À première vue, les fractions algébriques semblent très compliquées et un étudiant non préparé peut penser qu'il est impossible de faire quoi que ce soit avec elles. L'empilement des variables, des nombres et même des puissances inspire la peur. Cependant, les mêmes règles sont utilisées pour réduire les fractions (telles que 15/25) et les fractions algébriques.

Pas

Réduction des fractions

Consultez les étapes pour fractions simples. Les opérations avec des fractions ordinaires et algébriques sont similaires. Par exemple, prenez la fraction 15/35. Pour simplifier cette fraction, trouver un diviseur commun. Les deux nombres sont divisibles par cinq, nous pouvons donc extraire 5 au numérateur et au dénominateur :

Maintenant vous pouvez réduire les facteurs communs, c'est-à-dire barrer le 5 au numérateur et au dénominateur. On obtient ainsi une fraction simplifiée 3/7 . À expressions algébriques les facteurs communs se distinguent de la même manière que les facteurs ordinaires. Dans l'exemple précédent, nous avons pu facilement extraire 5 sur 15 - le même principe s'applique à des expressions plus complexes telles que 15x - 5. Trouvons le facteur commun. Dans ce cas, ce sera 5, puisque les deux termes (15x et -5) sont divisibles par 5. Comme précédemment, nous sélectionnons le facteur commun et le transférons À gauche.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Pour vérifier si tout est correct, il suffit de multiplier l'expression entre parenthèses par 5 - le résultat sera les mêmes nombres qu'au début. Les termes complexes peuvent être distingués de la même manière que les termes simples. Pour les fractions algébriques, les mêmes principes s'appliquent que pour les fractions ordinaires. C'est le moyen le plus simple de réduire une fraction. Considérez la fraction suivante :

Notez que le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) ont un terme (x+2), il peut donc être réduit de la même manière que le facteur commun 5 en 15/35 :

En conséquence, nous obtenons une expression simplifiée : (x-3)/(x+10)

Réduction des fractions algébriques

Trouvez le facteur commun au numérateur, c'est-à-dire en haut de la fraction. Lors de la réduction d'une fraction algébrique, la première étape consiste à simplifier ses deux parties. Commencez par le numérateur et essayez de le diviser en autant de facteurs que possible. Considérons dans cette section la fraction suivante :

Commençons par le numérateur : 9x - 3. Pour 9x et -3, le diviseur commun est le nombre 3. Prenons 3 entre parenthèses, comme nous le faisons avec les nombres ordinaires : 3 * (3x-1). À la suite de cette transformation, la fraction suivante sera obtenue :

Trouver le facteur commun au numérateur. Continuons l'exécution de l'exemple ci-dessus et écrivons le dénominateur : 15x+6. Comme précédemment, nous trouvons par quel nombre les deux parties sont divisibles. Et dans ce cas le facteur commun est 3, donc on peut écrire : 3 * (5x +2). Réécrivons la fraction sous la forme suivante :

Réduire les termes identiques. Dans cette étape, vous pouvez simplifier la fraction. Annulez les mêmes termes au numérateur et au dénominateur. Dans notre exemple, ce nombre est 3.

Déterminer ce qu'une fraction a forme la plus simple. Une fraction est complètement simplifiée lorsqu'il n'y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Notez que vous ne pouvez pas abréger les termes entre parenthèses - dans l'exemple ci-dessus, il n'y a aucun moyen d'extraire x de 3x et 5x, puisque (3x -1) et (5x + 2) sont des membres à part entière. Ainsi, la fraction ne se prête pas à une simplification supplémentaire, et la réponse finale est la suivante :

Entraînez-vous à réduire vous-même les fractions. Le meilleur moyen la méthode de digestion consiste à décision indépendante Tâches. Les bonnes réponses sont données sous les exemples.

