Matematika je kajljudje nadzorujejo naravo in sebe.

Sovjetski matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijsko napredovanje.

Poleg nalog o aritmetičnih progresijah so pri sprejemnih izpitih pri matematiki pogoste tudi težave, povezane s pojmom geometrijske progresije. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate poznati lastnosti geometrijskih progresij in imeti dobre veščine njihove uporabe.

Ta članek je posvečen predstavitvi osnovnih lastnosti geometrijske progresije. Tukaj so tudi primeri reševanja tipičnih problemov., izposojeno iz nalog sprejemnih izpitov pri matematiki.

Najprej si oglejmo osnovne lastnosti geometrijske progresije in se spomnimo najpomembnejših formul in trditev, povezanih s tem pojmom.

Opredelitev.Številsko zaporedje se imenuje geometrijsko napredovanje, če je vsako število, začenši z drugim, enako prejšnjemu, pomnoženo z istim številom. Število imenujemo imenovalec geometrijskega napredovanja.

Za geometrijsko napredovanjeformule veljajo

, (1)

Kje . Formula (1) se imenuje formula splošnega člena geometrijske progresije, formula (2) pa predstavlja glavno lastnost geometrijske progresije: vsak člen progresije sovpada z geometrično sredino sosednjih členov in .

Opomba, da se prav zaradi te lastnosti zadevna progresija imenuje "geometrična".

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

, (3)

Za izračun zneska prvi člani geometrijskega napredovanjavelja formula

Če označimo , potem

Kje . Ker je , je formula (6) posplošitev formule (5).

V primeru, ko in geometrijsko napredovanjese neskončno zmanjšuje. Za izračun zneskavseh členov neskončno padajoče geometrijske progresije se uporablja formula

. (7)

Na primer, z uporabo formule (7) lahko pokažemo, Kaj

Kje . Te enakosti dobimo iz formule (7) pod pogojem, da , (prva enakost) in , (druga enakost).

Izrek.Če, potem

Dokaz. Če, potem

Izrek je dokazan.

Preidimo na primere reševanja problemov na temo "Geometrijsko napredovanje".

Primer 1. Podano: , in . Najti .

rešitev.Če uporabimo formulo (5), potem

Odgovor: .

Primer 2. Naj bo. Najti .

rešitev. Ker in , uporabimo formule (5), (6) in dobimo sistem enačb

Če drugo enačbo sistema (9) delimo s prvo, potem ali . Iz tega izhaja, da . Razmislimo o dveh primerih.

1. Če, potem iz prve enačbe sistema (9) imamo.

2. Če , potem .

Primer 3. Naj , in . Najti .

rešitev. Iz formule (2) sledi oz. Od , torej oz.

Po stanju. Vendar pa zato. Ker in potem imamo tukaj sistem enačb

Če drugo enačbo sistema delimo s prvo, potem ali .

Ker ima enačba edinstven primeren koren. V tem primeru izhaja iz prve enačbe sistema.

Ob upoštevanju formule (7) dobimo.

Odgovor: .

Primer 4. Podano: in . Najti .

rešitev. Od takrat.

Od , torej oz

Po formuli (2) imamo . Pri tem iz enakosti (10) dobimo oz.

Vendar po pogoju torej.

Primer 5. Znano je, da. Najti .

rešitev. Po izreku imamo dve enakosti

Od , torej oz. Ker torej.

Odgovor: .

Primer 6. Podano: in . Najti .

rešitev. Ob upoštevanju formule (5) dobimo

Od takrat. Od , in , potem .

Primer 7. Naj bo. Najti .

rešitev. Po formuli (1) lahko zapišemo

Zato imamo oz. Znano je, da in , torej in .

Odgovor: .

Primer 8. Poiščite imenovalec neskončne padajoče geometrijske progresije, če

In .

rešitev. Iz formule (7) sledi in . Od tu in iz pogojev problema dobimo sistem enačb

Če je prva enačba sistema kvadrirana, in nato dobljeno enačbo delite z drugo enačbo, potem dobimo

ali .

Odgovor: .

Primer 9. Poiščite vse vrednosti, za katere je zaporedje , , geometrijsko napredovanje.

rešitev. Naj , in . Po formuli (2), ki določa glavno lastnost geometrijske progresije, lahko zapišemo ali .

