V računski praksi se je treba pogosto soočiti s funkcijami, ki jih dajo tabele njihovih vrednosti za neki končni niz vrednosti NS : .

Pri reševanju problema je treba uporabiti vrednosti
za vmesne vrednosti argumenta. V tem primeru je zgrajena funkcija Ф (x), ki je dovolj preprosta za izračune, ki na danih točkah x 0 , x 1 , ..., x n , imenovana interpolacijska vozlišča, prevzame vrednosti in na drugih točkah segmenta (x 0, x n), ki pripadajo domeni definicije
, približno predstavlja funkcijo
z različnimi stopnjami natančnosti.

Pri reševanju problema v tem primeru namesto funkcije
deluje s funkcijo Ф (x). Problem konstruiranja takšne funkcije Ф (x) imenujemo interpolacijski problem. Najpogosteje iščemo interpolacijsko funkcijo Ф (x) v obliki algebrskega polinoma.

1. Interpolacijski polinom

Za vsako funkcijo
opredeljeno na [ a, b] in poljuben niz vozlišč x 0 , x 1 , ...., x n (x jaz
[a, b], x jaz x j za i j) med algebrskimi polinomi stopnje največ n obstaja edinstven interpolacijski polinom F (x), ki ga lahko zapišemo v obliki:

, (3.1)

kje
- polinom stopnje n z naslednjo lastnostjo:

Za interpolacijski polinom je polinom
izgleda kot:

Ta polinom (3.1) rešuje problem interpolacije in se imenuje Lagrangeov interpolacijski polinom.

Kot primer razmislite o funkciji obrazca
na intervalu
podano tabelarno.

Vrednost funkcije je treba določiti v točki x-2.5. Za to bomo uporabili Lagrangeov polinom. Na podlagi formul (3.1 in 3.3) zapišemo ta polinom v eksplicitni obliki:

(3.4).

Nato z zamenjavo začetnih vrednosti iz naše tabele v formulo (3.4) dobimo

Rezultat je skladen s teorijo, tj. ...

1. Lagrangeova formula za interpolacijo

Lagrangejev interpolacijski polinom lahko zapišemo v drugačni obliki:

(3.5)

Zapis polinoma v obliki (3.5) je bolj primeren za programiranje.

Pri reševanju problema interpolacije se količina n se imenuje vrstni red interpolirajočega polinoma. Poleg tega bo, kot je razvidno iz formul (3.1) in (3.5), število interpolacijskih vozlišč vedno enako n + 1 in pomen x, za katere je vrednost
, mora ležati v domeni opredelitve interpolacijskih vozlišč tiste.

. (3.6)

V nekaterih praktičnih primerih je skupno znano število interpolacijskih vozlišč m je lahko večji od vrstnega reda interpolirajočega polinoma n.

V tem primeru je treba pred izvedbo interpolacijskega postopka po formuli (3.5) določiti tista interpolacijska vozlišča, za katera velja pogoj (3.6). Ne smemo pozabiti, da je najmanjša napaka dosežena pri iskanju vrednosti x v središču interpolacijskega območja. Da bi to zagotovili, je predlagan naslednji postopek:

Glavni namen interpolacije je izračunati vrednosti tabelarizirane funkcije za nenodalne (vmesne) vrednosti argumentov, zato se interpolacija pogosto imenuje "umetnost branja tabel med vrsticami".

Lagrangeov polinom

Lagranžev interpolacijski polinom- polinom minimalne stopnje, ki prevzame dane vrednosti v danem nizu točk. Za n+ 1 par števil, kjer vse x jaz drugačen, obstaja samo en polinom L(x) stopnja ni več n, za kar L(x jaz) = y jaz .

V najpreprostejšem primeru ( n= 1) je linearni polinom, katerega graf je ravna črta, ki poteka skozi dve podani točki.

Opredelitev

Ta primer prikazuje Lagrangeov interpolacijski polinom za štiri točke (-9,5), (-4,2), (-1, -2) in (7,9), pa tudi polinome y j l j (x), od katerih vsaka prehaja skozi eno od izbranih točk, v preostalih pa sprejme nič vrednosti x i

Naj za funkcijo f(x) vrednosti so znane y j = f(x j) na nekaterih točkah. Potem lahko to funkcijo interpoliramo kot

Še posebej,

Vrednosti integralov l j niso odvisni od f(x) in jih je mogoče vnaprej izračunati, če poznamo zaporedje x jaz .

