Le degré est utilisé pour simplifier l'enregistrement de la multiplication du nombre d'eux-mêmes. Par exemple, au lieu d'enregistrer, vous pouvez écrire 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) (Une explication de cette transition est donnée dans la première section de cet article). Les diplômes vous permettent de simplifier l'écriture d'expressions ou d'équations longues ou complexes; En outre, les degrés sont facilement pliés et soustraits, ce qui entraîne une simplification d'expression ou d'équation (par exemple, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Noter: Si vous devez résoudre l'équation indicative (dans cette équation, l'inconnu est dans un indicateur du degré), lu.

Pas

Solution des tâches les plus simples avec degrés

Multipliez le fondement du degré lui-même par le nombre de fois égal à l'indicateur. Si vous devez résoudre la tâche avec des degrés manuellement, réécrivez le degré sous la forme d'une opération de multiplication, où le fondement du degré est multiplié par lui-même. Par exemple, donné un diplôme 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4)). Dans ce cas, la base de degré 3 doit être multipliée par lui-même 4 fois: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Voici d'autres exemples:

Pour commencer, multipliez les deux premiers chiffres. Par example, 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Ne vous inquiétez pas - le processus de calcul n'est pas si compliqué car il semble au premier abord. Premièrement, multipliez les deux premiers quatre, puis remplacez-les avec le résultat. Comme ça:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Multipliez le résultat (dans notre exemple 16) au numéro suivant. Chaque résultat ultérieur augmentera proportionnellement. Dans notre exemple, multipliez 16 par 4. Ainsi:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ displaystyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Continuez à multiplier le résultat de la multiplication des deux premiers nombres au numéro suivant jusqu'à ce que vous receviez la réponse finale. Pour ce faire, changez les deux premiers chiffres, puis le résultat est multiplié par le numéro suivant dans la séquence. Cette méthode est valable dans toute mesure. Dans notre exemple, vous devriez obtenir: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Décider des tâches suivantes. Vérifiez la réponse à l'aide de la calculatrice.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ displaystyle 10 ^ (7))

3. Sur la calculatrice, trouvez la clé indiquée comme "exp" ou " x n (\\ displaystyle x ^ (n))", Ou" ^ ". Avec cette clé, vous augmenterez le nombre dans le degré. Calculer l'étendue avec un grand indicateur manuellement impossible (par exemple, degré 9 15 (\\ displaystyle 9 ^ (15))), Mais la calculatrice peut facilement faire face à cette tâche. Sous Windows 7, la calculatrice standard peut être commutée en mode d'ingénierie; Pour ce faire, cliquez sur "Afficher" -\u003e "Ingénierie". Pour passer en mode normal, cliquez sur "Afficher" -\u003e "Normal".

   • Vérifiez la réponse au moteur de recherche (Google ou Yandex). Utilisation de la touche "^" sur le clavier de l'ordinateur, entrez l'expression du moteur de recherche, qui affiche instantanément la réponse correcte (et peut offrir des expressions similaires à étudier).

   Ajout, soustraction, multiplication des degrés

   1. Vous pouvez ajouter et déduire des degrés uniquement s'ils ont les mêmes bases. Si vous devez ajouter des diplômes avec les mêmes bases et indicateurs, vous pouvez remplacer le fonctionnement de l'addition de multiplication. Par exemple, l'expression est donnée 4 5 + 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Rappelez-vous que le degré 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) peut être représenté comme 1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); de cette façon, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (où 1 +1 \u003d 2). C'est-à-dire considérer le nombre de degrés similaires, puis multiplier une telle degré et c'est le nombre. Dans notre exemple, la construction 4 au cinquième degré, puis le résultat résultant se multiplier par 2. N'oubliez pas que l'opération d'addition peut être remplacée par opération de multiplication, par exemple, par exemple, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ displaystyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). Voici d'autres exemples:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Lors de la multiplication de degrés avec la même base, leurs indicateurs sont pliés (la base ne change pas). Par exemple, l'expression est donnée x 2 * x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). Dans ce cas, il vous suffit de plier les indicateurs, laissant la base inchangée. De cette façon, x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Voici une explication visuelle de cette règle:

