Če je vsako naravno število n ujemajo z realnim številom a n , potem pravijo, da je dano številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številčno zaporedje funkcija naravnega argumenta.

Številka a 1 se imenujejo prvi član zaporedja , številka a 2 — drugi mandat , številka a 3 — tretjič itd. Številka a n se imenujejo n-ti član zaporedja in naravno število n — njegovo številko .

Od dveh sosednjih članov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 se imenujejo naknadno (proti a n ), a a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite določiti zaporedje, morate določiti metodo, ki vam omogoča, da najdete člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje podano z formule za n-ti izraz , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil je mogoče določiti s formulo

a n= 2n - 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - po formuli

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti rekurzivna formula, to je formula, ki izraža kateri koli član zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) članov.

na primer

če a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem članov številčnega zaporedja nastavljenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko končno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

končno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje narašča če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščajočim številom ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Zlasti monotonična zaporedja so naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetično napredovanje

Aritmetično napredovanje kliče se zaporedje, katerega vsak član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano isto število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

kje d - neka številka.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom danega aritmetična progresija vedno konstantno:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Številka d se imenujejo razlika aritmetične progresije.

Za nastavitev aritmetične progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem se prvih pet članov zaporedja najde, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d ji n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poišči trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

vsak član aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih členov.

Števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eno od njih enako aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

zato

◄

Upoštevajte, da n -th člen aritmetične progresije je mogoče najti ne samo skozi a 1 , ampak tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

za a 5 se lahko napiše

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

potem očitno

kateri koli član aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak polovični vsoti članov te aritmetične progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

prvi n člani aritmetične progresije je enak zmnožku polovične vsote skrajnih členov s številom členov:

Iz tega zlasti sledi, da če je treba sešteti pogoje

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem vrednosti a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Če so torej podane vrednosti treh od teh veličin, se iz teh formul določijo ustrezne vrednosti drugih dveh količin, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje nepremično.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija imenuje se zaporedje, katerega vsak član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija, če je za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

kje q ≠ 0 - neka številka.

Tako je razmerje naslednjega člana dane geometrijske progresije do prejšnjega konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Številka q se imenujejo imenovalec geometrijske progresije.

Za nastavitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem se prvih pet članov zaporedja najde, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q ji n Izraz je mogoče najti po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

na primer

poišči sedmi člen geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrijski sredini (sorazmerni) prejšnjih in naslednjih členov.

Ker je tudi obratna izjava resnična, velja naslednja izjava:

Števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak zmnožku drugih dveh, to je, da je eno od števil geometrijska sredina drugih dveh.

na primer

dokažimo, da je zaporedje podano s formulo b n= -3 2 n , je eksponentno napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

zato

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kar dokazuje zahtevano trditev. ◄

Upoštevajte, da n -th člen geometrijske progresije je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji mandat b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · q n - k.

na primer

za b 5 se lahko napiše

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člana geometrijske progresije, začenši z drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za katero koli geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

eksponentno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijske progresije z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= nb 1

Upoštevajte, da če morate sešteti pogoje

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

na primer

eksponentno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem vrednosti b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Če so torej podane vrednosti katerih koli treh od teh veličin, se iz teh formul določijo ustrezni vrednosti drugih dveh količin, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko progresijo s prvim členom b 1 in imenovalec q naslednji lastnosti monotonosti :

• napredovanje je naraščajoče, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• napredovanje se zmanjšuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

Če q< 0 , potem se geometrijska progresija izmenjuje: njeni lihi členi imajo enak predznak kot prvi člen, sodoštevilčni členi pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Delo prvega n člene geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija se imenuje neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. To ustreza primeru

1 < q< 0 .

S takšnim imenovalcem se zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije je število, na katerega je vsota prvega n člani progresije z neomejenim povečanjem števila n ... To število je vedno končno in je izraženo s formulo

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , potem

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija z imenovalcem q , potem

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Matematika je pri čemerljudje obvladujejo naravo in sebe.

Sovjetski matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijska progresija.

Poleg nalog za aritmetične progresije so pri sprejemnih izpitih pri matematiki pogosti tudi problemi, povezani s pojmom geometrijske progresije. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate poznati lastnosti geometrijske progresije in imeti dobre veščine za njihovo uporabo.

Ta članek je namenjen predstavitvi osnovnih lastnosti geometrijske progresije. Navaja tudi primere reševanja tipičnih nalog., izposojenih iz nalog sprejemnih izpitov iz matematike.

Predhodno opozorimo na glavne lastnosti geometrijske progresije in se spomnimo najpomembnejših formul in izjav, povezane s tem konceptom.

Opredelitev.Številčno zaporedje se imenuje geometrijska progresija, če je vsako njegovo število, začenši z drugo, enako prejšnjemu, pomnoženo z istim številom. Število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.

Za geometrijsko progresijoformule veljajo

, (1)

kje . Formula (1) se imenuje formula za splošni izraz geometrijske progresije, formula (2) pa je glavna lastnost geometrijske progresije: vsak člen progresije sovpada z geometrijsko sredino njegovih sosednjih členov in.

Opomba, da se ravno zaradi te lastnosti obravnavana progresija imenuje »geometrična«.

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

, (3)

Za izračun zneska prvi členi geometrijske progresijeformula se uporablja

Če označimo, potem

kje . Ker je potem formula (6) posplošitev formule (5).

V primeru, ko in, geometrijska progresijase neskončno zmanjšuje. Za izračun zneskaod vseh članov neskončno padajoče geometrijske progresije se uporablja formula

. (7)

na primer s formulo (7) lahko pokažemo, kaj

kje . Te enakosti dobimo iz formule (7) pod pogojem, da (prva enakost) in (druga enakost).

Izrek.Če, potem

Dokaz. Če, potem,

Izrek je dokazan.

Pojdimo na obravnavanje primerov reševanja problemov na temo "Geometrijska progresija".

Primer 1. Glede na:, in. Najti .

Rešitev.Če uporabimo formulo (5), potem

Odgovor: .

Primer 2. Naj in. Najti .

Rešitev. Ker in, bomo uporabili formule (5), (6) in dobili sistem enačb

Če drugo enačbo sistema (9) delimo s prvo, potem oz. Iz tega sledi in ... Poglejmo dva primera.

1. Če, potem iz prve enačbe sistema (9) imamo.

2. Če, potem.

Primer 3. Naj in. Najti .

Rešitev. Iz formule (2) izhaja, da oz. Od takrat oz.

