Obrazložitev, ki temelji le na natančnih dejstvih in na podlagi teh dejstev, se imenuje strog premislek. V primerih, ko je za odločanje treba uporabiti negotova dejstva, postane strogo sklepanje neprimerno. Zato je ena od prednosti vsakega strokovnega sistema njegova sposobnost oblikovanja sklepanja v pogojih negotovosti tako uspešno, kot to počnejo človeški strokovnjaki. Takšno sklepanje je ohlapne narave. Lahko se pogovarjate o prisotnosti mehka logika.

Negotovost, zato se lahko mehka logika šteje kot nezadostna informacija za odločanje. Negotovost postane problem, ker lahko ovira ustvarjanje najboljše rešitve in celo povzroči, da se najde slaba rešitev. Treba je opozoriti, da se kakovostna rešitev v realnem času pogosto šteje za sprejemljivejšo od boljše rešitve, ki za izračun potrebuje veliko časa. Na primer, zaradi zamude pri zagotavljanju zdravljenja za dodatne teste lahko bolnik umre, ne da bi čakal na pomoč.

Razlog za negotovost je prisotnost različnih napak v informacijah. Poenostavljena klasifikacija te napake lahko predstavimo tako, da jih razdelimo na naslednje vrste:

• dvoumnost informacij, katere pojav je posledica dejstva, da je nekatere informacije mogoče razlagati na različne načine;
• nepopolnost informacij, povezanih s pomanjkanjem nekaterih podatkov;
• pomanjkljivost informacij zaradi uporabe podatkov ne ustreza dejanskemu stanju (možni razlogi so subjektivne napake: laži, napačne informacije, okvara opreme);
• merilne napake, ki nastanejo zaradi neupoštevanja zahtev glede pravilnosti in točnosti meril za količinsko predstavitev podatkov;
• naključne napake, katerih manifestacija so naključna nihanja podatkov glede na njihovo povprečno vrednost (razlog je lahko: nezanesljivost opreme, Brownovo gibanje, toplotni učinki itd.).

Do danes je bilo razvitih precejšnje število teorij negotovosti, v katerih se poskuša odpraviti nekatere ali celo vse napake in zagotoviti zanesljiv sklep v pogojih negotovosti. V praksi se najbolj uporabljajo teorije, ki temeljijo na klasični definiciji verjetnosti in na zadnji verjetnosti.

Eno najstarejših in najpomembnejših orodij za reševanje problemov umetne inteligence je verjetnost. Verjetnost je kvantitativni način za obravnavo negotovosti. Klasična verjetnost izvira iz teorije, ki sta jo prvič predlagala Pascal in Fermat leta 1654. Od takrat je bilo veliko opravljenega pri preučevanju verjetnosti in izvajanju številnih aplikacij verjetnosti na področju znanosti, tehnologije, poslovanja, gospodarstva in drugih področij.

Klasična verjetnost

Klasična verjetnost imenovana tudi apriorna verjetnost, saj se njena definicija nanaša na idealne sisteme. Izraz "prior" označuje verjetnost, ki je določena "glede na dogodke", ne da bi pri tem upoštevali številne dejavnike, ki se dogajajo v resničnem svetu. Koncept apriorne verjetnosti velja za dogodke v idealnih sistemih, ki so nagnjeni k obrabi ali vplivu drugih sistemov. V idealnem sistemu se pojav kakršnega koli dogodka zgodi na enak način, kar močno olajša njihovo analizo.

Temeljna formula za klasično verjetnost (P) je opredeljena na naslednji način:

V tej formuli W je število pričakovanih dogodkov in N- skupno število dogodkov z enako verjetnostjo, ki so možni rezultati poskusa ali testa. Na primer, verjetnost, da dobite kateri koli obraz šeststranskih kock, je 1/6, izvlečenje katere koli karte iz krova, ki vsebuje 52 različnih kart, pa 1/52.

