Il existe de nombreuses variétés de nombres, dont certains sont des nombres entiers. Des nombres entiers sont apparus pour faciliter le décompte, non seulement en côté positif mais aussi négatif.

Prenons un exemple :
Pendant la journée, la température extérieure était de 3 degrés. Le soir, la température a baissé de 3 degrés.
3-3=0
Dans la rue, il est devenu 0 degré. Et la nuit, la température a chuté de 4 degrés et a commencé à apparaître sur le thermomètre -4 degrés.
0-4=-4

Une suite d'entiers.

Nous ne pouvons pas décrire un tel problème avec des nombres naturels, nous considérerons ce problème sur la ligne de coordonnées.

Nous avons une série de nombres :
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Cette suite de nombres s'appelle une suite d'entiers.

Entiers positifs. Entiers négatifs.

Une série d'entiers se compose de nombres positifs et négatifs. A droite de zéro il y a des nombres naturels ou ils sont aussi appelés entiers positifs... Et à gauche de zéro allez nombres entiers négatifs.

Zéro n'est ni positif ni négatif. C'est la frontière entre les nombres positifs et négatifs.

Est un ensemble de nombres constitué de nombres naturels, d'entiers négatifs et de zéro.

Une suite d'entiers positifs et négatifs est ensemble sans fin.

Si nous prenons deux nombres entiers, alors les nombres entre ces nombres entiers seront appelés un ensemble fini.

Par exemple:
Prenez des nombres entiers de -2 à 4. Tous les nombres entre ces nombres sont inclus dans un ensemble fini. Notre ensemble fini de nombres ressemble à ceci :
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Les nombres naturels sont notés lettre latine N.
Les nombres entiers sont désignés par la lettre latine Z. Tout l'ensemble des nombres naturels et des nombres entiers peut être représenté sur la figure.


Entiers non positifs en d'autres termes, ce sont des entiers négatifs.
Entiers non négatifs Sont des entiers positifs.

Propriétés algébriques

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Livres

• Arithmétique : nombres entiers. Divisibilité des nombres. Mesure des quantités. Système métrique de mesures. Ordinaire, Kiselev, Andrey Petrovich. L'attention des lecteurs est attirée sur le livre de l'éminent professeur et mathématicien russe A.P. Kiselev (1852-1940), contenant un cours systématique d'arithmétique. Le livre comprend six sections. ...

Si nous attribuons le nombre 0 à la gauche d'une série de nombres naturels, nous obtenons une suite d'entiers positifs:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Entiers négatifs

Regardons un petit exemple. La photo de gauche montre un thermomètre qui indique une température de 7°C. Si la température baisse de 4°, alors le thermomètre affichera 3° de chaleur. Une baisse de température correspond à une action de soustraction :

Si la température baisse de 7°, le thermomètre affichera 0°. Une baisse de température correspond à une action de soustraction :

Si la température baisse de 8°, le thermomètre affichera -1° (1° gel). Mais le résultat de la soustraction de 7 à 8 ne peut pas être écrit en utilisant des nombres naturels et zéro.

Illustrons la soustraction sur une série d'entiers positifs :

1) À partir du chiffre 7, comptez 4 chiffres vers la gauche et obtenez 3 :

2) A partir du chiffre 7, comptez 7 chiffres vers la gauche et obtenez 0 :

Il est impossible de compter 8 nombres dans une série d'entiers positifs de 7 à gauche. Pour rendre l'action 7 - 8 faisable, nous allons étendre la série d'entiers positifs. Pour ce faire, à gauche de zéro, nous écrivons (de droite à gauche) dans l'ordre tous les nombres naturels, en ajoutant à chacun d'eux un signe - indiquant que ce nombre est à gauche de zéro.

Les entrées -1, -2, -3, ... lisent moins 1, moins 2, moins 3, etc. :

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

La série de nombres résultante est appelée une suite d'entiers... Les points à gauche et à droite dans cette entrée signifient que la ligne peut être continuée indéfiniment à droite et à gauche.

À droite du nombre 0 dans cette rangée se trouvent les nombres appelés Naturel ou tout positif(brièvement - positif).

À gauche du nombre 0 dans cette rangée se trouvent les nombres appelés négatif entier(brièvement - négatif).

Le nombre 0 est un entier, mais il n'est ni positif ni négatif. Il sépare les nombres positifs et négatifs.

D'où, une série d'entiers se compose d'entiers négatifs, de zéros et d'entiers positifs.

Comparaison d'entiers

Comparer deux nombres entiers- signifie savoir lequel d'entre eux est le plus grand, lequel est le moins, ou déterminer que les nombres sont égaux.