Glede na pogoj. Vendar zato. Ker in, potem imamo sistem enačb

Če drugo enačbo sistema delimo s prvo, potem oz.

Od takrat ima enačba en primeren koren. V tem primeru izhaja iz prve enačbe sistema.

Ob upoštevanju formule (7) dobimo.

Odgovor: .

Primer 4. Glede na: in. Najti .

Rešitev. Od takrat.

Od takrat oz

Po formuli (2) imamo. V zvezi s tem iz enakosti (10) dobimo oz.

Vendar po pogoju torej.

Primer 5. Znano je, da . Najti .

Rešitev. Po izreku imamo dve enakosti

Od takrat oz. Od takrat.

Odgovor: .

Primer 6. Glede na: in. Najti .

Rešitev. Ob upoštevanju formule (5) dobimo

Od takrat. Od in potem.

Primer 7. Naj in. Najti .

Rešitev. Po formuli (1) lahko pišemo

Zato imamo oz. Znano je, da in zato in.

Odgovor: .

Primer 8. Poiščite imenovalec neskončno padajoče geometrijske progresije, če

in .

Rešitev. Iz formule (7) sledi in ... Iz tega in pogoja problema dobimo sistem enačb

Če je prva enačba sistema kvadratna, in nato dobljeno enačbo delimo z drugo enačbo, potem dobimo

ali .

Odgovor: .

Primer 9. Poiščite vse vrednosti, za katere je zaporedje geometrijska progresija.

Rešitev. Naj in. Po formuli (2), ki definira glavno lastnost geometrijske progresije, lahko zapišemo oz.

Iz tega dobimo kvadratno enačbo, katerih korenine so in .

Preverimo, če, potem in; če, potem in.

V prvem primeru imamo in, in v drugem - in.

Odgovor: , .

Primer 10.Reši enačbo

, (11)

kje in.

Rešitev. Leva stran enačbe (11) je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije, v kateri in, pod pogojem: in.

Iz formule (7) sledi, kaj ... V zvezi s tem ima enačba (11) obliko oz ... Primerna korenina kvadratna enačba je

Odgovor: .

Primer 11. NS zaporedje pozitivnih številtvori aritmetično progresijo, a - geometrijska progresija, kaj ima to opraviti s . Najti .

Rešitev. Ker aritmetično zaporedje, potem (glavna lastnost aritmetične progresije). V kolikor, potem oz. To pomeni, da ima geometrijska progresija obliko... Po formuli (2), potem to zapišemo.

Od in takrat ... V tem primeru izraz ima obliko oz. Glede na pogoj, torej iz enačbedobimo edina odločitev obravnavani problem, tj. ...

Odgovor: .

Primer 12. Izračunajte znesek

. (12)

Rešitev. Obe strani enakosti (12) pomnožimo s 5 in dobimo

Če od dobljenega izraza (12) odštejemo, potem

ali .

Za izračun nadomestimo vrednosti v formuli (7) in dobimo. Od takrat.

Odgovor: .

Tukaj podani primeri reševanja problemov bodo uporabni za prijavitelje pri pripravi na sprejemne izpite. Za globlje preučevanje metod reševanja problemov, eksponentno povezane, je lahko uporabljen vadnice s seznama priporočene literature.

1. Zbirka problemov iz matematike za vpisnike na tehnične fakultete / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Mir in vzgoja, 2013 .-- 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolski kurikulum... - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 str.

3. Medynsky M.M. Popoln tečaj osnovna matematika pri nalogah in vajah. Knjiga 2: Številska zaporedja in napredovanja. - M.: Editus, 2015 .-- 208 str.

Še imate vprašanja?

Če želite dobiti pomoč od mentorja - registrirajte se.

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

Že v Starodavni Egipt poznal ne le aritmetično, ampak tudi geometrijsko progresijo. Tu je na primer problem iz Rindovega papirusa: »Sedem obrazov ima po sedem mačk; vsaka mačka poje sedem miši, vsaka miška poje sedem klasov, vsako klasje lahko pridela sedem mer ječmena. Kako velika so števila te serije in njihova vsota?"

riž. 1. Staregipčanski problem geometrijske progresije

Ta naloga se je večkrat ponovila z različnimi različicami med drugimi ljudstvi v drugih časih. Na primer, v pisanem v XIII stoletju. "Knjiga o abakusu" Leonarda iz Pise (Fibonacci) ima problem, v katerem je 7 stark, ki se odpravljajo v Rim (očitno romarjev), od katerih ima vsaka 7 mul, od katerih ima vsaka 7 vreč, od katerih ima vsaka 7 štruc, od katerih ima vsak 7 nožev, od katerih je vsak v 7 nožnicah. Problem se sprašuje, koliko predmetov je tam.

Vsota prvih n členov geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). To formulo je mogoče dokazati na primer na naslednji način: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodajte v S n številko b 1 q n in dobite:

Zato S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) in dobimo zahtevano formulo.

Že na eni od glinenih tablic starodavnega Babilona, ​​ki sega v VI stoletje. pr e., vsebuje vsoto 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Res je, tako kot v številnih drugih primerih, ne vemo, kje je bilo to dejstvo znano Babiloncem .

Hitra rast geometrijske progresije v številnih kulturah, zlasti v indijski, se večkrat uporablja kot vizualni simbol neizmernosti vesolja. V znani legendi o nastanku šaha lord daje njegovemu izumitelju možnost, da sam izbere nagrado, in vpraša za količino pšeničnih zrn, ki jih bo dobil, če se eno postavi na prvo polje šahovnice, dva na drugem, štiri na tretjem, osem na četrtem in tako naprej, vsakič, ko se število podvoji. Vladika je to mislil prihaja, kvečjemu o nekaj vrečah, pa se je zmotil. Zlahka je videti, da bi moral izumitelj za vseh 64 polj šahovnice prejeti (2 64 - 1) zrna, ki je izraženo z 20-mestno številko; tudi če bi bila posejana celotna površina Zemlje, bi trajalo vsaj 8 let, da bi zbrali potrebno količino zrn. Ta legenda se včasih razlaga kot pokazatelj skoraj neomejenih možnosti, ki se skrivajo v igri šaha.

Preprosto je videti, da je ta številka res 20-mestna:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (natančnejši izračun daje 1,84 ∙ 10 19). Zanima pa me, če lahko ugotovite, s katero številko se konča ta številka?