Aksiomi teorije verjetnosti

Formalno teorijo verjetnosti je mogoče ustvariti na podlagi treh aksiomov:

Zgornji aksiomi so omogočili postavitev temeljev teorije verjetnosti, vendar ne upoštevajo verjetnosti dogodkov v resničnih - neidealnih sistemih. V nasprotju z apriornim pristopom v resničnih sistemih določimo verjetnost nekega dogodka P (E), se uporablja metoda za določanje eksperimentalne verjetnosti kot meje frekvenčne porazdelitve:

Zadnja verjetnost

V tej formuli f (E) označuje pogostost pojavljanja nekega dogodka med Nštevilo opazovanj skupnih rezultatov. Ta vrsta verjetnosti se imenuje tudi zadnja verjetnost, tj. verjetnost, določeno "po dogodkih". Osnova za določitev zadnje verjetnosti je merjenje pogostosti, s katero se dogodek pojavi med velikim številom preskusov. Na primer opredelitev družbenega tipa kreditno sposobne bančne stranke na podlagi empiričnih izkušenj.

Dogodki, ki se med seboj ne izključujejo, lahko vplivajo drug na drugega. Takšni dogodki so razvrščeni kot kompleksni. Verjetnost zapletenih dogodkov je mogoče izračunati z analizo ustreznih vzorčnih prostorov. Te vzorčne prostore lahko predstavimo z Vennovimi diagrami, kot je prikazano na sl. 1

Slika 1 Vzorec prostora za dva dogodka, ki se medsebojno ne izključujeta

Verjetnost dogodka dogodka A, ki se določi ob upoštevanju dejstva, da je prišlo do dogodka B, imenujemo pogojna verjetnost in jo označujemo P (A | B)... Pogojna verjetnost je opredeljena na naslednji način:

Predhodna verjetnost

V tej formuli je verjetnost P (B) ne sme biti nič in je predhodna verjetnost, ki se določi, preden postanejo znane druge dodatne informacije. Predhodna verjetnost kar se uporablja v povezavi z uporabo pogojne verjetnosti, se včasih imenuje absolutna verjetnost.

Obstaja problem, ki je v bistvu nasproten problemu izračuna pogojne verjetnosti. Sestavljen je iz določitve inverzne verjetnosti, ki kaže verjetnost prejšnjega dogodka, ob upoštevanju tistih dogodkov, ki so se zgodili v prihodnosti. V praksi se ta vrsta verjetnosti pojavlja precej pogosto, na primer med medicinsko diagnostiko ali diagnostiko opreme, pri kateri se odkrijejo določeni simptomi, naloga pa je najti možen vzrok.

Za rešitev tega problema uporabljamo Bayesov izrek, poimenovana po britanskem matematiku iz 18. stoletja Thomasu Bayesu. Bayesova teorija se danes pogosto uporablja za analizo dreves odločanja v ekonomiji in družboslovju. Bayesovo iskanje rešitev se uporablja tudi v strokovnem sistemu PROSPECTOR pri prepoznavanju obetavnih mest za raziskovanje mineralov. Sistem PROSPECTOR je pridobil široko popularnost kot prvi strokovni sistem, s pomočjo katerega so odkrili dragoceno nahajališče molibdena, ki je stalo 100 milijonov dolarjev.

C7 V tej sodobni obliki je Bayesov izrek dejansko oblikoval Laplace. Sama formulacija problema pripada Thomasu Bayesu. Oblikoval ga je kot obratno znanega Bernoullijevega problema. Če je Bernoulli iskal verjetnost različnih izidov "krivulje" metanja kovancev, je Bayes nasprotno poskušal določiti stopnjo te "ukrivljenosti" z empirično opazovanimi izidi metanja kovancev. V njegovi rešitvi ni bilo predhodne verjetnosti.

Čeprav je pravilo videti zelo preprosto, se izkaže, da ga je težko uporabiti v praksi, saj zadnje verjetnosti (ali celo vrednosti poenostavljenih funkcij odločanja) niso znane. Njihove vrednosti je mogoče oceniti. Na podlagi Bayesovega izreka se lahko aposterione verjetnosti izrazijo z apriornimi verjetnostmi in funkcijami gostote s formulo P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Cy P xI C,

Če ovrednotimo rezultate razvrščanja po metodi MDA, opazimo precejšen delež napačnih odločitev za podjetja v stečaju (skupina 1) - eno od njih bi prejelo posojilo. Podjetja z nejasnim položajem (skupina 2) je težko pravilno razvrstiti, saj lahko na koncu spadajo v 1. ali 3. skupino. Zadeve ni mogoče izboljšati tako, da se predhodne verjetnosti uskladijo z zamislimi banke o verjetnosti pripadnosti podjetja različnim skupinam. Skupni pokazatelj pravilnosti napovedi je bil le 56,6%, iz prve skupine pa je bilo le 30% pravilno razvrščenih.

