Prva stopnja

Kvadratne enačbe. Izčrpen vodnik (2019)

V izrazu " kvadratna enačba"Ključna beseda je" kvadrat ". To pomeni, da mora imeti enačba na kvadrat spremenljivko (enak x) in v tretji (ali večji) stopnji ne sme biti x.

Rešitev številnih enačb se zmanjša na rešitev kvadratnih enačb.

Naučimo se določiti, da imamo kvadratno enačbo in ne kakšno drugo.

Primer 1.

Znebimo se imenovalca in pomnožimo vsak člen v enačbi z

Vse prenesemo na leva stran in razporedite pogoje v padajočem vrstnem redu stopinj x

Zdaj lahko samozavestno rečemo, da je ta enačba kvadratna!

2. primer

Pomnožimo levo in desno stran z:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadratna!

3. primer

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Če pa nadomestimo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

4. primer

Zdi se, da je tam, a si ga poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Saj se je skrčil - in zdaj je to preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

Odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadrat;
4. ni kvadrat;
5. ni kvadrat;
6. kvadrat;
7. ni kvadrat;
8. kvadrat.

Matematiki običajno razdelijo vse kvadratne enačbe v naslednjo obliko:

• Izpolnite kvadratne enačbe - enačbe, pri katerih koeficienti in, kot tudi prosti izraz z niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega obstajajo med popolnimi kvadratnimi enačbami dano - to so enačbe, v katerih koeficient (enačba iz prvega primera ni le popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe - enačbe, pri katerih sta koeficient in ali prosti izraz c enaka nič:

  So nepopolni, ker jim primanjkuje nekega elementa. Toda v enačbi mora biti vedno x na kvadrat !!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadrat, ampak neka druga enačba.

Zakaj ste prišli do takšne delitve? Zdi se, da je X na kvadrat in v redu. Ta delitev je posledica načinov reševanja. Podrobneje razmislimo o vsakem od njih.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - veliko lažje so!

Nepopolne kvadratne enačbe so naslednjih vrst:

1. , v tej enačbi je koeficient.
2. , v tej enačbi je prosti izraz.
3. , v tej enačbi sta koeficient in presek enaka.

1. in. Ker znamo ekstrahirati kvadratni koren, potem izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Število na kvadrat ne more biti negativno, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih številk rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul ni treba zapomniti. Glavno je, da morate vedeti in se vedno zavedati, da manj ne more biti.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj je še treba izvleči koren z leve in desne strani. Se spomnite, kako pridobivati \u200b\u200bkorenine?

Odgovor:

Nikoli ne pozabite na negativne korenine !!!

Primer 6:

Reši enačbo

Odgovor:

7. primer:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, ki nimajo korenin, so matematiki pripravili posebno ikono - (prazen niz). Odgovor lahko zapišemo takole:

Odgovor:

Ta kvadratna enačba ima torej dve korenini. Tu ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo iz oklepajev skupni dejavnik:

Tako

Ta enačba ima dve korenini.

Odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno le en koren:

Tu bomo šli brez primerov.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Opozarjamo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba enačbe oblike kjer

Reševanje popolnih kvadratnih enačb je nekoliko težje (le malo) od podanih.

Ne pozabite, katero koli kvadratno enačbo je mogoče rešiti z uporabo diskriminante! Tudi nepopolno.

Preostale metode vam bodo pomagale, da to storite hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, se najprej naučite rešitve z uporabo diskriminante.

1. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo diskriminante.

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je zelo preprosto, glavno je zapomniti si zaporedje dejanj in nekaj formul.

Če je, potem ima enačba koren. posebna pozornost naredi korak. Diskriminant () nam označuje število korenin enačbe.

• Če je, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela celoten koren.
• Če potem, v koraku ne bomo mogli izvleči korena iz diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskoči.

2. korak

Ugotavljamo diskriminator:

Enačba ima torej dve korenini.

3. korak

Odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je torej predstavljena v standardni obliki Korak 1 preskoči.

2. korak

Ugotavljamo diskriminator:

Enačba ima torej en koren.

Odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je torej predstavljena v standardni obliki Korak 1 preskoči.

2. korak

Ugotavljamo diskriminator:

Zato ne bomo mogli izločiti korena iz diskriminante. Korenin enačbe ni.

Zdaj vemo, kako pravilno zapisati takšne odzive.

Odgovor:Brez korenin

2. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vieta-ovega izreka.

Če se spomnite, obstaja vrsta enačb, ki se imenujejo reducirane (kadar je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vieta-ovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba je enaka in zmnožek korenin enak.

Primer 12:

Reši enačbo

Ta enačba je primerna za reševanje z uporabo Vieta-ovega izreka, saj ...

Vsota korenin enačbe je enaka, tj. dobimo prvo enačbo:

In izdelek je enak:

Sestavimo in rešimo sistem:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

Odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Enačba je zmanjšana, kar pomeni:

Odgovor:

KVADRATIČNE ENOTE. POVPREČNA RAVEN

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je neznano, nekaj števil in.

Številka se imenuje najstarejša oz prve kvote kvadratna enačba, - drugi koeficient, in - brezplačni član.

Zakaj? Ker če, \u200b\u200bbo enačba takoj postala linearna, ker izginejo.

Poleg tega in je lahko enako nič. Na tem stolu se enačba imenuje nepopolna. Če so vsi pogoji na mestu, to pomeni, da je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode reševanja nepopolnih kvadratnih enačb:

Za začetek bomo analizirali metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - so enostavnejše.

Ločimo lahko naslednje vrste enačb:

I., v tej enačbi sta koeficient in presek enaka.

II. , v tej enačbi je koeficient.

III. , v tej enačbi je prosti izraz.

Zdaj pa poglejmo rešitev za vsako od teh podtipov.

Očitno ima ta enačba vedno le en koren:

Številčeno na kvadrat ne more biti negativno, ker ko pomnožite dve negativni ali dve pozitivni številki, bo rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul ni treba zapomniti. Pomembno si je zapomniti, da ne more biti manj.

Primeri:

Rešitve:

Odgovor:

Nikoli ne pozabite negativnih korenin!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Za kratek zapis, da težava nima rešitev, uporabimo ikono prazen nabor.

Odgovor:

Ta enačba ima torej dve korenini: in.

Odgovor:

Izvlecite skupni faktor iz oklepajev:

Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, kadar:

Ta kvadratna enačba ima torej dve korenini: in.

Primer:

Reši enačbo.

Sklep:

Faktorjamo na levo stran enačbe in poiščemo korenine:

Odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminatoren

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavno je zapomniti si zaporedje dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z uporabo diskriminante! Tudi nepopolno.

Ste opazili koren diskriminante v korenski formuli? Toda diskriminator je lahko negativen. Kaj storiti? Posebno pozornost je treba posvetiti koraku 2. Diskriminator nam pokaže število korenin enačbe.

• Če ima potem enačba koren:
• Če ima potem enačba isti koren, v resnici pa en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če torej, koren diskriminante ni izvlečen. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je to mogoče različen znesek korenine? Obrnimo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba ,. In to pomeni, da so korenine kvadratne enačbe presečišča z osjo abscide (osjo). Parabola ne sme preseči osi ali pa jo preseči v eni (ko oglišče parabole leži na osi) ali v dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so potem veje parabole usmerjene navzgor, in če - potem navzdol.

Primeri:

Rešitve:

Odgovor:

Odgovor :.

Odgovor:

Rešitev torej ni.

Odgovor :.

2. Vietin izrek

Uporaba Vietinega izreka je zelo enostavna: izbrati morate le par števil, katerih zmnožek je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je drugi koeficient, vzet z nasprotnim predznakom.

Pomembno je vedeti, da je Vietin izrek mogoče uporabiti samo v zmanjšane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

1. primer:

Reši enačbo.

Sklep:

Ta enačba je primerna za reševanje z uporabo Vieta-ovega izreka, saj ... Drugi koeficienti :; ...

Vsota korenin enačbe je:

In izdelek je enak:

Izberimo take pare števil, katerih zmnožek je enak, in preverimo, ali je njihova vsota enaka:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako in so korenine naše enačbe.