Za primer enakomerne porazdelitve interpolacijskih vozlišč vzdolž segmenta

V tem primeru lahko izrazimo x jaz skozi razdaljo med vozlišči interpolacije h in izhodiščem x 0 :

in zato

Če te izraze nadomestimo v formulo osnovnega polinoma in vzamemo h za znake množenja v števcu in imenovalcu, dobimo

Zdaj lahko vnesete zamenjavo spremenljivke

in dobimo polinom od y ki je zgrajen le s celoštevilčno aritmetiko. Pomanjkljivost tega pristopa je faktorska kompleksnost števca in imenovalca, ki zahteva uporabo algoritmov z večbajtno predstavitvijo števil.

Zunanje povezave

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "Lagrangeov polinom" v drugih slovarjih:

Oblika pisanja polinoma stopnje n (Lagrangeov interpolacijski polinom), ki interpolira dano funkcijo f (x) .V vozliščih x 0, x1, ..., xn: V primeru, ko so vrednosti xi enako oddaljene, to pomeni z uporabo zapisa (x x0) / h = t formula (1) ... ... Enciklopedija matematike

V matematiki so polinomi ali polinomi v eni spremenljivki funkcije oblike, kjer so ci fiksni koeficienti, x pa spremenljivka. Polinomi so eden najpomembnejših razredov osnovnih funkcij. Študija polinomskih enačb in njihovih rešitev ... ... Wikipedia

V računalniški matematiki so Bernsteinovi polinomi algebraični polinomi, ki so linearne kombinacije osnovnih Bernsteinovih polinomov. Stabilen algoritem za izračun polinoma v Bernsteinovi obliki je algoritem ... ... Wikipedia

Polinom minimalne stopnje, ki sprejme dane vrednosti v danem nizu točk. Za pare števil, kjer so vsa različna, obstaja največ en polinom stopnje, za katerega. V najpreprostejšem primeru (... Wikipedia

Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom minimalne stopnje, ki v danem nizu točk sprejme dane vrednosti. Za n + 1 parov števil, kjer so vsi xi različni, obstaja edinstven polinom L (x) največ n, za katerega je L (xi) = yi ... ... Wikipedia

Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom minimalne stopnje, ki v danem nizu točk sprejme dane vrednosti. Za n + 1 parov števil, kjer so vsi xi različni, obstaja edinstven polinom L (x) največ n, za katerega je L (xi) = yi ... ... Wikipedia

O funkciji glej: Interpoliant. Interpolacija v računski matematiki je metoda iskanja vmesnih vrednosti količine iz razpoložljivega diskretnega niza znanih vrednosti. Mnogi od tistih, ki se soočajo z znanstvenimi in inženirskimi izračuni pogosto ... Wikipedia

O funkciji glej: Interpoliant. Interpolacija, interpolacija v računski matematiki je metoda iskanja vmesnih vrednosti količine iz razpoložljivega diskretnega niza znanih vrednosti. Mnogi od tistih, ki naletijo na znanstveno in ... ... Wikipedia

Zgradili bomo interpolacijski polinom v obliki

kjer so največ polinomi stopinj NS, ki ima naslednjo lastnino:

V tem primeru je polinom (4.9) na vsakem vozlišču x j, j = 0,1, ... n, je enak ustrezni vrednosti funkcije y j, tj. je interpolacija.

Konstruirajmo takšne polinome. Ker je za x = x 0, x 1,… x i -1, x i +1,… x n, lahko faktorimo na naslednji način

kjer je c konstanta. Iz pogoja to dobimo

Interpolacijski polinom (4.1), zapisan v obliki

se imenuje Lagrangeov interpolacijski polinom.

Približna vrednost funkcije na točki x * izračunana z Lagrangeovim polinomom, bo imela preostalo napako (4.8). Če so vrednosti funkcije y i na interpolacijskih vozliščih x i nastavljeni približno z isto absolutno napako, nato pa se namesto natančne vrednosti izračuna približna vrednost in

kjer je računska absolutna napaka Lagrangejevega interpolacijskega polinoma. Na koncu imamo naslednjo oceno skupne napake približne vrednosti.

Zlasti bodo imeli Lagrangeovi polinomi prve in druge stopnje obliko

in njihove skupne napake v točki x *

Obstajajo tudi druge oblike zapisovanja istega interpolacijskega polinoma (4.1), na primer Newtonova formula interpolacije z ločenimi razlikami, ki so obravnavane spodaj, in njene različice. Za natančne izračune vrednosti Pn (x *) dobljene z različnimi formulami interpolacije, zgrajenimi iz istih vozlišč, sovpadajo. Prisotnost računske napake vodi do razlike v vrednostih, pridobljenih iz teh formul. Zapis polinoma v obliki Lagrangea vodi praviloma do manjše računske napake.

