Boom de l'information En biologie - colonies de microbes dans une boîte de Pétri Lapins en Australie Réactions en chaîne - en chimie En physique - désintégration radioactive, changement pression atmosphérique avec changement d'altitude, refroidissement du corps En physique, décroissance radioactive, changement de pression atmosphérique avec changement d'altitude, refroidissement du corps. La libération d'adrénaline dans le sang et sa destruction Ils affirment également que la quantité d'informations double tous les 10 ans Ils affirment également que la quantité d'informations double tous les 10 ans.

(3/5) -1 une 1 3 1/2 (4/9) 0 une *81 (1/2) -3 une -n ​​36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

Expression 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 = 1/2 7= 1/(8 2) = 2/ 16 2)=

3=1, … 1 ; 1,7 1,73 ; 1,732 ; 1,73205 ; 1, ;… la suite augmente 2 1 ; 2 1,7 ; 2 1,73 ; 2 1,732 ; 2 1,73205 ; 2 1, ;… la suite augmente Limitée, ce qui signifie qu'elle converge vers une limite - valeur 2 3

On peut définir π 0

10 10 18 Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="(!LANG : Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 21

La quantité d'informations double tous les 10 ans Sur l'axe Ox - selon la loi de progression arithmétique : 1,2,3,4…. Sur l'axe des ordonnées - conformément à la loi progression géométrique: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Le graphe d'une fonction exponentielle, on l'appelle l'exposant (du latin exponere - afficher)

Dans cet article, nous allons comprendre ce qui est diplôme de. Ici, nous donnerons des définitions du degré d'un nombre, en considérant en détail tous les exposants possibles du degré, en commençant par un exposant naturel, en terminant par un irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Degré avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons avec . Pour l'avenir, disons que la définition du degré de a d'exposant naturel n est donnée pour a , que nous appellerons base de diplôme, et n , que nous appellerons exposant. Notez également que le degré avec un indicateur naturel est déterminé par le produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance du nombre a avec exposant naturel n est une expression de la forme a n , dont la valeur est égale au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a , c'est-à-dire .
En particulier, le degré d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner immédiatement les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire l'entrée a n est : "a à la puissance n". Dans certains cas, de telles options sont également acceptables : "a à la puissance n" et "puissance n du nombre a". Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est "huit puissance douze", ou "huit puissance douzième", ou "puissance douzième huit".

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle le carré d'un nombre, par exemple, 7 2 se lit comme "sept au carré" ou "carré du nombre sept". La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombre de cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme "cinq cubes" ou dire "cube du nombre 5".

Il est temps d'apporter exemples de diplômes avec indicateurs physiques. Commençons par la puissance de 5 7 , où 5 est la base de la puissance et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

Attention, dans le dernier exemple, la base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les écarts, on prendra entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté à ce stade, nous allons montrer la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3 . L'expression (−2) 3 est la puissance de −2 d'exposant naturel 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour le degré de a avec un exposant n de la forme a^n . De plus, si n est un nombre naturel multivalué, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici d'autres exemples d'écriture de degrés en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation du degré de la forme a n .

L'un des problèmes, inverse de l'exponentiation avec un exposant naturel, est le problème de trouver la base du degré à partir d'une valeur connue du degré et d'un exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de nombres fractionnaires, et chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons défini le degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, afin de compléter la définition du degré avec indicateur rationnel, vous devez donner la signification du degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété de degré dans un degré reste valide, l'égalité doit être vraie . Si l'on tient compte de l'égalité résultante et de la façon dont on a défini , alors il est logique d'accepter, à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valables pour as (ceci est fait dans la section sur les propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si pour m, n et a donnés l'expression a un sens, alors la puissance du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n est la racine du nième degré de a à la puissance m.

Cette déclaration nous rapproche de la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire pour quels m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m , n et a, il existe deux approches principales.

Le moyen le plus simple de contraindre a est de supposer a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (car m≤0 n'a pas de puissance de 0 m). Ensuite, nous obtenons la définition suivante du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n un entier naturel, est appelée la racine du nième du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

Le degré fractionnaire de zéro est également défini avec la seule mise en garde que l'exposant doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant positif fractionnaire m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas défini, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant négatif fractionnaire n'a pas de sens.

Il faut noter qu'avec une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a du sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0 . Par exemple, il est logique d'écrire ou , et la définition ci-dessus nous oblige à dire que degrés avec un exposant fractionnaire de la forme n'ont pas de sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer le degré avec un exposant fractionnaire m / n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : le degré du nombre a, dont l'exposant est , est considéré comme le degré du nombre a, dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée plus loin). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (la racine d'un degré pair d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit toujours être non nul (sinon division par zéro se produira). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être n'importe quoi (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un entier naturel. Pour toute fraction ordinaire réductible, le degré est remplacé par . La puissance de a avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme , et ne faisions pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m / n , alors nous rencontrerions des situations similaires à la suivante : puisque 6/10=3/5 , alors l'égalité , mais , un .