Ob obstoječi stopnji kompleksnosti in hkratnosti tekočih procesov imajo modeli, ki temeljijo na vzročnih zvezah, omejene možnosti za uporabo, novonastali dogodki nenehno spreminjajo specifikacije vseh spremenljivk (tako vključenih kot ne vključenih v model) in vrednosti a priori verjetnosti in zneski plačil za različne strategije so zelo negotovi in ​​hitro nihajo s spremembami gospodarske rasti, obrestnih mer, menjalnih tečajev in donosnosti transakcij brez posojil (na primer pri spremembi obratovalnih provizij in provizij).

Ker v resničnih razmerah ni mogoče vnaprej vedeti, kateri del podjetij, zastopanih v naključnem vzorcu, bo v enem letu bankrotiral, in ker so avtorji obeh obravnavanih modelov, kot je mogoče domnevati, določili ločitvene ravni na podlagi nekatere posebne predpostavke o predhodnih verjetnostih bankrota in ceni napak smo poenostavili postopek primerjave in uvedli relativne ločevalne ravni. Z drugimi besedami, za vsak model smo upoštevali spodnjih 10% signalov, ki jih je model ustvaril za naslednje leto, kot signale bankrota. Dejansko ta pristop pomeni skupno 10% predhodno verjetnost bankrota in razmerje med številom signalov stečaja in dejanskimi stečaji v prejšnjem testu, ki je določen z optimizacijskim pragom. Poleg tega ima ta metoda prednost, da zmanjšuje izkrivljanja zaradi velikega časovnega zamika med objavo Altmanove Z-točke in izvedbo poskusa. Povprečni kazalniki so se v tem času morda spremenili, zato se zdi delitev podjetij na močna in šibka glede na določen delež bolj zanesljiva. Tabela 9.2 prikazuje rezultate poskusa za napovedovanje bankrotov za eno leto vnaprej z navedbo napake za vsak model.

Če upoštevate predhodno verjetnost, ocenite pričakovani dobiček v primeru odprtja podružnice.

Z A. označimo dogodek, da je q 6 [

Recimo, da so na primer izbrani naslednji parametri: vrednost kapitalskih naložb, vrednost obratovalnih stroškov in cena končnih izdelkov, ki lahko sprejmejo vrednosti Кb К2, К3 Эь Э2, Э3 Ць Ц2 , Цз- Vsaka od teh vrednosti ustreza neki apriorni verjetnosti, na primer Kь Эь Ts ima verjetnost pt = 0,1, za K2, A2, Ts2 bo verjetnost p2 = 0,8, za K3, E3, Ts3 - p3 = 0,1.

Naj bo apriorna verjetnost, da na koncu postopka načrtovanja dobimo tehnično rešitev, ki ustreza

Če ima igralec 2 v igri D več strategij in igralcu 1 predhodne verjetnosti njihove uporabe niso znane ali pa o teh verjetnostih sploh ni smiselno govoriti, potem vse, kar je bilo pravkar povedano, ni uporabno.

Kot smo že videli, so spremembe predhodnih verjetnosti p in q odvisne od uglaševanja signala.

Zato sledi, da če imamo subjekt, ki je nevtralen do tveganja in verjame, da bo klicna opcija vredna C z verjetnostjo tg in j z verjetnostjo (1 - tg), bo ta subjekt izračunal trenutno ceno opcije v celoti v skladu z našo enačbo ... Upoštevajte, da nikoli nismo predvidevali obstoja a priori verjetnosti nastanka določene cene delnice in v skladu s tem prihodnje vrednotenje opcije. Ta pristop se imenuje ocena tveganja nevtralna.