Uporaba formul za ocenjevanje napak, ki izhajajo iz interpolacije, je odvisna od formulacije problema. Na primer, če je število vozlišč znano in je funkcija podana z dovolj velikim številom pravilnih znakov, potem problem izračuna f (x *) z največjo možno natančnostjo. Če je, nasprotno, število pravilnih znakov majhno, število vozlišč pa veliko, potem je problem izračuna f (x *) z natančnostjo, ki jo dovoljuje tabela vrednosti funkcije, in za rešitev tega problema bo morda potrebno tako redčenje kot zbijanje tabele.

§4.3. Ločene razlike in njihove lastnosti.

Koncept deljene razlike je posplošen koncept izpeljanke. Naj bodo vrednosti funkcij f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Ločene razlike prvega reda določajo enakosti

ločene z razlikami drugega reda - enakosti,

in ločene razlike k--ti vrstni red se določi z naslednjo rekurzivno formulo:

Razdelitvene razlike so običajno zapisane v tabeli:

Upoštevajte naslednje lastnosti ločenih razlik.

1. Razdeljene razlike vseh naročil so linearne kombinacije vrednosti f (x i), tj. velja naslednja formula:

Dokazimo veljavnost te formule z indukcijo po vrstnem redu razlik. Za razlike prvega reda

Formula (4.12) je veljavna. Recimo, da zdaj velja za vse razlike v vrstnem redu.

Nato v skladu s (4.11) in (4.12) za razlike v vrstnem redu k = n + 1 imamo

Izrazi, ki vsebujejo f (x 0) in f (x n +1), imajo zahtevan obrazec. Razmislite o izrazih, ki vsebujejo f (x i), i = 1, 2, ..., n... Obstajata dva taka izraza - iz prve in druge vsote:

tiste. formula (4.12) velja za razliko naročila k = n + 1, dokazov je konec.

2. Razdeljena razlika je simetrična funkcija njenih argumentov x 0, x 1, ... x n (to pomeni, da se ne spremeni za nobeno permutacijo):

Ta lastnost neposredno sledi iz enakosti (4.12).

3. Enostavno razmerje razcepljene razlike f in izpeljanka f (n) (x) daje naslednji izrek.

Naj vozlišča x 0, x 1, ... x n pripadajo segmentu in funkcijo f (x) ima na tem segmentu neprekinjeno izpeljanko reda NS... Potem je tu smisel xÎ, kaj

Najprej dokažimo veljavnost relacije

Po (4.12) je izraz v oglatih oklepajih

f.

Primerjava (4.14) z izrazom (4.7) za preostanek R n (x) = f (x) -L n (x) dobimo (4.13), izrek je dokazan.

Iz tega izreka izhaja preprosta posledica. Za polinom NS-stopnja I.

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

izvedenka naročila NS očitno obstaja

in razmerje (4.13) daje za deljeno razliko vrednost

Torej, vsak polinom stopnje NS ločene razlike v vrstnem redu NS so enaki konstantni vrednosti - koeficientu na najvišji stopnji polinoma. Ločene razlike višjih razredov
(več NS) so očitno enake nič. Ta sklep pa velja le, če za ločene razlike ni računske napake.

§4.4. Interpolacijski Newtonov polinom z ločenimi razlikami

Zapišimo Lagrangeov interpolacijski polinom v naslednji obliki:

kje L 0 (x) = f (x 0) = y 0, a L k (x)- Lagrangeov interpolacijski polinom stopnje k zgrajena z vozlišči x 0, x 1, ..., x k... Potem je polinom stopnje k katerih korenine so točke x 0, x 1, ..., x k -1... Zato ga je mogoče faktorizirati

kjer je A k konstanta.

V skladu z (4.14) dobimo

Če primerjamo (4.16) in (4.17), dobimo, da ima (4.15) tudi obliko

ki se imenuje Newtonov interpolacijski polinom z ločenimi razlikami.

Ta vrsta zapisa interpolacijskega polinoma je bolj opisna (dodatek enega vozlišča ustreza videzu enega izraza) in omogoča boljše sledenje analogiji konstruiranih konstrukcij z osnovnimi konstrukcijami matematične analize.

Preostala napaka Newtonovega interpolacijskega polinoma je izražena s formulo (4.8), vendar jo lahko ob upoštevanju (4.13) zapišemo v drugi obliki

tiste. preostalo napako je mogoče oceniti z modulom prvega zavrnjenega člena v polinomu N n (x *).

