Actions diverses Avec les fractions, vous pouvez effectuer, par exemple, l'addition de fractions. L'addition de fractions peut être divisée en plusieurs types. Chaque type d'addition de fractions a ses propres règles et algorithme d'actions. Examinons de plus près chaque type d'ajout.

Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Par exemple, voyons comment additionner des fractions avec un dénominateur commun.

Les randonneurs ont fait une randonnée du point A au point E. Le premier jour, ils ont marché du point A au point B, ou \(\frac(1)(5)\) jusqu'au bout. Le deuxième jour, ils sont allés du point B au point D ou \(\frac(2)(5)\) tout le chemin. Quelle distance ont-ils parcourue depuis le début du trajet jusqu'au point D ?

Pour trouver la distance du point A au point D, additionnez les fractions \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Additionner des fractions avec mêmes dénominateurs est que vous devez ajouter les numérateurs de ces fractions, et le dénominateur restera le même.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

DANS forme littérale La somme des fractions avec les mêmes dénominateurs ressemblera à ceci :

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Réponse : les touristes ont parcouru \(\frac(3)(5)\) tout le chemin.

Additionner des fractions avec des dénominateurs différents.

Prenons un exemple :

Additionnez deux fractions \(\frac(3)(4)\) et \(\frac(2)(7)\).

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord trouver, puis utilisez la règle pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Pour les dénominateurs 4 et 7, le dénominateur commun est 28. La première fraction \(\frac(3)(4)\) doit être multipliée par 7. La deuxième fraction \(\frac(2)(7)\) doit être multiplié par 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ fois \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Sous forme littérale, on obtient la formule suivante :

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Addition de nombres mixtes ou de fractions mixtes.

L'addition se fait selon la loi de l'addition.

Pour les fractions mixtes, ajoutez les parties entières aux parties entières et les parties fractionnaires aux parties fractionnaires.

Si les parties fractionnaires nombres mélangés ont les mêmes dénominateurs, puis additionnez les numérateurs, et le dénominateur reste le même.

Additionnez les nombres fractionnaires \(3\frac(6)(11)\) et \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( bleu) (\frac(6)(11)) + \color(bleu) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

Si les parties fractionnaires des nombres mixtes ont des dénominateurs différents, alors on trouve dénominateur commun.

Ajoutons les nombres mixtes \(7\frac(1)(8)\) et \(2\frac(1)(6)\).

Le dénominateur est différent, vous devez donc trouver un dénominateur commun, il est égal à 24. Multipliez la première fraction \(7\frac(1)(8)\) par un facteur supplémentaire de 3, et la seconde fraction \( 2\frac(1)(6)\) sur 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Questions connexes:
Comment additionner des fractions ?
Réponse : vous devez d'abord décider à quel type appartient l'expression : les fractions ont les mêmes dénominateurs, des dénominateurs différents ou des fractions mixtes. Selon le type d'expression, nous procédons à l'algorithme de résolution.

Comment résoudre des fractions avec des dénominateurs différents ?
Réponse : vous devez trouver un dénominateur commun, puis suivre la règle d'addition des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Comment résoudre des fractions mixtes ?
Réponse : Additionnez les parties entières aux parties entières et les parties fractionnaires aux parties fractionnaires.

Exemple 1:
La somme de deux peut-elle donner une fraction propre ? Mauvaise fraction ? Donne des exemples.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

La fraction \(\frac(5)(7)\) est une fraction propre, elle est le résultat de la somme de deux fractions propres \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

La fraction \(\frac(58)(45)\) est une fraction impropre, elle est le résultat de la somme des fractions propres \(\frac(2)(5)\) et \(\frac(8) (9)\).

Réponse : La réponse est oui aux deux questions.

Exemple #2 :
Additionnez les fractions : a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Exemple #3 :
écrire fraction mixte comme somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre : a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Exemple #4 :
Calculez la somme : a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Tache 1:
Au dîner, ils ont mangé \(\frac(8)(11)\) du gâteau, et le soir au dîner, ils ont mangé \(\frac(3)(11)\). Pensez-vous que le gâteau a été complètement mangé ou non?