Geometrijska progresija se povečuje, če je imenovalec po absolutni vrednosti večji od 1, ali pada, če je manjši od ena. V slednjem primeru lahko število q n za dovolj velik n postane poljubno majhno. Medtem ko naraščajoča geometrijska progresija nepričakovano hitro narašča, se padajoča enako hitro zmanjšuje.

Večje kot je n, šibkejše se število qn razlikuje od nič in bližje je vsota n členov geometrijske progresije S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) številu S = b 1 / ( 1 - q). (Tako je na primer razmišljal F. Viet). Število S imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije. Kljub temu pa matematikom dolga stoletja ni bilo dovolj jasno vprašanje, kaj pomeni seštevanje CELOTNE geometrijske progresije z njenim neskončnim številom izrazov.

Zmanjševanje geometrijske progresije je mogoče opaziti na primer v Zenonovih aporijah "Razpolovitev" in "Ahilej in želva". V prvem primeru je jasno prikazano, da je celotna cesta (predpostavimo dolžino 1) vsota neskončnega števila odsekov 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je seveda iz z vidika koncepta končne vsote neskončne geometrijske progresije. Pa vendar – kako je to lahko?

V aporiji o Ahilu je situacija nekoliko bolj zapletena, saj je imenovalec napredovanja tukaj enak ne 1/2, ampak nekemu drugemu številu. Recimo, da na primer Ahil teče s hitrostjo v, želva se premika s hitrostjo u in je začetna razdalja med njima enaka l. Ahil bo to razdaljo pretekel v času l/v, želva se bo v tem času premaknila za razdaljo lu/v. Ko Ahil teče ta segment, bo razdalja med njim in želvo postala enaka l (u / v) 2 itd. Izkazalo se je, da dohitevanje želve pomeni najti vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim členom l in imenovalec u / v. Ta vsota - odsek, ki ga bo Ahil na koncu pritekel do mesta, kjer sreča želvo - je enaka l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Ampak, spet, kako je treba ta rezultat razlagati in zakaj je sploh smiseln, dolgo časa ni bilo zelo jasno.

Arhimed je uporabil vsoto geometrijske progresije za določitev površine segmenta parabole. Naj bo dani odsek parabole razmejen s tetivo AB in naj je tangentna črta v točki D parabole vzporedna z AB. Naj bo C središče AB, E središče AC, F središče CB. Skozi točke A, E, F, B narišite ravne črte, vzporedne z DC; naj se tangenta, narisana v točki D, te premice sekata v točkah K, L, M, N. Narišimo še segmenta AD in DB. Naj premica EL seka premico AD v točki G, parabola pa v točki H; premica FM seka premico DB v točki Q, parabola pa v točki R. Po splošni teoriji stožčastih prerezov je DC premer parabole (to je segmenta, vzporednega z njeno osjo); ta in tangenta v točki D lahko služita kot koordinatni osi x in y, v kateri je enačba parabole zapisana kot y 2 = 2px (x je razdalja od D do katere koli točke danega premera, y je dolžina a vzporedno z dano tangento od te točke premera do neke točke na sami paraboli).

Na podlagi enačbe parabole je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA in ker je DK = 2DL, potem je KA = 4LH. Ker je KA = 2LG, je LH = HG. Površina segmenta parabole ADB je enaka površini trikotnika ΔADB in površini segmentov AHD in DRB skupaj. Po drugi strani je površina segmenta AHD podobno enaka površini trikotnika AHD in preostalih segmentov AH in HD, z vsakim od katerih lahko izvedete isto operacijo - razdelite na trikotnik (Δ) in dva preostala segmenta () itd.:

Površina trikotnika ΔAHD je enaka polovici površine trikotnika ΔALD (imajo skupno osnovo AD, višine pa se razlikujejo za faktor 2), kar je enako polovici površine ​​trikotnik ΔAKD in torej polovica površine trikotnika ΔACD. Tako je površina trikotnika ΔAHD enaka četrtini površine trikotnika ΔACD. Podobno je površina trikotnika ΔDRB enaka četrtini površine trikotnika ΔDFB. Torej sta površini trikotnikov ΔAHD in ΔDRB, vzeti skupaj, enaki četrtini površine trikotnika ΔADB. Ponovitev te operacije, ki se uporablja za segmente AH, HD, DR in RB, bo iz njih izbrala tudi trikotnike, katerih površina bo skupaj 4-krat manjša od površine trikotnikov ΔAHD in ΔDRB skupaj, kar pomeni 16-krat manj kot površina trikotnika ΔADB. itd:

Tako je Arhimed dokazal, da je "vsak segment, zaprt med ravno črto in parabolo, štiri tretjine trikotnika z enako osnovo in enako višino."

Geometrijska progresija je skupaj z aritmetiko pomemben niz številk, v katerem se preučuje šolski tečaj algebra v 9. razredu. V tem članku bomo obravnavali imenovalec geometrijske progresije in kako njena vrednost vpliva na njene lastnosti.

Definicija geometrijske progresije

Za začetek dajmo definicijo te vrste številk. Takšen niz se imenuje geometrijska progresija racionalna števila, ki nastane z zaporednim množenjem svojega prvega elementa s konstantnim številom, imenovanim imenovalec.

Številke v vrstici 3, 6, 12, 24, ... so na primer geometrijska progresija, saj če pomnožite 3 (prvi element) z 2, dobite 6. Če pomnožite 6 z 2, dobite 12 in tako naprej.

Člani obravnavanega zaporedja so običajno označeni s simbolom ai, kjer je i celo število, ki označuje število elementa v vrstici.

Zgornjo definicijo progresije lahko v jeziku matematike zapišemo takole: an = bn-1 * a1, kjer je b imenovalec. To formulo je enostavno preveriti: če je n = 1, potem je b1-1 = 1 in dobimo a1 = a1. Če je n = 2, potem an = b * a1 in spet pridemo do definicije obravnavane serije številk. Podobno razmišljanje je mogoče nadaljevati za velike vrednosti n.

Imenovalec geometrijske progresije

Število b popolnoma določa, kakšen znak bo imela celotna številska serija. Imenovalec b je lahko pozitiven, negativen ali večji od enega ali manj. Vse te možnosti vodijo do različnih zaporedij:

• b> 1. Obstaja naraščajoča serija racionalnih števil. Na primer, 1, 2, 4, 8, ... Če je element a1 negativen, se bo celotno zaporedje povečalo le v absolutni vrednosti, vendar se bo zmanjšalo ob upoštevanju predznaka števil.
• b = 1. Takega primera pogosto ne imenujemo progresija, saj obstaja navaden niz enakih racionalnih števil. Na primer -4, -4, -4.

