ANOVA temelji na delih slavnega matematika R. A. Fisher... Kljub precej solidni »starosti« ta metoda še vedno ostaja ena glavnih v bioloških in kmetijskih raziskavah. Ideje, na katerih temelji analiza variance, se pogosto uporabljajo v številnih drugih metodah matematične analize eksperimentalnih podatkov, pa tudi pri načrtovanju bioloških in kmetijskih poskusov.

Analiza variance vam omogoča:

1) primerjati dve ali več vzorčnih sredstev;

2) hkrati preučuje delovanje več neodvisnih dejavnikov, pri čemer je mogoče določiti tako učinek vsakega dejavnika na variabilnost preučevane lastnosti kot njihovo interakcijo;

3) pravilno načrtovati znanstveni eksperiment.

Spremenljivost živih organizmov se kaže v obliki razpršenosti ali razpršenosti vrednosti posameznih lastnosti v mejah, ki jih določata stopnja biološke enakomernosti materiala in narava odnosa z okoljskimi razmerami. Imenujejo se znaki, ki se spreminjajo pod vplivom določenih razlogov učinkovito.

Dejavniki so vsi vplivi ali pogoji, katerih raznolikost lahko nekako vpliva na raznolikost učinkovitega atributa. Statistični vpliv dejavnikov pri analizi variance razumemo kot odraz v raznolikosti učinkovitega kazalnika raznolikosti proučevanih dejavnikov, ki je organiziran v študiji.

Pod raznolikostjo razumemo prisotnost neenakih vrednosti vsake lastnosti pri različnih posameznikih, združenih v skupino. Raznolikost skupine posameznikov glede na preučevano lastnost ima lahko različno stopnjo, ki se običajno meri s kazalniki raznovrstnosti (ali variabilnosti): meje, standardni odklon, koeficient variacije. Pri analizi variance se meri in primerja stopnja raznovrstnosti posameznih in povprečnih vrednosti lastnosti na posebne načine, ki sestavljajo posebnosti te splošne metode.

Organizacija faktorjev je, da je vsakemu preučevanemu faktorju dodeljenih več vrednosti. V skladu s temi vrednostmi je vsak faktor razdeljen na več stopenj; za vsako gradacijo se po principu naključnega vzorčenja izbere več osebkov, pri katerem se naknadno izmeri vrednost efektivne lastnosti.

Da bi ugotovili stopnjo in zanesljivost vpliva proučevanih dejavnikov, je treba izmeriti in ovrednotiti tisti del celotne raznolikosti, ki ga povzročajo ti dejavniki.

Dejavniki, ki vplivajo na stopnjo variacije učinkovite lastnosti, so razdeljeni na:

1) nastavljiv

2) naključno

Regulirano (sistematično) dejavnike povzroča delovanje v poskusu preučevanega faktorja, ki ima v poskusu več gradacij. Faktorska gradacija- to je stopnja njegovega vpliva na učinkovito lastnost. V skladu z gradacijo atributa je za primerjavo izpostavljenih več variant poskusa. Ker so ti dejavniki predpogojni, jih v raziskavah imenujemo regulirani, tj. podano, odvisno od organizacije poskusa. Posledično so prilagodljivi faktorji dejavniki, katerih delovanje se preučuje v izkušnjah, prav ti določajo razlike med vzorčnimi sredstvi različnih možnosti - medskupinska (faktorska) varianca.

Naključni dejavniki so določene z naravno variacijo vseh znakov bioloških objektov v naravi. To so dejavniki, na katere izkušnje ne morejo vplivati. Imajo naključni učinek na učinkovito lastnost, povzročajo eksperimentalne napake in določajo razpršitev (razpršenost) lastnosti znotraj vsake različice. Ta razpon se imenuje znotrajskupinska (naključna) varianca.

Tako je za relativno vlogo posameznih dejavnikov v celotni variabilnosti učinkovite lastnosti značilna varianca in jo je mogoče preučevati z uporabo analiza variance ali analiza sipanja

ANOVA temelji na primerjava variacij med skupinami in znotraj skupine... Če medskupinska varianca ne presega variance znotraj skupine, so razlike med skupinami naključne. Če je medskupinska varianca bistveno višja od variance znotraj skupine, potem med preučevanimi skupinami (možnosti) obstajajo statistično pomembne razlike zaradi delovanja faktorja, ki smo ga preučevali v poskusu.

Iz tega sledi, da je treba pri statističnem preučevanju učinkovite lastnosti z analizo variance določiti njeno variacijo v variantah, ponovitvah, preostalo variacijo znotraj teh skupin in splošno variacijo efektivne lastnosti v poskusu. V skladu s tem ločimo tri vrste disperzij:

1) Splošna varianca učinkovite lastnosti (S y 2);

2) medskupinsko ali zasebno med vzorci (S y 2);

3) Intraskupinski, rezidualni (S z 2).

zato analiza variance – To je delitev skupne vsote kvadratov odstopanj in skupnega števila stopenj svobode na dele ali komponente, ki ustrezajo strukturi poskusa, ter ocena pomena delovanja in interakcije preučevanih dejavnikov. po F-kriteriju. Glede na število sočasno preučenih dejavnikov ločimo dvo-, tri-, štirifaktorsko analizo variance.

Pri obdelavi terenskih enofaktorskih statističnih kompleksov, sestavljenih iz več neodvisnih možnosti, se skupna variabilnost učinkovite lastnosti, merjena s skupno vsoto kvadratov (C y), razdeli na tri komponente: variabilnost med možnostmi (vzorci) - CV , variacija ponovitev (možnosti so med seboj povezane s skupnim nadzorovanim pogojem - prisotnost organiziranih ponovitev) - C p in variacija znotraj možnosti C z. V splošni obliki je variabilnost lastnosti predstavljena z naslednjim izrazom:

C y = C V + C p + C z.

Skupno število svoboščin (N -1) je prav tako razdeljeno na tri dele:

stopnje svobode za možnosti (l - 1);

stopnje svobode za ponovitve (n - 1);

naključna variacija (n - 1) × (l - 1).

Vsote kvadratov odstopanj glede na terenski poskus - statistični kompleks z možnostmi - l in ponovitvami - n, najdemo takole. Najprej se z uporabo originalne tabele določijo vsote ponovitev - Σ P, za različice - Σ V in skupna vsota vseh opazovanj - Σ X.

Nato se izračunajo naslednji kazalniki:

Skupno število opazovanj N = l × n;

Korekcijski faktor (dopolnitev) C cor = (Σ X 1) 2 / N;

Skupna vsota kvadratov Cy = Σ X 1 2 - C cor;

Vsota kvadratov za ponovitve C p = Σ P 2 / (l –C cor);

Vsota kvadratov za možnosti C V = Σ V 2 / (n - 1);

Vsota kvadratov za napako (preostanek) C Z = C y - C p - C V.

Dobljene vsote kvadratov C V in C Z se delijo s stopnjami svobode, ki jim ustrezajo, in dobimo dva povprečna kvadrata (variance):

Variante S v 2 = C V / l - 1;

Napake S Z 2 = C Z / (n - 1) × (l - 1).

Ocena pomena razlik med sredstvi. Dobljene povprečne kvadrate uporabimo pri analizi variance za oceno pomembnosti delovanja preučevanih dejavnikov s primerjavo variance možnosti (S v 2) z varianco napake (SZ 2) po Fisherjevem kriteriju (F = SY 2 / SZ 2). Primerjalna enota je srednji kvadrat naključne variance, ki določa naključno napako poskusa.

Uporaba Fisherjevega kriterija vam omogoča, da ugotovite prisotnost ali odsotnost bistvenih razlik med vzorčnimi sredstvi, vendar ne kaže posebnih razlik med sredstvi.

Preizkušena hipoteza H o - je predpostavka, da so vse vzorčne srednje vrednosti ocene enega splošnega povprečja in da so razlike med njimi nepomembne. Če F dejstvo = S Y 2 / S Z 2 ≤ F teor, potem se ničelna hipoteza ne zavrne. Med vzorčnimi povprečji ni bistvenih razlik in tukaj se test konča. Ničelna hipoteza je zavrnjena za F dejstvo = S Y 2 / S Z 2 ≥ F teor Vrednost F-merila za stopnjo pomembnosti, ki je bila sprejeta v študiji, se nahaja v ustrezni tabeli, pri čemer se upoštevajo stopnje svobode za varianco variant in naključno varianco. Običajno uporabljajo 5-odstotno stopnjo pomembnosti, pri strožjem pristopu pa 1- in celo 0,1-odstotno.

Za vzorec velikosti n se vzorčna varianca izračuna kot vsota kvadratov odstopanj od srednje vrednosti vzorca, deljena z n-1(velikost vzorca minus ena). Tako je za fiksno velikost vzorca n varianca funkcija vsote kvadratov (odklonov), ki je zaradi kratkosti označena z SS (iz angleškega Sum of Squares - Sum of squares). Poleg tega pogosto izpustimo besedo vzorec, saj dobro vemo, da se upošteva vzorčna varianca ali ocena variance. Analiza variance temelji na delitvi variance na dele ali komponente.:

SS napake in SS učinek. Spremenljivost znotraj skupine ( SS) se običajno imenuje preostala komponenta ali varianca napake. To pomeni, da običajno v poskusu tega ni mogoče predvideti ali razložiti. Na drugi strani, SS učinek(ali komponento variance med skupinami) je mogoče razložiti z razliko med povprečji v skupinah. Z drugimi besedami, pripadnost določeni skupini pojasnjuje medskupinsko variabilnost, ker vemo, da imajo te skupine različne srednje vrednosti.

