Aritmetična progresija   imenujemo zaporedje števil (člani napredovanja)

V katerem se vsak naslednji izraz razlikuje od prejšnjega z jeklenim izrazom, ki ga imenujemo tudi stopnja ali progresivna razlika.

Tako lahko z določitvijo koraka napredovanja in njegovega prvega mandata po formuli najdemo kateri koli element

Lastnosti aritmetične progresije

1) Vsak član aritmetične progresije, ki se začne z drugim številom, je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člana napredovanja

Tudi obratno je. Če je aritmetično povprečje sosednjih neparnih (neparnih) članov progresije enako članu, ki stoji med njimi, potem je to zaporedje števil aritmetična progresija. Glede na to izjavo je zelo enostavno preveriti katerokoli zaporedje.

Tudi zaradi lastnosti aritmetične progresije lahko zgornjo formulo posplošimo na naslednje

To je enostavno razbrati, če napišete izraze desno od znaka enakosti

V praksi se pogosto uporablja za poenostavitev izračunov v nalogah.

2) Vsota n prvih članov aritmetične progresije se izračuna po formuli

Dobro si zapomnite formulo za vsoto aritmetičnega napredovanja, je nepogrešljiva pri izračunih in je precej pogosta v preprostih življenjskih situacijah.

3) Če ne najdete celotnega zneska, temveč del zaporedja, ki se začne od njegovega kth člana, bo naslednja formula vsote prišla v poštev

4) Praktično je iskanje vsote n članov aritmetične progresije, ki se začne s kth številom. Če želite to narediti, uporabite formulo

S tem se zaključi teoretično gradivo in nadaljuje reševanje problemov, ki so pogosti v praksi.

Primer 1. Poiščite štirideseti izraz aritmetične progresije 4; 7; ...

Odločba:

Glede na stanje imamo

Določite korak napredovanja

Po dobro znani formuli najdemo štirideseti izraz napredovanja

Primer 2 Aritmetično napredovanje poda tretji in sedmi član. Poiščite prvega člana napredovanja in vsoto desetih.

Odločba:

Dane elemente napredovanja zapišemo po formulah

Odštejemo prvo od druge enačbe, zato ugotovimo korak napredovanja

Najdeno vrednost nadomestimo s katero koli enačbo za iskanje prvega izraza aritmetične progresije

Izračunamo vsoto prvih desetih članov napredovanja

Brez uporabe zapletenih izračunov smo našli vse iskane količine.

Primer 3. Aritmetično napredovanje poda imenovalec in eden od njegovih članov. Poiščite prvega člana napredovanja, vsoto njegovih 50 članov, ki se začne pri 50, in vsoto prvih 100.

Odločba:

Zapišemo formulo stotega elementa napredovanja

in poiščite prvega

Na podlagi prvega najdemo 50-odstotno napredovanje

Poiščite vsoto dela napredovanja

in vsoto prvih 100

Količina napredovanja je 250.

Primer 4

Poiščite število članov aritmetične progresije, če:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Odločba:

Enačbe zapišemo skozi prvi izraz in korak napredovanja ter jih definiramo

Pridobljene vrednosti zamenjajte v formuli vsote, da določite število članov v znesku

Poenostavite

in reši kvadratno enačbo

Od dveh najdenih vrednosti je le 8 primernih za težavo. Tako je vsota prvih osmih članov napredovanja 111.

Primer 5

Reši enačbo

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Rešitev: Ta enačba je vsota aritmetične progresije. Izpišemo njen prvi izraz in ugotovimo razliko v napredovanju

Če vsako naravno število n   ustrezajo resničnemu številu a n , potem pravijo, da je dano numerično zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Številčno zaporedje je torej funkcija naravnega argumenta.

Številka a 1   se imenujejo prvi član zaporedja številka a 2 — drugi član zaporedja številka a 3 — tretjič   itd. Številka a n   se imenujejo nth član zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Od dveh sosednjih članov a n in a n +1   člansko zaporedje a n +1   se imenujejo kasnejši (proti a n ) in a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite določiti zaporedje, morate določiti metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s katero koli številko.

Pogosto je zaporedje nastavljeno z uporabo formule n. pojma , torej formula, ki omogoča določitev člana zaporedja po njegovem številu.