Formula za količino

Preden nadaljujete s pregledom posebne naloge z uporabo imenovalca obravnavane vrste napredovanja je treba podati pomembno formulo za vsoto njenih prvih n elementov. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ta izraz lahko dobite sami, če upoštevate rekurzivno zaporedje članov napredovanja. Upoštevajte tudi, da je v zgornji formuli dovolj poznati samo prvi element in imenovalec, da najdete vsoto poljubno številočlani.

Neskončno padajoče zaporedje

Zgoraj je bilo podano pojasnilo, kaj je. Zdaj, ko poznamo formulo za Sn, jo uporabimo za to vrsto številk. Ker se vsako število, katerega modul ne presega 1, ko se dvigne na velike stopinje, teži k nič, to je b∞ => 0, če je -1

Ker bo razlika (1 - b) vedno pozitivna, ne glede na vrednost imenovalca, je predznak vsote padajoče neskončne progresije geometrije S∞ enolično določen s predznakom njenega prvega elementa a1.

Zdaj bomo razmislili o več nalogah, kjer bomo pokazali, kako uporabiti pridobljeno znanje na določenih številkah.

Problem številka 1. Izračun neznanih elementov napredovanja in vsote

Dobite geometrijsko progresijo, imenovalec progresije je 2, njen prvi element pa 3. Čemu bosta enaka njen 7. in 10. člen in kolikšna je vsota njegovih sedmih začetnih elementov?

Pogoj problema je sestavljen precej preprosto in predpostavlja neposredno uporabo zgornjih formul. Torej, za izračun elementa s številko n uporabimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, nadomestimo znane podatke, dobimo: a7 = 26 * 3 = 192. Enako naredimo za 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Uporabimo dobro znano formulo za vsoto in določimo to vrednost za prvih 7 elementov niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem številka 2. Določanje vsote poljubnih elementov progresije

Naj bo -2 imenovalec eksponentne progresije bn-1 * 4, kjer je n celo število. Določiti je treba količino od 5. do 10. elementa te serije, vključno.

Postavljenega problema ni mogoče rešiti neposredno z znanimi formulami. Rešite ga lahko z 2 različne metode... Zaradi popolnosti predstavljamo oboje.

Metoda 1. Njena ideja je preprosta: izračunati je treba dve ustrezni vsoti prvih členov, nato pa od enega odšteti drugega. Izračunamo manjši znesek: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Zdaj izračunamo veliko vsoto: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Upoštevajte, da so bili v zadnjem izrazu povzeti le 4 členi, saj je 5. že vključen v vsoto, ki jo je treba izračunati glede na pogoj problema. Na koncu vzemite razliko: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Pred zamenjavo številk in štetjem lahko dobite formulo za vsoto med členoma m in n zadevnega niza. Naredimo popolnoma enako kot pri metodi 1, le da najprej delamo s simbolno predstavitvijo vsote. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . V dobljenem izrazu lahko zamenjate znana števila in izračunate končni rezultat: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem številka 3. Kakšen je imenovalec?

Naj je a1 = 2, poiščite imenovalec geometrijske progresije, pod pogojem, da je njegova neskončna vsota 3, in je znano, da je to padajoči niz števil.

Glede na stanje problema je enostavno uganiti, katero formulo je treba uporabiti za njeno rešitev. Seveda se vsota napredovanja neskončno zmanjšuje. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Od koder izrazimo imenovalec: b = 1 - a1 / S∞. Še vedno je treba zamenjati znane vrednosti in dobiti zahtevano število: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 ali -0,333 (3). Ta rezultat lahko kvalitativno preverimo, če se spomnimo, da za to vrsto zaporedja modul b ne sme preseči 1. Kot lahko vidite, |-1 / 3 |

Problem številka 4. Obnovitev niza številk

Naj sta podana 2 elementa številske serije, na primer 5. je enak 30, 10. pa 60. Iz teh podatkov je treba rekonstruirati celotno serijo, vedoč, da izpolnjuje lastnosti geometrijske progresije.

Če želite rešiti problem, morate najprej zapisati ustrezen izraz za vsak znani izraz. Imamo: a5 = b4 * a1 in a10 = b9 * a1. Zdaj delimo drugi izraz s prvim, dobimo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Od tu določimo imenovalec tako, da vzamemo peti koren razmerja členov, znanih iz pogoja problema, b = 1,148698. Dobljeno število nadomestimo z enim od izrazov za znani element, dobimo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698) 4 = 17,2304966.

Tako smo ugotovili, kakšen je imenovalec progresije bn in geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, kjer je b = 1,148698.

Kje se uporabljajo geometrijske progresije?

Če tega številskega niza ne bi bilo v praksi, bi se njegovo preučevanje zmanjšalo na čisto teoretično zanimanje. Vendar obstaja takšna aplikacija.

Spodaj so 3 najbolj znani primeri:

• Zenonov paradoks, v katerem pametni Ahil ne more dohiteti počasne želve, je rešen s konceptom neskončno padajočega zaporedja številk.
• Če postavite pšenična zrna na vsako polje šahovnice tako, da je 1 zrno postavljeno na 1. polje, 2 - na 2., 3 - na 3. in tako naprej, potem potrebujete 18446744073709551615 zrnc, da zapolnite vsa polja plošča!
• V igri Tower of Hanoi je za prerazporeditev diskov iz ene palice v drugo potrebno izvesti 2n - 1 operacij, to pomeni, da njihovo število eksponentno raste s številom uporabljenih diskov n.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je zelo preprosta. Tako po pomenu kot po splošnem videzu. Toda za formulo n-tega člena obstajajo vse vrste težav - od zelo primitivnih do precej resnih. In v procesu našega poznanstva bomo zagotovo upoštevali oboje. No, pa se spoznajmo?)

Torej, za začetek sama formulan

Ona je tukaj:

b n = b 1 · q n -1

Formula kot formula, nič nadnaravnega. Izgleda še enostavneje in bolj kompaktno kot podobna formula za. Pomen formule je tudi preprost, kot klobučevina.

Ta formula vam omogoča, da poiščete KATER koli član geometrijske progresije PO NJEGOVI ŠTEVILKI " n".

Kot lahko vidite, je pomen popolna analogija z aritmetično progresijo. Poznamo število n - lahko tudi izračunamo izraz pod to številko. Kar hočemo. Brez zaporednega množenja z "q" veliko, velikokrat. To je bistvo.)

