Éléments d'analyse combinatoire

Connexions. Vide UNE une 1 , une 2, une 3 …un UNE m (m de m Connexions de méléments par m

Permutation. Vide UNE- un ensemble constitué d'un nombre fini d'éléments une 1 , une 2, une 3 …un... Des divers éléments de l'ensemble UNE des groupes peuvent se former. Si chaque groupe contient le même nombre d'éléments m (m de m), alors ils disent qu'ils forment Connexions de méléments par m en tout le monde. Il existe trois types de connexions : placement, combinaisons et permutations.

Hébergement. Connexions contenant chacune m divers éléments ( m < m) pris à partir de méléments de l'ensemble UNE, différant les uns des autres soit par la composition des éléments, soit par leur ordre sont appelés emplacements de méléments par m en tout le monde. Le nombre de ces placements est indiqué par le symbole

Théorème 1. Le nombre de toutes les permutations distinctes de n éléments est

N (n-1) (n-2) (n-3)… .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3… (n-1) n = n !

Théorème 2. Nombre de tous les emplacements de méléments par m calculé par la formule :

Combinaisons. Connexions dont chacun contient m divers éléments ( m < m) pris à partir de méléments de l'ensemble UNE différant l'un de l'autre au moins un des éléments (composition uniquement) sont appelés combinaisons de méléments par m en tout le monde. Le nombre de ces combinaisons est indiqué par le symbole

Théorème 3. Le nombre de toutes les combinaisons de n éléments par m est déterminé par la formule :

Parfois, la formule suivante est utilisée pour enregistrer le nombre d'emplacements :

L'essence et les conditions d'application de la théorie des probabilités.

Théorie des probabilités

Phénomène accidentel -

seul

La télé. sert à étayer les statistiques mathématiques et appliquées, qui sont utilisées dans la planification de l'organisation de la production, etc.

Concepts de base de la théorie des probabilités.

Théorie des probabilités il existe une science mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires.

Phénomène accidentel - c'est un phénomène tel que, avec la reproduction répétée de la même expérience, chaque fois se déroule un peu différemment.

Les méthodes de la théorie des probabilités sont naturellement adaptées seul pour l'étude des phénomènes aléatoires de masse ; ils ne permettent pas de prédire l'issue d'un phénomène aléatoire individuel, mais permettent de prédire le résultat total moyen d'une masse d'événements aléatoires homogènes.

En théorie des probabilités test il est d'usage d'appeler une expérience qui (au moins théoriquement) peut être réalisée dans les mêmes conditions un nombre illimité de fois.

Le résultat ou le résultat de chaque test est appelé un événement. L'événement est le concept de base de la théorie des probabilités. Nous désignerons les événements par les lettres A, B, C.

Types d'événements :

événement fiable- un événement qui se produira sûrement à la suite de l'expérience.

événement impossible- un événement qui ne peut pas se produire à la suite de l'expérience.

Événement aléatoire- un événement qui peut ou non se produire dans une expérience donnée. Égalité des événements

Probabilité développements UNE(dénoter P (A) UNE(dénoter m (A)), N celles. P (A)= homme.

Espace de probabilité.

Espace de probabilité Est un modèle mathématique d'une expérience aléatoire (expérience) dans l'axiomatique d'A.N. Kolmogorov. L'espace probabiliste contient toutes les informations sur les propriétés d'une expérience aléatoire, qui sont nécessaires pour son analyse mathématique au moyen de la théorie des probabilités. Tout problème de la théorie des probabilités est résolu dans le cadre d'un certain espace de probabilité, tout à fait spécifié initialement. Les problèmes dans lesquels l'espace de probabilité n'est pas complètement spécifié, et les informations manquantes doivent être obtenues à partir des résultats d'observations, appartiennent au domaine de la statistique mathématique.

Espace de probabilité est défini par un triplet de composantes (symboles) (Ω, S, P), où est l'espace des événements élémentaires

S-∂ (sigma) -algèbre d'événements, P - probabilité, Ω-événement fiable, S-système de sous-ensembles de l'espace des résultats élémentaires Ω.

5. 5. Calcul direct de probabilité.

Définition classique de la probabilité basé sur le concept égalité des chances des événements .

Égalité des événements signifie qu'il n'y a aucune raison de préférer l'un à l'autre.

Considérez un test qui peut entraîner un événement UNE... Chaque résultat dans lequel un événement se produit UNE est appelé favorable un événement UNE.

Probabilité développements UNE(dénoter P (A)) est le rapport du nombre d'issues favorables à l'événement UNE(dénoter m (A)), au nombre de tous les résultats d'essai - N celles. P (A)= homme.

La définition classique de la probabilité implique ce qui suit : Propriétés :

La probabilité de tout événement est comprise entre zéro et un.

Preuve... Puisque, puis en divisant toutes les parties de l'inégalité par N, on a

D'où, selon la définition classique de la probabilité, il s'ensuit que

La probabilité d'un certain événement est égale à un.

La probabilité d'un événement impossible est nulle

6. 6. Théorèmes d'addition de probabilité.

Si A et B sont incohérents, alors P (A + B) = P (A) + P (B)

Si A et sont des événements opposés, alors

Un élément d'une algèbre sigma sera désormais appelé événement aléatoire.

Groupe d'événements complet

Un groupe d'événements complet est un groupe complet de sous-ensembles, chacun étant un événement. On dit que les événements du groupe complet sont une partition de l'espace des résultats élémentaires.

