Chaque surface d'un de ses côtés peut être dirigée vers l'observateur et alors ce côté sera visible. Sinon, le côté de la surface ne sera pas visible du point de vue. Il peut arriver que seule une partie du côté de la surface soit visible. Dans ce cas, une ligne peut être tracée sur la surface qui sépare les surfaces propres visibles et invisibles. Une ligne d'esquisse est une ligne sur une surface qui sépare la partie visible de la surface ou de la face de sa partie invisible.

Riz. 9.5.1. Projections de lignes de contour de surface

Riz. 9.5.2. Projections de maillage de polygones et de lignes de contour

En figue. 9.5.1 montre les lignes du contour de la surface. En figue. 9.5.2 montre les lignes de contour en conjonction avec le maillage de surface.

Lors du passage sur la ligne d'esquisse, la normale de la surface change de direction par rapport à la ligne de visée. Aux points du contour, la normale à la surface est orthogonale à la ligne de visée. Dans le cas général, il peut y avoir plusieurs lignes de contour en surface. Chaque ligne de contour est une courbe spatiale. Il est soit fermé, soit se termine sur les bords de la surface. Pour différentes directions du regard, il existe un ensemble de lignes de contour, par conséquent, lorsque la surface est tournée, les lignes de contour doivent être reconstruites.

Projections parallèles.

Pour certaines surfaces, par exemple une sphère, un cylindre, un cône, les lignes de contour sont assez simples à dessiner. Considérons le cas général de la construction des lignes du contour de la surface.

Soit qu'il soit nécessaire de trouver les lignes de contour de la surface décrite par le rayon vecteur. Chaque point de la ligne de contour pour une projection parallèle sur le plan (9.2.1) doit satisfaire l'équation

où est la normale à la surface pour laquelle le contour est tracé. Pour une surface décrite par un rayon vecteur, la normale est aussi fonction des paramètres et. L'équation scalaire (9.5.1) contient deux paramètres requis u, v. Si vous définissez l'un des paramètres, l'autre peut être trouvé à partir de l'équation (9.5.1), c'est-à-dire que l'un des paramètres est fonction de l'autre. Pour l'égalité des paramètres, ils peuvent être représentés comme des fonctions d'un paramètre commun

Le résultat de la résolution de l'équation (9.5.1) est une ligne à deux dimensions

sur la surface Cette ligne est le contour de la surface.

Nous allons construire une ligne d'esquisse à partir d'une collection ordonnée de points satisfaisant l'équation (9.5.1). Les points sont une paire de paramètres de surface qui sont des coordonnées de points bidimensionnels sur un plan paramétrique. Ayant les points individuels de la ligne de contour, situés dans leur ordre et à une certaine distance les uns des autres, vous pouvez toujours trouver n'importe quel autre point sur la ligne. Par exemple, pour trouver un point situé entre deux points adjacents donnés d'une ligne d'esquisse, tracez un plan perpendiculaire au segment reliant les points adjacents et trouvez un point commun pour la surface et le plan en résolvant trois équations d'intersection scalaires avec l'équation (9.5 .1). La position du plan sur le segment de ligne peut être définie par le paramètre de ligne. Aux points extrêmes du segment, l'approximation nulle pour le point souhaité est déterminée. Ainsi, l'ensemble des points individuels bidimensionnels de la ligne de contour de la surface sert d'approximation nulle de cette ligne, selon laquelle l'une des méthodes numériques peut toujours trouver la position exacte du point. L'algorithme de construction des lignes du contour de la surface peut être divisé en deux étapes.

A la première étape, on trouvera au moins un point sur chaque ligne du contour. Pour ce faire, en marchant le long de la surface et en examinant le signe du produit scalaire aux points adjacents, nous trouvons des paires de points sur la surface auxquels il change de signe. En prenant les valeurs moyennes des paramètres de ces points comme une approximation nulle, on va retrouver les paramètres du point du contour par l'une des méthodes numériques. Par exemple, laissez-le changer de signe lors du passage d'un point à un point proche. Ensuite, en utilisant le processus itératif de la méthode de Newton

ou processus itératif

trouver les paramètres d'un des points du contour. Les dérivées de la normale sont déterminées par les formules de Weingarten (1.7.26), (1.7.28). De cette façon, nous obtenons un ensemble de points des lignes de contour. Les points de l'ensemble obtenu à la première étape ne sont en aucun cas reliés entre eux et peuvent appartenir à des lignes de contour différentes. Il est seulement important qu'au moins un point soit présent à partir de chaque ligne de contour de l'ensemble.

À la deuxième étape, nous prenons n'importe quel point de l'ensemble existant et, en nous déplaçant d'un pas, d'abord dans un sens puis dans l'autre, nous trouvons point par point l'ensemble de points requis de la ligne de contour. La direction du mouvement donne le vecteur

où sont les dérivées partielles de la normale - les dérivées partielles du vecteur rayon de surface par rapport aux paramètres.

Le signe devant le terme coïncide avec le signe du produit scalaire On calcule le pas de mouvement en fonction des courbures des surfaces au point courant par la formule (9.4.7) ou par la formule (9.4.8). Si

puis par la formule (9.4.7) on donne l'incrément au paramètre et et par la formule (9.5.4) on trouve le paramètre v correspondant de la surface. Sinon, par la formule (9.4.8), on donne l'incrément au paramètre et, et par la formule (9.5.5), on trouve le paramètre correspondant de la surface. Nous terminons de nous déplacer le long de la courbe lorsque nous atteignons le bord d'une des surfaces ou lorsque la ligne se ferme (le nouveau point sera à la distance du pas en cours du point de départ).

En cours de déplacement, nous vérifierons si les points de l'ensemble obtenu à la première étape se trouvent à proximité du chemin. Pour ce faire, le long du parcours, nous calculerons la distance du point courant de la courbe de contour à chaque point de l'ensemble obtenu à la première étape. Si la distance calculée à n'importe quel point de l'ensemble est proportionnelle à l'étape actuelle du mouvement, alors nous supprimerons ce point de l'ensemble car il n'est plus nécessaire. Nous obtenons donc un ensemble de points individuels d'une ligne de contour. Dans ce cas, l'ensemble des points obtenus à la première étape ne contiendra pas un seul point de cette droite. S'il y a plus de points dans l'ensemble, alors cette surface a au moins une ligne de contour supplémentaire.

Riz. 9.5.3. Lignes de contour du corps

Riz. 9.5.4. Corps de rotation

Nous trouvons l'ensemble de ses points en prenant n'importe quel point de l'ensemble et en répétant la deuxième étape de la construction. Nous terminons de tracer les lignes lorsqu'il n'y a plus de points dans l'ensemble. De la manière décrite, tracez le contour de toutes les faces du modèle.

Les lignes de contour des faces sont les lignes de contour de leurs surfaces. Le contour du corps sera visible s'il n'est pas masqué par le visage le plus proche du point d'observation. En figue. 9.5.3 montre la ligne du contour du corps de révolution montré à la Fig. 9.5.4. Le contour du contour peut avoir des plis et des cuspides, mais le contour lui-même est lisse.

