MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

Établissement d'enseignement autonome de l'État fédéral

formation professionnelle supérieure

"Université fédérale de l'Oural nommée d'après le premier président de la Russie B. N. Eltsine"

Institut de radioélectronique et technologies de l'information - RTF

département Automatisation et technologies de l'information

Interpolation de spline

INSTRUCTIONS METHODOLOGIQUES POUR LES TRAVAUX DE LABORATOIRE SUR LA DISCIPLINE "Méthodes Numériques"

Compilé par I.A. Selivanova, maître de conférences.

INTERPOLATION SPLINE : Instructions méthodiques pour exercices pratiques dans la discipline "Méthodes numériques"

Les instructions sont destinées aux étudiants de toutes les formes d'enseignement dans la direction 230100 - "Informatique et Génie Informatique".

Ó FGAOU VPO « UrFU nommé d'après le premier président de la Russie B. N. Eltsine », 2011

1. INTERPOLATION PAR SPLINES. 4

1.1. Splines cubiques. 4

1.2. Une forme spéciale de notation spline. 5

1.3. Splines quadratiques. 13

1.4. Exercice pratique. dix-huit

1.5. Possibilités d'emploi. 19

Références 21

1. Interpolation par splines.

Dans les cas où l'intervalle [ une,b] où vous voulez remplacer la fonction F(X) est grand, vous pouvez appliquer une interpolation spline.

1.1. Splines cubiques.

Splines d'interpolation 3e d'ordre sont des fonctions constituées de morceaux de polynômes 3 e ordre. Aux nœuds d'interface, la continuité de la fonction, ses dérivées première et seconde est assurée. La fonction d'approximation est composée de polynômes séparés, en règle générale, de même petit degré, chacun défini sur sa propre partie du segment.

Soit sur le segment [ une, b] l'axe réel X une grille est donnée, aux nœuds dont les valeurs
fonction F(X). Il faut construire sur le segment [ une, b] fonction spline continue S(X), qui remplit les conditions suivantes :

Pour construire la spline requise, vous devez trouver les coefficients
polynômes
,je=1,… m, c'est à dire. 4 m coefficients inconnus qui satisfont 4 m-2 équations (1), (2), (3). Pour que le système d'équations ait une solution, deux conditions (aux limites) supplémentaires sont ajoutées. Trois types de conditions aux limites sont utilisés :

Les conditions (1), (2), (3) et l'une des conditions (4), (5), (6) forment un SLAE de commande 4 m. La résolution du système peut être réalisée par la méthode de Gauss. Cependant, en choisissant une notation spéciale pour le polynôme cubique, on peut réduire considérablement l'ordre du système d'équations à résoudre.

1.2. Une forme spéciale de notation spline.

Considérez le segment
... Introduisons la notation de variables suivante :

Ici
- longueur des segments
,

,
- variables auxiliaires,

X- point intermédiaire sur le segment
.

Lorsque X parcourt toutes les valeurs de l'intervalle
, variable varie de 0 à 1, et
varie de 1 à 0.

Soit le polynôme cubique
sur le segment
ressemble à:

Variables et
sont déterminés par rapport à un segment spécifique d'interpolation.

Trouver la valeur de la spline
aux extrémités du segment
... Point
est l'initiale du segment
, donc =0,
= 1 et conformément à (3.8) :
.

À la fin du segment
=1,
= 0 et
.

Pour l'intervalle
point
est fini, donc =1,
= 0 et de la formule (9) on obtient :
... Ainsi, la condition de continuité de la fonction S(X) aux jonctions de polynômes cubiques quel que soit le choix des nombres  i.

Pour déterminer les coefficients i, je=0,… m on différencie (8) deux fois comme une fonction complexe de X... Puis

Définissons les dérivées secondes de la spline
et
:

Pour polynôme
point est le début du segment d'interpolation et =0,
= 1, donc

Il résulte de (15) et (16) que sur le segment [ une,b] une fonction spline "collée" à partir de morceaux de polynômes du troisième ordre a une dérivée continue du deuxième ordre.