Solution:
Le dénominateur de la fraction est 11, il indique en combien de parts le gâteau a été divisé. Au déjeuner, nous avons mangé 8 morceaux de gâteau sur 11. Au dîner, nous avons mangé 3 morceaux de gâteau sur 11. Ajoutons 8 + 3 = 11, nous avons mangé des morceaux de gâteau sur 11, soit le gâteau entier.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Réponse : Ils ont mangé tout le gâteau.

L'étude de la question de soustraire des fractions avec des dénominateurs différents se trouve dans matière scolaire Algèbre en huitième année et cela rend parfois les enfants difficiles à comprendre. Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, utilisez la formule suivante :

La procédure de soustraction de fractions est similaire à l'addition, car elle copie complètement le principe d'action.

Tout d'abord, nous calculons le plus Petit nombre, qui est un multiple de l'un et de l'autre dénominateur.

Deuxièmement, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un certain nombre, ce qui nous permettra d'amener le dénominateur au dénominateur commun minimum donné.

Troisièmement, la procédure de soustraction elle-même a lieu lorsque, par conséquent, le dénominateur est dupliqué et le numérateur de la deuxième fraction est soustrait du premier.

Exemple : 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 entier 1/6

Vous devez d'abord les amener au même dénominateur, puis les soustraire. Par exemple, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Ou, plus dur, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Avez-vous besoin d'expliquer comment les fractions sont réduites à un dénominateur commun ?

Opérations telles que l'addition ou la soustraction fractions ordinaires avec différents dénominateurs, une règle simple s'applique - les dénominateurs de ces fractions sont réduits à un nombre et l'action elle-même est effectuée avec les nombres du numérateur. Autrement dit, les fractions ont un dénominateur commun et semblent être combinées en une seule. Trouver un dénominateur commun pour fractions arbitraires revient généralement à multiplier simplement chacune des fractions par le dénominateur de l'autre fraction. Mais dans des cas plus simples, vous pouvez immédiatement trouver des facteurs qui amèneront les dénominateurs des fractions au même nombre.

Exemple de soustraction de fraction : 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Beaucoup d'adultes ont déjà oublié comment soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, mais cette action appartient aux mathématiques élémentaires.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez les amener à un dénominateur commun, c'est-à-dire trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs, puis multiplier les numérateurs par des facteurs supplémentaires égaux au rapport du plus petit commun multiple et du dénominateur.

Les signes des fractions sont conservés. Une fois que les fractions ont les mêmes dénominateurs, vous pouvez soustraire, puis, si possible, réduire la fraction.

Elena, tu as décidé de répéter cours d'école mathématiques?)))

Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, elles doivent d'abord être réduites au même dénominateur, puis soustraites. L'option la plus simple : multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction. Obtenez deux fractions avec les mêmes dénominateurs. Maintenant, nous soustrayons le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, et ils ont le même dénominateur.

Par exemple, trois cinquièmes soustraire deux septièmes est égal à vingt et un trente-cinquièmes soustrait dix trente-cinquièmes et cela est égal à onze trente-cinquièmes.

Si les dénominateurs sont de grands nombres, vous pouvez trouver leur plus petit commun multiple, c'est-à-dire un nombre qui sera divisible à la fois par l'un et l'autre dénominateur. Et ramener les deux fractions à un dénominateur commun (plus petit commun multiple)

Comment soustraire des fractions avec différents dénominateurs, la tâche est très simple - nous amenons les fractions à un dénominateur commun, puis effectuons la soustraction au numérateur.

Beaucoup de gens rencontrent des difficultés lorsqu'il y a des nombres entiers à côté de ces fractions, alors je voulais montrer comment faire cela avec l'exemple suivant :

soustraction de fractions avec une partie entière et avec des dénominateurs différents

on soustrait d'abord les parties entières 8-5 = 3 (le triple reste près de la première fraction) ;

on ramène les fractions à un dénominateur commun 6 (si le numérateur de la première fraction est supérieur au second, on soustrait et on écrit près de la partie entière, dans notre cas on passe à autre chose) ;

on décompose la partie entière 3 en 2 et 1 ;

1 s'écrit comme une fraction 6/6 ;

6/6+3/6-4/6 on écrit sous le dénominateur commun 6 et on fait les actions au numérateur ;

notez le résultat trouvé 2 5/6.