Odgovor :; ...

2. primer:

Sklep:

Izberimo take pare števil, ki dajejo izdelek, in nato preverimo, ali je njihova vsota enaka:

in: podana je vsota.

in: podana je vsota. Da bi dobili, je dovolj samo spremeniti znake domnevnih korenin: in navsezadnje tudi delo.

Odgovor:

3. primer:

Sklep:

Prosti izraz enačbe je negativen, zato je zmnožek korenin negativno število... To je mogoče le, če je ena od korenin negativna, druga pa pozitivna. Zato je vsota korenin razlika v njihovih modulih.

Izberimo takšne pare števil, ki dajejo v izdelku in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je enaka - ne ustreza;

in: - ne ustreza;

in: - ne ustreza;

in: - ustreza. Samo zapomniti si moramo, da je ena od korenin negativna. Ker mora biti njihova vsota enaka, mora biti koren v absolutni vrednosti negativen :. Preverimo:

Odgovor:

Primer # 4:

Reši enačbo.

Sklep:

Enačba je zmanjšana, kar pomeni:

Prosti izraz je negativen, kar pomeni, da je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberimo take pare števil, katerih zmnožek je enak, in nato določimo, katere korenine naj imajo negativni znak:

Očitno so za prvi pogoj primerne le korenine in:

Odgovor:

5. primer:

Reši enačbo.

Sklep:

Enačba je zmanjšana, kar pomeni:

Vsota korenin je negativna, kar pomeni, da je vsaj ena od korenin negativna. Ker pa je njihov izdelek pozitiven, sta obe korenini z znakom minus.

Izberimo take pare števil, katerih zmnožek je enak:

Očitno so številke in korenine.

Odgovor:

Strinjate se, zelo priročno je, da korenine pripravimo ustno, namesto da bi šteli to grdo diskriminacijo. Poskusite čim pogosteje uporabljati Vietin izrek.

Toda Vietin izrek je potreben, da olajša in pospeši iskanje korenin. Če ga želite donosno uporabljati, morate ukrepe pripeljati do avtomatizma. In za to se odločite za še pet primerov. Toda ne varajte: diskriminante ne morete uporabiti! Samo Vietin izrek:

Reševanje nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Po Vieta-ovem izreku:

Kot običajno izbiro začnemo s komadom:

Ni primerno, ker znesek;

: znesek je tisto, kar potrebujete.

Odgovor :; ...

2. naloga

In spet naš najljubši izrek Vieta: vsota bi se morala izkazati, vendar je zmnožek enak.

Ker pa ne bi smelo biti, vendar spreminjamo znake korenin: in (skupaj).

Odgovor :; ...

3. naloga

Hmm ... Kje je to?

Vse pogoje je treba prenesti v en del:

Vsota korenin je enaka izdelku.

Torej nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietin izrek je uporaben samo v zgornjih enačbah. Torej najprej morate prinesti enačbo. Če tega ne morete začeti, opustite ta podvig in ga rešite na drug način (na primer s pomočjo diskriminante). Naj vas spomnim, da pripeljati kvadratno enačbo pomeni, da postane starejši koeficient enak:

Globa. Potem je vsota korenin enaka in zmnožek.

Tukaj je enostavno pobrati: navsezadnje - praštevilo (žal za tavtologijo).

Odgovor :; ...

4. naloga

Prosti izraz je negativen. Kaj je tako posebnega? In dejstvo, da bodo korenine različnih znakov. In zdaj med izbiro ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko njihovih modulov: ta razlika je enaka, ampak izdelek.

Torej, korenine so enake in ena od njih je z minusom. Vietin izrek nam pravi, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, od.

Odgovor :; ...

5. naloga

Kaj je prva stvar? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa naj bo:

Korenine so enake in ena od njih pa ima minus. Kateri? Njihova vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo z minusom večji koren.

Odgovor :; ...

Povzeti:

1. Vietin izrek se uporablja samo v danih kvadratnih enačbah.
2. S pomočjo Vieta-ovega izreka lahko najdete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali če ni ustreznega para multiplikatorjev prostega izraza, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer z diskriminatorno).

