Une moyenne arithmétique simple est un terme moyen, pour déterminer quel volume total d'un élément donné dans l'agrégat les données sont également réparties entre toutes les unités de la population donnée. Ainsi, la production annuelle moyenne par employé est la quantité de production qui tomberait sur chaque employé si le volume total de la production était réparti de manière égale entre tous les employés de l'organisation. La valeur simple moyenne arithmétique est calculée par la formule :

Moyenne arithmétique simple- Egal au rapport de la somme des valeurs individuelles d'une caractéristique au nombre de caractéristiques dans l'agrégat

Exemple 1. Une équipe de 6 travailleurs reçoit 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mille roubles par mois.

Trouvez le salaire moyen Solution: (3 + 3,2 + 3,3 + 3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mille roubles.

Moyenne arithmétique pondérée

Si le volume de l'ensemble de données est important et représente une série de distribution, une moyenne arithmétique pondérée est calculée. C'est ainsi que le prix moyen pondéré par unité de production est déterminé : le coût total de production (la somme des produits de sa quantité par le prix d'une unité de production) est divisé par le montant total de la production.

Nous le représentons sous la forme de la formule suivante :

Moyenne arithmétique pondérée- est égal au rapport (la somme des produits de la valeur d'une caractéristique par la fréquence de répétition d'une caractéristique donnée) à (la somme des fréquences de toutes les caractéristiques). Il est utilisé lorsque les variantes de la population étudiée se produisent un nombre inégal de fois.

Exemple 2. Trouver le salaire mensuel moyen d'un ouvrier d'atelier

Le salaire moyen peut être obtenu en divisant montant total salaire pour nombre total ouvriers:

Réponse : 3,35 mille roubles.

Moyenne arithmétique pour les séries d'intervalles

Lors du calcul de la moyenne arithmétique pour une série de variation d'intervalle, déterminez d'abord la moyenne pour chaque intervalle, comme la demi-somme des limites supérieure et inférieure, puis - la moyenne de la série entière. Dans le cas d'intervalles ouverts, la valeur de l'intervalle inférieur ou supérieur est déterminée par la taille des intervalles qui leur sont adjacents.

Les moyennes calculées à partir des séries d'intervalles sont approximatives.

Exemple 3... Déterminer l'âge moyen des étudiants du soir.

Les moyennes calculées à partir des séries d'intervalles sont approximatives. Le degré de leur approximation dépend de la mesure dans laquelle la distribution réelle des unités de population dans l'intervalle tend vers l'uniformité.

Lors du calcul des moyennes, non seulement les valeurs absolues, mais aussi les valeurs relatives (fréquence) peuvent être utilisées comme poids.

Chaque personne dans monde moderne Lorsqu'il envisage de contracter un emprunt ou de faire des stocks de légumes pour l'hiver, il rencontre périodiquement un concept tel que "valeur moyenne". Voyons ce que c'est, quels types et classes existent et pourquoi il est utilisé en statistique et dans d'autres disciplines.

Moyen - qu'est-ce que c'est ?

Un nom similaire (SV) est une caractéristique généralisée d'un ensemble de phénomènes homogènes, déterminé par n'importe quelle caractéristique variable quantitative.

Cependant, les personnes qui sont loin de ces définitions absconses comprennent ce concept comme une quantité moyenne de quelque chose. Par exemple, avant de contracter un prêt, un employé de banque demandera certainement client potentiel fournir des données sur le revenu moyen pour l'année, c'est-à-dire le montant total d'argent qu'une personne gagne. Il est calculé en additionnant les gains de l'année entière et en divisant par le nombre de mois. Ainsi, la banque pourra déterminer si son client sera en mesure de rembourser la dette à temps.

Pourquoi est-il utilisé ?

En règle générale, les moyennes sont largement utilisées pour donner une description sommaire de certains phénomènes sociaux qui sont de nature de masse. Ils peuvent également être utilisés pour des calculs à plus petite échelle, comme dans le cas d'un prêt dans l'exemple ci-dessus.

Le plus souvent, cependant, les moyennes sont encore utilisées à des fins mondiales. Un exemple de l'un d'entre eux est le calcul de la quantité d'électricité consommée par les citoyens au cours d'un mois civil. Sur la base des données obtenues, à l'avenir, des normes maximales sont établies pour les catégories de la population qui bénéficient des avantages de l'État.

De plus, à l'aide de valeurs moyennes, la durée de vie de la garantie de certains appareils ménagers, voitures, bâtiments, etc. Sur la base des données ainsi collectées, des normes modernes de travail et de repos ont été développées.

En fait, tout phénomène de la vie moderne de nature massive est d'une manière ou d'une autre nécessairement associé au concept considéré.

Applications

Ce phénomène est largement utilisé dans presque toutes les sciences exactes, en particulier celles de nature expérimentale.

Trouver une moyenne est essentiel en médecine, en ingénierie, en cuisine, en économie, en politique, etc.

Sur la base des données obtenues à partir de telles généralisations, des médicaments thérapeutiques, des programmes de formation sont développés et un minimum coût de la vie et les salaires, établir des programmes de formation, produire des meubles, des vêtements et des chaussures, des articles d'hygiène et bien plus encore.

En mathématiques, ce terme est appelé "valeur moyenne" et est utilisé pour mettre en œuvre des décisions divers exemples et des tâches. Les plus simples sont l'addition et la soustraction avec des fractions régulières. Après tout, comme vous le savez, pour résoudre exemples similaires il faut amener les deux fractions à dénominateur commun.

Aussi, chez la reine des sciences exactes, le terme « valeur moyenne Variable aléatoire". La plupart la connaissent mieux comme « l'espérance mathématique », plus souvent considérée dans la théorie des probabilités. Il convient de noter qu'un phénomène similaire est également appliqué lors de la réalisation de calculs statistiques.