Pour obtenir la continuité de la dérivée première de la fonction S(X), on exige aux nœuds internes d'interpolation la réalisation de la condition :

Pour spline cubique naturelle
, par conséquent, le système d'équations aura la forme :

et le système d'équations (17) aura la forme :

Exemple.

Donnée initiale:

Remplacer la fonction
spline cubique d'interpolation, dont les valeurs aux points nodaux donnés (voir tableau) coïncident avec les valeurs de la fonction aux mêmes points. Considérez différentes conditions aux limites.

Calculons la valeur de la fonction aux points nodaux. Pour ce faire, nous substituons les valeurs du tableau dans la fonction donnée.

Pour différentes conditions aux limites (4), (5), (6), on retrouve les coefficients des splines cubiques.

1. Considérons les premières conditions aux limites.

Dans notre cas m=3,
,
,
... Trouver
on utilise le système d'équations (3.18) :

Calculons et en utilisant les formules (7) et (11) :

Substituez les valeurs obtenues dans le système d'équations :

.

Solution système :

Compte tenu des premières conditions aux limites, les coefficients splines :

Considérons la définition des coefficients splines en tenant compte des conditions aux limites (3.5) :

Trouver la dérivée de la fonction
:

Calculons
et
:

Substituons dans le système d'équations (21) les valeurs et :

En utilisant la formule (20), nous définissons  0 et  3 :

Prise en compte de valeurs spécifiques :

et le vecteur des coefficients :

Calculons les valeurs de la spline cubique S (x) aux milieux des segments d'interpolation.

Milieu des segments :

Pour calculer la valeur de la spline cubique au milieu des segments d'interpolation, nous utilisons les formules (7) et (9).

3.1.

Trouve et
:

Dans la formule (3.9), on substitue les coefficients

3.2.

Trouve et
:

, pour les conditions aux limites (4), (5), (6) :

3.3.

Trouve et
:

Dans la formule (9), on substitue les coefficients
, pour les conditions aux limites (4), (5), (6) :

Faisons un tableau :

Le mot spline (mot anglais "spline") désigne une règle flexible utilisée pour tracer des courbes lisses passant par des points spécifiés sur un plan. La forme de cette pièce universelle sur chaque segment est décrite par une parabole cubique. Les splines sont largement utilisées dans les applications d'ingénierie, en particulier dans l'infographie. Ainsi, sur chaque je-Le segment [ x je –1 , x je], je = 1, 2,…, N, la solution sera recherchée sous la forme d'un polynôme du troisième degré :

Si je(X)= a je + b je(x – x je)+ c je(X–x je) 2 /2+ d je(x – x je) 3 /6

Cotes inconnues a i, b i, c i, d i, i = 1, 2,..., N, on trouve de :

Conditions d'interpolation : Si je(x je)= f je, je = 1, 2,..., N;S 1 (X 0)= f 0 ,

Fonction de continuité Si je(x je– 1 ) = S i– 1 (x je –1), je = 2, 3,..., N,

Continuités des dérivées première et seconde :

S / je(x je– 1)=S / je– 1 (x je –1), S // je(x je –1)= S // je –1 (x je –1), je = 2, 3,..., N.

Tenant compte du fait que, pour déterminer 4 N inconnues, on obtient le système 4 N–2 équations :

un je = f je, je = 1, 2,..., N,

b je hi - c je hi 2 /2+ d je h je 3 /6= f je - f je –1 , je = 1, 2,..., N,

b i - b i - 1 = c i h i - d i h i 2 /2, je = 2, 3,..., N,

d i h i = c i - c i– 1 , je = 2, 3,..., N.

où h i = x i - x i– 1. Les deux équations manquantes sont dérivées de conditions supplémentaires : S //(une)= S //(b)=0. On peut le montrer dans ce cas. Les inconnus peuvent être exclus du système b je, d je, avoir reçu le système N + 1 équations linéaires (SLAE) pour déterminer les coefficients c je:

c 0 = 0, cN = 0,

salut je c je –1 + 2(salut + salut +1)c je + h je +1 c je +1 = 6 , je = 1, 2,…, N–1. (1)

Après cela, les coefficients sont calculés b je, d je :

, je = 1, 2,..., N. (2)

Dans le cas d'une grille constante h je = h ce système d'équations est simplifié.