Fonction finiment additive

Laisser être UNE – algèbre. La fonction qui associe l'algèbre à l'ensemble des nombres réels

est appelé finiment additif si pour tout ensemble fini d'événements incompatibles par paires

Fonction de comptage-additif

Laisser être F- algèbre ou sigma-algèbre. Fonction

est appelé dénombrable additif s'il est finiment additif et pour tout ensemble dénombrable d'événements incohérents par paires

Une mesure est une fonction additive comptable non négative définie sur une algèbre sigma qui satisfait la condition

La mesure ultime

Mesure est dit fini si

Probabilité

Probabilité (mesure de probabilité) P c'est une telle mesure que

À partir de maintenant, nous arrêterons de mesurer la probabilité en pourcentage et commencerons à la mesurer avec des nombres réels de 0 à 1.

est appelée la probabilité de l'événement A

Espace de probabilité

L'espace probabiliste est une collection de trois objets - l'espace des résultats élémentaires, l'algèbre sigma des événements et la probabilité.

Il s'agit d'un modèle mathématique d'un phénomène ou d'un objet aléatoire.

Le paradoxe de la définition de l'espace de probabilité

Revenons à la formulation originelle du problème de la théorie des probabilités. Notre objectif était de construire un modèle mathématique d'un phénomène aléatoire qui aiderait à quantifier les probabilités d'événements aléatoires. En même temps, pour construire un espace de probabilité, il est nécessaire de définir la probabilité, c'est-à-dire semble être exactement ce que nous recherchons (?).

La solution à ce paradoxe est que pour une définition complète de la probabilité en fonction de tous les éléments F, il suffit généralement de le poser sur certains événements de F, dont la probabilité est facile à déterminer , puis, en utilisant son additivité dénombrable, calculez sur n'importe quel élément F.

Événements indépendants

L'indépendance est un concept important dans la théorie des probabilités.

Les événements A et B sont dits indépendants si

celles. la probabilité d'occurrence simultanée de ces événements est égale au produit de leurs probabilités.

Les événements d'un ensemble dénombrable ou fini sont appelés indépendants par paires si l'une d'entre elles est une paire d'événements indépendants

Au total

Les événements d'un ensemble dénombrable ou fini sont dits indépendants dans l'agrégat si la probabilité d'occurrence simultanée de tout sous-ensemble fini d'entre eux est égale au produit des probabilités des événements de ce sous-ensemble.

Il est clair que les événements qui sont indépendants dans l'ensemble sont indépendants et par paires. L'inverse est pas vrai.

Probabilite conditionnelle

La probabilité conditionnelle de l'événement A, à condition que l'événement B se soit produit, est la valeur

Jusqu'ici, nous ne définirons la probabilité conditionnelle que pour les événements B, dont la probabilité n'est pas nulle.

Si les événements A et B sont indépendants, alors

Propriétés et théorèmes

Les propriétés les plus simples de la probabilité

Formulaire d'événements groupe complet si au moins l'un d'entre eux se produira nécessairement à la suite de l'expérience et sont deux à deux incompatibles.

Supposons un événement UNE ne peut se produire qu'avec l'un des nombreux événements incompatibles par paires qui forment un groupe complet. Nous appellerons des événements ( je= 1, 2,…, m) hypothèses expérience supplémentaire (a priori). La probabilité d'occurrence de l'événement A est déterminée par la formule pleine probabilité :

Exemple 16. Il y a trois urnes. La première urne contient 5 boules blanches et 3 noires, la seconde contient 4 boules blanches et 4 noires et la troisième contient 8 boules blanches. L'une des urnes est choisie au hasard (cela peut signifier, par exemple, qu'une sélection est faite à partir d'une urne auxiliaire, où se trouvent trois boules numérotées 1, 2 et 3). Une boule est tirée au hasard de cette urne. Quelle est la probabilité qu'il s'avère être noir ?

Solution.Événement UNE- la boule noire est retirée. Si l'on savait de quelle urne la boule a été tirée, la probabilité souhaitée pourrait être calculée selon la définition classique de la probabilité. Introduisons des hypothèses (hypothèses) quant à l'urne choisie pour extraire la balle.

La boule peut être extraite soit de la première urne (hypothèse), soit de la seconde (hypothèse), soit de la troisième (hypothèse). Puisqu'il y a des chances égales de choisir l'une des urnes, alors .

Il s'ensuit donc que

Exemple 17. Les lampes électriques sont fabriquées dans trois usines. La première usine produit 30% du nombre total de lampes électriques, la seconde - 25%,
et le troisième est le reste. Les produits de la première usine contiennent 1% d'ampoules défectueuses, la seconde - 1,5%, la troisième - 2%. Le magasin reçoit des produits des trois usines. Quelle est la probabilité qu'une lampe achetée en magasin soit défectueuse ?

Solution. Des hypothèses doivent être faites quant à l'usine dans laquelle l'ampoule a été fabriquée. Sachant cela, nous pouvons trouver la probabilité qu'elle soit défectueuse. Introduisons la notation des événements : UNE- l'ampoule achetée s'est avérée défectueuse, - la lampe a été fabriquée par la première usine, - la lampe a été fabriquée par la deuxième usine,
- la lampe est fabriquée par la troisième usine.

La probabilité requise est trouvée par la formule de probabilité totale :

formule de Bayes.

Soit un groupe complet d'événements incompatibles par paires (hypothèses). UNE- Événement aléatoire. Puis,

La dernière formule, qui permet de surestimer les probabilités des hypothèses après le résultat du test, à la suite de laquelle l'événement A est apparu, devient connu, s'appelle formule de Bayes .

Exemple 18. En moyenne, 50% des patients atteints de la maladie sont admis dans un hôpital spécialisé À, 30% - avec maladie L, 20 % –
avec la maladie M... La probabilité d'une guérison complète de la maladie Kégal à 0,7 pour les maladies L et M ces probabilités sont respectivement de 0,8 et 0,9. Le patient qui a été admis à l'hôpital est sorti en bonne santé. Trouvez la probabilité que ce patient ait un problème de santé K.

