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Progression géométrique. Guide exhaustif Exemples (2019)

Séquence de numéro

Alors, asseyez-vous et commencez à écrire des chiffres. Par example:

Vous pouvez écrire tous les numéros et ils peuvent être de toute façon (dans notre cas). Combien de chiffres nous n'avons pas écrits, nous pouvons toujours dire lequel d'entre eux est le second et ainsi de suite au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les engager. Ceci est un exemple de séquence numérique:

Séquence de numéro - Ceci est beaucoup de chiffres, chacun d'entre eux pouvant être attribué un numéro unique.

Par exemple, pour notre séquence:

Le numéro attribué est caractéristique que pour un certain nombre de séquences. En d'autres termes, il n'y a pas de trois secondes dans la séquence. Le deuxième numéro (en tant que numéro) est toujours un.

Le nombre avec le numéro du membre de nommage de la séquence.

Nous appelons généralement toute la séquence (par exemple), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un index égal au nombre de ce membre :.

Dans notre cas:

Les types de progression les plus courants sont arithmétiques et géométriques. Dans ce fil, nous parlerons de la deuxième forme - progression géométrique.

Quelle nécessité de progression géométrique et de son histoire d'occurrence.

Même dans l'Antiquité, le moine mathématicien italien Leonardo de Pise (le plus célèbre nommé Fibonacci) était engagé dans la résolution des besoins pratiques du commerce. Devant le moine, il y avait une tâche de déterminer, avec quel le plus petit nombre de poids pouvons-nous peser les marchandises? Dans ses écrits, Fibonacci prouve qu'un tel système est optimal: c'est l'une des premières situations dans lesquelles les gens ont dû faire face au progrès géométrique, que vous aviez probablement déjà entendu et au moins concept général. Dès que vous comprenez complètement dans le sujet, pensez-vous à savoir pourquoi un tel système est optimal?

Actuellement, dans la pratique de la vie, progression géométrique Il se manifeste lorsque de l'argent à la banque, lorsque le montant de l'intérêt est facturé pour un montant accumulé sur le compte de la période précédente. En d'autres termes, si nous mettons de l'argent à une contribution urgente à la Banque d'épargne, après un an, la contribution augmentera du montant initial, c'est-à-dire Le nouveau montant sera égal au dépôt multiplié par. Un an plus tard, ce montant augmentera, c'est-à-dire La somme résultante de ce temps se multipliera à nouveau sur et ainsi de suite. Une telle situation est décrite dans les tâches de calcul de la soi-disant intérêt complexe - Le pourcentage est pris à chaque fois du montant qui figure sur le compte avec l'intérêt précédent. Nous allons parler de ces tâches un peu plus tard.

Il y a encore de nombreux cas simples où la progression géométrique est appliquée. Par exemple, la propagation de la grippe: une personne infectée par une personne, elle est à leur tour devenue infectée par une personne et donc la deuxième vague d'infection - un homme, et ceux à son tour devenus infectés ... et ainsi de suite ...

Au fait, la pyramide financière, la même mmm est un calcul simple et sec sur les propriétés de la progression géométrique. Intéressant? Traitons avec.

Progression géométrique.

Supposons que nous ayons une séquence numérique:

Vous répondrez immédiatement que c'est facile et le nom d'une telle séquence - progression arithmétique Avec la différence de ses membres. Et qu'en est-il de cela:

Si vous êtes déduit du numéro suivant de la précédente, vous verrez que chaque fois qu'il allume une nouvelle différence (etc.), mais la séquence existe définitivement et il est facile à notique - chaque numéro suivant est plus que le nombre de le précédent!

Ce type de séquence numérique est appelé progression géométrique et est noté.

La progression géométrique () est la séquence numérique, dont le premier trimestre est différent de zéro et chaque élément à partir du second égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle un dénominateur de progression géométrique.

Restrictions que le premier terme () n'est pas égale et non accidentelle. Supposons qu'ils ne soient pas, et le premier terme est toujours égal, et q est égal, HMM .. Soit, alors il s'avère:

Accepter que ce n'est plus une progression.

Comme vous le comprenez, nous recevrons les mêmes résultats si c'est un nombre autre que zéro, mais. Dans ces cas, la progression ne sera tout simplement pas, car toute la série numérique sera soit tous les zéros, soit un numéro, mais tous les autres zéros.

Maintenant, parlons plus en détail sur le dénominateur de la progression géométrique, c'est-à-dire.

Répéter: - C'est le nombre combien de fois chaque membre ultérieur change progression géométrique.

Que pensez-vous que je pourrais être? Droite, positive et négative, mais pas zéro (nous en avons parlé un peu plus haut).

Supposons que nous ayons un positif. Laissez dans notre cas, mais. Quel est le deuxième membre et? Vous pouvez facilement répondre à cela:

C'est exact. En conséquence, si tous les membres ultérieurs de la progression ont le même signe - ils positif.

Et si négatif? Par exemple, a. Quel est le deuxième membre et?

C'est une histoire complètement différente.

Essayez de calculer un membre de cette progression. Combien avez-vous fait? J'ai. Ainsi, si, les signes de membres de la progression géométrique alternative. C'est-à-dire que si vous voyez la progression, avec des signes alternés de ses membres, son dénominateur est négatif. Cette connaissance peut vous aider à vous faire vérifier lorsque vous résolvez les tâches sur ce sujet.

Maintenant, ils prennent un peu mordu: essayez de déterminer quelles séquences numériques sont des progrès géométriques et qui arithmétique:

Compris? Comparez nos réponses:

• Progression géométrique - 3, 6.
• Progression arithmétique - 2, 4.
• Ce n'est ni arithmétique ni progression géométrique - 1, 5, 7.

Revenons à notre dernière progression et nous essaierons de la même manière que dans l'arithmétique de trouver sa bite. Comme vous le devinez déjà, il y a deux façons de le trouver.

Toujours multiplier chaque membre.

Donc, un membre de la progression géométrique décrite est égale.

Comme vous le devinez déjà, vous ferez maintenant une formule qui vous aidera à trouver tout membre de la progression géométrique. Ou avez-vous déjà retiré pour vous-même, peindre, comment intensifier un membre? Si tel est le cas, vérifiez l'exactitude de votre raisonnement.

Nous allons illustrer cela sur l'exemple de trouver un membre de cette progression:

Autrement dit:

Trouvez-vous la valeur d'un membre d'une progression géométrique donnée.

Arrivé? Comparez nos réponses:

Veuillez noter que vous avez exactement le même nombre que de la manière précédente, lorsque nous avons toujours été multiplié par chaque membre précédent de la progression géométrique.
Essayons de "disquete" cette formule - nous lui donnons une vue générale et obtenez-en:

La formule dérivée est vraie pour toutes les valeurs - à la fois positives et négatives. Vérifiez-le vous-même, calculez le membre de la progression géométrique avec les conditions suivantes :, mais.

Calculé? Comparez les résultats obtenus:

Accepter de trouver un membre de la progression pourrait être aussi bien qu'un membre, il est probable que la probabilité de calculer de manière incorrecte. Et si nous avons trouvé un par membre de la progression géométrique, et, ce qui pourrait être plus facile que d'utiliser la partie "coupée" de la formule.

Décroissant infiniment la progression géométrique.

Plus récemment, nous avons parlé de ce qui pourrait être à la fois plus et moins zéroCependant, il y a des valeurs spéciales dans lesquelles la progression géométrique est appelée décroissant infiniment.

Que pensez-vous, pourquoi un tel nom?
Pour commencer, nous écrivons une progression géométrique composée de membres.
Supposons, mais alors:

Nous voyons que chaque membre suivant est inférieur au précédent, mais y aura-t-il un nombre? Vous répondrez immédiatement - "Non". C'est pourquoi il diminue infiniment - diminue, diminue et NULL ne devient jamais.

Pour comprendre clairement comment cela semble visuellement, essayons de dessiner un horaire de notre progression. Donc, pour notre cas, la formule acquiert le formulaire suivant:

Sur les graphiques, nous connaissons bien la dépendance, donc:

L'essence de l'expression n'a pas changé: dans le premier enregistrement, nous avons montré la dépendance de la valeur d'un membre de la progression géométrique de son numéro de séquence et, dans le deuxième enregistrement, nous avons simplement pris la valeur d'un membre de la géométrique. la progression de, et le numéro de séquence n'était pas la même que, mais comment. Tout ce qui reste à faire est de construire un graphique.
Voyons voir ce que tu as. C'est ce que l'horaire s'est avéré être:

Voir? La fonction diminue, s'efforce de zéro, mais ne le traversera jamais, donc il diminue infiniment. Nous notons sur la carte de nos points et, en même temps, ce qui fait référence à la coordonnée et:

Essayez schématiquement pour décrire le graphique de la progression géométrique, si son premier membre est également égal. Analyser, quelle est la différence avec notre horaire précédent?

Se débrouiller? C'est ce que l'horaire s'est avéré être:

Maintenant que vous avez complètement compris dans les bases du sujet de la progression géométrique: vous savez ce que c'est, vous savez comment trouver son député et savoir qu'une telle progression géométrique infiniment décroissante, nous nous tournons vers sa propriété principale.

Propriété de la progression géométrique.

Vous souvenez-vous de la propriété des membres de la progression arithmétique? Oui, oui, comment trouver la valeur d'un certain nombre de progression lorsqu'il existe les valeurs précédentes et ultérieures des membres de cette progression. Rappelé? Cette:

Nous avons maintenant exactement la même question pour les membres de la progression géométrique. Pour apporter une formule similaire, commençons et se disputons. Vous verrez, c'est très facile, et si vous oubliez, vous pouvez le prendre vous-même.

Prenez une autre progression géométrique simple dans laquelle nous sommes connus et. Comment trouver? Lorsque la progression arithmétique, c'est facile et simple, et comment est-ce? En fait, dans la géométrie, il n'y a rien de compliqué - il est nécessaire de simplement peindre la formule à chaque valeur donnée.

Vous demandez, et maintenant que faire avec ça? Oui, très simple. Pour commencer, vous montrerez ces formules sur la figure et essayez de faire diverses manipulations avec elles à la valeur.