Naj bo m (

Desna stran (7.53) ni gostota v pravem pomenu besede, saj njen integral ni definiran; kljub temu pri izračunu gostote zadnje porazdelitve parametrov po Bayesovi formuli nastanejo formalne težave pri delu z ( 7.53) bodisi ne nastanejo ali pa jih je enostavno premagati ... Kot bomo videli spodaj v oddelku 7.3.2, je izbira (7.53) analitično priročna in zdi se, da dobro odraža popolno odsotnost apriornega znanja o porazdelitvi parametrov. Vendar pa v resnici skriva zelo močne predpostavke, da med parametri ni korelacije (ne smemo zamenjati s korelacijo med ocenami vrednosti parametrov, ki je odvisna od porazdelitve regresorjev in vrednosti a) , zanemarljiva apriorna verjetnost, da vektor parametrov leži v kateri koli dani končni prostornini, ne glede na njeno vrednost itd. To včasih povzroči resne težave pri interpretaciji rezultatov Bayesove ocene.

Razmislite o vsebini Bayesovega izreka z nekoliko drugačnega vidika. V ta namen bomo zapisali vse možne rezultate našega poskusa. Naj simboli Н0, h pomenijo rezultat, kovanec ni pokrit, njegova zgornja stran pa je grb. "

Jaz sem kot V2i, potem bo verjetnost določenega izida Va X x1 / 2 = 1 / 4- Spodaj podajamo seznam vseh izidov in njihove predhodne verjetnosti

Torej, v primeru s kovancem in kocko je P (Ha) prednostna verjetnost, P (Na K) je zadnja verjetnost in P (H Ha) je verjetnost.

Če lahko sedaj predhodno verjetnost P (H0) vzamemo kot 1 ali 0, je rečeno, da je odločevalec

Zdaj si predstavljajte, da eksperimentator odločevalcu ponuja popolnoma zanesljive (ali popolne) informacije o tem, kateri predmet ni zajet. Odločitvenec pa mora plačati storitev sporočanja tako popolnoma zanesljivih informacij, preden te podatke prejme. Kakšna bi bila vrednost takšnih informacij? Lahko pogleda naprej in se vpraša, kaj bo naredil kot odgovor na vsako od dveh možnih sporočil, ki jih lahko da določena storitev, in izračuna svoj dohodek na podlagi prejetih odgovorov. Tehtanje tega dohodka z uporabo predhodnih verjetnosti možnih sporočil bi mu omogočilo, da oceni znesek svojega pričakovanega dohodka, če bi plačal nekaj zneska za popolnoma zanesljive informacije, preden jih je dejansko prejel. Ker bi bil ta pričakovani dohodek večji od 0,5 USD, to je tisto, kar pričakuje zgolj na podlagi apriornih podatkov, bi bilo povečanje dohodka največji znesek, ki bi mu bilo smiselno plačati za informacijsko storitev.

Podjetje mora danes ali jutri kupiti veliko količino blaga. Danes je cena izdelka 14,5 USD na enoto. Po navedbah podjetja bo jutri njegova cena z enako verjetnostjo 10 USD ali 20 USD. Naj x označuje jutrišnjo ceno, potem so predhodne verjetnosti

Na zadnji stopnji se preveri zanesljivost izbire a priori verjetnosti pojava tržnih razmer in izračuna pričakovana koristnost izboljševanja teh verjetnosti. Za to je zgrajeno drevo odločanja. Če se pojavi potreba po dodatnih tržnih raziskavah, je priporočljivo prekiniti izvajanje izbrane možnosti za nov izdelek, dokler ne bodo doseženi zanesljivejši rezultati.