Les points d'arrêt dans la projection se produisent lorsque la ligne tangente du contour est colinéaire au vecteur

Pour construire la projection de la ligne d'esquisse, nous allons construire son polygone, dont nous prendrons la projection comme projection de la ligne d'esquisse.

Projections centrales.

Les lignes de contour dans les projections centrales satisfont à l'équation

(9.5.7)

où - surface normale - rayon vecteur du point d'observation. La ligne d'esquisse pour la projection centrale est différente de la ligne d'esquisse pour la projection parallèle, bien que les algorithmes pour leur construction soient similaires. Au lieu d'un vecteur constant, (9.5.7) contient un vecteur dont la direction dépend du point projeté. La ligne d'esquisse de la projection centrale représente également une certaine courbe sur la surface, décrite par des dépendances (9.5.3), et est une courbe spatiale. Cette ligne doit être projetée sur le plan selon les règles de construction de la projection centrale de la ligne spatiale.

En figue. 9.5.5 montre une projection parallèle des lignes du contour du tore, et sur la Fig. 9.5.6 à titre de comparaison, la projection centrale des lignes du contour du tore est représentée. Comme vous pouvez le voir, ces projections sont différentes.

Riz. 9.5.5. Projection parallèle des lignes de contour du tore

Riz. 9.5.6. Projection centrale des lignes de contour du tore

L'algorithme de construction de lignes de contour pour la projection centrale d'une surface décrite par un rayon vecteur diffère de l'algorithme de construction de lignes de contour pour une projection parallèle de cette surface en ce qu'à la première étape nous chercherons des points de surface auxquels le produit scalaire change de signe. Pour déterminer ces points, au lieu des formules (9.5.4) et (9.5.5), les formules doivent être utilisées

et formules

respectivement. Sinon, l'algorithme de construction de lignes d'esquisse pour la projection centrale de la surface ne diffère pas de l'algorithme de construction de lignes d'esquisse pour la projection parallèle.

Objectif:

1. Acquisition de compétences en représentation spatiale, permettant pour une direction et un axe donnés, de construire un contour de la surface de révolution.

2. Acquisition de compétences pour trouver des projections de points appartenant à la surface.

1. Sur la base du déterminant donné (guide) de la surface, construisez le contour de la surface.

2. Définissez indépendamment les données initiales de l'une des projections de six points appartenant à la surface construite. Montrez différents cas : les points appartiennent aux lignes de contour et aux surfaces en général.

3. Construire les projections manquantes de chacun des six points appartenant à la surface et les désigner.

Les options de travail sont présentées dans le Tableau 1 aux pages 8-12. Le numéro de la variante du devoir correspond au numéro ordinal du nom de l'étudiant dans la liste de groupe.

Surface de révolution est appelée une surface formée par la rotation d'une ligne (génératrice) autour d'un axe.

Algorithme pour construire le contour de la surface de révolution :

1. Sélectionnez une rangée discrète de points sur le générateur.

2. Construisez des parallèles passant par les points sélectionnés.

3. Reliez les positions extrêmes des points sur les parallèles avec une ligne courbe lisse.

Un exemple de construction d'un contour d'une surface de révolution.

1. Nous dessinons une gorge parallèle passant par le point 1, qui est proche de l'axe i. Les points 1' et 1'' occuperont des positions extrêmes lorsque le point 1 est tourné autour de l'axe.

2. Sélectionnez les points 2 et 3 et tracez des parallèles qui les traversent. Vous pouvez également sélectionner le point 4 sur le générateur, où les lignes de contour toucheront le générateur.

3. Sur la projection frontale, le contour d'un hyperboloïde à une feuille est l'hyperbole et sur la projection horizontale - la gorge et le plus grand parallèle.

4. Les points situés à la surface sont construits à l'aide de parallèles. Par exemple, sur une projection horizontale, le point A (A1) est spécifié. Il faut construire sa projection frontale, pourvu que le point A appartienne à la surface de révolution. On construit une parallèle passant par le point A sur la projection horizontale et sa projection frontale. En utilisant la ligne de communication par projection, on trouve la projection frontale du point A (A 2).

Tableau 1 Variantes de la tâche « Créer un contour de surface » :

Tableau 1 (suite)

Tableau 1 (suite)

Tableau 1 (suite)

Tableau 1 (suite)

THÈME 2 CONSTRUCTION DES TYPES

Objectif:

1. Étude et application pratique des règles de représentation des objets - construction de vues conformément à GOST 2.305-68.

2. Acquisition de compétences en représentation spatiale, permettant à l'image axonométrique d'un objet de représenter sa forme, la position relative des pièces et l'orientation par rapport aux plans de projection.

3. Acquisition de compétences dans l'image axonométrique de la construction des trois grands types du sujet.

4. Développement des compétences dans le dimensionnement des pièces conformément à GOST 2.307-68.

RÈGLES GÉNÉRALES DE PRÉPARATION DES DESSINS

Formats

Les désignations et tailles de formats sont déterminées par les dimensions du cadre extérieur et doivent être conformes à la norme (tableau 2).

Tableau 2

Tous les formats sauf A4 peuvent être positionnés aussi bien verticalement qu'horizontalement. Le format A4 se trouve seulement verticalement .

Chaque dessin a un cadre intérieur qui limite le champ de dessin et est appliqué avec une ligne principale pleine d'une épaisseur de S = 0,8 - 1 mm. Le champ à gauche du format est destiné au classement et à la reliure des dessins (Fig. 2).

Inscription principale

Sur les dessins, il est nécessaire de compléter l'inscription principale contenant des informations sur le produit représenté et des informations sur l'auteur de ce dessin. Le bloc de titre est situé dans le coin inférieur droit.

1 - le nom du produit ou le nom du sujet étudié.

2 - désignation du document ;

3 - échelle;

4 - le numéro de série de la feuille (la colonne n'est pas renseignée sur les documents exécutés sur une feuille) ;

5 - le nombre total de feuilles du document (la colonne est renseignée sur la première feuille) ;

6 - lettre du document;

7 - les noms de famille ;

8 - les signatures ;

9 - la date de signature du document ;

10 - nom, index de l'entreprise ;

11 – désignation du matériau (remplie dans les dessins des pièces).

Toutes les colonnes, à l'exception des signatures et des dates, ainsi que les colonnes de la page de titre, sont remplies au crayon, dans une police standard (clause 2.1.5 "Polices de dessin"). Il faut faire attention au fait qu'il y a des lignes principales et fines sur l'image du cartouche.

L'échelle

L'échelle des images et leur désignation dans les dessins fixent la norme.

L'échelle est le rapport des dimensions linéaires de l'image d'un objet dans le dessin aux vraies dimensions linéaires de l'objet.

Selon la complexité de l'objet représenté, ses images dans les dessins peuvent être réalisées à la fois en taille réelle et avec une diminution ou une augmentation (tableau 3).

Tableau 3

Lignes

Les contours, les épaisseurs et les objectifs principaux des neuf types de lignes utilisées dans les dessins sont fixés par la norme. Il existe six types de lignes les plus couramment utilisés dans les dessins de didacticiel.