Razumem, da bi vam morale biti na tej stopnji dela z napredovanjem vse vrednosti, vključene v formulo, že jasne, a vseeno menim, da je moja dolžnost, da dešifriram vsako posebej. Za vsak slučaj.

Torej gremo:

b 1 – najprejčlen geometrijske progresije;

q – ;

n- številko člana;

b n – n-ti (nth)član geometrijske progresije.

Ta formula povezuje štiri glavne parametre katere koli geometrijske progresije - bn, b 1 , q in n... In okoli teh štirih ključnih številk se vrtijo vse naloge v napredovanju.

"Kako je prikazano?"- Slišim radovedno vprašanje ... Elementarno! Poglej!

Kaj je enako drugiččlan napredovanja? Ni problema! Pišemo neposredno:

b 2 = b 1 q

In tretji mandat? Tudi ni problem! Drugi člen pomnožimo še enkrat naprejq.

Všečkaj to:

B 3 = b 2 q

Spomnimo se, da je drugi člen po vrsti enak b 1 q in ta izraz nadomestimo v našo enakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobimo:

B 3 = b 1 q 2

Zdaj pa preberimo naš vnos v ruščini: tretjiččlen je enak prvemu členu krat q in drugič stopnje. Ali razumeš? Ne še? V redu, še en korak.

Kaj je četrti mandat? Vse enako! Pomnožite prejšnji(tj. tretji člen) z q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Skupaj:

B 4 = b 1 q 3

In spet prevajamo v ruščino: četrtičlen je enak prvemu členu krat q in tretjič stopnje.

itd. Torej, kako? Imate vzorec? Ja! Za kateri koli člen s poljubnim številom bo število enakih faktorjev q (tj. stopnja imenovalca) vedno enako eno manj od števila zahtevanega izrazan.

Zato bo naša formula brez možnosti:

b n =b 1 · q n -1

To je vse.)

No, verjetno rešimo težave?)

Reševanje problemov s formulončlen geometrijske progresije.

Začnimo, kot običajno, z neposredno uporabo formule. Tukaj je tipična težava:

Eksponentno je znano, da b 1 = 512 in q = -1/2. Poiščite deseti člen v napredovanju.

Seveda je ta problem mogoče rešiti brez kakršnih koli formul. Neposredno v smislu geometrijske progresije. Moramo pa se ogreti s formulo za n. člen, kajne? Tako se ogrejemo.

Naši podatki za uporabo formule so naslednji.

Prvi član je znan. 512 je.

b 1 = 512.

Poznan je tudi imenovalec napredovanja: q = -1/2.

Ostaja samo ugotoviti, kakšna je številka člana n. Ni problema! Nas zanima deseti mandat? Zato v splošni formuli nadomestimo deset namesto n.

In natančno štejemo aritmetiko:

Odgovor: -1

Kot vidite, se je deseti člen napredovanja izkazal za minus. Nič čudnega: imenovalec napredovanja je -1/2, tj. negativnoštevilko. In to nam pove, da se znaki našega napredovanja izmenjujejo, ja.)

Tukaj je vse preprosto. In tukaj je podoben problem, vendar nekoliko bolj zapleten v smislu izračunov.

Eksponentno je znano, da:

b 1 = 3

Poiščite trinajsti člen v napredovanju.

Vse je enako, le tokrat je imenovalec napredovanja iracionalno... Koren dveh. No, to je v redu. Formula je univerzalna stvar, spopada se s poljubnimi številkami.

Delamo neposredno po formuli:

Formula je seveda delovala, kot je treba, ampak ... tukaj bodo nekateri zmrznili. Kaj storiti naprej s korenom? Kako dvigniti koren na dvanajsto potenco?

Kako-kako ... Morate razumeti, da je vsaka formula seveda dobra stvar, vendar poznavanje vse prejšnje matematike ni preklicano! Kako graditi? Da, lastnosti stopinj, ki si jih je treba zapomniti! Obrnimo koren v delni eksponent in - po eksponentni formuli.

Všečkaj to:

Odgovor: 192

In to je vse.)

Kaj je glavna težava pri neposredni uporabi formule n-člen? Ja! Glavna težava je delo z diplomami! Namreč – stopnjevanje negativne številke, ulomki, korenine in podobno. Zato tiste, ki imate s tem težave, pozivamo, da ponovite stopnje in njihove lastnosti! Sicer se boste v tej temi upočasnili, ja ...)

Zdaj pa rešimo tipične težave pri iskanju eden od elementov formuleče so dani vsi drugi. Za uspešno rešitev takšnih težav je recept enoten in strašno preprost - pisanje formulenth član v splošni pogled! Takoj v zvezku poleg pogoja. In potem iz pogoja ugotovimo, kaj nam je dano in kaj manjka. In izražamo iz formule zahtevano vrednost... Vse!

Na primer, tako neškodljiva naloga.

Peti člen geometrijske progresije z imenovalcem 3 je 567. Poiščite prvi člen te progresije.

Nič zapletenega. Delamo neposredno z urokom.

Zapišemo formulo za n-ti člen!

b n = b 1 · q n -1

Kaj nam je bilo dano? Najprej je podan imenovalec napredovanja: q = 3.

Poleg tega nam je dano peti mandat: b 5 = 567 .

Vse? Ne! Dobimo tudi številko n! To je petica: n = 5.

Upam, da že razumete, kaj je na posnetku b 5 = 567 dva parametra sta skrita naenkrat - to je sam peti izraz (567) in njegova številka (5). V podobni lekciji sem že govoril o tem, a tukaj mislim, da vas ni odveč spomniti.)

Zdaj svoje podatke nadomestimo v formulo:

567 = b 1 · 3 5-1

Preštejemo aritmetiko, poenostavimo in dobimo preprosto linearna enačba:

81 b 1 = 567

Rešimo in dobimo:

b 1 = 7

Kot vidite, z iskanjem prvega člana ni težav. Toda ko iščemo imenovalec q in številke n lahko pride do presenečenj. In tudi nanje morate biti pripravljeni (na presenečenja), ja.)

Na primer ta problem:

Peti člen geometrijske progresije s pozitivnim imenovalcem je 162, prvi člen te progresije pa 2. Poišči imenovalec progresije.

Tokrat dobimo prvi in ​​peti člen in od nas zahtevamo, da poiščemo imenovalec napredovanja. Pa začnimo.

Napišemo formulonth član!

b n = b 1 · q n -1

Naši začetni podatki bodo naslednji:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Ni dovolj pomena q... Ni problema! Zdaj ga bomo našli.) V formulo nadomestimo vse, kar poznamo.

