Définition. Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisibles sans reste est appelé plus grand diviseur commun (pgcd) ces chiffres.

Trouvons le plus grand commun diviseur des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 seront les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, et les diviseurs de 35 seront les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés coprime.

Définition. Les nombres naturels sont appelés coprime si leur plus grand diviseur commun (pgcd) est 1.

Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.

En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans l'expansion du premier de ces nombres, nous supprimons ceux qui ne sont pas inclus dans l'expansion du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Il reste les facteurs 2 * 2 * 3. Leur produit est 12. Ce nombre est le plus grand commun diviseur des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand commun diviseur de trois nombres ou plus.

Trouver plus grand diviseur commun

2) parmi les facteurs inclus dans le développement de l'un de ces nombres, rayez ceux qui ne sont pas inclus dans le développement des autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.

Si tous les nombres donnés sont divisibles par l'un d'eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun numéros donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 15, 45, 75 et 180 est 15, puisqu'il divise tous les autres nombres : 45, 75 et 180.

Plus petit commun multiple (LCM)

Définition. Plus petit commun multiple (LCM) les nombres naturels a et b sont les plus petits nombres naturels multiples de a et de b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres à la suite. Pour ce faire, nous décomposons 75 et 60 en facteurs simples : 75 \u003d 3 * 5 * 5 et 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans l'expansion du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 de l'expansion du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.

Trouvez également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.

À trouver le plus petit multiple commun plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les décomposer en facteurs premiers ;
2) écrivez les facteurs inclus dans l'expansion de l'un des nombres;
3) leur ajouter les facteurs manquants des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.

Notez que si l'un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple de 12, 15, 20 et 60 serait 60, puisqu'il est divisible par tous les nombres donnés.

Pythagore (VIe siècle av. J.-C.) et ses élèves ont étudié la question de la divisibilité des nombres. Un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même), ils ont appelé le nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au 1er siècle. n.m. e. Le cinquième - 33 550 336 - a été découvert au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais jusqu'à présent, les scientifiques ne savent pas s'il existe des nombres parfaits impairs, s'il existe le plus grand nombre parfait.
L'intérêt des mathématiciens antiques pour les nombres premiers est dû au fait que tout nombre est soit premier soit peut être représenté comme un produit nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont, pour ainsi dire, des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série des nombres naturels se produisent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres - moins. Mais plus on avance dans la suite des nombres, plus les nombres premiers sont rares. La question se pose : le dernier nombre premier (le plus grand) existe-t-il ? L'ancien mathématicien grec Euclide (3ème siècle avant JC), dans son livre "Beginnings", qui pendant deux mille ans a été le principal manuel de mathématiques, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier se trouve un pair plus grand nombre premier.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a proposé une telle méthode. Il nota tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis barra l'unité, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis barra d'un seul tous les nombres après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres après 3 ont été barrés (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.). au final, seuls les nombres premiers sont restés décochés.

Les expressions et les tâches mathématiques nécessitent beaucoup de connaissances supplémentaires. NOC est l'un des principaux, particulièrement souvent utilisé dans le sujet.Le sujet est étudié au lycée, s'il n'est pas particulièrement difficile de comprendre le matériel, il ne sera pas difficile pour une personne familière avec les pouvoirs et la table de multiplication de sélectionner les nombres nécessaires et trouver le résultat.

Définition

Un multiple commun est un nombre qui peut être entièrement divisé en deux nombres à la fois (a et b). Le plus souvent, ce nombre est obtenu en multipliant les nombres originaux a et b. Le nombre doit être divisible par les deux nombres à la fois, sans écarts.

NOC est le terme accepté pour titre court, assemblé à partir des premières lettres.

Façons d'obtenir un numéro

Pour trouver le LCM, la méthode de multiplication des nombres n'est pas toujours adaptée, elle est bien mieux adaptée aux nombres simples à un chiffre ou à deux chiffres. Il est d'usage de diviser en facteurs, plus le nombre est grand, plus il y aura de facteurs.