      Lors de l'érection d'un degré, les indicateurs sont multipliés. Par exemple, donné un diplôme. Puisque les indicateurs du degré sont variables, alors (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Le sens de cette règle est que vous multipliez le degré (x 2) (\\ displaystyle (x ^ (2))) Soi-même pour lui-même cinq fois. Comme ça:

      • (x 2) 5 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Puisque la base est la même, les indicateurs du degré d'addition simplement: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Le degré d'indicateur négatif doit être converti en une fraction (au degré inverse). Pas de problème, si vous ne savez pas quel est le diplôme de retour. Si vous recevez un diplôme avec un indicateur négatif, par exemple, 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2)), Écrivez ce degré dans le dénominateur de pantalons (dans le numérateur, Place 1) et rendez l'indicateur positif. Dans notre exemple: 1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2)))). Voici d'autres exemples:

      Lors de la division de degrés avec la même base, leurs indicateurs sont déduits (la base ne change pas). L'opération de division est l'opposé de l'opération de multiplication. Par exemple, l'expression est donnée 4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Supprimez le degré dans le dénominateur, de l'indicateur du degré confronté au numérateur (ne change pas la base). De cette façon, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Le degré de confrontation du dénominateur peut être écrit sous cette forme: 1 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2)). N'oubliez pas que la fraction est un nombre (degré, expression) avec un indicateur négatif du degré.

   4. Vous trouverez ci-dessous quelques expressions qui vous aideront à apprendre à résoudre des tâches avec des degrés. Ces expressions couvrent le matériau énoncé dans cette section. Afin de voir la réponse, mettez simplement en surbrillance l'espace vide après le signe de l'égalité.

   Résoudre les tâches avec des indicateurs fractionnaires

   Le degré d'indicateur fractionnaire (par exemple) est converti en fonctionnement de l'extraction racine. Dans notre exemple: x 1 2 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (2))) = X (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). Peu importe quel nombre est dans le dénominateur de l'indicateur fractionnaire. Par example, x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4))) - c'est la racine du quatrième degré de "x", c'est-à-dire x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Si l'indicateur est une fraction irrégulière, une telle mesure peut être décomposée à deux degrés pour simplifier la solution du problème. Il n'y a rien de compliqué à cela - rappelez-vous simplement la règle de multiplication par degrés. Par exemple, donné un diplôme. Tournez une telle degré à la racine, dont le degré est égal au protruseur de l'indicateur fractionnaire, puis prenez cette racine sur le degré égal au numérateur de l'indicateur fractionnaire. Pour le faire, rappelez-vous que 5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). Dans notre exemple:

      • x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [((3)] (x)))
      • x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(((3)] (x))) ^ (5))
   2. Sur certaines calculatrices, il y a un bouton pour calculer des degrés (vous devez d'abord entrer la base, puis appuyez sur la touche, puis entrez l'indicateur). Il est noté comme ^ ou x ^ y.
   3. N'oubliez pas que n'importe quel nombre dans le premier degré égal à lui-même, par exemple, 4 1 \u003d 4. (\\ displaystyle 4 ^ (1) \u003d 4.) De plus, n'importe quel nombre multiplié ou divisé par un est égal à lui-même, par exemple, 5 * 1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5 * 1 \u003d 5) et 5/1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5/1 \u003d 5).
   4. Sachez que les degrés 0 0 n'existent pas (un tel degré n'a aucune solution). Lorsque vous essayez de résoudre un tel degré sur la calculatrice ou sur l'ordinateur, vous obtiendrez une erreur. Mais rappelez-vous que tout nombre en zéro est de 1, par exemple, 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. Dans les mathématiques les plus élevées, qui fonctionnent avec des nombres imaginaires: e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d COSAX + ISINAX)où i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (((()) - 1)); e-constante, environ égale à 2,7; Une constante arbitraire. La preuve de cette égalité peut être trouvée dans n'importe quel manuel sur des mathématiques plus élevées.

   Mises en garde

   • Avec une augmentation de l'indicateur du degré, sa valeur augmente beaucoup. Par conséquent, si la réponse vous semble tort, il peut être fidèle. Vous pouvez le vérifier en construisant un horaire de tout fonction indicative, par exemple, 2 x.

La construction d'un degré négatif est l'un des principaux éléments de mathématiques, qui se trouve souvent dans la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous une instruction détaillée.