3. Način izbire celotnega kvadrata

Če so vsi izrazi, ki vsebujejo neznano, predstavljeni v obliki pojmov iz skrajšanih formul množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko enačbo po spremembi spremenljivk predstavimo kot nepopolno kvadratno enačbo tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo :.

Sklep:

Odgovor:

2. primer:

Reši enačbo :.

Sklep:

Odgovor:

IN splošni pogled preoblikovanje bo videti tako:

To pomeni:.

Ali ni videti ničesar? To je diskriminator! Tako je, dobili smo diskriminatorno formulo.

KVADRATIČNE ENOTE. KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačbaje enačba oblike, kjer je neznano, so koeficienti kvadratne enačbe, je prosti izraz.

Polna kvadratna enačba - enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba - enačba, v kateri je koeficient, to je:

Nepopolna kvadratna enačba - enačba, v kateri je koeficient in ali prosti izraz c enak nič:

• če je koeficient enačba v obliki :,
• če je prosti izraz, ima enačba obliko :,
• če in, ima enačba obliko:

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer:

1) Izrazimo neznano :,

2) Preverite znak izraza:

• če potem enačba nima rešitev,
• če pa ima enačba dve korenini.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer:

1) Izvlecite skupni faktor iz oklepajev :,

2) Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dve korenini:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer:

Ta enačba ima vedno samo en koren :.

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Diskriminatorna rešitev

1) Zmanjšajmo enačbo na standardni videz :,

2) Izračunajte diskriminacijo po formuli :, ki označuje število korenin enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če pa ima enačba korenine, ki jih najdemo po formuli:
• če ima potem enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vieta-ovega izreka

Vsota korenin zmanjšane kvadratne enačbe (enačba oblike, kjer) je enaka in zmnožek korenin je enak, tj. , in.

2.3. Popolna kvadratna rešitev

2.5 Vieta-ina formula za polinome (enačbe) višje stopnje

Formule, ki jih Viet izpelje za kvadratne enačbe, veljajo tudi za polinome višjih stopinj.

Naj polinom

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n

Ima n različnih korenin x 1, x 2 ..., x n.

V tem primeru ima faktorizacijo oblike:

a 0 x n + a 1 x n-1 +… + a n \u003d a 0 (x - x 1) (x - x 2)… (x - x n)

Obe strani te enakosti delimo z 0 ≠ 0 in v prvem delu razširimo oklepaje. Dobimo enakost:

xn + () xn -1 +… + () \u003d xn - (x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

Toda dva polinoma sta enako enaka, če in le, če sta koeficienta na enakih stopinjah enaka. Iz tega sledi, da je enakost

x 1 + x 2 +… + x n \u003d -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n \u003d

x 1 x 2 ... x n \u003d (-1) n

Na primer za polinome tretje stopnje

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Imamo identitete

x 1 + x 2 + x 3 \u003d -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 \u003d

x 1 x 2 x 3 \u003d -

Kar zadeva kvadratne enačbe, se ta formula imenuje Vieta-ove formule. Leve strani teh formul so simetrični polinomi iz korenin x 1, x 2 ..., x n te enačbe, desne strani pa so izražene s koeficientom polinoma.

2.6 Enačbe, ki jih je mogoče zmanjšati na kvadrat (biquadratic)

Enačbe četrte stopnje se zmanjšajo na kvadratne enačbe:

sekira 4 + bx 2 + c \u003d 0,

imenovano bikvadratično, in, in ≠ 0.

Dovolj je, da v to enačbo vstavimo x 2 \u003d y, zato je

ay² + za + c \u003d 0

poiščemo korenine nastale kvadratne enačbe

y 1,2 \u003d

Če želite hkrati najti korenine x 1, x 2, x 3, x 4, zamenjajte y z x in dobite

x² \u003d

x 1,2,3,4 \u003d .

Če ima enačba četrte stopnje x 1, potem ima tudi koren x 2 \u003d -x 1,

Če ima x 3, potem je x 4 \u003d - x 3. Vsota korenin take enačbe je nič.

