V tem članku bomo ugotovili, kaj je stopnjo... Tu bomo podali definicije stopnje števila in podrobno preučili vse možne eksponente, začenši z naravnim eksponentom in končali z iracionalnim. V gradivu boste našli veliko primerov diplom, ki zajemajo vse nastale subtilnosti.

Krmarjenje po straneh.

Stopinja z naravnim eksponentom, kvadrat števila, kocka števila

Začnimo s. Če pogledamo naprej, rečemo, da je za a podana definicija stopnje števila a z naravnim eksponentom n, ki ga bomo poimenovali osnovna stopnja, in n, ki ga bomo poimenovali eksponent... Ugotavljamo tudi, da je stopnja z naravnim eksponentom določena z izdelkom, zato morate za razumevanje spodnjega materiala imeti predstavo o množenju števil.

Opredelitev.

Moč števila a z naravnim eksponentom n je izraz oblike a n, katerega vrednost je enaka produktu n faktorjev, od katerih je vsak enak a, to je ,.
Zlasti je moč števila a z eksponentom 1 samo število a, to je a 1 = a.

Takoj je treba povedati o pravilih za branje diplom. Univerzalni način branja zapisa a n je naslednji: "a na moč n". V nekaterih primerih so sprejemljive tudi naslednje možnosti: "a na n-to moč" in "n-ta moč števila a". Na primer, vzemite moč 8 12, kar je "osem na moč dvanajst" ali "osem na dvanajsto stopnjo" ali "dvanajsta moč osmice".

Druga stopnja števila, pa tudi tretja stopnja števila, imata svoja imena. Druga stopnja števila se imenuje kvadratna številka na primer 7 2 se glasi "sedem na kvadrat" ali "kvadrat številke sedem". Tretja moč števila se imenuje kockaste številke na primer 5 3 lahko beremo kot "kocka pet" ali rečemo "kocka številke 5".

Čas je, da vodite primeri stopinj z naravnimi kazalci... Začnimo z močjo 5 7, tukaj je 5 osnova moči in 7 je eksponent. Navedimo še en primer: 4,32 je osnova, naravno število 9 pa eksponent (4,32) 9.

Upoštevajte, da je v zadnjem primeru osnova moči 4,32 zapisana v oklepaju: da ne pride do zmede, bomo v oklepaje dali vse osnove stopnje, ki se razlikujejo od naravnih števil. Kot primer podajamo naslednje stopnje z naravnimi kazalniki , njihove osnove niso naravna števila, zato so zapisane v oklepaju. No, za popolno jasnost bomo v tem trenutku pokazali razliko med vnosi oblike (−2) 3 in −2 3. Izraz (−2) 3 je moč −2 z naravnim eksponentom 3, izraz −2 3 (lahko ga zapišemo kot - (2 3)) pa ustreza številki, vrednosti moči 2 3 .

Upoštevajte, da obstaja zapis stopnje števila a z eksponentom n oblike a ^ n. Poleg tega, če je n večvredno naravno število, potem je eksponent v oklepaju. Na primer, 4 ^ 9 je še en zapis moči 4 9. In tukaj je še nekaj primerov pisanja diplom s simbolom " ^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). V nadaljevanju bomo uporabljali predvsem zapis stopnje oblike a n.

Ena od nalog, ki je obratna eksponenciaciji z naravnim eksponentom, je problem iskanja osnove stopnje iz znane vrednosti stopnje in znanega eksponenta. Ta naloga vodi do.

Znano je, da je sklop racionalne številke sestoji iz celih števil in ulomkov ter vsakega delno število lahko predstavimo kot pozitivno ali negativno navadni ulomek... Stopnjo smo s celim številom opredelili v prejšnjem odstavku, zato, da dokončamo opredelitev stopnje s racionalni kazalnik, je treba dati pomen moči števila a z ulomkom eksponentom m / n, kjer je m celo število, n pa naravno število. Naredimo to.

Razmislite o diplomi z delnim eksponentom oblike. Da je lastnost stopnje do stopnje veljavna, velja enakost ... Če upoštevamo pridobljeno enakost in način, kako smo jo določili, potem je logično sprejeti, pod pogojem, da je za dane m, n in a izraz smiseln.

To je enostavno preveriti za vse lastnosti stopnje s celoštevilčnim eksponentom (to je opisano v razdelku o lastnostih stopinje z racionalnim eksponentom).

Zgornje razmišljanje nam omogoča naslednje. izhod: če je za podane m, n in a izraz smiseln, se moč števila a z ulomkom eksponenta m / n imenuje n -ti koren a do moči m.

