Rekli smo, da je algebrska krivulja drugega reda določena z algebraično enačbo druge stopnje glede na NS in ob... Na splošno je takšna enačba zapisana kot

A NS 2 + B hu+ C ob 2 + D x+ E y+ F = 0, (6)

poleg tega A 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (to pomeni, da hkrati številke А, В, С ne izginejo). Pogoji A. NS 2, B hu, Z ob 2 se imenujejo višji izrazi enačbe, število

poklical diskriminator te enačbe. Kliče se enačba (6) splošna enačba krivulja drugega reda.

Za krivulje, ki smo jih obravnavali prej, imamo:

Elipse: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

krog NS 2 + ob 2 = a 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - a 2, d = 1> 0;

Hiperbola: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Parabola: ob 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2PŽPÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Krivulje, podane z enačbo (6), se imenujejo osrednji krivulje, če je d¹0. Če je d> 0, potem krivulja eliptični vnesite če d<0, то кривая hiperbolični tip. Krivulje, pri katerih je d = 0 krivulje parabolični tip.

Dokazano je, da je vrstica drugega reda v kaj Dekartov koordinatni sistem je podan z algebrsko enačbo drugega reda. Samo v enem sistemu ima enačba kompleksno obliko (na primer (6)), v drugem pa je enostavnejša, na primer (5). Zato je priročno razmisliti o koordinatnem sistemu, v katerem je preučena krivulja zapisana z najpreprostejšo (na primer kanonično) enačbo. Prehod iz enega koordinatnega sistema, pri katerem je krivulja podana z enačbo oblike (6) v drugo, kjer ima njegova enačba enostavnejšo obliko, se imenuje koordinatna transformacija.

Poglejmo glavne vrste transformacij koordinat.

JAZ. Prenesite preobrazbo koordinatne osi (z ohranitvijo smeri). Naj ima v izvirnem koordinatnem sistemu XOU točka M koordinate ( NS, obNS¢, ob¢). Iz risbe je razvidno, da so koordinate točke M v različnih sistemih povezane z razmerji

(7) ali (8).

Formuli (7) in (8) se imenujeta formuli za pretvorbo koordinat.

II. Rotacijska transformacija koordinatne osi pod kotom a. Če ima točka M koordinate ( NS, ob), v novem koordinatnem sistemu XO ¢ Y pa ima koordinate ( NS¢, ob¢). Nato se povezava med temi koordinatami izrazi s formulami

, (9)

ali

S pretvorbo koordinat lahko enačbo (6) zmanjšamo na eno od naslednjih kanonski enačbe.

1) - elipsa,

2) - hiperbola,

3) ob 2 = 2px, NS 2 = 2PŽP- parabola

4) a 2 NS 2 – b 2 y 2 = 0 - par sekajočih se ravnih črt (slika A)

5) y 2 – a 2 = 0 - par vzporednih ravnih črt (slika B)

6) x 2 –a 2 = 0 - par vzporednih ravnih črt (slika C)

7) y 2 = 0 - sovpadajoče ravne črte (os OX)

8) x 2 = 0 - sovpadajoče ravne črte (os OU)

9) a 2 NS 2 + b 2 y 2 = 0 - točka (0, 0)

10) namišljena elipsa

11) y 2 + a 2 = 0 - par namišljenih črt

12) x 2 + a 2 = 0 je par namišljenih črt.

Vsaka od teh enačb je enačba drugega reda. Črte, določene z enačbami 4 - 12, se imenujejo degenerirano krivulje drugega reda.

Razmislite o primerih pretvorbe splošne enačbe krivulje v kanonično obliko.

1) 9NS 2 + 4ob 2 – 54NS + 8ob+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4ob 2 + 8ob) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(ob 2 + 2ob+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( NS –3) 2 + 4(ob+ 1) = 36, Þ

.

Postavili smo NS¢ = NS – 3, ob¢ = ob+ 1 dobimo kanonično enačbo elipse ... Enakopravnost NS¢ = NS – 3, ob¢ = ob+ 1 definirajo transformacijo prenosa koordinatnega sistema v točko (3, –1). Po izdelavi starega in novega koordinatnega sistema te elipse ni težko narisati.