Od tu dobimo kvadratno enačbo, katerih korenine so In .

Preverimo: če, potem in ; če , potem , in .

V prvem primeru imamo in , v drugem pa – in .

Odgovor: , .

Primer 10.Reši enačbo

, (11)

kje in .

rešitev. Leva stran enačba (11) je vsota neskončne padajoče geometrijske progresije, v kateri in , ob upoštevanju: in .

Iz formule (7) sledi, Kaj . V zvezi s tem ima enačba (11) obliko oz . Primeren koren kvadratna enačba je

Odgovor: .

Primer 11. p zaporedje pozitivnih številtvori aritmetično progresijo, A – geometrijsko napredovanje, kaj ima to opraviti z . Najti .

rešitev. Ker aritmetično zaporedje, To (glavna lastnost aritmetične progresije). Zaradi, potem ali . To pomeni, da ima geometrijsko napredovanje obliko. Po formuli (2), potem to zapišemo.

Od in , potem . V tem primeru izraz dobi obliko oz. Po pogoju, torej iz enačbedobimo edina odločitev obravnavani problem, tj. .

Odgovor: .

Primer 12. Izračunajte vsoto

. (12)

rešitev. Pomnožimo obe strani enakosti (12) s 5 in dobimo

Če od nastalega izraza odštejemo (12)., To

ali .

Za izračun nadomestimo vrednosti v formulo (7) in dobimo . Od takrat.

Odgovor: .

Tukaj podani primeri reševanja nalog bodo kandidatom koristili pri pripravah na sprejemne izpite. Za globlji študij metod reševanja problemov, povezana z geometrijsko progresijo, je lahko uporabljen učni pripomočki s seznama priporočene literature.

1. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni oddelki šolski kurikulum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Celoten tečaj elementarna matematika v nalogah in vajah. 2. knjiga: Številska zaporedja in napredovanja. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate še vprašanja?

Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Razmislimo o določeni seriji.

7 28 112 448 1792...

Popolnoma jasno je, da je vrednost katerega koli od njegovih elementov natanko štirikrat večja od prejšnjega. pomeni, ta serija je napredovanje.

Geometrijsko napredovanje je neskončno zaporedje števil. glavna značilnost kar pomeni, da je naslednje število pridobljeno iz prejšnjega z množenjem z določenim številom. To je izraženo z naslednjo formulo.

a z +1 =a z ·q, kjer je z številka izbranega elementa.

V skladu s tem je z ∈ N.

Obdobje, ko se v šoli preučuje geometrijsko napredovanje, je 9. razred. Primeri vam bodo pomagali razumeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na podlagi te formule je imenovalec napredovanja mogoče najti na naslednji način:

Niti q niti b z ne moreta biti nič. Prav tako vsak od elementov progresije ne sme biti enak nič.

V skladu s tem, če želite izvedeti naslednjo številko v nizu, morate zadnjo pomnožiti s q.

Če želite nastaviti to napredovanje, morate določiti njegov prvi element in imenovalec. Po tem je mogoče najti katerega koli od naslednjih členov in njihovo vsoto.

Sorte

Glede na q in a 1 je to napredovanje razdeljeno na več vrst:

• Če sta tako a 1 kot q večja od ena, potem tako zaporedje narašča z vsakim naslednji element geometrijsko napredovanje. Primer tega je predstavljen spodaj.

Primer: a 1 =3, q=2 - oba parametra sta večja od ena.

Potem lahko zaporedje številk zapišemo takole:

3 6 12 24 48 ...

• Če |q| manjša od ena, kar pomeni, da je množenje z njo enakovredno deljenju, potem je progresija s podobnimi pogoji padajoča geometrijska progresija. Primer tega je predstavljen spodaj.

Primer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je večji od ena, q je manjši.

Potem lahko zaporedje številk zapišemo takole:

6 2 2/3 ... - vsak element je 3-krat večji od elementa, ki mu sledi.

• Izmenično znamenje. Če q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra sta manjša od nič.