Main épaisse solide.Épaisseur s 0,5 ... 1,4 mm. Objectif: l'image des lignes du contour visible, le cadre intérieur du dessin, etc.

Ligne fine solide.Épaisseur de s/3 à s/2. Objectif : l'image des lignes de contour de la section superposée, des lignes de cote et d'extension, des lignes de hachures, etc.

Ligne fine en pointillés.Épaisseur de s/3 à s/2. Objectif : image des lignes centrales et centrales, etc.

Ligne pointillée... Largeur de ligne de s/3 à s/2. Objectif : l'image des lignes du contour invisible.

Ligne ondulée solide. Largeur de ligne de s/3 à s/2. Objectif : l'image des lignes de détourage, des lignes de démarcation de la vue et de la coupe.

Ligne ouverte. Largeur de ligne de s à 1,5 s. Objectif : l'image des positions des plans de coupe de coupes et de coupes simples et complexes.

Notez que les lignes tirets-points utilisées comme lignes centrales doivent se croiser en traits longs. Il est recommandé de remplacer la ligne pointillée utilisée comme ligne médiane d'un cercle d'un diamètre inférieur à 12 mm par une ligne fine continue.

Polices de dessin

La taille de la police est déterminée par la hauteur des lettres majuscules (majuscules). Les tailles de police suivantes sont définies : 2,5 ; 3.5 ; 5 ; sept; dix; 14. La largeur de la lettre est définie par rapport à la taille de la police ou par rapport à l'épaisseur du trait de trait ré(fig. 4).

La norme spécifie les types de polices suivants :

type A sans inclinaison ( d = h / 14);

type A avec une pente d'environ 75˚ ( d = h / 14);

type B sans inclinaison ( d = h / 10);

type B avec des pentes d'environ 75˚ ( d = h / 10).

La forme et la construction des chiffres arabes de la police de type B avec une inclinaison sont illustrées à la Fig. 5.

La forme des lettres majuscules avec une inclinaison de l'alphabet russe (cyrillique) est illustrée à la Fig. 6. La largeur de la lettre dépend non seulement de la taille de la police, mais également du design de la lettre elle-même.

La forme et la construction des lettres minuscules de l'alphabet russe de type B avec une inclinaison sont illustrées à la Fig. sept.

CONSTRUCTION D'ESPÈCES

Instructions méthodiques pour la mise en œuvre :

Les images d'objets doivent être réalisées en utilisant la méthode de projection rectangulaire. Dans ce cas, l'objet est supposé être situé entre l'observateur et le plan de projection correspondant (Fig. 9).

L'image sur le plan frontal des projections, plan 1, est prise comme vue principale sur le dessin (Fig. 10).

Les noms suivants des vues obtenues sur les principaux plans de projection ( types principaux , riz. 9 et 10) :

L'objet est positionné par rapport au plan frontal des projections P2 de sorte que l'image qu'il porte donne l'image la plus complète de la forme et de la taille de l'objet.

Tous les types (projections de l'objet) sont en communication par projection (7 - lignes de communication (Fig. 9 et 10)). Dans ce cas, les noms des vues dans les dessins ne doivent pas être étiquetés. Si les vues d'en haut, à gauche, à droite, d'en bas, de derrière sont déplacées par rapport à l'image principale (affichée sur le plan frontal des projections), elles doivent alors être marquées sur le dessin avec une inscription de type "A" (Fig. 11).

La direction du regard doit être indiquée par une flèche marquée d'une lettre majuscule (fig. 12).

Tableau 4. Variantes de la tâche « Créer des vues » :

Tableau 4 (suite)

Tableau 4 (suite)

Concept de surface

SURFACES

En géométrie descriptive, les surfaces sont considérées comme un ensemble de positions successives d'une certaine ligne se déplaçant dans l'espace selon une certaine loi. Cette méthode de formation de surface est appelée cinématique.

Une ligne (courbe ou droite) se déplace dans l'espace selon une certaine loi et crée une surface. C'est ce qu'on appelle une génératrice. Lors de la formation de la surface, elle peut rester inchangée ou changer de forme. La loi de déplacement de la génératrice est précisée sous la forme d'un ensemble de lignes et d'indications de la nature du déplacement de la génératrice. Ces lignes sont appelées lignes directrices.

En plus de la méthode cinématique, la surface peut être spécifiée

· Analytiquement, c'est-à-dire qu'il est décrit par une expression mathématique ;

· La méthode filaire, qui est utilisée lors de la définition de surfaces complexes ; un filaire de surface est un ensemble ordonné de points ou de lignes qui appartiennent à une surface.

Pour définir une surface dans un dessin complexe, il suffit d'avoir de tels éléments de surface dessus qui permettent de construire chacun de ses points. L'ensemble de ces éléments est appelé déterminant de surface.

L'identifiant de surface se compose de deux parties :

· La partie géométrique, qui comprend des éléments géométriques constants (points, lignes) qui participent à la formation de la surface ;

· La partie algorithmique, qui définit la loi du mouvement du générateur, la nature du changement de sa forme.

Sous forme symbolique, le déterminant de la surface F peut s'écrire sous la forme : F (Г) [A], où est la partie géométrique du déterminant, A est la partie algorithmique.

Pour distinguer un déterminant près de la surface, il faut partir de la méthode cinématique de sa formation. Mais comme de nombreuses surfaces identiques peuvent être obtenues de différentes manières, elles auront des déterminants différents. Ci-dessous, nous considérerons les surfaces les plus courantes selon les critères de classification, agréables au cours de la géométrie descriptive.

Pour définir une surface dans un dessin complexe, il suffit d'indiquer les projections non pas de l'ensemble des points et des lignes appartenant à la surface, mais uniquement des figures géométriques qui font partie de son déterminant. Cette façon de définir la surface vous permet de construire des projections de n'importe lequel de ses points. La spécification d'une surface par des projections de son déterminant n'apporte pas de clarté, ce qui rend difficile la lecture du dessin. Pour plus de clarté, si possible, les lignes d'esquisse (esquisses) de la surface sont indiquées sur le dessin.

Lorsqu'une surface W quelconque est projetée parallèlement au plan de projection S, alors les lignes de projection tangentes à la surface W , forment une surface cylindrique (fig. 11.1). Ces lignes droites projetées touchent la surface W en des points formant une ligne m, appelée ligne de contour.

La projection de la ligne de contour m sur le plan S - m / est appelée le contour de la surface. Le contour de la surface sépare la projection de la surface du reste du plan de projection.

La ligne de contour de surface est utilisée pour déterminer la visibilité des points par rapport au plan de projection. Ainsi, dans la fig. 11.1 les projections des points de la surface W situés à gauche du contour m sur le plan S seront visibles. Les projections du reste des points de surface seront invisibles.

Essais

Lors de la définition d'un objet avec des bords incurvés pour la projection, en plus de définir un ensemble de points, d'arêtes et de faces de l'objet de projection, il est nécessaire de définir un ensemble de contours pour ses bords incurvés.

Les esquisses de surface incurvée sont des lignes sur cette surface incurvée qui divisent la surface en parties non visibles et en parties visibles sur le plan de projection. Dans ce cas, on parle de la projection de la seule surface courbe considérée et ne prend pas en compte l'ombrage éventuel de cette surface par d'autres surfaces de premier plan.