2) 3ob 2 +4NS– 12ob+8 = 0. Pretvorimo:

(3ob 2 – 12ob)+ 4 NS+8 = 0

3(ob 2 – 4ob+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(ob – 2) 2 = – (NS – 1) .

Postavili smo NS¢ = NS – 1, ob¢ = ob- 2 dobimo enačbo parabole ob¢ 2 = - NS¢. Izbrana zamenjava ustreza prenosu koordinatnega sistema v točko O ¢ (1,2).

V tem članku bomo pogledali splošno enačbo ravne črte na ravnini. Navedimo primere gradnje splošne enačbe ravne črte, če sta znani dve točki te ravne črte ali če sta znani ena točka in normalni vektor te ravne črte. Predstavimo metode za pretvorbo enačbe na splošno v kanonične in parametrične oblike.

Naj bo podan poljuben kartezični pravokotni koordinatni sistem Oxy... Razmislite o enačbi prve stopnje ali linearni enačbi:

kje A, B, C- nekaj konstant in vsaj enega od elementov A in B nič.

Pokazali bomo, da linearna enačba v ravnini določa ravno črto. Dokažimo naslednji izrek.

Izrek 1. V poljubnem kartezijanskem pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini lahko vsako ravno črto podate z linearno enačbo. Nasprotno pa vsaka linearna enačba (1) v poljubnem kartezijanskem pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini določa ravno črto.

Dokaz. Dovolj je, da dokažemo, da je črta L je določena z linearno enačbo za kateri koli kartezični pravokotni koordinatni sistem, saj bo nato določena z linearno enačbo in za poljubno izbiro kartezijanskega pravokotnega koordinatnega sistema.

Naj bo na ravnini podana ravna črta L... Izberemo koordinatni sistem tako, da je os Ox sovpadalo z ravno črto L in os Oj bila pravokotna nanjo. Nato enačba ravne črte L bo v naslednji obliki:

Vse točke na ravni črti L bo ustrezala linearni enačbi (2), vse točke zunaj te ravne črte pa ne bodo ustrezale enačbi (2). Prvi del izreka je dokazan.

Naj bo podan kartezijev pravokotni koordinatni sistem in podana linearna enačba (1), kjer je vsaj eden od elementov A in B nič. Poiščimo mesto točk, katerih koordinate ustrezajo enačbi (1). Ker je vsaj eden od koeficientov A in B se razlikuje od nič, potem ima enačba (1) vsaj eno rešitev M(x 0 ,y 0). (Na primer za A≠ 0, točka M 0 (−C / A, 0) pripada danemu mestu točk). Če te koordinate zamenjamo z (1), dobimo istovetnost

Odštejmo identiteto (3) od (1):

Očitno je enačba (4) enakovredna enačbi (1). Zato zadostuje, da dokažemo, da (4) definira neko črto.

Ker obravnavamo kartezijanski pravokotni koordinatni sistem, iz enakosti (4) izhaja, da vektor s komponentami ( x - x 0 , y - y 0) je pravokotna na vektor n s koordinatami ( A, B}.

Razmislite o eni ravni črti L prehod skozi točko M 0 (x 0 , y 0) in pravokotno na vektor n(Slika 1). Naj bistvo M(x, y) pripada ravni črti L... Nato vektor s koordinatami x - x 0 , y - y 0 pravokotno n in enačba (4) je izpolnjena (skalarni produkt vektorjev n in je enaka nič). Nazaj, če točka M(x, y) ne leži na ravni črti L, nato vektor s koordinatami x - x 0 , y - y 0 ni ortogonalno na vektor n in enačba (4) ni izpolnjena. Izrek je dokazan.

Dokaz. Ker ravne črte (5) in (6) določajo isto ravno črto, so normalni vektorji n 1 ={A 1 ,B 1) in n 2 ={A 2 ,B 2) so kolinearne. Od vektorjev n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, potem obstaja število λ , kaj n 2 =n 1 λ ... Zato imamo: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Dokažimo to C 2 =C 1 λ ... Očitno imata sovpadajoče črte skupno točko M 0 (x 0 , y 0). Enačbo (5) pomnožimo s λ in od nje odštejemo enačbo (6) dobimo:

Ker sta prvi dve enakovrednosti iz izrazov (7) izpolnjeni, potem C 1 λ −C 2 = 0. Tisti. C 2 =C 1 λ ... Opomba je dokazana.