Potem lahko zaporedje številk zapišemo takole:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Obstaja veliko formul za priročno uporabo geometrijskih progresij:

• Z-term formula. Omogoča izračun elementa pod določeno številko brez izračuna prejšnjih številk.

primer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je prešteti četrti element napredovanja.

rešitev:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Vsota prvih elementov, katerih število je enako z. Omogoča izračun vsote vseh elementov zaporedja doa zvključno.

Ker (1-q) je v imenovalcu, potem (1 - q)≠ 0, zato q ni enak 1.

Opomba: če je q=1, bi bila progresija niz neskončno ponavljajočih se števil.

Vsota geometrijske progresije, primeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S5.

rešitev:S 5 = 22 - izračun po formuli.

• Znesek, če |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

primer:a 1 = 2 , q= 0,5. Poiščite znesek.

rešitev:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Nekatere lastnosti:

• Značilna lastnost. Če naslednji pogoj deluje za katero koliz, potem je podana številska serija geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Prav tako se kvadrat poljubnega števila v geometrijskem napredovanju najde tako, da seštejeta kvadrata poljubnih dveh drugih števil v danem nizu, če sta enako oddaljeni od tega elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kjet- razdalja med temi številkami.

• Elementirazlikujejo v qenkrat.
• Logaritmi elementov progresije prav tako tvorijo progresijo, vendar aritmetično, to je, da je vsak od njih večji od prejšnjega za določeno število.

Primeri nekaterih klasičnih problemov

Da bi bolje razumeli, kaj je geometrijsko napredovanje, lahko pomagajo primeri z rešitvami za 9. razred.

• Pogoji:a 1 = 3, a 3 = 48. Poiščiq.

Rešitev: vsak naslednji element je večji od prejšnjega vq enkrat.Nekatere elemente je treba izraziti z drugimi z imenovalcem.

toreja 3 = q 2 · a 1

Pri zamenjaviq= 4

• Pogoji:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6.

rešitev:Če želite to narediti, samo poiščite q, prvi element in ga nadomestite s formulo.

a 3 = q· a 2 , torej,q= 2

a 2 = q · 1,Zato a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Poiščite četrti element napredovanja.

Rešitev: za to je dovolj, da četrti element izrazimo skozi prvi in ​​skozi imenovalec.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primer aplikacije:

• Stranka banke je položila depozit v višini 10.000 rubljev, pod pogoji katerega se stranki vsako leto doda 6% zneska glavnice. Koliko denarja bo na računu po 4 letih?

Rešitev: začetni znesek je 10 tisoč rubljev. To pomeni, da bo leto po naložbi na računu znesek 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

V skladu s tem bo znesek na računu po naslednjem letu izražen na naslednji način:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

To pomeni, da se vsako leto znesek poveča za 1,06-krat. To pomeni, da je za ugotovitev zneska sredstev na računu po 4 letih dovolj najti četrti element progresije, ki je podan s prvim elementom, ki je enak 10 tisoč in imenovalcem, ki je enak 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primeri problemov, ki vključujejo računanje vsot:

Geometrična progresija se uporablja pri različnih problemih. Primer za iskanje vsote je lahko naveden na naslednji način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rešitev: vsi potrebni podatki za izračun so znani, le vstaviti jih je treba v formulo.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj vsoto prvih šestih elementov.

rešitev:

V geom. napredovanja je vsak naslednji element q-krat večji od prejšnjega, to pomeni, da za izračun vsote morate poznati elementa 1 in imenovalecq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobno morate najtia 1 , vedoča 2 inq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

>>Matematika: Geometrijsko napredovanje

Za udobje bralca je ta odstavek zgrajen natančno po istem načrtu, kot smo mu sledili v prejšnjem odstavku.

1. Osnovni pojmi.

Opredelitev.Številsko zaporedje, katerega vsi členi so različni od 0 in katerega vsak člen, začenši z drugim, dobimo iz prejšnjega člena tako, da ga pomnožimo z istim številom, imenujemo geometrijsko napredovanje. V tem primeru se število 5 imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Geometrična progresija je torej numerično zaporedje (b n), ki ga ponavljajoče določajo razmerja

Ali je mogoče pogledati številsko zaporedje in ugotoviti, ali gre za geometrijsko napredovanje? Lahko. Če ste prepričani, da je razmerje med katerim koli članom zaporedja in prejšnjim članom konstantno, potem imate geometrijsko napredovanje.
Primer 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Primer 2.