Réponse:(x=13)

Réponse:(2x-1)/5

Coups spéciaux

Sortir signe négatif au-delà de la fraction. Supposons qu'on nous donne la fraction suivante :

Notez que (x-4) et (4-x) sont "presque" identiques, mais ils ne peuvent pas être annulés car ils sont "inversés". Cependant, (x - 4) peut s'écrire -1 * (4 - x), tout comme (4 + 2x) peut s'écrire 2 * (2 + x). C'est ce qu'on appelle "l'inversion de signe".

Vous pouvez maintenant réduire les mêmes termes (4-x) :

Voici donc la réponse finale : -3/5 . Apprenez à reconnaître la différence des carrés. La différence des carrés est lorsque le carré d'un nombre est soustrait du carré d'un autre nombre, comme dans l'expression (a 2 - b 2). La différence des carrés parfaits peut toujours être décomposée en deux parties - la somme et la différence des carrés correspondants. racines carrées. L'expression prendra alors la forme suivante :

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Cette astuce est très utile lors de la recherche de termes communs dans les fractions algébriques.

• Vérifiez si vous avez correctement factorisé telle ou telle expression. Pour ce faire, multipliez les facteurs - le résultat doit être la même expression.
• Pour simplifier complètement une fraction, sélectionnez toujours les plus grands facteurs.

Dans cet article, nous analyserons en détail comment réduction de fraction. Parlons d'abord de ce qu'on appelle la réduction de fraction. Parlons ensuite de la réduction d'une fraction réductible à une forme irréductible. Ensuite, nous obtenons la règle de réduction des fractions et, enfin, considérons des exemples d'application de cette règle.

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Que signifie réduire une fraction ?

On sait que les fractions ordinaires se subdivisent en fractions réductibles et irréductibles. D'après les noms, vous pouvez deviner que les fractions réductibles peuvent être réduites, mais pas les fractions irréductibles.

Que signifie réduire une fraction ? Réduire la fraction- cela revient à diviser son numérateur et son dénominateur par leur positif et leur non-un. Il est clair qu'à la suite de la réduction de fraction, une nouvelle fraction est obtenue avec un numérateur et un dénominateur plus petits et, en raison de la propriété principale de la fraction, la fraction résultante est égale à celle d'origine.

Par exemple, réduisons la fraction commune 8/24 en divisant son numérateur et son dénominateur par 2. En d'autres termes, réduisons la fraction 8/24 par 2. Puisque 8:2=4 et 24:2=12, à la suite de cette réduction, la fraction 4/12 est obtenue, qui est égale à la fraction originale 8/24 (voir fractions égales et inégales). En conséquence, nous avons .

Réduction des fractions ordinaires à la forme irréductible

Habituellement, l'objectif final de la réduction de fraction est d'obtenir une fraction irréductible égale à la fraction réductible d'origine. Cet objectif peut être atteint en réduisant la fraction réduite d'origine par son numérateur et son dénominateur. Cette réduction se traduit toujours par une fraction irréductible. En effet, la fraction est irréductible, puisque l'on sait que et - . On dit ici que le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur d'une fraction est le plus grand nombre, par lequel cette fraction peut être réduite.

Alors, réduction d'une fraction ordinaire à une forme irréductible consiste à diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction réduite d'origine par leur PGCD.

Analysons un exemple, pour lequel on revient à la fraction 8/24 et on la réduit par le plus grand commun diviseur des nombres 8 et 24, qui est égal à 8. Puisque 8:8=1 et 24:8=3, on arrive à la fraction irréductible 1/3. Alors, .

Notez que l'expression "réduire la fraction" signifie souvent réduire la fraction d'origine à une forme irréductible. En d'autres termes, la réduction de fraction est très souvent appelée division du numérateur et du dénominateur par leur plus grand diviseur commun (et non par l'un de leurs diviseurs communs).

Comment réduire une fraction ? Règle et exemples de réduction de fraction

Il ne reste plus qu'à analyser la règle de réduction des fractions, qui explique comment réduire cette fraction.

Règle de réduction de fraction consiste en deux étapes :

• premièrement, le PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction est trouvé ;
• deuxièmement, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par leur PGCD, ce qui donne une fraction irréductible égale à celle d'origine.

analysons exemple de réduction de fraction selon la règle donnée.