Valeur moyenne dans les statistiques

Cependant, le concept étudié est le plus souvent utilisé en statistique. Comme vous le savez, cette science elle-même est spécialisée dans le calcul et l'analyse. caractéristiques quantitatives phénomènes sociaux de masse. Par conséquent, la valeur moyenne des statistiques est utilisée comme méthode spécialisée pour accomplir ses tâches principales - la collecte et l'analyse d'informations.

L'essence de cette méthode statistique est de remplacer les valeurs uniques individuelles de l'attribut considéré par une certaine moyenne équilibrée.

La fameuse blague sur la nourriture en est un exemple. Ainsi, dans une certaine usine le mardi pour le déjeuner, ses patrons mangent généralement de la viande en casserole et des ouvriers ordinaires - du chou cuit. Sur la base de ces données, nous pouvons conclure qu'en moyenne, le personnel de l'usine mange des rouleaux de chou le mardi.

Bien que exemple donné légèrement exagérée, elle illustre cependant le principal inconvénient de la méthode de recherche d'une valeur moyenne - le nivellement des caractéristiques individuelles des objets ou des personnes.

Les valeurs moyennes sont utilisées non seulement pour analyser les informations collectées, mais également pour planifier et prédire d'autres actions.

Il évalue également les résultats obtenus (par exemple, la mise en œuvre du plan de culture et de récolte du blé pour la saison printemps-été).

Comment calculer correctement

Bien que, selon le type de SV, il existe différentes formules pour son calcul, dans la théorie générale des statistiques, en règle générale, une seule méthode de calcul de la valeur moyenne d'une caractéristique est utilisée. Pour ce faire, vous devez d'abord additionner les valeurs de tous les phénomènes, puis diviser la somme résultante par leur nombre.

Lors de ces calculs, il convient de rappeler que la valeur moyenne a toujours la même dimension (ou unités) que l'unité individuelle de la population.

Conditions pour un calcul correct

La formule considérée ci-dessus est très simple et universelle, il est donc presque impossible de s'y tromper. Cependant, il vaut toujours la peine de considérer deux aspects, sinon les données obtenues ne refléteront pas la situation réelle.

Cours CB

Ayant trouvé des réponses aux questions de base : « Quelle est la valeur moyenne ? », « Où est-elle utilisée ? et "Comment pouvez-vous le calculer?", il vaut la peine de découvrir quelles classes et quels types de CB existent.

Tout d'abord, ce phénomène est divisé en 2 classes. Il s'agit de moyennes structurelles et de loi de puissance.

Types de loi de puissance SV

Chacune des classes ci-dessus, à son tour, est divisée en types. La classe de diplôme en compte quatre.

• La moyenne arithmétique est le type de CB le plus courant. C'est le terme moyen, pour déterminer quel volume total de l'attribut considéré dans l'agrégat de données est également réparti entre toutes les unités de l'agrégat donné.

  Ce type est divisé en sous-espèces : arithmétique simple et pondérée SV.

• La moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique, calculée à partir de l'inverse de l'attribut considéré.

  Il est utilisé dans les cas où les valeurs individuelles de l'attribut et du produit sont connues, mais pas les données de fréquence.

• La moyenne géométrique est le plus souvent utilisée dans l'analyse des taux de croissance des phénomènes économiques. Il permet de garder le travail inchangé. valeurs individuelles une valeur donnée, pas un montant.

  Il peut aussi être simple et équilibré.

• La valeur quadratique moyenne est utilisée dans le calcul d'indicateurs individuels d'indicateurs, tels que le coefficient de variation, qui caractérise le rythme de production, etc.

  Il calcule également les diamètres moyens des tuyaux, des roues, les côtés moyens d'un carré et des chiffres similaires.

  Comme tous les autres types de VS moyenne, la moyenne quadratique est simple et pondérée.

Types de grandeurs structurelles

En plus du SV moyen, les types structurels sont souvent utilisés dans les statistiques. Ils sont mieux adaptés pour calculer les caractéristiques relatives des valeurs de l'attribut variable et structure interne séries de diffusion.

Il existe deux de ces types.

Moyenne(en mathématiques et en statistiques) un ensemble de nombres est la somme de tous les nombres divisée par leur nombre. C'est l'une des mesures les plus courantes de la tendance centrale.

Il a été proposé (avec la moyenne géométrique et la moyenne harmonique) par les Pythagoriciens.

Des cas particuliers de la moyenne arithmétique sont la moyenne (de la population générale) et la moyenne de l'échantillon (échantillons).

introduction

On note l'ensemble de données X = (X 1 , X 2 , …, X m), alors la moyenne de l'échantillon est généralement indiquée par une barre horizontale au-dessus de la variable (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), prononcé " X avec une ligne").

La lettre grecque μ est utilisée pour désigner la moyenne arithmétique de l'ensemble de la population. Pour une variable aléatoire dont la valeur moyenne est déterminée, est moyenne probabiliste ou l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Si l'ensemble X est un ensemble nombres aléatoires avec une moyenne probabiliste , alors pour tout échantillon X je de cette collection μ = E ( X je) est l'espérance mathématique de cet échantillon.

En pratique, la différence entre μ et x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) est que μ est une variable typique car vous pouvez voir l'échantillon plutôt que la population entière. Par conséquent, si l'échantillon est présenté au hasard (en termes de théorie des probabilités), alors x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (mais pas μ) peut être traité comme une variable aléatoire ayant une distribution de probabilité sur l'échantillon (distribution de probabilité de la moyenne).