Računska napaka N n (x *) bo določeno z napakami ločenih razlik. Interpolacijska vozlišča, najbližja interpolirani vrednosti x *, bo imel večji vpliv na interpolacijski polinom, ki leži dalje - manj. Zato je priporočljivo, če je mogoče, za x 0 in x 1 vzemite se x * interpolacijskih vozlišč in na teh vozliščih najprej izvede linearno interpolacijo. Nato postopoma pritegnite naslednja vozlišča, tako da bodo čim bolj simetrična glede na x * dokler naslednji izraz v absolutni vrednosti ni manjši od absolutne napake deljene razlike, ki je v njem vključena.

Naj na segmentu funkcijo y = f (x) je postavljen v tabelo, t.j. (x i, y i), (i = 0,1, .., n), kje y i = f (x i). Ta funkcija se imenuje " mreža».

Formulacija problema: najti algebrski polinom (polinom):

stopnja ne višja n takšno, da

L n (x i) = y i, ob i = 0,1, .., n,(5.6)

tiste. ki imajo na danih vozliščih x i, (jaz=0,1,..,n) enake vrednosti kot funkcija mreže ob=f (x).

Polinom sam L n (x) poklical interpolacijski polinom, in naloga je polinomska interpolacija .

Poiščite polinom L n (x)- to pomeni poiščite njegove koeficiente a 0 , a 1 ,…, A n. Za to obstaja n + 1 (5.6), ki so zapisane v obliki sistema linearnih algebrskih enačb glede na neznanke a ja,(jaz=0, 1,…,n):

kje x jaz in y jaz ( jaz=0,1,…,n) - tabele vrednosti argumenta in funkcije.

Iz tečaja algebre je znano, da je determinanta tega sistema, imenovana Vandermondeova determinanta:

nenič in zato ima sistem (5.7) edina odločitev.

Po določitvi koeficientov a 0 , a 1 ,…, A n, reševalni sistem (5.7), dobimo t.i Lagrangeov interpolacijski polinom za funkcijo f (x):

(5.8)

ki se lahko zapiše kot:

Dokazano je, da je dano n Naredite lahko +1 vrednosti funkcije edini Lagrangeov interpolacijski polinom(5.8).

V praksi so Lagrangejevi interpolacijski polinomi prvega ( n = 1) in drugi ( n = 2) stopinje.

Ob n = 1 podatek o interpolirani funkciji y = f (x) je postavljen na dveh točkah: (x 0 , y 0 ) in (x 1 , y 1 ), in Lagrangeov polinom ima obliko

Za n = 2 je Lagrangeov polinom zgrajen iz tačke s tremi točkami

Rešitev: Zamenjamo začetne podatke v formulo (5.8). Stopnja dobljenega Lagrangeovega polinoma ni višja od tretje, saj je funkcija določena s štirimi vrednostmi:

Z Lagrangeovim interpolacijskim polinomom lahko najdete vrednost funkcije na kateri koli vmesni točki, na primer za NS=4:

= 43

Lagrangejevi interpolacijski polinomi uporablja v metoda končnih elementov, se pogosto uporablja pri reševanju gradbenih problemov.

Znane so tudi druge formule za interpolacijo, na primer Newtonova formula interpolacije se uporablja za interpolacijo v primeru enako razporejenih vozlišč ali interpolacijskega polinoma Hermita.

Spline interpolacija... Pri uporabi velikega števila interpolacijskih vozlišč se uporablja posebna tehnika - delno polinomska interpolacija ko je funkcija interpolirana s polinomom stopinje T med vsemi sosednjimi vozlišči mreže.

Aproksimacija koreninskega povprečja funkcij

Formulacija problema

Rms približek funkcije je še en pristop k pridobivanju analitičnih izrazov za aproksimacijske funkcije. Značilnost tovrstnih problemov je dejstvo, da so začetni podatki za konstrukcijo določenih pravilnosti očitno približen značaj.

Ti podatki so pridobljeni kot rezultat katerega koli poskusa ali kot rezultat nekega računalniškega procesa. V skladu s tem ti podatki vsebujejo eksperimentalne napake (napake merilne opreme in pogojev, naključne napake itd.) ali napake zaokroževanja.

Recimo, da se raziskuje kakšen pojav ali proces. Na splošno lahko predmet raziskave predstavlja kibernetični sistem (»črna skrinjica«), prikazan na sliki.

Spremenljivka NS Je neodvisna nadzorovana spremenljivka (vhodni parameter).

Spremenljivka Y Je reakcija (odziv) raziskovalnega predmeta na vpliv vhodnega parametra. To je odvisna spremenljivka.