Exemple.

Réduire la fraction 182/195.

La solution.

Faisons les deux étapes prescrites par la règle de réduction de fraction.

Nous trouvons d'abord pgcd(182, 195) . Il est plus pratique d'utiliser l'algorithme d'Euclide (voir) : 195=182 1+13 , 182=13 14 , c'est-à-dire pgcd(182, 195)=13 .

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction 182/195 par 13, tandis que nous obtenons la fraction irréductible 14/15, qui est égale à la fraction d'origine. Ceci termine la réduction de la fraction.

Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit :

Réponse:

Sur ce, avec la réduction des fractions, vous pouvez finir. Mais pour compléter le tableau, envisagez deux autres façons de réduire les fractions, qui sont généralement utilisées dans les cas bénins.

Parfois, le numérateur et le dénominateur d'une fraction réduite sont faciles. Réduire la fraction dans ce cas est très simple : il vous suffit de supprimer tous les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

Il convient de noter que cette méthode découle directement de la règle de la réduction de fraction, puisque le produit de tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur est égal à leur plus grand diviseur commun.

Examinons un exemple de solution.

Exemple.

Réduire la fraction 360/2940.

La solution.

Décomposons le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers : 360=2 2 2 3 3 5 et 2 940=2 2 3 5 7 7 . De cette façon, .

Maintenant, nous nous débarrassons des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, pour plus de commodité, nous les barrons simplement : .

Enfin, nous multiplions les facteurs restants : , et la réduction de la fraction est terminée.

Voici un résumé de la solution : .

Réponse:

Considérons une autre façon de réduire une fraction, qui consiste en une réduction séquentielle. Ici, à chaque étape, la fraction est réduite par un diviseur commun du numérateur et du dénominateur, qui est soit évident, soit facilement déterminé en utilisant

Sans savoir comment réduire une fraction et avoir une compétence constante dans la résolution exemples similaires Il est très difficile d'étudier l'algèbre à l'école. Plus loin, plus sur les connaissances de base de la réduction fractions ordinaires superposé nouvelle information. Il y a d'abord des degrés, puis des facteurs, qui deviennent plus tard des polynômes.

Comment ne pas être confus ici? Consolidez en profondeur les compétences dans les sujets précédents et préparez progressivement les connaissances sur la façon de réduire une fraction, ce qui se complique d'année en année.

Notions de base

Sans eux, il ne sera pas possible de faire face à des tâches de n'importe quel niveau. Pour comprendre, il faut comprendre deux instants simples. Premièrement, vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs. Cette nuance s'avère très importante lorsque des polynômes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, vous devez clairement distinguer où se trouve le multiplicateur et où se trouve le terme.

Le deuxième point dit que n'importe quel nombre peut être représenté comme des facteurs. De plus, le résultat de la réduction est une telle fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent plus être réduits.

Règles de réduction des fractions communes

La première chose à vérifier est de savoir si le numérateur est divisible par le dénominateur ou vice versa. Ensuite, c'est par ce nombre que vous devez réduire. C'est l'option la plus simple.

La seconde est l'analyse apparence Nombres. Si les deux se terminent par un ou plusieurs zéros, ils peuvent être réduits de 10, 100 ou mille. Ici, vous pouvez voir si les nombres sont pairs. Si tel est le cas, vous pouvez réduire de deux en toute sécurité.

La troisième règle de réduction d'une fraction est la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur. À ce stade, vous devez utiliser activement toutes les connaissances sur les signes de la divisibilité des nombres. Après une telle décomposition, il ne reste plus qu'à trouver tous ceux qui se répètent, les multiplier et réduire par le nombre résultant.

Et si la fraction contient une expression algébrique ?

Ici apparaissent les premières difficultés. Car c'est là qu'apparaissent les termes, qui peuvent être identiques à des facteurs. Je veux vraiment les couper, mais je ne peux pas. Avant de couper fraction algébrique, il doit être transformé pour qu'il ait des facteurs.