Solution. Introduisons des hypothèses : - le patient souffrait d'une maladie À L, - le patient souffrait d'une maladie M.

Ensuite, par la condition du problème, nous avons. Présentons un événement UNE- le patient qui a été admis à l'hôpital est sorti sain. Par état

Par la formule de probabilité totale on obtient :

Selon la formule de Bayes.

Espace de probabilité

Les premiers résultats théoriques en théorie des probabilités comprennent

au milieu du XVIIe siècle et appartiennent à B. Pascal, P. Ferma, H. Huygens, J. Bernoulli. Cette théorie doit ses succès au XVIIIe siècle et au début du XIXe siècle à A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Des avancées significatives en théorie des probabilités ont été réalisées à la fin du 19e et au début du 20e siècle dans les travaux de L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel, etc. Cependant, même au début du 20e siècle, une théorie stricte et cohérente. Seule une approche axiomatique a permis d'y parvenir. Pour la première fois, la construction axiomatique de la théorie a été faite par S.N.Bernstein en 1917, qui a basé ses constructions sur la comparaison d'événements aléatoires en fonction de leur probabilité. Cependant, cette approche n'a pas été développée davantage. L'approche axiomatique basée sur la théorie des ensembles et la théorie de la mesure, développée par A.N. Kolmogorov dans les années 1920, s'est avérée plus fructueuse. Dans l'axiomatique de Kolmogorov, le concept d'événement aléatoire, contrairement à l'approche classique, n'est pas un concept initial, mais est une conséquence de concepts plus élémentaires. Le point de départ de Kolmogorov est l'ensemble (espace) W des événements élémentaires (espace des résultats, espace des échantillons). La nature des éléments de cet espace n'a pas d'importance.

Si A, B, C Î W, alors les relations suivantes établies en théorie des ensembles sont évidentes :

A + A = A, AA = A, AÆ = Æ, A + Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, = W, A = A,

où la barre ci-dessus désigne le complément en W; A + B = A B, AB = A + B, AB = BA, A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), (AB) C = A (BC) , A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C);

ici Æ désigne un ensemble vide, c'est-à-dire événement impossible.

Dans l'axiomatique de Kolmogorov, un certain système U de sous-ensembles de l'ensemble W est considéré, dont les éléments sont appelés événements aléatoires. Le système U satisfait aux exigences suivantes : si les sous-ensembles A et B de l'ensemble W sont inclus dans le système U, alors ce système contient également les ensembles A È B, A Ç B, A et B ; l'ensemble W. lui-même est aussi un élément du système U. Un tel système d'ensembles est appelé algèbre (booléenne) d'ensembles.

Évidemment, il résulte de la définition de l'algèbre des ensembles que l'ensemble vide Æ appartient aussi à la famille U. Ainsi, l'algèbre des ensembles (c'est-à-dire l'ensemble des événements aléatoires) est fermée par rapport aux opérations d'addition, d'intersection et de formation de compléments, et donc, les opérations élémentaires sur les événements aléatoires ne sortent pas de l'ensemble des événements aléatoires U .

Pour la plupart des applications, il est nécessaire d'exiger que la famille d'ensembles U comprenne non seulement des sommes finies et des intersections de sous-ensembles de l'ensemble W, mais aussi des sommes dénombrables et des intersections. Cela nous amène à la définition de la s-algèbre.

Définition 1.1. Une s-algèbre est une famille de sous-ensembles (U) d'un ensemble W qui est fermé sous les opérations de formation de compléments, de sommes dénombrables et d'intersections dénombrables.

Il est clair que toute s-algèbre contient l'ensemble W lui-même et l'ensemble vide. Si une famille arbitraire U de sous-ensembles de l'ensemble W est donnée, alors la plus petite s-algèbre contenant tous les ensembles de la famille U est appelée la s-algèbre générée par la famille U.

La plus grande s-algèbre contient tous les sous-ensembles de s ; il est utile dans les espaces discrets W, dans lesquels la probabilité est généralement déterminée pour tous les sous-ensembles de l'ensemble W. Cependant, dans des espaces plus généraux, il est soit impossible, soit indésirable de déterminer la probabilité (la définition de la probabilité sera donnée ci-dessous) pour tous les sous-ensembles. Une autre définition extrême d'une s-algèbre est une s-algèbre constituée uniquement de l'ensemble W. et de l'ensemble vide Æ.

Comme exemple du choix de W et de la s-algèbre des sous-ensembles de U, considérons un jeu dans lequel les participants lancent un dé avec des nombres de 1 à 6 sur chacune de ses six faces. Pour tout lancer de dés, seulement six les états sont réalisés : w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 et w 6, dont le i-ième signifie obtenir i points. La famille U d'événements aléatoires est constituée de 2 6 = 64 éléments composés de toutes les combinaisons possibles de w i : w 1,…, w 6 ; (w 1, w 6), ..., (w 5, w 6); (w 1, w 2, w 3), ..., (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 , w 6) .

Événements aléatoires, c'est-à-dire on désignera souvent des éléments de la s-algèbre U par les lettres A, B, ... Si deux événements aléatoires A et B ne contiennent pas les mêmes éléments w i ÎW, alors on les appellera incompatibles. Les événements A et A sont appelés opposés (dans une autre notation, au lieu de A, on peut mettre CA). Nous pouvons maintenant passer à la définition du concept de probabilité.