Vous pouvez comparer des nombres entiers à l'aide d'une série d'entiers, car les nombres qu'il contient sont situés du plus petit au plus grand, si vous vous déplacez le long de la ligne de gauche à droite. Par conséquent, dans une série d'entiers, vous pouvez remplacer les virgules par un signe moins :

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

D'où, de deux nombres entiers, plus est le nombre qui est à droite dans la rangée, et moins est celui qui est à gauche, moyens:

1) Tout nombre positif supérieur à zéro et supérieur à tout nombre négatif :

1 > 0; 15 > -16

2) Tout un nombre négatif moins que zéro:

7 < 0; -357 < 0

3) De deux nombres négatifs, le plus grand est celui à droite dans la rangée d'entiers.

Dans cet article, nous allons définir l'ensemble des entiers, considérer quels entiers sont dits positifs et lesquels sont négatifs. Nous montrerons également comment les nombres entiers sont utilisés pour décrire les changements de certaines quantités. Commençons par la définition et des exemples d'entiers.

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Des nombres entiers. Définition, exemples

Rappelons d'abord les entiers naturels ℕ. Le nom lui-même suggère que ce sont des nombres qui ont naturellement été utilisés pour compter depuis des temps immémoriaux. Afin de couvrir le concept de nombres entiers, nous devons élargir la définition des nombres naturels.

Définition 1. Entiers

Les entiers sont des nombres naturels, les nombres opposés et le nombre zéro.

L'ensemble des nombres entiers est désigné par la lettre .

L'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble des entiers ℤ. Tout nombre naturel est un nombre entier, mais aucun nombre entier n'est un nombre naturel.

Il résulte de la définition que l'un des nombres 1, 2, 3 est un nombre entier. ... , le nombre 0, ainsi que les nombres - 1, - 2, - 3,. ...

Conformément à cela, nous donnerons des exemples. Les nombres 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sont des entiers.

Laissez la ligne de coordonnées être tracée horizontalement et dirigée vers la droite. Jetons-y un coup d'œil pour visualiser l'arrangement des nombres entiers sur une ligne droite.

L'origine sur la ligne de coordonnées correspond au nombre 0, et les points situés de part et d'autre du zéro correspondent à des nombres entiers positifs et négatifs. Chaque point correspond à un seul entier.

Vous pouvez accéder à n'importe quel point d'une droite dont la coordonnée est un nombre entier, en mettant de côté un certain nombre de segments unitaires à partir de l'origine.

Entiers positifs et négatifs

De tous les entiers, il est logique de distinguer les entiers positifs et négatifs. Donnons leurs définitions.

Définition 2. Entiers positifs

Les entiers positifs sont des entiers de signe plus.

Par exemple, le nombre 7 est un signe plus, c'est-à-dire un entier positif. Sur la ligne de coordonnées, ce nombre se trouve à droite du point de référence, pour lequel le nombre 0 est pris. Autres exemples d'entiers positifs : 12, 502, 42, 33, 100500.

Définition 3. Entiers négatifs

Les entiers négatifs sont des entiers avec un signe moins.

Exemples d'entiers négatifs : - 528, - 2568, - 1.

Le nombre 0 sépare les entiers positifs et négatifs et n'est lui-même ni positif ni négatif.

Tout nombre opposé à un entier positif est, par définition, un entier négatif. L'inverse est également vrai. L'inverse de tout entier négatif est un entier positif.

Vous pouvez donner d'autres définitions des nombres entiers négatifs et positifs en utilisant leur comparaison avec zéro.

Définition 4. Entiers positifs

Les entiers positifs sont des entiers supérieurs à zéro.

Définition 5. Entiers négatifs

Les entiers négatifs sont des entiers inférieurs à zéro.

Respectivement, nombres positifs se trouvent à droite de l'origine sur la ligne de coordonnées, et les entiers négatifs sont à gauche de zéro.

Nous avons dit plus haut que les nombres naturels sont un sous-ensemble d'entiers. Clarifions ce point. L'ensemble des nombres naturels est constitué d'entiers positifs. À son tour, l'ensemble des entiers négatifs est l'ensemble des nombres naturels opposés.

Important!

Tout nombre naturel peut être appelé entier, mais aucun entier ne peut être appelé naturel. En répondant à la question de savoir si les nombres négatifs sont naturels, il faut dire avec audace - non, ils ne le sont pas.

Entiers non positifs et non négatifs

Donnons des définitions.

Définition 6. Entiers non négatifs

Les entiers non négatifs sont des entiers positifs et le nombre zéro.