Exemple 1

Pour l'exemple le plus simple, les écoles prennent généralement des nombres simples, à un chiffre ou à deux chiffres. Par exemple, vous devez résoudre la tâche suivante, trouver le plus petit commun multiple des nombres 7 et 3, la solution est assez simple, il suffit de les multiplier. En conséquence, il y a le nombre 21, il n'y a tout simplement pas de plus petit nombre.

Exemple #2

La deuxième option est beaucoup plus difficile. Les nombres 300 et 1260 sont donnés, trouver le LCM est obligatoire. Pour résoudre la tâche, les actions suivantes sont supposées :

Décomposition des premier et deuxième nombres en facteurs les plus simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. La première étape est terminée.

La deuxième étape consiste à travailler avec les données déjà obtenues. Chacun des numéros reçus doit participer au calcul du résultat final. Pour chaque multiplicateur, le plus grand nombre occurrences. CNO est nombre total, de sorte que les facteurs des nombres doivent y être répétés jusqu'au dernier, même ceux qui sont présents en un seul exemplaire. Les deux nombres initiaux ont dans leur composition les nombres 2, 3 et 5, à des degrés différents, 7 n'étant que dans un cas.

Pour calculer le résultat final, vous devez prendre chaque nombre dans la plus grande de leurs puissances représentées, dans l'équation. Il ne reste plus qu'à multiplier et obtenir la réponse, avec le bon remplissage, la tâche s'inscrit en deux étapes sans explication :

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

C'est toute la tâche, si vous essayez de calculer le nombre souhaité en multipliant, la réponse ne sera certainement pas correcte, car 300 * 1260 = 378 000.

Examen:

6300 / 300 = 21 - vrai ;

6300/1260 = 5 est correct.

L'exactitude du résultat est déterminée en vérifiant - en divisant le LCM par les deux nombres d'origine, si le nombre est un nombre entier dans les deux cas, la réponse est correcte.

Que signifie NOC en mathématiques

Comme vous le savez, il n'y a pas une seule fonction inutile en mathématiques, celle-ci ne fait pas exception. L'utilisation la plus courante de ce nombre est de réduire les fractions à dénominateur commun. Ce qui est habituellement étudié en 5e et 6e année du secondaire. C'est aussi en plus un diviseur commun pour tous les multiples, si de telles conditions sont dans le problème. Une telle expression peut trouver un multiple non seulement de deux nombres, mais aussi d'un nombre beaucoup plus grand - trois, cinq, etc. Plus il y a de chiffres - plus il y a d'actions dans la tâche, mais la complexité de celle-ci n'augmente pas.

Par exemple, étant donné les nombres 250, 600 et 1500, vous devez trouver leur LCM total :

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - cet exemple décrit la factorisation en détail, sans réduction.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pour composer une expression, il est nécessaire de mentionner tous les facteurs, dans ce cas 2, 5, 3 sont donnés - pour tous ces nombres, il est nécessaire de déterminer le degré maximum.

Attention : tous les multiplicateurs doivent être simplifiés, si possible, en les décomposant au niveau des chiffres uniques.

Examen:

1) 3000 / 250 = 12 - vrai ;

2) 3000 / 600 = 5 - vrai ;

3) 3000/1500 = 2 est correct.

Cette méthode ne nécessite aucune astuce ou capacité de niveau génie, tout est simple et clair.

Autrement

En mathématiques, beaucoup est lié, beaucoup peut être résolu de deux manières ou plus, il en va de même pour trouver le plus petit commun multiple, LCM. La méthode suivante peut être utilisée dans le cas de nombres simples à deux chiffres et à un chiffre. Un tableau est compilé dans lequel le multiplicateur est entré verticalement, le multiplicateur horizontalement et le produit est indiqué dans les cellules qui se croisent de la colonne. Vous pouvez refléter le tableau au moyen d'une ligne, un nombre est pris et les résultats de la multiplication de ce nombre par des nombres entiers sont écrits dans une rangée, de 1 à l'infini, parfois 3-5 points suffisent, le deuxième et les nombres suivants sont soumis au même processus de calcul. Tout se passe jusqu'à ce qu'un multiple commun soit trouvé.