V tržni praksi podjetja je za boljšo odločitev pogosto treba primerjati stroške pridobivanja delnih (nepopolnih) informacij in stroške pridobivanja dodatnih novih informacij. Upravitelj (odločevalec) mora oceniti, v kolikšni meri koristi, pridobljene z dodatnimi informacijami, krijejo stroške njihovega pridobivanja. V tem primeru je mogoče uporabiti Bayesovo teorijo odločanja. Začetni podatki so apriorne verjetnosti P (Sk) in pogojne verjetnosti P (Z Sk) pojava tržnega stanja Z, pod pogojem, da se predpostavlja videz stanja 5A. Po prejemu novih informacij se izračuna pričakovana koristnost vsake strategije, nato pa se izbere strategija z največjo vrednostjo pričakovane uporabnosti. S pomočjo novih informacij lahko odločevalec popravi predhodne verjetnosti P (Sk), kar je pri odločanju zelo pomembno.

Zdaj je zaželeno vedeti, kakšna bo verjetnost pojava objektivnega stanja Sk, ko bodo prejete nove informacije. Tako je treba najti P (Sk Z), kjer je k, q = 1, n. To je pogojna verjetnost in je prilagojena predhodna verjetnost. Za izračun P (Sk Z) uporabimo Bayesovo formulo

Tako smo dobili vnaprej določene verjetnosti pojava objektivnih tržnih razmer. Celoten postopek izračuna in dobljeni rezultati so prikazani v tabeli. 9.11 in 9.12.

Uporaba Bayesovega pristopa (6.47) zahteva poznavanje apriornih verjetnosti in gostote porazdelitve verjetnosti.

S pomočjo numeričnih značilnosti predmetov, pridobljenih iz AGC, smo izvedli standardno linearno analizo z več diskriminatami z enakimi (enakimi 33%) predhodnimi verjetnostmi pripadnosti elementa. skupine. 41% skupnega števila primerov je bilo pravilno razvrščenih, kar je nekoliko bolje od 33% natančnosti, ki bi jo dobili, če bi predmet naključno dodelili eni ali drugi skupini. Zavihek. 8.6 spodaj je tabela napačnih razvrstitev, imenovana tudi matrika napak.

Naslednji izziv je razvoj standarda za testiranje. V večini primerov je za ovrednotenje modelov MDA vzetih le nekaj vzorcev, kar povečuje verjetnost, da se bo model preveč približal testnim podatkom. Vzorci običajno vsebujejo enak delež podjetij v stečaju in v stečaju, sami podatki pa praviloma ustrezajo obdobjem intenzivnega stečaja. To vodi k sklepu, da so samo rezultati vrednotenja modela na novih podatkih zanesljivi. Iz mize. 9.1 je razvidno, da je tudi pri najugodnejših preskusih z novimi podatki (če so vsi primeri vzeti iz istega časovnega obdobja in so poleg tega homogeni glede na panoge in velikost podjetja) kakovost slabša kot pri vzorcih, ki so bili uporabljeni za določitev parametrov modela. Ker uporabniki klasifikacijskih modelov v praksi ne bodo mogli prilagoditi drugih predhodnih verjetnosti bankrota, velikosti podjetja ali industrije, je lahko dejanska kakovost modela še slabša. Kakovost se lahko poslabša tudi zaradi dejstva, da je v vzorcih za testiranje modelov MDA malo podjetij, ki niso bankrotirala, vendar so ogrožena. Če obstaja le štiri ali pet takih podjetij, ki preživijo v nevarnosti, potem to izkrivlja dejanski delež tveganih podjetij, zato je pogostost napak tipa II podcenjena.

Metode MDA, vključene v primerjavo, so bile izračunane in optimizirane na podlagi hitrosti lažnega signala 10 1 z nekaterimi predhodnimi verjetnostmi in stroški napak. Kot predhodni kriterij bi rad uporabil manj kot 10%števila potencialnih bankrotov v populaciji, vendar se to ne ujema dobro s parametri modelov. Prav tako je v nasprotju s prakso, kjer znižanje praga pod 10 odstotkov ni povzročilo stečaja. Ko se je torej delež lažnih signalov zmanjšal na 7%, je lestvica Taffler Z prenehala identificirati bankrote, model Datastream pa je na to oviro naletel pri približno 8%. Nasprotno pa je nevronska mreža prepoznala dva primera bankrota pod delitvijo 4,5%, tj. omrežje lahko deluje v razmerah, ko obstaja le pet lažnih signalov za eno pravilno identifikacijo stečaja. Ta številka je primerljiva z najboljšimi rezultati, ki jih modeli MDA dobijo na veliko manj zahtevnih naknadnih testih. To vodi do dveh zaključkov: prvič, nevronski modeli so zanesljiva metoda razvrstitve v kreditnem sektorju, in drugič, uporaba cene delnice kot ciljne spremenljivke pri usposabljanju se lahko izkaže za bolj donosno kot kazalnik stečaja / preživetja. Cena delnice odraža-

