskusov. Nadalje raziskovalec s pomočjo posebnih matematičnih in statističnih tehnik (na podlagi metod statističnega ocenjevanja neznanih parametrov in statističnega testiranja hipotez, glej poglavji 8 in 9) tako rekoč »prilaga« hipotetične modele verjetnostnih prostorov na njegove razpoložljive rezultate opazovanja (ki odražajo posebnosti preučevane realne realnosti) in pusti za nadaljnjo uporabo le tisti model ali tiste modele, ki tem rezultatom ne nasprotujejo in jim v nekem smislu najbolje ustrezajo.

Opišimo zdaj osnovna pravila za dejanja z verjetnostmi dogodkov, ki so posledice zgornjih definicij in aksiomov.

Verjetnost vsote dogodkov (izrek o seštevanju verjetnosti). Formulirajmo in dokažimo pravilo za izračun verjetnosti vsote dveh dogodkov. Če želite to narediti, razdelimo vsakega od nizov osnovnih dogodkov,

komponente dogodka na dva dela:

kjer združuje vse osnovne dogodke ω, ki so vključeni, vendar niso vključeni, sestavljajo vsi tisti osnovni dogodki, ki so hkrati vključeni v Z uporabo definicije (4.3) in definicije produkta dogodkov, imamo:

Hkrati imamo v skladu z definicijo vsote dogodkov in z (4.3).

Iz (4.6), (4.7) in (4.8) dobimo formulo za seštevanje verjetnosti (za dva dogodka):

Formulo (4.9) za seštevanje verjetnosti lahko posplošimo na primer poljubnega števila izrazov (glej npr. 183, str. 105):

pri čemer se "dodatki" izračunajo v obliki vsote verjetnosti oblike

poleg tega se seštevanje na desni strani izvede očitno pod pogojem, da so vsi različni,. V posebnem primeru, ko sistem, ki nas zanima, sestavljajo le nezdružljivi dogodki, vsi produkti oblike

bodo prazni (ali nemogoči) dogodki in v skladu s tem daje formula (4.9).

Verjetnost produkta dogodkov (izrek verjetnosti množenja). Pogojna verjetnost.

Poglejmo situacije, ko vnaprej določen pogoj ali fiksacija določenega dogodka, ki se je že zgodil, izključi s seznama možnih nekaj elementarnih dogodkov analiziranega verjetnostnega prostora. Torej, analiziramo nabor N serijsko proizvedenih izdelkov, ki vsebujejo izdelke prvega, drugega, tretjega in četrtega razreda, upoštevamo verjetnostni prostor z elementarnimi izidi oziroma njihovimi verjetnostmi (tu pomeni dogodek, da je izdelek naključno vzet iz izkazalo se je, da so nabor sorte). Recimo, da so pogoji za razvrščanje izdelkov takšni, da so v neki fazi izdelki prvega razreda ločeni od splošne populacije in vse verjetnostne zaključke (in še posebej izračun verjetnosti različnih dogodkov) moramo zgraditi v zvezi na obrezano populacijo, ki jo sestavljajo samo izdelki drugega, tretjega in četrtega razreda. V takih primerih je običajno govoriti o pogojnih verjetnostih, torej o verjetnostih, izračunanih pod pogojem nekega dogodka, ki se je že zgodil. V tem primeru je tako realiziran dogodek dogodek, to je dogodek, sestavljen iz katerega koli naključno izvlečenega produkta, drugega, tretjega ali četrtega razreda. Če nas torej zanima izračun pogojne verjetnosti dogodka A (pod pogojem, da se je dogodek B že zgodil), na primer v dejstvu, da se izkaže, da je naključno izvlečen izdelek drugega ali tretjega razreda, potem očitno , lahko to pogojno verjetnost (označujemo jo) določimo z naslednjim razmerjem:

Kot je enostavno razumeti iz tega primera, je izračun pogojnih verjetnosti v bistvu prehod na drugo, okrnjeno z danim pogojem. V prostoru elementarnih dogodkov, ko je razmerje verjetnosti elementarnih dogodkov v okrnjenem prostoru ostane enaka kot v prvotnem (širšem), vendar so vsi normalizirani (deljeni z), tako da je zahteva po normalizaciji (4.2) izpolnjena tudi v novem verjetnostnem prostoru. Seveda ne bi mogli uvajati terminologije s pogojnimi verjetnostmi, ampak preprosto uporabiti aparat navadnih (»brezpogojnih«) verjetnosti v novem prostoru. Pisanje v smislu verjetnosti »starega« prostora je koristno v tistih primerih, ko se moramo glede na pogoje določenega problema vedno spomniti na obstoj začetnega, širšega prostora elementarnih dogodkov.