Étant donné les nombres 30, 35, 42, vous devez trouver le LCM qui relie tous les nombres :

1) Multiples de 30 : 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiples de 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiples de 42 : 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Il est à noter que tous les nombres sont assez différents, le seul nombre commun entre eux est 210, ce sera donc le LCM. Parmi les processus associés à ce calcul, il y a aussi le plus grand commun diviseur, qui se calcule selon des principes similaires et se rencontre souvent dans des problèmes voisins. La différence est petite, mais suffisamment significative, le LCM implique le calcul d'un nombre divisible par toutes les valeurs initiales données, et le GCM implique le calcul plus grande valeur par lequel les nombres originaux sont divisibles.

Deuxième numéro : b=

Séparateur de chiffres Pas de séparateur d'espace " ´

Résultat:

Plus grand diviseur commun pgcd( une,b)=6

Plus petit commun multiple de LCM( une,b)=468

Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisibles sans reste est appelé plus grand diviseur commun(pgcd) de ces nombres. Noté pgcd(a,b), (a,b), pgcd(a,b) ou hcf(a,b).

Multiple moins commun(LCM) de deux entiers a et b est le plus petit entier naturel divisible par a et b sans reste. Noté LCM(a,b), ou lcm(a,b).

Les entiers a et b sont appelés coprime s'ils n'ont pas de diviseurs communs autres que +1 et -1.

Plus grand diviseur commun

Que deux soient donnés nombres positifs une 1 et une 2 1). Il est nécessaire de trouver un diviseur commun de ces nombres, c'est-à-dire trouver un tel nombre λ , qui divise les nombres une 1 et une 2 en même temps. Décrivons l'algorithme.

1) Dans cet article, le mot nombre signifiera un nombre entier.

Laisser une 1 ≥ une 2 et laisser

où m 1 , une 3 sont des nombres entiers, une 3 <une 2 (reste de la division une 1 sur une 2 devrait être moins une 2).

Faisons comme si λ divise une 1 et une 2 , alors λ divise m 1 une 2 et λ divise une 1 −m 1 une 2 =une 3 (Assertion 2 de l'article "Divisibilité des nombres. Signe de divisibilité"). Il en résulte que tout diviseur commun une 1 et une 2 est un diviseur commun une 2 et une 3 . L'inverse est également vrai si λ diviseur commun une 2 et une 3, puis m 1 une 2 et une 1 =m 1 une 2 +une 3 sont également divisés en λ . D'où le diviseur commun une 2 et une 3 est aussi un diviseur commun une 1 et une 2. Parce que une 3 <une 2 ≤une 1 , alors on peut dire que la solution au problème de trouver un diviseur commun de nombres une 1 et une 2 réduit à un problème plus simple de trouver un diviseur commun de nombres une 2 et une 3 .

Si une 3 ≠0, alors on peut diviser une 2 sur une 3 . Puis

,

où m 1 et une 4 sont des nombres entiers, ( une 4 reste de la division une 2 sur une 3 (une 4 <une 3)). Par un raisonnement similaire, nous arrivons à la conclusion que les diviseurs communs des nombres une 3 et une 4 est le même que les diviseurs communs des nombres une 2 et une 3 , et aussi avec des diviseurs communs une 1 et une 2. Parce que une 1 , une 2 , une 3 , une 4 , ... des nombres constamment décroissants, et comme il y a un nombre fini d'entiers entre une 2 et 0, puis à un certain pas n, reste de la division une non une n+1 sera égal à zéro ( une n+2=0).

.

Chaque diviseur commun λ Nombres une 1 et une 2 est aussi un diviseur de nombres une 2 et une 3 , une 3 et une 4 , .... une n et une n+1 . L'inverse est également vrai, les diviseurs communs des nombres une n et une n+1 sont aussi des diviseurs de nombres une n−1 et une n , .... , une 2 et une 3 , une 1 et une 2. Mais le diviseur commun une n et une n+1 est un nombre une n+1 , car une n et une n+1 sont divisibles par une n+1 (rappelons que une n+2=0). D'où une n+1 est aussi un diviseur de nombres une 1 et une 2 .

Notez que le nombre une n+1 est le plus grand nombre diviseur une n et une n+1 , puisque le plus grand diviseur une n+1 est lui-même une n+1 . Si une n + 1 peut être représenté comme un produit de nombres entiers, alors ces nombres sont aussi des diviseurs communs de nombres une 1 et une 2. Nombre une n+1 sont appelés plus grand diviseur commun Nombres une 1 et une 2 .