Upoštevajte, da enačba (4) definira enačbo ravne črte, ki poteka skozi točko M 0 (x 0 , y 0) in ima normalen vektor n={A, B). Če sta torej znana normalni vektor ravne črte in točka, ki pripada tej ravni črti, je mogoče z enačbo (4) sestaviti splošno enačbo ravne črte.

Primer 1. Ravna črta poteka skozi točko M= (4, −1) in ima normalni vektor n= (3, 5). Zgradite splošno enačbo ravne črte.

Rešitev. Imamo: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B= 5. Za izdelavo splošne enačbe ravne črte te vrednosti nadomestimo v enačbo (4):

Odgovor:

Vektor je vzporeden z ravno črto L in je zato pravokoten na normalni vektor ravne črte L... Konstruirajmo normalni vektor ravne črte L, ob upoštevanju, da je skalarni produkt vektorjev n in je enaka nič. Zapišemo lahko npr. n={1,−3}.

Za izdelavo splošne enačbe ravne črte bomo uporabili formulo (4). V (4) nadomestite koordinate točke M 1 (lahko vzamemo tudi koordinate točke M 2) in normalni vektor n:

Zamenjava koordinat točk M 1 in M 2 v (9) lahko zagotovimo, da ravna črta, podana z enačbo (9), prehaja skozi te točke.

Odgovor:

Odštejte (10) od (1):

Dobili smo kanonično enačbo črte. Vektor q={−B, A) je usmerjevalni vektor ravne črte (12).

Glej obratno preoblikovanje.

Primer 3. Ravno črto na ravnini predstavlja naslednja splošna enačba:

Drugi člen premaknite v desno in delite obe strani enačbe za 2,5.

Krivulja drugega reda- mesto točk na ravnini, pravokotne koordinate

ki ustrezajo enačbi oblike:

pri katerem je vsaj eden od koeficientov a 11, a 12, a 22 ni nič.

Invariante krivulj drugega reda.

Oblika krivulje je odvisna od 4 spodnjih invariant:

Rotacijske in translacijske invariante koordinatnega sistema:

Nepremenljivo glede na rotacijo koordinatnega sistema ( polinvariantno):

Če želite preučiti krivulje drugega reda, razmislite o izdelku A * C.

Splošno enačba krivulje drugega reda zgleda takole:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Če A * C> 0 eliptični tip... Vsaka eliptična

enačba je enačba navadne elipse ali degenerirane elipse (točke) ali namišljene

elipsa (v tem primeru enačba ne določa ene same geometrijske slike na ravnini);

Če A * C< 0 , potem ima enačba obliko enačbe hiperbolični tip... Vsak hiperbolični

enačba izraža bodisi preprosto hiperbolo bodisi degenerirano hiperbolo (dve sekajoči se črti);

Če A * C = 0, potem vrstica drugega reda ne bo osrednja. Enačbe te vrste se imenujejo

enačbe parabolični tip in izrazite na ravnini preprosto parabolo ali 2 vzporednici

(bodisi sovpadajo) ravne črte ali ne izražajo geometrijske podobe na ravnini;

Če A * C ≠ 0, bo krivulja drugega reda

Splošna enačba krivulje drugega reda v ravnini je:

Sekira 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ej + F. = 0, (39)

kje A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F.) R... Določa vse možne stožčaste odseke, ki se poljubno nahajajo na ravnini.