Nous sommes abstraits des chiffres que nous avons reçus, ne se concentrons que sur leur expression dans la formule. Nous devons trouver une valeur allouée couleur orange, Connaissant les membres des membres-voisins. Essayons de produire avec eux diverses actionsÀ la suite de laquelle nous pouvons obtenir.

Une addition.
Essayons de plier deux expressions et nous obtenons:

À partir de cette expression, comme vous le voyez, nous ne pourrons donc pas exprimer, nous allons donc essayer une autre option - soustraction.

Soustraction.

Comme vous le voyez, nous ne pouvons pas non plus exprimer cela. Nous essayons donc de multiplier l'expression l'une sur l'autre.

Multiplication.

Et maintenant, regardez attentivement ce que nous avons, multipliant ces membres de la progression géométrique par rapport à ce que vous devez trouver:

J'ai deviné de quoi je parle? Droit de nous trouver besoin de prendre racine carrée De multiplié par l'autre, adjacent au nombre souhaité de progression géométrique:

Voici. Vous avez vous-même apporté la propriété de la progression géométrique. Essayez de graver cette formule dans général. Arrivé?

Oublié la condition à? Pensez pourquoi il est important, par exemple, essayez de vous calculer, avec. Que se passe-t-il dans ce cas? C'est vrai, une stupidité complète comme la formule ressemble à ceci:

En conséquence, n'oubliez pas cette restriction.

Considère maintenant ce qui est égal

Bonne réponse - ! Si vous n'oubliez pas la deuxième valeur possible lorsque vous calculez, vous pouvez immédiatement aller à l'entraînement, et si vous avez oublié - lisez ce qui s'est désassemblé et faites attention à la raison pour laquelle vous devez enregistrer les deux racines.

Nous dessinons à la fois nos progressions géométriques - une avec une valeur et l'autre avec la valeur et la vérification si elles ont tous deux le droit d'exister:

Afin de vérifier si une telle progression géométrique existe ou non, il est nécessaire de voir, est la même entre tous ses membres spécifiés? Calculez Q pour les premier et second cas.

Découvrez pourquoi nous devrions écrire deux réponses? Parce que le signe sur l'élément souhaité dépend de ce qui est positif ou négatif! Et puisque nous ne savons pas ce qu'il est, nous devons écrire à la fois des réponses et plus, et avec un moins.

Maintenant, lorsque vous avez appris les points forts et apporté la formule pour la propriété de la progression géométrique, trouvez, connaissez et

Comparer les réponses reçues avec le bon:

Que pensez-vous, et si nous n'avions pas été donnés à la valeur des membres de la progression géométrique, mais équidistant à cela. Par exemple, nous devons trouver, et donné et. Peut-on utiliser dans ce cas la formule que nous avons dérivée? Essayez la même confirmation ou réfuter cette opportunité, la peinture de ce qui se compose de tout sens, comme vous le faites, dérivant initialement une formule, avec.
Qu'est-ce que tu as fait?

Maintenant, regardez attentivement.
et en conséquence:

De cela, nous pouvons conclure que la formule fonctionne non seulement pour les voisins voisins avec le membre souhaité de la progression géométrique, mais aussi avec Équivalent Des membres désirés.

Ainsi, notre formule initiale acquiert le formulaire:

C'est-à-dire que dans le premier cas, nous avons dit que, nous disons maintenant que cela peut être égal à tout nombre naturel moins élevé. L'essentiel est d'être la même chose pour les deux numéros spécifiés.

Pénétrer par exemples spécifiques, seulement être extrêmement attentionné!

1. . Trouver.
2. . Trouver.
3. . Trouver.

J'ai décidé? J'espère que vous étiez extrêmement attentionné et que vous avez remarqué une petite capture.

Comparer les résultats.

Dans les deux premiers cas, nous utilisons calmement la formule décrite ci-dessus et nous obtenons les valeurs suivantes:

Dans le troisième cas, avec une prise en compte attentive des numéros de séquence de ces données, nous comprenons qu'ils ne sont pas équidistants à partir du nombre que nous recherchons: est le nombre précédent: est le numéro précédent, mais supprimé en position, appliquer ainsi la formule n'est pas possible.

Comment le résoudre? En fait, ce n'est pas si difficile, comme il semble qu'il semble! Allez avec vous, d'où nous sommes tous reçus et le numéro souhaité consiste.

Nous avons donc et. Voyons ce que vous pouvez faire avec eux? Je propose de diviser sur. On a:

Nous substituons nos données dans la formule:

La prochaine étape que nous pouvons trouver - pour cela, nous devons prendre racine cubique du nombre résultant.

Et maintenant nous regarde à nouveau ce que nous avons. Nous avons, et nous devons trouver, et il est à son tour:

Toutes les données nécessaires pour le comptage que nous avons trouvées. Nous nous substituons à la formule:

Notre réponse: .

Essayez de résoudre un autre telle tâche vous-même:
Dano:
Trouver:

Combien avez-vous fait? J'ai - .

Comment voyez-vous, en fait, vous avez besoin n'oubliez pas qu'une seule formule -. Tous les autres, vous pouvez vous retirer sans travailler vous-même à tout moment. Pour ce faire, écrivez simplement sur une feuille de la progression et d'écriture géométrique la plus simples, qui, selon la formule ci-dessus, est égale à chaque numéro.

La somme des membres de la progression géométrique.

Envisagez maintenant des formules qui nous permettent de calculer rapidement le montant des membres de la progression géométrique dans l'intervalle spécifié:

Pour amener le résumé de la formule de la progression géométrique finale, multipliez toutes les parties de l'équation supérieure sur. On a:

Regardez prudemment: qu'est-ce qui est courant dans les deux dernières formules? C'est bon, les membres généraux, par exemple, etc., à l'exception du premier et du dernier membre. Essayons de déduire de la 2e équation 1er. Qu'est-ce que tu as fait?

Exprimant maintenant un membre de la progression géométrique à travers la formule d'une progression géométrique et soumet l'expression obtenue dans notre dernière formule:

Expression de groupe. Tu devrais obtenir:

Tout ce qui reste à faire est d'exprimer:

En conséquence, dans ce cas.

Et qu'est-ce qui se passerait si? Quelle formule fonctionne-t-elle alors? Imaginez une progression géométrique à. Qu'est-ce qu'elle est présente? Corrigez un certain nombre de nombres identiques, respectivement, la formule ressemblera à ceci:

Comme dans la progression arithmétique et géométrique, il y a beaucoup de légendes. L'un d'eux est la légende de l'ensemble, l'équipage des échecs.

Beaucoup savent que le jeu d'échecs a été inventé en Inde. Lorsque le roi hindou l'a rencontré, il a été admiré par son esprit et une variété de dispositions possibles. Ayant appris qu'il a été inventé par l'un de ses sujets, le roi a décidé de la récompenser personnellement. Il a appelé l'inventeur à lui-même et lui ordonna de lui demander tout ce qu'il souhaite, promettant de remplir même le désir le plus qualifié.

La SETA a demandé à l'heure de penser, et quand le lendemain, l'ensemble est venu au roi, il a surpris le roi de la modestie inégalée de sa demande. Il a demandé la première cellule du grain de blé de damier, pour les deuxième grains de blé, pour la troisième, pour le quatrième, etc.

Le roi était en colère et a parcouru l'ensemble, affirmant que la demande de la servante était indigne de la générosité royale, mais a promis que le serviteur recevrait ses grains pour toutes les cellules du conseil d'administration.

Et maintenant, la question: en utilisant la formule de la somme des membres de la progression géométrique, comptez combien de grains devraient obtenir le jeu?

Commençons parlons. Depuis, par la condition de la première cellule de l'échiquier, l'ensemble a demandé au grain de blé, pour la seconde, pour la troisième, pour la quatrième, etc., alors nous voyons que dans la tâche nous parlons Sur la progression géométrique. Quelle est la même chose dans ce cas?
Droite.

Cellules d'échiquier entières. Par conséquent,. Nous avons toutes les données, il ne reste plus qu'à remplacer dans la formule et à calculer.

Pour présenter au moins des "échelles" de ce numéro, nous transformons en utilisant les propriétés degré:

Bien sûr, si vous le souhaitez, vous pouvez prendre une calculatrice et calculer que dans le numéro à la fin, vous réussirez, et sinon, vous devez me croire pour mot: la valeur finale de l'expression sera.
C'est à dire:

quintilles de quadrillions milliards milliards de million.

FUH) Si vous souhaitez imaginer la grandeur de ce nombre, comptez le type de grange aurait besoin d'accueillir toute la quantité de grain.
Avec la hauteur de la grange M et la largeur de la longueur, il aurait été d'être utilisé sur km, - c'est-à-dire Deuxième que de la Terre au soleil.

Si le roi serait fort en mathématiques, il pourrait suggérer de compter le grain lui-même, car pour compter un million de grains, il n'aurait besoin de pas moins d'une journée d'un compte inlassable et compte tenu de compter que les quintillas devraient être comptés, les grains avoir à compter leur vie.

Et maintenant nous résolvons un simple défi sur la quantité de membres de progression géométrique.
L'étudiant de la 5ème classe Vasya est tombé malade de la grippe, mais continue d'aller à l'école. Chaque jour, Vasya infecte deux personnes qui, à leur tour, infectent deux autres personnes et ainsi de suite. Au total dans la salle de classe. Après combien de jours la grippe fera mal à la classe entière?

Donc, le premier membre de la progression géométrique est Vasya, c'est-à-dire une personne. Un membre de la progression géométrique, ce sont ces deux personnes qu'il a infectées le premier jour de son arrivée. montant total Les membres de la progression sont égaux au nombre d'étudiants 5a. En conséquence, nous parlons de la progression dans laquelle:

Substituez nos données dans la formule du montant de la progression géométrique:

Toute la classe tombera malade pendant des jours. Ne croyez pas les formules et les chiffres? Essayez de décrire l'infection des étudiants par eux-mêmes. Arrivé? Regardez comment ça me ressemble:

Calculez-vous, car combien de jours les disciples seront malades avec la grippe, si tout le monde aurait infecté par une personne et une personne étudiée dans la classe.

Quelle valeur as-tu réussi? J'ai réussi à ce que tout le monde a commencé à blesser un jour plus tard.