Ta izjava nas zelo približuje določanju stopnje z ulomkom. Ostaja le opisati, za katere m, n in a je izraz smiseln. Obstajata dva glavna pristopa, odvisno od omejitev na m, n in a.

Najlažji način je, da omejite a tako, da sprejmete a≥0 za pozitivno m in a> 0 za negativno m (saj za m≤0 stopnja 0 m ni definirana). Nato dobimo naslednjo definicijo ulomka.

Opredelitev.

Moč pozitivnega števila a z ulomkom eksponent m / n, kjer je m celo število in n naravno število, se imenuje n -ti koren a na stopnjo m, to je ,.

Delna moč nič se določi tudi pod pogojem, da mora biti kazalnik pozitiven.

Opredelitev.

Moč nič s pozitivnim ulomkom m / n, kjer je m pozitivno celo število in je n naravno število, je definirano kot .
Ko stopnja ni določena, to je stopnja števila nič z ulomkom negativni kazalnik nima smisla.

Treba je opozoriti, da je pri takšni definiciji stopnje z ulomkom eksponent en odtenek: za nekatere negativne a in nekaj m in n je izraz smiseln, te primere pa smo zavrgli z uvedbo pogoja a≥0. Na primer, smiselno je pisati ali, in zgoraj navedena definicija nas prisili, da rečemo, da so stopinje z delnim eksponentom oblike nimajo smisla, saj osnova ne sme biti negativna.

Drug pristop k določanju eksponenta z ulomkom eksponenta m / n je ločeno obravnavanje lihih in parnih eksponentov korena. Ta pristop zahteva dodaten pogoj: stopnja števila a, katerega kazalnik je, se šteje za moč števila a, katerega kazalnik je ustrezen neločljiv ulomek (pomen tega pogoja bo pojasnjen spodaj). To pomeni, da če je m / n nerazredljiv ulomek, se stopnja za vsako naravno število k predhodno nadomesti z.

Za celo n in pozitivno m je izraz smiseln za vsako ne-negativno a (parni koren negativnega števila nima smisla), za negativno m mora biti število a še vedno ničelno (sicer bo deljenje z ničlo ). Za liho n in pozitivno m je lahko število a poljubno (koren lihe stopnje je opredeljen za katero koli realno število), za negativno m pa mora biti število a različno od nič (tako da ni deljenja z ničlo) .

Zgornje sklepanje nas pripelje do take opredelitve stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Naj bo m / n neločljiv ulomek, m celo število in n naravno število. Za kateri koli preklicljiv ulomek se eksponent nadomesti z. Moč števila z nezmanjšljivim frakcijskim eksponentom m / n je za



Pojasnimo, zakaj stopnjo z reducirnim frakcijskim eksponentom prej nadomestimo s stopnjo z nerazredljivim eksponentom. Če bi stopnjo preprosto opredelili kot in ne naredili pridržka glede nezmanjšljivosti ulomka m/n, bi se soočili s situacijami, podobnimi naslednjim: ker je 6/10 = 3/5, bi morala veljati enakost , ampak , a.

DEL II. POGLAVJE 6
ŠTEVILNE NIZOZEDNOSTI

Koncept stopnje z iracionalnim eksponentom

Naj bo a neko pozitivno število in a iracionalno.
Kakšen pomen je treba dati izrazu a *?
Da bi bila predstavitev bolj opisna, jo bomo izvedli v zasebnem prostoru
primer. Namreč, postavimo a - 2 in a = 1. 624121121112. ... ... ...
Tukaj, ampak - neskončno decimalno na podlagi takšnih
zakon: začnite od četrtega decimalnega mesta za sliko a
uporabljata se samo števki 1 in 2, število številk pa 1,
zabeleženo zaporedoma pred številko 2, se ves čas poveča za
ena. Ulomek a je neperiodičen, saj je sicer število števk 1,
zaporedoma zapisano na njegovi podobi bi bilo omejeno.
Zato je a neracionalno število.
Kakšen pomen je torej treba dati izrazu
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
Za odgovor na to vprašanje sestavimo zaporedje vrednosti
in s pomanjkanjem in presežkom z natančnostjo (0,1) *. Dobimo
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Sestavimo ustrezna zaporedja stopenj števila 2:
2 milijona. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21,6Ш; ... (4)
Zaporedje (3) se povečuje z zaporedjem
(1) (izrek 2 § 6).
Zaporedje (4) se zmanjšuje, ker se zaporedje zmanjšuje
(2).
Vsak član zaporedja (3) je manjši od vsakega člana zaporedja
(4), zato je zaporedje (3) omejeno
od zgoraj, zaporedje (4) pa je omejeno od spodaj.
Na podlagi izreka o monotonem omejenem zaporedju
vsaka od zaporedij (3) in (4) ima omejitev. Če