Ce SLAE a une matrice tridiagonale et est résolu par la méthode de balayage.

Les coefficients sont déterminés à partir des formules :

Pour calculer la valeur S(X) en un point arbitraire du segment z∈[un B] il faut résoudre le système d'équations pour les coefficients c je, je = 1,2,…, N–1, puis trouver tous les coefficients b je, d je. De plus, il est nécessaire de déterminer pour quel intervalle [ x je 0, x je 0-1] atteint ce point, et connaissant le nombre je 0, calculer la valeur de la spline et de ses dérivées en un point z

S(z)= un je 0 + b je 0 (z – x je 0)+ c je 0 (z – x je 0) 2 /2+ d je 0 (z – x je 0) 3 /6

S /(z)= b je 0 + c je 0 (z – x je 0)+ d je 0 (z – x je 0) 2 /2, S //(z)= c je 0 + d je 0 (z – x je 0).

Il est nécessaire de calculer les valeurs de la fonction aux points 0,25 et 0,8 en utilisant l'interpolation spline.

Dans notre cas : h i = 1/4,.

Écrivons un système d'équations pour déterminer :

En résolvant ce système d'équations linéaires, on obtient :.

Considérons le point 0.25, qui appartient au premier segment, c'est-à-dire ... Par conséquent, nous obtenons

Considérons le point 0.8, qui appartient au quatrième segment, c'est-à-dire ...

D'où,

Interpolation globale

Lorsque interpolation globale un seul polynôme est trouvé sur tout l'intervalle [ un B], c'est à dire un polynôme est construit, qui permet d'interpoler la fonction f (x) sur tout l'intervalle de variation de l'argument x. On va chercher une fonction d'interpolation sous la forme d'un polynôme (polynôme) m-Le degré P m(X)= un 0 + un 1 x + un 2 X 2 + un 3 X 3 +… + A m x m. Quel est le degré du polynôme pour satisfaire toutes les conditions d'interpolation ? Supposons que deux points soient donnés : ( X 0 , F 0) et ( X 1 , F 1), c'est-à-dire N = 1. Une seule ligne droite peut être tracée à travers ces points, c'est-à-dire la fonction d'interpolation sera le polynôme du premier degré P 1 (X)= un 0 + un 1 X. Par trois points (N = 2) on peut tracer une parabole P 2 (X)= un 0 + un 1 x + un 2 X 2, etc En raisonnant de cette manière, nous pouvons supposer que le polynôme désiré doit avoir le degré N .

Pour le prouver, nous écrivons un système d'équations pour les coefficients. Les équations du système sont les conditions d'interpolation à chaque x = x je:

Ce système est linéaire par rapport aux coefficients recherchés une 0 , une 1 , une 2 , …,un. On sait qu'un SLAE a une solution si son déterminant est non nul. Déterminant d'un système donné

porte le nom Déterminant de Vandermonde... Il est connu du cours de l'analyse mathématique qu'il est non nul si xk≠x m(c'est-à-dire que tous les nœuds d'interpolation sont différents). Ainsi, il est prouvé que le système a une solution.

Nous avons montré que pour trouver les coefficients
une 0 , une 1 , une 2 , …,un il est nécessaire de résoudre le SLAE, ce qui est une tâche difficile. Mais il existe une autre façon de construire le polynôme N-Th degré, qui ne nécessite pas la solution d'un tel système.

polynôme de Lagrange

On cherche la solution sous la forme , où je(z) – polynômes de base N-Le degré pour lequel la condition est remplie : ... Vérifions que si de tels polynômes sont construits, alors L N (x) satisfera aux conditions d'interpolation :

Comment construire des polynômes de base? Nous définissons

, je = 0, 1,..., N.