Une fois le degré du nombre déterminé, il est logique de parler de propriétés de degré. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base du degré d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous donnerons des preuves de toutes les propriétés du degré et montrerons également comment ces propriétés sont appliquées lors de la résolution d'exemples.

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Propriétés des degrés avec des indicateurs naturels

Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance de a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a . Sur la base de cette définition et en utilisant propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés de degré avec exposant naturel:

1. la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n , sa généralisation ;
2. la propriété des puissances partielles de mêmes bases a m:a n =a m−n ;
3. produit degré propriété (a b) n =a n b n , son extension ;
4. propriété quotient en nature (a:b) n =a n:b n ;
5. exponentiation (a m) n =a m n , sa généralisation (((une n 1) n 2) ...) n k = une n 1 n 2 ... n k;
6. comparant le degré à zéro :
   • si a>0 , alors a n >0 pour tout naturel n ;
   • si a=0 , alors a n =0 ;
   • si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. si a et b sont des nombres positifs et a
8. si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors en 0 0 l'inégalité a m >a n est vraie.

On remarque immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique dans les conditions spécifiées, et leurs parties droite et gauche peuvent être interchangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m a n = a m + n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n = a m a n .

Voyons maintenant chacun d'eux en détail.

Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.

Démontrons la propriété principale du degré. Par la définition d'un degré avec un exposant naturel, le produit de puissances de mêmes bases de la forme a m a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de la multiplication, l'expression résultante peut être écrite comme , et ce produit est la puissance de a d'exposant naturel m+n , c'est-à-dire a m+n . Ceci achève la preuve.

Donnons un exemple qui confirme la propriété principale du degré. Prenons des degrés avec les mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, selon la propriété principale du degré, on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Vérifions sa validité, pour laquelle nous calculons les valeurs des expressions 2 2 ·2 3 et 2 5 . En effectuant l'exponentiation, on a 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 et 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 2 3 \u003d 2 5 est correcte, et elle confirme la propriété principale du degré.

La propriété principale d'un degré basée sur les propriétés de la multiplication peut être généralisée au produit de trois degrés ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Donc pour tout nombre k de nombres naturels n 1 , n 2 , …, n k l'égalité une n 1 une n 2 une n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Par exemple, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Vous pouvez passer à la propriété suivante des degrés avec un indicateur naturel - la propriété des puissances partielles avec les mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n vérifiant la condition m>n , l'égalité a m:a n =a m−n est vraie.

Avant de donner la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans l'énoncé. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et quand on s'est familiarisé avec la division, on a convenu qu'il est impossible de diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un entier naturel, sinon ce sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n ) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m

Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité obtenue a m−n ·a n =a m et il en résulte que a m−n est un quotient des puissances de a m et a n . Ceci prouve la propriété des puissances partielles avec les mêmes bases.

Prenons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, la propriété considérée du degré correspond à l'égalité π 5 : π 2 = π 5−3 = π 3.

Considérez maintenant propriété de degré de produit: le degré naturel n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égal au produit des degrés a n et b n , c'est-à-dire (a b) n =a n b n .

En effet, par définition d'un degré à exposant naturel, on a . Le dernier produit, basé sur les propriétés de la multiplication, peut être réécrit comme , qui est égal à a n b n .

Voici un exemple : .

Cette propriété s'étend au degré du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de puissance naturelle n du produit de k facteurs s'écrit (une 1 une 2 ... une k) n = une 1 n une 2 n ... une k n.

Pour plus de clarté, nous montrons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons .

La propriété suivante est propriété naturelle: le quotient des nombres réels a et b , b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n , soit (a:b) n =a n:b n .

La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Alors (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et l'égalité (a:b) n b n =a n implique que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n .

Écrivons cette propriété en utilisant l'exemple de nombres spécifiques : .

Maintenant, parlons propriété d'exponentiation: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance de n est égale à la puissance de a d'exposant m·n , c'est-à-dire (a m) n =a m·n .

Par exemple, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

La preuve de la propriété puissance en un degré est la chaîne d'égalités suivante : .

La propriété considérée peut être étendue de degré à degré à degré, et ainsi de suite. Par exemple, pour tous les nombres naturels p, q, r et s, l'égalité . Pour plus de clarté, voici un exemple avec des numéros spécifiques : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel.

Nous commençons par prouver la propriété de comparaison de zéro et de puissance avec un exposant naturel.

Tout d'abord, justifions que a n >0 pour tout a>0 .

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme il ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication nous permettent d'affirmer que le résultat de la multiplication de n'importe quel nombre de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance de a d'exposant naturel n est, par définition, le produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a le degré de a n est nombre positif. En vertu de la propriété prouvée 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 et .