V pogl. 3-5 opisuje metode za prilagajanje preferenc (uteži) prihodnjih dogodkov, kvantitativne ocene stopnje prednosti in lahko izračunamo brezpogojno verjetnost katerega koli vzorčnega rezultata

I. Pogojne verjetnosti. A priori in posteriorne verjetnosti. 3

II. Neodvisni dogodki. 5

III. Preverjanje statističnih hipotez. Statistična zanesljivost. 7

IV. Uporaba testa Chi-Square 19

1. Določitev zanesljivosti razlike med nizom frekvenc in nizom verjetnosti. 19

2. Določitev zanesljivosti razlike med več nizi frekvenc. 26

V SAMOSTALNA MISIJA 33

Lekcija številka 2

1. Pogojne verjetnosti. A priori in posteriorne verjetnosti.

Naključno spremenljivko določajo trije predmeti: niz osnovnih dogodkov, niz dogodkov in verjetnost dogodkov. Te vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka, se imenujejo osnovnih dogodkov. Niz osnovnih dogodkov se imenuje dogodki... Za numerične in druge ne zelo zapletene naključne spremenljivke je vsak dani niz osnovnih dogodkov dogodek.

Vzemimo primer: metanje kocke.

Skupaj je 6 osnovnih dogodkov: "točka", "2 točki", "3 točke" ... "6 točk". Dogodek - kateri koli niz osnovnih dogodkov, na primer »par«, je vsota osnovnih dogodkov »2 točki«, »4 točke« in »6 točk«.

Verjetnost katerega koli elementarnega dogodka P (A) je 1/6:

verjetnost dogodka je število osnovnih dogodkov, vključenih vanj, deljeno s 6.

Pogosto poleg znane verjetnosti dogodka obstaja še nekaj dodatnih informacij, ki to verjetnost spremenijo. Na primer smrtnost bolnikov. sprejetih v bolnišnico z akutno krvavitvijo želodca, je približno 10%. Če pa je bolnik starejši od 80 let, je ta smrtnost 30%.

Za opis tovrstnih situacij se uporabljajo t.i pogojne verjetnosti... Označeni so kot P (A / B) in berejo "verjetnost dogodka A pod pogojem dogodka B". Za izračun pogojne verjetnosti se uporablja formula:

Vrnimo se na prejšnji primer:

Naj bo med bolniki, sprejetimi v bolnišnico z akutno krvavitvijo želodca, 20% bolnikov, starejših od 80 let. Poleg tega je med vsemi bolniki delež umrlih bolnikov, starejših od 80 let, 6% (spomnite se, da je delež vseh smrti 10%). V tem primeru

Pri opredelitvi pogojnih verjetnosti so izrazi a priori(dobesedno - pred izkušnjami) in a posteriori(dobesedno - po izkušnjah) verjetnosti.

Z uporabo pogojnih verjetnosti lahko iz ene verjetnosti izračunate druge, na primer za zamenjavo dogodka in pogoja.

Razmislimo o tej tehniki na primeru analize razmerja med tveganjem za bolezen revmatizma (revmatična mrzlica) in enim od antigenov, ki so zanj dejavnik tveganja.

Incidenca revmatizma je približno 1%. Označimo prisotnost revme kot R +, medtem ko je P (R +) = 0,01.

Prisotnost antigena bo označena kot A +. Najdemo ga pri 95% bolnikov z revmo in pri 6% bolnikov brez revmatizma. V našem zapisu so to: pogojne verjetnosti P (A + / R +) = 0,95 in P (A + / R -) = 0,06.

Na podlagi teh treh verjetnosti bomo zaporedno določili druge verjetnosti.