Il est facile de comprendre que

Fonction je(z) est un polynôme N-Le degré de z et pour cela les conditions de « basicité » sont satisfaites :

0, i k;, c'est-à-dire k = 1,…, i-1 ou k = i + 1,…, N.

Ainsi, nous avons réussi à résoudre le problème de la construction du polynôme d'interpolation N–ème degré, et pour cela il n'est pas nécessaire de résoudre le SLAE. Le polynôme de Lagrange peut s'écrire sous la forme d'une formule compacte : . L'erreur de cette formule peut être estimée si la fonction d'origine g(X) a des dérivés jusqu'à N + 1 commande :

Il résulte de cette formule que l'erreur de la méthode dépend des propriétés de la fonction g(X), ainsi qu'à partir de l'emplacement des nœuds d'interpolation et du point z. Les expériences calculées montrent que le polynôme de Lagrange a une petite erreur pour les petites valeurs N<20 ... Pour les plus grands N l'erreur commence à croître, ce qui indique que la méthode de Lagrange ne converge pas (c'est-à-dire que son erreur ne diminue pas avec l'augmentation N).

Considérons des cas particuliers. Soit N = 1, c'est-à-dire les valeurs des fonctions ne sont données qu'en deux points. Alors les polynômes de base sont :

, c'est à dire. nous obtenons des formules d'interpolation linéaire par morceaux.

Soit N = 2. Puis:

En conséquence, nous avons obtenu des formules pour ce que l'on appelle interpolation quadratique ou parabolique.

Exemple: Les valeurs de certaines fonctions sont données :

Il est nécessaire de trouver la valeur de la fonction pour z = 1 en utilisant le polynôme d'interpolation de Lgrange. Ad hoc N= 3, c'est-à-dire le polynôme de Lagrange est du troisième ordre. Calculons les valeurs des polynômes de base pour z=1:

Sélection de formules empiriques

Lors de l'interpolation des fonctions, nous avons utilisé la condition d'égalité des valeurs du polynôme d'interpolation et de la fonction donnée aux nœuds d'interpolation. Si les données initiales sont obtenues à la suite de mesures expérimentales, l'exigence d'une correspondance exacte n'est pas nécessaire, car les données ne sont pas obtenues exactement. Dans ces cas, on ne peut exiger qu'un respect approximatif des conditions d'interpolation. Cette condition signifie que la fonction d'interpolation F (x) ne passe pas exactement par les points donnés, mais dans certains de leur voisinage, comme, par exemple, comme le montre la Fig.

Puis parler de sélection de formules empiriques... La construction d'une formule empirique consiste en deux étapes6 de sélection de la forme de cette formule contenant des paramètres inconnus, et de détermination au mieux, en un sens, de ces paramètres. La forme de la formule est parfois connue à partir de considérations physiques (pour un milieu élastique, la relation entre contrainte et déformation) ou choisie à partir de considérations géométriques : les points expérimentaux sont portés sur un graphique et la forme générale de la dépendance est grossièrement devinée en comparant les courbe résultante avec des graphiques de fonctions connues. Le succès ici est largement déterminé par l'expérience et l'intuition du chercheur.

Pour la pratique, le cas de l'approximation d'une fonction par des polynômes est important, c'est-à-dire ...

Une fois le type de dépendance empirique sélectionné, le degré de proximité avec les données empiriques est déterminé en utilisant somme minimale des carrés des écarts des données calculées et expérimentales.

Méthode des moindres carrés

Soit pour les données initiales x i, f i, i = 1,…, N (il vaut mieux commencer la numérotation par un), le type de dépendance empirique est choisi : avec des coefficients inconnus. Écrivons la somme des carrés des écarts entre ceux calculés par la formule empirique et les données expérimentales données :

Les paramètres seront trouvés à partir de la condition du minimum de la fonction ... C'est méthode des moindres carrés (MCO).