Osnovna logika analize variance.Če povzamemo, lahko rečemo, da je namen ANOVA preizkusiti statistično pomembnost razlike med povprečji (za skupine ali spremenljivke). To preverjanje se izvede tako, da se vsota kvadratov razdeli na komponente, t.j. z delitvijo celotne variance (variacije) na dele, od katerih je eden posledica naključne napake (to je znotrajskupinska variabilnost), drugi pa je povezan z razliko v srednjih vrednostih. Zadnja komponenta variance se nato uporabi za analizo statistične pomembnosti razlike med povprečji. Če je to razlika smiselno, ničelna hipoteza zavrnjen in sprejeta je alternativna hipoteza o obstoju razlike med sredstvi.

Odvisne in neodvisne spremenljivke. Spremenljivke, katerih vrednosti so določene z meritvami med poskusom (na primer rezultat, pridobljen med testiranjem), se imenujejo odvisen spremenljivke. Spremenljivke, ki jih je mogoče nadzorovati v poskusu (na primer metode poučevanja ali druga merila, ki vam omogočajo, da opazovanja razdelite v skupine ali razvrstite), se imenujejo dejavniki oz neodvisen spremenljivke.

Veliko dejavnikov. Svet je sam po sebi zapleten in večdimenzionalen. Situacije, ko je pojav v celoti opisan z eno spremenljivko, so izjemno redke. Na primer, če se poskušamo naučiti gojiti velike paradižnike, je treba upoštevati dejavnike, povezane z genetsko sestavo rastlin, vrsto tal, svetlobo, temperaturo itd. Tako je v tipičnem poskusu treba obravnavati veliko dejavnikov. Glavni razlog, zakaj je uporaba analize variance boljša kot ponavljajoča se primerjava dveh vzorcev na različnih ravneh faktorjev z uporabo serije t- merilo je, da je analiza variance bistveno več učinkovit in za majhne vzorce je bolj informativen.

Izhod. Variančno analizo je razvil in uvedel v prakso kmetijskih in bioloških raziskav angleški znanstvenik R. A. Fisher . Bistvo analize variance sestoji iz razgradnje celotne variabilnosti lastnosti in skupnega števila stopenj svobode na sestavne dele, ki ustrezajo strukturi terenskega poskusa, kot tudi v oceni delujočega faktorja po Fisherjevem kriteriju.

Kje je splošna variabilnost lastnosti zaradi delovanja obravnavanega vprašanja, heterogenosti rodovitnosti tal in naključnih napak v poskusu.

Različni pridelki glede na ponovitve terenskih izkušenj.

Spreminjanje pridelkov glede na različice izkušenj, povezanih z delovanjem preučevanega vprašanja.

Razlike v donosih, povezane z naključnimi napakami v izkušnjah.

Izhod analiza variance se izvaja po naslednjih pravilih:

1. Obstajajo pomembne razlike v izkušnjah, če je dejansko ≥Fteoretično. Ni bistvenih razlik v izkušnjah, če je F dejanski

2. NDS - Najmanjša pomembna razlika, ki se uporablja za določanje razlike med možnostmi. Če je razlika d ≥ NSR, so razlike med možnostmi pomembne. Če d< НСР, то различия между вариантами не существенные.

Skupine opcije.

1. Če je razlika d pomembna in kaže na povečanje donosa, se možnosti nanašajo na skupino 1.

2. Če razlika d– ni pomembna, se možnosti nanašajo na skupino 2.

3. Če je razlika d pomembna, vendar kaže na zmanjšanje donosa, se možnosti nanašajo na skupino 3.

Izbira formule ANOVA je odvisna od metod umestitve možnosti v poskus:

1. Za organizirane ponovitve:

2. Za neorganizirane ponovitve.

5.1. Kaj je ANOVA?

Analizo variance je v dvajsetih letih prejšnjega stoletja razvil angleški matematik in genetik Ronald Fisher. Glede na raziskavo med znanstveniki, kjer je bilo ugotovljeno, kdo je najbolj vplival na biologijo 20. stoletja, je prvenstvo zmagal sir Fisher (za svoje zasluge je prejel viteški naziv - eno najvišjih odličij v Veliki Britaniji); v tem pogledu je Fischer primerljiv s Charlesom Darwinom, ki je imel največji vpliv na biologijo v 19. stoletju.

Analiza variance je zdaj ločena veja statistike. Temelji na dejstvu, ki ga je odkril Fisher, da je mogoče mero variabilnosti preučevane količine razstaviti na dele, ki ustrezajo dejavnikom, ki vplivajo na to količino, in naključnim odstopanjem.

Da bi razumeli bistvo analize variance, bomo dvakrat izvedli isto vrsto izračunov: »ročno« (s kalkulatorjem) in s programom Statistica. Za poenostavitev naše naloge ne bomo delali z rezultati dejanskega opisa raznolikosti zelenih žab, temveč z izmišljenim primerom, ki se nanaša na primerjavo žensk in moških pri ljudeh. Upoštevajte višinsko raznolikost 12 odraslih: 7 žensk in 5 moških.

Tabela 5.1.1. Primer enosmerne ANOVA: podatki o spolu in višini za 12 oseb

Opravimo enosmerno analizo variance: primerjali bomo, ali se moški in ženske v opisani skupini razlikujejo glede na višino statistično značilno ali ne.

5.2. Test normalnosti

Nadaljnje sklepanje temelji na dejstvu, da je porazdelitev v obravnavanem vzorcu normalna ali blizu normalne. Če je porazdelitev daleč od normalne, varianca (varianca) ni ustrezno merilo njene variabilnosti. Vendar je ANOVA razmeroma odporna na odstopanja porazdelitve od normalnosti.

Test normalnosti teh podatkov je mogoče izvesti na dva različna načina. Najprej: Statistika / Osnovna statistika / Tabele / Opisna statistika / Zavihek Normalnost. V zavihku Normalnost lahko izberete teste, ki se uporabljajo za normalno porazdelitev. Ko kliknete na gumb Frekvenčne tabele, se prikaže tabela frekvenc, gumba Histogrami pa histogram. Tabela in palični graf prikazujeta rezultate različnih testov.

Druga metoda je povezana z uporabo ustreznega možnega pri gradnji histogramov. V pogovornem oknu za gradnjo histogramov (Grafi / Histogrami ...) izberite zavihek Napredno. Na dnu je blok Statistični podatki. Na njem označimo Shapiro-Wilka t est in Kolmogorov-Smirnov test, kot je prikazano na sliki.

riž. 5.2.1. Statistični testi za normalnost porazdelitve v pogovornem oknu za gradnjo histogramov

Kot je razvidno iz histograma, se porazdelitev rasti v našem vzorcu razlikuje od običajne (na sredini - "neuspeh").

riž. 5.2.2. Histogram je narisan s parametri, navedenimi na prejšnji sliki

Tretja vrstica v naslovu grafa označuje parametre normalne porazdelitve, ki ji je bila opazovana porazdelitev najbližja. Splošno povprečje je 173, splošna standardna deviacija je 10,4. Spodaj v stranski vrstici na grafu so prikazani rezultati testov za normalnost. D je Kolmogorov-Smirnov test, SW-W pa Shapiro-Vilk test. Kot je razvidno, so se pri vseh uporabljenih testih razlike med višinsko porazdelitvijo in normalno porazdelitvijo izkazale za statistično nepomembne ( str v vseh primerih več kot 0,05).

Torej, formalno gledano, nam testi za skladnost porazdelitve z normalno porazdelitvijo niso "prepovedali" uporabe parametrične metode, ki temelji na predpostavki normalne porazdelitve. Kot smo že omenili, je analiza variance relativno odporna na odstopanja od normalnosti, zato jo bomo še vedno uporabljali.

5.3. Enosmerna ANOVA: ročni izračuni

Za karakterizacijo variabilnosti višine ljudi v danem primeru izračunamo vsoto kvadratov odstopanj (v angleščini je označena kot SS , vsota kvadratov ali) posamezne vrednosti iz povprečja: ... Povprečna višina v tem primeru je 173 centimetrov. Na podlagi tega,

SS = (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ;

SS = 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;

SS = 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.

Dobljena vrednost (1192) je merilo variabilnosti celotnega niza podatkov. Vendar pa jih sestavljata dve skupini, za vsako od katerih je mogoče razlikovati svoje povprečje. V zgornjih podatkih je povprečna višina žensk 168 cm, moških pa 180 cm.

Izračunajmo vsoto kvadratov odstopanj za ženske:

SS f = (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;

SS f = 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.

Izračunamo tudi vsoto kvadratov odstopanj za moške:

SS m = (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;

SS m = 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.