Ces deux quantités sont calculées de la même manière :

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

Si X est une variable aléatoire, alors l'espérance mathématique X peut être considérée comme la moyenne arithmétique des valeurs dans les mesures répétées d'une quantité X... C'est une manifestation de la loi des grands nombres. Par conséquent, la moyenne de l'échantillon est utilisée pour estimer l'espérance mathématique inconnue.

Il est prouvé en algèbre élémentaire que la moyenne m+ 1 nombre au dessus de la moyenne m nombres si et seulement si le nouveau nombre est supérieur à l'ancienne moyenne, moins si et seulement si le nouveau nombre est inférieur à la moyenne, et ne change pas si et seulement si le nouveau nombre est égal à la moyenne. Le plus m, plus la différence entre la nouvelle et l'ancienne moyenne est faible.

Notez qu'il existe plusieurs autres valeurs "moyennes", y compris la moyenne de puissance, la moyenne de Kolmogorov, la moyenne harmonique, la moyenne arithmétique-géométrique et diverses moyennes pondérées (par exemple, la moyenne arithmétique pondérée, la moyenne géométrique pondérée, la moyenne harmonique pondérée).

Exemples de

• Pour trois nombres, additionnez-les et divisez par 3 :

• Pour quatre nombres, additionnez-les et divisez par 4 :

Ou plus simplement 5 + 5 = 10, 10 : 2. Parce que nous avons ajouté 2 nombres, ce qui signifie combien de nombres nous ajoutons, nous divisons par autant.

Variable aléatoire continue

Pour une quantité continuellement distribuée f (x) (\ displaystyle f (x)), la moyenne arithmétique sur le segment [a; b] (\ displaystyle) est défini en termes d'intégrale définie :

F (x) [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)

Quelques problèmes d'utilisation de la moyenne

Manque de robustesse

Bien que la moyenne arithmétique soit souvent utilisée comme moyenne ou tendance centrale, ce concept ne s'applique pas aux statistiques robustes, ce qui signifie que la moyenne arithmétique est sujette à Forte influence"Grandes déviations". Il est à noter que pour les distributions avec un coefficient d'asymétrie important, la moyenne arithmétique peut ne pas correspondre au concept de « moyenne », et les valeurs moyennes des statistiques robustes (par exemple, la médiane) peuvent mieux décrire la tendance centrale.

Un exemple classique est le calcul du revenu moyen. La moyenne arithmétique peut être interprétée à tort comme la médiane, ce qui peut conduire à la conclusion qu'il y a plus de personnes ayant des revenus plus élevés qu'il n'y en a en réalité. Le revenu « moyen » est interprété de telle manière que le revenu de la plupart des gens est proche de ce nombre. Ce revenu « moyen » (au sens de la moyenne arithmétique) est plus élevé que le revenu de la plupart des gens, car un revenu élevé avec un écart important par rapport à la moyenne fausse fortement la moyenne arithmétique (en revanche, le revenu médian « résiste » à une telle biais). Cependant, ce revenu « moyen » ne dit rien sur le nombre de personnes proches du revenu médian (et ne dit rien sur le nombre de personnes proches du revenu modal). Néanmoins, si vous prenez à la légère les concepts de « moyen » et de « majorité de la population », vous pouvez alors conclure à tort que la plupart des gens ont des revenus plus élevés qu'ils ne le sont réellement. Par exemple, un rapport sur le revenu net « moyen » à Medina, Washington, calculé comme la moyenne arithmétique des revenus nets annuels de tous les résidents, donnerait étonnamment grand nombreà cause de Bill Gates. Considérez l'échantillon (1, 2, 2, 2, 3, 9). La moyenne arithmétique est de 3,17, mais cinq valeurs sur six sont inférieures à cette moyenne.

Intérêts composés

Si les nombres multiplier, mais non plier, vous devez utiliser la moyenne géométrique et non la moyenne arithmétique. Le plus souvent, cet incident survient lors du calcul du retour sur investissement en finance.

Par exemple, si les stocks ont baissé de 10 % la première année et augmenté de 30 % la deuxième année, il est alors incorrect de calculer l'augmentation « moyenne » sur ces deux années comme la moyenne arithmétique (-10 % + 30 %) / 2 = 10 % ; la valeur moyenne correcte dans ce cas est donnée par le taux de croissance annuel cumulé, auquel la croissance annuelle n'est que d'environ 8,16653826392% ≈ 8,2%.

La raison en est que les pourcentages ont à chaque fois un nouveau point de départ : 30 %, c'est 30 %. à partir d'un nombre inférieur au prix au début de la première année : si l'action était à 30$ au début et a chuté de 10 %, elle est à 27$ au début de la deuxième année. Si l'action est en hausse de 30 %, elle vaut 35,1 $ à la fin de la deuxième année. La moyenne arithmétique de cette croissance est de 10 %, mais comme le stock n'est que de 5,1 $ en 2 ans, une hausse moyenne de 8,2 % donne le résultat final de 35,1 $ :

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Si nous utilisons la moyenne arithmétique de 10 % de la même manière, nous n'obtiendrons pas la valeur réelle : [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Composé à la fin de l'année 2 : 90 % *                                     2                           3 130 %                                                                                            108 2 % % sera  108,2 % % sera 10. ) , soit une croissance annuelle moyenne de 8,2 %.

instructions

Lors du calcul de la moyenne arithmétique d'une variable qui change cycliquement (par exemple, la phase ou l'angle), des précautions particulières doivent être prises. Par exemple, la moyenne de 1° et 359° serait 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180°. Ce nombre est incorrect pour deux raisons.