Nombres une 1 et une 2 peut être à la fois un nombre positif et un nombre négatif. Si l'un des nombres est égal à zéro, alors le plus grand diviseur commun de ces nombres sera égal à la valeur absolue de l'autre nombre. Le plus grand commun diviseur des nombres nuls n'est pas défini.

L'algorithme ci-dessus s'appelle Algorithme d'Euclide trouver le plus grand diviseur commun de deux entiers.

Exemple de recherche du plus grand diviseur commun de deux nombres

Trouvez le plus grand commun diviseur de deux nombres 630 et 434.

• Étape 1. Divisez le nombre 630 par 434. Le reste est 196.
• Étape 2. Divisez le nombre 434 par 196. Le reste est 42.
• Étape 3. Divisez le nombre 196 par 42. Le reste est 28.
• Étape 4. Divisez le nombre 42 par 28. Le reste est 14.
• Étape 5. Divisez le nombre 28 par 14. Le reste est 0.

À l'étape 5, le reste de la division est 0. Par conséquent, le plus grand commun diviseur des nombres 630 et 434 est 14. Notez que les nombres 2 et 7 sont également des diviseurs des nombres 630 et 434.

Nombres premiers

Définition 1. Soit le plus grand commun diviseur de nombres une 1 et une 2 est égal à un. Ces nombres s'appellent alors nombres premiers qui n'ont pas de diviseur commun.

Théorème 1. Si une 1 et une 2 nombres relativement premiers, et λ un certain nombre, puis tout diviseur commun de nombres λa 1 et une 2 est aussi un diviseur commun de nombres λ et une 2 .

Preuve. Considérez l'algorithme d'Euclide pour trouver le plus grand diviseur commun de nombres une 1 et une 2 (voir ci-dessus).

.

Il découle des conditions du théorème que le plus grand diviseur commun des nombres une 1 et une 2 , et donc une n et une n+1 vaut 1. C'est-à-dire une n+1=1.

Multiplions toutes ces égalités par λ , ensuite

.

Soit le diviseur commun une 1 λ et une 2 est δ . Puis δ entre comme facteur dans une 1 λ , m 1 une 2 λ et en une 1 λ -m 1 une 2 λ =une 3 λ (Voir "Divisibilité des nombres", Énoncé 2). Davantage δ entre comme facteur dans une 2 λ et m 2 une 3 λ , et entre donc comme facteur dans une 2 λ -m 2 une 3 λ =une 4 λ .

En raisonnant ainsi, nous sommes convaincus que δ entre comme facteur dans une n−1 λ et m n−1 une n λ , et donc dans une n−1 λ −m n−1 une n λ =une n+1 λ . Parce que une n+1 =1, alors δ entre comme facteur dans λ . D'où le nombre δ est un diviseur commun de nombres λ et une 2 .

Considérons des cas particuliers du théorème 1.

Conséquence 1. Laisser une et c les nombres premiers sont relativement b. Puis leur produit courant alternatif est un nombre premier par rapport à b.

Vraiment. Du théorème 1 courant alternatif et b ont les mêmes diviseurs communs que c et b. Mais les chiffres c et b premier, c'est-à-dire ont un seul diviseur commun 1. Alors courant alternatif et b ont également un seul diviseur commun 1. D'où courant alternatif et b mutuellement simple.

Conséquence 2. Laisser une et b nombres premiers entre eux et soit b divise ok. Puis b divise et k.

Vraiment. De la condition d'assertion ok et b avoir un diviseur commun b. En vertu du théorème 1, b doit être un diviseur commun b et k. D'où b divise k.

Le corollaire 1 peut être généralisé.

Conséquence 3. 1. Laissez les chiffres une 1 , une 2 , une 3 , ..., une m sont premiers par rapport au nombre b. Puis une 1 une 2 , une 1 une 2 · une 3 , ..., une 1 une 2 une 3 ··· une m , le produit de ces nombres est premier par rapport au nombre b.