Les parties en lesquelles les esquisses sont divisées par une surface courbe sont appelées compartiments.

La position des esquisses des bords incurvés est déterminée par les paramètres de projection. Par conséquent, les esquisses doivent être déterminées une fois la transition vers le système de coordonnées de l'espèce terminée.

Déterminer le contour d'une surface courbe, dans le cas général, est une tâche relativement difficile. Par conséquent, en règle générale, une surface courbe donnée est approximée à l'aide de l'une des surfaces courbes typiques, qui comprennent :

Surface cylindrique ;

Surface sphérique ;

Surface conique.

Pensez à trouver des croquis pour ces types de surfaces courbes.

Découverte contours d'une surface sphérique illustré à la Fig. 6.6-7.

La figure utilise les désignations suivantes :

О - le centre de la sphère;

О п - projection du centre de la sphère;

GM est le méridien principal d'une sphère donnée ;

Pl1 - plan passant par le centre de la sphère, parallèle au plan de projection;

X in, Y in, Z in - axes de coordonnées du système de coordonnées de la vue ;

X p, Y p - axes de coordonnées sur le plan de projection.

Pour trouver le contour à la surface de la sphère, il faut tracer un plan passant par le centre de la sphère (pl1 sur la Fig. 6.6-7), parallèle au plan de projection. La ligne d'intersection de cette surface et de la sphère, qui a la forme d'un cercle, est appelée méridien principal (GM) de la surface sphérique. Ce méridien principal est le contour souhaité.

La projection de ce contour sera un cercle de même rayon. Le centre de ce cercle est la projection du centre de la sphère d'origine sur le plan de projection (O p sur la Fig. 6.7-1).

Riz.6.7 ‑ 1

Pour déterminer contour cylindrique, passant par l'axe du cylindre donné o 1 o 2 (Fig. 6.7-2) le plan Pl1 est tracé, perpendiculaire au plan de projection. De plus, le plan Pl2 est tracé par l'axe du cylindre, perpendiculaire au plan Pl1. Ses intersections avec la surface cylindrique forment deux droites o h 1 och 2 et o h 3 o h 4, qui sont les contours de la surface cylindrique. Les projections de ces croquis sont des droites o h 1p och 2p et o h 3p o h 4p, illustrées à la Fig. 6.7-2.

Construction d'essais surface conique illustré à la Fig. 6.7-3.

Dans la figure illustrée, les désignations suivantes sont adoptées :

O - le sommet du cône;

OO 1 - axe du cône;

X in, Y in, Z in - système de coordonnées de l'espèce ;

PP - plan de projection;

X p, Y p, - système de coordonnées du plan de projection ;

- lignes de projection;

O 1 - le centre de la sphère inscrite dans le cône;

O 2 - un cercle tangent à la sphère inscrite, ayant un centre au point O 1 et la surface conique d'origine;

O h 1, O h 1 - points situés sur les contours de la surface conique;

O h 1p, O h 1p sont les points par lesquels passent les lignes correspondant aux projections des contours de la surface conique.

La surface conique a deux contours en forme de lignes droites. Évidemment, ces lignes passent par les sommets du cône - point O. Pour définir le contour sans ambiguïté, il faut donc trouver un point pour chaque contour.

Pour créer les contours d'une surface conique, procédez comme suit.

Une sphère est inscrite dans une surface conique donnée (par exemple, de centre au point O 1) et la tangente de cette sphère avec une surface conique est déterminée. Dans le cas considéré sur la figure, la tangente aura la forme d'un cercle avec le centre au point O 2 se trouvant sur l'axe du cône.

Evidemment, de tous les points d'une surface sphérique, les points appartenant à des contours ne peuvent être que des points appartenant à un cercle tangent. En revanche, ces points doivent être situés sur la circonférence du méridien principal de la sphère inscrite.

Par conséquent, les points d'intersection du cercle du méridien principal de la sphère inscrite et du cercle-tangente seront les points requis. Ces points peuvent être définis comme les points d'intersection du cercle tangent et du plan passant par le centre de la sphère inscrite O 1 , parallèle au plan de projection. Ces points sur la figure sont O h 1 et O h 2.

Pour construire les projections d'esquisses, il suffit de trouver les points O h 1p et O h 2p, qui sont les projections des points trouvés O h 1 et O h 2 sur le plan de projection, et, à partir de ces points et du point O n de la projection du sommet du cône, construire deux droites correspondant aux projections des contours d'une surface conique donnée (voir fig. 6.7-3).

Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie

Université technique d'État de Saratov

SURFACES

Instructions méthodiques pour terminer le devoir 2

pour les étudiants de spécialités
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Approuvé

Comité éditorial

État de Saratov

Université technique

Saratov 2003

INTRODUCTION

Dans la pratique du génie mécanique, les pièces à surfaces cylindriques, coniques, sphériques, toriques et vissées sont très répandues. Les formes techniques des produits sont souvent une combinaison de surfaces de révolution avec des axes coïncidants, sécants et sécants. Lors de la réalisation de dessins de tels produits, il devient nécessaire de représenter des lignes d'intersection de surfaces, également appelées lignes de transition.

Une façon courante de tracer des lignes d'intersection consiste à localiser les points de la ligne à l'aide de certains plans ou surfaces de découpage de construction, parfois appelés médiateurs.

Dans ces lignes directrices, des cas généraux et particuliers de construction de lignes d'intersection de deux surfaces et des méthodes de construction de surfaces dépliées sont considérés.

1. DISPOSITIONS DE BASE.

En géométrie descriptive, une surface est considérée comme un ensemble de positions successives d'une ligne se déplaçant dans l'espace, appelée génératrice.

Si l'une des lignes de surface est prise comme guide q et se déplacer le long d'elle selon une certaine loi le générateur je, on obtient une famille de générateurs surfaciques qui définissent la surface (Fig. 1).

Pour définir une surface dans un dessin, le concept de déterminant de surface est introduit.

Un déterminant est un ensemble de conditions nécessaires et suffisantes pour une définition univoque d'une surface.

Le déterminant est constitué d'une partie géométrique contenant des figures géométriques et une loi de formation de surface. Par exemple, la partie géométrique du déterminant de la figure une (moi,q) dans la Fig. 1 sont le générateur je et guide q, dont la position est précisée sur le dessin. Droit de l'éducation : droit je se déplaçant dans l'espace, touche toujours q tout en restant parallèle à la direction S... Ces conditions définissent de manière unique une surface cylindrique. Pour n'importe quel point de l'espace, vous pouvez résoudre la question de l'appartenance à sa surface (UNEÎ un, dansÏ une).

Partie géométrique du déterminant de la surface conique b (q,S) se compose d'un guide q et hauts S(fig. 2). La loi de formation d'une surface conique : génératrice je q, passe toujours par le haut S, formant un ensemble continu de lignes droites sur une surface conique.

Les surfaces obtenues par mouvement continu sont appelées cinématiques. Ces surfaces sont classées comme précises, régulières, par opposition à irrégulières ou aléatoires.

Les surfaces formées par le mouvement d'une ligne droite sont appelées réglées, une ligne courbe - non linéaire.