2x 4 - 9x² + 4 \u003d 0

Enačbo nadomestite v formulo za korenine bikvadratnih enačb:

x 1,2,3,4 \u003d ,

vedoč, da je x 1 \u003d -x 2 in x 3 \u003d -x 4, potem:

x 3,4 \u003d

Odgovor: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 \u003d

2.7 Raziskovanje bikvadratnih enačb

Vzemimo bikvadratično enačbo

sekira 4 + bx 2 + c \u003d 0,

kjer so a, b, c realna števila in a\u003e 0. Z uvedbo pomožnega neznanega y \u003d x² raziščemo korenine te enačbe in rezultate vnesemo v tabelo (glej Dodatek # 1)

2.8 Formula Cardano

Izpeljava formule Cardano z uporabo sodobne simbolike je lahko videti takole:

x \u003d

Ta formula določa korenine splošne enačbe tretje stopnje:

sekira 3 + 3bx 2 + 3cx + d \u003d 0.

Ta formula je zelo okorna in zapletena (vsebuje več zapletenih radikalov). Ne velja vedno, ker zelo težko napolniti.

F ¢ (xо) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Naštejte ali izberite med 2-3 besedili najzanimivejša mesta. Tako smo upoštevali splošne določbe za oblikovanje in izvajanje izbirnih predmetov, ki jih bomo upoštevali pri razvoju izbirnega predmeta iz algebre za 9. razred "Kvadratne enačbe in neenakosti s parametrom." Poglavje II. Metodologija izvajanja izbirnega predmeta "Kvadratne enačbe in neenakosti s parametrom" 1.1. So pogosti ...

Rešitve iz numeričnih računskih metod. Za določitev korenin enačbe ni potrebno poznavanje teorij skupin Abel, Galois, Lie itd. In posebna matematična terminologija: obroči, polja, ideali, izomorfizmi itd. Za razrešitev algebrske enačbe n - te stopnje potrebujete le sposobnost reševanja kvadratnih enačb in pridobivanja korenin iz kompleksnega števila. Korenine lahko prepoznamo iz ...

Z merskimi enotami fizikalnih veličin v sistemu MathCAD? 11. Podrobno opišite besedilo, grafiko in matematične bloke. Predavanje številka 2. Problemi linearne algebre in reševanje diferencialnih enačb v okolju MathCAD Pri nalogah linearne algebre je skoraj vedno treba izvajati različne operacije z matricami. Upravljalna plošča matrike se nahaja na plošči Math. ...

Formulacija in dokaz Vieta-ovega izreka za kvadratne enačbe. Vietin obratni izrek. Vieta-ov izrek za kubične enačbe in enačbe poljubnega reda.

Kvadratne enačbe

Vietin izrek

Pustimo in označimo korenine reducirane kvadratne enačbe
(1) .
Potem je vsota korenin enaka koeficientu at, vzetemu z nasprotnim predznakom. Zmnožek korenin je enak prostemu izrazu:
;
.

Opomba o več koreninah

Če je diskriminant enačbe (1) enak nič, ima ta enačba en koren. Da pa bi se izognili okornim formulacijam, je splošno sprejeto, da ima v tem primeru enačba (1) dve večkratni ali enaki korenini:
.

Dokaz ena

Poiščimo korenine enačbe (1). Če želite to narediti, uporabite formulo za korenine kvadratne enačbe:
;
;
.

Najdemo vsoto korenin:
.

Če želite poiskati delo, uporabite formulo:
.
Potem

.

Izrek je dokazan.

Dokaz dva

Če so številke in korenine kvadratne enačbe (1), potem
.
Odpremo oklepaje.

.
Tako bo enačba (1) dobila obliko:
.
V primerjavi z (1) najdemo:
;
.

Izrek je dokazan.

Vietin obratni izrek

Naj bodo poljubne številke. Potem in so korenine kvadratne enačbe
,
Kje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietovega obratnega izreka

Razmislite o kvadratni enačbi
(1) .
Dokazati moramo, da če in, potem je u korenine enačbe (1).