Définition 1.2. Une mesure de probabilité P sur une s-algèbre U de sous-ensembles d'un ensemble W est une fonction ensembliste P satisfaisant aux exigences suivantes :

1) P(A) 0 ; AÎU;

, c'est à dire. possédant la propriété d'additivité dénombrable, où A k sont des ensembles mutuellement disjoints de U.

Ainsi, quel que soit l'espace échantillon W, on n'affecte des probabilités qu'aux ensembles d'une s-algèbre U, et ces probabilités sont déterminées par la valeur de la mesure P sur ces ensembles.

Ainsi, dans tout problème sur l'étude des événements aléatoires, le concept initial est l'espace échantillon s, dans lequel une s-algèbre est choisie d'une manière ou d'une autre, sur laquelle la mesure de probabilité P est déjà déterminée. la définition suivante

Définition 1.3. Un espace probabiliste est un triplet (W, U, P) constitué d'un espace échantillon W, d'une s-algèbre U de ses sous-ensembles et d'une mesure de probabilité P définie sur U.

En pratique, il peut y avoir des problèmes dans lesquels différentes probabilités sont attribuées aux mêmes événements aléatoires de U. Par exemple, dans le cas d'un dé symétrique, il est naturel de mettre :

P (w 1) = P (w 2) = ... = P (w 6) == 1/6,

et si l'os est asymétrique, alors les probabilités suivantes peuvent s'avérer plus cohérentes avec la réalité : P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

Fondamentalement, nous traiterons des ensembles W qui sont des sous-ensembles d'un espace euclidien de dimension finie R n. L'objet principal de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, c'est-à-dire les variables aléatoires. certaines fonctions définies sur l'espace échantillon W. Notre première tâche est de restreindre la classe de Fonctions sur lesquelles nous allons opérer. Il est souhaitable de choisir une telle classe de fonctions, dont les opérations standards ne seraient pas déduites de cette classe, notamment, pour que, par exemple, des opérations de prise de limites ponctuelles, de composition de fonctions, etc., ne soient pas déduites de cette classe.

Définition 1.4. La plus petite classe de fonctions B fermée par passage ponctuel à la limite (c'est-à-dire si ¦ 1, ¦ 2, ... appartiennent à la classe B et pour tout x il existe une limite ¦ (x) = lim¦ n (x ), alors ¦ ( x) appartient à B) contenant toutes les fonctions continues est appelée la classe de Baire.

Il résulte de cette définition que la somme, la différence, le produit, la projection, la composition de deux fonctions de Baire sont encore des fonctions de Baire, c'est-à-dire chaque fonction d'une fonction de Baire est à nouveau une fonction de Baire. Il s'avère que si nous nous limitons à des classes de fonctions plus étroites, alors aucun renforcement ou simplification de la théorie ne peut être obtenu.

Dans le cas général, les variables aléatoires, c'est-à-dire les fonctions X = U (x), où XÎWÌR n, doivent être définies de telle sorte que les événements (X £ t) pour tout t aient une certaine probabilité, c'est-à-dire de sorte que les ensembles (X £ t) appartiennent à la famille U, pour les éléments de laquelle sont définies les probabilités P, c'est-à-dire de sorte que les quantités P (X £ t) sont déterminées. Cela nous conduit à la définition suivante de la mesurabilité d'une fonction par rapport à la famille U.

Définition 1.5. Une fonction réelle U (x), xÎW, est dite U-mesurable si, pour tout réel t, l'ensemble des points xÎW pour lesquels U (x) £ t appartient à la famille U.

Puisque la s-algèbre U est fermée par l'opération de prise de compléments, dans la définition de la mesurabilité l'inégalité £ peut être remplacée par n'importe laquelle des inégalités ³,>,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Comme déjà indiqué, la s-algèbre peut être choisie de manière tout à fait arbitraire, et notamment de la manière suivante : d'abord, des intervalles de n dimensions sont définis sur l'espace WÎR n, puis, à l'aide des opérations de l'algèbre des ensembles, des ensembles d'un une structure plus complexe peut être construite à partir de ces intervalles et des familles d'ensembles sont formées. Parmi toutes les familles possibles, on peut en sélectionner une qui contient tous les sous-ensembles ouverts dans W. Une construction similaire conduit à la définition suivante.

Définition 1.6. La plus petite s-algèbre U b contenant tous les sous-ensembles ouverts (et donc tous fermés) par ensembles WÌ R n est appelée une s-algèbre de Borel, et ses ensembles sont appelés Borel.

Il s'avère que la classe des fonctions bérianes B est identique à la classe des fonctions mesurables par rapport à la s-algèbre U b des ensembles de Borel.

Nous pouvons maintenant définir clairement le concept de variable aléatoire et la fonction de probabilité de sa distribution.

Définition 1.7. Une variable aléatoire X est une fonction réelle X = U (x), xÎW, mesurable par rapport à la s-algèbre U incluse dans la définition d'un espace de probabilité.

Définition 1.8. La fonction de distribution d'une variable aléatoire X est une fonction F (t) = P (X £ t), qui détermine la probabilité qu'une variable aléatoire X ne dépasse pas la valeur de t.

Pour une fonction de distribution F donnée, une mesure de probabilité peut être construite de manière unique, et vice versa.

Considérons les principales lois probabilistes en utilisant l'exemple d'un ensemble fini W. Soit A, BÌ W. Si A et B contiennent des éléments communs, i.e. AB¹0, alors on peut écrire : A + B = A + (B-AB) et B = AB + (B-AB), où du côté droit il y a des ensembles disjoints (c'est-à-dire des événements incompatibles), et donc, par la mesure de probabilité de propriété d'additivité : P (A + B) = P (B-AB) + P (A), P (B) = P (AB) + P (B-AB) ; de là suit la formule pour la somme des probabilités d'événements arbitraires : P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Si aucune condition n'est imposée lors du calcul de la probabilité de l'événement A, alors la probabilité P (A) est dite inconditionnelle. Si l'événement A est réalisé, par exemple, à condition que l'événement B ait été réalisé, alors on parle de probabilité conditionnelle, en la désignant par le symbole P (A/B). Dans la théorie axiomatique des probabilités, par définition, on suppose :

P (A / B) = P (AB) / P (B).