To je geometrijsko napredovanje, ki ima
Primer 3.

To je geometrijsko napredovanje, ki ima
Primer 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

To je geometrijska progresija, v kateri je b 1 - 8, q = 1.

Upoštevajte, da je tudi to zaporedje aritmetična progresija (glej primer 3 iz § 15).

Primer 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

To je geometrijska progresija, v kateri je b 1 = 2, q = -1.

Očitno je geometrijsko napredovanje naraščajoče zaporedje, če je b 1 > 0, q > 1 (glej primer 1), in padajoče zaporedje, če je b 1 > 0, 0.< q < 1 (см. пример 2).

Da bi označili, da je zaporedje (b n) geometrijsko napredovanje, je včasih primeren naslednji zapis:

Ikona nadomešča frazo "geometrijsko napredovanje".
Upoštevajte eno zanimivo in hkrati precej očitno lastnost geometrijskega napredovanja:
Če zaporedje je geometrijska progresija, potem je zaporedje kvadratov, tj. je geometrijsko napredovanje.
V drugi geometrijski progresiji je prvi člen enak in enak q 2.
Če v geometrijski progresiji zavržemo vse člene, ki sledijo b n , dobimo končno geometrijsko progresijo
V nadaljnjih odstavkih tega razdelka bomo obravnavali najpomembnejše lastnosti geometrijske progresije.

2. Formula za n-ti člen geometrijske progresije.

Razmislite o geometrijski progresiji imenovalec q. Imamo:

Ni težko uganiti, da enakost velja za vsako število n

To je formula za n-ti člen geometrijske progresije.

Komentiraj.

Če ste prebrali pomembno pripombo iz prejšnjega odstavka in jo razumeli, poskusite formulo (1) dokazati z metodo matematične indukcije, tako kot je bilo to storjeno za formulo za n-ti člen aritmetične progresije.

Prepišimo formulo za n-ti člen geometrijske progresije

in uvedemo zapis: Dobimo y = mq 2 ali, podrobneje,
Argument x je vsebovan v eksponentu, zato se ta funkcija imenuje eksponentna funkcija. To pomeni, da lahko geometrijsko progresijo obravnavamo kot eksponentno funkcijo, definirano na množici N naravnih števil. Na sl. 96a prikazuje graf funkcije sl. 966 - funkcijski graf V obeh primerih imamo izolirane točke (z abscisami x = 1, x = 2, x = 3 itd.), ki ležijo na določeni krivulji (obe sliki prikazujeta isto krivuljo, le da sta različno locirani in upodobljeni v različnih merilih). Ta krivulja se imenuje eksponentna krivulja. Več podrobnosti o eksponentni funkciji in njenem grafu bomo obravnavali pri predmetu algebra za 11. razred.

Vrnimo se k primerom 1-5 iz prejšnjega odstavka.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . To je geometrijska progresija, za katero je b 1 = 1, q = 3. Ustvarimo formulo za n-ti člen
2) To je geometrijska progresija, za katero ustvarimo formulo za n-ti člen

To je geometrijsko napredovanje, ki ima Ustvarimo formulo za n-ti člen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . To je geometrijska progresija, za katero je b 1 = 8, q = 1. Ustvarimo formulo za n-ti člen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... To je geometrijska progresija, v kateri je b 1 = 2, q = -1. Ustvarimo formulo za n-ti člen

Primer 6.

Glede na geometrijsko progresijo

V vseh primerih rešitev temelji na formuli n-tega člena geometrijske progresije

a) Če v formulo za n-ti člen geometrijske progresije vnesemo n = 6, dobimo

b) Imamo

Ker je 512 = 2 9, dobimo n - 1 = 9, n = 10.

d) Imamo

Primer 7.

Razlika med sedmim in petim členom geometrijske progresije je 48, vsota petega in šestega člena progresije je prav tako 48. Poiščite dvanajsti člen te progresije.

Prva stopnja. Izdelava matematičnega modela.