Namestnik (2) in (3) v (1):
.
Na levi strani enačbe združimo izraze:
;
;
(4) .

Namestnik v (4):
;
.

Namestnik v (4):
;
.
Enačba je izpolnjena. To pomeni, da je število koren enačbe (1).

Izrek je dokazan.

Vietin izrek za popolno kvadratno enačbo

Zdaj razmislite o popolni kvadratni enačbi
(5) ,
kje in obstaja nekaj številk. Še več.

Delimo enačbo (5) na:
.
To pomeni, da imamo zmanjšano enačbo
,
kje; ...

Potem ima Vietin izrek za popolno kvadratno enačbo naslednjo obliko.

Pustimo in označimo korenine popolne kvadratne enačbe
.
Nato vsoto in zmnožek korenin določimo s formulama:
;
.

Vieta-ov izrek za kubično enačbo

Na podoben način lahko vzpostavimo povezave med koreninami kubične enačbe. Razmislite o kubični enačbi
(6) ,
kjer ,,, nekaj številk. Še več.
Razdelimo to enačbo na:
(7) ,
kje,,.
Naj bodo ,, korenine enačbe (7) (in enačbe (6)). Potem

.

V primerjavi z enačbo (7) najdemo:
;
;
.

Vieta-ov izrek za enačbo n-te stopnje

Na enak način lahko najdete povezave med koreninami ,, ... ,, za enačbo n-te stopnje
.

Vietin izrek za enačbo n-te stopnje ima naslednjo obliko:
;
;
;

.

Za pridobitev teh formul zapišemo enačbo v naslednji obliki:
.
Nato izenačimo koeficiente na ,,, ... in primerjamo prosti izraz.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik iz matematike za inženirje in študente tehničnih ustanov, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: učbenik za izobraževalne ustanove 8. razreda, Moskva, Izobraževanje, 2006.

V matematiki obstajajo posebne tehnike, s katerimi se številne kvadratne enačbe rešijo zelo hitro in brez kakršnih koli diskriminatorjev. Poleg tega mnogi z ustreznim treningom začnejo kvadratne enačbe reševati ustno, dobesedno "na prvi pogled".

Na žalost se v sodobnem tečaju šolske matematike takšne tehnologije skoraj ne preučujejo. Ampak to morate vedeti! In danes bomo obravnavali eno izmed takšnih tehnik - Vietin izrek. Najprej predstavimo novo definicijo.

Kvadratno enačbo oblike x 2 + bx + c \u003d 0 imenujemo reducirana. Prosimo, upoštevajte: koeficient za x 2 je 1. Drugih omejitev za koeficiente ni.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 je zmanjšana kvadratna enačba;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - tudi podano;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - vendar to ni prikazano, saj je koeficient pri x 2 2.

Seveda lahko katero koli kvadratno enačbo oblike ax 2 + bx + c \u003d 0 zmanjšamo - dovolj je, da vse koeficiente delimo s številom a. To lahko vedno storimo, saj iz opredelitve kvadratne enačbe izhaja, da je a ≠ 0.

Res je, da te preobrazbe ne bodo vedno koristne za iskanje korenin. Malo kasneje bomo poskrbeli, da bo to storjeno šele, ko bodo vsi koeficienti v končni enačbi na kvadrat celi. Za zdaj si oglejte najpreprostejše primere:

Naloga. Pretvori kvadratno enačbo v reducirano:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Vsako enačbo delimo s koeficientom spremenljivke x 2. Dobimo:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - vse razdeljeno na 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - deljeno z −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - deljeno z 1,5, vsi koeficienti so postali cela števila;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - deljeno z 2. V tem primeru so nastali delni koeficienti.

Kot lahko vidite, imajo lahko kvadratne enačbe celoštevilske koeficiente, tudi če je prvotna enačba vsebovala ulomke.