Dobimo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Preprosta enačba četrte stopnje. Ampak zdaj - lepo! Na tej stopnji rešitve mnogi učenci takoj z veseljem izvlečejo koren (četrta stopnja) in dobijo odgovor. q=3 .

Všečkaj to:

q 4 = 81

q = 3

Toda v resnici je to nedokončan odgovor. Natančneje, nepopolna. Zakaj? Bistvo je, da je odgovor q = -3 prav tako ustreza: (-3) 4 bo tudi 81!

To je posledica dejstva, da je enačba moči x n = a vedno ima dve nasprotni korenini pri celon . S plusom in minusom:

Oboje se prilega.

Na primer reševanje (tj. drugič stopnja)

x 2 = 9

Iz nekega razloga niste presenečeni nad videzom dve korenine x = ± 3? Tukaj je ista stvar. In s katerim koli drugim celo stopnja (četrta, šesta, deseta itd.) bo enaka. Podrobnosti - v temi o

Zato pravilna rešitev bi bilo takole:

q 4 = 81

q= ± 3

V redu, ugotovili smo znake. Kateri je pravilen - plus ali minus? No, še enkrat preberemo pogoj problema v iskanju Dodatne informacije. Seveda ga morda ni, toda v tej nalogi takšne informacije na voljo. V našem stanju je v navadnem besedilu povedano, da je podana progresija z pozitivni imenovalec.

Zato je odgovor očiten:

q = 3

Tukaj je vse preprosto. Kaj mislite, kaj bi bilo, če bi bila izjava o problemu takšna:

Peti člen geometrijske progresije je 162, prvi člen te progresije pa 2. Poiščite imenovalec progresije.

Kakšna je razlika? Ja! V stanju nič ni rečeno o predznaku imenovalca. Niti neposredno niti posredno. In tukaj bi naloga že imela dve rešitvi!

q = 3 in q = -3

Da, da! In s plusom in minusom.) Matematično bi to dejstvo pomenilo, da obstajajo dva napredovanja ki ustrezajo stanju problema. In za vsako - svoj imenovalec. Za zabavo vadite in zapišite prvih pet članov vsakega.)

Zdaj pa vadimo iskanje članske številke. To je najtežja naloga, ja. Ampak tudi bolj ustvarjalni.)

Podana je geometrijska progresija:

3; 6; 12; 24; …

Kakšno je število 768 v tej progresiji?

Prvi korak je še vedno enak: pisanje formulenth član!

b n = b 1 · q n -1

In zdaj, kot običajno, vanj nadomestimo podatke, ki jih poznamo. Hm ... ni zamenjan! Kje je prvi člen, kje je imenovalec, kje je vse ostalo?!

Kje, kje ... In zakaj potrebujemo oči? Zaploskati s trepalnicami? Tokrat nam je napredovanje podano neposredno v obliki zaporedje. Vidite prvi mandat? Vidimo! To je trojka (b 1 = 3). Kaj pa imenovalec? Tega še ne vidimo, je pa zelo enostavno prešteti. Če seveda razumete.

Torej štejemo. Neposredno v smislu geometrijske progresije: vzamemo katerega koli od njegovih členov (razen prvega) in delimo s prejšnjim.

Vsaj takole:

q = 24/12 = 2

Kaj še vemo? Poznamo tudi določenega člana te progresije, ki je enak 768. Pod nekaterim številom n:

b n = 768

Njegova številka nam ni znana, naša naloga pa je, da jo najdemo.) Torej iščemo. Vse potrebne podatke za zamenjavo smo že prenesli v formulo. Sama ne vem.)

Torej nadomestimo:

768 = 3,2n -1

Naredimo osnovne - oba dela razdelimo na tri in prepišemo enačbo v običajni obliki: neznano na levi, znano - na desni.

Dobimo:

2 n -1 = 256

Tukaj je zanimiva enačba. Najti morate "n". Kaj je nenavadnega? Ja, ne trdim. Pravzaprav je to najpreprostejše. Imenuje se tako, ker neznanka (v ta primer to številko n) stoji notri indikator stopnje.

Na stopnji seznanjanja z geometrijsko progresijo (to je deveti razred) se eksponentnih enačb ne učijo reševati, ja ... To je tema za srednjo šolo. Ampak ni nič strašnega. Tudi če ne veste, kako se takšne enačbe rešujejo, bomo poskušali najti naše n vodi preprosta logika in zdrava pamet.

Začnemo sklepati. Na levi imamo dvojko do določene mere... Še ne vemo, kakšna natančno je ta diploma, a to ni strašljivo. Po drugi strani pa trdno vemo, da je ta stopnja enaka 256! Torej se spomnimo, v kolikšni meri dva nam daje 256. Se spomnite? Ja! V osmi stopnje!

256 = 2 8

Če se niste spomnili ali s prepoznavanjem stopenj problema, potem je tudi v redu: dva samo zaporedno dvignemo na kvadrat, na kocko, na četrto stopnjo, peto itd. Izbira je pravzaprav, a na tej ravni precej dobra.

Tako ali drugače dobimo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Torej 768 je devetičlan našega napredovanja. To je to, problem je rešen.)

Odgovor: 9

Kaj? Dolgočasen? Ste naveličani elementarizma? strinjam se. Jaz tudi. Pojdimo na naslednjo stopnjo.)

Bolj zahtevne naloge.

In zdaj težave rešujemo bolj naglo. Ni ravno super, vendar imajo še vedno malo dela, da pridejo do odgovora.

Na primer ta.

Poiščite drugi člen geometrijske progresije, če je četrti člen -24, sedmi člen pa 192.

To je klasika žanra. Nekaj ​​dveh različnih članov napredovanja sta znana, vendar je treba najti še kakšnega člana. Poleg tega vsi člani NISO sosedski. Kar je sprva nerodno, ja ...

Kot v tem primeru bomo obravnavali dva načina za reševanje takšnih težav. Prva metoda je univerzalna. algebraična. Brezhibno deluje z vsemi izvornimi podatki. Zato bomo začeli z njim.)

Vsak izraz zapišemo po formuli nth član!

Vse je natanko tako kot z aritmetično progresijo. Samo tokrat sodelujemo z drugega splošna formula. To je vse.) Toda bistvo je isto: vzamemo in enega za drugim naše začetne podatke nadomestimo v formulo n-tega člena. Za vsakega člana - svoje.

Za četrtega člana napišite:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tukaj je. Ena enačba je pripravljena.

Za sedmega člana zapišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Skupno smo dobili dve enačbi za enako napredovanje .