Pour rendre cette définition intuitivement claire, considérons, par exemple, la situation suivante. Que la boîte contienne k morceaux de papier marqués de la lettre A, r morceaux de papier marqués de la lettre B, m morceaux de papier marqués des lettres AB et n morceaux de papier vierges. Il y a p = k + r + n + m morceaux de papier au total. Et que l'on retire tour à tour un morceau de papier de la boîte, et après chaque sortie, le type de papier retiré est noté et il est remis dans la boîte. Les résultats d'un très grand nombre de ces tests sont enregistrés. La probabilité conditionnelle P (A/B) signifie que l'événement A n'est considéré que dans le cadre de la mise en œuvre de l'événement B. Dans cet exemple, cela signifie qu'il faut compter le nombre de papiers sortis avec les lettres AB et la lettre B et divisez le premier nombre par la somme des premier et deuxième nombres. Avec un nombre de tests suffisamment grand, ce rapport tendra vers le nombre qui détermine la probabilité conditionnelle P (A/B). Un compte similaire d'autres morceaux de papier montrera que

Calcul du rapport

on s'assure qu'elle coïncide juste avec la valeur calculée précédemment pour la probabilité P (A / B). Ainsi, on obtient

P (A B) = P (A / B) P (B).

En effectuant un raisonnement similaire, en intervertissant A et B, on obtient

P (A B) = P (B / A) P (A)

Égalité

P (A B) = P (A / B) P (B) = P (B / A) P (A)

est appelé le théorème de multiplication de probabilité.

L'exemple considéré permet également de vérifier clairement la validité de l'égalité suivante pour A B¹Æ :

P (A + B) == P (A) + P (B) - P (A · B).

Exemple 1.1. Laissez les dés être lancés deux fois et il est nécessaire de déterminer la probabilité P (A / B) de tomber d'un montant de 10 points, si le premier lancer est de 4.

Le deuxième lancer de 6 a 1/6 de chance. D'où,

Exemple 1.2. Soit 6 urnes :

type d'urne А 1 - deux boules blanches et une noire, type d'urne А 2 - deux boules blanches et deux noires, dans le type d'urne А 3 - deux boules noires et une blanche. Il y a 1 urne type A 1, 2 urnes type A 2 et 3 urnes type A 3. Une urne est choisie au hasard et une boule en sort. Quelle est la probabilité que cette boule soit blanche ? Notons B l'événement d'arrachement de la boule blanche.

Pour résoudre le problème, supposons qu'un événement B soit réalisé uniquement avec l'un des n événements incompatibles A1, ..., A n, c'est-à-dire =, où les événements BA i et BA j d'indices i et j différents sont incompatibles. De la propriété d'additivité de la probabilité P il résulte :

En substituant ici la dépendance (1.1), on obtient

cette formule est appelée formule de probabilité totale. Pour résoudre le dernier exemple, nous utiliserons la formule de probabilité totale. Puisque la boule blanche (événement B) peut être prise dans l'une des trois urnes (événements A1, A2, A3), alors nous pouvons écrire

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

La formule de probabilité totale donne

Calculons les probabilités incluses dans cette formule. La probabilité que la boule soit prise dans une urne de type A1 est évidemment égale à P (A1) = 1/6, dans une urne de type A2 : P (A2) = 2/6 == 1/3 et dans une urne de type A3 : P (A 3) = 3/6 = 1/2. Si la balle est tirée d'une urne de type A1, alors P (B / A 1) = 2/3, si d'une urne de type A2, alors P (B / A 2) = 1/2, et si d'une urne de type A3, alors P (B/A 3) = 1/3. Ainsi,

P (B) = (1/6) (2 / Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

La probabilité conditionnelle P(B/A) possède toutes les propriétés de la probabilité P(B/A) ³0, B(B/B)=1 et P(B/A) est additive.

Dans la mesure où

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B),

alors il s'ensuit que si A ne dépend pas de B, c'est-à-dire si

P (A / B) = P (A),

alors B ne dépend pas de A, c'est-à-dire P (B / A) = P (B).

Ainsi, dans le cas d'événements indépendants, le théorème de multiplication prend la forme la plus simple :

P (A B) = P (A) P (B) (1,3)

Si les événements A et B sont indépendants, alors chacune des paires d'événements suivantes est également indépendante : (A, B), (A, B), (A, B). Assurons-nous, par exemple, que si A et B sont indépendants, alors A et B. conditions P (B / A) = P (B), il s'ensuit : P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

Les événements peuvent être indépendants par paire, mais s'avérer dépendants dans l'ensemble. À cet égard, le concept d'indépendance mutuelle est également introduit : les événements 1, ..., А n sont appelés mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble Е d'indices 1,2, ..., n l'égalité

En pratique, il est souvent nécessaire d'évaluer les probabilités des hypothèses après avoir effectué certains tests. Supposons, par exemple, que l'événement B puisse être réalisé avec un seul des événements incompatibles A1, ..., et n, c'est-à-dire et laissez l'événement B. Il est nécessaire de trouver la probabilité de l'hypothèse (événement) A i sous la condition

Qu'est-il arrivé. Du théorème de multiplication

P (A i B) = P (B) P (A i / B) = P (A i) P (B / A i)

Compte tenu de la formule de la probabilité totale pour P (B), cela implique

Ces formules sont appelées formules de Bayes.