Il est bien évident que pour tout n naturel avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0 .

Passons aux bases négatives.

Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le comme 2 m , où m est un nombre naturel. Alors . Pour chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, donc, est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif. et degré a 2 m . Voici des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .

Enfin, lorsque la base de a est un nombre négatif et que l'exposant est un nombre impair 2 m−1, alors . Tous les produits a a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le reste un nombre négatif a donne un nombre négatif. En raison de cette propriété (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passons à la propriété de comparer des degrés avec les mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux degrés avec les mêmes exposants naturels, n est plus petit que celui dont la base est plus petite, et plus que celui dont la base est plus grande. Prouvons-le.

Inégalité a n propriétés des inégalités l'inégalité étant prouvée de la forme a n .

Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. Des deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases positives, moins d'un, le degré est plus grand, dont l'indicateur est moindre; et de deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases supérieures à un, le degré dont l'indicateur est plus grand est plus grand. Passons à la preuve de cette propriété.

Montrons que pour m>n et 0 0 à cause de la condition initiale m>n , d'où il suit qu'à 0

Il reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1, a m >a n est vraie. La différence a m −a n après avoir pris a n entre parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré de a n est un nombre positif, et la différence a m−n−1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1, le degré de a m−n est supérieur à un . Donc, a m − a n >0 et a m >a n , ce qui devait être prouvé. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2 .

Propriétés des degrés avec des exposants entiers

Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels listées et prouvées dans le paragraphe précédent.

Nous avons défini le degré avec un exposant entier négatif, ainsi que le degré avec un exposant nul, de sorte que toutes les propriétés des degrés avec des exposants naturels exprimés par des égalités restent valides. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables à la fois pour les exposants nuls et pour les exposants négatifs, alors que, bien sûr, les bases des degrés sont non nulles.

Ainsi, pour tous les nombres réels et non nuls a et b, ainsi que pour tous les entiers m et n, les éléments suivants sont vrais propriétés des degrés avec des exposants entiers:

1. une m une n \u003d une m + n;
2. une m : une n = une m−n ;
3. (une b) n = une n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (une m) n = une m n ;
6. si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b-n ;
7. si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0 1 l'inégalité a m >a n est satisfaite.

Pour a=0, les puissances a m et a n n'ont de sens que lorsque m et n sont des entiers positifs, c'est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d'être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.

Il n'est pas difficile de prouver chacune de ces propriétés, il suffit pour cela d'utiliser les définitions du degré avec un exposant naturel et entier, ainsi que les propriétés des actions avec des nombres réels. À titre d'exemple, montrons que la propriété de puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et les entiers non positifs. Pour cela, il faut montrer que si p est nul ou un entier naturel et q est nul ou un entier naturel, alors les égalités (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) et (a−p)−q =a (−p) (−q). Faisons-le.

Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q =a p·q a été prouvée dans la sous-section précédente. Si p=0 , alors on a (a 0) q =1 q =1 et a 0 q =a 0 =1 , d'où (a 0) q =a 0 q . De même, si q=0 , alors (a p) 0 =1 et a p 0 =a 0 =1 , d'où (a p) 0 =a p 0 . Si p=0 et q=0 , alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0 0 =a 0 =1 , d'où (a 0) 0 =a 0 0 .

Montrons maintenant que (a −p) q =a (−p) q . Par définition d'un degré avec un exposant entier négatif , alors . Par la propriété du quotient en degré, on a . Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression est, par définition, une puissance de la forme a −(p q) , qui, en vertu des règles de multiplication, peut s'écrire a (−p) q .

De la même manière .

Et .

Par le même principe, on peut démontrer toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.

Dans l'avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s'attarder sur la preuve de l'inégalité a −n >b −n , qui est vraie pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a . Puisque par condition un 0 . Le produit a n ·b n est aussi positif que le produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme quotient de nombres positifs b n − a n et a n b n . D'où a −n >b −n , qu'il fallait prouver.

La dernière propriété des degrés à exposants entiers se démontre de la même manière que la propriété analogue des degrés à exposants naturels.

Propriétés des puissances avec des exposants rationnels

Nous avons défini le degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d'autres termes, les degrés avec des exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les degrés avec des exposants entiers. À savoir:

La preuve des propriétés des degrés à exposants fractionnaires repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire, sur et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons la preuve.

Par définition du degré avec un exposant fractionnaire et , alors . Les propriétés de la racine arithmétique nous permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété du degré avec un exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, on a , et l'exposant du degré obtenu peut être converti comme suit : . Ceci achève la preuve.