Od njih zbiramo sistem:

Kljub izjemnemu videzu je sistem precej preprost. Najbolj očitna rešitev je navadna zamenjava. Izražamo b 1 iz zgornje enačbe in jo nadomestimo s spodnjo:

Ko smo se malo poigrali z nižjo enačbo (z zmanjšanjem potenk in deljenjem z -24), dobimo:

q 3 = -8

Mimogrede, do iste enačbe lahko pridete na preprostejši način! Kako? Zdaj vam bom pokazal še eno skrivnost, a zelo lepo, močno in uporaben način rešitve podobnih sistemov. Takšni sistemi, v enačbah katerih sed samo deluje. Vsaj en. Poklican metoda delitve terminov ena enačba v drugo.

Torej, pred nami je sistem:

V obeh enačbah na levi - delo in na desni je samo številka. To je zelo dober znak.) Vzemimo in ... delimo, recimo, spodnjo enačbo z zgornjo! Kaj pomeni, deliti eno enačbo z drugo? Zelo preprosto. Vzamemo leva stran ena enačba (spodnja) in deliti na njej leva stran druga enačba (zgoraj). Desna stran je podobna: desna stran ena enačba deliti na desna stran drugega.

Celoten postopek delitve izgleda takole:

Zdaj, ko smo zmanjšali vse, kar je zmanjšano, dobimo:

q 3 = -8

Zakaj je ta metoda dobra? Da, saj je v procesu takšne delitve vse, kar je slabo in neprijetno, mogoče varno zmanjšati in ostane popolnoma neškodljiva enačba! Zato je tako pomembno imeti samo množenja vsaj v eni od enačb sistema. Ni množenja - ni kaj zmanjšati, ja ...

Na splošno si ta metoda (kot mnogi drugi netrivialni načini reševanja sistemov) zasluži celo ločeno lekcijo. Vsekakor ga bom podrobneje analiziral. Nekega dne…

Vendar ni pomembno, kako rešite sistem, v vsakem primeru pa moramo zdaj rešiti nastalo enačbo:

q 3 = -8

Ni problema: izvlecite koren (kubično) in končali ste!

Upoštevajte, da vam pri ekstrakciji tukaj ni treba dodati plus / minus. Imamo liho (tretjo) stopnjo korena. In odgovor je tudi enak, ja.)

Torej, imenovalec napredovanja je bil najden. Minus dva. V redu! Postopek je v teku.)

Za prvi člen (recimo iz zgornje enačbe) dobimo:

V redu! Poznamo prvi člen, poznamo imenovalec. In zdaj imamo priložnost najti katerega koli člana napredovanja. Vključno z drugim.)

Za drugi mandat je vse precej preprosto:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odgovor: -6

Tako smo zastavili algebraični način reševanja problema. Težko? Res ne, se strinjam. Dolgo in dolgočasno? Ja, absolutno. Toda včasih lahko znatno zmanjšate količino dela. Za to obstaja grafični način. Dobro staro in nam poznano.)

Risanje težave!

Ja! Točno tako. Ponovno narišite naš napredek na številski osi. Ni treba slediti ravnilu, ni treba vzdrževati enakih intervalov med členi (ki mimogrede ne bodo enaki, saj je progresija geometrijska!), ampak preprosto shematično narišite naše zaporedje.

Dobil sem takole:

In zdaj gledamo sliko in razmišljamo. Koliko enakih faktorjev »q« si deli četrti in sedmičlani? Tako je, trije!

Zato imamo vso pravico, da zapišemo:

-24q 3 = 192

Zato je zdaj q enostavno iskati:

q 3 = -8

q = -2

To je super, imenovalec je že v našem žepu. In zdaj spet pogledamo sliko: koliko takih imenovalcev je med drugič in četrtičlani? dva! Zato bo za beleženje povezave med temi izrazi imenovalec na kvadrat.

Torej pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , kje b 2 = -24/ q 2

Naš najdeni imenovalec nadomestimo v izraz za b 2, preštejemo in dobimo:

Odgovor: -6

Kot vidite, je vse veliko lažje in hitreje kot prek sistema. Še več, tu nam prvega mandata sploh ni bilo treba šteti! Nasploh.)

Tukaj je preprost in intuitiven način osvetlitve. Ima pa tudi resno pomanjkljivost. Ste uganili? Ja! Deluje samo za zelo kratke rezine napredovanja. Tiste, kjer razdalje med člani, ki nas zanimajo, niso zelo velike. A v vseh drugih primerih je že težko narisati sliko, ja ... Potem pa problem rešujemo analitično, preko sistema.) In sistemi so univerzalna stvar. S poljubnimi številkami je mogoče obravnavati.

Še en epski izziv:

Drugi člen geometrijske progresije je 10 več od prvega, tretji člen pa 30 več od drugega. Poiščite imenovalec napredovanja.

Kaj je kul? Sploh ne! Vse enako. Izjavo problema ponovno prevedemo v čisto algebro.

1) Vsak izraz zapišemo po formuli nth član!

Drugi člen: b 2 = b 1 q

Tretji člen: b 3 = b 1 q 2

2) Povezavo med člani zapišemo iz izjave problema.

Preberemo pogoj: "Drugi člen geometrijske progresije je 10 več kot prvi." Nehaj, to je dragoceno!

Torej pišemo:

b 2 = b 1 +10

In ta stavek prevedemo v čisto matematiko:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dve enačbi. Združimo jih v sistem:

Sistem je videti preprost. Za črke pa obstaja veliko različnih indeksov. Namesto drugega in tretjega člena njunega izraza nadomestimo s prvim členom in imenovalcem! Ali smo jih zaman slikali?

Dobimo:

Ampak tak sistem ni več darilo, ja ... Kako to rešiti? Na žalost, univerzalni skrivni urok za reševanje kompleksa nelinearni v matematiki ni in ne more biti sistemov. To je fantastično! Toda prva stvar, ki bi vam morala pasti na misel, ko poskušate razbiti tako trd oreh, je ugotoviti, ampak ali se ena od enačb sistema reducira na lep pogled, ki omogoča, na primer, enostavno izražanje ene od spremenljivk skozi drugo?

Torej ocenimo. Prva enačba sistema je očitno enostavnejša od druge. Mučili ga bomo.) Ali ne bi morali poskusiti iz prve enačbe nekaj izraziti skozi nekaj? Ker želimo poiskati imenovalec q, potem bi bilo za nas najbolj ugodno izraziti b 1 čez q.