On sait qu'au point minimum toutes les dérivées partielles de w sont égales à zéro :

(1)

Considérons l'application de l'OLS pour un cas particulier, qui est largement utilisé dans la pratique. Comme fonction empirique, considérons le polynôme

La formule (1) pour déterminer la somme des carrés des écarts prendra la forme :

Calculons les dérivées :

En égalant ces expressions à zéro et en recueillant les coefficients pour les inconnues, nous obtenons le système d'équations linéaires suivant.

Soit un tableau de valeurs de fonction soit donné oui je dans les nœuds N.-É. 0 < х 1 < ... < х п . Dénoter h i = x i - x i -1 , je= 1, 2, ... , N.-É..

Spline- courbe lisse passant par les points donnés ( x je, oui je), je = 0, 1, ... , N.-É.. Interpolation de spline réside dans le fait que sur chaque segment [ x je -1 , x je] un polynôme d'un certain degré est utilisé. Le polynôme le plus couramment utilisé du troisième degré, moins souvent - le deuxième ou le quatrième. Dans ce cas, pour déterminer les coefficients des polynômes, les conditions de continuité des dérivées aux nœuds d'interpolation sont utilisées.

Interpolation spline cubique est une interpolation locale lorsque sur chaque segment [ x je -1 , x je], je = 1, 2, ... , N.-É. une courbe cubique est utilisée qui satisfait certaines conditions de régularité, à savoir, la continuité de la fonction elle-même et ses dérivées première et seconde aux points nodaux. L'utilisation d'une fonction cubique est motivée par les considérations suivantes. Si l'on suppose que la courbe d'interpolation correspond à une règle élastique fixée aux points ( x je, oui je), puis d'après le cours sur la résistance des matériaux, on sait que cette courbe est définie comme la solution de l'équation différentielle F(IV) ( X) = 0 sur le segment [ x je -1 , x je] (pour simplifier la présentation, nous ne considérons pas les problèmes liés aux dimensions physiques). La solution générale d'une telle équation est un polynôme du troisième degré avec des coefficients arbitraires, qui peut être commodément écrit sous la forme
Si je(X) = et moi + b je(N.-É. - x je -1) +avec moi(X - x je -1) 2 + je(X - x je -1) 3 ,
x je-1 £ N.-É. £ x je, je = 1, 2, ... , N.-É..(4.32)

Coefficients de fonction Si je(X) sont déterminés à partir des conditions de continuité de la fonction et de ses dérivées première et seconde aux nœuds internes x je,je= 1, 2,..., N.-É. - 1.

A partir des formules (4.32) avec N.-É. = x je-1 on obtient

Si je(x je- 1) = oui je -1 = un je, je = 1, 2,..., N.-É.,(4.33)

et à N.-É. = x je

Si je(x je) = et moi + b je h je +avec je h je 2 + d je h je 3 ,(4.34)

je= 1, 2,..., m.

Les conditions de continuité de la fonction d'interpolation s'écrivent sous la forme Si je(x je) = Si je -1 (x je), je= 1, 2, ... , m- 1 et des conditions (4.33) et (4.34) il s'ensuit qu'elles sont satisfaites.

Trouver les dérivées de la fonction Si je(X):

S " je(X) =b je + 2avec moi(N.-É. - x je -1) + 3di(N.-É. – x je -1) 2 ,

S " je(X) = 2c je + 6je(x - x je -1).

À X = x je-1, on a S " je(x je -1) = b je, S " (x je -1) = 2avec moi, et à N.-É. = x je avoir

S " je(x je) = b je+ 2avec je h je+ 3dih je 2 , S " (x je) = 2avec je + 6d je h je.