Od česa je odvisna preiskovana vrednost v skladu z analizo variance logike?

Dve izračunani vrednosti, SS f in SS m , označujejo varianco znotraj skupine, ki jo pri analizi variance običajno imenujemo »napaka«. Izvor tega imena je povezan z naslednjo logiko.

Kaj določa rast osebe v tem primeru? Najprej o povprečni višini ljudi na splošno, ne glede na njihov spol. Drugič - s tal. Če so ljudje enega spola (moški) višji od drugega (ženske), je to mogoče predstaviti v obliki dodatka k povprečju »navadnega človeka« določene velikosti, učinka spola. Končno se ljudje istega spola razlikujejo po višini zaradi individualnih razlik. V modelu, ki opisuje višino kot vsoto človeškega povprečja in prilagoditve spola, so individualne razlike nerazložljive in jih je mogoče obravnavati kot »napako«.

Torej, v skladu z logiko analize variance se preiskovana vrednost določi na naslednji način: , kje x ij - i-ta vrednost preučevane vrednosti pri j-ti vrednosti preučevanega faktorja; - splošno povprečje; F j - vpliv j-te vrednosti preučevanega faktorja; - "napaka", prispevek individualnosti predmeta, ki mu količina pripadax ij .

Medskupinska vsota kvadratov

torej SS napake = SS f + SS m = 212 + 560 = 772. S to vrednostjo smo opisali znotrajskupinsko variabilnost (ko smo skupine identificirali po spolu). Obstaja pa tudi drugi del variabilnosti - medskupina, ki jo bomo poimenovaliSS učinek (saj govorimo o učinku delitve nabora obravnavanih predmetov na ženske in moške).

Povprečje vsake skupine se razlikuje od celotnega povprečja. Pri izračunu prispevka te razlike k skupni meri variabilnosti moramo razliko med skupino in skupnim povprečjem pomnožiti s številom objektov v vsaki skupini.

SS učinek = = 7 × (168–173) 2 + 5 × (180–173) 2 = 7 × 52 + 5 × 72 = 7 × 25 + 5 × 49 = 175 + 245 = 420.

Tu se je pokazalo načelo konstantnosti vsote kvadratov, ki ga je odkril Fischer: SS = SS učinek + SS napaka , tj. za ta primer je 1192 = 440 + 722.

Srednji kvadrati

Če v našem primeru primerjamo medskupinske in znotrajskupinske vsote kvadratov, lahko vidimo, da je prva povezana z variacijo dveh skupin, druga pa 12 vrednosti v 2 skupinah. Število stopenj svobode ( df ) za nek parameter lahko definiramo kot razliko med številom objektov v skupini in številom odvisnosti (enačb), ki povezuje te vrednosti.

V našem primeru df učinek = 2–1 = 1, a df napake = 12–2 = 10.

Vsote kvadratov lahko delimo s številom njihovih stopenj svobode, tako da dobimo povprečne kvadrate ( GOSPA , Sredstva kvadratov). Ko to naredimo, lahko to ugotovimo GOSPA - nič drugega kot varianca ("varianca", rezultat deljenja vsote kvadratov s številom svoboščin). Po tem odkritju lahko razumemo strukturo tabele ANOVA. Za naš primer bo videti takole.

MS učinek in MS napake so ocene medskupinske in znotrajskupinske variance, zato jih je mogoče primerjati po kriterijuF (Snedecorjevo merilo, poimenovano po Fisherju), zasnovano za primerjavo odstopanj. To merilo je preprosto količnik deljenja večje variance z manjšo. V našem primeru je to 420 / 77,2 = 5,440.

Določanje statistične pomembnosti Fisherjevega testa z uporabo tabel

Če bi statistično pomembnost učinka določili ročno s pomočjo tabel, bi morali primerjati dobljeno vrednost kriterija F s kritično, ki ustreza določeni ravni statistične pomembnosti za dane stopnje svobode.

riž. 5.3.1. Fragment tabele s kritičnimi vrednostmi kriterija F

Kot lahko vidite, je za stopnjo statistične pomembnosti p = 0,05 kritična vrednost merilaF je 4,96. To pomeni, da je bilo v našem primeru delovanje preučevanega spola zabeleženo s statistično značilnostjo 0,05.

Rezultat je mogoče razlagati na naslednji način. Verjetnost ničelne hipoteze, po kateri je povprečna višina žensk in moških enaka, zabeležena razlika v njihovi višini pa je povezana z naključnostjo pri oblikovanju vzorcev, je manjša od 5 %. To pomeni, da moramo izbrati alternativno hipotezo, da je povprečna višina žensk in moških različna.

5.4. Enosmerna analiza variance ( ANOVA) v paketu Statistica

V primerih, ko se izračuni ne izvajajo ročno, temveč s pomočjo ustreznih programov (na primer paket Statistica), se vrednost str se določi samodejno. Lahko se prepričate, da je nekoliko višja od kritične vrednosti.

Če želite analizirati obravnavani primer z uporabo najpreprostejše različice analize variance, morate za datoteko z ustreznimi podatki zagnati postopek Statistika / ANOVA in v oknu Vrsta analize izbrati možnost Enosmerna ANOVA in Hitri podatki možnost pogovornega okna v oknu Metoda specifikacije ...

riž. 5.4.1. Splošni dialog ANOVA / MANOVA

V odprtem hitrem pogovornem oknu morate v polju Spremenljivke določiti tiste stolpce, ki vsebujejo podatke, katerih variabilnost preučujemo (Seznam odvisnih spremenljivk; v našem primeru stolpec Rast), kot tudi stolpec, ki vsebuje vrednosti, ki delijo preučevano vrednost v skupine (Katigorični napovedovalec (faktor); v našem primeru stolpec Spol). V tej različici analize je v nasprotju z multivariatno analizo mogoče upoštevati le en dejavnik.

riž. 5.4.2. Enosmerni ANOVA dialog

V oknu Faktorske kode morate določiti vrednosti zadevnega faktorja, ki jih je treba obdelati med to analizo. Vse razpoložljive vrednosti si lahko ogledate z gumbom Povečava; če morate, kot v našem primeru, upoštevati vse vrednosti faktorja (in za spol v našem primeru sta le dve), lahko kliknete gumb Vse. Ko so stolpci, ki jih je treba obdelati, in faktorske kode nastavljene, lahko kliknete gumb V redu in greste na hitro analizo rezultatov: Rezultati ANOVA 1, na zavihek Hitro.

riž. 5.4.3. Zavihek Hitro v oknu z rezultati ANOVA

Gumb Vsi učinki / Grafi vam omogoča, da vidite primerjavo povprečja obeh skupin. Nad grafom je navedeno število svoboščin, pa tudi vrednosti F in p za obravnavani faktor.

riž. 5.4.4. Izris rezultatov ANOVA

Gumb Vsi učinki vam omogoča, da dobite tabelo ANOVA, podobno zgoraj opisani (z nekaj pomembnimi razlikami).

riž. 5.4.5. ANOVA tabela (primerjaj z ročno ustvarjeno tabelo)

Spodnja vrstica tabele prikazuje vsoto kvadratov, število stopenj svobode in povprečne kvadrate za napako (intraskupinska variabilnost). Ena vrstica zgoraj - podobni kazalniki za preučevani dejavnik (v tem primeru znak spola), kot tudi merilo F (razmerje med povprečnimi kvadrati učinka in srednjimi kvadrati napake) in stopnjo njegove statistične pomembnosti. Dejstvo, da se je učinek obravnavanega faktorja izkazal za statistično pomembnega, kaže poudarek rdeče.

Prva vrstica vsebuje podatke o indikatorju »Prestrezi«. tole vrstica v tabeli predstavlja skrivnost uporabnikom, ki so novi v Statistici v njeni 6. ali novejši različici. Vrednost Intercept je verjetno povezana z razgradnjo vsote kvadratov vseh vrednosti podatkov (tj. 1862 + 1692 ... = 360340). Vrednost merila F, ki je navedena zanj, dobimo z deljenjem MS Intercept / MS Error = 353220 / 77,2 = 4575,389 in seveda daje zelo nizko vrednost str ... Zanimivo je, da v Statistici-5 te vrednosti sploh niso izračunali, v priročnikih za uporabo poznejših različic paketa pa v ničemer ne komentirajo njene uvedbe. Verjetno najboljša stvar, ki jo lahko naredi biolog, ki dela s Statistico-6 in pozneje, je, da preprosto prezre vrstico Intercept v tabeli ANOVA.