Définition 7. Entiers non positifs

Les entiers non positifs sont des entiers négatifs et le nombre zéro.

Comme vous pouvez le voir, le nombre zéro n'est ni positif ni négatif.

Exemples d'entiers non négatifs : 52, 128, 0.

Exemples d'entiers non positifs : - 52, - 128, 0.

Un nombre non négatif est un nombre supérieur ou égal à zéro. Par conséquent, un entier non positif est un nombre inférieur ou égal à zéro.

Les termes « nombre non positif » et « nombre non négatif » sont utilisés par souci de concision. Par exemple, au lieu de dire que le nombre a est un entier supérieur ou égal à zéro, vous pouvez dire : a est un entier non négatif.

Utilisation d'entiers pour décrire les changements de quantités

A quoi servent les entiers ? Tout d'abord, avec leur aide, il est pratique de décrire et de déterminer l'évolution du nombre d'objets. Donnons un exemple.

Laissez un certain nombre de vilebrequins être stockés dans l'entrepôt. Si 500 autres vilebrequins sont amenés à l'entrepôt, leur nombre augmentera. Le nombre 500 exprime simplement le changement (augmentation) du nombre de détails. Si ensuite 200 pièces sont retirées de l'entrepôt, ce nombre caractérisera également l'évolution du nombre de vilebrequins. Cette fois, vers le bas.

Si rien ne sera retiré de l'entrepôt et que rien ne sera apporté, le nombre 0 indiquera l'invariabilité du nombre de pièces.

La commodité évidente d'utiliser des nombres entiers, contrairement aux nombres naturels, est que leur signe indique clairement la direction du changement de la valeur (augmentation ou diminution).

Une diminution de la température de 30 degrés peut être caractérisée par un nombre négatif - 30, et une augmentation de 2 degrés - par un entier positif 2.

Voici un autre exemple utilisant des nombres entiers. Cette fois, disons que nous devons donner 5 pièces à quelqu'un. Ensuite, nous pouvons dire que nous avons - 5 pièces. Le chiffre 5 décrit le montant de la dette et le signe moins indique que nous devons rembourser les pièces.

Si nous devons 2 pièces à une personne et 3 à une autre, alors la dette totale (5 pièces) peut être calculée en utilisant la règle d'addition des nombres négatifs :

2 + (- 3) = - 5

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Enseignant de la catégorie la plus élevée

Quels nombres sont appelés entiers ?

Objectifs de la leçon:

-Élargir la notion de nombre en introduisant des nombres négatifs :

-Guider l'habileté d'écrire des nombres positifs et négatifs.

Objectifs de la leçon.

Éducatif - favoriser le développement de la capacité de généraliser et de systématiser, favoriser le développement des horizons mathématiques, de la pensée et de la parole, de l'attention et de la mémoire.

Éducatif - l'éducation d'une attitude envers l'auto-éducation, l'auto-éducation, une diligence précise, une attitude créative envers l'activité, la pensée critique.

Développement - développer chez les écoliers la capacité de comparer et de généraliser, d'exprimer des pensées de manière logique, de développer une perspective mathématique, la pensée et la parole, l'attention et la mémoire.

Pendant les cours :

1. Entretien d'introduction.

Jusqu'à présent, dans les cours de maths, avons-nous regardé quels nombres ?

-Naturel et fractionnaire.

Quels nombres sont dits naturels ?

- Ce sont les nombres utilisés lors du comptage des articles.

Combien pouvez-vous dire ?

- infiniment nombreux.

Est-ce que zéro est un nombre naturel ? Pourquoi?

- A quoi servent les nombres fractionnaires ?

-Nous ne comptons pas seulement des objets, mais des parties de certaines quantités.

Quelles fractions connaissez-vous ?

- Ordinaire et décimal.

Tâche numéro 1.

Quels sont les nombres naturels ? Fractions ordinaires? Fractions décimales ?

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2. Explication du nouveau matériel :

Cependant, dans la vie, vous avez probablement déjà rencontré d'autres nombres, lesquels ? Où?

-Négatif. Par exemple, dans le bulletin météo.

Avant de passer à l'exploration d'un nouveau sujet, discutons des signes qui aideront à élargir l'ensemble des nombres. Ce sont des signes plus et moins. Pensez à ce à quoi ces signes sont associés dans la vie. Cela peut être n'importe quoi : blanc ou noir, bon ou mauvais. Nous écrirons vos exemples sous forme de tableau.