Comme vous le voyez, une tâche similaire et un dessin à elle ressemble à une pyramide dans laquelle chaque «conduit» ultérieur de nouvelles personnes. Cependant, tôt ou tard, ce moment vient quand ce dernier ne peut attirer personne. Dans notre cas, si vous soumettez que la classe est isolée, la personne est fermée avec une chaîne (). Ainsi, si une personne était impliquée dans la pyramide financière, dans laquelle l'argent a été donné au cas où vous apportez deux autres participants, puis une personne (ou dans général) Je ne dirais que personne, respectivement, je perdrais tout ce qui a investi dans cette portée financière.

Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence à une progression géométrique décroissante ou croissante, mais comme vous vous en souvenez, nous avons un type particulier - une progression géométrique à infiniment décroissante. Comment envisager le montant de ses membres? Et pourquoi ce type de progression a-t-il certaines fonctionnalités? Traisons avec ensemble.

Donc, pour un début, voyons encore une fois ce dessin de progression géométrique décroissante infiniment de notre exemple:

Et maintenant, nous examinerons la formule du montant de la progression géométrique, dirigée par un peu plus tôt:
ou alors

Que cherchons-nous? C'est vrai, il semble que cela cherche à zéro. C'est, avec, il sera presque égal, respectivement, lors du calcul de l'expression que nous allons passer presque. À cet égard, nous pensons que lorsque lors de la somme d'une progression géométrique réduise infiniment, ce support peut être négligé, car il sera égal.

- formule le montant des membres de la progression géométrique décroissante infiniment.

IMPORTANT! La formule de la somme des membres de la progression géométrique infiniment décroissante que nous utilisons uniquement si la condition est indiquée que vous devez trouver le montant infini Nombres.

Si un nombre spécifique N est indiqué, nous utilisons la formule de la quantité de n membres, même si ou.

Et maintenant, il pratique.

1. Trouvez la somme des premiers membres de la progression géométrique avec et.
2. Trouvez la somme des membres de la progression géométrique décroissante infinie C et.

J'espère que tu étais extrêmement attentif. Comparez nos réponses:

Vous connaissez maintenant la progression géométrique, tout est temps de passer de la théorie à la pratique. Les tâches les plus courantes de progression géométrique trouvée à l'examen sont les tâches de calcul de l'intérêt complexe. Il s'agit d'eux qui seront discutés.

Tâches de calcul d'intérêt complexe.

Vous avez probablement entendu parler de la prétendue formule d'intérêt complexe. Comprenez-vous ce que cela signifie? Sinon, comprenons, car il est conscient du processus lui-même, vous comprendrez immédiatement et ici la progression géométrique.

Nous allons tous à la banque et savons qu'il y a conditions différentes Dépôts: c'est le terme et le service supplémentaire, et le pourcentage avec deux différentes façons Ses accumulations sont simples et difficiles.

DE intérêt simple Plus ou moins compréhensible: les intérêts sont accumulés une fois à la fin de la période de dépôt. C'est-à-dire que si nous parlons du fait que nous mettons 100 roubles par an sous, ils ne sont donc crédités qu'à la fin de l'année. En conséquence, à la fin de la contribution, nous aurons des roubles.

Intérêts composés - Ceci est une variante à laquelle capitalisation des intérêts. Leur réception au montant de la contribution et le calcul ultérieur du revenu ne provient pas de l'initiale, mais du montant du dépôt accumulé. La capitalisation n'est pas constamment, mais avec une certaine périodicité. En règle générale, ces périodes sont égales et la plupart des banques utilisent un mois, un trimestre ou une année.

Supposons que nous mettions tous les mêmes roubles sur annuels, mais avec la capitalisation mensuelle de la contribution. Qu'avons-nous?

Comprenez-vous tout ici? Sinon, traitons des étapes.

Nous avons apporté aux roubles de la banque. À la fin du mois, nous devrions avoir un montant composé de nos roubles A plus des intérêts sur eux, c'est-à-dire:

Je suis d'accord?

Nous pouvons sortir le support et ensuite nous obtiendrons:

D'accord, cette formule est déjà plus comme ce que nous avons écrit au début. Il reste à traiter avec intérêt

En termes de tâche, on nous raconte une question annuelle. Comme vous le savez, nous ne nous multiplions pas - nous traduisons l'intérêt pour fractions décimales, c'est à dire:

Droite? Maintenant, vous demandez, et d'où vient le numéro? Très simple!
Je répète: la tâche est dit sur Annuel intérêt, dont l'accumulation se produit MENSUEL. Comme vous le savez, dans les mois d'année, respectivement, la banque nous facturera un mois à partir de pourcentage annuel:

Connu? Essayez maintenant d'écrire comment cette partie de la formule sera l'air, si je dis que l'intérêt est accumulé quotidiennement.
Se débrouiller? Comparons les résultats:

Bien fait! Revenons à notre tâche: écrivez combien sera accumulé à notre compte pour le deuxième mois, en tenant compte de ce que l'intérêt est accumulé au montant accumulé de la contribution.
C'est ce qui m'est arrivé:

Ou, en d'autres termes:

Je pense que vous avez déjà remarqué un modèle et j'ai vu une progression géométrique dans tout cela. Écrivez ce qui sera égal à sa bite ou, en d'autres termes, combien d'argent nous obtenons à la fin du mois.
Fait? Vérifier!

Comme vous le voyez, si vous mettez de l'argent à la banque pendant une année sous un pourcentage simple, vous obtiendrez des roubles et si sous les roubles complexes. L'avantage est petit, mais cela ne se produit que pendant un an, mais pendant une période plus longue, la capitalisation est beaucoup plus rentable:

Considérer un autre type de tâche pour un intérêt complexe. Après ce que vous comprenez, ce sera élémentaire pour vous. Donc, la tâche:

La société "STAR" a commencé à investir dans l'industrie en 2000, ayant des capitaux de dollars. Chaque année depuis 2001, il fait un profit de la capitale de l'année précédente. Combien de profits recevront la société "STAR" à la fin de 2003, si le bénéfice du chiffre d'affaires n'a pas été retiré?

La capitale de la société "STAR" en 2000.
- la capitale de la société "STAR" en 2001.
- La capitale de la société "STAR" en 2002.
- la capitale de la société "STAR" en 2003.

Ou nous pouvons écrire un bref:

Pour notre cas:

2000, 2001, 2002 et 2003.

Respectivement:
roubles
Remarque, dans cette tâche, nous n'avons pas de division Aucune, comme le pourcentage est annuel et est facturé chaque année. C'est-à-dire la lecture de la tâche d'intérêt complexe, faites attention à laquelle le pourcentage est donné et pour quelle période il est accumulé, et seulement ensuite, passez à des calculs.
Vous connaissez maintenant la progression géométrique.

Entraînement.

1. Trouver un membre de la progression géométrique, si on sait que et
2. Trouver la somme des premiers membres de la progression géométrique, s'il est connu que, et
3. La société "Capitale MDM" a commencé à investir dans l'industrie en 2003, en capital de dollars. Chaque année, à partir de 2004, il fait un profit de la capitale de l'année précédente. Les flux de trésorerie MSC ont commencé à investir dans l'industrie en 2005 au montant de 10 000 $, de démarrage des bénéfices depuis 2006 dans le montant. Combien de dollars le capital d'une entreprise est plus différent à la fin de 2007, si le bénéfice du chiffre d'affaires n'a pas été retiré?

Réponses:

1. Étant donné que l'état de la tâche ne dit pas que la progression de l'infini et est nécessaire pour trouver le montant du nombre spécifique de ses membres, le calcul est basé sur la formule:
2. 
   Société "capitale MDM":

   2003, 2004, 2005, 2006 2007.
   - augmente de 100%, c'est-à-dire 2 fois.
   Respectivement:
   roubles
   Compagnie de trésorerie MSC:

   2005, 2006 2007.
   - Augmente, c'est-à-dire depuis.
   Respectivement:
   roubles
   roubles

Résumons.

1) La progression géométrique () est une séquence numérique, dont le premier trimestre est différent de zéro et chaque élément à partir du second égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle un dénominateur de progression géométrique.

2) Équation de membres de la progression géométrique -.

3) peut prendre des valeurs autres que et.

• si, tous les membres ultérieurs de la progression ont le même signe - ils positif;
• si, alors tous les membres ultérieurs de la progression signes alternatifs;
• quand - la progression s'appelle infiniment diminuer.

4), quand - la propriété de la progression géométrique (membres adjacents)

ou alors
, avec (membres équidistants)

Quand vous n'avez pas besoin d'oublier que la réponse devrait être deux.

Par example,

5) La quantité de membres de progression géométrique est calculée par la formule:
ou alors

Si la progression diminue infiniment, alors:
ou alors

IMPORTANT! Nous utilisons la formule de la somme des membres de la progression géométrique infiniment décroissante que si la condition est exprimée qu'il est nécessaire de trouver la somme du nombre infini de membres.

6) Les défis de l'intérêt complexe sont également calculés par le membre formule -go de la progression géométrique, à condition que l'argent du chiffre d'affaires n'a pas été sélectionné:

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. Brièvement sur la chose principale

Progression géométrique () Il s'agit d'une séquence numérique, dont le premier trimestre est différent de zéro, et chaque membre à partir du second égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro est appelé dénominateur Progression géométrique.

Progression géométrique de dénominateur Peut prendre des valeurs autres que et.

• Si, tous les membres ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs;
• si, tous les membres ultérieurs de la progression des signes alternatifs;
• quand - la progression s'appelle infiniment diminuer.

Équation de progression géométrique - .

Le montant des membres de la progression géométrique Calculé par la formule:
ou alors

La formule du n-e membre de la progression géométrique est la chose est très simple. Comme dans le sens et par l'esprit général. Mais les tâches sur la formule du N-ème membre se trouvent toutes sortes de - de très primitive à assez grave. Et dans le processus de notre connaissance, nous examinerons également les deux personnes et les autres. Bien, faites connaissance?)

Donc, pour le début lui-même formulen.

Elle est là:

b N. = b. 1 · q N. -1

Formule comme formule, rien de surnaturel. Il semble encore plus facile et plus compact qu'une formule similaire pour. La signification de la formule est également simple que les bottes.

Cette formule vous permet de trouver n'importe quel membre de la progression géométrique par son numéro " n.".