Na primer,

zaporedje pozitivnih neparnih števil lahko določimo s formulo

a n= 2n -1,

in zaporedje izmeničnega 1   in -1   - formula

b   n = (-1)   n +1 . ◄

Lahko se določi zaporedje formula ponovitve,   to je formula, ki izraža kateri koli član zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) članov.

Na primer,

če a 1 = 1 , in a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 ,   potem je prvih sedem članov numeričnega zaporedja nastavljeno na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko konec in neskončno .

Zapoveduje zaporedje ultimativni če ima končno število članov. Zapoveduje zaporedje neskončno če ima neskončno veliko članov.

Na primer,

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ultimativni.

Prime zaporedje:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zapoveduje zaporedje narašča če je vsak njen član, začenši od drugega, večji od prejšnjega.

Zapoveduje zaporedje zmanjšuje če je vsak njen član, začenši od drugega, manjši od prejšnjega.

Na primer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .   - naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /   n, . . . - padajoče zaporedje. ◄

Pokliče se zaporedje, katerega elementi se s povečevanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotonske sekvence zlasti povečujejo zaporedja in zmanjšujejo zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija se imenuje zaporedje, katerega član je, začenši od drugega, enako prejšnjemu, ki mu je dodano isto število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če za katero koli naravno število n   pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

kje d - neko število.

Tako je razlika med poznejšimi in prejšnjimi člani dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Številka d   se imenujejo aritmetična razlika v progresiji.

Za natančno določitev aritmetične progresije je dovolj navesti njen prvi izraz in razliko.

Na primer,

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet članov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim članom a 1 in razlike d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primer,

najdemo trideseti izraz aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d

a n= a 1 + (n- 1)d

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

vsak član aritmetične progresije, ki se začne od drugega, je enak aritmetični srednji prejšnjih in naslednjih članov.

števila a, b in c so zaporedni člani aritmetične progresije, če in samo, če je eden od njih enak aritmetični srednji vrednosti drugih dveh.

Na primer,

a n = 2n- 7 je aritmetična progresija.

Uporabljamo zgornjo trditev. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Zato

◄

Upoštevajte to n i. izraz aritmetične progresije najdemo ne samo skozi a 1 pa tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primer,

za a 5   zna pisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

potem očitno

kateri koli član aritmetične progresije, ki se začne od drugega, je enak polovici vsote članov te aritmetične progresije, ki je enako oddaljena od nje.

Poleg tega za vsako aritmetično napredovanje velja enakost:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Na primer,

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, kot

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

  a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

prvi n   izrazi aritmetične progresije so enaki polovici vsote skrajnih izrazov s številom izrazov:

Iz tega zlasti izhaja, da če je treba sešteti izraze, če je treba

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

Na primer,

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n   inS n povezane z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh teh količin, potem ustrezne vrednosti drugih dveh količin določimo iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. Pri čemer:

• če d > 0 potem se povečuje;
• če d < 0 potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje mirno.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija imenuje se zaporedje, katerega član je, začenši od drugega, enak prejšnjem, pomnožen z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija, če za katero koli naravno število n   pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

kje q ≠ 0   - neko število.

Tako je razmerje naslednjega člana te geometrijske progresije do prejšnjega konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Številka q   se imenujejo imenovalec geometrijske progresije.

Za natančno določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedete njen prvi izraz in imenovalec.

Na primer,

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet članov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1   in imenovalec q   njo n člana lahko najdete po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primer,

poiščite sedmi izraz geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 6 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak član geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak geometrijski srednji (sorazmerni) prejšnjih in naslednjih članov.

Ker je tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni člani neke geometrijske progresije, če in samo, če je kvadrat ene od njih enak zmnožku drugih dveh, torej je eno od številk geometrijska sredina drugih dveh.

Na primer,

dokažemo, da je zaporedje, ki ga daje formula b n   \u003d -3 · 2   n je geometrijska progresija. Uporabljamo zgornjo trditev. Imamo:

b n   \u003d -3 · 2   n,

b n -1   \u003d -3 · 2   n -1 ,

b n +1   \u003d -3 · 2   n +1 .

Zato

b n 2 \u003d (-3 · 2   n) 2 \u003d (-3 · 2)   n -1 ) · (-3 · 2)   n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kar dokazuje potrebno trditev. ◄

Upoštevajte to n i. izraz geometrijske progresije najdemo ne samo skozi b 1 pa tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabimo formulo

b n = b k · q n -   k.