Il est important de se rappeler que les fractions sont soustraites si elles ont le même dénominateur. Par conséquent, lorsque nous avons des fractions avec différents dénominateurs dans la différence, elles doivent être ramenées simplement à un dénominateur commun, ce qui n'est pas difficile à faire. Il suffit de factoriser le numérateur de chaque fraction et de calculer le plus petit commun multiple, qui ne doit pas être nul. N'oubliez pas de multiplier également les numérateurs par les facteurs supplémentaires obtenus, mais voici un exemple par commodité :



Si vous voulez soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord trouver un dénominateur commun pour ces deux fractions. Et puis soustrayez la seconde du numérateur de la première fraction. Il s'avère une nouvelle fraction, avec une nouvelle valeur.

Autant que je me souvienne du cours de mathématiques de 3e année, pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord calculer le dénominateur commun et l'amener à lui, puis les numérateurs sont simplement soustraits les uns des autres et le dénominateur reste commun.

Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord trouver le plus petit dénominateur commun de ces fractions.

Regardons un exemple :



Divisez le plus grand nombre 25 par le plus petit 20. Non divisible. Nous multiplions donc le dénominateur 25 par un nombre tel que la somme résultante peut être divisée par 20. Ce nombre sera 4. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. Ainsi, nous avons trouvé le plus petit dénominateur commun - 100.

Maintenant, nous devons trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction. Pour ce faire, nous divisons le nouveau dénominateur par l'ancien.

Multipliez 9 par 4 = 36. Multipliez 7 par 5 = 35.

Ayant un dénominateur commun, nous soustrayons, comme indiqué dans l'exemple, et obtenons le résultat.

Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

L'addition de fractions est de deux types :

1. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Additionner des fractions avec des dénominateurs différents

Commençons par additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour ajouter des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez ajouter leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en quatre parties. Si vous ajoutez de la pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 2 Ajouter des fractions et .

La réponse est une fraction impropre. Si la fin de la tâche arrive, il est de coutume de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d'une fraction incorrecte, vous devez sélectionner la partie entière qu'elle contient. Dans notre cas partie entière se distingue facilement - deux divisé par deux est égal à un :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizzas à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajouter des fractions et .

Encore une fois, additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizzas à la pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 4 Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'une image. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le voir, ajouter des fractions avec les mêmes dénominateurs n'est pas difficile. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour ajouter des fractions avec le même dénominateur, vous devez ajouter leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec des dénominateurs différents

Nous allons maintenant apprendre à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs de ces fractions doivent être les mêmes. Mais ce ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées parce qu'elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées en une seule fois, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en considérerons qu'une seule, car le reste des méthodes peut sembler compliqué pour un débutant.

L'essence de cette méthode réside dans le fait que le premier (LCM) des dénominateurs des deux fractions est recherché. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu. Ils font de même avec la deuxième fraction - le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et le deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Ensuite, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transforment en fractions qui ont les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Ajouter des fractions et

Tout d'abord, nous trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d'abord, nous divisons le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenons le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre résultant 2 est le premier facteur supplémentaire. Nous l'écrivons à la première fraction. Pour ce faire, nous faisons une petite ligne oblique au-dessus de la fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre résultant 3 est le deuxième facteur supplémentaire. Nous l'écrivons à la deuxième fraction. Encore une fois, nous faisons une petite ligne oblique au-dessus de la deuxième fraction et écrivons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous sommes tous prêts à ajouter. Il reste à multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Complétons cet exemple jusqu'au bout :

Ainsi se termine l'exemple. Pour ajouter, il s'avère.

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'une image. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction des fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l'aide d'une image. En ramenant les fractions et à un dénominateur commun, on obtient les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes tranches de pizzas. La seule différence sera qu'ils seront cette fois divisés en parts égales (ramenées au même dénominateur).