Exemple 1.3. Supposons dans l'exemple 1.2 qu'une boule blanche soit retirée et qu'il soit nécessaire de déterminer quelle est la probabilité qu'elle provienne d'une urne de type 3.

Probabilités et règles pour y faire face. Pour une description complète du mécanisme de l'expérience aléatoire étudiée, il ne suffit pas de spécifier uniquement l'espace des événements élémentaires. Évidemment, en plus d'énumérer tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire à l'étude, nous devrions également savoir à quelle fréquence l'un ou l'autre événement élémentaire peut se produire dans une longue série de telles expériences. En effet, en revenant, disons, à des exemples, il est facile d'imaginer que dans le cadre de chacun de ceux décrits dans

dans ces espaces d'événements élémentaires, nous pouvons considérer un nombre infini d'expériences aléatoires qui diffèrent significativement par leur mécanisme. Ainsi, dans les exemples 4.1-4.3, nous aurons des fréquences relatives d'occurrence significativement différentes des mêmes résultats élémentaires, si nous utilisons des moments différents et dés (symétrique, avec un centre de gravité légèrement déplacé, avec un centre de gravité fortement déplacé, etc.) Dans les exemples 4.4-4.7, la fréquence d'apparition de produits défectueux, la nature de la contamination par des produits défectueux dans les lots contrôlés et la la fréquence d'occurrence d'un certain nombre de pannes des machines automatiques de ligne dépendra du niveau d'équipement technologique de la production étudiée : à espace égal d'événements élémentaires, la fréquence d'occurrence de « bons » résultats élémentaires sera plus élevée en production avec un niveau de technologie supérieur.

Pour construire (dans le cas discret) une théorie mathématique complète et complète d'une expérience aléatoire - théorie des probabilités, en plus des concepts initiaux déjà introduits d'une expérience aléatoire, d'un résultat élémentaire et d'un événement aléatoire, il est nécessaire de s'approvisionner en encore une hypothèse initiale (axiome) postulant l'existence de probabilités d'événements élémentaires (satisfaisant à une certaine normalisation), et déterminant la probabilité de tout événement aléatoire.

Axiome. Chaque élément de l'espace des événements élémentaires Q correspond à une caractéristique numérique non négative des chances de son occurrence, appelée probabilité d'un événement et

(de là, en particulier, il s'ensuit que pour tous).

Détermination de la probabilité d'un événement. La probabilité de tout événement A est définie comme la somme des probabilités de tous les événements élémentaires qui composent l'événement A, c'est-à-dire que si vous utilisez le symbolisme pour désigner "la probabilité de l'événement A", alors

De ceci et (4.2) il s'ensuit immédiatement que, de plus, la probabilité d'un événement fiable est toujours

est égal à un et la probabilité d'un événement impossible est de zéro. Tous les autres concepts et règles pour les actions avec probabilités et événements seront déjà dérivés des quatre définitions initiales introduites ci-dessus (une expérience aléatoire, un résultat élémentaire, un événement aléatoire et sa probabilité) et un axiome.

Ainsi, pour une description exhaustive du mécanisme de l'expérience aléatoire étudiée (dans le cas discret), il est nécessaire de spécifier un ensemble fini ou dénombrable de tous les résultats élémentaires Q possibles et à chaque résultat élémentaire associer des non-négatifs (n'excédant pas un) la caractéristique numérique interprétée comme la probabilité du résultat du résultat et le type de correspondance établi doivent satisfaire à l'exigence de normalisation (4.2).

L'espace probabiliste est précisément le concept qui formalise une telle description du mécanisme d'une expérience aléatoire. Poser un espace probabiliste signifie fixer l'espace des événements élémentaires Q et y définir la correspondance ci-dessus du type

Evidemment, une correspondance de type (4.4) peut être spécifiée de diverses manières : à l'aide de tableaux, de graphiques, de formules analytiques, et enfin, de manière algorithmique.

Comment construire un espace probabiliste correspondant au complexe réel de conditions étudié ? En règle générale, il n'y a aucune difficulté à remplir les concepts d'expérience aléatoire, d'événement élémentaire, d'espace d'événements élémentaires et, dans le cas discret, de tout événement aléatoire décomposable à contenu concret. Mais il n'est pas si facile de déterminer les probabilités d'événements élémentaires individuels à partir des conditions spécifiques du problème à résoudre ! À cette fin, l'une des trois approches suivantes est utilisée.

L'approche a priori du calcul des probabilités consiste en une analyse théorique et spéculative des conditions spécifiques d'une expérience aléatoire particulière donnée (avant l'expérience elle-même). Dans un certain nombre de situations, cette analyse préliminaire permet de justifier théoriquement la méthode de détermination des probabilités recherchées. Par exemple, un cas est possible lorsque l'espace de tous les

éléments élémentaires est constitué d'un nombre fini de N éléments, et les conditions de réalisation de l'expérience aléatoire étudiée sont telles que les probabilités de mise en œuvre de chacun de ces N éléments élémentaires nous paraissent égales (c'est dans cette situation que nous nous retrouvons à lancer une pièce symétrique, à lancer les bons dés, à tirer au hasard une carte à jouer dans un jeu bien mélangé, etc.). En vertu de l'axiome (4.2), la probabilité de chaque événement élémentaire est ici égale à MN. Cela vous permet d'obtenir une recette simple pour calculer la probabilité de tout événement : si l'événement A contient NA événements élémentaires, alors conformément à la définition (4.3)

La signification de la formule (4.3) est que la probabilité d'un événement dans une classe donnée de situations peut être définie comme le rapport du nombre de résultats favorables (c'est-à-dire de résultats élémentaires inclus dans cet événement) au nombre de tous les résultats possibles ( la définition dite classique de la probabilité). Dans l'interprétation moderne, la formule (4.3) n'est pas une définition de la probabilité : elle n'est applicable que dans le cas particulier où tous les résultats élémentaires sont également probables.