Pogoje problema lahko na kratko zapišemo takole:

Z uporabo formule za n-ti člen geometrijske progresije dobimo:
Potem lahko drugi pogoj problema (b 7 - b 5 = 48) zapišemo kot

Tretji pogoj problema (b 5 + b 6 = 48) lahko zapišemo kot

Kot rezultat dobimo sistem dveh enačb z dvema spremenljivkama b 1 in q:

ki v kombinaciji z zgoraj napisanim pogojem 1) predstavlja matematični model problema.

Druga faza.

Delo s prevedenim modelom. Če izenačimo levi strani obeh enačb sistema, dobimo:

(obe strani enačbe smo delili z ničelnim izrazom b 1 q 4).

Iz enačbe q 2 - q - 2 = 0 najdemo q 1 = 2, q 2 = -1. Če nadomestimo vrednost q = 2 v drugo enačbo sistema, dobimo
Če zamenjamo vrednost q = -1 v drugo enačbo sistema, dobimo b 1 1 0 = 48; ta enačba nima rešitev.

Torej, b 1 =1, q = 2 - ta par je rešitev sestavljenega sistema enačb.

Zdaj lahko zapišemo geometrijsko napredovanje, o katerem govorimo o v nalogi: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tretja stopnja.

Odgovor na problemsko vprašanje. Izračunati morate b 12. Imamo

Odgovor: b 12 = 2048.

3. Formula za vsoto členov končne geometrijske progresije.

Naj bo podana končna geometrijska progresija

Označimo s S n vsoto njegovih členov, tj.

Izpeljimo formulo za iskanje tega zneska.

Začnimo z najpreprostejšim primerom, ko je q = 1. Potem je geometrijska progresija b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn sestavljena iz n števil, ki so enaka b 1 , tj. napredovanje je videti kot b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Vsota teh števil je nb 1.

Naj bo zdaj q = 1. Za iskanje S n uporabimo umetno tehniko: izvedemo nekaj transformacij izraza S n q. Imamo:

Pri izvajanju transformacij smo najprej uporabili definicijo geometrijske progresije, po kateri (glej tretjo vrstico sklepanja); drugič so seštevali in odštevali, zaradi česar se pomen izraza seveda ni spremenil (glej četrto vrstico sklepanja); tretjič, uporabili smo formulo za n-ti člen geometrijske progresije:

Iz formule (1) najdemo:

To je formula za vsoto n členov geometrijske progresije (za primer, ko je q = 1).

Primer 8.

Glede na končno geometrijsko progresijo

a) vsota pogojev napredovanja; b) vsoto kvadratov njegovih členov.

b) Zgoraj (glej str. 132) smo že ugotovili, da če vse člene geometrijske progresije kvadriramo, dobimo geometrijsko progresijo s prvim členom b 2 in imenovalcem q 2. Nato bo vsota šestih členov novega napredovanja izračunana z

Primer 9.

Poiščite 8. člen geometrijskega napredovanja, za katerega

Pravzaprav smo dokazali naslednji izrek.

Numerično zaporedje je geometrijsko napredovanje, če in samo če je kvadrat vsakega od njegovih členov, razen prvega izreka (in zadnjega, v primeru končnega zaporedja), enak zmnožku predhodnega in naslednjih členov (a značilna lastnost geometrijske progresije).

Geometrijsko napredovanje v matematiki nič manj pomembna kot aritmetika. Geometrijska progresija je zaporedje števil b1, b2,..., b[n], katerega vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s stalnim številom. Ta številka, ki označuje tudi stopnjo rasti ali zmanjšanja napredovanja, se imenuje imenovalec geometrijske progresije in označujejo

Za dokončana naloga geometrijskega napredovanja je treba poleg imenovalca poznati oziroma določiti njegov prvi člen. Za pozitivna vrednost progresija imenovalca je monotono zaporedje in če je to zaporedje števil monotono padajoče in če monotono naraščajoče. Primera, ko je imenovalec enak ena, v praksi ne upoštevamo, saj imamo zaporedje enakih števil, njihovo seštevanje pa praktično ni zanimivo.

Splošni izraz geometrijske progresije izračunano po formuli

Vsota prvih n členov geometrijske progresije določeno s formulo

Oglejmo si rešitve klasičnih problemov geometrijske progresije. Začnimo z najpreprostejšimi za razumevanje.

Primer 1. Prvi člen geometrijske progresije je 27, njen imenovalec pa 1/3. Poiščite prvih šest členov geometrijskega napredovanja.