Comme vous le voyez, dans le sens, une analogie complète avec des progrès arithmétiques. Nous connaissons le nombre n - nous pouvons compter et un membre en vertu de ce numéro. Ce que nous voulons. Ne pas multiplier séquentiellement sur "Q" beaucoup, plusieurs fois. Exactement.)

Je comprends qu'à ce niveau de travail avec la progression de tous entrants dans la formule de la magnitude, vous devez déjà être compris, mais je considère que ma dette à déchiffrer chacune. Au cas où.

Alors allons-y:

B. 1 – premier un membre de la progression géométrique;

Q. – ;

N. - Numéro de membre;

B N. – améliorantn.-Y) Membre de la progression géométrique.

Cette formule lie les quatre paramètres principaux de toute progression géométrique - b. N., b. 1 , q. et n.. Et autour de ces quatre chiffres clés et toutes les tâches de progression sont en train de tourner.

"Et comment est-il affiché?" - J'entends une question curieuse ... élémentaire! Voir!

Ce qui est égal deuxième Membre de la progression? Aucun problème! Écrire directement:

b 2 \u003d B 1 · Q

Et la troisième bite? Aussi pas un problème! Le deuxième membre pousse encore une fois surq..

Comme ça:

B 3 \u003d b 2 · q

Rappelez-vous maintenant que le second terme, à son tour, est égal à B 1 · Q et substituez cette expression dans notre égalité:

B 3 \u003d B 2 · q \u003d (b 1 · q) · q \u003d b 1 · q · q \u003d b 1 · q 2

On a:

B. 3 \u003d B 1 · q 2

Maintenant, lisez notre dossier en russe: le troisième Le membre est égal au premier terme multiplié par q dans deuxième degré. Attraper? Pas encore? Bon, une autre étape.

Quelle est la quatrième bite? Tous les mêmes! Multiplier précédent (c'est-à-dire la troisième bite) sur Q:

B 4 \u003d B 3 · q \u003d (b 1 · q 2) · q \u003d b 1 · q 2 · q \u003d b 1 · q 3

LE TOTAL:

B. 4 \u003d B 1 · q 3

Et se traduit à nouveau en russe: quatrième Le membre est égal au premier terme multiplié par q dans la troisième degré.

Etc. Alors, comment? Pris régulièrement? Oui! Pour tout membre avec n'importe quel nombre, le nombre de facteurs identiques Q (c'est-à-dire le degré de dénominateur) sera toujours par unité inférieure au nombre de l'élément souhaitén..

Par conséquent, notre formule sera, sans options:

b n \u003db. 1 · q N. -1

C'est tout ça.)

Eh bien, ils ont coupé les défis, probablement?)

Résoudre des tâches sur la formulen.-Ho membre de la progression géométrique.

Commençons, comme d'habitude, avec une utilisation directe de la formule. Voici un problème typique:

Dans la progression géométrique, il est connu que b. 1 \u003d 512 I. q. \u003d -1/2. Trouver le dixième membre de progression.

Bien sûr, ce problème peut généralement résoudre ce problème. Directement dans le sens de la progression géométrique. Mais nous devons vous réchauffer avec la formule du N-ème membre, non? Alors respire.

Nos données pour l'application de la formule sont les suivantes.

Premier terme connu. Ceci est 512.

B. 1 = 512.

Dénominateur de progression également connu: q. = -1/2.

Il ne reste plus qu'à comprendre ce qui est égal au nombre de n. Aucun problème! Sommes-nous intéressés par le dixième membre? Nous substituons donc à la formule générale du top dix au lieu de n.

Et envisager soigneusement l'arithmétique:

Réponse 1.

Comme vous pouvez le constater, le dixième membre de progression était moins. Rien d'incroyable: le dénominateur de la progression de l'US -1/2, c'est-à-dire négatif numéro. Et cela nous dit que les signes de notre progression alternative, oui.)

Tout est simple ici. Et voici une tâche similaire, mais un peu plus compliquée en termes de calcul.

En progression géométrique, il est connu que:

B. 1 = 3

Trouver le treizième membre de progression.

Tout de même, seulement cette fois le dénominateur de la progression - irrationnel. Racine de deux. Eh bien, rien de terrible. La formule est une chose universelle, avec tous les numéros exces.

Nous travaillons directement par la formule:

Bien sûr, la formule a fonctionné comme il le devrait, mais ... voici quelques-uns et accrocher. Que faire à côté de la racine? Comment construire une racine sur le douzième degré?

Comme ... il est nécessaire de comprendre que toute formule, bien sûr, est bonne, mais la connaissance de l'ensemble des mathématiques précédentes n'est pas annulée! Comment construire? Oui, les propriétés de degrés se souviennent! Tournez la racine B. fractionnaireet - par la formule du diplôme d'exercice.

Comme ça:

Réponse: 192.

Et toutes choses.)

Quelle est la principale difficulté avec l'utilisation directe de la formule de la nième membre? Oui! La principale difficulté est travailler avec des degrés! Nommément - l'extérieur nombres négatifs, fractions, racines et modèles similaires. Donc, ceux qui ont des problèmes avec cela, la demande urgente de répéter le degré et leurs propriétés! Sinon, dans ce sujet, vous ralentirez, oui ...)

Et maintenant nous coupons les tâches typiques de la recherche. un des éléments de la formuleSi tous les autres sont donnés. Pour résoudre avec succès de telles tâches, la recette est une et simple à l'horreur - nous écrivons de la formulen.-Ho membre en général!Juste dans le cahier à côté de la condition. Et puis hors de la condition, nous pensons que nous sommes donnés et ce qui manque. Et express de la formule l'ampleur souhaitée. Tout!

Par exemple, une telle tâche inoffensive.

Le cinquième membre de la progression géométrique avec le dénominateur 3 est 567. Trouvez le premier membre de cette progression.

Rien de difficile. Nous travaillons directement par sort.

Nous écrivons la formule du N-ème Membre!

b N. = b. 1 · q N. -1

Qu'est-ce qui nous est donné? Premièrement, un dénominateur de progression est donné: q. = 3.

De plus, nous sommes donnés cinquième bite: b. 5 = 567 .

Tout? Pas! Nous avons donné un numéro n! Ceci est le cinq: n \u003d 5.

J'espère que vous comprenez déjà que dans le record b. 5 = 567 Deux paramètres sont cachés à la fois - c'est la cinquième bite elle-même (567) et son nombre (5). Dans une leçon similaire, j'ai déjà parlé de cela, mais je considère aussi pas superflu à rappeler.)

Maintenant, nous substituons nos données dans la formule:

567 = b. 1 · 3 5-1

Nous considérons l'arithmétique, nous simplifions et obtenez un simple Équation linéaire:

81 b. 1 = 567

Nous décidons et obtenons:

B. 1 = 7

Comme vous le voyez, avec la recherche du premier membre de tout problème. Mais lors de la recherche de dénominateur q. et chiffres n. Les surprises peuvent également se rencontrer. Et pour eux (surprises) aussi, vous devez être préparé, oui.)

Par exemple, une telle tâche:

Le cinquième membre de la progression géométrique avec un dénominateur positif est égal à 162 et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Cette fois, nous recevons les premiers et cinquième membres, et ils demandent un dénominateur de progression. Ici et procédez.

Nous écrivons de la formulen.-Ho membre!

b N. = b. 1 · q N. -1

Nos données source seront les suivantes:

B. 5 = 162

B. 1 = 2

N. = 5

Pas assez de sens q.. Aucun problème! Maintenant, nous allons trouver.) Nous nous substituons à la formule tout ce que nous savons.

On a:

162 \u003d 2 ·q. 5-1

2 q. 4 = 162

Q. 4 = 81

Une équation simple du quatrième degré. Mais maintenant - soigneusement! À ce stade des solutions, de nombreux étudiants soulagent immédiatement la racine (quatrième degré) et reçoivent une réponse. q.=3 .

Comme ça:

Q 4 \u003d 81

Q. = 3

Mais en fait, c'est une réponse inachevée. Plus précisément, incomplet. Pourquoi? Le fait est que la réponse q. = -3 convient également: (-3) 4 sera également 81!

Tous en raison du fait que l'équation de pouvoir x N. = uNE. a toujours deux racines opposées pour prêtn. . Avec un plus et avec un moins:

Les deux conviennent.

Par exemple, la résolution (c'est-à-dire deuxième degré)

x 2 \u003d 9

Pour une raison quelconque, vous n'êtes pas surpris par l'apparence deux racines x \u003d ± 3? Alors voici la même chose. Et avec tout autre pensée Le degré (quatrième, sixième, dixième, etc.) sera également le même. Détails - Au sujet de Pro

donc solution correcte Sera:

Q. 4 = 81

Q. \u003d ± 3.

Eh bien, avec des signes figurant. Quels sont les meilleurs-plus ou moins? Eh bien, nous avons lu une fois de plus la condition de la tâche à la recherche pour plus d'informations. Bien sûr, cela peut ne pas être, mais dans ce problème, de telles informations disponible.Nous, dans la condition, le texte direct dit que la progression de dénominateur positif.

Par conséquent, la réponse est évidente:

Q. = 3

Tout est simple ici. Et que pensez-vous que ce serait si le libellé de la tâche serait comme ça:

Le cinquième membre de la progression géométrique est de 162 et le premier mandat de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quelle est la différence? Oui! À la condition rien Pas dit sur le signe du dénominateur. Ni droit ni indirectement. Et ici la tâche aurait déjà eu deux solutions!

Q. = 3 et q. = -3

Oui oui! Et plus et avec un moins.) Mathématiquement ce fait signifierait qu'il y ait deux progressionqui conviennent sous la condition de la tâche. Et pour chacun, votre dénominateur. Par souci d'intérêt, pratiquez et écrivez les cinq premiers membres de chacun d'eux.)

Et maintenant, le numéro de membre pratique. Cette tâche est la plus difficile, oui. Mais mais plus créatif.)

DANA Progression géométrique:

3; 6; 12; 24; …

Quel est le numéro 768 dans cette progression?

La première étape est toujours la même: nous écrivons de la formulen.-Ho membre!

b N. = b. 1 · q N. -1

Et maintenant, comme d'habitude, nous substituons les données qui nous sont connues. Gm ... pas substitué! Où est le premier membre, où est le dénominateur, où est tout le reste ?!