Selon la loi du mouvement de la génératrice, on distingue les surfaces avec déplacement en translation de la génératrice, avec mouvement de rotation de la génératrice - surfaces de révolution, avec mouvement hélicoïdal de la génératrice - surfaces de vis.

Les surfaces peuvent être définies par des wireframes. Un wireframe est une surface qui est définie par un certain nombre de lignes appartenant à une telle surface (Fig. 3).

Connaissant les coordonnées des points d'intersection des lignes, vous pouvez construire un dessin de la surface filaire.

1.2. Surfaces de révolution.

Les surfaces de révolution sont répandues parmi les surfaces courbes. La surface de révolution est la surface obtenue par la rotation de n'importe quelle génératrice autour d'une ligne fixe - l'axe de la surface.

La surface de révolution peut être formée en faisant tourner une ligne courbe (sphère, tore, paraboloïde, ellipsoïde, hyperboloïde, etc.) et en faisant tourner une droite (cylindre de révolution, cône de révolution, hyperboloïde de révolution à une feuille).

Il résulte de la définition de la surface de révolution que la partie géométrique du déterminant une (je,l) surfaces de révolution une doit être constitué d'un axe de rotation je et générer je... Loi de formation de surface, rotation je environ je permet de construire un ensemble continu de positions successives de la génératrice de la surface de révolution.

Parmi les nombreuses lignes qui peuvent être tracées sur les surfaces de révolution, les parallèles (équateur) et les méridiens (premier méridien) occupent une position particulière. L'utilisation de ces lignes simplifie grandement la solution des problèmes de position. Considérons ces lignes.

Chaque point de la génératrice je(Fig. 4) décrit autour de l'axe je un cercle situé dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Ce cercle peut être représenté comme une ligne d'intersection d'une surface par un certain plan (b) perpendiculaire à l'axe de la surface de révolution. De tels cercles sont appelés parallèles. (R)... Le plus grand des parallèles s'appelle l'équateur, le plus petit s'appelle la gorge.

Riz. 5 Fig. 6

En figue. 5 parallèles RA points UNE- équateur, parallèle PB points R- surface de la gorge.

Dans le cas où l'axe de la surface je perpendiculaire au plan de projection, alors la parallèle est projetée sur ce plan par un cercle en valeur vraie (P1A), et sur un plan de projection parallèle à l'axe - une droite (P2A)égal au diamètre du parallèle. Dans ce cas, la solution des problèmes de position est simplifiée. En reliant n'importe quel point de la surface (par exemple AVEC) avec une parallèle, vous pouvez facilement trouver la position des projections de la parallèle et un point dessus. En figue. 5 projections C2 points AVEC appartenant à la surface une, en utilisant le parallèle Rs projection horizontale trouvée C1.

Le plan passant par l'axe de rotation est appelé méridien. En figue. 4 est un avion g... La ligne d'intersection de la surface de révolution avec le plan méridien est appelée méridien de surface. Un méridien situé dans un plan parallèle au plan des projections est appelé le principal ( m0 En figue. 4.5). Dans cette position, le méridien est projeté sur le plan P2 sans distorsion, mais sur P1- ligne droite parallèle à l'axe X12... Pour un cylindre et un cône, les méridiens sont des droites.

Équateur P2(fig. 6) et méridiens principaux (m) délimiter la surface en parties visibles et invisibles.

En figue. 6 surface de l'équateur une obtenu à la suite de la coupe d'une surface avec un plan d (P =unré), et le méridien principal est le plan g (m =ung).

1.3. Croquis de surface.

Une surface de projection qui s'adapte à une surface donnée coupe le plan de projection le long d'une ligne appelée contour de projection de la surface. En d'autres termes, un contour de surface est une ligne qui délimite la figure projetée du reste de l'espace de dessin. Pour construire une esquisse, il est nécessaire de construire les générateurs d'esquisses aux limites extrêmes. Les générateurs de contours se trouvent dans un plan parallèle au plan de projection.

Tout méridien de la surface de révolution peut être pris comme sa génératrice. La construction du contour sera simplifiée si l'on prend le méridien principal comme génératrice, puisque le méridien principal est une courbe plate (droite) parallèle au plan de projection et projetée sur celui-ci sans distorsion.

Exemple 1. Cylindre une une (je,l)... Construisez le contour de la surface (Fig. 7).

Avec cette disposition de l'axe je le contour horizontal est un cercle de rayon R (R =i1l1)... Dessinons à travers l'axe je plan méridien b || P2... Pour construire le contour frontal, on retrouve les projections horizontales des contours des génératrices, qui se situent dans le plan du méridien principal (l1',l1") et à partir d'eux nous définissons les projections frontales l2' et l2 ".

Projection frontale du méridien principal des génératrices du contour du cylindre l2' et l2 "... Le rectangle est le contour frontal de la surface.

Exemple 2. Cône une donnée par la partie géométrique du déterminant une (je,l)... Construisez le contour de la surface (Fig. 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif "largeur =" 612 "hauteur =" 400 ">

De la position des formes géométriques je, je En figue. 9 que la surface donnée est un hyperboloïde de révolution à une feuille. Chaque point de la génératrice (A, B, C etc. ) lors de la rotation autour d'un axe je décrit un cercle (parallèle). À je ^ P1 dans l'avion P1 les parallèles sont projetés par des cercles de rayon égal à la vraie valeur du rayon parallèle. Point AVEC sur le générateur je décrit le plus petit parallèle - le parallèle de la gorge. C'est la distance la plus courte entre l'axe de rotation et la génératrice je... Trouver RC tracer une perpendiculaire de jeÀ l1. i1C1 =RC Est le rayon de la surface de la gorge.

La projection horizontale de l'hyperboloïde représentera trois cercles concentriques.

Le contour frontal de la surface doit avoir le contour de son méridien principal.

Dessinons à travers l'axe je plan méridien principal b et construire des projections horizontales des parallèles de points A, B, C... Les parallèles coupent le plan b aux points A', B', C' appartenant au méridien principal de la surface. Un ensemble continu de ces parallèles forment le cadre de la surface, et les points d'intersection avec le plan b- méridien principal m0 surface. Le méridien principal peut être tracé en contournant les points d'intersection des parallèles avec le plan. b... La figure montre la construction d'un point AVEC et ré.

Exemple 4. Construire un croquis d'un cylindre incliné une (moi,m)... Génératrice du cylindre je se déplacer le long du guide m, reste parallèle à lui-même. Le contour de la surface est tracé sur la Fig. 10. Tout point de la surface du cylindre est déterminé en dessinant une génératrice à travers lui ("connecter" un point avec une génératrice). En figue. 10a point de projection frontale A2 appartenant à la surface, sa projection horizontale se trouve A1.

1.4. Surfaces réglées avec un plan de parallélisme.

Les surfaces réglées avec un plan de parallélisme sont formées en déplaçant une génératrice droite le long de deux guides. Dans ce cas, la génératrice dans toutes ses positions préserve le parallélisme d'un plan donné, appelé plan de parallélisme.