Predpostavimo, da je bila pri obdelavi rezultatov tega poskusa ugotovljena določena funkcionalna odvisnost y = f (x) med neodvisno spremenljivko NS in odvisna spremenljivka ob. Ta odvisnost je predstavljena v obliki tabele. 5.1 vrednosti x i, y i (i=1,2,…, N.), pridobljene med poskusom.

Tabela 5.1

Če izraz analitične funkcije y = f (x) neznano ali zelo težko, nastane problem pri iskanju funkcije y = j (NS), vrednosti od tega pri x = x i, mogoče malo drugače iz eksperimentalnih podatkov y ja, (jaz=1,..,n). Tako se raziskana odvisnost približa s funkcijo y = j (NS) na segmentu [ x 1 , x n]:

f (x) @ j (NS). (5.9)

Približna funkcija y = j (NS) poklical empirična formula (EF) oz regresijska enačba (RR).

Empirične formule se ne pretvarjajo, da so zakoni narave, ampak so le hipoteze, ki bolj ali manj ustrezno opisujejo eksperimentalne podatke. Vendar je njihov pomen zelo velik. V zgodovini znanosti obstajajo primeri, ko je pridobljena uspešna empirična formula pripeljala do velikih znanstvenih odkritij.

Empirična formula je ustrezenče se lahko z njim dovolj natančno opiše predmet, ki se preučuje, za prakso.

Čemu je ta odvisnost?

Če najdemo približek (5.9), je možno:

Naredite napoved obnašanja preiskovanega predmeta zunaj segmenta ( ekstrapolacija );

Izberite optimalno smer razvoja obravnavanega procesa.

Regresijska enačba ima lahko drugačno obliko in različno stopnjo kompleksnosti, odvisno od značilnosti predmeta, ki se preučuje, in zahtevane natančnosti prikaza.

Geometrijsko problem sestavljanja regresijske enačbe je v risanju krivulje L: y = j (NS) « čim bližje»V bližini sistema eksperimentalnih točk M i (x i, y i), i = 1,2, .., n podano tabelo. 5.1 (slika 5.2).

Konstrukcija regresijske enačbe (empirična funkcija) je sestavljena iz dveh stopenj:

1. izbira splošnega pogleda regresijske enačbe,

2. določitev njegovih parametrov.

Uspešno izbira regresijska enačba je v veliki meri odvisna od izkušenj eksperimentatorja, ki raziskuje proces ali pojav.

Za regresijsko enačbo je pogosto izbran polinom (polinom):

Druga naloga, iskanje parametrov regresijske enačbe se rešujejo z običajnimi metodami, npr. metoda najmanjših kvadratov(OLS), ki se pogosto uporablja pri preučevanju katerega koli vzorca na podlagi opazovanj ali poskusov.

Razvoj te metode je povezan z imeni znanih matematikov preteklosti - K. Gauss in A. Legendre.

Metoda najmanjšega kvadrata

Predpostavimo, da so rezultati poskusa predstavljeni v obliki tabele. 5.1. In regresijska enačba je zapisana v obliki (5.11), tj. odvisno od ( m+1) parameter

Ti parametri določajo lokacijo grafa regresijske enačbe glede na eksperimentalne točke M i (x i, y i), i = 1,2, .., n(Slika 5.2).

Vendar ti parametri niso enolično opredeljeni. Parametre je treba izbrati tako, da se graf regresijske enačbe nahaja » čim bližje»K sistemu teh eksperimentalnih točk.

Predstavimo koncept odstopanja vrednosti regresijske enačbe (5.11) iz vrednosti tabele y i za x i : , i = 1,2, .., n.

Razmislite vsota kvadratov odstopanj, ki odvisno od( m+1) parameter

Po OLS so najboljši koeficienti a i(jaz=0,1,..,m) so tisti, ki minimizirajo vsota kvadratov odstopanj, tj. funkcijo.

Uporaba potrebni pogoji za ekstrem funkcije več spremenljivk, dobimo ti normalen sistem za določitev neznanih koeficientov :

Za približevalno funkcijo (5.11) je sistem (5.14) sistem linearnih algebrskih enačb za neznane .

Možni so primeri:

1. Če, potem obstaja neskončno veliko polinomov (5.11), ki minimizirajo funkcijo (5.13).

2. Če m = n–1, potem obstaja samo en polinom (5.11) minimizirajoča funkcija (5.13).

Manj m, enostavnejša je empirična formula, vendar ni vedno boljša. Ne smemo pozabiti, da bi morala nastala empirična formula ustrezen predmet, ki se preučuje.