La seconde propriété des puissances à exposants fractionnaires se démontre exactement de la même manière :

Les autres égalités sont démontrées par des principes similaires :

Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Nous écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n , où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditions p<0 и p>0 dans ce cas sera équivalent aux conditions m<0 и m>0 respectivement. Pour m>0 et a

De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où , c'est-à-dire et a p >b p .

Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q , p>q pour 0 0 – inégalité a p >a q . Nous pouvons toujours réduire les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, prenons des fractions ordinaires et, où m 1 et m 2 sont des entiers, et n est un nombre naturel. Dans ce cas, la condition p>q correspondra à la condition m 1 >m 2, qui découle de . Puis, par la propriété de comparer des puissances de mêmes bases et d'exposants naturels en 0 1 – inégalité a m 1 >a m 2 . Ces inégalités en termes de propriétés des racines peuvent être réécrites, respectivement, comme et . Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, respectivement. Nous en tirons la conclusion finale : pour p>q et 0 0 – inégalité a p >a q .

Propriétés des degrés avec des exposants irrationnels

De la façon dont un degré avec un exposant irrationnel est défini, on peut conclure qu'il a toutes les propriétés des degrés avec des exposants rationnels. Donc, pour tout a>0 , b>0 et les nombres irrationnels p et q, les éléments suivants sont vrais propriétés des degrés avec des exposants irrationnels:

1. une p une q = une p + q ;
2. une p:une q = une p−q ;
3. (une b) p = une p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (une p) q = une p q ;
6. pour tout nombre positif a et b , a 0 l'inégalité a p b p ;
7. pour les nombres irrationnels p et q , p>q en 0 0 – inégalité a p >a q .

De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec tous les exposants réels p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.

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Degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tout a et n, sauf dans le cas a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont vraies :

UNE m * une n = une m + n ; un m: un n \u003d un m-n (un ≠ 0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n pour a> 1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette sous-section, nous généralisons la notion de puissance d'un nombre en donnant un sens à des expressions comme 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition telle que les puissances à exposants rationnels aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la puissance n du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est effectué, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la racine nième) que le nombredoit être la nième racine de a m.

Définition.

Le degré de a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier, et n est un entier naturel (n> 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Degré c indicateur irrationnel.

nombre irrationnelpeut être représenté commelimite d'une suite de nombres rationnels: .

Laisser . Ensuite, il y a des puissances avec un exposant rationnel. On peut montrer que la suite de ces puissances est convergente. La limite de cette suite est appelée degré avec base et exposant irrationnel: .

Nous fixons un nombre positif a et attribuons à chaque nombre. Ainsi, nous obtenons la fonction numérique f(x) = a X , défini sur l'ensemble Q des nombres rationnels et possédant les propriétés listées précédemment. Pour a=1, la fonction f(x) = a X est constant car 1 X =1 pour tout x rationnel.

Traçons plusieurs points du graphique de la fonction y \u003d 2 X ayant préalablement calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 X sur l'intervalle [-2 ; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b) En poursuivant mentalement les mêmes constructions avec un pas de 1/16, 1/32 , etc., on voit que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qu'il est naturel de considérer comme le graphique d'une fonction, déjà définie et croissante sur toute la droite numérique et prenant les valeursà des points rationnels(Fig. 1, c). Ayant suffisamment construit grand nombre points du graphique de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent qu'il est possible de définir les nombres 2 et pour tout irrationnel α tel que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y \u003d 2 X augmente, et la fonctiondiminue le long de la droite numérique entière.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a α pour α irrationnel pour a>1. On veut s'assurer que la fonction y = a X augmentait. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choix des valeurs r 1 et r2 en approchant de x, on voit que les valeurs correspondantes de a r 1 et un r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et de plus un seul, un nombre y supérieur à tout a r1 pour tout r rationnel 1 et moins que tous a r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est, par définition, un α .

Par exemple, avoir calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 x aux points x n et x` n , où x n et x` n - approximations décimales d'un nombreon trouve que plus x est proche n et x` n à , moins ils diffèrent 2 x n et 2 x` n .

Depuis

et donc,

De même, en considérant les approximations décimales suivantespar carence et excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Sens calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre un α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y=une X, qui est différent de la constante. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle avec socleun.

y= un Xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle y= un Xà 0< un < 1:

• La portée de la fonction est toute la droite numérique.
• Gamme de fonctions - étendue (0; + ) .
• La fonction est strictement croissante sur la droite des nombres entiers, c'est-à-dire si X 1 < x 2 , alors un x 1 > un x 2 .
• À X= 0 la valeur de la fonction est 1.
• Si un X> 0 , puis 0< un < 1 et si X < 0, то un x > 1.
À les propriétés générales fonction exponentielle comme at0< a < 1, так и при a > 1 sont :
• un X 1 un X 2 = un X 1 + X 2 , pour tout le monde X 1 et X 2.
• un −x= ( un X) − 1 = 1 unX pour tout le monde X.
• nun X= un