384 Koncept diplome z iracionalnim kazalnikom . .

zdaj se izkaže, da se razlika zaporedij (4) in (3) konvergira
na nič, potem iz tega sledi, da obe sekvenci,
imajo skupno mejo.
Razlika med prvimi členi zaporedij (3) in (4)
21-7 - 21 ' * = 2 |, v (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Razlika med drugimi izrazi
21'63 - 21,62 = 21,62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Razlika n -ih izrazov
0,0000. ..0 1
2>. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Na podlagi izreka 3 § 6
lim 10 ″ / 2 = 1.
Torej imata zaporedja (3) in (4) skupno mejo. To
meja je edino realno število, ki je večje od
vseh članov zaporedja (3) in manj kot vsi člani zaporedja
(4), zato je priporočljivo upoštevati točno vrednost 2 *.
Iz povedanega izhaja, da ga je na splošno priporočljivo sprejeti
naslednja opredelitev:
Opredelitev. Če je a> 1, potem je stopnja a z iracionalno
eksponent a je tako realno število,
ki je večja od vseh moči tega števila, katerega eksponenti so
racionalni približki a s pomanjkljivostjo in manj kot vse stopnje
tega števila, katerih eksponenti so racionalni približki in s
presežek.
Če<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
se imenuje realno število, ki je večje od vseh stopinj
tega števila, katerih eksponenti so racionalni približki a
z presežkom in manj kot vsemi pooblastili tega števila, katerega eksponenti
- racionalni približki in s slabostjo.
Če je a-1, potem njena stopnja z iracionalnim eksponentom a
je 1.
Z uporabo koncepta meje lahko to definicijo oblikujemo
Torej:
Moč pozitivnega števila z iracionalnim eksponentom
a se imenuje meja, h kateri teži zaporedje
racionalne moči tega števila, pod pogojem, da zaporedje
eksponenti teh stopenj težijo k a, tj.
aa = lim aH
B - *
13 D, K. Fatshcheev, I. S. Sominsky

Stopnja z racionalnim kazalnikom, njegove lastnosti.

Izraz a n je definirano za vse a in n, razen za primer a = 0 za n≤0. Spomnimo se lastnosti takšnih stopenj.

Za vsa števila a, b in poljubna cela števila m in n veljajo naslednje enakovrednosti:

A m * a n = a m + n; a m: a n = a m-n (a ≠ 0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n * b n; (b ≠ 0); a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0).

Upoštevamo tudi naslednjo lastnino:

Če je m> n, potem a m> a n za a> 1 in a m<а n при 0<а<1.

V tem pododdelku posplošujemo pojem moči števila, ki daje pomen izrazom tipa 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 itd. V tem primeru je naravno podati definicijo, tako da imajo stopinje z racionalnimi eksponenti enake lastnosti (ali vsaj del njih) kot stopinje s celim eksponentom. Nato še zlasti n -ta moč številamora biti enako a m ... Dejansko, če je lastnina

(a p) q = a pq

se nato izvede

Zadnja enakost pomeni (po definiciji n -te korenine) to številomora biti n -ti koren številke a m

Opredelitev.

Stopnja števila a> 0 z racionalnim eksponentom r =, kjer je m celo število in n naravno število (n> 1), je število

Torej po definiciji

(1)

Moč števila 0 je definirana samo za pozitivne eksponente; po definiciji 0 r = 0 za vsako r> 0.

Diploma z neracionalnim kazalnikom.

Neracionalno številolahko predstavimo kotmeja zaporedja racionalnih števil: .

Naj bo. Potem so stopinje z racionalnim eksponentom. Lahko se pokaže, da je zaporedje teh stopenj konvergentno. Meja tega zaporedja se imenuje stopnjo z utemeljitvijo in iracionalnim eksponentom: .

Narišimo več točk grafa funkcije y = 2 x predhodno izračunajte vrednost 2 s kalkulatorjem x na odseku [–2; 3] s korakom 1/4 (slika 1, a) in nato s korakom 1/8 (slika 1, b). Nadaljevanje miselno enakih konstrukcij s korakom 1/16, 1/32 itd., vidimo, da lahko nastale točke povežemo z gladko krivuljo, kar je naravno, če upoštevamo graf neke funkcije, ki je definiran in narašča že na celotni številski črti in ob upoštevanju vrednostina racionalnih točkah(Slika 1, c). Ko ste dovolj zgradili veliko število točke grafikona funkcij, se lahko prepričamo, da ima tudi ta funkcija podobne lastnosti (razlika je v tem, da funkcija zmanjša za R).