Où - où ... et les yeux, pourquoi avons-nous besoin? Cils applaudissants? Cette fois, la progression nous est donnée directement comme séquences. Premier membre voir? Nous voyons! Ceci est un triple (B 1 \u003d 3). Et le dénominateur? Nous ne voyons pas encore, mais il est très facilement envisagé. Si, bien sûr, comprenez.

Nous pensons donc. Directement au sens de la progression géométrique: prenez n'importe qui (à l'exception du premier) et divisez-le au précédent.

Au moins comme ça:

Q. = 24/12 = 2

Que savons-nous d'autre? Nous sommes toujours connus du membre de cette progression, égale à 768. Sous certains Numéro N:

B N. = 768

Le nombre dont il est inconnu, mais notre tâche est juste que c'est pour le trouver.) Nous recherchons donc. Toutes les données nécessaires à la substitution dans la formule que nous avons déjà téléchargée. Inaperçu pour vous-même.)

Nous substituons donc:

768 \u003d 3 · 2 N. -1

Nous faisons le primaire - nous divisons les deux parties sur les trois premiers et réécrivez l'équation de la forme habituelle: l'inconnu gauche, connu - droit.

On a:

2 N. -1 = 256

Voici une équation aussi intéressante. Il est nécessaire de trouver "n". Qu'est-ce qui est inhabituel? Oui, je ne discute pas. En fait, c'est le plus simple. Il est dit en raison du fait que l'inconnu (dans ce cas Ce nombre n.) Vaut la peine indicateur degré.

Au stade de la connaissance de la progression géométrique (il s'agit de la neuvième année), les équations exponentielles ne sont pas enseignées, oui ... c'est le sujet du lycée. Mais il n'y a rien de terrible. Même si vous ne savez pas comment ces équations sont résolues, essayons de trouver notre n., guidé par une logique simple et un bon sens.

Nous commençons à raisonner. Sur la gauche nous avons deux dans une certaine mesure. Nous ne savons pas encore ce qu'il est spécifiquement pour le diplôme, mais ce n'est pas effrayant. Mais nous savons fermement que ce diplôme est 256! Je me souviens donc dans quelle mesure Deucend nous donne 256. Rappelez-vous? Oui! DANS huitième Degré!

256 = 2 8

S'ils ne se souvenaient pas ou avec la reconnaissance des degrés du problème, il n'est également rien de terrible: il suffit d'ériger systématiquement une fois sur la place, dans le cube, au quatrième degré, cinquième, et ainsi de suite. Sélection, en fait, mais à ce niveau - assez roulant.

Quoi qu'il en soit, nous obtiendrons:

2 N. -1 = 2 8

N.-1 = 8

N. = 9

Donc, 768 est neuvième Membre de notre progression. Tout, la tâche est résolue.)

Réponse: 9.

Quelle? Ennuyeuse? Fatigué d'un élémentaire? Je suis d'accord. Moi aussi. Marcher jusqu'au niveau suivant.)

Tâches plus complexes.

Et maintenant nous résolvons les tâches plus brusquement. Pas tellement supercondré, mais sur lequel ils doivent travailler un peu pour se rendre à la réponse.

Par exemple, tel.

Trouvez le deuxième membre de la progression géométrique Si son quatrième membre est égal à -24 et le septième membre est de 192.

C'est un genre classique. Il y a deux membres différents de la progression et il est nécessaire de trouver un autre membre. Et tous les membres ne sont pas voisins. Quelles sont les confus au début, oui ...

Comme dans, pour résoudre ces tâches, nous considérons deux manières. La première méthode est universelle. Algébrique. Cela fonctionne en toute sécurité et avec toutes les données source. Par conséquent, c'est de lui et commence.)

Nous décrivons chaque membre par la formule n.-Ho membre!

Tout exactement en point car avec des progrès arithmétiques. Seulement cette fois nous travaillons avec autre formule générale. C'est tout.) Mais l'essence est la même: prendre et alternativement Nous substituons nos données source dans la N-e formule. Pour chaque membre - leur propre.

Pour le quatrième membre, écrivez:

B. 4 = b. 1 · q. 3

-24 = b. 1 · q. 3

Il y a. Une équation est prête.

Pour le septième membre, nous écrivons:

B. 7 = b. 1 · q. 6

192 = b. 1 · q. 6

Total reçu deux équations pour même progression .

Nous recueillons le système:

Malgré sa formidable vue, le système est assez simple. La solution la plus évidente est la substitution habituelle. Express b. 1 De l'équation supérieure et substitut au fond:

Regardez un peu avec l'équation inférieure (degré de réduction des degrés et divisant -24), nous obtenons:

q. 3 = -8

À la même équation, au fait, vous pouvez venir et plus facilement! Quelle? Maintenant, je vais vous démontrer un autre secret, mais le très beau, puissant et façon utile Solutions de tels systèmes. Ces systèmes dans les équations dont sont assis travaille seulement.Au moins en un. Appelé méthode de la détection Millenune équation à une autre.

Donc, devant le système américain:

Dans les deux équations à gauche - compositionet à droite - juste un nombre. C'est très bon signe.) Prenons-le et ... Divisons, disons, l'équation inférieure au sommet! Quels moyens, avez-vous partagé une équation à une autre? Très simple. Prendre partie gauche une équation (inférieure) et delim. Sur partie gauche une autre équation (haut). Avec le côté droit de la même manière: partie droite une équation delim. sur le partie droite Autre.

L'ensemble du processus de division ressemble à ceci:

Maintenant, réduisant tout ce qui est réduit, nous obtenons:

Q. 3 = -8

Qu'est-ce qui est bon de cette façon? Dans le fait que, dans le processus d'une telle division, tout n'est pas bon et peu pratique peut réduire et rester en toute sécurité une équation assez inoffensive! C'est pourquoi c'est si important seulement des multiplications Au moins dans l'une des équations du système. Il n'y a pas de multiplication - il n'y a rien à couper, oui ...

En général, cette méthode (comme beaucoup d'autres manières non triviales de résolution de systèmes) mérite même une leçon distincte. Assurez-vous de le comprendre plus en détail. Un jour…

Cependant, peu importe la façon dont vous résolvez exactement le système, en tout état de cause, nous devons maintenant résoudre l'équation résultante:

Q. 3 = -8

Pas de problème: retirer la racine (cubique) et - prêt!

Veuillez noter que ici, lors de l'extraction, il n'est pas nécessaire de mettre plus / moins. Le degré de l'invention (tiers) est root. Et la réponse est également seule, oui.)

Donc, le dénominateur de la progression a été trouvé. Moins deux. Excellent! Le processus va.)

Pour le premier membre (disons, de l'équation supérieure), nous obtiendrons:

Excellent! Nous connaissons le premier membre, connaissez le dénominateur. Et maintenant, nous avons la possibilité de trouver un membre de la progression. Y compris la seconde.)

Pour le deuxième membre, tout est complètement simple:

b. 2 = b. 1 · q. \u003d 3 · (-2) \u003d -6

Réponse: -6.

Donc, la façon algébrique de résoudre le problème, nous avons aménagé sur les étagères. Compliqué? Pas très, je suis d'accord. Long et fastidieux? Oui bien sûr. Mais parfois, vous pouvez réduire considérablement la quantité de travail. Car c'est méthode graphique.Bon vieux et familier par nous.)

Dessiner une tâche!

Oui! Exactement. Nous décrivons à nouveau notre progression sur l'axe numérique. Pas nécessairement sur la lignée, il n'est pas nécessaire de résister à des intervalles égaux entre les membres (qui, au fait, ne seront pas les mêmes, car la progression est géométrique!), Mais simplement schématique Nous dessinons notre séquence.

J'ai eu comme ça:

Et maintenant nous regardons la photo et nous pensons. Combien de multiplicateurs identiques "q" partagent quatrième et septième Membres? Vrai, trois!

Par conséquent, nous avons le plein droit d'écrire:

-24 ·q. 3 = 192

À partir d'ici est maintenant facilement recherché par Q:

q. 3 = -8

q. = -2

C'est bien, le dénominateur est déjà dans sa poche. Et maintenant nous regardons à nouveau la photo: combien de tels dénominants sont assis entre deuxième et quatrième membres? Deux! Par conséquent, pour enregistrer la connexion entre ces membres, le dénominateur s'éteindra dans la place.

Ici nous écrivons:

b. 2 · q. 2 = -24 De! b. 2 = -24/ q. 2

Nous substituons notre dénominateur trouvé dans l'expression de B 2, nous croyons et obtenons:

Réponse: -6.

Comme vous pouvez le constater, tout est beaucoup plus facile et plus rapide que le système. De plus, ici, nous n'avons même pas besoin de considérer la première bite! Du tout.)

Voici une lumière simple et visuelle. Mais il a un sérieux désavantage. Devine? Oui! Il ne convient que pour de très courtes morceaux de progression. Tels, où les distances entre les membres d'intérêt ne sont pas très grandes. Mais dans tous les autres cas, la photo est déjà difficile à dessiner, oui ... Puis nous résolvons le problème analytiquement, à travers le système.) Et le système est universel. Avec des chiffres excités.

Un autre problème épique:

Le deuxième membre de la progression géométrique est de 10 plus que le premier et le troisième membre est de 30 de plus que la seconde. Trouver un dénominateur de progression.

Qu'est-ce que c'est cool? Pas du tout! Tous les mêmes. Encore une fois, nous traduisons la condition de la tâche dans l'algèbre pure.

1) Décrivez chaque membre par formule n.-Ho membre!

Deuxième terme: B 2 \u003d B 1 · Q

Troisième membre: B 3 \u003d B 1 · Q 2

2) Écrivez un lien entre les membres de la condition du problème.

Lire la condition: "Le deuxième membre de la progression géométrique est de 10 plus que le premier." Arrête, c'est précieux!

Nous écrivons:

B. 2 = b. 1 +10

Et cette phrase est traduite en mathématiques propres:

B. 3 = b. 2 +30

Reçu deux équations. Nous les combinons dans le système:

Le système est simple. Mais quelque chose de nombreux index différents au bec. Substitut au lieu des deuxième et troisième membres de leur expression par le premier membre et le dénominateur! En vain, qu'avons-nous les peintes?