• Premièrement, les étalons angulaires ne sont définis que pour la plage de 0 ° à 360 ° (ou de 0 à 2π lorsqu'ils sont mesurés en radians). Ainsi, la même paire de nombres pourrait s'écrire comme (1° et −1°) ou comme (1° et 719°). La moyenne de chaque paire sera différente : 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
• Deuxièmement, dans ce cas, 0 ° (équivalent à 360 °) serait la moyenne géométriquement meilleure, car les nombres s'écartent moins de 0 ° que de toute autre valeur (0 ° a le moins de variance). Comparer:
  • le chiffre 1° ne s'écarte de 0° que de 1° ;
  • le nombre 1° s'écarte de la moyenne calculée de 180° par 179°.

La valeur moyenne de la variable cyclique, calculée à l'aide de la formule ci-dessus, sera artificiellement décalée de la moyenne réelle vers le milieu de la plage numérique. Pour cette raison, la moyenne est calculée d'une manière différente, à savoir, le nombre avec le moins de variance ( Point central). De plus, au lieu de soustraire, la distance modulaire (c'est-à-dire la distance circonférentielle) est utilisée. Par exemple, la distance modulaire entre 1° et 359° est de 2°, pas 358° (sur un cercle entre 359° et 360° == 0° - un degré, entre 0° et 1° - aussi 1°, au total - 2°).

4.3. Valeurs moyennes. Essence et signification des moyennes

Moyenne en statistique, on appelle un indicateur généralisateur qui caractérise le niveau typique d'un phénomène dans des conditions spécifiques de lieu et de temps, reflétant la valeur d'un attribut variable par unité d'une population qualitativement homogène. Dans la pratique économique, un large éventail d'indicateurs sont utilisés, calculés sous forme de moyennes.

Par exemple, un indicateur généralisateur du revenu des travailleurs d'une société par actions (JSC) est le revenu moyen d'un travailleur, déterminé par le ratio du fonds les salaires et les cotisations sociales pour la période considérée (année, trimestre, mois) au nombre de travailleurs dans l'AO.

Le calcul de la moyenne est l'une des techniques de généralisation courantes ; moyenne reflète ce qui est commun, qui est typique (typique) pour toutes les unités de la population étudiée, en même temps il ignore les différences des unités individuelles. Dans chaque phénomène et son développement, il y a une combinaison les accidents et nécessité. Lors du calcul des moyennes, en raison de l'action de la loi des grands nombres, les chances sont annulées, équilibrées, par conséquent, on peut faire abstraction des caractéristiques insignifiantes du phénomène, des valeurs quantitatives de l'attribut dans chaque cas spécifique. La capacité de faire abstraction du caractère aléatoire des valeurs individuelles, des fluctuations et de la valeur scientifique des moyennes comme généraliser caractéristiques des agrégats.

Lorsqu'il est nécessaire de généraliser, le calcul de ces caractéristiques conduit au remplacement de nombreuses valeurs individuelles différentes de la caractéristique moyenne un indicateur qui caractérise l'ensemble des phénomènes, qui permet d'identifier des schémas inhérents aux phénomènes sociaux de masse qui sont invisibles dans les phénomènes individuels.

La moyenne reflète le niveau caractéristique, typique, réel des phénomènes étudiés, caractérise ces niveaux et leurs évolutions dans le temps et dans l'espace.

La moyenne est une caractéristique sommaire des régularités du processus dans les conditions dans lesquelles il se déroule.

4.4. Types de moyennes et comment les calculer

Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu économique d'un certain indicateur et des données initiales. Dans chaque cas, l'une des valeurs moyennes est appliquée : arithmétique, garmonique, géométrique, quadratique, cubique etc. Les moyennes indiquées appartiennent à la classe loi de puissance moyen.

En plus des moyennes de loi de puissance, des moyennes structurelles sont utilisées dans la pratique statistique, qui sont considérées comme le mode et la médiane.

Arrêtons-nous plus en détail sur les moyennes de puissance.

Moyenne arithmétique

Le type de support le plus courant est moyenne arithmétique. Il est utilisé dans les cas où le volume d'une caractéristique variable pour l'ensemble de la population est la somme des valeurs des caractéristiques de ses unités individuelles. Les phénomènes sociaux sont caractérisés par l'additivité (somme) des volumes de l'attribut variable, cela détermine le domaine d'application de la moyenne arithmétique et explique sa prévalence en tant qu'indicateur généralisateur, par exemple : le fonds de salaire total est la somme de le salaire de tous les travailleurs, la récolte brute est la somme des produits issus de l'ensemble de la surface d'ensemencement.

Pour calculer la moyenne arithmétique, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs d'attribut par leur nombre.

La moyenne arithmétique est appliquée sous la forme moyenne simple et moyenne pondérée. La forme initiale qui définit est la moyenne simple.

Moyenne arithmétique simple est égal à la somme simple des valeurs individuelles de l'attribut moyenné, divisée par le nombre total de ces valeurs (il est utilisé dans les cas où il existe des valeurs individuelles non groupées de l'attribut):

où
- valeurs individuelles de la variable (options); m - le nombre d'unités dans la population.

De plus, les limites de sommation ne seront pas indiquées dans les formules. Par exemple, vous devez trouver la production moyenne d'un ouvrier (serrurier) si vous savez combien de pièces chacun des 15 ouvriers a fabriqué, c'est-à-dire un certain nombre de valeurs individuelles de la caractéristique sont données, pièces:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

La moyenne arithmétique simple est calculée par la formule (4.1), 1 pièce :

Le milieu des options qui sont répétées un nombre différent de fois, ou, comme on dit, ont des poids différents, s'appelle pondéré. Les poids sont le nombre d'unités dans différents groupes de la population (les mêmes options sont combinées dans un groupe).