Iz koeficientov enačbe (39) sestavimo dve determinanti:

Klicano diskriminator enačbe(39) in - diskriminator vodilnih členov enačbe. Pri 0 enačba (39) določa:> 0 - elipsa;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Iz splošne enačbe (39) lahko preidete na kanonično enačbo, če linearne in navzkrižne člene izključite tako, da preklopite na nov koordinatni sistem, ki sovpada z osmi simetrije figure. Zamenjaj v (39) x naprej x + a in y naprej y + b, kje a, b nekaj konstant. Zapišemo dobljene koeficiente za NS in y in jih enačimo z 0

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Posledično bo enačba (39) dobila obliko:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + F. = 0, (42)

kjer so koeficienti A, B, C se niso spremenili, ampak F.= /. Rešitev sistema enačb (41) bo določila koordinate središča simetrije figure:

Če B= 0, potem a = -D/A, b = -E/C in je primerno, da linearne izraze v (39) izključimo z metodo redukcije na popoln kvadrat:

Sekira 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

V enačbi (42) bomo koordinate zasukali za kot a (38). Zapišemo dobljeni koeficient v navzkrižju xy in ga enačimo z 0

xy = 0. (44)

Pogoj (44) določa zahtevani kot vrtenja koordinatnih osi, dokler ne sovpadajo s simetričnimi osmi figure in ima obliko:

Enačba (42) ima obliko:

A+ X 2 + C + Y 2 + F. = 0 (46)

iz katerega je enostavno preiti na kanonično enačbo krivulje:

Kvote A + , C+, pod pogojem (45), lahko predstavimo kot korenine pomožne kvadratne enačbe:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Posledično sta bila določena položaj in smer osi simetrije figure, njene polosi:

in ga je mogoče zgraditi geometrijsko.

V primeru = 0 imamo parabolo. Če je njegova os simetrije vzporedna z osjo Oh, potem se enačba zmanjša v obliko:

če ne, potem v obrazec:

kjer izrazi v oklepajih, enačeni z 0, določajo črte novih koordinatnih osi:,.

Reševanje tipičnih nalog

Primer 15. Enačba 2 x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0 v kanonično obliko in zgradimo krivuljo.

Rešitev. B= 0, = -72 0, = 6> 0 elipsa.

Izvedimo zmanjšanje na popoln kvadrat:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Koordinate središča simetrije (1; -1), linearna transformacija X = x - 1, Y = y+ 1 enačbo pripelje v kanonično obliko.

Primer 16. Enačba 2 xy = a 2 v kanonično obliko in zgradite krivuljo.

Rešitev. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Središče koordinatnega sistema je v središču simetrije krivulje; v enačbi ni linearnih izrazov. Zavrtimo osi za kot a. Po formuli (45) imamo tan2a = B/(A - C) =, tj. a = 45 °. Koeficienti kanonične enačbe (46) A + , C+ so določene z enačbo (48): t 2 = 1 oz t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, tj.
X 2 - Y 2 = a 2 oz. Tako je enačba 2 hu = a 2 opisuje hiperbolo s središčem simetrije pri (0; 0). Osi simetrije se nahajajo vzdolž simetral koordinatnih kotov, koordinatne osi so asimptote, polosi hiperbole so enake a.y - 9 = 0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4NS + y - 2 = 0;

3x 2 - 6NS - y + 2 = 0;

- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8NS - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Na ravnini vzpostavimo pravokotni koordinatni sistem in upoštevamo splošno enačbo druge stopnje

v katerem
.

Kliče se množica vseh točk ravnine, katerih koordinate ustrezajo enačbi (8.4.1) krivo (vrstica) drugo naročilo.

Za vsako krivuljo drugega reda obstaja pravokotni koordinatni sistem, imenovan kanonični, v katerem ima enačba te krivulje eno od naslednjih oblik:

1)
(elipsa);

2)
(namišljena elipsa);

3)
(par namišljenih sekajočih se črt);

4)
(hiperbola);

5)
(par sekajočih se črt);

6)
(parabola);

7)
(par vzporednih črt);

8)
(par namišljenih vzporednih črt);

9)
(par sovpadajočih ravnih črt).

Enačbe 1) –9) se imenujejo kanonične enačbe krivulj drugega reda.

Rešitev problema redukcije enačbe krivulje drugega reda v kanonično obliko vključuje iskanje kanonične enačbe krivulje in kanoničnega koordinatnega sistema. S kanonizacijo lahko izračunate parametre krivulje in določite njeno lokacijo glede na prvotni koordinatni sistem. Prehod iz prvotnega pravokotnega koordinatnega sistema
kanonskemu
se izvede z vrtenjem osi prvotnega koordinatnega sistema okoli točke O. za nekaj kota  in poznejši vzporedni prevod koordinatnega sistema.