5.5. ANOVA ter študentski in Fisherjevi testi: kateri je boljši?

Kot ste morda opazili, bi podatke, ki smo jih primerjali z enosmerno analizo variance, lahko raziskali tudi s Studentovim in Fisherjevim testom. Primerjajmo ti dve metodi. Če želite to narediti, izračunajte razliko v višini med moškimi in ženskami po teh merilih. Da bi to naredili, bomo morali iti po poti Statistika / Osnovna statistika / t-test, neodvisno, po skupinah. Seveda so odvisne spremenljivke spremenljivka rasti, spremenljivka združevanja pa je spremenljivka spol.

riž. 5.5.1. Primerjava podatkov, obdelanih z uporabo ANOVA po Studentovem in Fisherjevem testu

Kot lahko vidite, je rezultat enak kot pri ANOVA. str = 0,041874 v obeh primerih, kot je prikazano na sl. 5 in prikazano na sl. 5.5.2 (prepričajte se sami!).

riž. 5.5.2. Rezultati analize (za podrobno razlago tabele rezultatov - v odstavku o Študentovem kriteriju)

Pomembno je poudariti, da čeprav je F merilo z matematičnega vidika v obravnavani analizi po Studentovem in Fisherjevem testu enako kot pri ANOVA (in izraža razmerje variance), njegov pomen v rezultatih analize, predstavljenih v finalna miza je popolnoma drugačna. Pri primerjavi po Studentovem in Fisherjevem kriteriju se primerjava povprečnih vrednosti vzorcev izvede po Studentovem kriteriju, primerjava njihove variabilnosti pa po Fisherjevem kriteriju. V rezultatih analize ni prikazana sama varianca, temveč njen kvadratni koren – standardni odmik.

V ANOVA se, nasprotno, uporablja Fisherjev test za primerjavo povprečja različnih vzorcev (kot smo razpravljali, se to naredi tako, da se vsota kvadratov razdeli na dele in primerja povprečna vsota kvadratov, ki ustrezajo variabilnosti med in znotraj skupine). .

Vendar se zgornja razlika nanaša na predstavitev rezultatov statistične študije in ne na njeno bistvo. Kot poudarja, na primer, Glantz (1999, str. 99), lahko primerjavo skupin s Studentovim testom obravnavamo kot poseben primer analize variance za dva vzorca.

Torej ima primerjava vzorcev po Studentovem in Fisherjevem testu eno pomembno prednost pred analizo variance: lahko primerja vzorce glede na njihovo variabilnost. Toda prednosti analize variance so še pomembnejše. Ti vključujejo na primer možnost primerjave več vzorcev hkrati.

Obravnavana shema analize variance se razlikuje glede na: a) naravo značilnosti, po kateri je populacija razdeljena na skupine (vzorci;); b) od števila značilnosti, po katerih je populacija razdeljena na skupine (vzorci ); c) o metodi vzorčenja.

Značilne vrednosti. ki populacijo razdeli na skupine, lahko predstavlja splošno populacijo ali ji blizu populacijo. V tem primeru shema ANOVA ustreza zgoraj opisani. Če vrednosti lastnosti, ki tvori različne skupine, predstavljajo vzorec iz splošne populacije, se spremeni formulacija ničelne in alternativne hipoteze. Kot ničelna hipoteza se predlaga, da obstajajo razlike med skupinami, to pomeni, da skupinska sredstva kažejo nekaj variacij. Kot alternativna hipoteza se predlaga, da ni nihanja. Očitno s takšno formulacijo hipotez ni razloga za konkretizacijo rezultatov primerjave variance.

S povečanjem števila znakov združevanja, na primer do 2, se najprej poveča število nič in s tem tudi alternativnih hipotez. V tem primeru prva ničelna hipoteza govori o odsotnosti razlik med sredstvi za skupine prve skupinske značilnosti, druga ničelna hipoteza govori o odsotnosti razlik v sredstvih za skupine druge značilnosti skupine in končno tretja ničelna hipoteza govori o odsotnosti tako imenovanega učinka interakcije dejavnikov (značilnosti združevanja).

Učinek interakcije se razume kot taka sprememba vrednosti efektivnega atributa, ki je ni mogoče razložiti s skupnim delovanjem dveh dejavnikov. Za preverjanje treh predstavljenih parov hipotez je treba izračunati tri dejanske vrednosti F-Fisherjevega kriterija, kar posledično predlaga naslednjo različico razgradnje celotnega obsega variacije

Disperzije, potrebne za pridobitev F-merila, dobimo na znan način z deljenjem volumna variacije s številom stopenj svobode.

Kot veste, so vzorci lahko odvisni in neodvisni. Če so vzorci odvisni, je treba v skupni količini variacije razlikovati tako imenovano variacijo po ponovitvah.
... Če ni poudarjena, lahko ta sprememba znatno poveča variacijo znotraj skupine (
), kar lahko popači rezultate analize variance.

Pregledajte vprašanja

17-1 Kakšna je specifikacija rezultatov analize variance?

17-2. Kdaj se za konkretizacijo uporablja merilo Q-Tukey?

17-3. Kakšne so razlike med prvim, drugim in tako naprej?

17-4. Kako najti dejansko vrednost Tukeyjevega Q testa?

17-5 Katere hipoteze so postavljene o vsaki razliki?

17-6. Kaj določa tabelarno vrednost merila Q-Tukey?

17-7. Kakšna je ničelna hipoteza, če so ravni atributa združevanja vzorec?

17-8 Kako se razčleni skupna količina variacije, če so podatki združeni po dveh kriterijih?

17-9. V tem primeru je poudarjena variacija v ponovitvah (
) ?

Povzetek

Upoštevan mehanizem določanja rezultatov analize variance vam omogoča popoln videz. Pri uporabi Tukeyjevega Q testa je treba biti pozoren na omejitve. V gradivu so bila predstavljena tudi osnovna načela klasifikacije modelov ANOVA. Poudariti je treba, da so to le načela. Podrobna študija značilnosti vsakega modela zahteva ločeno globljo študijo.

Testne naloge za predavanje

O katerih statističnih značilnostih govorijo hipoteze pri analizi variance?

Glede na dve varianti

Glede na eno povprečje

Glede na nekaj povprečij

Glede na eno varianco

Kakšna je vsebina alternativne hipoteze pri analizi variance?

Primerjane variance niso enake.

Vsa primerjana povprečja niso enaka.

Vsaj dve splošni povprečji nista enaki

Medskupinska varianca je večja od variance znotraj skupine

Katere so najpogosteje uporabljene ravni pomembnosti pri analizi variance?

Če je variacija znotraj skupine večja od variacije med skupinami, naj se ANOVA nadaljuje ali se takoj strinja s H0 ali z AN?

1. Ali bi morali nadaljevati z zahtevanimi odstopanji?

2. Strinjati se je treba s H0

3. Strinjam se z ON

Če je bilo ugotovljeno, da je varianca znotraj skupine enaka varianci med skupinami, čemu naj sledi analiza variance?

Strinjam se z ničelno hipotezo o enakosti splošnih sredstev

Strinjam se z alternativno hipotezo o prisotnosti vsaj para med seboj neenakih sredstev

Kakšna varianca mora biti vedno v števcu pri izračunu F-Fisherjevega testa?

Samo znotraj skupine

Kakorkoli že, medskupina

Medskupinski, če je bolj znotrajskupinski

Kakšna bi morala biti dejanska vrednost F-Fisherjevega kriterija?

Vedno manj kot 1

Vedno večji od 1

Enako ali večje od 1

Od česa je odvisna tabelarna vrednost F-Fisherjevega kriterija?

1. Od sprejete ravni pomena

2. Iz števila stopenj svobode celotne variacije

3. Iz števila stopenj svobode medskupinske variacije

4. O številu stopenj svobode variacije znotraj skupine

5. Iz vrednosti dejanske vrednosti F-Fisherjevega kriterija?

Povečanje števila opazovanj v vsaki skupini z enakimi odstopanji poveča verjetnost sprejemanja ……

1 ničelna hipoteza

2.Alternativna hipoteza

3. Ne vpliva na sprejemanje ničelnih in alternativnih hipotez

Kaj je smisel specificiranja rezultatov analize variance?

Pojasnite, ali so bili izračuni variance pravilno izvedeni

Ugotovite, katera od splošnih povprečij so se izkazala za enaka

Pojasnite, katera od splošnih povprečij niso enaka drug drugemu

Ali je trditev resnična: "Pri določanju rezultatov analize variance so se izkazale, da so vsa splošna povprečja enaka drug drugemu"

Lahko je prav in narobe

Ni res, to je lahko posledica napak v izračunih

Ali je mogoče pri določanju analize variance priti do zaključka, da vsa splošna povprečja med seboj niso enaka?

1. Možno je

2. Morebiti v izjemnih primerih

3. Načeloma je nemogoče.

4. Možno le, če naredite napake pri izračunih

Če je bila ničelna hipoteza sprejeta po F-Fisherjevem kriteriju, ali je treba navesti analizo variance?

1.Obvezno

2.Ni potrebno

3. Po presoji analitika ANOVA

V katerem primeru se Tukeyjev test uporablja za konkretizacijo rezultatov analize variance?

1. Če je število opazovanj po skupinah (vzorcih) enako

2. Če je število opazovanj po skupinah (vzorcih) različno

3.Če obstajajo vzorci z enakim in neenakim številom

lenoba

Kaj je NDS pri določanju rezultatov analize variance na podlagi Tukeyevega testa?

1.Proizvedite povprečno napako z dejansko vrednostjo merila

2. Zmnožek povprečne napake s tabelarno vrednostjo merila

3. Razmerje vsake razlike med vzorčnimi sredstvi do

povprečna napaka

4. Razlika med vzorčnimi sredstvi

Če je vzorec razdeljen v skupine glede na 2 značilnosti, koliko virov je treba vsaj razdeliti na celotno variacijo značilnosti?