Les conditions de continuité des dérivées conduisent aux équations

S " je(x je) =S " je +1 (x je) Þ b je+ 2avec je h je+ 3dih je 2 = b je +1 ,

je= l, 2, ..., N.-É. - 1. (4.35)

S " je (x je) = S " je +1 (x je) 2 avec je + 6d je h je= 2c je +1 ,

je= l, 2, ..., m- 1. (4.36)

Au total, nous avons 4 m- 2 équations pour en déterminer 4 m inconnu. Pour obtenir deux autres équations, des conditions aux limites supplémentaires sont utilisées, par exemple, l'exigence de courbure nulle de la courbe d'interpolation aux extrémités, c'est-à-dire l'égalité de la dérivée seconde à zéro aux extrémités du segment [ une, b]une = N.-É. 0 , b= xn:

S " 1 (X 0) = 2c 1 = 0 avec 1 = 0,

S " n(xn) = 2avec n + 6d n h n = 0 Þ avec n + 3d n h n = 0. (4.37)

Le système d'équations (4.33) - (4.37) peut être simplifié et des formules récurrentes pour le calcul des coefficients splines peuvent être obtenues.

De la condition (4.33) nous avons des formules explicites pour calculer les coefficients un je:

un je = oui je -1 , je = 1,..., m. (4.38)

Exprimons-nous je de l'autre côté c je en utilisant (4.36), (4.37) :

; je = 1, 2,...,m; .

nous mettons avec n+1 = 0, alors pour je on obtient une formule :

, je = 1, 2,...,m. (4.39)

Remplacez les expressions par et moi et je en égalité (4.34) :

, je= 1, 2,..., m.

et exprimer b je, de l'autre côté avec moi:

, je= 1, 2,..., m. (4.40)

Nous excluons des équations (4.35) les coefficients b je et je en utilisant (4.39) et (4.40) :

je= 1, 2,..., m -1.

On obtient ainsi un système d'équations pour déterminer avec moi:

Le système d'équations (4.41) peut être réécrit sous la forme

La notation est introduite ici

, je =1, 2,..., m- 1.

Résolvons le système d'équations (4.42) par la méthode du balayage. A partir de la première équation, on exprime avec 2 à avec 3:

c 2 = un 2 c 3 + b 2,,. (4.43)

Remplacez (4.43) dans la deuxième équation (4.42) :

h 2 (un 2 c 3 + b 2) + 2 ( h 2 + h 3)c 3 + h 3 c 4 = g 2 ,

et exprimer avec 3 à avec 4:

avec 3 = un 3 avec 4 + b 3, (4.44)

En admettant que avec moi-1 = un je -1 c je+ b je-1 de je-ième équation (4.42) on obtient

c je= un je avec je+1 + b je

, je = 3,..., m- 1, un m= 0, (4,45) c n +1 = 0,

c je= un je avec je+1 + b je, je= m, m -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Calcul des coefficients et moi, b je,je:

un je = oui je -1 ,

je= 1, 2,..., m.

4. Calcul de la valeur de la fonction à l'aide d'une spline. Pour ce faire, trouvez une telle valeur je que la valeur donnée de la variable N.-É. appartient au segment [ x je -1 , x je] et calculer

Si je(X) = et moi + b je(N.-É. - x je -1) +avec moi(X - x je -1) 2 + je(X - x je -1) 3 . (4.50)

2.2 Interpolation spline cubique

Une spline d'interpolation cubique correspondant à une fonction donnée f (x) et à des nœuds donnés x i est une fonction S (x) qui vérifie les conditions suivantes :

1. Sur chaque segment, i = 1, 2, ..., N, la fonction S (x) est un polynôme du troisième degré,

2. La fonction S (x), ainsi que ses dérivées première et seconde, sont continues sur l'intervalle,

3.S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., N.

Sur chacun des intervalles, i = 1, 2, ..., N, on cherchera la fonction S (x) = S i (x) sous la forme d'un polynôme du troisième degré :

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 x Ј x i,

où a i, b i, ci, d i - coefficients à déterminer sur tous les n segments élémentaires. Pour qu'un système d'équations algébriques ait une solution, le nombre d'équations doit être exactement égal au nombre d'inconnues. Par conséquent, nous devons obtenir 4n équations.