Z invarijantami krivulje drugega reda(8.4.1) se imenujejo take funkcije koeficientov njegove enačbe, katerih vrednosti se pri prehodu iz enega pravokotnega koordinatnega sistema v drugega istega sistema ne spremenijo.

Za krivuljo drugega reda (8.4.1) je vsota koeficientov na kvadratih koordinat

,

determinanta, sestavljena iz koeficientov pri najvišjih členih

in determinanta tretjega reda

so invariante.

Z vrednostjo invariant s, ,  lahko določimo tip in sestavimo kanonično enačbo krivulje drugega reda (tabela 8.1).

Tabela 8.1

Razvrstitev krivulj drugega reda na podlagi invariantov

Oglejmo si pobližje elipso, hiperbolo in parabolo.

Elipse(Slika 8.1) se imenuje mesto točk ravnine, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih točk
to letalo, imenovano žarišča elipse, obstaja konstantna vrednost (večja od razdalje med žarišči). To ne izključuje naključja fokusov elipse. Če se ostrenja ujemajo, je elipsa krog.

Polovico vsote razdalj od točke elipse do njenih žarišč označimo z a, polovica razdalje med žarišči - z... Če je pravokotni koordinatni sistem na ravnini izbran tako, da so žarišča elipse na osi O.x simetrično glede na izvor, potem je v tem koordinatnem sistemu elipsa podana z enačbo

, (8.4.2)

poklical enačbo kanonične elipse, kje
.

Riž. 8.1

Z določeno izbiro pravokotnega koordinatnega sistema je elipsa simetrična glede na koordinatne osi in začetek. Osi simetrije elipse to imenujejo osi, in središče simetrije - središče elipse... Hkrati se številke 2 pogosto imenujejo osi elipse. a in 2 b in številke a in b – velik in polovična os oz.

Presečišča elipse z njenimi osmi se imenujejo oglišča elipse... Točke elipse imajo koordinate ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Elipsa ekscentričnosti poklical številko

. (8.4.3)

Od 0  c < a, ekscentričnost elipse 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Zato je razvidno, da ekscentričnost označuje obliko elipse: bližje  nič, bolj elipsa izgleda kot krog; z naraščanjem  se elipsa vse bolj podaljša.

Naj bo
- poljubna točka elipse,
in
- oddaljenost od točke M pred triki F. 1 in F. 2 oz. Številke r 1 in r 2 se kliče polmeri žariščne točke M elipse in se izračunajo po formulah

Ravnateljice razen kroga elipse s kanonično enačbo (8.4.2) sta dve ravni črti

.

Directrix elipse se nahaja zunaj elipse (slika 8.1).

Focal Radius Ratio točkMelipse na daljavo  ta elipsa (fokus in directrix veljata za primerna, če sta na isti strani središča elipse).

Hiperbola(Slika 8.2) se imenuje mesto točk ravnine, za katere je modul razlike med razdaljami do dveh fiksnih točk in to letalo, imenovano žarišča hiperbole, obstaja konstantna vrednost (ni enaka nič in manjša od razdalje med žarišči).

Naj bo razdalja med žarišči 2 z, označeni modul razlike v razdalji pa je 2 a... Izberemo pravokotni koordinatni sistem na enak način kot za elipso. V tem koordinatnem sistemu je hiperbola podana z enačbo

, (8.4.4)

poklical kanonična enačba hiperbole, kje
.

Riž. 8.2

S to izbiro pravokotnega koordinatnega sistema so koordinatne osi osi simetrije hiperbole, izvor pa je njeno središče simetrije. Osi simetrije hiperbole to imenujejo osi, središče simetrije pa je središče hiperbole... Pravokotnik s stranicami 2 a in 2 b nameščen, kot je prikazano na sl. 8.2 se pokliče glavni pravokotnik hiperbole... Številke 2 a in 2 b So osi hiperbole in številke a in b- njo pol gredi... Črte, ki so nadaljevanje diagonale glavnega pravokotnika hiperbolične asimptote

.