Moyenne arithmétique pondérée- la moyenne des valeurs regroupées, - est calculée par la formule :

, (4.2)

où
- poids (fréquence de répétition des mêmes signes) ;

- la somme des produits de l'amplitude des caractéristiques par leur fréquence ;

- le nombre total d'unités dans la population.

Nous allons illustrer la technique de calcul de la moyenne pondérée arithmétique à l'aide de l'exemple considéré ci-dessus. Pour ce faire, nous allons regrouper les données initiales et les placer dans un tableau. 4.1.

Tableau 4.1

Répartition des travailleurs pour la production de pièces

D'après la formule (4.2), la moyenne pondérée arithmétique est, pcs. :

Dans certains cas, les poids peuvent ne pas être présentés valeurs absolues, mais relative (en pourcentage ou fractions d'unité). Ensuite, la formule de la moyenne pondérée arithmétique ressemblera à :

où
- particulier, c'est-à-dire la part de chaque fréquence dans la somme totale de tous

Si les fréquences sont calculées en fractions (coefficients), alors
= 1, et la formule de la moyenne pondérée arithmétiquement est :

Calcul de la moyenne arithmétique pondérée à partir des moyennes des groupes s'effectue selon la formule :

,

où F- le nombre d'unités dans chaque groupe.

Les résultats du calcul de la moyenne arithmétique des moyennes de groupe sont présentés dans le tableau. 4.2.

Tableau 4.2

Répartition des travailleurs selon l'ancienneté moyenne

Dans cet exemple, les options ne sont pas des données individuelles sur l'ancienneté des travailleurs individuels, mais la moyenne pour chaque atelier. Balance F sont le nombre d'ouvriers dans les magasins. Par conséquent, l'expérience de travail moyenne des travailleurs dans l'ensemble de l'entreprise sera, en années :

.

Calcul de la moyenne arithmétique dans la série de distribution

Si les valeurs de la caractéristique moyenne sont spécifiées sous forme d'intervalles ("de - à"), c'est-à-dire série d'intervalles de distribution, puis lors du calcul de la moyenne arithmétique, les points médians de ces intervalles sont considérés comme les valeurs des attributs dans les groupes, à la suite de quoi une série discrète est formée. Considérons l'exemple suivant (tableau 4.3).

On passe de la série d'intervalles à la série discrète en remplaçant les valeurs d'intervalles par leurs valeurs moyennes / (moyenne simple

Tableau 4.3

Répartition des travailleurs JSC par niveau de salaire mensuel

les valeurs des intervalles ouverts (le premier et le dernier) sont conditionnellement assimilées aux intervalles qui leur sont adjacents (le deuxième et l'avant-dernier).

Avec un tel calcul de la moyenne, une certaine imprécision est autorisée, car une hypothèse est faite sur l'uniformité de la distribution des unités de l'attribut au sein du groupe. Cependant, plus l'intervalle est étroit et plus il y a d'unités dans l'intervalle, plus l'erreur est faible.

Une fois les milieux des intervalles trouvés, les calculs sont effectués de la même manière que dans les séries discrètes - les options sont multipliées par les fréquences (poids) et la somme des produits est divisée par la somme des fréquences (poids) , mille roubles :

.

Ainsi, le niveau moyen des salaires des travailleurs de l'AO est de 729 roubles. par mois.

Le calcul de la moyenne arithmétique est souvent long et laborieux. Cependant, dans certains cas, la procédure de calcul de la moyenne peut être simplifiée et facilitée en utilisant ses propriétés. Présentons (sans preuve) quelques-unes des propriétés fondamentales de la moyenne arithmétique.

Propriété 1. Si toutes les valeurs individuelles d'une caractéristique (c'est-à-dire toutes les options) diminuer ou augmenter jefois, puis la moyenne la nouvelle fonctionnalité diminuera ou augmentera en conséquence jeune fois que.

Propriété 2. Si toutes les variantes de la caractéristique moyenne diminuentcoudre ou augmenter du nombre A, alors la moyenne arithmétique correspondva en fait diminuer ou augmenter du même nombre A.

Propriété 3. Si les poids de toutes les options moyennées sont réduits ou augmenter À fois, la moyenne arithmétique ne changera pas.

Au lieu d'indicateurs absolus, vous pouvez utiliser comme poids de la moyenne poids spécifiques au total (parts ou pourcentages). Cela simplifie les calculs de la moyenne.

Pour simplifier les calculs de la moyenne, ils suivent le chemin de la diminution des valeurs des variantes et des fréquences. La plus grande simplification est obtenue lorsque, comme UNE la valeur de l'une des variantes centrales avec la fréquence la plus élevée est sélectionnée, car / est la valeur de l'intervalle (pour les lignes avec des intervalles égaux). La quantité A est appelée l'origine, donc cette méthode de calcul de la moyenne est appelée la "méthode de comptage à partir d'un zéro conditionnel" ou "La voie des moments."

Supposons que toutes les options N.-É. d'abord réduit du même nombre A, puis réduit de je une fois que. Nous obtenons une nouvelle série de variation de la distribution des nouvelles options .

Puis nouvelles options s'exprimera :

,

et leur nouvelle moyenne arithmétique , -moment de premier ordre-formule:

.

Il est égal à la moyenne des options d'origine, d'abord diminuée de UNE, et puis dans je une fois que.

Pour obtenir la moyenne réelle, il faut un moment du premier ordre m 1 , multiplier par je et ajouter UNE:

.

Cette méthode le calcul de la moyenne arithmétique à partir d'une série de variations s'appelle "La voie des moments." Cette méthode est appliquée en lignes à intervalles égaux.

Le calcul de la moyenne arithmétique par la méthode des moments est illustré par les données du tableau. 4.4.