Poskusimo torej narediti ta postopek s prvo enačbo z uporabo starih dobrih:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Vse! Tako smo izrazili nepotrebno uporabimo spremenljivko (b 1) skozi potrebno(q). Da, niso prejeli najpreprostejšega izraza. Nekaj ​​​​delčka ... Toda naš sistem je na spodobni ravni, ja.)

tipično. Vemo, kaj storiti.

Pišemo ODZ (nujno!) :

q ≠ 1

Vse pomnožimo z imenovalcem (q-1) in prekličemo vse ulomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vse delimo na deset, odpremo oklepaje, zberemo vse na levi:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rešimo rezultat in dobimo dva korena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Obstaja samo en končni odgovor: q = 3 .

Odgovor: 3

Kot lahko vidite, je način reševanja večine problemov za formulo n-ega člena geometrijske progresije vedno enak: preberite pozorno pogoju problema in s formulo za n-ti člen prevedemo celotno koristne informacije v čisto algebro.

in sicer:

1) Vsak izraz, ki je v nalogi podan s formulo, zapišemo posebejnth član.

2) Iz pogoja problema prevedemo povezavo med izrazi v matematično obliko. Sestavimo enačbo ali sistem enačb.

3) Rešimo nastalo enačbo oziroma sistem enačb, najdemo neznane parametre progresije.

4) V primeru dvoumnega odgovora pozorno preberemo pogoj problema v iskanju dodatnih informacij (če obstajajo). Prejeti odgovor preverimo tudi s pogoji DLO (če obstajajo).

In zdaj naštejmo glavne težave, ki najpogosteje vodijo do napak v procesu reševanja problemov v geometrijski progresiji.

1. Osnovna aritmetika. Dejanja z ulomki in negativnimi števili.

2. Če imate težave z vsaj eno od teh treh točk, se boste v tej temi neizogibno zmotili. Žal ... Zato ne bodite leni in ponovite zgoraj omenjeno. In sledite povezavam - pojdite. Včasih pomaga.)

Spremenjene in ponavljajoče se formule.

Zdaj pa si poglejmo nekaj tipičnih težav pri izpitu z manj znano predstavitvijo stanja. Ja, uganili ste! to spremenjeno in ponavljajoča se formule n-ega člena. S takšnimi formulami smo se že srečali in delali v aritmetični progresiji. Tukaj je vse enako. Bistvo je isto.

Na primer, taka naloga iz OGE:

Geometrijska progresija je podana s formulo b n = 3 2 n ... Poiščite vsoto prvega in četrtega člana.

Tokrat nam napredovanje ni povsem poznano. V obliki nekakšne formule. Pa kaj? Ta formula - tudi formulanth član! Vsi vemo, da lahko formulo za n-ti izraz zapišemo tako v splošni obliki, s črkami kot za specifično napredovanje... Z specifične prvi člen in imenovalec.

V našem primeru smo dejansko dobili skupno formulo za geometrijsko progresijo z naslednjimi parametri:

b 1 = 6

q = 2

Preverimo?) Zapišemo formulo n-ega člena v splošni obliki in jo nadomestimo vanj b 1 in q... Dobimo:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Poenostavite ga z uporabo faktorizacije in lastnosti moči, da dobite:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kot vidite, je vse pošteno. Toda naš cilj z vami ni prikazati izpeljavo določene formule. To je lirična digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je rešiti problem po formuli, ki nam je dana v pogoju. Catch?) Torej delamo s spremenjeno formulo neposredno.

Računamo prvi mandat. Nadomestek n=1 v splošno formulo:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Všečkaj to. Mimogrede, ne bom len in še enkrat vas bom opozoril na tipičen blooper z izračunom prvega člana. NI TREBA gledati formule b n= 3 2n, takoj hiti pisati, da je prvi izraz trojnik! To je huda napaka, ja ...)

Nadaljujmo. Nadomestek n=4 in preštej četrti člen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

In končno izračunamo zahtevano količino:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Druga težava.

Geometrijska progresija je določena s pogoji:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Poiščite četrti člen v napredovanju.

Tukaj je napredovanje podano z rekurzivno formulo. No, v redu.) Kako delati s takšno formulo - tudi vemo.

Torej ukrepamo. Korak za korakom.

1) Preštej dva zaporednačlan napredovanja.

Prvi mandat nam je že dodeljen. Minus sedem. Toda naslednji, drugi člen, je mogoče enostavno izračunati s ponavljajočo se formulo. Če razumete, kako deluje, seveda.)

Torej štejemo drugi mandat po dobro znanem prvemu:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Upoštevamo imenovalec napredovanja

Tudi brez problema. Naravnost, razdeli drugiččlan na najprej.

Dobimo:

q = -21/(-7) = 3

3) Napišemo formulonth člana v običajni obliki in upoštevajte želenega člana.

Torej poznamo prvi člen in imenovalec tudi. Torej pišemo:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Odgovor: -189

Kot lahko vidite, se delo s takšnimi formulami za geometrijsko progresijo samo po sebi ne razlikuje od dela za aritmetično progresijo. Pomembno je le razumeti splošno bistvo in pomen teh formul. No, tudi pomen geometrijske progresije je treba razumeti, ja.) In potem ne bo neumnih napak.

No, naj to rešimo sami?)

Precej osnovne naloge za ogrevanje:

1. Podana je geometrijska progresija, v kateri b 1 = 243 in q = -2/3. Poiščite šesti člen v napredovanju.

2. Splošni izraz geometrijske progresije je podan s formulo b n = 5∙2 n +1 . Poiščite številko zadnjega trimestnega člena tega napredovanja.

3. Geometrijska progresija je določena s pogoji:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Poiščite peti člen v napredovanju.

Malo bolj zapleteno:

4. Podana je geometrijska progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Kateri je njen šesti negativni izraz?

Kaj se zdi super težko? Sploh ne. Logika in razumevanje pomena geometrijske progresije vas bosta rešila. No, formula za n. člen, seveda.

5. Tretji člen geometrijske progresije je -14, osmi člen pa 112. Poišči imenovalec progresije.

6. Vsota prvega in drugega člena geometrijske progresije je 75, vsota drugega in tretjega člena pa 150. Poišči šesti člen progresije.

Odgovori (v neredu): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoraj vse. Ostaja le, da se naučimo šteti vsota prvih n členov geometrijske progresije da odkrij neskončno padajoča geometrijska progresija in njeno količino. Mimogrede, zelo zanimiva in nenavadna stvar! Več o tem v naslednjih lekcijah.)