Če so opazovanja po vzorcih (skupinah) odvisna, na koliko virov je treba razdeliti celotno variacijo (atribut združevanja ena)?

Kaj je vir (vzrok) medskupinskih variacij?

Igra na srečo

Kombinirano delovanje igre na srečo in faktorja

Dejanje faktorjev

Ugotovite po analizi variance

Kaj je vir (vzrok) variacije znotraj skupine?

1 igra na srečo

2. Kombinirano delovanje igre na srečo in faktorja

3. Delovanje faktorja(ov)

4. To bo ugotovljeno po analizi variance

Kakšna metoda preoblikovanja izvornih podatkov se uporablja, če so karakteristične vrednosti izražene v ulomkih?

Logaritem

Ekstrahiranje korena

Phi transformacija

Predavanje 8 Korelacija

opomba

Najpomembnejša metoda za preučevanje razmerja med lastnostmi je korelacijska metoda. To predavanje razkriva vsebino te metode, pristope k analitičnemu izražanju te povezave. Posebna pozornost je namenjena tako specifičnim kazalcem, kot so kazalniki tesnosti komunikacije

ključne besede

Korelacija. Metoda najmanjšega kvadrata. Regresijski koeficient. Koeficienti determinacije in korelacije.

Obravnavana vprašanja

Funkcionalni in korelacijski odnos

Faze izgradnje korelacijske enačbe komunikacije. Interpretacija koeficientov enačbe

Indikatorji tesnosti

Vrednotenje izbranih komunikacijskih kazalnikov

Modularna enota 1 Bistvo korelacije. Faze izdelave korelacijske enačbe komunikacije, interpretacija koeficientov enačbe.

Namen in cilji študija modularne enote 1 sestoji iz razumevanja značilnosti korelacije. obvladovanje algoritma za sestavo komunikacijske enačbe, razumevanje vsebine koeficientov enačbe.

Bistvo korelacije

V naravnih in družbenih pojavih obstajata dve vrsti povezav – funkcionalna povezava in korelacijsko povezava. V funkcionalni povezavi vsaka vrednost argumenta ustreza strogo določenim (eni ali več) vrednostim funkcije. Primer funkcionalnega razmerja je razmerje med obsegom in polmerom, ki je izraženo z enačbo
... Vsaka vrednost polmera r ustreza eni vrednosti za obseg L . S korelacijsko povezavo vsaka vrednost atributa faktorja ustreza več ne povsem določenim vrednostim efektivnega atributa. Primeri korelacije so razmerje med težo osebe (učinkovita lastnost) in njegovo višino (faktorska lastnost), razmerje med količino uporabljenega gnojila in pridelkom, med ceno in količino ponujenega proizvoda. Vir nastanka korelacije je dejstvo, da je praviloma v resničnem življenju vrednost učinkovitega atributa odvisna od številnih dejavnikov, vključno s tistimi, ki imajo naključno naravo njihove spremembe. Na primer, enaka teža osebe je odvisna od starosti, spola, prehrane, poklica in mnogih drugih dejavnikov. A hkrati je jasno, da je rast nasploh odločilni dejavnik. Glede na te okoliščine je treba korelacijo opredeliti kot nepopolno razmerje, ki ga je mogoče ugotoviti in oceniti le, če je v povprečju veliko število opazovanj.

1.2 Faze izdelave korelacijske enačbe komunikacije.

Tako kot funkcionalno razmerje je korelacija izražena z enačbo razmerja. Če ga želite zgraditi, morate dosledno iti skozi naslednje korake (faze).

Najprej bi morali razumeti vzročno-posledične odnose, ugotoviti podrejenost znakov, torej kateri od njih so razlogi (znaki dejavnikov) in kateri posledica (učinkoviti znaki). Vzročne zveze med značilnostmi ugotavlja teorija subjekta, kjer se uporablja korelacijska metoda. Na primer, znanost o "človeški anatomiji" vam omogoča, da poveste, kaj je vir razmerja med težo in višino, kateri od teh znakov je dejavnik, katerega rezultat, znanost o "ekonomiji" razkriva logiko razmerja med cena in ponudba, ugotavlja, kaj in v kateri fazi je vzrok in kaj posledica ... Brez takšne predhodne teoretične utemeljitve je interpretacija dobljenih rezultatov v prihodnosti težka in včasih lahko vodi do absurdnih zaključkov.

Po ugotovitvi prisotnosti vzročno-posledičnih razmerij je treba te odnose formalizirati, torej izraziti s komunikacijsko enačbo, pri čemer najprej izberemo vrsto enačbe. Za izbiro vrste enačbe je mogoče priporočiti številne tehnike. Lahko se obrnete na teorijo predmeta, kjer se uporablja korelacijska metoda, na primer znanost "agrokemija" je morda že prejela odgovor na vprašanje, katera enačba naj izraža razmerje: donos - gnojila. Če takšnega odgovora ni, potem za izbiro enačbe uporabite nekaj empiričnih podatkov, ki jih pravilno obdelate. Takoj je treba povedati, da je treba po izbiri vrste enačbe na podlagi empiričnih podatkov jasno razumeti, da se ta vrsta enačbe lahko uporablja za opis razmerja med uporabljenimi podatki. Glavna tehnika za obdelavo teh podatkov je gradnja grafov, ko so vrednosti atributa faktorja narisane na abscisni osi, možne vrednosti efektivnega atributa pa so narisane na ordinatni osi. Ker po definiciji enaka vrednost atributa faktorja ustreza nizu nedefiniranih vrednosti efektivnega atributa, bomo kot rezultat zgornjih dejanj prejeli določen niz točk, ki se imenuje korelacijsko polje. Splošni pogled na korelacijsko polje omogoča v številnih primerih domnevo o možni obliki enačbe.. S sodobnim razvojem računalniške tehnologije je ena glavnih metod za izbiro enačbe naštevanje različnih vrst enačb. , medtem ko je najboljša enačba tista, ki zagotavlja najvišji koeficient determinacije, govor, ki bo obravnavan v nadaljevanju. Preden nadaljujemo z izračuni, je treba preveriti, v kolikšni meri empirični podatki, uporabljeni za sestavo enačbe, izpolnjujejo določene zahteve. Zahteve se nanašajo na faktorske značilnosti in na nabor podatkov. Znaki faktorjev, če jih je več, morajo biti neodvisni drug od drugega. Kar zadeva agregat, mora biti najprej homogen

(koncept homogenosti je bil obravnavan prej), in drugič, precej velik. Vsaka faktorska lastnost mora upoštevati vsaj 8-10 opazovanj.

Po izbiri enačbe je naslednji korak izračun koeficientov enačbe. Koeficienti enačb se najpogosteje izračunajo po metodi najmanjših kvadratov. Z vidika korelacije je uporaba metode najmanjših kvadratov v pridobivanju takih koeficientov enačbe, da
= min, to je vsota kvadratov odstopanj dejanskih vrednosti efektivnega kazalnika ( ) od izračunanih po enačbi ( ) je bila najmanjša vrednost. Ta zahteva se uresničuje s konstruiranjem in reševanjem dobro znanega sistema tako imenovanih normalnih enačb. Če je kot enačba korelacije med y in x izbere se enačba premice
, kjer bo sistem normalnih enačb, kot veste, naslednji:

Reševanje tega sistema glede na a in b , dobimo potrebne vrednosti koeficientov. Pravilnost izračuna koeficientov se preveri z enakostjo

Za kaj se uporablja analiza variance? Namen analize variance je preučiti prisotnost ali odsotnost pomembnega vpliva katerega koli kvalitativnega ali kvantitativnega dejavnika na spremembe v preiskani učinkoviti lastnosti. Za to je faktor, ki domnevno ima ali nima bistvenega vpliva, razdeli na stopnje gradacije (z drugimi besedami, skupine) in ugotovimo, ali je vpliv faktorja enak s preučevanjem pomembnosti med povprečji v ustreznih podatkovnih nizih. na stopnjevanje faktorjev. Primeri: raziskuje se odvisnost dobička podjetja od vrste uporabljenih surovin (takrat so razredni razredi vrste surovin), odvisnost proizvodnih stroškov enote proizvodnje od velikosti oddelka podjetja (potem Gradacijski razredi so značilnosti velikosti razdelka: velika, srednja, majhna).

Najmanjše število razredov (skupin) je dve. Diplomski tečaji so lahko kvalitativni ali kvantitativni.

Zakaj se analiza variance imenuje analiza variance? Analiza variance preučuje razmerje med dvema variancama. Varianca je, kot vemo, značilnost disperzije podatkov okoli povprečja. Prva je varianca, razložena z vplivom faktorja, ki označuje razpršitev vrednosti med gradacijami faktorja (skupin) okoli povprečja vseh podatkov. Druga je nepojasnjena varianca, ki označuje razpršenost podatkov znotraj gradacije (skupine) okoli povprečja samih skupin. Prvo varianco lahko imenujemo medskupinska, druga pa znotrajskupinska varianca. Razmerje teh varianc se imenuje dejansko Fisherjevo razmerje in se primerja s kritično vrednostjo Fisherjevega razmerja. Če je dejansko Fisherjevo razmerje večje od kritičnega, se srednje stopnje gradacije med seboj razlikujejo in preučevani faktor pomembno vpliva na spremembo podatkov. Če je manj, potem se povprečne ocene stopnjevanja med seboj ne razlikujejo in faktor nima pomembnega vpliva.