Le premier dessin montre une fraction (quatre pièces sur six) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur six). En rassemblant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est incorrecte, nous avons donc mis en surbrillance la partie entière qu'elle contient. Le résultat était (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Notez que nous avons peint cet exemple avec trop de détails. DANS les établissements d'enseignement il n'est pas d'usage d'écrire de manière aussi détaillée. Vous devez être en mesure de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Pendant que nous étions à l'école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi verso médailles. Si des notes détaillées ne sont pas prises aux premières étapes de l'étude des mathématiques, alors des questions du genre « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec différents dénominateurs, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouvez le PPCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un multiplicateur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez des fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'est avérée être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière;

Exemple 2 Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un multiplicateur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous obtenons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons sur la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons sur la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons sur la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par vos facteurs supplémentaires

Nous multiplions les numérateurs et les dénominateurs par nos facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionnez des fractions qui ont les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs (communs). Il reste à additionner ces fractions. Additionner:

L'ajout ne tenait pas sur une ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante sur la ligne suivante. C'est permis en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est reportée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début d'une nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui était sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'est avérée être une fraction impropre, sélectionnez la partie entière qu'elle contient

Notre réponse est une fraction impropre. Nous devons en isoler toute la partie. Nous soulignons :

J'ai une réponse

Soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fraction :

1. Soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraction de fractions avec différents dénominateurs

Tout d'abord, apprenons à soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour soustraire un autre d'une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le même dénominateur.

Par exemple, recherchons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, il faut soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2 Trouvez la valeur de l'expression .

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3 Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué à soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour soustraire un autre d'une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'est avérée être une fraction impropre, vous devez sélectionner la partie entière.

Soustraction de fractions avec différents dénominateurs

Par exemple, une fraction peut être soustraite d'une fraction, puisque ces fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais une fraction ne peut pas être soustraite d'une fraction, puisque ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé selon le même principe que nous avons utilisé lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents. Tout d'abord, trouvez le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit sur la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit sur la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, des fractions qui avaient des dénominateurs différents se transforment en fractions qui ont les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1 Trouver la valeur d'une expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les ramener au même dénominateur (commun).

Tout d'abord, nous trouvons le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est 3 et le dénominateur de la seconde fraction est 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, nous divisons le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous écrivons les quatre sur la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la seconde fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous écrivons un triple sur la seconde fraction :

Maintenant, nous sommes tous prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Complétons cet exemple jusqu'au bout :

J'ai une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'une image. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas.

Ceci est la version détaillée de la solution. Étant à l'école, nous aurions à résoudre cet exemple de manière plus courte. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction des fractions et à un dénominateur commun peut également être représentée à l'aide d'une image. En ramenant ces fractions à un dénominateur commun, on obtient les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes tranches de pizza, mais cette fois elles seront divisées en les mêmes fractions (réduites au même dénominateur) :

Le premier dessin montre une fraction (huit pièces sur douze), et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux de huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2 Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les ramener au même dénominateur (commun).

Trouvez le PPCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30

PPCM(10, 3, 5) = 30

Maintenant, nous trouvons des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, nous divisons le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons sur la première fraction :

Maintenant, nous trouvons un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. Nous l'écrivons sur la deuxième fraction :

Maintenant, nous trouvons un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons sur la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l'exemple ne tient pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite à la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction correcte, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions le rendre plus facile. Ce qui peut être fait? Vous pouvez réduire cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (pgcd) les nombres 20 et 30.

Donc, on trouve le PGCD des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le PGCD trouvé, c'est-à-dire par 10

J'ai une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le même dénominateur.

Exemple 1. Multipliez la fraction par le nombre 1.

Multiplier le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'entrée peut être comprise comme prenant la moitié 1 fois. Par exemple, si vous prenez une pizza 1 fois, vous obtenez une pizza

D'après les lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le multiplicateur sont échangés, le produit ne changera pas. Si l'expression est écrite comme , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un entier et une fraction fonctionne :

Cette entrée peut être comprise comme prenant la moitié de l'unité. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura de la pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multiplier le numérateur de la fraction par 4

La réponse est une fraction impropre. Prenons-en une partie entière :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez des pizzas 4 fois, vous obtenez deux pizzas entières.