2. Soit deux rangées de nombres

de sorte que chaque nombre de la première ligne est premier par rapport à chaque nombre de la deuxième ligne. Ensuite le produit

Il est nécessaire de trouver de tels nombres qui sont divisibles par chacun de ces nombres.

Si le nombre est divisible par une 1 , alors on dirait sa 1 , où s un certain nombre. Si q est le plus grand diviseur commun des nombres une 1 et une 2 , alors

où s 1 est un entier. Puis

est un plus petit commun multiple de nombres une 1 et une 2 .

une 1 et une 2 premiers entre eux, puis le plus petit commun multiple des nombres une 1 et une 2:

Trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.

Il résulte de ce qui précède que tout multiple des nombres une 1 , une 2 , une 3 doit être un multiple de nombres ε et une 3 et inversement. Soit le plus petit commun multiple des nombres ε et une 3 est ε un . De plus, un multiple de nombres une 1 , une 2 , une 3 , une 4 doit être un multiple de nombres ε 1 et une 4 . Soit le plus petit commun multiple des nombres ε 1 et une 4 est ε 2. Ainsi, nous avons découvert que tous les multiples de nombres une 1 , une 2 , une 3 ,...,une m coïncide avec des multiples d'un nombre spécifique ε n , qui est appelé le plus petit commun multiple des nombres donnés.

Dans le cas particulier où les nombres une 1 , une 2 , une 3 ,...,une m premier entre eux, alors le plus petit commun multiple des nombres une 1 , une 2 tel qu'illustré ci-dessus a la forme (3). De plus, depuis une 3 premiers par rapport aux nombres une 1 , une 2 , alors une 3 est un nombre premier relatif une un · une 2 (Corollaire 1). Donc le plus petit commun multiple des nombres une 1 ,une 2 ,une 3 est un nombre une un · une 2 · une 3 . En raisonnant de la même manière, nous arrivons aux affirmations suivantes.

Déclaration 1. Plus petit commun multiple de nombres premiers une 1 , une 2 , une 3 ,...,une m est égal à leur produit une un · une 2 · une 3 ··· une m.

Déclaration 2. Tout nombre divisible par chacun des nombres premiers entre eux une 1 , une 2 , une 3 ,...,une m est aussi divisible par leur produit une un · une 2 · une 3 ··· une m.

Comment trouver LCM (plus petit commun multiple)

Le plus petit commun multiple de deux entiers est le plus petit de tous les entiers qui est divisible de manière égale et sans reste par les deux nombres donnés.

Méthode 1. Vous pouvez trouver le LCM, à son tour, pour chacun des nombres donnés, en écrivant dans l'ordre croissant tous les nombres obtenus en les multipliant par 1, 2, 3, 4, etc.

Exemple pour les numéros 6 et 9.
Nous multiplions le nombre 6, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 6, 12, 18 , 24, 30
Nous multiplions le nombre 9, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 9, 18 , 27, 36, 45
Comme vous pouvez le voir, le LCM pour les numéros 6 et 9 sera de 18.

Cette méthode est pratique lorsque les deux nombres sont petits et qu'il est facile de les multiplier par une suite d'entiers. Cependant, il existe des cas où vous devez trouver le LCM pour des nombres à deux ou trois chiffres, et également lorsqu'il y a trois nombres initiaux ou même plus.

Méthode 2. Vous pouvez trouver le LCM en décomposant les nombres originaux en facteurs premiers.
Après décomposition, il est nécessaire de rayer les mêmes nombres de la série résultante de facteurs premiers. Les nombres restants du premier nombre seront le facteur du second, et les nombres restants du second nombre seront le facteur du premier.

Exemple pour le nombre 75 et 60.
Le plus petit multiple commun des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres à la suite. Pour ce faire, on décompose 75 et 60 en facteurs premiers :
75 = 3 * 5 * 5, et
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Comme vous pouvez le voir, les facteurs 3 et 5 se produisent dans les deux lignes. Mentalement, nous les "rayons".
Écrivons les facteurs restants inclus dans l'expansion de chacun de ces nombres. Lors de la décomposition du nombre 75, nous avons laissé le nombre 5, et lors de la décomposition du nombre 60, nous avons laissé 2 * 2
Ainsi, pour déterminer le LCM pour les nombres 75 et 60, nous devons multiplier les nombres restants de l'expansion de 75 (c'est 5) par 60, et les nombres restants de l'expansion du nombre 60 (c'est 2 * 2 ) multipliez par 75. Autrement dit, pour faciliter la compréhension, nous disons que nous multiplions "en croix".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
C'est ainsi que nous avons trouvé le LCM pour les nombres 60 et 75. C'est le nombre 300.