Kako so hipoteze oblikovane, sprejete in zavrnjene v ANOVA? Pri analizi variance se določi specifična teža skupnega vpliva enega ali več dejavnikov. Pomen vpliva faktorja določimo s testiranjem hipotez:

• H0 : μ 1 = μ 2 = ... = μ a, kje a- število gradacijskih razredov - vsi gradacijski razredi imajo eno srednjo vrednost,
• H1 : Ne vsi μ jaz enako - nimajo vsi gradacijski razredi enake srednje vrednosti.

Če vpliv faktorja ni pomemben, je tudi razlika med stopenjskimi razredi tega faktorja nepomembna, pri analizi variance pa se uporabi ničelna hipoteza. H0 ni zavrnjena. Če je vpliv faktorja pomemben, potem ničelna hipoteza H0 zavrnjeno: vsi razredni razredi nimajo enake srednje vrednosti, to pomeni, da je med možnimi razlikami med stopenjskimi razredi eden ali več pomembnih.

Še nekaj konceptov analize variance. Statistični kompleks v ANOVA je tabela empiričnih podatkov. Če imajo vsi razredi stopenj enako število možnosti, se statistični kompleks imenuje homogen (homogen), če je število možnosti različno - heterogen (heterogen).

Glede na število ovrednotenih faktorjev ločimo enosmerno, dvosmerno in multivariatno analizo variance.

Enosmerna analiza variance: bistvo metode, formule, primeri

Bistvo metode, formule

na podlagi dejstva, da lahko vsoto kvadratov odstopanj statističnega kompleksa razdelimo na komponente:

SS = SS a + SS e,

SS

SSa a vsota kvadratov odstopanj,

SSe- nepojasnjena vsota kvadratov odstopanj ali vsota kvadratov odstopanj napake.

Če skozi njaz označite število možnosti v vsaki stopnji (skupini) in a je skupno število stopenj faktorja (skupin), potem je skupno število opazovanj in dobimo lahko naslednje formule:

skupno število kvadratov odstopanj: ,

pripisan faktorju a vsota kvadratov odstopanj: ,

nepojasnjena vsota kvadratov odstopanj ali vsota kvadratov odstopanj napake: ,

- skupno povprečje opazovanj,

(skupina).

poleg tega

kjer je varianca stopnjevanja faktorja (skupine).

Za izvedbo enosmerne analize variance za podatke statističnega kompleksa je treba najti dejansko Fisherjevo razmerje - razmerje variance, ki je pojasnjeno z vplivom faktorja (medskupina), in nepojasnjene variance (intraskupina ):

in jo primerjaj s Fischerjevo kritično vrednostjo.

Variance se izračunajo na naslednji način:

Različica razložena,

Nepojasnjeno odstopanje

va = a − 1 - število stopenj svobode razložene variance,

ve = n − a - število stopenj svobode nepojasnjene variance,

v = n

Kritično vrednost Fisherjevega razmerja z določenimi vrednostmi stopnje pomembnosti in stopenj svobode je mogoče najti v statističnih tabelah ali izračunati s pomočjo funkcije MS Excel F. OBR (spodnja slika, da jo povečate, kliknite nanjo s tipko levi gumb miške).

Funkcija zahteva vnos naslednjih podatkov:

Verjetnost - stopnja pomembnosti α ,

Degrees_freedom1 je število stopenj svobode razložene variance va,

Degrees_freedom2 je število stopenj svobode nepojasnjene variance ve.

Če je dejanska vrednost Fisherjevega razmerja večja od kritične (), se ničelna hipoteza zavrne s stopnjo pomembnosti α ... To pomeni, da faktor pomembno vpliva na spremembo podatkov in so podatki z verjetnostjo odvisni od faktorja P = 1 − α .

Če je dejanska vrednost Fisherjevega razmerja manjša od kritične (), potem ničelne hipoteze ni mogoče zavrniti s stopnjo pomembnosti α ... To pomeni, da faktor z verjetnostjo ne vpliva bistveno na podatke P = 1 − α .

Enosmerna analiza variance: primeri

Primer 1. Treba je ugotoviti, ali vrsta uporabljenih surovin vpliva na dobiček podjetja. V šestih razredih (skupinah) faktorja (1. vrsta, 2. vrsta itd.) se zbirajo podatki o dobičku iz proizvodnje 1000 enot izdelkov v milijonih rubljev za 4 leta.

a= 6 in v vsakem razredu (skupini) ni = 4 opazovanje. Skupno število opazovanj n = 24 .

Število stopenj svobode:

va = a − 1 = 6 − 1 = 5 ,

ve = n − a = 24 − 6 = 18 ,

v = n − 1 = 24 − 1 = 23 .

Izračunajmo variance:

.

.

Ker je Fischerjev dejanski odnos bolj kritičen:

s stopnjo pomena α = 0,05, sklepamo, da se dobiček podjetja, odvisno od vrste surovin, uporabljenih v proizvodnji, bistveno razlikuje.

Ali, kar je enako, zavračamo glavno hipotezo o enakosti sredstev v vseh razredih faktorskih stopnjevanj (skupinah).

V pravkar obravnavanem primeru je imel vsak razred faktorske ocene enako število možnosti. Toda, kot je omenjeno v uvodu, je število možnosti lahko različno. In to nikakor ne otežuje postopka ANOVA. To je naslednji primer.

Primer 2. Ugotoviti je treba, ali obstaja odvisnost proizvodnih stroškov proizvodne enote od velikosti oddelka podjetja. Faktor (velikost enote) je razdeljen na tri stopnje (skupine): majhna, srednja, velika. Splošni podatki, ki ustrezajo tem skupinam, o nabavni ceni enote iste vrste izdelka za določeno obdobje.

Število razredov faktorjev (skupin) a= 3, število opazovanj v razredih (skupinah) n1 = 4 , n2 = 7 , n3 = 6 ... Skupno število opazovanj n = 17 .

Število stopenj svobode:

va = a − 1 = 2 ,

ve = n − a = 17 − 3 = 14 ,

v = n − 1 = 16 .

Izračunajmo vsoto kvadratov odstopanj:

Izračunajmo variance:

,

.

Izračunajmo dejansko Fisherjevo razmerje:

.

Fischerjevo kritično razmerje:

Ker je dejanska vrednost Fisherjevega razmerja manjša od kritične:, sklepamo, da velikost oddelka podjetja ne vpliva bistveno na stroške proizvodnje.

Ali, kar je enako, z verjetnostjo 95 % sprejmemo glavno hipotezo, da se povprečni proizvodni stroški enote istega izdelka v malih, srednjih in velikih oddelkih podjetja bistveno ne razlikujejo.

Enosmerna ANOVA v MS Excelu

Enosmerno analizo variance lahko izvedemo s postopkom MS Excel Enosmerna analiza variance... Uporabljamo ga za analizo podatkov o razmerju med vrsto uporabljenih surovin in dobičkom podjetja iz primera 1.

Storitev / Analiza podatkov in izberite orodje za analizo Enosmerna analiza variance.

V oknu Interval vnosa navedemo podatkovno območje (v našem primeru je to $ A $ 2: $ E $ 7). Navedemo, kako je faktor združen - po stolpcih ali po vrsticah (v našem primeru po vrsticah). Če prvi stolpec vsebuje imena razredov faktorjev, potrdite polje Oznake prvega stolpca... V oknu Alfa navedite stopnjo pomembnosti α = 0,05 .

Druga tabela - Analiza variance - vsebuje podatke o vrednostih faktorja med skupinami in znotraj skupin ter vsote. To so vsota kvadratov odstopanj (SS), števila svoboščin (df), variance (MS). Zadnji trije stolpci vsebujejo dejansko vrednost Fisherjevega razmerja (F), p-nivo (P-vrednost) in kritično vrednost Fisherjevega razmerja (F crit).

Ker je dejanska vrednost Fischerjevega razmerja (6,89) večja od kritične vrednosti (2,77), z verjetnostjo 95 % zavrnemo ničelno hipotezo o enakosti povprečne produktivnosti pri uporabi vseh vrst surovin, tj. sklepamo, da vrsta uporabljenih surovin vpliva na dobičkonosna podjetja.

Dvosmerna analiza variance brez ponovitev: bistvo metode, formule, primer

Dvosmerna analiza variance se uporablja za preverjanje možne odvisnosti učinkovite lastnosti od dveh dejavnikov – A in B... Potem a- število stopenj faktorjev A in b- število stopenj faktorjev B... V statističnem kompleksu je vsota kvadratov ostankov razdeljena na tri komponente:

SS = SS a + SS b + SS e,

- skupna vsota kvadratov odstopanj,

- razloženo z vplivom dejavnika A vsota kvadratov odstopanj,

- razloženo z vplivom dejavnika B vsota kvadratov odstopanj,

- skupno povprečje opazovanj,

Povprečje opazovanj v vsaki gradaciji faktorja A ,

B .