Presečišča hiperbole z osjo Ox se imenujejo oglišča hiperbole... Točke hiperbole imajo koordinate ( a, 0), (–a, 0).

Ekscentričnost hiperbole poklical številko

. (8.4.5)

V kolikor z > a, ekscentričnost hiperbole > 1. Enakost (8.4.5) prepišemo v obliki

.

Iz tega je razvidno, da ekscentričnost označuje obliko glavnega pravokotnika in s tem obliko same hiperbole: manjši kot je , bolj se razteza glavni pravokotnik, za njim pa tudi sama hiperbola vzdolž osi Ox.

Naj bo
- poljubna točka hiperbole,
in
- oddaljenost od točke M pred triki F. 1 in F. 2 oz. Številke r 1 in r 2 se kliče polmeri žariščne točke M hiperbola in se izračunajo po formulah

Ravnateljice hiperbola s kanonično enačbo (8.4.4) sta dve ravni črti

.

Direktne hiperbole sekajo glavni pravokotnik in prehajajo med središčem in ustreznim ogliščem hiperbole (slika 8.2).

O. razmerje goriščnega polmera točkM hiperbola na daljavo od te točke do ustreznega fokusa ravnateljica je enaka ekscentričnosti te hiperbole (fokus in directrix sta primerna, če se nahajata na isti strani središča hiperbole).

Parabola(Sl. 8.3) imenujemo mesto točk ravnine, za katere je oddaljenost do neke fiksne točke F. (fokus parabola) te ravnine je enaka razdalji do neke fiksne ravne črte ( parabola directrix), ki se nahaja tudi v obravnavani ravnini.

Izberemo začetek O. pravokotni koordinatni sistem na sredini segmenta [ FD], ki je pravokotna brez ostrenja F. na directrix (predpostavlja se, da fokus ne pripada directrixu), in os Ox in Oj neposredno, kot je prikazano na sl. 8.3. Naj bo dolžina odseka [ FD] je enako str... Nato v izbranem koordinatnem sistemu
in kanonična enačba parabole ima obliko

. (8.4.6)

Količina str poklical parabola parameter.

Parabola ima os simetrije, imenovano os parabole... Presečišče parabole z njeno osjo imenujemo vrh parabole... Če je parabola podana s svojo kanonično enačbo (8.4.6), je os parabole os Ox... Očitno je vrh parabole izvor.

Primer 1. Točka A= (2, –1) pripada elipsi, točki F.= (1, 0) je njen fokus, ki ustreza F. directrix je podana z enačbo
... Poravnajte to elipso.

Rešitev. Predvidevali bomo, da je koordinatni sistem pravokoten. Nato razdalja od točke A ravnateljici
v skladu z razmerjem (8.1.8), v katerem


, enako

.

Razdalja od točke A osredotočiti F. enako

,

ki vam omogoča, da določite ekscentričnost elipse

.

Naj bo M = (x, y) Je poljubna točka elipse. Nato razdalja
od točke M ravnateljici
po formuli (8.1.8) je enako

in razdaljo od točke M osredotočiti F. enako

.

Ker je za katero koli točko elipse razmerje je konstantna vrednost, ki je enaka ekscentričnosti elipse, zato imamo

,

Primer 2. Krivulja je podana z enačbo

v pravokotnem koordinatnem sistemu. Poiščite kanonični koordinatni sistem in kanonično enačbo te krivulje. Določite vrsto krivulje.

Rešitev. Kvadratna oblika
ima matriko

.

Njegov značilni polinom

ima korenine  1 = 4 in  2 = 9. Zato je v ortonormni osnovi lastnih vektorjev matrike A obravnavana kvadratna oblika ima kanonično obliko

.

Nadaljujmo z gradnjo matrike pravokotne transformacije spremenljivk, ki obravnavano kvadratno obliko reducira na označeno kanonično obliko. Za to bomo zgradili temeljne sisteme rešitev homogenih sistemov enačb
in jih ortonormirati.

Ob
ta sistem ima obliko

Njegova splošna rešitev je
... Tu je ena brezplačna spremenljivka. Zato je temeljni sistem odločitev sestavljen iz enega vektorja, na primer vektorja
... Ko to normaliziramo, dobimo vektor

.