Exemple. Déterminer LCM pour les nombres 12, 16, 24
Dans ce cas, nos actions seront un peu plus compliquées. Mais, d'abord, comme toujours, nous décomposons tous les nombres en facteurs premiers
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pour déterminer correctement le LCM, nous sélectionnons le plus petit de tous les nombres (c'est le nombre 12) et parcourons séquentiellement ses facteurs, en les barrant si au moins une des autres lignes de nombres a le même facteur qui n'a pas encore été franchi en dehors.

Étape 1 . Nous voyons que 2 * 2 apparaît dans toutes les séries de nombres. Nous les barrons.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Étape 2. Dans les facteurs premiers du nombre 12, il ne reste que le nombre 3. Mais il est présent dans les facteurs premiers du nombre 24. Nous barrons le nombre 3 des deux lignes, alors qu'aucune action n'est attendue pour le nombre 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Comme vous pouvez le voir, lors de la décomposition du nombre 12, nous avons "barré" tous les chiffres. La constatation du NOC est donc terminée. Il ne reste plus qu'à calculer sa valeur.
Pour le nombre 12, on prend les facteurs restants du nombre 16 (le plus proche par ordre croissant)
12 * 2 * 2 = 48
C'est le CNO

Comme vous pouvez le voir, dans ce cas, trouver le LCM était un peu plus difficile, mais lorsque vous devez le trouver pour trois numéros ou plus, cette méthode vous permet de le faire plus rapidement. Cependant, les deux façons de trouver le LCM sont correctes.

Mais de nombreux nombres naturels sont divisibles de manière égale par d'autres nombres naturels.

par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible (pour 12 c'est 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés nombre diviseurs. Diviseur d'un nombre naturel une est l'entier naturel qui divise le nombre donné une sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux facteurs est appelé composite .

Notez que les nombres 12 et 36 ont des diviseurs communs. Ce sont les nombres : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres une et b est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisibles sans reste une et b.

Multiple commun plusieurs nombres est appelé le nombre qui est divisible par chacun de ces nombres. par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y a toujours le plus petit, dans ce cas c'est 90. Ce nombre s'appelle moinsmultiple commun (LCM).

LCM est toujours un nombre naturel, qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m et n. De plus, l'ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples de LCM( m, n).

Les asymptotiques pour peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Alors, Fonction de Tchebychev. Aussi bien que:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Trouver le plus petit commun multiple (LCM).

CNO( un B) peut être calculé de plusieurs façons :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa relation avec le LCM :

2. Soit connue la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

où p 1 ,...,p k sont divers nombres premiers, et d 1 ,...,d k et e 1 ,...,ek sont des entiers non négatifs (ils peuvent être nuls si le nombre premier correspondant n'est pas dans la décomposition).

Puis LCM ( une,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, le développement LCM contient tous les facteurs premiers qui sont inclus dans au moins un des développements de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce facteur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs successifs du PPCM de deux nombres :

Régner. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, vous avez besoin de :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférez la plus grande expansion aux facteurs du produit souhaité (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés), puis ajoutez les facteurs de l'expansion d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou y sont un plus petit nombre de fois ;

- le produit résultant de facteurs premiers sera le PPCM des nombres donnés.

Deux ou plusieurs nombres naturels ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs dans l'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) ont été complétés par un facteur de 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 ont été complétés par un facteur de 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. C'est le plus petit produit possible (150, 250, 300...) dont tous les nombres donnés sont des multiples.

Les nombres 2,3,11,37 sont premiers, donc leur PPCM est égal au produit des nombres donnés.

régner. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres ensemble.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres, vous avez besoin de :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) écrivez les puissances de tous les facteurs premiers :

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) écrivez tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans toutes les expansions de ces nombres ;

5) multiplier ces puissances.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Nous écrivons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.