A ,

Razpršenost je razložena z vplivom faktorja B ,

va = a − 1 A ,

vb = b − 1 - število stopenj svobode disperzije, razloženo z vplivom faktorja B ,

ve = ( a − 1)(b − 1)

v = ab- 1 - skupno število svoboščin.

Če dejavniki niso odvisni drug od drugega, se za določitev pomena dejavnikov predlagata dve ničelni hipotezi in ustrezne alternativne hipoteze:

za faktor A :

H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,

H1 : Ne vsi μ iA so enaki;

za faktor B :

H0 : μ 1B = μ 2B = ... = μ aB,

H1 : Ne vsi μ iB so enakovredni.

A

Za določitev vpliva dejavnika B, Fischerjev dejanski odnos je treba primerjati s Fischerjevim kritičnim odnosom.

α P = 1 − α .

α P = 1 − α .

Dvosmerna analiza variance brez ponovitev: primer

Primer 3. Podatki so podani o povprečni porabi goriva na 100 kilometrov v litrih, odvisno od velikosti motorja in vrste goriva.

Potrebno je preveriti, ali je poraba goriva odvisna od velikosti motorja in vrste goriva.

Rešitev. Za faktor Aštevilo razredov ocenjevanja a= 3, za faktor Bštevilo razredov ocenjevanja b = 3 .

Izračunamo vsoto kvadratov odstopanj:

,

,

,

.

Ustrezna odstopanja:

,

,

.

A ... Ker je dejansko Fischerjevo razmerje manjše od kritičnega, sprejmemo hipotezo, da prostornina motorja ne vpliva na porabo goriva s 95-odstotno verjetnostjo. Vendar, če izberemo stopnjo pomembnosti α = 0,1, potem dejanska vrednost Fisherjevega razmerja in nato z verjetnostjo 95 % lahko domnevamo, da prostornina motorja vpliva na porabo goriva.

Fischerjevo dejansko razmerje za faktor B , kritična vrednost Fisherjevega razmerja: ... Ker je dejansko Fischerjevo razmerje večje od kritične vrednosti Fischerjevega razmerja, s 95-odstotno verjetnostjo domnevamo, da vrsta goriva vpliva na njegovo porabo.

Dvosmerna analiza variance brez ponovitev v MS Excelu

Dvosmerno analizo variance brez ponovitev lahko izvedemo s postopkom MS Excel. Z njim bomo analizirali podatke o razmerju med vrsto goriva in njegovo porabo iz primera 3.

V meniju MS Excel izvedite ukaz Storitev / Analiza podatkov in izberite orodje za analizo Dvosmerna analiza variance brez ponovitev.

Podatke izpolnimo na enak način kot v primeru univariantne analize variance.

Kot rezultat postopka se prikažeta dve tabeli. Prva tabela je Totals. Vsebuje podatke o vseh razredih stopnjevanja faktorjev: število opazovanj, skupno vrednost, povprečno vrednost in varianco.

Druga tabela, ANOVA, vsebuje podatke o virih variacije: razpršenost med vrsticami, razpršitev med stolpci, razpršitev napak, skupna razpršitev, vsota kvadratov deviacij (SS), število svoboščin (df), varianca (MS) . Zadnji trije stolpci vsebujejo dejansko vrednost Fisherjevega razmerja (F), p-nivo (P-vrednost) in kritično vrednost Fisherjevega razmerja (F crit).

Faktor A(prostornina motorja) je združena v vrstice. Ker je dejansko Fischerjevo razmerje 5,28 manjše od kritičnih 6,94, s 95-odstotno verjetnostjo domnevamo, da poraba goriva ni odvisna od velikosti motorja.

Faktor B(vrsta goriva) je združena v stolpce. Dejansko razmerje Fischer 13,56 je večje od kritičnih 6,94, zato s 95-odstotno verjetnostjo predvidevamo, da je poraba goriva odvisna od njegove vrste.

Dvosmerna analiza variance s ponovitvami: bistvo metode, formule, primer

Dvosmerna analiza variance s ponovitvami se uporablja za preverjanje ne le možne odvisnosti učinkovite lastnosti od dveh dejavnikov - A in B, ampak tudi možna interakcija dejavnikov A in B... Potem a- število stopenj faktorjev A in b- število stopenj faktorjev B, r- število ponovitev. V statističnem kompleksu je vsota kvadratov ostankov razdeljena na štiri komponente:

SS = SS a + SS b + SS ab + SS e,

- skupna vsota kvadratov odstopanj,

- razloženo z vplivom dejavnika A vsota kvadratov odstopanj,

- razloženo z vplivom dejavnika B vsota kvadratov odstopanj,

- razloženo z vplivom interakcije dejavnikov A in B vsota kvadratov odstopanj,

- nepojasnjena vsota kvadratov odstopanj ali vsota kvadratov odstopanj napake,

- skupno povprečje opazovanj,

- povprečje opazovanj v vsaki gradaciji faktorja A ,

- povprečno število opazovanj v vsaki gradaciji faktorja B ,

Povprečno število opazovanj v vsaki kombinaciji stopnjevanj faktorjev A in B ,

n = abr- skupno število opazovanj.

Variance se izračunajo na naslednji način:

Razpršenost je razložena z vplivom faktorja A ,

Razpršenost je razložena z vplivom faktorja B ,

- variance, razloženo z interakcijo dejavnikov A in B ,

- nepojasnjeno odstopanje ali varianco napake,

va = a − 1 - število stopenj svobode disperzije, razloženo z vplivom faktorja A ,

vb = b − 1 - število stopenj svobode disperzije, razloženo z vplivom faktorja B ,

vab = ( a − 1)(b − 1) - število stopenj svobode variance, razloženo z interakcijo dejavnikov A in B ,

ve = ab(r − 1) - število stopenj svobode nepojasnjene variance ali variance napake,

v = abr- 1 - skupno število svoboščin.

Če so dejavniki neodvisni drug od drugega, se za določitev pomena dejavnikov predlagajo tri ničelne hipoteze in ustrezne alternativne hipoteze:

za faktor A :

H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,

H1 : Ne vsi μ iA so enaki;

za faktor B :

Določiti vpliv interakcije dejavnikov A in B, Fischerjev dejanski odnos je treba primerjati s Fischerjevim kritičnim odnosom.

Če je dejansko razmerje Fisher večje od kritičnega Fisherjevega razmerja, je treba ničelno hipotezo zavrniti s stopnjo pomembnosti α ... To pomeni, da faktor pomembno vpliva na podatke: podatki so odvisni od faktorja z verjetnostjo P = 1 − α .

Če je dejansko Fischerjevo razmerje manjše od kritičnega Fischerjevega razmerja, je treba sprejeti ničelno hipotezo s stopnjo pomembnosti α ... To pomeni, da faktor z verjetnostjo ne vpliva bistveno na podatke P = 1 − α .

Dvosmerna ponavljajoča ANOVA: primer

o medsebojnem delovanju dejavnikov A in B: Fischerjev dejanski odnos je manj kot kritičen, zato interakcija med oglaševalsko kampanjo in posamezno trgovino ni bistvena.

Dvosmerna analiza variance s ponovitvami v MS Excelu

Dvosmerno analizo variance s ponovitvami lahko izvedemo s postopkom MS Excel. Z njim analiziramo podatke o razmerju med prihodki trgovine in izbiro posamezne trgovine ter oglaševalske akcije iz primera 4.

V meniju MS Excel izvedite ukaz Storitev / Analiza podatkov in izberite orodje za analizo Dvosmerna analiza variance s ponovitvami.

Podatke izpolnimo na enak način kot pri dvosmerni analizi variance brez ponovitev, s tem da je treba število ponovitev vpisati v število vrstic za izbirno okno.

Kot rezultat postopka se prikažeta dve tabeli. Prva tabela je sestavljena iz treh delov: prva dva ustrezata vsaki od dveh oglaševalskih akcij, tretja vsebuje podatke o obeh oglaševalskih akcijah. Stolpci tabele vsebujejo informacije o vseh stopnjah stopnjevanja drugega faktorja - skladišča: število opazovanj, skupna vrednost, povprečna vrednost in varianca.

Druga tabela vsebuje podatke o vsoti kvadratov deviacij (SS), številu svoboščin (df), varianci (MS), dejanski vrednosti Fisherjevega razmerja (F), p-nivou (P-vrednost) in kritična vrednost Fisherjevega razmerja (F crit) za različne vire variacije: dva faktorja, ki sta podana v vrsticah (vzorec) in stolpcih, interakcija faktorjev, napake (notranji) in skupni kazalniki (skupaj).

Za faktor B Fischerjevo dejansko razmerje je večje od kritičnega, zato se s 95-odstotno verjetnostjo prihodki med trgovinami močno razlikujejo.

Za interakcijo dejavnikov A in B Fischerjev dejanski odnos je manj kot kritičen, zato s 95-odstotno verjetnostjo interakcija med oglaševalsko kampanjo in določeno trgovino ni pomembna.