Ta opažanja kažejo, da je mogoče na ta način definirati številki 2.α in za vsako iracionalno α tako, da so funkcije, opredeljene s formulami y = 2 x in bo neprekinjena, funkcija y = 2 x povečuje in funkcijase zmanjšuje vzdolž celotne številske črte.

Na splošno opišimo, kako je število a α za iracionalno α za a> 1. Želimo doseči, da je funkcija y = a x se je povečeval. Potem za vsak racionalni r 1 in r 2 tako, da je r 1<αmora izpolnjevati neenakosti a r 1<а α <а r 1 .

Izbira vrednosti r 1 in r 2 približuje x, je razvidno, da ustrezne vrednosti a r 1 in a r 2 se bodo malo razlikovali. Lahko se dokaže, da obstaja in poleg tega samo ena številka y, ki je večja od vseh a r 1 za vse racionalne r 1 in najmanj a r 2 za vse racionalne r 2 ... To število y je po definiciji a α .

Na primer s kalkulatorjem izračunajte vrednost 2 x v točkah x n in x` n, kjer x n in x` n - decimalni približki številaugotovili bomo, da bližje x n in x` n do , manjša je razlika 2 x n in 2 x` n.

Od takrat

in zato

Podobno ob upoštevanju naslednjih decimalnih približkovs pomanjkanjem in presežkom pridemo do razmerij

;

;

;

;

.

Pomen izračunano na kalkulatorju je naslednje:

.

Število a α za 0<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 za kateri koli α in 0α = 0 za α> 0.

Eksponentna funkcija.

Ob a > 0, a = 1 je funkcija definirana y = a x razen stalnega. Ta funkcija se imenuje eksponentna funkcija s temeljema.

y= a x ob a> 1:

Zemljevidi eksponentne funkcije z osnovo 0< a < 1 и a> 1 so prikazane na sliki.

Osnovne lastnosti eksponentna funkcija y= a x pri 0< a < 1:

• Domena funkcije je cela številska vrstica.
• Obseg funkcij - razpon (0; + ) .
• Funkcija se strogo monotono povečuje na celotni številski vrstici, torej če x 1 < x 2, torej a x 1 > a x 2 .
• Ob x= 0, vrednost funkcije je 1.
• Če x> 0, nato 0< a < 1 in če x < 0, то a x > 1.
TO splošne lastnosti eksponentna funkcija kot pri 0< a < 1, так и при a> 1 vključuje:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, za vsakogar x 1 in x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax za vsakogar x.
• na x= a

Stopnja z racionalnim kazalnikom, njegove lastnosti.

Izraz a n je definirano za vse a in n, razen za primer a = 0 za n≤0. Spomnimo se lastnosti takšnih stopenj.

Za vsa števila a, b in poljubna cela števila m in n veljajo naslednje enakovrednosti:

A m * a n = a m + n; a m: a n = a m-n (a ≠ 0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n * b n; (b ≠ 0); a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0).

Upoštevamo tudi naslednjo lastnino:

Če je m> n, potem a m> a n za a> 1 in a m<а n при 0<а<1.

V tem pododdelku posplošujemo pojem moči števila, ki daje pomen izrazom tipa 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 itd. V tem primeru je naravno podati definicijo, tako da imajo stopinje z racionalnimi eksponenti enake lastnosti (ali vsaj del njih) kot stopinje s celim eksponentom. Nato še zlasti n -ta moč številamora biti enako a m ... Dejansko, če je lastnina

(a p) q = a pq

se nato izvede

Zadnja enakost pomeni (po definiciji n -te korenine) to številomora biti n -ti koren številke a m

Opredelitev.

Stopnja števila a> 0 z racionalnim eksponentom r =, kjer je m celo število in n naravno število (n> 1), je število

Torej po definiciji

(1)

Moč števila 0 je definirana samo za pozitivne eksponente; po definiciji 0 r = 0 za vsako r> 0.

Diploma z neracionalnim kazalnikom.

Neracionalno številolahko predstavimo kotmeja zaporedja racionalnih števil: .

Naj bo. Potem so stopinje z racionalnim eksponentom. Lahko se pokaže, da je zaporedje teh stopenj konvergentno. Meja tega zaporedja se imenuje stopnjo z utemeljitvijo in iracionalnim eksponentom: .