Na primer,

za b 5   zna pisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n -   k,

b n = b n -   k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n -   k· b n +   k

kvadrat katerega koli člana geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak zmnožku članov te progresije, ki so enako oddaljeni od nje.

Poleg tega velja za vsako geometrijsko progresijo enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primer,

eksponentno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kot

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n   imenovalec q ≠ 0   izračunano po formuli:

In kdaj q = 1   - po formuli

S n= nb 1

Upoštevajte, da če morate sešteti člane

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporablja formula:

Na primer,

eksponentno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n   in S n povezane z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katere koli od teh treh količin, potem ustrezne vrednosti preostalih dveh količin določimo iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim članom b 1   in imenovalec q   naslednji monotonske lastnosti :

• napredovanje narašča, če velja eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• napredovanje se zmanjša, če drži eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

Če q< 0 , nato se geometrijska progresija izmenično spreminja: njeni člani z lihimi številkami imajo enak znak kot prvi član, člani z parnimi številkami pa nasprotno. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n   izraze geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 ·   b 2 ·   b 3 · . . . ·   b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija   imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere imenovalec je manjši 1 , tj

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno upadajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Tako je.

1 < q< 0 .

S tem imenovalcem se zaporedje izmenično spreminja. Na primer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno upadajoče geometrijske progresije pokličite številko, do katere je vsota prvega n člani napredka z neomejenim povečanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

Na primer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje aritmetičnih in geometrijskih progresij

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezana. Upoštevajmo le dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d torej

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primer,

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2   in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . .   - geometrijska progresija z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija z imenovalcem q torej

beleženje a 1, beleženje a 2, beleženje a 3, . . .   - aritmetična progresija z razliko prijavi seq .

Na primer,

2, 12, 72, . . .   - geometrijska progresija z imenovalcem 6   in

lg 2, lg 12, lg 72, . . .   - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Preden se začnemo odločiti   težave z aritmetično napredovanjem, razmislite, kaj je numerično zaporedje, saj je aritmetična progresija poseben primer številčnega zaporedja.

Številčno zaporedje je številčni niz, katerega vsak element ima svojo serijsko številko. Elementi tega niza se imenujejo člani zaporedja. Zaporedna številka elementa zaporedja je označena z indeksom:

Prvi element zaporedja;

Peti element zaporedja;

  - "nth" element zaporedja, tj. čakalni element n.

Obstaja razmerje med vrednostjo zaporednega elementa in njegovo serijsko številko. Zato lahko zaporedje obravnavamo kot funkcijo, katere argument je zaporedna številka elementa zaporedja. Z drugimi besedami, lahko to rečemo zaporedje je funkcija naravnega argumenta:

Zaporedje je mogoče nastaviti na tri načine:

1 . Zaporedje je mogoče nastaviti s pomočjo tabele.   V tem primeru preprosto nastavimo vrednost vsakega člana zaporedja.

Nekdo se je na primer odločil, da se bo lotil osebnega upravljanja s časom in za začetek v enem tednu izračunal, koliko časa porabi za VK. Ko zapiše čas v tabelo, bo prejel zaporedje, sestavljeno iz sedmih elementov:

Prva vrstica tabele prikazuje dan v tednu, druga pa čas v minutah. Vidimo, da je nekje v ponedeljek nekdo porabil 125 minut na VKontakteju, torej v četrtek - 248 minut, v petek pa le 15.

2 . Zaporedje je mogoče določiti s formulo n -tega izraza.

V tem primeru je odvisnost vrednosti zaporednega elementa od njegovega števila izražena neposredno v obliki formule.

Na primer, če, potem

Da najdemo vrednost zaporednega elementa z dano številko, nadomestimo število elementa v formuli n-tega člana.

Enako storimo, če moramo najti vrednost funkcije, če je vrednost argumenta znana. Vrednost argumenta nadomestimo v enačbi funkcije:

Če npr. torej

Še enkrat ugotavljam, da je lahko v zaporedju v nasprotju s poljubno številsko funkcijo samo naravno število.

3   . Zaporedje je mogoče nastaviti s formulo, ki izraža odvisnost vrednosti člana zaporedja s številko n od vrednosti prejšnjih članov. V tem primeru ni dovolj, da vemo le številko člana zaporedja, da bi našli njegovo vrednost. Določiti moramo prvega člana ali prvih nekaj članov zaporedja.