Comment construire un diplôme négatif - la théorie

Lorsque nous sommes un nombre à un degré régulier, nous multiplions la valeur à plusieurs reprises. Par exemple, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Avec une fraction négative, l'inverse. Forme générale La formule aura la forme suivante: A -N \u003d 1 / A n. Ainsi, afin de créer un nombre à un degré négatif, il est nécessaire de diviser l'unité à un nombre donné, mais à un degré positif.

Comment ériger un degré négatif - Exemples de nombres conventionnels

Tenir la règle ci-dessus dans l'esprit, résoudre plusieurs exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 \u003d 1/16.

Mais pourquoi la réponse dans les premier et second exemples est-elle la même? Le fait est que lorsqu'il est érigé nombre négatif Dans un degré pair (2, 4, 6, etc.), le panneau devient positif. Si le diplôme était même, alors moins préservé:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment construire un degré négatif - nombre de 0 à 1

Rappelez-vous que lorsque le nombre est érigé dans une lacune de 0 à 1 à un degré positif, la valeur diminue avec une augmentation de degré. Par exemple, 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25.

Exemple 3: Calculer 0,5 -2
Solution: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Réponse: 0.5 -2 \u003d 4

Catastrophe (séquence d'actions):

• Traduire fraction décimale 0,5 en fraction 1/2. Si plus facile.
  Nous construisons 1/2 à un degré négatif. 1 / (2) -2. Delim 1 à 1 / (2) 2, nous obtenons 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Exemple 4: Calculer 0,5 -3
Solution: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Exemple 5: Calculer -0.5 -3
Solution: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Réponse: -0.5 -3 \u003d -8

Basé sur les 4ème et 5ème exemples, nous ferons plusieurs conclusions:

• Pour un nombre positif Dans la plage de 0 à 1 (exemple 4), qui est érigée dans un degré négatif, une parité ou une précision du degré n'est pas importante, la valeur de l'expression sera positive. Dans le même temps, plus de degré, plus la valeur est grande.
• Pour un nombre négatif dans la portée de 0 à 1 (exemple 5), qui est érigé dans un degré négatif, une parité ou une précision du degré de peu importe, la valeur de l'expression sera négative. Dans le même temps, plus de degré, plus la valeur est petite.

Comment construire un degré négatif - degré sous la forme d'un nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont le formulaire suivant: A -M / N, où A est un numéro commun, M est un numérateur, n est un dénominateur.

Considérons un exemple:
Calculer: 8 -1/3

Solution (séquence d'actions):

• Rappelez-vous la règle d'érection dans un degré négatif. Nous obtenons: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Remarque, dans le dénominateur numéro 8 dans degré fractionné. Le type de calcul général du degré fractionné est le suivant: a m / n \u003d n √8 m.
• Ainsi, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Recevoir racine cubique Sur huit, qui est 2. Basé sur ce, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Réponse: 8 -1/3 \u003d 2

De l'école, nous connaissons tous la règle sur l'exercice dans le degré: tout nombre avec l'indicateur N est égal au résultat de la multiplication d'un nombre donné sur lui-même un nombre de fois. En d'autres termes, 7 au degré 3 est 7, multiplié par lui-même trois fois, c'est-à-dire 343. Une autre règle - la construction de toute valeur dans le degré de 0 donne une unité et la construction d'une valeur négative est le résultat de L'érection habituelle, si elle est même et le même résultat avec le signe "moins", s'il est étrange.

Les règles donnent et répondent à la manière d'élever un nombre dans un degré négatif. Pour ce faire, nous devons être élevés de la manière habituelle la valeur souhaitée sur le module de l'indicateur, puis l'unité de diviser sur le résultat.

À partir de ces règles, il devient clair que la performance de tâches réelles avec le fonctionnement de grandes valeurs nécessitera la disponibilité moyens techniques. Evénient manuellement pour multiplier la plage maximale de nombres à vingt-trente et pas plus de trois ou quatre fois. Cela ne doit pas mentionner que plus tard pour diviser l'unité jusqu'au résultat. Par conséquent, ceux qui n'ont pas de calculatrice d'ingénierie spéciale à portée de main, nous allons savoir comment créer un numéro dans un degré négatif dans Excel.

Résoudre des tâches dans Excel

Pour résoudre les tâches de conception à Excel permet d'utiliser l'une des deux options.