Partie géométrique du déterminant une (m,m,b) une telle surface une contient deux guides et un plan de parallélisme. Selon la forme des guides, ces surfaces sont divisées en : cylindroïdes - les deux courbes de guidage ; conoïdes - un guide - droit, un - courbe; plan oblique - les deux guides sont des lignes droites.

Exemple : Construire une structure filaire de surface une (m,m,b)(Fig.10b).

Dans ce cas, le plan horizontal des projections est pris comme plan de parallélisme. Ligne génératrice, traversant la courbe m et droit m, dans n'importe quelle position reste parallèle au plan P1.

Tout plan parallèle au plan de parallélisme coupe ces surfaces en ligne droite. Par conséquent, s'il est nécessaire de construire une génératrice de la surface, il est nécessaire de disséquer la surface avec un plan (par exemple b) parallèlement au plan de parallélisme, trouver les points d'intersection des lignes directrices de la surface avec ce plan (b∩n = 1 ;b∩m = 2 ; riz. 10b) et tracez une ligne droite passant par ces points.

Pour construire un conoïde sur la Fig. 10b, on peut se passer de plans sécants auxiliaires, puisque les projections avant des génératrices doivent être parallèles à l'axe X12... La densité des lignes du cadre sur la projection frontale est fixée arbitrairement. Nous construisons des projections horizontales des générateurs donnés le long de la ligne de communication en utilisant la propriété d'appartenance.

Si vous avez besoin de trouver la projection d'un point UNE donnée par la projection A2, il faut découper la surface avec un rabot g passant par le point UNE et parallèle au plan de parallélisme (sur la Fig.10b g // P1), trouvez la génératrice comme ligne d'intersection du plan g avec surface une (ung = 3, 4), sur la projection frontale 32, 42 trouver l'horizontale 31, 41 et sur elle déterminer A1.

1.5. Crée un point de rencontre d'une ligne avec une surface.

Trouver le point de rencontre de la courbe je avec surface un (P,S).

Solution 1. Tracez la courbe je(fig. 11) à la surface de projection auxiliaire b^P1... Projection b1 coïncide avec la projection l1... 2. Construire une ligne d'intersection une surface α avec surface b , (αÇ b = e)... Projection horizontale de cette ligne a1 connu, il coïncide avec b1... Projection horizontale a1 construire une projection frontale a2(Fig. 1 Déterminez le point souhaité jusqu'à l'intersection de la courbe je avec surface un .. K =jeÇ une il y a un point de rencontre je et une... D'un côté je et une appartenir à b et jeÇ a = k... Avec un autre uneÌ une, Par conséquent ÀÌ α , C'est À il y a des points de rencontre je avec surface α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif "largeur =" 607 "hauteur =" 242 ">

1.6. Crée une ligne d'intersection de surfaces.

Lors de la résolution du problème de construction d'une ligne d'intersection d'une surface avec une autre, la méthode de la section est utilisée - la méthode principale pour résoudre les problèmes de position. Dans ce cas, les surfaces données sont coupées avec des plans auxiliaires ou des surfaces courbes (par exemple, des sphères).

Les surfaces sécantes auxiliaires sont parfois appelées « intermédiaires ».

1.5.1. Cas général.

Dans le cas général, pour résoudre le problème de détermination de la ligne d'intersection de deux surfaces, on peut poser une famille de génératrices sur l'une des surfaces (Fig. 12), trouver le point de rencontre de ces génératrices avec la seconde surface selon l'algorithme de résolution du problème de la Fig. 11, puis faites les contours des points de rencontre.

En appliquant cette méthode pour construire des lignes d'intersection de deux surfaces courbes, nous pouvons utiliser des plans auxiliaires ou des surfaces courbes comme "médiateurs" sécants.

Si possible, vous devez choisir des surfaces auxiliaires qui, en intersection avec celles données, donnent des lignes faciles à tracer (lignes droites ou cercles).

1.5.2. Les axes des surfaces de révolution coïncident
(surfaces coaxiales).

En figue. 13 surfaces une et b donné par un axe commun je et les méridiens principaux m0m0 '.

Les méridiens principaux se coupent en un point UN B)... Point UN B) l'intersection des méridiens lors de la rotation autour de l'axe décrira le parallèle R, qui appartiendra aux deux surfaces, sera donc leur ligne d'intersection.

Ainsi, deux surfaces de révolution coaxiales se coupent en parallèles, qui décrivent les points d'intersection de leurs méridiens. En figue. 13 axes de surfaces sont parallèles P2... Sur le plan de projection auquel les axes des surfaces sont parallèles, la ligne d'intersection P2 une ligne est projetée, dont la position est déterminée par les points d'intersection des méridiens principaux UNE et V.

1.5.3. Méthode du plan de coupe.

Dans le cas où les axes des surfaces de révolution sont parallèles, les constructions les plus simples sont obtenues en utilisant des plans de coupe comme intermédiaires. Dans ce cas, les plans de coupe auxiliaires sont sélectionnés de sorte qu'ils coupent les deux surfaces en cercles.

En figue. 14 sont donnés par des croquis de la projection de deux surfaces de révolution α et b, leurs haches je et j sont parallèles. Dans ce cas, l'utilisation de plans de coupe perpendiculaires aux axes des surfaces donne une solution simple au problème. Les lignes d'intersection des surfaces résultantes seront des parallèles, dont les projections avant sont des lignes droites égales au diamètre de la parallèle, et les projections horizontales sont des cercles de taille normale.

Lorsque vous dessinez les points des lignes d'intersection, vous devez d'abord trouver les points d'ancrage et les points clés. Les points pivots sont les points situés sur le méridien principal (3) et l'équateur (4, 5). La recherche de ces points n'est pas associée à des constructions supplémentaires et est basée sur l'utilisation de propriétés d'appartenance.

Donné sur la Fig. 14 surfaces ont un plan commun au méridien principal, leurs axes ^ P1, les bases se trouvent dans le plan P1... Les points d'ancrage de la ligne d'intersection sont le point 3 de l'intersection des méridiens principaux et les points 4 et 5 de l'intersection des parallèles des bases des surfaces. En utilisant les propriétés d'appartenance, à partir des projections connues 32, 41 et 51, nous trouvons 31, 42 et 52.

Les autres points d'intersection sont trouvés à l'aide de plans de coupe auxiliaires. Nous coupons les surfaces α et b plan horizontal g... Parce que g^ haches je et j, puis surface α et b se croiser par avion g, en parallèle Ra et Rb... Et puisque les axes je et j^P1, alors ces parallèles sont projetés sur P1 cercles Ra, Rb en valeur réelle, et par P2 droit P2a, P2bégal au diamètre du parallèle.

Les points d'intersection des parallèles 1 et 2 sont ceux souhaités. En effet, d'un côté du parallèle Ra et Rb appartenir au même plan g et se coupent aux points 2 et 1. De l'autre - Ra et Rb appartiennent à des surfaces différentes α et b... Par conséquent, les points 2 et 1 appartiennent simultanément aux surfaces une et b, c'est-à-dire qu'ils sont les points de la ligne d'intersection des surfaces. Les projections horizontales 21 et 11 de ces points sont à l'intersection P1a, 1b, et les frontaux sont construits en utilisant la propriété d'appartenance.