On a:

Mais ce système n'est plus un cadeau, oui ... Comment résoudre? Malheureusement, un sort secret universel sur la résolution complexe non linéaire Il n'y a pas de systèmes en mathématiques et ne peut pas être. C'est fantastique! Mais la première chose à venir à l'esprit lorsque vous essayez de spyy comme une solide nuthek - c'est estimer, et si l'une des équations du système n'est pas réduite à belle vuePermettre, par exemple, il est facile d'exprimer l'une des variables à travers l'autre?

Donc j'estime. La première équation du système est clairement plus facile pour la seconde. Il est soumis à la torture.) Et n'essayez pas de la première équation quelque chose Express quelque chose? Puisque nous voulons trouver un dénominateur q., il serait plus rentable pour nous d'exprimer b. 1 à travers q..

Nous allons donc essayer de faire cette procédure avec la première équation, en appliquant l'ancien bien:

b 1 q \u003d B 1 +10

B 1 q - B 1 \u003d 10

B 1 (Q-1) \u003d 10

Tout! Donc nous avons exprimé inutile variable américaine (B 1) à travers nécessaire (Q). Oui, pas l'expression la plus facile reçue. La fraction est une partie ... mais le système que nous avons un niveau décent, oui.)

Typique. Que faire - savoir.

Nous écrivons ... (obligatoire!) :

q ≠ 1.

Nous multiplions tout au dénominateur (Q-1) et nous réduisons toutes les fractions:

10 q. 2 = 10 q. + 30(q.-1)

Nous divisons tout pour le top dix, révèrons les supports, collectionner tout sur la gauche:

q. 2 – 4 q. + 3 = 0

Nous résolvons les résultats et obtenez deux racines:

q. 1 = 1

q. 2 = 3

La réponse finale est une: q. = 3 .

Réponse: 3.

Comme vous pouvez le constater, le chemin de résolution de la plupart des tâches de la formule du N-T ème membre de la progression géométrique est toujours un: lu soigneusement La condition du problème et avec l'aide de la formule N-ème membres que nous traduisons tous informations utiles Dans une algèbre propre.

À savoir:

1) Nous décrivons séparément chacun donné dans le membre de la tâche par la formulen.-Ho membre.

2) À partir des termes de la tâche, nous traduisons le lien entre les membres sous une forme mathématique. Faire une équation ou un système d'équations.

3) Résolvez l'équation ou le système d'équations obtenus, nous trouvons des paramètres de progression inconnus.

4) Dans le cas d'une réponse ambiguë, nous lisons attentivement la condition du problème à la recherche d'informations supplémentaires (s'il y a telle). De plus, nous aspirons à la réponse résultante avec l'ODz (le cas échéant).

Et maintenant, nous énumérons les principaux problèmes qui conduisent le plus souvent à des erreurs dans le processus de résolution des problèmes de progression géométrique.

1. Arithmétique élémentaire. Actions avec des fractions et des nombres négatifs.

2. Si au moins un de ces trois points du problème, vous vous tromperez inévitablement dans ce sujet. Malheureusement ... alors ne soyez pas paresseux et répétez ce qui est mentionné ci-dessus. Et sur les liens - aller. Aide parfois.)

Formules modifiées et récurrentes.

Et envisagez maintenant quelques tâches d'examen typiques avec un écoulement moins familier. Oui, oui, devriez-vous deviner! il modifié et récurrent Formulas N-th Membre. Avec de telles formules, nous avons déjà fait face et travaillé dans la progression arithmétique. Ici tout est similaire. L'essence est la même.

Par exemple, une telle tâche de OGE:

La progression géométrique est définie par la formule b N. \u003d 3 · 2 N. . Trouvez la somme des premier et quatrième de ses membres.

Cette fois, la progression n'est pas très familière pour nous. Sous la forme d'une formule. Et alors? Cette formule - aussi formulen.-Ho membre! Nous savons avec vous que la formule du N-ème Membre puisse être écrite à la fois sous la forme générale, à travers les lettres et pour progression spécifique. DE spécifique Premier membre et dénominateur.

Dans notre cas, nous avons réellement demandé à la formule d'un membre général de la progression géométrique ici avec de tels paramètres:

b. 1 = 6

Q. = 2

Chèque?) Nous écrivons la formule du N-e Membre en général et en substituer b. 1 et q.. On a:

B N. = b. 1 · q N. -1

B N. \u003d 6 · 2 N. -1

Nous simplifions l'utilisation de la décomposition des multiplicateurs et des propriétés de degrés, et nous obtenons:

b N. \u003d 6 · 2 N. -1 \u003d 3 · 2 · 2 N. -1 \u003d 3 · 2 N. -1+1 \u003d 3 · 2 N.

Comme vous pouvez le constater, tout est honnête. Mais notre objectif avec vous n'est pas de démontrer la conclusion d'une formule spécifique. C'est tellement la retraite paroles. Purement pour la compréhension.) Notre objectif est de résoudre la tâche pour la formule, qui nous est donnée à l'état. Capture?) Nous travaillons donc avec une formule modifiée directement.

Nous considérons le premier terme. Remplacer n.=1 En formule générale:

b. 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6

Comme ça. En passant, je ne suis pas adapté et paye votre attention sur les genoux typiques avec le calcul du premier membre. Ne pas regarder la formule b N. \u003d 3 · 2 N., Immédiatement se précipiter pour écrire que le premier membre est Troïka! C'est une erreur brute, oui ...)

Nous continuons. Remplacer n.=4 et nous considérons la quatrième bite:

B. 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48

Eh bien, enfin, nous considérons le montant requis:

B. 1 + b. 4 = 6+48 = 54

Réponse: 54.

Plus de tâche.

La progression géométrique est posée:

B. 1 = -7;

B N. +1 = 3 b N.

Trouvez le quatrième mandat de progression.

Ici, la progression est définie par la formule récurrente. Bien, OK.) Comment travailler avec une telle formule - Nous savons aussi.

Alors acte. Pas.

1) Nous considérons deux cohérent Membre de la progression.

Le premier membre est déjà défini. Moins sept. Mais le second membre suivant peut facilement calculer sur la formule récurrente. Si vous comprenez le principe de son travail, bien sûr.)

Nous considérons ici le deuxième membre selon le célèbre premier:

B. 2 = 3 b. 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21

2) Nous considérons le dénominateur de la progression

Aussi pas de problèmes. Droit, Delim. deuxième Membre de premier.

On a:

Q. = -21/(-7) = 3

3) écrire une formulen.-Ho membre de la forme habituelle et considérez le membre souhaité.

Donc, le premier membre savait, dénominateur - aussi. Ici nous écrivons:

B N. \u003d -7 · 3 N. -1

B. 4 \u003d -7 · 3 3 = -7 · 27 \u003d -189

Réponse: -189

Comme vous pouvez le constater, travailler avec de telles formules pour la progression géométrique n'est pas une autre de son essence de celle de la progression de l'arithmétique. Il est seulement important de comprendre l'essence générale et la signification de ces formules. Eh bien, le sens de la progression géométrique doit également être compris, oui.) Et puis il n'y aura pas d'erreurs stupides.

Eh bien, te baise-toi?)

Tâches élémentaires complètes, pour l'échauffement:

1. DANA Progression géométrique dans laquelle b. 1 \u003d 243, et q. \u003d -2/3. Trouvez le sixième membre de la progression.

2. Le membre global de la progression géométrique est défini par la formule b N. = 5∙2 N. +1 . Trouvez le numéro du dernier membre à trois chiffres de cette progression.

3. La progression géométrique est définie par les termes:

B. 1 = -3;

B N. +1 = 6 b N.

Trouvez le cinquième membre de la progression.

Un peu plus compliqué:

4. DANA Progression géométrique:

B. 1 =2048; q. =-0,5

Quel est le sixième membre négatif?

Qu'est-ce qui semble superflu? Pas du tout. Enregistrez la logique et la compréhension du sens de la progression géométrique. Eh bien, la formule du n-e membre, bien sûr.

5. Le troisième membre de la progression géométrique est -14 et le huitième membre est 112. Trouvez le dénominateur de la progression.

6. La somme des premier et deuxième membres de la progression géométrique est de 75 ans et la somme des deuxième et troisième membres est de 150. Trouvez le sixième membre de la progression.

Réponses (dans le trouble): 6; -3888; -une; 800; -32; 448.

C'est presque tout. Il reste seulement d'apprendre à nous considérer la somme des premiers membres de la progression géométrique Oui, découvrez décroissance infiniment la progression géométrique et sa somme. Très intéressante et inhabituelle, au fait! À ce sujet - dans les leçons suivantes.)

Si chaque nombre naturel n. mettre une valeur valide uN. , alors ils disent ce qui est défini séquence numérique :

uNE. 1 , uNE. 2 , uNE. 3 , . . . , uN. , . . . .

Donc, la séquence numérique est la fonction de l'argument naturel.

Nombre uNE. 1 Appel le premier membre de la séquence , Nombre uNE. 2 — le deuxième membre de la séquence , Nombre uNE. 3 — la troisième etc. Nombre uN. Appel n-M Dick séquences et le nombre naturel n. — son numéro .

De deux membres voisins uN. et uN. +1 Séquences de membre uN. +1 Appel suivre (envers uN. ), mais uN. — précédent (envers uN. +1 ).

Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de trouver un membre d'une séquence avec n'importe quel nombre.

Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant formulas N-th Membre , C'est-à-dire la formule qui vous permet de déterminer le membre de la séquence par son numéro.

Par example,

la séquence de nombres impairs positifs peut être définie par la formule

uN.= 2n -1,

et la séquence alternée 1 et -1 - Formule

b. N. = (-1) N. +1 . ◄

La séquence peut être définie formule récurrente, C'est-à-dire une formule qui exprime tout membre de la séquence, en commençant par certains, à travers les précédents (un ou plusieurs) membres.

Par example,

si un uNE. 1 = 1 , mais uN. +1 = uN. + 5

uNE. 1 = 1,

uNE. 2 = uNE. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

uNE. 3 = uNE. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

uNE. 4 = uNE. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

uNE. 5 = uNE. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un a 1.= 1, a 2. = 1, uN. +2 = uN. + uN. +1 , Les sept premiers membres de la séquence numérique sont définis comme suit:

a 1. = 1,

a 2. = 1,

a 3. = a 1. + a 2. = 1 + 1 = 2,

a 4. = a 2. + a 3. = 1 + 2 = 3,

a 5. = a 3. + a 4. = 2 + 3 = 5,

uNE. 6 = uNE. 4 + uNE. 5 = 3 + 5 = 8,

uNE. 7 = uNE. 5 + uNE. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être finir et infini .