Cela nécessitera plusieurs étapes. Vous devrez peut-être tous les parcourir, ou peut-être que le premier vous donnera une option appropriée.

Vérifiez si le numérateur et le dénominateur ou toute expression qu'ils contiennent diffèrent par le signe. Dans ce cas, il vous suffit de retirer les crochets moins un. Il en résulte des multiplicateurs identiques qui peuvent être réduits.

Voyez si le facteur commun peut être encadré du polynôme. Peut-être que cela se révélera être une parenthèse, qui peut également être réduite, ou ce sera un monôme retiré.

Essayez d'effectuer un regroupement de monômes afin d'en retirer ensuite un facteur commun. Après cela, il peut s'avérer qu'il y aura des facteurs qui peuvent être réduits, ou encore mettre entre parenthèses des éléments communs.

Essayez de considérer par écrit la formule de la multiplication abrégée. Avec leur aide, il sera facile de convertir un polynôme en facteurs.

Séquence d'actions avec des fractions avec des puissances

Afin de comprendre facilement la question de savoir comment réduire une fraction avec des degrés, vous devez vous souvenir fermement des actions de base avec eux. Le premier d'entre eux est lié à la multiplication des pouvoirs. Dans ce cas, si les bases sont les mêmes, les indicateurs doivent être additionnés.

La seconde est la division. Encore une fois, pour ceux qui ont la même base, les indicateurs devront être soustraits. De plus, vous devez soustraire du nombre qui est dans le dividende, et non l'inverse.

La troisième est l'exponentiation. Dans cette situation, les indicateurs se multiplient.

Une réduction réussie nécessitera également la capacité d'apporter des diplômes aux mêmes bases. Autrement dit, pour voir que quatre est deux au carré. Ou 27 est le cube de trois. Parce que couper 9 au carré et 3 au cube est difficile. Mais si nous transformons la première expression en (3 2) 2 , alors la réduction réussira.

Lorsqu'ils travaillent avec des fractions, de nombreux élèves font les mêmes erreurs. Et tout ça parce qu'ils oublient les règles élémentaires arithmétique. Aujourd'hui, nous allons répéter ces règles sur tâches spécifiques que je donne dans mes cours.

Voici une tâche que je propose à tous ceux qui se préparent à l'examen de mathématiques :

Une tâche. Le marsouin mange 150 grammes de nourriture par jour. Mais elle a grandi et a commencé à manger 20 % de plus. Combien de grammes de nourriture le porc mange-t-il maintenant ?

Pas la bonne décision. Il s'agit d'un problème de pourcentage qui se résume à l'équation :

Beaucoup (très beaucoup) réduisent le nombre 100 au numérateur et au dénominateur de la fraction :

C'est l'erreur que mon élève a commise le jour de la rédaction de cet article. Les nombres qui ont été réduits sont marqués en rouge.

Inutile de dire que la réponse est fausse. Jugez par vous-même: le cochon a mangé 150 grammes et a commencé à manger 3150 grammes. Une augmentation non pas de 20%, mais de 21 fois, c'est-à-dire de 2000%.

Pour éviter de tels malentendus, rappelez-vous la règle de base :

Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs. Les termes ne peuvent pas être réduits!

Ainsi, la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Le rouge marque les nombres qui sont réduits au numérateur et au dénominateur. Comme vous pouvez le voir, le numérateur est le produit, le dénominateur est nombre ordinaire. Par conséquent, la réduction est tout à fait légale.

Travailler avec les proportions

Une autre point névralgique — proportions. Surtout quand la variable est des deux côtés. Par exemple:

Une tâche. Résous l'équation:

Mauvaise décision - certains ont littéralement envie de tout couper par m :

Les variables réduites sont affichées en rouge. Il s'avère que l'expression 1/4 = 1/5 est un non-sens complet, ces nombres ne sont jamais égaux.

Et maintenant - la bonne décision. Essentiellement, il s'agit d'un problème courant équation linéaire . Il est résolu soit en transférant tous les éléments d'un côté, soit par la propriété principale de la proportion :

Beaucoup de lecteurs objecteront : "Où est l'erreur dans la première solution ?" Eh bien, découvrons-le. Rappelons-nous la règle de travail avec des équations :

Toute équation peut être divisée et multipliée par n'importe quel nombre, non nul.