Tableau 4.4

Répartition des petites entreprises de la région par la valeur des immobilisations (OPF) en 2000

Trouver le moment de la première commande

.

Alors, en prenant A = 19 et sachant que je= 2, calculer NS, mille roubles.:

Types de moyennes et méthodes de calcul

Au stade du traitement statistique, diverses tâches de recherche peuvent être définies, pour la solution desquelles une moyenne appropriée doit être sélectionnée. Dans ce cas, il faut se laisser guider par la règle suivante : les valeurs qui représentent le numérateur et le dénominateur de la moyenne doivent être logiquement liées.

• moyennes de puissance;
• moyennes structurelles.

Introduisons les conventions suivantes :

Les valeurs pour lesquelles la moyenne est calculée ;

Moyenne, où la ligne ci-dessus indique qu'il y a une moyenne des valeurs individuelles ;

Fréquence (répétabilité des valeurs individuelles d'une caractéristique).

Diverses moyennes sont dérivées de la formule générale de la moyenne des puissances :

(5.1)

pour k = 1 - la moyenne arithmétique ; k = -1 - harmonique moyenne ; k = 0 - moyenne géométrique ; k = -2 - moyenne quadratique.

Les valeurs moyennes sont simples et pondérées. Moyennes pondérées ils appellent les valeurs qui tiennent compte du fait que certaines options pour les valeurs du trait peuvent avoir des nombres différents, et donc chaque option doit être multipliée par ce nombre. En d'autres termes, les « poids » sont le nombre d'unités de la population dans différents groupes, c'est-à-dire chaque option est "pondérée" par sa fréquence. La fréquence f est appelée poids statistique ou poids moyen.

Moyenne arithmétique- le type de support le plus courant. Il est utilisé lorsque le calcul est effectué sur des données statistiques non regroupées, dont on veut obtenir le terme moyen. La moyenne arithmétique est une telle valeur moyenne d'une caractéristique, à la réception de laquelle le volume total d'une caractéristique dans l'agrégat reste inchangé.

La formule de la moyenne arithmétique ( Facile) a la forme

où n est la taille de la population.

Par exemple, le salaire moyen des salariés d'une entreprise est calculé comme la moyenne arithmétique :

Les indicateurs déterminants sont ici le salaire de chaque employé et le nombre d'employés de l'entreprise. Lors du calcul de la moyenne, le montant total des salaires est resté le même, mais réparti, pour ainsi dire, entre tous les travailleurs de manière égale. Par exemple, vous devez calculer le salaire moyen des travailleurs dans une petite entreprise où 8 personnes sont employées :

Lors du calcul des valeurs moyennes, les valeurs individuelles de l'attribut, qui sont moyennées, peuvent être répétées, par conséquent, la valeur moyenne est calculée en fonction des données regroupées. Dans ce cas ça arriveà propos de l'utilisation moyenne arithmétique pondérée qui a la forme

(5.3)

Nous devons donc calculer le prix moyen des actions d'une société par actions à la bourse. On sait que les transactions ont été réalisées dans les 5 jours (5 transactions), le nombre d'actions vendues au cours des ventes a été réparti comme suit :

1 - 800 acres. - 1010 roubles.

2 - 650 acres. - 990 roubles.

3 - 700 acres. - 1015 roubles.

4 - 550 acres. - 900 roubles.

5 - 850 acres. - 1150 roubles.

Le ratio initial pour déterminer le cours moyen de l'action est le ratio du montant total des transactions (OSS) sur le nombre d'actions vendues (KPA).

Les valeurs moyennes sont répandues dans les statistiques. Des valeurs moyennes caractérisent les indicateurs qualitatifs de l'activité commerciale : coûts de distribution, profit, rentabilité, etc.

Moyenne est l'une des généralisations courantes. Une juste compréhension de l'essence de la moyenne détermine sa signification particulière dans les conditions d'une économie de marché, lorsque la moyenne, à travers l'unique et l'aléatoire, permet d'identifier le général et le nécessaire, de révéler la tendance des lois de l'économie développement.

valeur moyenne sont des indicateurs généralisés dans lesquels s'expriment les actions conditions générales, les patrons du phénomène étudié.

Les moyennes statistiques sont calculées sur la base des données de masse d'une observation de masse correctement organisée statistiquement (continue et sélective). Cependant, la moyenne statistique sera objective et typique si elle est calculée à partir de données de masse pour une population qualitativement homogène (phénomènes de masse). Par exemple, si vous calculez les salaires moyens dans les coopératives et les entreprises publiques, et étendez le résultat à l'ensemble de la population, alors la moyenne est fictive, puisqu'elle est calculée sur une population hétérogène, et une telle moyenne perd tout sens.

À l'aide de la moyenne, il y a, pour ainsi dire, lissage des différences de valeur de l'attribut, qui surviennent pour une raison ou une autre dans les unités d'observation individuelles.

Par exemple, le rendement moyen d'un vendeur dépend de nombreuses raisons : qualifications, ancienneté, âge, forme de service, santé, etc.

La production moyenne reflète la propriété générale de l'ensemble de la population.

La valeur moyenne est le reflet des valeurs du trait à l'étude, elle est donc mesurée dans la même dimension que ce trait.

Chaque valeur moyenne caractérise la population étudiée pour n'importe quel critère. Pour obtenir une image complète et exhaustive de la population étudiée pour un certain nombre de caractéristiques essentielles, en général, il est nécessaire de disposer d'un système de valeurs moyennes pouvant décrire le phénomène sous différents angles.

Il existe différentes moyennes :

moyenne arithmétique;

Moyenne géométrique;

harmonique moyenne;

moyenne quadratique ;

chronologique moyenne.