Et si nous échangeons le multiplicande et le multiplicateur par endroits, nous obtenons l'expression. Il sera également égal à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas parmi quatre pizzas entières :

Multiplication de fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et leurs dénominateurs. Si la réponse est une fraction impropre, vous devez sélectionner la partie entière qu'elle contient.

Exemple 1 Trouvez la valeur de l'expression .

J'ai une réponse. Il est souhaitable de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. Alors la solution finale prendra la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prendre une pizza d'une demi-pizza. Disons que nous avons une demi-pizza :

Comment prendre les deux tiers de cette mi-temps ? Vous devez d'abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez deux de ces trois pièces :

Nous prendrons une pizza. Rappelez-vous à quoi ressemble une pizza divisée en trois parties :

Une tranche de cette pizza et les deux tranches que nous avons prises auront les mêmes dimensions :

Autrement dit, nous parlonsà peu près la même taille de pizza. Par conséquent, la valeur de l'expression est

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde fraction, et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction :

La réponse est une fraction impropre. Prenons-en une partie entière :

Exemple 3 Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde fraction, et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction correcte, mais ce sera bien si elle est réduite. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun(pgcd) nombres 105 et 450.

Alors, trouvons le PGCD des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse au PGCD que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté par une fraction. Par exemple, le nombre 5 peut être représenté par . À partir de là, cinq ne changera pas de sens, puisque l'expression signifie «le nombre cinq divisé par un», et cela, comme vous le savez, est égal à cinq:

Numéros inversés

Nous allons maintenant faire connaissance avec sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle les "nombres inversés".

Définition. Inverser le numéroune est le nombre qui, multiplié parune donne une unité.

Remplaçons dans cette définition au lieu d'une variable une numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est le nombre qui, multiplié par 5 donne une unité.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que vous pouvez. Représentons cinq comme une fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d'autres termes, multiplions la fraction par elle-même, seulement inversée :

Quel en sera le résultat ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous en obtenons un :

Cela signifie que l'inverse du nombre 5 est le nombre, puisque lorsque 5 est multiplié par un, on obtient un.

L'inverse peut également être trouvé pour tout autre entier.

Vous pouvez également trouver l'inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, il suffit de le retourner.

Division d'une fraction par un nombre

Disons que nous avons une demi-pizza :

Partageons-le également entre deux. Combien de pizzas recevra chacun ?

On peut voir qu'après avoir fendu la moitié de la pizza, on a obtenu deux tranches égales, dont chacune constitue une pizza. Alors tout le monde prend une pizza.

La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, il faut multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur.

En utilisant cette règle, nous allons écrire la division de notre moitié de pizza en deux parties.

Donc, vous devez diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est une fraction et le diviseur est 2.

Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est une fraction. Il faut donc multiplier par

Cette leçon couvrira l'addition et la soustraction. fractions algébriques avec des dénominateurs différents. Nous savons déjà additionner et soustraire des fractions communes avec des dénominateurs différents. Pour ce faire, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Il s'avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. En même temps, nous savons déjà réduire des fractions algébriques à un dénominateur commun. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs est l'un des sujets les plus importants et les plus difficiles du cours de 8e année. Où ce sujet apparaîtra dans de nombreux sujets du cours d'algèbre que vous étudierez à l'avenir. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs, ainsi qu'analyser un certain nombre d'exemples typiques.

Prenons l'exemple le plus simple pour les fractions ordinaires.

Exemple 1 Ajouter des fractions : .

Solution:

Rappelez-vous la règle d'addition des fractions. Pour commencer, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Le dénominateur commun des fractions ordinaires est multiple moins commun(LCM) des dénominateurs originaux.

Définition

Moins entier naturel, qui est divisible simultanément par des nombres et .

Pour trouver le LCM, il est nécessaire d'étendre les dénominateurs en facteurs premiers, puis choisissez tous les facteurs premiers qui sont inclus dans le développement des deux dénominateurs.

; . Ensuite, le LCM des nombres doit comprendre deux 2 et deux 3 : .