Le premier est l'utilisation d'une formule avec un signe de couvercle standard. Entrez les données suivantes dans les cellules de la feuille de travail:

De la même manière, vous pouvez construire la valeur souhaitée dans n'importe quel degré - négatif, fractionnel. Effectué les actions suivantes Et répondra à la question de savoir comment construire un numéro dans un degré négatif. Exemple:

Il est possible de corriger directement dans la formule \u003d B2 ^ -C2.

La deuxième option consiste à utiliser la fonction finie "degré" hébergeant deux arguments obligatoires - le nombre et l'indicateur. Pour procéder à son utilisation, il suffit de toute cellule libre pour mettre un signe "égal" (\u003d), indiquant le début de la formule et entrez les mots ci-dessus. Il reste à choisir deux cellules qui participeront à l'opération (ou spécifier des numéros spécifiques manuellement), puis cliquez sur la touche Entrée. Regardons quelques exemples simples.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué dans la manière de relever le numéro dans un degré négatif et de l'utilisation habituelle de l'Excel. En effet, pour résoudre cette tâche, vous pouvez utiliser à la fois le symbole habituel de tous les "casquettes" et pratique pour mémoriser la fonction intégrée du programme. Ceci est un certain plus!

Passons-nous vers des exemples plus complexes. Rappelons la règle sur la manière de construire un nombre dans un degré négatif de nature fractionnelle et nous verrons que cette tâche est très simplement résolue dans Excel.

Indicateurs fractionnaires

Si brièvement, l'algorithme de calcul du nombre avec un indicateur fractionnaire est suivant.

1. Convertir un indicateur fractionnaire en une fraction correcte ou incorrecte.
2. Evrigular notre numéro dans le numérateur de la fraction convertie résultante.
3. Du nombre obtenu dans le paragraphe précédent, calculez la racine, avec la condition que l'indicateur racine sera le dénomoteur de la fraction obtenue à la première étape.

D'accord que même lorsque vous travaillez avec de petits nombres et fractions régulières De tels calculs peuvent prendre beaucoup de temps. Il est bon que le processeur de table excellent sans différence, quel nombre et quel degré est à ériger. Essayez de résoudre l'exemple suivant sur le poste de travail Excel:

Profitant des règles ci-dessus, vous pouvez vérifier et vous assurer que le calcul est effectué correctement.

À la fin de notre article, nous donnons une table sous la forme d'une table avec des formules et des résultats, plusieurs exemples de la manière d'ériger un nombre à un degré négatif, ainsi que de plusieurs exemples avec le fonctionnement des nombres fractionnaires et des degrés.

Table d'exemples

Vérifiez les exemples suivants sur la liste de travail du livre Excel. Pour que tout fonctionne correctement, vous devez utiliser un lien mixte lors de la copie de la formule. Sécurisez le numéro de colonne contenant le numéro érigé et le numéro de la chaîne contenant l'indicateur. Votre formule devrait avoir sur le formulaire suivant: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Veuillez noter que les chiffres positifs (même nasez-vous) sont calculés sans aucun indicateur. Il n'y a pas de problèmes avec l'érection de tout numéros dans des indicateurs entier. Mais la construction d'un nombre négatif en un degré fractionnel entraînera une erreur pour vous, car il est impossible de remplir la règle indiquée au début de notre article sur la construction de nombres négatifs, car la parité est la caractéristique d'un entier extrêmement entier. .

Le nombre érigé dans le degré Appelez un tel nombre multiplié à plusieurs reprises.

Degré d'un nombre avec une valeur négative (UN) Il peut être déterminé à la ressemblance de la manière dont le degré du même numéro avec un indicateur positif est déterminé. (un) . Cependant, cela nécessite également une définition supplémentaire. Cette formule est définie comme suit:

uN. \u003d (1 / a n)

Les propriétés des valeurs négatives des degrés de nombres sont similaires à des degrés avec un indicateur positif. Équation présentée uNE. m / a n \u003d un m-n peut être juste comme

« Nulle part, comme dans les mathématiques, la clarté et la précision de la production ne permettent pas à une personne de dévisser de la réponse autour de la question».