Na primer, razmislite o zaporedju ,

Najdemo vrednosti članov zaporedja v zaporedjuod tretjega:

To pomeni, da se vsakič, ko najdemo vrednost n-ga člana zaporedja, vrnemo na prejšnji dve. Ta metoda določanja zaporedja se imenuje ponavljajoče se, iz latinske besede recurro   - Pridi nazaj.

Zdaj lahko določimo aritmetično napredovanje. Aritmetična progresija je preprost poseben primer številčnega zaporedja.

Aritmetična progresija   imenujemo numerično zaporedje, katerega član je, začenši od drugega, enak prejšnjemu, ki je dodan z istim številom.

Kliče se številka aritmetična razlika v progresiji. Razlika v aritmetični progresiji je lahko pozitivna, negativna ali enaka nič.

Če je naslov \u003d "(! LANG: d\u003e 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} narašča.

Na primer 2; 5; 8; enajst; ...

Če je potem vsak član aritmetične progresije manjši od prejšnjega in je progresija zmanjšuje.

Na primer 2; -1; -4; -7; ...

Če so potem vsi člani napredovanja enaki istemu številu in je napredovanje stacionarni.

Na primer 2; 2; 2; 2; ...

Glavna lastnost aritmetične progresije:

Poglejmo sliko.

To vidimo

, in hkrati

Če dodamo ti dve enakosti, dobimo:

.

Obe strani enakosti razdelite z 2:

Torej je vsak član aritmetične progresije, začenši od drugega, enak aritmetičnemu povprečju dveh sosednjih:

Še več, od takrat

, in hkrati

torej

, in zato

Vsak član aritmetične progresije, začenši z naslovom \u003d "(! LANG: k\u003e l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula izraza.

Vidimo, da so odnosi med člani aritmetičnega napredovanja zadovoljni:

in končno

Imamo   formula n. pojma.

POMEMBNO!    Vsak član aritmetične progresije se lahko izrazi z in. Poznavanje prvega izraza in razlike aritmetičnega napredovanja lahko najdete katerega koli od njegovih članov.

Vsota n članov aritmetične progresije.

V poljubni aritmetični progresiji so vsote članov, ki so enako oddaljene od skrajnosti, enake med seboj:

Razmislite o aritmetični progresiji, v kateri je n članov. Naj bo vsota n članov tega napredovanja enaka.

Člane napredovanja najprej razporedimo po naraščajočem vrstnem redu številk in nato po padajočem vrstnem redu:

Dodaj v parih:

Vsota v vsakem oklepaju je enaka, število parov je n.

Dobimo:

Torej, s pomočjo formul lahko najdemo vsoto n članov aritmetične progresije:

Razmislite reševanje aritmetičnih problemov progresije.

1 . Zaporedje je dano s formulo n-ega izraza: . Dokažite, da je to zaporedje aritmetična progresija.

Dokažimo, da je razlika med dvema sosednjima članoma zaporedja enako število.

Prejeli smo, da razlika dveh sosednjih članov zaporedja ni odvisna od njihovega števila in je stalnica. Zato je po definiciji to zaporedje aritmetična progresija.

2 . Aritmetična progresija je dana -31; -27; ...

a) Poiščite 31 članov napredovanja.

b) Ugotovite, ali je v to napredovanje vključeno število 41.

in)   To vidimo;

Za napredovanje pišemo formulo devetega izraza.

Na splošno

V našem primeru , torej

Ali pa je aritmetika nekakšno urejeno številčno zaporedje, katere lastnosti se preučujejo v šolskem predmetu algebre. Ta članek podrobno opisuje vprašanje, kako najti vsoto aritmetične progresije.

Kakšen je ta napredek?

Preden se lotimo obravnave vprašanja (kako najti vsoto aritmetične progresije), je vredno razumeti, o čem bo govora.

Vsako zaporedje resničnih števil, ki ga dobimo z seštevanjem (odštevanjem) določene vrednosti iz vsakega prejšnjega števila, se imenuje algebarska (aritmetična) progresija. Ta definicija v prevodu v matematični jezik ima obliko:

Tu je i zaporedna številka elementa serije a i. Tako lahko z eno samo začetno številko enostavno obnovite celotno serijo. Parameter d v formuli se imenuje razlika progresije.

Z lahkoto je razvidno, da za obravnavane nize števila velja naslednja enakost:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To pomeni, da bi poiskali vrednost n-ga elementa po vrstnem redu, bi morali razliko prvega elementa dodati 1 n-1-krat.