En répétant cette technique, nous obtenons le nombre de points requis. Les plans de coupe sont répartis régulièrement dans l'intervalle allant du point de plus haute élévation de la courbe 32 à la figure principale.

Le nombre de points de la ligne d'intersection, et, par conséquent, des plans de coupe est déterminé par la précision requise des constructions graphiques. Les projections de la ligne d'intersection sont dessinées comme des contours des projections de ses points. En figue. 14 ligne aux points 4, 1, 3, 2, 5.

L'exemple considéré de résolution de problèmes s'appelle la méthode des plans de coupe.

1.5.4. La voie des sphères.

Cette technique est utilisée lorsque les axes des surfaces de révolution se coupent. Il est basé sur celui considéré dans la Fig. 13 le cas d'intersection de surfaces coaxiales.

En figue. 15 représente un cône et un cylindre avec des axes sécants je et j... Leurs axes sont parallèles au plan P2... Le plan du méridien principal est commun aux deux surfaces.

). La construction est simplifiée du fait que le plan du méridien principal est commun. Les cercles le long desquels la sphère coupe simultanément deux surfaces ( Rapb Pb "), est projeté sur le plan P2 sous forme de lignes droites ( P2a, P2b, P2b ") égal aux diamètres des parallèles.

A l'intersection de ces cercles, on obtient des points (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82) communs aux deux surfaces et, donc, appartenant à la ligne d'intersection. Vraiment des parallèles Rapb, Pb ", d'une part, appartiennent à une surface - une sphère et ont des points communs (5, 6, 7, 8), d'autre part, ils appartiennent à des surfaces différentes une et b... C'est-à-dire que les points 5, 6, 7, 8 appartiennent aux deux surfaces ou à la ligne d'intersection des surfaces.

Plusieurs sphères sont dessinées pour obtenir suffisamment de points pour tracer la ligne d'intersection souhaitée.

Le rayon de la plus grande sphère ( Rmax) est égal à la distance du centre 2 jusqu'au point d'intersection le plus éloigné des générateurs de contours (ici les points 32 et 42, Rmax = 0232 = 0242. Dans ce cas, les deux lignes d'intersection des surfaces avec une sphère ( Ra et Rb) se croisera aux points 3 et 4 avec un plus grand rayon de la sphère, il n'y aura pas d'intersection.

Le rayon de la plus petite sphère ( Rmin) est égal à la distance du centre 02 au générateur de croquis le plus éloigné ( Rmin = 02A2). Dans ce cas, la sphère touchera le cône dans un cercle et le cylindre se coupera deux fois et donnera les points 5, 6, 7, 8. À un rayon plus petit de la sphère, il n'y aura pas d'intersection avec le cône.

Il reste maintenant à tracer à travers les points 1, 5, 4, 6, 1 et 2, 7, 3, 8, 2 courbes d'intersection de surfaces.

En figue. 15 toutes les constructions sont faites sur une seule projection. Le nombre de sphères sécantes, avec des rayons allant de Rmax avant de Rmin, dépend de la précision de construction requise. La construction de la projection horizontale de la ligne d'intersection est réalisée le long des frontaux 1, 5, 4, 6, 1 et 2, 7, 3, 8, 2 en utilisant la propriété d'appartenance.

1.5.5. Application de la méthode du plan de détourage
dans les cas de surfaces réglées avec un plan de parallélisme.

Deux surfaces sont spécifiées par la partie géométrique du déterminant : une (moi,je) et b (m,n, A1)... Il est nécessaire de construire des croquis de surfaces et de trouver la ligne de leur intersection (Fig. 16).

Solution : 1. Construire le contour de la surface une, n de la partie géométrique du déterminant, on voit que la surface une- sphère. Ses contours horizontaux et frontaux sont des cercles de rayon R... 2. Nous construisons le cadre de la surface réglée. Puisque le plan est parallèle P1, alors les projections frontales des génératrices sont parallèles à l'axe X12... Après avoir placé sur la projection frontale le cadre d'un certain plan des lignes (sur la figure 16, il y a quatre lignes), nous construisons les projections horizontales de ces générateurs. 3. Pour construire une ligne d'intersection de surfaces, nous utilisons des plans de coupe comme intermédiaires. La position des plans de coupe doit être choisie de manière à ce qu'ils coupent les surfaces spécifiées le long de lignes simples pour la construction (lignes droites ou cercles). Cette condition est satisfaite par les plans horizontaux. Les plans horizontaux sont parallèles au plan de parallélisme du conoïde ( P1), ils traverseront donc le conoïde en ligne droite. De tels plans coupent la sphère en parallèles.

,une" sphère parallèle Rune... Projection frontale parallèle ( P2une) une droite égale au diamètre de la parallèle, et la projection horizontale ( 1une) Est un cercle. Sur une projection horizontale à une intersection parallèle 1une et la génératrice 1, 11" est déterminée par la projection de deux points de la ligne d'intersection de la surface une et b... Par projections horizontales de points A1 et EN 1 nous construisons leurs projections frontales. En répétant l'opération, on obtient une série de points de la ligne d'intersection dont le tracé donnera la ligne d'intersection.

L'équateur et le méridien principal de la sphère délimitent la ligne en parties visibles et invisibles.

1.6 Balayages de bâtiments.

Un balayage de surface est une forme obtenue en alignant une surface balayée avec un plan.

Les surfaces développées sont alignées avec le plan sans cassures ni plis.

Les surfaces déployables comprennent des surfaces à facettes, et parmi les surfaces incurvées, uniquement cylindrique, conique et torse.

Les balayages sont divisés en exacts (balayages de surfaces à facettes), approximatifs (balayages d'un cylindre, cône, torse) et conditionnels (balayages d'une sphère et autres surfaces non déployables).

1.6.1. Balayage de surfaces à facettes.

Effectuez le dépliage de la pyramide donné par les projections de la Fig. 17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif "largeur =" 588 "hauteur =" 370 ">

La méthode du laminage est applicable si les bords du prisme sont parallèles au plan de projection et que la vraie valeur des bords de l'une des bases est connue (Fig. 18).

Le déroulement d'une figure représente le processus d'alignement des bords d'un prisme avec un plan, dans lequel l'apparence réelle de chaque face est obtenue en tournant autour de son bord.

Les points A, B, C lors du laminage se déplacent le long d'arcs de cercle, qui sont représentés sur le plan P2 par des droites perpendiculaires aux projections des bords du prisme. Les sommets de balayage sont construits comme suit : à partir du point A2 de rayon R1 = A1B1 (longueur vraie AB), on fait une entaille sur la droite B2B0, perpendiculaire à B2B2 ¢. A partir du point construit B0 de rayon R2 = B1C1, une intersection est faite sur la droite C2C0 ^ C2C2 ¢. Ensuite, par intersection du point C0 de rayon R3 = A1C1 sur la ligne A2A0 ^ A2A2 ¢. On obtient le point A0. Les points A2B0C0A0 sont reliés par des lignes droites. A partir des points A0B0C0 on trace des lignes parallèles aux arêtes (A2 A2 ¢), on y met les vraies valeurs des arêtes latérales A2A ¢, B2B ¢, C2C ¢. Nous connectons les points A B ¢ C ¢ A ¢ par des segments de droite.