Avez-vous coupé une puce? Ne peut être divisé que par des nombres différent de zéro. En particulier, vous ne pouvez diviser par la variable m que si m != 0. Mais que se passe-t-il si m = 0 après tout ? Remplacer et vérifier :

Nous avons obtenu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire m = 0 est la racine de l'équation. Pour les m != 0 restants, on obtient une expression de la forme 1/4 = 1/5, ce qui, bien entendu, n'est pas vrai. Ainsi, il n'y a pas de racines non nulles.

Conclusions : mettre tout cela ensemble

Alors, pour résoudre équations rationnelles fractionnaires rappelez-vous trois règles:

1. Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs. Composés - vous ne pouvez pas. Par conséquent, apprenez à factoriser le numérateur et le dénominateur ;
2. La propriété principale de la proportion : le produit des éléments extrêmes est égal au produit des éléments moyens ;
3. Les équations ne peuvent être multipliées et divisées que par des nombres non nuls k. Le cas k = 0 doit être vérifié séparément.

Rappelez-vous ces règles et ne faites pas d'erreurs.

Division et le numérateur et le dénominateur de la fraction sur leur diviseur commun, qui est différent de l'unité, s'appelle réduction de fraction.

Pour réduire une fraction commune, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre naturel.

Ce nombre est le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction donnée.

Les suivants sont possibles formulaires de compte rendu de décision Exemples de réduction de fractions ordinaires.

L'étudiant a le droit de choisir n'importe quelle forme d'enregistrement.

Exemples. Simplifiez les fractions.

Réduire la fraction par 3 (diviser le numérateur par 3 ;

diviser le dénominateur par 3).

Nous réduisons la fraction de 7.

Nous effectuons les actions indiquées au numérateur et au dénominateur de la fraction.

La fraction résultante est réduite de 5.

Réduisons cette fraction 4) sur le 5 7³- le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, qui est constitué des diviseurs communs du numérateur et du dénominateur pris à la puissance avec le plus petit exposant.

Décomposons le numérateur et le dénominateur de cette fraction en facteurs simples.

On a: 756=2² 3³ 7 et 1176=2³ 3 7².

Déterminer le PGCD (plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur de la fraction 5) .

C'est le produit des facteurs communs pris avec les plus petits exposants.

pgcd(756; 1176)= 2² 3 7.

On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur PGCD, c'est-à-dire par 2² 3 7 on obtient une fraction irréductible 9/14 .

Et il était possible d'écrire les expansions du numérateur et du dénominateur comme un produit de facteurs premiers, sans utiliser le concept de degré, puis de réduire la fraction en barrant les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Lorsqu'il ne reste plus de facteurs identiques, nous multiplions les facteurs restants séparément au numérateur et séparément au dénominateur et écrivons la fraction résultante 9/14 .

Et enfin, il a été possible de réduire cette fraction 5) progressivement, en appliquant les signes de division des nombres à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction. Pensez comme ceci : les chiffres 756 et 1176 se terminent par un nombre pair, donc les deux sont divisibles par 2 . Nous réduisons la fraction de 2 . Le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction sont des nombres 378 et 588 également divisée en 2 . Nous réduisons la fraction de 2 . On remarque que le nombre 294 - même, et 189 est impair, et la réduction par 2 n'est plus possible. Vérifions le signe de divisibilité des nombres 189 et 294 sur le 3 .

(1+8+9)=18 est divisible par 3 et (2+9+4)=15 est divisible par 3, d'où les nombres eux-mêmes 189 et 294 sont divisés en 3 . Nous réduisons la fraction de 3 . Plus loin, 63 est divisible par 3 et 98 - Non. Itérer sur d'autres facteurs premiers. Les deux nombres sont divisibles par 7 . Nous réduisons la fraction de 7 et obtenir la fraction irréductible 9/14 .