Najprej, če je incidenca revmatizma P (R +) = 0,01, potem je verjetnost, da ne zbolimo, P (R -) = 1 -P (R +) = 0,99.

Iz formule za pogojno verjetnost ugotovimo, da

P (A +in R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0,95 * 0,01 = 0,0095 ali 0,95% prebivalstva hkrati trpi za revmo in ima antigen.

Prav tako

P (A + in R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0,06 * 0,99 = 0,0594 ali 5,94% populacije nosi antigen, vendar ne dobi revmatizma.

Ker imajo vsi z antigenom revmo ali pa ne zbolijo (vendar ne oba hkrati), vsota zadnjih dveh verjetnosti podaja pogostost prenosa antigena v populaciji kot celoti:

P (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

V skladu s tem je delež ljudi brez antigena enak

P (A -) = 1- P (A +) = 0,9311

Ker je incidenca revmatizma 1%, delež ljudi z antigenom in revmo pa 0,95%, je delež ljudi z revmo in brez antigena enak:

P (A - in R +) = P (R +) - P (A +in R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Zdaj se bomo premaknili v nasprotno smer, od verjetnosti dogodkov in njihovih kombinacij do pogojnih verjetnosti. V skladu s prvotno pogojno verjetnostno formulo P (A + / R +) = P (R +in A +) / P (A +) = 0,0095 / 0,06890,1379 ali približno 13,8% oseb, ki nosijo antigen, zboli za revmo . Ker je incidenca celotne populacije le 1%, dejstvo odkrivanja antigena poveča verjetnost revmatizma za 14 -krat.

Podobno je P (R + / A -) = P (R + in A -) / P (A -) = 0,0005 / 0,93110,000054, to je, da dejstvo, da med testiranjem ni bil odkrit antigen, zmanjšuje verjetnost za nastanek revmatizma 19 -krat.

Oblikujmo to nalogo v Excelovi preglednici:

Ogledate si lahko postopek izdelave tabele picture2 \ p2-1.gif

Naključni dogodek se ovrednoti s številom, ki določa intenzivnost manifestacije tega dogodka. Ta številka se imenuje verjetnost razvoja P () ... Verjetnost elementarnega dogodka je ... Verjetnost dogodka je numerično merilo stopnje objektivnosti, možnosti tega dogodka. Večja kot je verjetnost, večja je verjetnost dogodka.

Vsak dogodek, ki ustreza celotnemu prostoru izidov S je poklican verodostojen dogodek, tj. tak dogodek, ki se mora kot posledica poskusa nujno zgoditi (na primer padanje poljubnega števila točk z 1 na 6 na kocki). Če dogodek ne pripada nizu S, potem se upošteva nemogoče(na primer pojav več točk, večjih od 6 na kocki). Verjetnost nemogočega dogodka je 0, verjetnost določenega dogodka je 1. Vsi drugi dogodki imajo verjetnost od 0 do 1.

Dogodki E in se imenujejo nasprotno, če E pride, ko ne pride ... Na primer dogodek E- "izguba parnega števila točk", nato dogodek - "izguba lihega števila točk." Dva dogodka E 1 in E 2 se imenujejo nedoslednoče za oba dogodka ni skupnega izida.

Za določitev verjetnosti naključnih dogodkov se uporabljajo neposredne ali posredne metode. Pri neposrednem izračunu verjetnosti se ločita apriorna in a posteriori shema izračuna, ko izvedite opazovanja (poskuse) ali a priori štejte število poskusov m v katerem se je pojavil dogodek in skupno število opravljenih poskusov n... Posredne metode temeljijo na aksiomatski teoriji. Ker so dogodki opredeljeni kot množice, je z njimi mogoče izvesti vse teoretične operacije. Teorijo množic, funkcionalno analizo je predlagal akademik A.N. Kolmogorova in je bil osnova aksiomatske teorije verjetnosti. Tu so aksiomi verjetnosti.

Aksiomjaz. Polje dogodkaF.(S) je algebra množic.

Ta aksiom kaže na analogijo med teorijo množic in teorijo verjetnosti.