La séquence est appelée fini s'il a un nombre fini de membres. La séquence est appelée infini s'il a infiniment de nombreux membres.

Par example,

séquence de nombres naturels à deux chiffres:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

fini.

Séquence de nombres premiers:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

infini. ◄

La séquence sont appelées en augmentant Si chacun de son membre commence à partir du second, plus que le précédent.

La séquence sont appelées descendant Si chaque membre est du deuxième, inférieur au précédent.

Par example,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - séquence croissante;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - séquence décroissante. ◄

La séquence dont les éléments, avec un nombre croissant, ne diminuent pas, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle séquence monotone .

Les séquences monoteures, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique la séquence est appelée, dont chaque membre, à partir de la seconde, est le précédent, à laquelle le même nombre est ajouté.

uNE. 1 , uNE. 2 , uNE. 3 , . . . , uN., . . .

est une progression arithmétique si pour tout entier naturel n. La condition est satisfaite:

uN. +1 = uN. + rÉ.,

où rÉ. - Quelque nombre.

Ainsi, la différence entre les membres suivants et précédents de cette progression arithmétique est toujours constante:

a 2. - uNE. 1 = et 3. - uNE. 2 = . . . = uN. +1 - uN. = rÉ..

Nombre rÉ. Appel la différence entre la progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit de spécifier son premier terme et une différence.

Par example,

si un uNE. 1 = 3, rÉ. = 4 , les cinq premières séquences de la séquence trouvent comme suit:

a 1. =3,

a 2. = a 1. + rÉ. = 3 + 4 = 7,

a 3. = a 2. + rÉ.= 7 + 4 = 11,

a 4. = a 3. + rÉ.= 11 + 4 = 15,

uNE. 5 = uNE. 4 + rÉ.= 15 + 4 = 19. ◄

Pour la progression arithmétique avec le premier membre uNE. 1 et différence rÉ. sa n.

uN. = a 1. + (n.- 1)ré.

Par example,

trouver un trentième membre de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

a 1. =1, rÉ. = 3,

a 30. = a 1. + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1. + (n.- 2)ré,

uN.= a 1. + (n.- 1)ré,

uN. +1 = uNE. 1 + nd.,

alors évidemment

chaque membre de la progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à l'arithmétique moyen des membres précédents et ultérieurs.

les chiffres A, B et C sont des membres cohérents de la progression arithmétique si et seulement si l'un d'entre eux est égal à l'arithmétique moyen deux autres.

Par example,

uN. = 2n.- 7 est une progression arithmétique.

Nous utilisons la déclaration ci-dessus. On a:

uN. = 2n.- 7,

un n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n.- 9,

a N + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2n.- 5.

D'où,

◄

Noter que n. -Y membre de la progression arithmétique peut être trouvé non seulement uNE. 1 mais aussi tout précédent un k.

uN. = un k. + (n.- k.)rÉ..

Par example,

pour uNE. 5 peut être enregistré

a 5. = a 1. + 4rÉ.,

a 5. = a 2. + 3rÉ.,

a 5. = a 3. + 2rÉ.,

a 5. = a 4. + rÉ.. ◄

uN. = un n-k + kD.,

uN. = a N + K - kD.,

alors évidemment

tout membre de la progression arithmétique, à partir du deuxième égal à la moitié des membres de cette progression arithmétique égale à celle-ci.

De plus, l'égalité est vraie pour toute progression arithmétique:

un m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Par example,

en progression arithmétique

1) uNE. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (uNE. 9 + uNE. 11 )/2;

2) 28 = un 10. = a 3. + 7rÉ.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) un 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + A 12 \u003d A 5 + A 9, comme

a 2 + A 12= 4 + 34 = 38,

Un 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n.= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ uN.,

d'abord n. Les membres de la progression arithmétique sont égaux au travail de l'extrême termes alternatifs pour le nombre de termes:

D'ici, en particulier, il s'ensuit que si l'adhésion doit être résumée

un k., un k. +1 , . . . , uN.,

la formule précédente conserve sa structure:

Par example,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si la progression arithmétique est donnée, les valeurs uNE. 1 , uN., rÉ., n. etS. n. délimité par deux formules:

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces valeurs sont données, les valeurs correspondantes des deux valeurs restantes sont déterminées à partir de ces formules combinées à un système de deux équations avec deux inconnues.

La progression arithmétique est une séquence monotone. Où:

• si un rÉ. > 0 , alors il augmente;
• si un rÉ. < 0 , il est descendant;
• si un rÉ. = 0 La séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique la séquence est appelée, chaque membre dont, à partir du second, est la précédente, multipliée par le même nombre.

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b N., . . .

est une progression géométrique, si pour un nombre naturel n. La condition est satisfaite:

b N. +1 = b N. · q.,

où q. ≠ 0 - Quelque nombre.

Ainsi, le ratio du membre suivant de cette progression géométrique à la précédente est le nombre permanent:

b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b N. +1 / b N. = q..

Nombre q. Appel progression géométrique de dénominateur.

Pour définir une progression géométrique, il suffit de spécifier son premier terme et son dénominateur.

Par example,

si un b. 1 = 1, q. = -3 , les cinq premières séquences de la séquence trouvent comme suit:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · q. = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · q.= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · q.= 9 · (-3) = -27,

b. 5 = b. 4 · q.= -27 · (-3) = 81. ◄

b. 1 et dénominateur q. sa n. - Je peux être trouvé par la formule:

b N. = b. 1 · q N. -1 .

Par example,

trouver le septième membre de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b. 1 = 1, q. = 2,

b. 7 = b. 1 · q. 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1. · q N. -2 ,

b N. = b 1. · q N. -1 ,

b N. +1 = b. 1 · q N.,

alors évidemment

b N. 2 = b N. -1 · b N. +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir de la seconde, est égal aux éléments géométriques moyens (proportionnels) précédents et suivants.

Étant donné que la déclaration opposée est également vraie, la déclaration suivante a lieu:

les chiffres A, B et C sont des membres cohérents de certaines progression géométriques si et uniquement si le carré de l'un d'entre eux est égal à l'œuvre des deux autres, c'est-à-dire un des chiffres de deux autres.

Par example,

nous prouvons que la séquence spécifiée par la formule b N. \u003d -3 · 2 N. est une progression géométrique. Nous utilisons la déclaration ci-dessus. On a:

b N. \u003d -3 · 2 N.,

b N. -1 \u003d -3 · 2 N. -1 ,

b N. +1 \u003d -3 · 2 N. +1 .

D'où,

b N. 2 \u003d (-3 · 2 N.) 2 \u003d (-3 · 2 N. -1 ) · (-3 · 2 N. +1 ) = b N. -1 · b N. +1 ,

qui prouve la déclaration nécessaire. ◄

Noter que n. -Y membre de la progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers b. 1 , mais aussi tout membre précédent b K. pourquoi il suffit d'utiliser la formule

b N. = b K. · q N. - K..

Par example,

pour b. 5 peut être enregistré

b 5. = b 1. · q. 4 ,

b 5. = b 2. · q 3.,

b 5. = b 3. · q 2.,

b 5. = b 4. · q.. ◄

b N. = b K. · q N. - K.,

b N. = b N. - K. · q K.,

alors évidemment

b N. 2 = b N. - K.· b N. + K.

la place de tout membre de la progression géométrique, à partir du deuxième égal au travail des membres de cette progression équiviable de celui-ci.

De plus, l'égalité est vraie pour toute progression géométrique:

b.· b N.= b K.· b L.,

m.+ n.= k.+ l..

Par example,

en progression géométrique

1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;

2) 1024 = b. 11 = b. 6 · q. 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;

4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , comme

b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,

b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b N.

d'abord n. Membres de la progression géométrique avec dénominateur q. ≠ 0 Calculé par la formule:

Et pour q. = 1 - Selon la formule

S n.= nB. 1

Notez que si vous avez besoin de résumer des membres

b K., b K. +1 , . . . , b N.,

la formule est utilisée:

Par example,

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si la progression géométrique est donnée, les valeurs b. 1 , b N., q., n. et S n. délimité par deux formules:

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces valeurs sont données, les valeurs correspondantes des deux valeurs restantes sont déterminées à partir de ces formules combinées à un système de deux équations avec deux inconnues.

Pour la progression géométrique avec le premier membre b. 1 et dénominateur q. Il y a ce qui suit propriétés de la monotonie :

• la progression augmente si l'une des conditions suivantes est effectuée:

b. 1 > 0 et q.> 1;

b. 1 < 0 et 0 < q.< 1;

• la progression est décroissante si l'une des conditions suivantes est effectuée:

b. 1 > 0 et 0 < q.< 1;

b. 1 < 0 et q.> 1.

Si un q.< 0 , alors la progression géométrique est un signe): ses membres avec des nombres impairs ont le même signe que son premier membre et des membres avec des nombres pair - le signe opposé. Il est clair que la progression géométrique alternative n'est pas monotone.

Le travail du premier n. Les membres de la progression géométrique peuvent être calculés par la formule:

P n.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B N. = (b 1. · b N.) n. / 2 .

Par example,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Décroissance infiniment la progression géométrique

Diminution infiniment la progression géométrique Appelez une progression géométrique infinie, dont le module de dénominateur est moins 1 , c'est à dire

|q.| < 1 .

Notez que la progression géométrique décroissante infiniment peut ne pas être une séquence décroissante. Cela correspond au cas

1 < q.< 0 .

Avec ce dénominateur, la séquence est alternée. Par example,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Somme de progression géométrique en diminution infiniment appeler le numéro à laquelle la somme du premier est illimitée n. Membres de la progression avec une augmentation illimitée du nombre n. . Ce nombre est toujours bien sûr et exprimé par la formule

Par example,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Communication de progressions arithmétiques et géométriques

La progression arithmétique et géométrique est étroitement liée à l'autre. Ne considérez que deux exemples.

uNE. 1 , uNE. 2 , uNE. 3 , . . . rÉ. T.

b A. 1 , b A. 2 , b A. 3 , . . . b D. .