Zdaj bomo oblikovali glavni izrek, za katerega je bil pravzaprav uveden koncept zmanjšane kvadratne enačbe:

Vietin izrek. Razmislite o zmanjšani kvadratni enačbi oblike x 2 + bx + c \u003d 0. Recimo, da ima ta enačba resnične korenine x 1 in x 2. V tem primeru so resnične naslednje trditve:

1. x 1 + x 2 \u003d -b. Z drugimi besedami, vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka koeficientu spremenljivke x, vzeto z nasprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 \u003d c. Zmnožek korenin kvadratne enačbe je enak prostemu koeficientu.

Primeri. Zaradi poenostavitve bomo upoštevali le zmanjšane kvadratne enačbe, ki ne zahtevajo dodatnih transformacij:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (−9) \u003d 9; x 1 x 2 \u003d 20; korenine: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -2; x 1 x 2 \u003d -15; korenine: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d 4; korenine: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d −4.

Vietin izrek nam daje dodatne informacije o koreninah kvadratne enačbe. Na prvi pogled se to morda zdi težko, a tudi z minimalnim treningom se boste naučili "videti" korenine in jih dobesedno ugibati v nekaj sekundah.

Naloga. Reši kvadratno enačbo:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Poskusimo zapisati koeficiente po Vieta-ovem izreku in "uganimo" korenine:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 je zmanjšana kvadratna enačba.
   Po Vieta-ovem izreku imamo: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Lahko je videti, da so korenine številki 2 in 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - tudi podano.
   Po Vieta-ovem izreku: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 x 2 \u003d 27. Od tod korenine: 3 in 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - ta enačba se ne zmanjša. Toda to bomo zdaj popravili tako, da bomo obe strani enačbe delili s koeficientom a \u003d 3. Dobili bomo: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Reši po Vieta-ovem izreku: x 1 + x 2 \u003d −11; x 1 x 2 \u003d 10 ⇒ korenin: −10 in −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - spet koeficient pri x 2 ni enak 1, tj. enačba ni podana. Vse delimo s številom a \u003d −7. Dobimo: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   Po Vieta-ovem izreku: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 x 2 \u003d 30; iz teh enačb je enostavno uganiti korenine: 5 in 6.

Iz zgornjih razlogov je razvidno, kako Vietin izrek poenostavlja rešitev kvadratnih enačb. Brez zapletenih izračunov, brez aritmetičnih korenin in ulomkov. In niti diskriminante nismo potrebovali (glej lekcijo "Reševanje kvadratnih enačb").

Seveda smo v vseh svojih razmišljanjih izhajali iz dveh pomembnih predpostavk, ki pa na splošno v resničnih težavah niso vedno izpolnjene:

1. Kvadratna enačba se zmanjša, t.j. koeficient pri x 2 je 1;
2. Enačba ima dve različni korenini. Z vidika algebre v tem primeru diskriminanta D\u003e 0 - v resnici sprva domnevamo, da je ta neenakost resnična.

Vendar so ti tipični matematični problemi izpolnjeni. Če pri izračunih nastane "slaba" kvadratna enačba (koeficient pri x 2 se razlikuje od 1), je to enostavno popraviti - poglejte primere na samem začetku lekcije. O koreninah na splošno molčim: kaj je ta problem, ki nima odgovora? Seveda bodo korenine.

Tako splošna shema rešitev kvadratnih enačb po Vieta-ovem izreku je naslednja:

1. Kvadratno enačbo zmanjšajte na reducirano, če to še ni bilo storjeno v stavku problema;
2. Če so se koeficienti v dani kvadratni enačbi izkazali za delne, rešujemo s pomočjo diskriminante. Lahko se celo vrnete k prvotni enačbi, če želite delati z bolj "priročnimi" številkami;
3. V primeru celoštevilskih koeficientov enačbo rešujemo po Vieta-ovem izreku;
4. Če v nekaj sekundah ni bilo mogoče uganiti korenin, zataknemo Vietin izrek in rešimo s pomočjo diskriminante.

Naloga. Reši enačbo: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Pred nami je torej enačba, ki ni zmanjšana, ker koeficient a \u003d 5. Vse delimo s 5, dobimo: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Vsi koeficienti kvadratne enačbe so cela števila - poskusimo jo rešiti z Vietinim izrekom. Imamo: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. V tem primeru se korenine zlahka uganejo - to sta 2 in 5. Ni treba šteti skozi diskriminator.