A. D. Alexandrov

pour n. Suite m. et quand m. Suite n. . Considérer sur l'exemple: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pour commencer, il est nécessaire de déterminer le nombre qui agit les définitions. b \u003d a (-n) . Dans cet exemple -N. est un indicateur du degré b. - la valeur numérique souhaitée uNE. - la fondation du degré sous forme de naturel valeur numérique. Définissez ensuite le module, c'est-à-dire la valeur absolue du nombre négatif, qui agit comme un indicateur du degré. Calculer le degré de ce nombre de relatifs nombre absolucomme indicateur. La valeur du degré divise l'unité sur le nombre résultant.

Figure. une

Considérez le degré de nombre avec un indicateur de fraction négatif. Imaginez que le nombre est un nombre positif, le nombre n. et m. - entiers. Selon la définition uNE. qui est élevé au degré - est égal à une unité divisée en même nombre avec un degré positif (Fig. 1). Lorsque le degré d'un nombre est une fraction, alors dans de tels cas, utilisé exclusivement des nombres avec des indicateurs positifs.

Ça vaut la peine de se souvenirCe zéro ne peut jamais être un indicateur de l'ampleur du nombre (règle de division pour zéro).

La propagation d'un tel concept que le nombre est devenue de telles manipulations telles que les calculs de mesure, ainsi que le développement de mathématiques, comme la science. Entrer des valeurs négatives était due au développement de l'algèbre qui a donné solutions communes Tâches arithmétiques, quelle que soit leur sens spécifique et leurs données numériques initiales. En Inde, dans les siècles VI-XI, les valeurs négatives des chiffres ont été systématiquement utilisées lors de la résolution des problèmes et ont été étendues de la même manière qu'aujourd'hui. Dans la science européenne, les nombres négatifs ont commencé à être largement utilisés par R. Descarte, qui a donné une interprétation géométrique des nombres négatifs en tant que directions de segments. Les déchartes ont proposé la désignation du numéro érigé pour afficher une formule de deux étages uN. .

peut être trouvé en utilisant la multiplication. Par exemple: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. Cette expression dit que la quantité de termes égaux s'est transformée en travail. Inversement, si vous lisez cette égalité à droite, nous obtenons que nous avons déployé le montant des termes égaux. De même, vous pouvez activer le produit de plusieurs multiplicateurs égaux 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6.

C'est-à-dire au lieu de multiplier six des mêmes facteurs 5x5x5x5x5x5 écrire 5 6 et dire "cinq à la sixième".

L'expression 5 6 est le degré d'un nombre où:

5 - degré de diplôme;

6 - exposant.

Actions par lesquelles le produit des multiplicateurs égaux est transformé en un appel de degré erend dans un diplôme.

En général, le degré avec la base de "A" et l'indicateur "n" est écrit de sorte que

Évaluez le numéro A au degré N - Cela signifie trouver un produit de N multiplicateurs, chacun égal à

Si la base du degré "A" est 1, la valeur du degré avec tout N naturel sera égale à 1. Par exemple, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Si nous construisons le numéro "A" pour construire premier degré, puis obtenir le numéro A lui-même: a 1 \u003d a

Si vous construisez un nombre dans degré zéro, puis à la suite des calculs que nous en obtenons un. a 0 \u003d 1

Spécial considérez les deuxième et troisième degré de nombre. Pour eux ont trouvé les noms: le deuxième degré est appelé nombre carréLa troisième - cuba de ce nombre.

Tout nombre peut être érigé dans un diplôme positif, négatif ou zéro. Dans le même temps, n'utilisez pas les règles suivantes:

Lors de la recherche du degré de nombre positif, un nombre positif est obtenu.

Lorsque vous calculez zéro dans une mesure naturelle, nous obtenons zéro.

x M. X N. \u003d x m + n

par exemple: 7 1.7 · 7 - 0,9 \u003d 7 1,7 + (- 0,9) \u003d 7 1,7 - 0,9 \u003d 7 0,8

À diviser les degrés avec les mêmes bases La base n'est pas modifiée, mais dépend des indicateurs:

x M. / X N. \u003d x m - n où m\u003e n,

par exemple: 13 3.8 / 13 -0,2 \u003d 13 (3.8 -0,2,2) \u003d 13 3.6

Lors du calcul ériger La base n'est pas modifiée et les indicateurs de degrés se multiplient mutuellement.