Ob
konstruirati tudi vektor

.

Vektorji in so že pravokotne, ker se nanašajo na različne lastne vrednosti simetrične matrice A... Sestavljajo kanonično ortonormno osnovo dane kvadratne oblike. Zahtevana ortogonalna matrika (rotacijska matrika) je zgrajena iz stolpcev njihovih koordinat

.

Preverimo pravilnost iskanja matrike R po formuli
, kje
- matrika kvadratne oblike v osnovi
:

Matrica R pravilno našli.

Izvedimo transformacijo spremenljivk

in napišemo enačbo te krivulje v nov pravokotni koordinatni sistem s starim vektorjem središča in smeri
:

kje
.

Prejel kanonično enačbo elipse

.

Zaradi dejstva, da nastalo preoblikovanje pravokotnih koordinat določajo formule

,

,

kanonični koordinatni sistem
ima začetek
in vodilne vektorje
.

Primer 3. Z uporabo invariantne teorije določite tip in napišite kanonično enačbo krivulje

Rešitev. V kolikor

,

v skladu s tabelo. 8.1 sklepamo, da gre za hiperbolo.

Ker je s = 0, je značilni polinom matrike kvadratne oblike

Njegove korenine
in
vam omogočajo, da napišete kanonično enačbo krivulje

kje Z se ugotovi iz stanja

,

.

Želena kanonična enačba krivulje

.

V nalogah tega razdelka so koordinatex, ynaj bi bile pravokotne.

8.4.1. Za elipse
in
najti:

a) pol-osi;

b) triki;

c) ekscentričnost;

d) enačbe directrix.

8.4.2. Naredite enačbe elipse, pri čemer poznate njeno osredotočenost
ustreza direktorju x= 8 in ekscentričnost ... Poiščite drugo žarišče in drugo direktivo elipse.

8.4.3. Poravnajte elipso, katere fokus je na koordinatah (1, 0) in (0, 1), glavna os pa dve.

8.4.4. Glede na hiperbolo
... Najti:

a) pol-osi a in b;

b) triki;

c) ekscentričnost;

d) enačbe asimptot;

e) direktrične enačbe.

8.4.5. Glede na hiperbolo
... Najti:

a) pol-osi a in b;

b) triki;

c) ekscentričnost;

d) enačbe asimptot;

e) direktrične enačbe.

8.4.6. Točka
pripada hiperboli, katere središče je
, ustrezna direktrika pa je podana z enačbo
... Izravnajte to hiperbolo.

8.4.7. Izravnajte parabolo, če se osredotočite nanjo
in ravnateljica
.

8.4.8. Glede na točko parabole
in enačbo directrix
... Izravnajte to parabolo.

8.4.9. Prilagodite parabolo, katere fokus je na točki

Directrix pa je podana z enačbo
.

8.4.10. Izravnajte krivuljo drugega reda, če poznate njeno ekscentričnost
, osredotočenost
in ustrezni direktor
.

8.4.11. Določite vrsto krivulje drugega reda, napišite njeno kanonično enačbo in poiščite kanonični koordinatni sistem:

G)
;

8.4.12.

je elipsa. Poišči dolžine polosov in ekscentričnost te elipse, koordinate središča in žarišč, naredi enačbe za osi in directrix.

8.4.13. Dokaži, da krivulja drugega reda, podana z enačbo

je hiperbola. Poiščite dolžine pol-osi in ekscentričnost te hiperbole, koordinate središča in žarišč, sestavite enačbe za osi, direktriko in asimptote.

8.4.14. Dokaži, da krivulja drugega reda, podana z enačbo

,

je parabola. Poiščite parameter te parabole, koordinate oglišč in fokusa, naredite enačbe za os in directrix.

8.4.15. Vsako od naslednjih enačb pripeljite v kanonično obliko. Na risbo narišite ustrezno krivuljo drugega reda glede na prvotni pravokotni koordinatni sistem:

8.4.16. Z uporabo invariantne teorije določite tip in napišite kanonično enačbo krivulje.