AksiomII. Za vsak nizodF.(S) resnično število P (), imenovano verjetnost dogodka:

pod pogojem S 1 S 2 =  (za nedosledne dogodke S 1 in S 2 ) ali za številne nedosledne dogodke

kje N- število osnovnih dogodkov (možni izidi).

Verjetnost naključnega dogodka

kje - verjetnosti osnovnih dogodkov vključeni v podnabor .

Primer 1.1. Določite verjetnost, da boste pri metanju kocke izpadli iz vsake številke, izpadli iz parnega števila, števila 4 .

Rešitev... Verjetnost, da bo vsako število izpadlo iz niza

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Verjetnost, da dobimo sodo število, t.j.
={2, 4, 6}, na podlagi (1.6) bo P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Verjetnost, da dobimo številko  4 , tj.
= {4, 5, 6 } ,

P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Naloge za samostojno učenje

1. V košarici je 20 belih, 30 črnih in 50 rdečih kroglic. Določite verjetnost, da bo prva žoga, vzeta iz koša, bela; Črna; rdeča.

2. V študentski skupini je 12 fantov in 10 deklet. Kolikšna je verjetnost, da bo na seminarju o teoriji verjetnosti odsoten: 1) mladenič; 2) dekle; 3) dva fanta?

3. Med letom je 51 dni odlikovalo dejstvo, da je v teh dneh deževalo (ali snežilo). Kakšna je verjetnost, da tvegate, da vas ujame dež (ali sneg): 1) odhod v službo; 2) pohod 5 dni?

4. Naredite težavo na temo te naloge in jo rešite.

1.1.3. Določitev zadnje verjetnosti (statistična verjetnost ali pogostost

naključni dogodek)

Pri vnaprejšnji določitvi verjetnosti je bilo predvideno, da so enako verjetni. To še zdaleč ni res, pogosteje se to zgodi
ob
... Vnebovzetje
vodi do napake v apriorni definiciji P ( ) po ustaljeni shemi. Za določitev , in na splošno P ( ) izvesti ciljno usmerjene teste. Med izvajanjem takih preskusov (na primer rezultati preskusov v primerih 1.2, 1.3) pod različnimi pogoji, različnimi pogoji, vplivi, vzročnimi dejavniki, t.j. enak primeri, drugačen rezultati(različne manifestacije informacij o raziskanem objektu). Vsak rezultat testa ustreza enemu elementu ali eno podskupino množice S.Če definirate m kot število ugodnih dogodkov A rezultat, ki je rezultat tega n posteriorna verjetnost (statistična verjetnost ali pogostost naključnega dogodka A)

Na podlagi zakona velikih števil za  A

tiste. s povečanjem števila poskusov pogostost naključnega dogodka (aposteriori ali statistična verjetnost) teži k verjetnosti tega dogodka.

Primer 1.2. Verjetnost, da dobite glave na metu kovanca, določena s shemo primerov, je 0,5. 10, 20, 30 ... krat je treba metati kovanec in po vsaki seriji preskusov določiti pogostost naključnega dogodka repa.

Rešitev... K. Poisson je kovanec vrgel 24.000 -krat, z 11998 repi. Nato po formuli (1.7) verjetnost, da dobimo repove

.

Naloge za samostojno učenje

Na podlagi velikega statističnega materiala ( n  ), so bile pridobljene vrednosti verjetnosti pojavljanja posameznih črk ruske abecede in presledka () v besedilih, ki so podane v tabeli 1.1.

Tabela 1.1. Verjetnost pojavljanja črk abecede v besedilu

Vzemite stran katerega koli besedila in določite pogostost pojavljanja različnih črk na tej strani. Povečajte obseg testov na dve strani. Dobljene rezultate primerjajte s podatki v tabeli. Naredite zaključek.

Pri streljanju na tarče je bil dosežen naslednji rezultat (glej tabelo 1.2).

Tabela 1.2. Ciljni rezultat streljanja

Kakšna je verjetnost, da bi tarča zadela že pri prvem strelu, če bi bila manjša od deset, devet itd.?

3. Načrtujte in izvedite podobne teste za druge dogodke. Predstavite njihove rezultate.