Considérons quelques types de moyennes qui sont le plus souvent utilisées dans les statistiques.

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique simple (non pondérée) est égale à la somme des valeurs individuelles de l'attribut, divisée par le nombre de ces valeurs.

Les valeurs individuelles de l'attribut sont appelées variantes et sont désignées par x (); le nombre d'unités dans la population est noté n, la valeur moyenne de la caractéristique est notée ... La moyenne arithmétique simple est donc :

D'après les données de la série de distribution discrète, on peut voir que les mêmes valeurs de l'attribut (variantes) sont répétées plusieurs fois. Ainsi, l'option x se produit au total 2 fois, et l'option x - 16 fois, etc.

Le nombre de valeurs identiques d'une caractéristique dans la série de distribution est appelé fréquence ou poids et est désigné par le symbole n.

Calculons le salaire moyen d'un travailleur en roubles :

La masse salariale de chaque groupe de travailleurs est égale au produit des options par la fréquence, et la somme de ces produits donne la masse salariale totale de tous les travailleurs.

Conformément à cela, les calculs peuvent être présentés sous une forme générale :

La formule résultante est appelée la moyenne arithmétique pondérée.

Le matériel statistique résultant du traitement peut être présenté non seulement sous la forme de séries de distribution discrète, mais aussi sous la forme de séries de variation d'intervalle avec des intervalles fermés ou ouverts.

Le calcul de la moyenne des données regroupées se fait selon la formule de la moyenne pondérée arithmétique :

Dans la pratique des statistiques économiques, il est parfois nécessaire de calculer la moyenne par des moyennes de groupe ou par des parties individuelles de la population (moyennes privées). Dans de tels cas, des moyennes de groupe ou partielles sont prises comme options (x), sur la base desquelles la moyenne totale est calculée comme la moyenne arithmétique pondérée habituelle.

Propriétés de base de la moyenne arithmétique .

La moyenne arithmétique a plusieurs propriétés :

1. À partir d'une diminution ou d'une augmentation des fréquences de chaque valeur de l'attribut x en n fois, la valeur de la moyenne arithmétique ne changera pas.

Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un nombre, la valeur de la moyenne ne changera pas.

2. Le facteur commun des valeurs individuelles de l'attribut peut être retiré du signe moyen :

3. La moyenne de la somme (différence) de deux ou plusieurs valeurs est égale à la somme (différence) de leur moyenne :

4. Si x = c, où c est une constante, alors
.

5. La somme des écarts des valeurs de l'attribut X par rapport à la moyenne arithmétique x est égale à zéro :

Harmonique moyenne.

Avec la moyenne arithmétique, les statistiques utilisent la moyenne harmonique, l'inverse de la moyenne arithmétique des valeurs réciproques de l'attribut. Comme la moyenne arithmétique, elle peut être simple et pondérée.

Les caractéristiques de la série de variation, avec la moyenne, sont le mode et la médiane.

Mode - C'est la valeur d'une caractéristique (option), qui est le plus souvent répétée dans la population étudiée. Pour les séries à distribution discrète, le mode sera la valeur de la variante avec la fréquence la plus élevée.

Pour les séries d'intervalles de distribution à intervalles égaux, le mode est déterminé par la formule :

où
- la valeur initiale de l'intervalle contenant le mode ;

- la valeur de l'intervalle modal ;

- la fréquence de l'intervalle modal ;

- la fréquence de l'intervalle précédant la modale ;

est la fréquence de l'intervalle suivant le modal.

Médian - il s'agit d'une variante située au milieu de la série de variantes. Si la série de distribution est discrète et a un nombre impair de membres, alors la médiane sera l'option située au milieu de la ligne ordonnée (une ligne ordonnée est la disposition des unités de population par ordre croissant ou décroissant).

Dans le calcul de la moyenne est perdu.

La moyenne sens ensemble de nombres est égal à la somme des nombres S divisée par le nombre de ces nombres. C'est-à-dire qu'il s'avère que la moyenne sens est égal à : 19/4 = 4,75.

Remarque

Si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de deux nombres seulement, vous n'avez pas besoin d'une calculatrice technique : extrayez la racine du deuxième degré ( Racine carrée) à partir de n'importe quel nombre en utilisant la calculatrice la plus courante.

Conseil utile

Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique n'est pas si fortement influencée par les grands écarts et fluctuations entre les valeurs individuelles dans l'ensemble d'indicateurs étudié.

Sources:

• Calculateur de moyenne géométrique en ligne
• la moyenne formule géométrique

La moyenne valeur est l'une des caractéristiques d'un ensemble de nombres. Représente un nombre qui ne peut pas être en dehors de la plage définie par les valeurs les plus grandes et les plus petites dans cet ensemble de nombres. La moyenne l'arithmétique est le type de moyenne le plus couramment utilisé.

Instructions

Additionnez tous les nombres de l'ensemble et divisez par le nombre de termes pour obtenir la moyenne arithmétique. Selon les conditions spécifiques du calcul, il est parfois plus facile de diviser chacun des nombres par le nombre de valeurs de l'ensemble et de sommer le résultat.

Utilisez, par exemple, celui fourni avec Windows, s'il n'est pas possible de calculer la moyenne arithmétique dans votre tête. Vous pouvez l'ouvrir à l'aide de la boîte de dialogue de lancement du programme. Pour cela, appuyez sur les "raccourcis clavier" WIN + R ou cliquez sur le bouton "Démarrer" et sélectionnez la commande "Exécuter" dans le menu principal. Tapez ensuite calc dans le champ de saisie et appuyez sur Entrée ou cliquez sur le bouton OK. La même chose peut être faite via le menu principal - ouvrez-le, allez dans la section "Tous les programmes" et dans la section "Standard" et sélectionnez la ligne "Calculatrice".