Vse sorodne teme "Matematična statistika"

ANOVA(iz latinščine Dispersio - disperzija / v angleščini Analysis Of Variance - ANOVA) se uporablja za preučevanje vpliva ene ali več kvalitativnih spremenljivk (faktorjev) na eno odvisno kvantitativno spremenljivko (odziv).

Analiza variance temelji na predpostavki, da lahko nekatere spremenljivke obravnavamo kot vzroke (dejavnike, neodvisne spremenljivke): druge pa kot posledice (odvisne spremenljivke). Neodvisne spremenljivke včasih imenujemo prilagodljivi faktorji prav zato, ker ima raziskovalec v eksperimentu možnost, da jih spreminja in analizira nastali rezultat.

Glavni namen analiza variance(ANOVA) je študija pomembnosti razlik med povprečji s primerjavo (analizo) variance. Z razdelitvijo celotne variance na več virov je mogoče primerjati varianco, ki jo povzroča razlika med skupinami, z varianco, ki jo povzroča variabilnost znotraj skupine. Če je ničelna hipoteza resnična (o enakosti srednjih vrednosti v več skupinah opazovanj, izbranih iz splošne populacije), bi morala biti ocena variance, povezane z variabilnostjo znotraj skupine, blizu oceni variance med skupinami. Če preprosto primerjate povprečje v dveh vzorcih, bo ANOVA dal enak rezultat kot običajni t-test za neodvisne vzorce (če primerjate dve neodvisni skupini predmetov ali opazovanj) ali t-test za odvisne vzorce (če primerjate dve spremenljivki na istem in istem nizu predmetov ali opazovanj).

Bistvo analize variance je razčleniti celotno varianco proučevane lastnosti na ločene komponente, zaradi vpliva specifičnih dejavnikov, in preveriti hipoteze o pomembnosti vpliva teh dejavnikov na preučevano lastnost. S primerjavo komponent variance med seboj po Fisherjevem F-kriteriju je mogoče ugotoviti, kolikšen delež celotne variabilnosti učinkovite lastnosti je posledica delovanja reguliranih dejavnikov.

Izhodišče za analizo variance so raziskovalni podatki treh ali več vzorcev: ki so lahko enaki ali neenaki po številu, tako povezani kot nekoherentni. Po številu zaznanih nadzorovanih dejavnikov je lahko analiza variance enosmerno(v tem primeru se preučuje vpliv enega faktorja na rezultate poskusa), dvofaktorski(pri proučevanju vpliva dveh dejavnikov) in večfaktorski(omogoča oceno ne le vpliva vsakega od dejavnikov posebej, temveč tudi njihovo interakcijo).

ANOVA spada v skupino parametričnih metod in se zato uporablja le, če je dokazano, da je porazdelitev normalna.

ANOVA se uporablja, ko se odvisna spremenljivka meri v smislu razmerij, intervalov ali vrstnega reda, vplivne spremenljivke pa so neštevilčne narave (lestvica poimenovanja).

Primeri nalog

Pri problemih, ki se rešujejo z analizo variance, je odziv številčne narave, na katerega vpliva več spremenljivk nominalne narave. Na primer več vrst obrokov za krmljenje živine ali dva načina njihovega vzdrževanja itd.

Primer 1: Na treh različnih lokacijah je med tednom delovalo več lekarniških kioskov. V prihodnosti lahko pustimo samo enega. Ugotoviti je treba, ali obstaja statistično pomembna razlika med obsegom prodaje zdravil v kioskih. Če je tako, bomo izbrali kiosk z najvišjo povprečno dnevno prodajo. Če se izkaže, da je razlika v obsegu prodaje statistično nepomembna, bi morali biti drugi kazalniki osnova za izbiro kioska.

2. primer: Primerjava kontrastov skupinskih sredstev. Sedem političnih pristranskosti je razvrščenih od izjemno liberalnih do zelo konzervativnih, linearni kontrast pa se uporablja za preverjanje, ali obstaja neničelni trend k višjim povprečnim vrednostim skupine - to je, ali obstaja znatno linearno povečanje povprečne starosti pri gledanju skupin. urejen v smeri od liberalnega do konservativnega.

Primer 3: Dvosmerna analiza variance. Poleg velikosti trgovine na število prodaj izdelkov pogosto vpliva tudi lokacija polic z izdelkom. Ta primer vsebuje tedenske podatke o prodaji za štiri postavitve polic in tri velikosti trgovin. Rezultati analize kažejo, da oba dejavnika – lokacija polic z izdelkom in velikost trgovine – vplivata na število prodaj, vendar njuna interakcija ni pomembna.

4. primer: Enodimenzionalna ANOVA: naključna zasnova celotnega bloka z dvema obdelavama. Raziskujemo vpliv vseh možnih kombinacij treh maščob in treh rahljalcev na kruh. Štirje vzorci moke, odvzeti iz štirih različnih virov, so služili kot blokirni dejavniki.Ugotoviti je treba pomen interakcije med maščobo in rahljalcem. Nato določite različne možnosti izbire kontrastov, ki vam omogočajo, da ugotovite, katere kombinacije stopenj faktorjev se razlikujejo.

Primer 5: Hierarhični (gnezdeni) model načrta z mešanimi učinki. Proučuje se vpliv štirih naključno izbranih glav, nameščenih v stroju, na deformacijo izdelanih steklenih katodnih držal. (Glave so vgrajene v stroj, tako da iste glave ni mogoče uporabiti na različnih strojih). Učinek glave se obravnava kot naključni faktor. Statistični podatki ANOVA kažejo, da med stroji ni bistvenih razlik, vendar obstajajo znaki, da se glave lahko razlikujejo. Razlika med vsemi stroji ni bistvena, pri dveh pa je razlika med tipi glav precejšnja.

6. primer: Enodimenzionalna analiza ponavljajočih se meritev z uporabo načrta deljenih ploskev. Ta poskus je bil izveden za določitev učinka ocene anksioznosti posameznika na opravljanje izpita v štirih zaporednih poskusih. Podatki so organizirani tako, da jih je mogoče videti kot skupino podmnožic celotnega nabora podatkov (»celoten graf«). Učinek tesnobe je bil nepomemben, medtem ko je bil učinek poskusov pomemben.

Seznam metod

• Faktorski eksperimentalni modeli. Primeri: dejavniki, ki vplivajo na uspešnost reševanja matematičnih problemov; dejavniki, ki vplivajo na obseg prodaje.

Podatki so sestavljeni iz več serij opazovanj (obdelav), ki se obravnavajo kot realizacije neodvisnih vzorcev. Začetna hipoteza pravi, da ni razlike v zdravljenju, t.j. domneva se, da se lahko vsa opažanja obravnavajo kot en vzorec iz splošne populacije:

• Enofaktorski parametrični model: Scheffejeva metoda.
• Enofaktorski neparametrični model [Lagutin MB, 237]: Kruskal-Wallisov kriterij [Hollender M., Wolf DA, 131], Jonkhierjev kriterij [Lagutin MB, 245].

• Splošni primer modela s konstantnimi faktorji, Cochranov izrek [Afifi A., Eisen S., 234].

Podatki so podvojena opažanja:

• Dvofaktorski neparametrični model: Friedmanov kriterij [Lapach, 203], Pageov kriterij [Lagutin MB, 263]. Primeri: primerjava učinkovitosti proizvodnih metod, kmetijskih tehnik.
• Dvofaktorski neparametrični model za nepopolne podatke

Zgodovina

Od kod izvira ime analiza variance? Morda se zdi čudno, da se postopek za primerjavo srednjih vrednosti imenuje analiza variance. Pravzaprav je to posledica dejstva, da pri preučevanju statistične pomembnosti razlike med povprečji dveh (ali več) skupin dejansko primerjamo (analiziramo) variance vzorca. Predlaga se temeljni koncept analize variance Fisher leta 1920. Morda bi bil bolj naraven izraz vsota analize kvadratov ali analize variacij, vendar se tradicionalno uporablja izraz ANOVA. Sprva je bila ANOVA razvita za obdelavo podatkov, pridobljenih iz posebej zasnovanih poskusov, in je veljala za edino metodo, ki pravilno raziskuje vzročne zveze. Metoda je bila uporabljena za vrednotenje poskusov v pridelavi rastlin. Kasneje je splošni znanstveni pomen analize variance za eksperimente v psihologiji, pedagogiki, medicini itd.

Literatura

1. Scheffe G. Analiza variance. - M., 1980.
2. Ahrens H. Leuter Yu. Multivariatna analiza variance.
3. A. I. Kobzar Uporabna matematična statistika. - M.: Fizmatlit, 2006.
4. Lapach S.N., Chubenko A.V., Babich P.N. Statistika v znanosti in gospodarstvu. - Kijev: Morion, 2002.
5. Lagutin M. B. Vizualna matematična statistika. V dveh zvezkih. - M.: P-center, 2003.
6. Afifi A., Eisen S. Statistična analiza: računalniško podprt pristop.
7. Hollender M., Wolfe D.A. Neparametrične metode statistike.

Povezave

• Analiza variance - elektronski učbenik StatSoft.