Dobimo formulo za pogojno verjetnost v splošnem primeru. Naj bo B dogodek (neprazen), za N velja, da se je že zgodil ("pogoj"), dogodek, katerega pogojno verjetnost je treba izračunati. Novi (okrnjeni) prostor elementarnih dogodkov Q je sestavljen samo iz elementarnih dogodkov, vključenih v B, zato so njihove verjetnosti (z normalizacijskim pogojem) določene z razmerji

Po definiciji je verjetnost verjetnost dogodka A v "okrnjenem" verjetnostnem prostoru in zato v skladu z (4.3) in (4.10)

ali, kar je enako,

Ekvivalentni formuli (4.11) in (4.11 ") se običajno imenujeta formula pogojne verjetnosti oziroma pravilo množenja verjetnosti.

Še enkrat poudarjamo, da je upoštevanje pogojnih verjetnosti različnih dogodkov pod istim pogojem B enakovredno upoštevanju navadnih verjetnosti v drugem (okrajšanem) prostoru elementarnih dogodkov s preračunavanjem ustreznih verjetnosti elementarnih dogodkov s formulo (4.10). Zato ostanejo vsi splošni izreki in pravila za dejanja z verjetnostmi veljavni za pogojne verjetnosti, če so te pogojne verjetnosti vzete pod enakim pogojem.

Neodvisnost dogodkov.

Dva dogodka A in B se imenujeta neodvisna če

Da bi razjasnili naravnost takšne definicije, se obrnemo na izrek množenja verjetnosti (4.11) in vidimo, v kakšnih situacijah (4.12) izhaja iz njega. Očitno je to lahko takrat, ko je pogojna verjetnost enaka ustrezni brezpogojni verjetnosti, to je, grobo rečeno, kadar spoznanje, da se je dogodek zgodil, ne vpliva na oceno možnosti za nastanek dogodka A.

Razširitev definicije neodvisnosti na sistem več kot dveh dogodkov je naslednja. Dogodki se imenujejo medsebojno neodvisni, če gre za pare, trojke, četverčke itd. dogodkov, vzorčenih iz tega niza dogodkov, veljajo naslednja pravila množenja:

Očitno prva vrstica pomeni

(število kombinacij k za dve) enačbe, v drugi - in tako naprej Skupaj torej (4.13) združuje pogoje. Hkrati pa pogoji prve vrstice zadostujejo za zagotovitev parne neodvisnosti teh dogodkov. In čeprav parna in medsebojna neodvisnost sistema dogodkov, strogo gledano, nista enaki, je njuna razlika bolj teoretični kot praktični interes: praktično pomembnih primerov parno neodvisnih dogodkov, ki niso medsebojno neodvisni, očitno ni.

Lastnost neodvisnosti dogodkov močno olajša analizo različnih verjetnosti, povezanih s preučevanim sistemom dogodkov. Dovolj je reči, da če je v splošnem primeru za opis verjetnosti vseh možnih kombinacij sistemskih dogodkov treba navesti 2 verjetnosti, potem v primeru medsebojne neodvisnosti teh dogodkov zadostuje le k verjetnosti

V preučevani realnosti se zelo pogosto srečujemo z neodvisnimi dogodki, ki se izvajajo v poskusih (opazovanjih), ki se izvajajo neodvisno drug od drugega v običajnem fizičnem smislu.

Lastnost neodvisnosti izidov štirih zaporednih metov kocke je omogočila (s pomočjo (4.13)) enostavno izračunati verjetnost nepada (za nobenega od teh metov) šestice v problem razdelka 2.2.1. Dejansko, ko smo označili dogodek, da šestica ni izpadla v metu (ta možnost neposredno izhaja iz dejstva, da dogodki v celoti izčrpajo ves prostor elementarnih dogodkov in se ne sekajo v parih), tj.

Nadalje, z uporabo izreka seštevanja verjetnosti (v zvezi z nekonsistentnimi dogodki, ki so dogodki) in izračunom verjetnosti vsakega od produktov po formuli za zmnožek verjetnosti (4.1 D), dobimo (4.14).

Bayesova formula.

Najprej se obrnimo na naslednjo težavo. V skladišču so naprave, ki jih proizvajajo tri tovarne: 20 % naprav, ki so na voljo v skladišču, je izdelanih v tovarni # 1, 50 % - v tovarni # 2 in 30 % - v tovarni # 3. Verjetnost, da bo naprava potrebovala popravila v garancijski dobi so za izdelke vsaka od tovarn enaka 0,2 oz. 0,1; 0.3. Naprava, odvzeta iz skladišča, ni imela tovarniške oznake in je bila potrebna popravila (v garancijskem roku). Kateri obrat je najverjetneje izdelal to napravo? Kakšna je ta verjetnost? Če označimo dogodek, ob katerem je bila izdelana naprava po nesreči vzeta iz skladišča

Če zamenjamo (4.16) in (4.17) v (4.15), dobimo

S to formulo je enostavno izračunati zahtevane verjetnosti:

Posledično je bila najverjetneje podstandardna naprava izdelana v obratu št. 3.

Dokaz formule (4.18) v primeru popolnega sistema dogodkov, sestavljenega iz poljubnega števila k dogodkov, natančno ponovi dokaz formule (4.18). V tej splošni obliki je formula

običajno imenujemo Bayesova formula.