Kolikšen je seštevek aritmetične progresije: formula

Preden podate formulo za navedeno vsoto, je vredno razmisliti o preprostem posebnem primeru. Glede na napredovanje naravnih številk od 1 do 10, morate najti njihovo vsoto. Ker je v napredovanju malo izrazov (10), je možno težavo rešiti naprej, torej sešteti vse elemente po vrstnem redu.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vredno je razmisliti o eni zanimivi stvari: ker se vsak izraz od naslednjega razlikuje po isti vrednosti d \u003d 1, potem seštevanje prvega z deseto, drugega z devetim in podobno bo dalo enak rezultat. Res:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kot vidite, je teh 5 vsot le 5, torej natančno dvakrat manj od števila elementov v seriji. Ko pomnožite število vsot (5) z rezultatom vsake vsote (11), boste prišli do rezultata, dobljenega v prvem primeru.

Če te argumente posplošimo, lahko zapišemo naslednji izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Iz tega izraza je razvidno, da ni treba seštevati vseh elementov v vrsti, dovolj je poznati vrednost prvega a 1 in zadnji a n, pa tudi skupno število izrazov n.

Verjame se, da je Gauss prvič pred to enakostjo prišel do ideje, ko je iskal rešitev problema, ki ga je postavil njegov šolski učitelj: sešteti 100 prvih celih števil.

Vsota elementov od m do n: formula

Formula, navedena v prejšnjem odstavku, daje odgovor na vprašanje, kako najti vsoto aritmetične progresije (prvi elementi), pogosto pa je v težavah treba na sredino napredovanja sešteti številna števila. Kako narediti?

Odgovor na to vprašanje je najlažji z naslednjim primerom: najti je treba vsoto članov od mth do nth. Če želite rešiti problem, bi morali dati navedeni odsek od m do n progresije v obliki novega številčnega niza. V tej predstavitvi bo mth izraz a m prvi, n pa pod številko n- (m-1). V tem primeru s standardno formulo za vsoto dobimo naslednji izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primer uporabe formul

Če veste, kako najti vsoto aritmetične progresije, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.

Številčno zaporedje je podano spodaj, poiščite vsoto njegovih članov, začenši s petim in končajte z 12.

Ta števila kažejo, da je razlika d 3. Z uporabo izraza za n-ti element lahko najdemo vrednosti 5. in 12. izraza progresije. Izkazalo se je:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Če poznamo vrednosti števil na koncu obravnavane algebrske progresije in tudi vemo, katera števila zasedajo zaporedje, lahko uporabimo formulo za vsoto, pridobljeno v prejšnjem odstavku. Izkazalo se bo:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Omeniti velja, da bi to vrednost lahko dobili drugače: najprej poiščite vsoto prvih 12 elementov s standardno formulo, nato izračunajte vsoto prvih 4 elementov po isti formuli, nato pa od prve vsote odštejte drugi.

I. V. Yakovlev | Matematični materiali | MathUs.ru

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je posebna vrsta zaporedja. Zato moramo pred določitvijo aritmetične (in nato geometrijske) progresije na kratko razpravljati o pomembnem pojmu številčnega zaporedja.

Zaporedje

Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere so nekatere številke prikazane druga za drugo. Recimo 2; 7; trinajst; 1; 6; 0; 3; ::: Ta niz številk je samo primer zaporedja.

Opredelitev Številsko zaporedje je niz števil, v katerem se lahko vsaki številki dodeli edinstveno število (to je, da se ujema z enim pozitivnim celim številom) 1. Število n se imenuje n-ti član zaporedja.

Torej, v zgornjem primeru ima prvo število številko 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo z a1; število pet ima število 6, je peti član zaporedja, ki ga lahko označimo z a5. Na splošno je n-ti član zaporedja označen z (ali bn, cn itd.).

Zelo priročno je stanje, ko lahko nth izraz zaporedja definiramo z neko formulo. Na primer, formula an \u003d 2n 3 določa zaporedje: 1; 1; 3; 5; 7; ::: Formula an \u003d (1) n določa zaporedje: 1; 1; 1; 1; :::

Ni vsak niz števil zaporedje. Torej, segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, da bi jih lahko preštevilčili. Tudi množica R vseh resničnih števil ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana med matematično analizo.