Combien de pensées sont causées par seulement deux signes. En fait, ces deux signes permettent d'aller dans des directions différentes. De tels nombres, "similaires" aux nombres naturels, mais avec un signe moins, sont nécessaires dans les cas où la valeur peut changer dans deux directions opposées. Pour exprimer la valeur sous la forme d'un nombre négatif, entrez un premier zéro. Voyons des exemples que d'autres ont fait, mais pensez à la maison et faites notre propre présentation. Diapositive numéro 2-7.

L'utilisation du signe est très pratique. Son utilisation est acceptée dans le monde entier. Mais ce ne fut pas toujours ainsi. Diapositive numéro 8.

Ainsi, avec les nombres naturels

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Nous considérerons des nombres négatifs, dont chacun est obtenu en attribuant un signe moins à l'entier naturel correspondant :

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

L'entier naturel et l'entier négatif correspondant s'appellent en face. Par exemple, les nombres 15 et -15. Il est possible -15 et 15. O est opposé à lui-même.

Règle : les nombres naturels qui leur sont opposés sont négatifs et le nombre 0 est appelé nombres entiers. Tous ces nombres forment ensemble un grand nombre de nombres entiers.

Ouvrez le manuel page 159, retrouvez la règle, relisez-la, apprenez-la par cœur à la maison.

Il est d'usage d'appeler un nombre naturel un entier positif, c'est-à-dire que c'est la même chose. Devant celui-ci, afin de souligner la différence externe avec le négatif, un signe plus est parfois placé. + 5 = 5.

3. Formation des compétences et des capacités :

1) № 000.

2) Écrivez ces nombres en deux groupes : positifs et négatifs :

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) Le jeu "mon humeur".

Vous allez maintenant évaluer votre humeur du moment selon l'échelle suivante :

Bonne humeur : +1, +2, +3, +4, +5.

Mauvaise humeur : -1, -2, -3, -4, -5.

Une personne écrira les résultats au tableau, tandis que les autres diront à tour de rôle : « J'ai bonne humeur 4 points "

4) Jeu de craquelins

Je nommerai des paires de nombres, si la paire est opposée, alors tu tapes des mains, sinon, alors il devrait y avoir du silence dans la classe :

5 et -5 ; 6 et 0,6 ; -300 et 300 ; 3 et 1/3 ; 8 et 80 ; 14 et -14 ; 5/7 et 7/5; -1 et 1.

5) Propédeutique de l'étude de l'addition des nombres entiers :

N° 000 (a).

Nous examinons la solution à l'aide d'une présentation. Diapositive numéro 8.

4. Résumé de la leçon :

-Quels nombres sont dits positifs ? Négatif?

-Qu'est-ce que tu as appris ?

- A quoi servent les nombres négatifs ?

-Comment s'écrivent les nombres positifs et négatifs ?

5. D/Z : page 8.1, n° 000, 721 (b), 715 (b). Tâche créative: composez un vers sur les nombres entiers, le dessin, la présentation, le conte de fées.

Nous en retrancherons un autre du chiffre,
Nous mettons une ligne droite.
Nous reconnaîtrons ce signe
"Moins" nous l'appelons.
1.
Il existe une,
Cela ressemble à un match.
Elle est juste un tiret
Avec un petit coup.

2.
Il glisse à peine sur l'eau
Comme un cygne, numéro deux.
Elle a cambré son cou,
Conduit les vagues derrière lui.

3.
Deux crochets, regardez
Le résultat est le numéro trois.
Mais sur ces deux crochets
Vous ne pouvez pas planter un ver.

4.
Ils ont laissé tomber la fourchette en quelque sorte
Une dent a été cassée.
Cette prise dans le monde entier
On l'appelle "quatre".

5.
Numéro cinq - avec un gros ventre,
Porte une casquette avec une visière.
A l'école, ce nombre est cinq
Les enfants aiment recevoir.

6.
Quelle cerise, mon ami,
La tige est-elle pliée ?
Vous essayez de le manger,
Cette cerise est le numéro six.

7.
Je suis un tel poker
Je ne peux pas le mettre dans le poêle.
Tout le monde la connaît
Qu'il s'appelle "sept".

8.
Une corde tordue, tordue,
Attaché en deux boucles.
"Quel est le numéro?" - nous demanderons à maman.
Maman nous répondra : "Huit".

9.
Le vent soufflait et soufflait fort,
J'ai retourné la cerise.
Numéro six, je te prie de dire
Il est devenu le numéro neuf.

10.
Comme une sœur aînée
Mène zéro un.
Juste marché ensemble
Le nombre dix est immédiatement devenu.

Poèmes sur les mathématiques

· Beaucoup de mathématiques ne restent pas dans la mémoire, mais lorsque vous les comprenez, il est alors facile de se souvenir de l'oubli à l'occasion.