Naloga. Rešite enačbo: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Poglejte: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - ta enačba se ne zmanjša, obe strani delimo s koeficientom a \u003d −5. Dobimo: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - enačbo z delnimi koeficienti.

Bolje je, da se vrnemo k prvotni enačbi in preštejemo skozi diskriminacijo: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2 - 4 (−5) (−2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1.2 ; x 2 \u003d 0,4.

Naloga. Reši enačbo: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Najprej delimo vse s koeficientom a \u003d 2. Dobimo enačbo x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ta reducirana enačba po Vieta-ovem izreku imamo: x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d −300. V tem primeru je težko uganiti korenine kvadratne enačbe - osebno sem se resno "zataknil", ko sem reševal to težavo.

Korenine bomo morali iskati skozi diskriminanto: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (−300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Če se ne spomnite korena diskriminante, bom samo opazil, da je 1225: 25 \u003d 49. Zato je 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Zdaj, ko je koren diskriminante znan, enačbe ne bo težko rešiti. Dobimo: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Vietin izrek (natančneje obratni izrek Vieta-ovemu izreku) vam omogoča, da skrajšate čas za reševanje kvadratnih enačb. Samo uporabljati ga morate. Kako se naučiti reševati kvadratne enačbe z uporabo Vieta-ovega izreka? To ni težko, če malo premislite.

Zdaj bomo govorili le o rešitvi reducirane kvadratne enačbe po Vieta-ovem izreku, zmanjšana kvadratna enačba je enačba, v kateri je a, to je koeficient pred x², enak ena. Možno je tudi reševanje nereduciranih kvadratnih enačb z uporabo Vieta-ovega izreka, vendar že vsaj ena od korenin ni celo število. Težje jih je uganiti.

Nasproten izrek Vieta-ovega izreka pravi: če sta števili x1 in x2 taki, da

potem sta x1 in x2 korenini kvadratne enačbe

Pri reševanju kvadratne enačbe po Vieta-ovem izreku so možne le 4 možnosti. Če se spomnite razlogov razmišljanja, se lahko zelo hitro naučite najti cele korenine.

I. Če je q pozitivno število,

to pomeni, da sta korenini x1 in x2 števili istega predznaka (saj je pozitivno število le pri množenju števil z istim predznakom).

I.a. Če je -p pozitivno število, (str<0), то оба корня x1 и x2 — pozitivne številke (ker so dodali številke istega znaka in dobili pozitivno število).

I.b. Če je -p negativen, (p\u003e 0), potem sta obe koreni negativni številki (dodajanje številk istega znaka je dobilo negativno število).

II. Če je q negativno,

to pomeni, da imata korenini x1 in x2 različna predznaka (pri množenju števil dobimo negativno število le, če so predznaki faktorjev različni). V tem primeru x1 + x2 ni več vsota, temveč razlika (navsezadnje pri dodajanju števil z različni znaki od večjega odštejemo manjše). Zato x1 + x2 prikazuje, koliko se en koren razlikuje od x1 in x2, torej koliko je en koren večji od drugega (modulo).

II.a. Če je -p pozitivno število, (tj. str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Če je -p negativen, (p\u003e 0), potem je največji (modulo) koren negativno število.

Razmislite o rešitvi kvadratnih enačb po Vieta-ovem izreku na primerih.

Rešite zmanjšano kvadratno enačbo po Vieta-ovem izreku:

Tu je q \u003d 12\u003e 0, torej sta korenini x1 in x2 števili istega predznaka. Njihova vsota je -p \u003d 7\u003e 0, torej sta obe koreni pozitivni številki. Izberemo cela števila, katerih zmnožek je 12. To so 1 in 12, 2 in 6, 3 in 4. Vsota je 7 za par 3 in 4. Torej, 3 in 4 sta korenina enačbe.

IN ta primer q \u003d 16\u003e 0, kar pomeni, da sta korenini x1 in x2 števili istega predznaka. Njihova vsota je -p \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tu je q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, potem je večje število pozitivno. Korenine so torej 5 in -3.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.