L'approche a posteriori-fréquence du calcul des probabilités part essentiellement de la définition de la probabilité, adoptée par le concept dit fréquentiel de probabilité (pour plus de détails sur ce concept, voir, par exemple, in,). Conformément à ce concept, la probabilité est définie comme la limite de la fréquence relative d'occurrence du résultat c dans le processus d'une augmentation illimitée du nombre total d'expériences aléatoires, c'est-à-dire

où est le nombre d'expériences aléatoires (sur le nombre total d'expériences aléatoires réalisées) dans lesquelles l'apparition d'un événement élémentaire a été enregistrée.En conséquence, pour la détermination pratique (approximative) des probabilités, il est proposé de prendre les fréquences relatives de occurrence de l'événement dans un délai suffisamment long

nombre d'expériences aléatoires Cette méthode de calcul des probabilités ne contredit pas le concept moderne (axiomatique) de la théorie des probabilités, puisque cette dernière est construite de telle sorte que l'analogue empirique (ou sélectif) de la probabilité objectivement existante de tout événement A est la fréquence relative d'occurrence de cet événement dans une série de tests indépendants. Les définitions des probabilités s'avèrent différentes dans ces deux concepts : selon le concept de fréquence, la probabilité n'est pas un objectif, existant avant l'expérience, une propriété du phénomène étudié, mais n'apparaît qu'à propos d'une expérience ou d'une observation ; cela conduit à un mélange de caractéristiques théoriques (vraies, en raison du réel complexe de conditions d'"existence" du phénomène étudié), de caractéristiques probabilistes et de leurs analogues empiriques (sélectifs). Comme l'écrit G. Kramer, "la définition spécifiée de la probabilité peut être comparée, par exemple, à la définition d'un point géométrique comme limite de taches de craie de tailles décroissantes illimitées, mais la géométrie axiomatique moderne n'introduit pas une telle définition" () . Nous ne nous attarderons pas ici sur les failles mathématiques du concept fréquentiel de probabilité. Nous notons seulement les difficultés fondamentales dans la mise en œuvre de la technique de calcul consistant à obtenir des valeurs approchées à l'aide de fréquences relatives.Premièrement, en préservant les conditions d'une expérience aléatoire inchangées (c'est-à-dire en préservant les conditions d'un ensemble statistique), dans lequel l'hypothèse de la tendance de fréquences relatives à regrouper autour d'une valeur constante s'avère valable, ne peut être supportée indéfiniment et avec une grande précision. Par conséquent, pour estimer les probabilités à l'aide de fréquences relatives n'a pas

il est logique de prendre des séries trop longues (c'est-à-dire trop grandes) et donc, soit dit en passant, la transition exacte vers la limite (4.5) ne peut pas vraiment avoir de sens. Deuxièmement, dans les situations où nous avons un nombre suffisamment grand de résultats élémentaires possibles (et ils peuvent former un ensemble infini, et même, comme indiqué dans la section 4.1, un ensemble continu), même dans une série arbitrairement longue d'expériences aléatoires, nous aurons la possibilité des résultats qui n'ont jamais été réalisés au cours de notre expérience ; et pour le reste des résultats possibles, les valeurs approximatives des probabilités obtenues à l'aide des fréquences relatives seront extrêmement peu fiables dans ces conditions.

L'approche du modèle a posteriori pour établir des probabilités correspondant à un complexe réel de conditions étudiées concrètement est actuellement, peut-être, la plus répandue et la plus pratique dans la pratique. La logique de cette approche est la suivante. D'une part, dans le cadre de l'approche a priori, c'est-à-dire dans le cadre d'une analyse théorique et spéculative des variantes possibles de la spécificité d'hypothétiques complexes réels de conditions, un ensemble d'espaces de probabilité modèles (binôme, Poisson, normale, exponentielle, etc., voir § 6.1). D'autre part, le chercheur dispose des résultats d'un nombre limité d'expériences aléatoires. De plus, à l'aide de techniques mathématiques et statistiques spéciales (basées sur des méthodes d'estimation statistique de paramètres inconnus et de tests statistiques d'hypothèses, voir chapitres 8 et 9), le chercheur, pour ainsi dire, « ajuste » des modèles hypothétiques d'espaces de probabilité pour les résultats d'observation dont il dispose (reflétant les spécificités de la réalité réelle étudiée) et ne laisse pour une utilisation ultérieure que ce ou ces modèles qui ne contredisent pas ces résultats et, dans un certain sens, leur correspondent le mieux.

Décrivons maintenant les règles de base des actions avec les probabilités d'événements, qui sont les conséquences des définitions et des axiomes ci-dessus.

La probabilité de la somme des événements (le théorème de l'addition des probabilités). Formulons et démontrons la règle de calcul de la probabilité de la somme de deux événements. Pour ce faire, nous divisons chacun des ensembles d'événements élémentaires,

composantes de l'événement en deux parties :

où réunit tous les événements élémentaires ω, inclus dans mais non inclus dans se compose de tous les événements élémentaires qui sont simultanément inclus dans En utilisant la définition (4.3) et la définition du produit d'événements, nous avons :

Parallèlement, conformément à la définition de la somme des événements et à (4.3), on a

A partir de (4.6), (4.7) et (4.8) nous obtenons la formule pour l'addition des probabilités (pour deux événements) :

La formule (4.9) pour l'addition de probabilités peut être généralisée au cas d'un nombre arbitraire de termes (voir, par exemple, 183, p. 105) :

où les "additions" sont calculées sous la forme d'une somme de probabilités de la forme

de plus, la sommation du membre de droite s'effectue, évidemment, pourvu que toutes soient différentes,. Dans le cas particulier où le système qui nous intéresse n'est constitué que d'événements incompatibles, tous les produits de la forme

seront des événements vides (ou impossibles) et, par conséquent, la formule (4.9) donne

Probabilité du produit d'événements (théorème de multiplication de probabilité). Probabilite conditionnelle.