Rešitev: Zapišimo pogoj problema v obrazec

Za izračun uporabljamo formulo za n-ti člen geometrijske progresije

Na podlagi tega najdemo neznane člene napredovanja

Kot lahko vidite, izračunavanje pogojev geometrijske progresije ni težko. Samo napredovanje bo izgledalo takole

Primer 2. Podani so prvi trije členi geometrijske progresije: 6; -12; 24. Poišči imenovalec in njegov sedmi člen.

Rešitev: Izračunamo imenovalec geometrične progresije na podlagi njene definicije

Dobili smo izmenično geometrijsko progresijo, katere imenovalec je enak -2. Sedmi člen se izračuna po formuli

To reši problem.

Primer 3. Geometrična progresija je podana z dvema členoma . Poiščite deseti člen napredovanja.

rešitev:

Zapišimo dane vrednosti s formulami

Po pravilih bi bilo treba najti imenovalec in nato iskati želeno vrednost, a že deseti mandat imamo

Enako formulo lahko dobimo na podlagi preprostih manipulacij z vhodnimi podatki. Šesti člen serije razdelite na drugega, kot rezultat dobimo

Če dobljeno vrednost pomnožimo s šestim členom, dobimo desetega

Tako za takšne naloge z uporabo preprostih transformacij v hiter način lahko najdete pravo rešitev.

Primer 4. Geometrijska progresija je podana s ponavljajočimi se formulami

Poiščite imenovalec geometrijske progresije in vsoto prvih šestih členov.

rešitev:

Zapišimo podane podatke v obliki sistema enačb

Izrazite imenovalec tako, da drugo enačbo delite s prvo

Poiščimo prvi člen napredovanja iz prve enačbe

Izračunajmo naslednjih pet členov, da bi našli vsoto geometrijske progresije

Navodila

10, 30, 90, 270...

Najti morate imenovalec geometrijskega napredovanja.
rešitev:

Možnost 1. Vzemimo poljuben člen progresije (na primer 90) in ga delimo s prejšnjim (30): 90/30=3.

Če je znana vsota več členov geometrijskega napredovanja ali vsota vseh členov padajočega geometrijskega napredovanja, potem za iskanje imenovalca napredovanja uporabite ustrezne formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kjer je Sn vsota prvih n členov geometrijske progresije in
S = b1/(1-q), kjer je S vsota neskončno padajoče geometrijske progresije (vsota vseh členov progresije z imenovalcem, manjšim od ena).
Primer.

Prvi člen padajoče geometrijske progresije je enak ena, vsota vseh njegovih členov pa je enaka dve.

Treba je določiti imenovalec tega napredovanja.
rešitev:

V formulo nadomestite podatke iz naloge. Izkazalo se bo:
2=1/(1-q), od koder je – q=1/2.

Progresija je zaporedje številk. V geometrijskem napredovanju dobimo vsak naslednji člen tako, da prejšnjega pomnožimo z določenim številom q, ki ga imenujemo imenovalec napredovanja.

Navodila

Če sta znana dva sosednja geometrijska člena b(n+1) in b(n), morate za pridobitev imenovalca število deliti z večjim s tistim pred njim: q=b(n+1)/b (n). To izhaja iz definicije progresije in njenega imenovalca. Pomemben pogoj je neenakost prvega člena in imenovalec napredovanja na nič, sicer velja za nedoločeno.

Tako so med členi progresije vzpostavljene naslednje zveze: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Z uporabo formule b(n)=b1 q^(n-1) je mogoče izračunati kateri koli člen geometrijske progresije, v katerem sta znana imenovalec q in člen b1. Prav tako je vsaka progresija po modulu enaka povprečju svojih sosednjih členov: |b(n)|=√, kjer je progresija dobila svoj .

Analog geometrijskega napredovanja je najpreprostejši eksponentna funkcija y=a^x, kjer je x eksponent, a je določeno število. V tem primeru imenovalec napredovanja sovpada s prvim izrazom in enako številu a. Vrednost funkcije y lahko razumemo kot n-ti izraz napredovanje, če je argument x vzet naravno število n (števec).

Druga pomembna lastnost geometrijske progresije, ki je dala geometrijsko progresijo