Saisissez séquentiellement tous les nombres de l'ensemble en appuyant sur la touche Plus après chacun d'eux (sauf le dernier) ou en cliquant sur le bouton correspondant dans l'interface de la calculatrice. Vous pouvez également saisir des chiffres à la fois à partir du clavier et en cliquant sur les boutons correspondants de l'interface.

Appuyez sur la touche barre oblique ou cliquez dessus dans l'interface de la calculatrice après avoir entré la dernière valeur de l'ensemble et tapez le nombre de nombres dans la séquence. Appuyez ensuite sur le signe égal et la calculatrice calculera et affichera la moyenne arithmétique.

Vous pouvez utiliser l'éditeur de feuille de calcul Microsoft Excel dans le même but. Dans ce cas, lancez l'éditeur et entrez toutes les valeurs de la séquence de nombres dans les cellules adjacentes. Si, après avoir entré chaque nombre, vous appuyez sur Entrée ou sur la touche fléchée vers le bas ou vers la droite, l'éditeur lui-même déplacera le focus d'entrée vers la cellule adjacente.

Cliquez sur la cellule à côté du dernier nombre entré si vous n'êtes pas satisfait de voir simplement la moyenne arithmétique. Développez la liste déroulante avec la commande sigma grec (Σ) "Modifier" dans l'onglet "Accueil". Sélectionnez la ligne " La moyenne"Et l'éditeur insèrera la formule requise pour calculer la moyenne valeur arithmétique dans la cellule en surbrillance. Appuyez sur la touche Entrée et la valeur sera calculée.

La moyenne arithmétique est l'une des mesures de la tendance centrale largement utilisée en mathématiques et en calculs statistiques. Il est très facile de trouver la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs, mais chaque tâche a ses propres nuances, qu'il est simplement nécessaire de connaître pour effectuer des calculs corrects.

Quelle est la moyenne arithmétique

Comment trouver la moyenne arithmétique

Caractéristiques du travail avec des nombres négatifs

1. Trouver la moyenne arithmétique totale par la méthode standard ;
2. Trouver la moyenne arithmétique de nombres négatifs.
3. Calcul de la moyenne arithmétique des nombres positifs.

Les réponses à chacune des actions sont écrites séparées par des virgules.

Fractions naturelles et décimales

Lorsque vous travaillez avec fractions naturelles ils doivent être réduits à un dénominateur commun, qui est multiplié par le nombre de nombres dans le tableau. Le numérateur de la réponse sera la somme des numérateurs donnés des éléments fractionnaires d'origine.

• Calculatrice d'ingénierie.

Instructions

Gardez à l'esprit que dans cas général la moyenne nombres géométriques se trouve en multipliant ces nombres et en extrayant la racine de la puissance, qui correspond au nombre de nombres. Par exemple, si vous devez trouver la moyenne géométrique de cinq nombres, vous devrez alors extraire la racine de la puissance du produit.

Utilisez la règle de base pour trouver la moyenne géométrique de deux nombres. Trouvez leur produit, puis en extrayez la racine carrée, car les nombres sont deux, ce qui correspond à la puissance de la racine. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique de 16 et 4, trouvez leur produit 16 4 = 64. À partir du nombre obtenu, extraire la racine carrée de √64 = 8. Ce sera valeur requise... Notez que la moyenne arithmétique de ces deux nombres est supérieure et égale à 10. Si la racine n'est pas complètement extraite, arrondissez le résultat à l'ordre souhaité.

Pour trouver la moyenne géométrique de plus de deux nombres, utilisez également la règle de base. Pour ce faire, trouvez le produit de tous les nombres dont vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique. Du produit résultant, extraire la racine de la puissance égale au nombre de nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des nombres 2, 4 et 64, trouvez leur produit. 2 4 64 = 512. Puisque vous devez trouver le résultat de la moyenne géométrique de trois nombres, extrayez la racine du troisième degré du produit. Il est difficile de le faire verbalement, alors utilisez une calculatrice technique. Pour ce faire, il dispose d'un bouton "x^y". Composez le numéro 512, appuyez sur la touche "x ^ y", puis composez le numéro 3 et appuyez sur la touche "1/x" pour trouver la valeur 1/3, appuyez sur la touche "=". Nous obtenons le résultat d'élever 512 à la puissance 1/3, ce qui correspond à la racine de la troisième puissance. Obtenez 512 ^ 1/3 = 8. C'est la moyenne géométrique de 2,4 et 64.

À l'aide d'une calculatrice technique, vous pouvez trouver la moyenne géométrique d'une manière différente. Trouvez le bouton de connexion sur votre clavier. Après cela, prenez le logarithme de chacun des nombres, trouvez leur somme et divisez-la par le nombre de nombres. Prenez l'antilogarithme du nombre obtenu. Ce sera la moyenne géométrique des nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des mêmes nombres 2, 4 et 64, effectuez un ensemble d'opérations sur la calculatrice. Composez le numéro 2, puis appuyez sur le bouton log, appuyez sur le bouton "+", composez le numéro 4 et appuyez à nouveau sur log et "+", composez 64, appuyez sur log et "=". Le résultat sera un nombre égal à la somme des logarithmes décimaux des nombres 2, 4 et 64. Divisez le nombre obtenu par 3, puisque c'est le nombre de nombres par lesquels la moyenne géométrique est recherchée. A partir du résultat, prenez l'antilogarithme en basculant le bouton de la casse et utilisez la même clé de journal. Le résultat sera le nombre 8, c'est la moyenne géométrique souhaitée.