Aritmetična progresija: osnovne definicije

Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.

Opredelitev Aritmetična progresija je zaporedje, katerega član (od drugega) je enak vsoti prejšnjega člana in nekemu fiksnemu številu (imenovanem razlika aritmetične progresije).

Na primer zaporedje 2; 5; 8; enajst; ::: je aritmetična progresija s prvim izrazom 2 in razliko 3. zaporedje 7; 2; 3; 8; ::: je aritmetična progresija s prvim izrazom 7 in razliko 5. zaporedje 3; 3; 3; ::: je aritmetična progresija z razliko, ki je enaka nič.

Enakovredna definicija: zaporedje a imenujemo aritmetična progresija, če je razlika a + 1 an konstantna vrednost (neodvisno od n).

Aritmetični progresiji se reče povečanje, če je razlika pozitivna, in zmanjšanju, če je razlika negativna.

1 In tu je natančnejša opredelitev: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil. Na primer, zaporedje resničnih števil je funkcija f: N! R.

Privzeto se štejejo za neskončne, torej vsebujejo neskončno število števil. Toda nihče ne moti, da bi razmislil o končnih zaporedjih; v resnici lahko vsak končni niz številk imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljeno iz petih številk.

Formula devetega člana aritmetične progresije

Zlahka je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve številki: prvi izraz in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako naj ob prvem izrazu in razliki najti poljuben izraz aritmetične progresije?

Za deveti član aritmetične progresije ni težko dobiti želene formule. Naj

Naloga 1. V aritmetični progresiji 2; 5; 8; enajst; ::: poiščite formulo za n-ti izraz in izračunajte stoti pojem.

Odločba. Po formuli (1) imamo:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Lastnost in znak aritmetične progresije

Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji a za katerokoli

Z drugimi besedami, vsak član aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.

kot zahteva.

Na splošno velja, za aritmetično napredovanje enakost

a n \u003d a n k + a n + k

za kateri koli n\u003e 2 in katero koli pozitivno celo število k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izkaže se, da formula (2) ni samo nujen, ampak tudi zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.

Znak aritmetične progresije. Če velja enakost (2) za vse n\u003e 2, potem je zaporedje aritmetična progresija.

Dokazi. Formulo (2) ponovno napišemo na naslednji način:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

To kaže, da razlika an + 1 an ni odvisna od n in to samo pomeni, da je zaporedje a aritmetična progresija.

Lastnost in znak aritmetičnega napredovanja je mogoče oblikovati kot eno samo izjavo; za udobje bomo to storili za tri številke (ravno to se dogaja pri nalogah).

Karakterizacija aritmetične progresije. Tri številke a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo, če je 2b \u003d a + c.

Problem 2. (Moskovska državna univerza, ekonomska fakulteta, 2007) Tri številke 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično napredovanje. Poišči x in označi razliko tega napredovanja.

Odločba. Po lastnostih aritmetične progresije imamo:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Če je x \u003d 1, dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x \u003d 5, potem dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ni dober.

Odgovor: x \u003d 1, razlika je 6.

Vsota prvih n članov aritmetične progresije

Legenda pravi, da je učiteljica nekoč otrokom rekla, naj najdejo vsoto številk od 1 do 100, in se tiho usedla, da bi brala časopis. Vendar je v manj kot nekaj minutah en fant rekel, da je težavo rešil. Bil je to 9-letni Karl Friedrich Gauss, kasneje eden največjih matematikov v zgodovini.

Ideja malega Gaussa je bila ta. Naj bo

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Ta znesek zapišemo v obratnem vrstnem redu:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

in seštejte dve formuli:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Vsak izraz v oklepaju je enak 101, vsi takšni izrazi pa 100. Zato je dr.

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

To idejo uporabljamo za izpeljavo formule vsote

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

Uporabna sprememba formule (3) dobimo tako, da vanj nadomestimo formulo n-tega izraza an \u003d a1 + (n 1) d:

Problem 3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.

Odločba. Trimestna števila, ki so večkratna od 13, tvorijo aritmetično napredovanje s prvim izrazom 104 in razliko 13; Deseti izraz tega napredovanja ima obliko:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Ugotovimo, koliko članov vsebuje naše napredovanje. Če želite to narediti, rešimo neenakost:

6,999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

Torej, v našem napredovanju 69 članov. Po formuli (4) najdemo želeno količino:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2