(au m. ) N. \u003d à m · N.

par exemple: (2 3) 2 \u003d 2 3 · 2 \u003d 2 6

(X · y) n. \u003d X N. · au m. ,

par exemple: (2 · 3) 3 \u003d 2 N · 3 m,

Lorsque vous effectuez des calculs Écrasementnous sommes dans ce degré érigé le nombre et le dénominateur

(x / y) n \u003d X N. / N.

par exemple: (2/5) 3 \u003d (2/5) · (2/5) · (2/5) \u003d 2 3/5 3.

Séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant degré.

Lors de la réalisation de calculs d'expressions sans crochets, mais contenant des degrés, ils produisent d'abord l'exercice dans la mesure où l'action de la multiplication et de la division, et que l'opération d'addition et de soustraction.

Si vous devez calculer l'expression contenant des crochets, alors d'abord dans la procédure ci-dessus, nous effectuons des calculs entre parenthèses, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.

Très largement, dans des calculs pratiques pour simplifier les calculs, utilisez des tables de degrés à tout fait.

Leçon et présentation sur le sujet: "Diplôme avec un indicateur négatif. Définition et exemples de problèmes de résolution"

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Détermination d'un degré avec un indicateur négatif

Nous savons bien que n'importe quel nombre dans une zone zéro est uni. $ A ^ 0 \u003d 1 $, $ a ≠ $ 0.
La question se pose et que se passera-t-il si nous construisons un numéro dans un degré négatif? Par exemple, quel sera le nombre de 2 ^ (- 2) $?
Les premiers mathématiciens qui ont été fixés par cette question ont décidé qu'il ne valait pas la peine d'inventer un vélo et qu'il est bon que toutes les propriétés des diplômes restent les mêmes. C'est-à-dire que la multiplication de degrés avec la même base, les indicateurs du degré sont pliés.
Considérons un tel cas: 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
A reçu que le travail de ces numéros devrait donner une unité. L'unité dans le travail est obtenue en multipliant les nombres inverse, c'est-à-dire 2 $ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

Un tel raisonnement a conduit à la définition suivante.
Définition. Si $ n $ est un nombre naturel et $ a ≠ 0 $, puis l'égalité est effectuée: $ A ^ (- N) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

Une identité importante qui est souvent utilisée: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- N) \u003d (\\ frac (b) a)) ^ n $.
En particulier, $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- N) \u003d A ^ N $.

Exemples de solutions

Décision.
Considérez chaque conformité séparément.
1. 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (25) (4) $.
3. 8 $ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
Il reste à effectuer des opérations d'addition et de soustraction: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) \u003d 6 \\ frac ( 1) (4) $.
Réponse: 6 $ \\ frc (1) (4) $.

Exemple 2.
Présenter un nombre spécifié sous la forme de degré nombre simple $ \\ Frac (1) (729) $.

Décision.
Évidemment, $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
Mais 729 n'est pas un nombre simple se terminant par 9. On peut supposer que ce nombre est le degré de triplement. Diviser séquentiellement 729 à 3.
1) $ \\ frac (729) (3) \u003d 243 $;
2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $;
3) $ \\ frac (81) (3) \u003d 27 $;
4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $;
5) $ \\ frac (9) (3) \u003d 3 $;
6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
Six opérations sont effectuées et cela signifie: 729 $ \u003d 3 ^ 6 $.
Pour notre tâche:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Réponse: 3 ^ (- 6) $.

Exemple 3. Préparer une expression sous la forme de degré: $ \\ frac (A ^ 6 * (A ^ (- 5)) ^ 2) ((A ^ (- 3) * A ^ 8) ^ (- 1)) $.
Décision. La première action est toujours effectuée à l'intérieur des supports, puis la multiplication de $ \\ frac (A ^ 6 * (A ^ (- 5)) ^ 2) ((A ^ (- 3) * A ^ 8) ^ (- 1 )) \u003d \\ Frac (A ^ 6 * A ^ (- 10)) ((A ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (A ^ (- 4))) (A ^ ((- 5) )) \u003d A ^ (-4 - (-4 - (- 5)) \u003d A ^ (- 4 + 5) \u003d A $.
Réponse: $ a $.