Narišimo več točk grafa funkcije y = 2 x predhodno izračunajte vrednost 2 s kalkulatorjem x na odseku [–2; 3] s korakom 1/4 (slika 1, a) in nato s korakom 1/8 (slika 1, b). Nadaljevanje miselno enakih konstrukcij s korakom 1/16, 1/32 itd., vidimo, da lahko nastale točke povežemo z gladko krivuljo, kar je naravno, če upoštevamo graf neke funkcije, ki je definiran in narašča že na celotni številski črti in ob upoštevanju vrednostina racionalnih točkah(Slika 1, c). Ko ste zgradili dovolj veliko število točk grafa funkcije, se lahko prepričamo, da ima tudi ta funkcija podobne lastnosti (razlika je v tem, da funkcija zmanjša za R).

Ta opažanja kažejo, da je mogoče na ta način definirati številki 2.α in za vsako iracionalno α tako, da so funkcije, opredeljene s formulami y = 2 x in bo neprekinjena, funkcija y = 2 x povečuje in funkcijase zmanjšuje vzdolž celotne številske črte.

Na splošno opišimo, kako je število a α za iracionalno α za a> 1. Želimo doseči, da je funkcija y = a x se je povečeval. Potem za vsak racionalni r 1 in r 2 tako, da je r 1<αmora izpolnjevati neenakosti a r 1<а α <а r 1 .

Izbira vrednosti r 1 in r 2 približuje x, je razvidno, da ustrezne vrednosti a r 1 in a r 2 se bodo malo razlikovali. Lahko se dokaže, da obstaja in poleg tega samo ena številka y, ki je večja od vseh a r 1 za vse racionalne r 1 in najmanj a r 2 za vse racionalne r 2 ... To število y je po definiciji a α .

Na primer s kalkulatorjem izračunajte vrednost 2 x v točkah x n in x` n, kjer x n in x` n - decimalni približki številaugotovili bomo, da bližje x n in x` n do , manjša je razlika 2 x n in 2 x` n.

Od takrat

in zato

Podobno ob upoštevanju naslednjih decimalnih približkovs pomanjkanjem in presežkom pridemo do razmerij

;

;

;

;

.

Pomen izračunano na kalkulatorju je naslednje:

.

Število a α za 0<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 za kateri koli α in 0α = 0 za α> 0.

Eksponentna funkcija.

Ob a > 0, a = 1 je funkcija definirana y = a x razen stalnega. Ta funkcija se imenuje eksponentna funkcija s temeljema.

y= a x ob a> 1:

Zemljevidi eksponentne funkcije z osnovo 0< a < 1 и a> 1 so prikazane na sliki.

Osnovne lastnosti eksponentne funkcije y= a x pri 0< a < 1:

• Domena funkcije je cela številska vrstica.
• Obseg funkcij - razpon (0; + ) .
• Funkcija se strogo monotono povečuje na celotni številski vrstici, torej če x 1 < x 2, torej a x 1 > a x 2 .
• Ob x= 0, vrednost funkcije je 1.
• Če x> 0, nato 0< a < 1 in če x < 0, то a x > 1.
Splošne lastnosti eksponentne funkcije za 0< a < 1, так и при a> 1 vključuje:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, za vsakogar x 1 in x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax za vsakogar x.
• na x= a

Informacijski razcvet v biologiji - mikrobne kolonije v petrijevki Zajci v Avstraliji Verižne reakcije - v kemiji V fiziki - radioaktivni razpad, sprememba zračni tlak s spremembo višine, hlajenje telesa.V fiziki - radioaktivni razpad, sprememba atmosferskega tlaka s spremembo višine, hlajenje telesa. Sproščanje adrenalina v kri in njegovo uničenje Trdijo tudi, da se količina informacij podvoji vsakih 10 let, prav tako pa trdijo, da se količina informacij podvoji vsakih 10 let.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1//3 2 -3,5

Izraz 2 x 2 2 = 4 2 5 = = 1/2 1/2 = 1/16 2 4/3 = 32 4 =, 5 = 1/2 3,5 = 1/2 7 = 1/(8 2) = 2/ 16 2) =

3 = 1, ... 1; 1,7 1,73; 1,732, 1,73205; 1,; ... zaporedje narašča 2 1; 2 1,7; 2 1,73; 2 1,732; 2 1,73205; 2 1,; ... zaporedje se poveča Omejeno in zato konvergira na eno mejo - vrednost 2 3

Določimo lahko π 0

10 10 18 Lastnosti funkcije y = a x n \ n a> 10 10 10 10 10 10 title = "(! LANG: Lastnosti funkcije y = a x n \ n a> 10 21

Količina informacij se vsakih 10 let podvoji na osi Ox - po zakonu aritmetične progresije: 1,2,3,4…. Na osi Oy - po zakonu geometrijsko napredovanje: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Graf eksponentne funkcije se imenuje eksponent (iz latinskega eksponenta - za razkazovanje)