1.6.2. Dépliage de surfaces courbes.

Théoriquement, vous pouvez obtenir un balayage exact, c'est-à-dire un balayage qui répète exactement les dimensions de la surface développée. En pratique, lors de la réalisation de dessins, il faut accepter une solution approximative du problème, en supposant que les éléments de surface individuels sont approximés par des sections planes. Dans de telles conditions, la mise en oeuvre de balayages approximatifs du cylindre et du cône se réduit à la construction de balayages des prismes et des pyramides qui y sont inscrits (ou décrits).

La figure 19 montre un exemple d'exécution d'un balayage d'un cône.

Nous plaçons une pyramide polyédrique dans le cône. A partir du point S tracer un arc de rayon égal à la vraie valeur de la génératrice du cône (S212) et poser les cordes 1121 sur l'arc ; 2 arcs de remplacement 1121 ; 2

Pour trouver un point quelconque sur le balayage, il faut tracer une génératrice passant par un point donné (A), trouver la place de cette génératrice sur le balayage (2B = 21B1), déterminer la vraie valeur du segment SA ou AB et mettre sur la génératrice du balayage. Toute ligne sur une surface consiste en un ensemble continu de points. Après avoir trouvé le nombre de points requis sur le balayage de la manière décrite pour le point A et en complétant les contours de ces points, nous obtenons une ligne sur le balayage. Lors de la construction de balayages de surfaces cylindriques inclinées, les méthodes de section normale et de laminage sont applicables.

Toute surface non développable peut également être approximée par une surface polyédrique avec une précision spécifiée. Mais le déploiement d'une telle surface ne sera pas une figure plane continue, puisque ces surfaces ne se déploient pas sans ruptures et plis.

1.6.3. Construire un plan tangent
à la surface en un point donné.

Pour construire un plan tangent à la surface en un point donné (sur la Fig. 20 point A), il faut tracer deux courbes arbitraires a et b sur la surface passant par le point A, puis au point A pour construire deux tangentes t et t aux courbes a et b. Les tangentes définissent la position du plan tangent a à la surface b.

La figure 21 montre une surface de révolution a. Il faut tracer un plan tangent au point A appartenant à a.

Pour résoudre le problème passant par le point A, tracez une parallèle a et construisez une tangente t au point A (t1; t2).

Prenez le méridien comme deuxième courbe passant par le point A. Il n'est pas représenté sur la figure 21. La solution sera simplifiée si le méridien et le point A sont tournés autour de l'axe jusqu'à ce qu'il coïncide avec le méridien principal. Dans ce cas, le point A prendra la position A ¢. Ensuite, en passant par le point A ¢ tracez une tangente t au méridien principal jusqu'à ce qu'il coupe l'axe au point B. En ramenant le méridien à sa position précédente, tracez une tangente t à ce méridien passant par le point A et un point fixe B sur l'axe de rotation (t1 ¢; t2 ¢). Les tangentes t et t définissent le plan tangent.

Lorsque vous dessinez un plan tangent à une surface réglée pour l'une des tangentes définissant le plan tangent, vous pouvez prendre la génératrice t de la surface (Fig. 22). Comme le second, vous pouvez prendre la tangente t au parallèle (s'il s'agit d'un cylindre ou d'un cône) ou la tangente à n'importe quelle courbe passant par un point donné du conoïde, du cylindroïde ou du plan oblique. Une courbe peut être facilement construite en coupant la surface avec un plan de projection passant par un point donné.

2.1. Objectif:

Consolider le matériel du programme pour les sections "Surface" et "Sweeps" et acquérir des compétences pour résoudre les problèmes de construction d'esquisses, de lignes d'intersection et de balayages de surfaces.

2.2. Exercer:

Deux surfaces d'intersection sont définies dans le dessin. Les surfaces sont spécifiées par des projections coordonnées de la partie géométrique du déterminant.

Nécessaire:

En utilisant les coordonnées de la partie géométrique du déterminant, appliquez la projection du déterminant sur le dessin, reliez les points nécessaires pour obtenir les figures géométriques du déterminant;

Construire des croquis des surfaces données selon les projections de la partie géométrique du déterminant ;

Construire une ligne d'intersection de surfaces ;

Construire un balayage d'une des surfaces avec une ligne d'intersection (selon les instructions de l'enseignant);

Tracer un plan tangent à l'une des surfaces au point indiqué par l'enseignant ;

Disposition des surfaces d'intersection.

Le travail est réalisé d'abord sur papier quadrillé au format A2, puis sur papier Whatman au format A2. Le dessin doit être établi conformément à GOST ESKD. L'inscription principale est faite selon la forme 1.

Lors de l'exécution du travail, des conférences, du matériel d'exercices pratiques et de la littérature recommandée sont utilisés.

Les options pour les tâches sont données en annexe.

2.3. L'ordre de l'affectation.

L'étudiant reçoit une variante du devoir correspondant à la liste dans le journal de groupe et travaille sur le devoir pendant quatre semaines.

Une semaine après avoir reçu le devoir, l'étudiant présente à l'enseignant les constructions de la partie géométrique des déterminants et des croquis des surfaces données réalisées sur papier millimétré au format A2.

Deux semaines plus tard, un dessin est présenté, complété par la construction de la ligne d'intersection des surfaces et du plan tangent.

Durant la troisième semaine, le travail sur papier quadrillé A4 se termine par la construction d'un balayage d'une des surfaces avec le tracé de la ligne d'intersection des surfaces dessus.

Au cours de la quatrième semaine, le tracé des surfaces sécantes est effectué.

Le travail effectué est présenté à l'enseignant qui anime le cours pratique. Selon la construction terminée sur papier millimétré, l'assimilation par l'élève de la matière étudiée est vérifiée.

Lors de la résolution du problème de position de la construction de la ligne d'intersection des surfaces, la méthode de la section est utilisée. Des plans de coupe ou des sphères sont choisis comme "intermédiaires". Il convient de prêter attention aux cas particuliers évoqués ci-dessus (la méthode des plans de coupe et la méthode des sphères), qui apportent la solution la plus simple au problème. Si nécessaire, recourez à une combinaison de ces méthodes.

Lors de l'exécution d'un balayage de surface, il est nécessaire d'étudier les constructions réalisées par la méthode de la section normale et la méthode du laminage, ainsi que les méthodes de construction des balayages approximatifs et conditionnels et d'utiliser la méthode la plus rationnelle du travail.

Lors du dessin d'un plan tangent à une surface en un point donné, il suffit de construire deux lignes courbes sur la surface passant par le point, et de tracer des tangentes à ces lignes en un point donné, en se rappelant que la tangente à une ligne courbe plane est projeté tangent à sa projection.

LITTÉRATURE.

1. Géométrie Vinitsky. M. : Lycée, 1975.

2. Géométrie de Gordon. Moscou : Nauka, 1975.

3. Surfaces. Instructions méthodiques. / Compilé par, / Saratov, SSTU, 1990.

POSSIBILITÉS D'EMPLOI