Après avoir trouvé le dénominateur commun, il faut pour chacune des fractions trouver un facteur supplémentaire (en fait, diviser le dénominateur commun par le dénominateur de la fraction correspondante).

Ensuite, chaque fraction est multipliée par le facteur supplémentaire résultant. Nous obtenons des fractions avec les mêmes dénominateurs, que nous avons appris à additionner et à soustraire dans les leçons précédentes.

On a: .

Répondre:.

Considérons maintenant l'addition de fractions algébriques avec différents dénominateurs. Considérons d'abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres.

Exemple 2 Ajouter des fractions : .

Solution:

L'algorithme de résolution est absolument similaire à l'exemple précédent. Il est facile de trouver un dénominateur commun pour ces fractions : et des facteurs supplémentaires pour chacune d'entre elles.

.

Répondre:.

Alors formulons algorithme pour additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs:

1. Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.

2. Trouver des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions (en divisant le dénominateur commun par le dénominateur de cette fraction).

3. Multipliez les numérateurs par les facteurs supplémentaires appropriés.

4. Additionnez ou soustrayez des fractions en utilisant les règles d'addition et de soustraction de fractions ayant le même dénominateur.

Considérons maintenant un exemple avec des fractions dont le dénominateur contient expressions littérales.

Exemple 3 Ajouter des fractions : .

Solution:

Étant donné que les expressions littérales des deux dénominateurs sont les mêmes, vous devriez trouver un dénominateur commun pour les nombres. Le dénominateur commun final ressemblera à : . Donc la solution à cet exemple est :

Répondre:.

Exemple 4 Soustraire des fractions : .

Solution:

Si vous ne pouvez pas "tricher" lors du choix d'un dénominateur commun (vous ne pouvez pas le factoriser ou utiliser les formules de multiplication abrégées), alors vous devez prendre le produit des dénominateurs des deux fractions comme dénominateur commun.

Répondre:.

En général, au moment de décider exemples similaires, le plus difficile est de trouver un dénominateur commun.

Prenons un exemple plus complexe.

Exemple 5 Simplifier: .

Solution:

Lorsque vous trouvez un dénominateur commun, vous devez d'abord essayer de factoriser les dénominateurs des fractions d'origine (pour simplifier le dénominateur commun).

Dans ce cas particulier :

Il est alors facile de déterminer le dénominateur commun : .

Nous déterminons des facteurs supplémentaires et résolvons cet exemple :

Répondre:.

Nous allons maintenant fixer les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs différents.

Exemple 6 Simplifier: .

Solution:

Répondre:.

Exemple 7 Simplifier: .

Solution:

.

Répondre:.

Considérons maintenant un exemple dans lequel non pas deux, mais trois fractions sont ajoutées (après tout, les règles d'addition et de soustraction pour Suite les fractions restent les mêmes).

Exemple 8 Simplifier: .

Les règles pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents sont très simples.

Considérez les règles pour ajouter des fractions avec différents dénominateurs par étapes :

1. Trouvez le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. Le LCM résultant sera le dénominateur commun des fractions ;

2. Amener les fractions à un dénominateur commun ;

3. Additionnez des fractions réduites à un dénominateur commun.

Sur le exemple simple Apprenez à additionner des fractions avec différents dénominateurs.

Exemple

Un exemple d'addition de fractions avec différents dénominateurs.

Additionnez des fractions avec des dénominateurs différents :

Décidons étape par étape.

1. Trouvez le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs.

Le nombre 12 est divisible par 6.

On en déduit que 12 est le plus petit commun multiple des nombres 6 et 12.

Réponse : le nok des nombres 6 et 12 est 12 :

PPCM(6, 12) = 12

Le CNP obtenu sera le dénominateur commun des deux fractions 1/6 et 5/12.

2. Amener les fractions à un dénominateur commun.

Dans notre exemple, seule la première fraction doit être réduite à un dénominateur commun de 12, car la deuxième fraction a déjà un dénominateur de 12.

Divisez le dénominateur commun de 12 par le dénominateur de la première fraction :

2 a un multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la première fraction (1/6) par un facteur supplémentaire de 2.