Par example,

1, 3, 5, . . . - Progression arithmétique avec une différence 2 et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - Progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - Progression géométrique avec dénominateur q. T.

journal A b 1, journal A b 2, journal A b 3, . . . - Progression arithmétique avec une différence journal A.q. .

Par example,

2, 12, 72, . . . - Progression géométrique avec dénominateur 6 et

lg. 2, lg. 12, lg. 72, . . . - Progression arithmétique avec une différence lg. 6 . ◄

Considérer une certaine ligne.

7 28 112 448 1792...

Il est clair que la signification de l'un de ses éléments est plus que la précédente quatre fois. Ça veut dire ces séries est une progression.

Séquence infinie de nombres géométriques progressive, la principale caractéristique qui est que le numéro suivant est obtenu de la précédente en multipliant à un nombre spécifique. Ceci est exprimé par la formule suivante.

a z +1 \u003d A z · q, où Z est le numéro de l'élément sélectionné.

En conséquence, Z ∈ N.

La période où une progression géométrique est étudiée à l'école - 9e année. Des exemples aideront à comprendre le concept:

0.25 0.125 0.0625...

Sur la base de cette formule, le dénominateur de progression est possible de trouver comme suit:

Ni q, ni b z ne peuvent être égaux à zéro. En outre, chacun des éléments de progression ne devrait pas être zéro.

En conséquence, pour connaître le prochain nombre de lignes, vous devez multiplier le dernier Q.

Pour définir cette progression, vous devez spécifier son premier élément et son dénominateur. Après cela, il est possible de trouver l'un des membres ultérieurs et de leur somme.

Variétés

Selon Q et A 1, cette progression est divisée en plusieurs types:

• Si et 1, et q plus d'unités, une telle séquence augmente avec chaque l'élément suivant progression géométrique. L'exemple est présenté ci-dessous.

Exemple: a 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - les deux paramètres sont supérieurs d'un.

Ensuite, la séquence numérique peut être enregistrée comme suit:

3 6 12 24 48 ...

• Si | Q | Moins, c'est-à-dire que la multiplication est équivalente à la division, la progression de ces conditions diminue la progression géométrique. L'exemple est présenté ci-dessous.

Exemple: a 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - une autre unités supplémentaires, q est inférieur.

Ensuite, la séquence numérique peut être écrite de cette manière:

6 2 2/3 ... - Tout élément est supérieur à l'élément qui suit, 3 fois.

• Signe. Si Q.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemple: a 1 \u003d -3, q \u003d -2 - les deux paramètres sont inférieurs à zéro.

Ensuite, la séquence numérique peut être écrite comme suit:

3, 6, -12, 24,...

Formules

Pour un usage pratique de progressions géométriques, de nombreuses formules:

• Formula Z-th Membre. Vous permet de calculer l'élément sous le numéro spécifique sans calcul des chiffres précédents.

Exemple:q. = 3, uNE. 1 \u003d 4. Nécessite le quatrième élément de la progression.

Décision:uNE. 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La somme des premiers éléments dont le nombre est égal z.. Vous permet de calculer la somme de tous les éléments de séquence àune Z. compris.

Comme (1-q.) se tient dans le dénominateur, puis (1 - q)≠ 0, donc, q n'est pas égal à 1.

Remarque: Si Q \u003d 1, la progression représenterait une série de nombres répétés infiniment.

La quantité de progression géométrique, des exemples:uNE. 1 = 2, q. \u003d -2. Calculez S 5.

Décision:S. 5 = 22 - Calcul de la formule.

• Montant si |q.| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemple:uNE. 1 = 2 , q. \u003d 0.5. Trouver le montant.

Décision:S z. = 2 · = 4

S z. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Quelques propriétés:

• Propriété caractéristique. Si la condition suivante effectué pour toutz., puis une rangée numérique donnée - Progression géométrique:

une Z. 2 = une Z. -1 · uNE. Z + 1.

• De plus, le carré de n'importe quel nombre de progression géométrique est situé avec l'ajout de l'ajout des carrés des deux autres numéros d'une rangée donnée si elles sont égales à cet élément.

une Z. 2 = une Z. - T. 2 + une Z. + T. 2 oùt. - distance entre ces chiffres.

• Éléments diffère de Q.temps.
• Les logarithmes des éléments de progression forment également une progression, mais déjà arithmétique, c'est-à-dire que chacun d'entre eux est plus que le précédent pour un certain nombre.

Exemples de certaines tâches classiques

Pour mieux comprendre la progression géométrique, des exemples avec une solution de 9 classe peuvent aider.

• Conditions:uNE. 1 = 3, uNE. 3 \u003d 48. Trouverq..

Solution: chaque élément ultérieur est supérieur au précédent dansq. temps.Il est nécessaire d'exprimer certains éléments à travers d'autres personnes utilisant le dénominateur.

D'où,uNE. 3 = q. 2 · uNE. 1

Quand substitutionq.= 4

• Conditions:uNE. 2 = 6, uNE. 3 \u003d 12. Calculez S 6.

Décision:Pour ce faire, il suffit de trouver q, du premier élément et de substituer dans la formule.

uNE. 3 = q.· uNE. 2 , Par conséquent,q.= 2

a 2 \u003d q · A 1,donc a 1 \u003d. 3

S 6 \u003d. 189

• · uNE. 1 = 10, q. \u003d -2. Trouvez un quatrième élément de progression.

Solution: Pour ce faire, il suffit d'exprimer le quatrième élément à travers le premier et par le dénominateur.

a 4 \u003d q 3· a 1 \u003d -80

Un exemple d'application:

• Le client de la Banque a apporté une contribution au montant de 10 000 roubles, selon les termes, chaque année, le client au capital sera ajouté à 6% de celui-ci. Combien de fonds seront dans le compte après 4 ans?

Solution: Le montant initial est égal à 10 000 roubles. Donc, une année après avoir investi dans le compte, il y aura un montant égal à 10 000 + 10 000 · 0.06 \u003d 10000 · 1.06

En conséquence, le montant sur compte après un autre an sera exprimé comme suit:

(10000 · 1.06) · 0,06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10 000

C'est-à-dire que chaque année, le montant augmente à 1,06 fois. Cela signifie qu'il suffit de trouver le montant des fonds sur le compte après 4 ans, il suffit de trouver le quatrième élément de la progression, qui est défini par le premier élément égal à 10 000, et le dénominateur, égal à 1,06 .

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

Exemples de tâches de calcul du montant:

Dans diverses tâches, la progression géométrique est utilisée. Un exemple de recherche du montant peut être spécifié comme suit:

uNE. 1 = 4, q. \u003d 2, calculezS 5..

Solution: Toutes les données nécessaires au calcul sont connues, il vous suffit de les substituer dans la formule.

S. 5 = 124

• uNE. 2 = 6, uNE. 3 \u003d 18. Calculez le montant des six premiers éléments.

Décision:

À Geom. Progression chaque élément suivant est supérieur à celui précédant à Q fois, c'est-à-dire pour calculer le montant que vous devez connaître l'élémentuNE. 1 et dénominateurq..

uNE. 2 · q. = uNE. 3

q. = 3

De même, vous devez trouveruNE. 1 , connaissanceuNE. 2 etq..

uNE. 1 · q. = uNE. 2

a 1 \u003d.2

S. 6 = 728.

Progression géométrique Pas moins important en mathématiques par rapport à l'arithmétique. La progression géométrique est appelée une telle séquence de nombres B1, B2, ..., B [n] chaque trimestre suivant est obtenu en multipliant le nombre précédent. Il s'agit également d'un nombre qui caractérise également le taux de croissance ou de diminution de la progression est appelé. progression géométrique de dénominateur Et dénote

Pour une tâche complète de progression géométrique, en plus du dénominateur, il est nécessaire de connaître ou de définir son premier terme. Pour la valeur positive du dénominateur, la progression est une séquence monotone et si cette séquence de nombres diminue monotonoamment et avec une augmentation monotone. Le cas lorsque le dénominateur est égal à une seule pratique, car nous avons une séquence de nombres identiques et que leur sommation ne cause pas d'intérêt pratique.

Membre général de la progression géométrique Calculer par formule

Montant N Premiers membres de la progression géométrique Déterminer la formule

Envisagez des solutions aux tâches classiques pour la progression géométrique. Commençons à comprendre le plus simple.

Exemple 1. Le premier membre de la progression géométrique est de 27 ans et son dénominateur est de 1/3. Trouvez les six premiers membres de progression géométrique.

Solution: Écrivez l'état du problème dans le formulaire

Pour des calculs, nous utilisons la formule du n-e membre de la progression géométrique

Sur la base de cela, nous trouvons des membres inconnus de la progression

Comment pouvez-vous vous assurer que les calculs des membres de la progression géométrique sont simples. La progression elle-même va ressembler à ceci

Exemple 2. Il existe trois premiers membres de la progression géométrique: 6; -12; 24. Trouvez le dénominateur et le septième de sa bite.

Solution: Calculez le dénominateur de la progression géomititrique en fonction de sa définition

Reçu une autre progression géométrique du dénominateur dont 22. Septième membre Calculez la formule

Sur ce problème est résolu.

Exemple 3. La progression géométrique est définie par deux membres . Trouvez le dixième membre de la progression.

Décision:

Nous écrivons les valeurs spécifiées dans les formules

Selon les règles, il serait nécessaire de trouver un dénominateur, puis de rechercher la valeur souhaitée, mais nous avons pour le dixième membre

La même formule peut être obtenue sur la base de manipulations non difficiles avec des données d'entrée. Nous divisons le sixième membre de la rangée à une autre, par conséquent, nous obtenons

Si la valeur variait au sixième membre, nous obtenons le dixième

Ainsi, pour des tâches similaires avec des transformations simples, une solution appropriée peut être trouvée rapidement.

Exemple 4. La progression géométrique est donnée par des formules récurrentes

Trouvez une progression géométrique de dénominateur et la somme des six premiers membres.

Décision:

Nous écrivons les données données sous la forme d'un système d'équations

Exprimer le dénominateur livrant la deuxième équation pour le premier

Trouvez le premier terme de la progression de la première équation

Nous calculons les cinq membres suivants pour trouver le montant de la progression géométrique