Exemple 4. Prouvez l'identité:
$ (\\ Frac (Y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

Décision.
Dans la partie gauche, considérez chaque usine entre parenthèses séparément.
1. $ \\ frac (Y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \\ frac (Y) (y) (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) -2 \\ Frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \\ frac (Y) (x) + \\ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + Y ^ 2) (x + 2Y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x ))) \u003d \\ Frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (Y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x))) \u003d \\ frac (\\ Frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (Y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\\ Frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y)))) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d \\ Frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (x ^ 2-2XY + Y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Nous nous tournons vers la fraction à laquelle nous divisons.
$ \\ Frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1- \\ frac (y) (x)) (\\ frac (x) (Y) +1 ) \u003d \\ Frac (\\ frac (xy) (x)) (\\ frac (x + y) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Effectuer la division.
$ \\ Frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
A reçu une véritable identité, qui devait prouver.

À la fin de la leçon, nous écrivons une fois de plus les règles d'action avec degrés, ici l'indicateur est un entier.
$ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
$ \\ Frac (a ^ s) (A ^ t) \u003d A ^ (S-T) $.
$ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
$ (AB) ^ S \u003d A ^ S * B ^ S $.
$ (\\ Frac (a) (b)) ^ S \u003d \\ frac (A ^ S) (B ^ S) $.

Tâches d'auto-solutions

La construction d'un degré négatif est l'un des principaux éléments de mathématiques, qui se trouve souvent dans la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous une instruction détaillée.

Comment construire un diplôme négatif - la théorie

Lorsque nous sommes un nombre à un degré régulier, nous multiplions la valeur à plusieurs reprises. Par exemple, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Avec une fraction négative, l'inverse. La vue générale de la formule aura la forme suivante: A -N \u003d 1 / A n. Ainsi, afin de créer un nombre à un degré négatif, il est nécessaire de diviser l'unité à un nombre donné, mais à un degré positif.

Comment ériger un degré négatif - Exemples de nombres conventionnels

Tenir la règle ci-dessus dans l'esprit, résoudre plusieurs exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 \u003d 1/16.

Mais pourquoi la réponse dans les premier et second exemples est-elle la même? Le fait est que lorsque le nombre négatif est érigé dans un degré égal (2, 4, 6, etc.), le panneau devient positif. Si le diplôme était même, alors moins préservé:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment construire un degré négatif - nombre de 0 à 1

Rappelez-vous que lorsque le nombre est érigé dans une lacune de 0 à 1 à un degré positif, la valeur diminue avec une augmentation de degré. Par exemple, 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25.< 0,5. В случае с degré négatif Tout est le contraire. Lorsque le nombre décimal (fractionnaire) est érigé dans un degré négatif, la valeur augmente.

Exemple 3: Calculer 0,5 -2
Solution: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Réponse: 0.5 -2 \u003d 4

Catastrophe (séquence d'actions):

• Nous traduisons la fraction décimale de 0,5 à la fraction 1/2. Si plus facile.
  Nous construisons 1/2 à un degré négatif. 1 / (2) -2. Delim 1 à 1 / (2) 2, nous obtenons 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Exemple 4: Calculer 0,5 -3
Solution: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Exemple 5: Calculer -0.5 -3
Solution: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Réponse: -0.5 -3 \u003d -8

Basé sur les 4ème et 5ème exemples, nous ferons plusieurs conclusions:

• Pour un nombre positif dans la portée de 0 à 1 (exemple 4), qui est érigé dans un degré négatif, une parité ou la comptabilité du degré n'est pas important, la valeur de l'expression sera positive. Dans le même temps, plus de degré, plus la valeur est grande.
• Pour un nombre négatif dans la portée de 0 à 1 (exemple 5), qui est érigé dans un degré négatif, une parité ou une précision du degré de peu importe, la valeur de l'expression sera négative. Dans le même temps, plus de degré, plus la valeur est petite.

Comment construire un degré négatif - degré sous la forme d'un nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont le formulaire suivant: A -M / N, où A est un numéro commun, M est un numérateur, n est un dénominateur.

Considérons un exemple:
Calculer: 8 -1/3

Solution (séquence d'actions):

• Rappelez-vous la règle d'érection dans un degré négatif. Nous obtenons: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Remarque, dans le dénominateur numéro 8 dans degré fractionné. Le type de calcul général du degré fractionné est le suivant: a m / n \u003d n √8 m.
• Ainsi, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Nous obtenons une racine cube de huit, qui est 2. basée sur ce, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Réponse: 8 -1/3 \u003d 2