On obtient les 2n premières équations à partir de la condition que le graphe de la fonction S (x) doit passer par les points donnés, c'est-à-dire

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Ces conditions peuvent s'écrire :

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Les 2n - 2 équations suivantes découlent de la condition de continuité des dérivées première et seconde aux nœuds d'interpolation, c'est-à-dire la condition de régularité de la courbe en tous points.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 ci (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

En égalant à chaque nœud interne x = x i les valeurs de ces dérivées calculées dans les intervalles gauche et droit du nœud, on obtient (en tenant compte de h i = x i - x i - 1) :

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

si x = x je

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

A ce stade, nous avons 4n inconnues et 4n - 2 équations. Par conséquent, il est nécessaire de trouver deux autres équations.

Avec une fixation libre des extrémités, la courbure de la ligne en ces points peut être égale à zéro. Des conditions de courbure nulle aux extrémités, il s'ensuit que les dérivées secondes sont égales à zéro en ces points :

S 1 (x 0) = 0 et S n (x n) = 0,

c i = 0 et 2 c n + 6 d n h n = 0.

Les équations constituent un système d'équations algébriques linéaires pour déterminer 4n coefficients : a i, b i, c i, d i (i = 1, 2,..., N).

Ce système peut être amené à une forme plus pratique. Tous les coefficients a i peuvent être trouvés à partir de la condition à la fois.

i = 1, 2, ..., n - 1,

En remplaçant, on obtient :

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Nous excluons les coefficients b i et d i de l'équation. Enfin, on obtient le système d'équations suivant uniquement pour les coefficients avec i :

c 1 = 0 et c n + 1 = 0 :

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

En utilisant les coefficients trouvés avec i, il est facile de calculer d i, b i.

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Interpolation de spline

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Méthodes d'approximation de fonction

Sur chaque intervalle, la fonction est linéaire Fi (x) = kix + li. Les valeurs des coefficients se trouvent à partir du respect des conditions d'interpolation aux extrémités du segment : Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi-1) = fi. On obtient le système d'équations : kixi-1 + li = fi-1, kixi + li = fi, d'où on trouve ki = li = fii- kixi ...

Méthodes de résolution d'un système d'équations linéaires. Interpolation

Énoncé du problème d'interpolation. Un système de points (nœuds d'interpolation) xi, i = 0,1,…, N est donné sur l'intervalle ; une? x je ? b, et les valeurs de la fonction inconnue à ces nœuds fn i = 0,1,2,…, N. Les tâches suivantes peuvent être définies : 1) Construire la fonction F (x) ...

Construction d'un modèle mathématique décrivant le processus de résolution d'une équation différentielle

3.1 Construction du polynôme d'interpolation de Lagrange et condensation de valeurs Une manière évidente de résoudre ce problème est de calculer les valeurs de (x) à l'aide des valeurs analytiques de la fonction ѓ. Pour cela - selon les informations initiales ...

Si ce sont des degrés (1, x, x2, ..., xn), alors on parle d'interpolation algébrique, et la fonction est appelée un polynôme d'interpolation et notée : (4) Si () (5), alors on peut construire un polynôme d'interpolation de degré n et de plus un seul...

Application pratique de l'interpolation de fonction lisse

Considérons un exemple d'interpolation pour les éléments d'un ensemble. Pour plus de simplicité et de concision, prenez = [- 1; 1],. Laissez les points et soyez différents entre eux. Posons le problème suivant : (12) construire un polynôme satisfaisant ces conditions ...

Application de méthodes numériques à la résolution de problèmes mathématiques

Méthodes numériques

Ainsi, comme mentionné ci-dessus, la tâche de l'interpolation est de trouver un tel polynôme dont le graphe passe par les points donnés. Soit la fonction y = f (x) donnée à l'aide du tableau (tableau 1) ...

Méthodes numériques pour résoudre des problèmes mathématiques