Considérons des situations où une condition prédéterminée ou la fixation d'un certain événement qui a déjà eu lieu exclut de la liste des possibles certains des événements élémentaires de l'espace probabiliste analysé. Ainsi, en analysant un ensemble de N produits fabriqués en série contenant des produits des première, deuxième, troisième et quatrième années, nous considérons un espace probabiliste avec des résultats élémentaires et leurs probabilités, respectivement (ici signifie l'événement qu'un produit pris au hasard dans l'ensemble s'est avéré être des variétés). Supposons que les conditions de tri des produits soient telles qu'à un certain stade, les produits de la première année soient séparés de la population générale et toutes les conclusions probabilistes (et, en particulier, le calcul des probabilités d'événements divers) que nous devons construire en relation à la population parée, composée uniquement de produits des deuxième, troisième et quatrième années. Dans de tels cas, il est d'usage de parler de probabilités conditionnelles, c'est-à-dire de probabilités calculées sous la condition d'un événement qui a déjà eu lieu. Dans ce cas, un tel événement réalisé est un événement, c'est-à-dire qu'un événement consistant en tout produit extrait au hasard est soit du deuxième, soit du troisième, soit du quatrième grade. Par conséquent, si l'on s'intéresse au calcul de la probabilité conditionnelle de l'événement A (à condition que l'événement B ait déjà eu lieu), par exemple, dans le fait qu'un produit extrait au hasard s'avère être du deuxième ou du troisième degré, alors, évidemment , cette probabilité conditionnelle (nous la notons) peut être déterminée par la relation suivante :

Comme il est facile de le comprendre à partir de cet exemple, le calcul des probabilités conditionnelles est, par essence, une transition vers une autre, tronquée par une condition donnée Dans l'espace des événements élémentaires, lorsque le rapport des probabilités des événements élémentaires dans l'espace tronqué reste le même que dans l'original (plus large), mais tous sont normalisés (divisés par) de sorte que l'exigence de normalisation (4.2) est également satisfaite dans le nouvel espace de probabilité. Bien sûr, on ne pouvait pas introduire de terminologie avec des probabilités conditionnelles, mais simplement utiliser l'appareil des probabilités ordinaires (« inconditionnelles ») dans le nouvel espace. Écrire en termes de probabilités de l'espace "ancien" est utile dans les cas où, selon les conditions d'un problème spécifique, nous devons toujours nous souvenir de l'existence d'un espace initial plus large d'événements élémentaires.

Trouvons la formule de la probabilité conditionnelle dans le cas général. Soit B un événement (non vide), N considéré comme ayant déjà eu lieu ("condition"), un événement dont la probabilité conditionnelle est à calculer. Le nouvel espace (tronqué) des événements élémentaires Q se compose uniquement d'événements élémentaires inclus dans B, et, par conséquent, leurs probabilités (avec la condition de normalisation) sont déterminées par les relations

Par définition, la probabilité est la probabilité de l'événement A dans l'espace de probabilité "tronqué" et, par conséquent, conformément à (4.3) et (4.10)

ou, ce qui est le même,

Les formules équivalentes (4.11) et (4.11 ") sont généralement appelées respectivement la formule de probabilité conditionnelle et la règle de multiplication des probabilités.

Nous soulignons encore une fois que considérer les probabilités conditionnelles de divers événements sous la même condition B équivaut à considérer des probabilités ordinaires dans un autre espace (découpé) d'événements élémentaires en recalculant les probabilités correspondantes d'événements élémentaires à l'aide de la formule (4.10). Par conséquent, tous les théorèmes et règles généraux pour les actions avec probabilités restent valables pour les probabilités conditionnelles, si ces probabilités conditionnelles sont prises sous la même condition.

Indépendance des événements.

Deux événements A et B sont dits indépendants si

Pour clarifier le caractère naturel d'une telle définition, nous nous tournons vers le théorème de multiplication de probabilité (4.11) et voyons dans quelles situations (4.12) en découle. Évidemment, cela peut être lorsque la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité inconditionnelle correspondante, c'est-à-dire, grosso modo, lorsque la connaissance que l'événement s'est produit n'affecte pas l'évaluation des chances de survenance de l'événement A.

L'extension de la définition de l'indépendance à un système de plus de deux événements est la suivante. Les événements sont appelés mutuellement indépendants s'il s'agit de paires, de triplets, de quadruples, etc. événements échantillonnés à partir de cet ensemble d'événements, les règles de multiplication suivantes sont valides :

De toute évidence, la première ligne implique

(le nombre de combinaisons de k par deux) équations, dans la seconde - et ainsi de suite Au total, donc, (4.13) unit des conditions. En même temps, les conditions de la première ligne sont suffisantes pour assurer l'indépendance par paire de ces événements. Et bien que l'indépendance par paires et mutuelle d'un système d'événements, à proprement parler, ne soient pas les mêmes, leur différence est plutôt un intérêt théorique que pratique : des exemples pratiquement importants d'événements indépendants par paires qui ne sont pas mutuellement indépendants, apparemment, n'existent pas.

La propriété d'indépendance des événements facilite grandement l'analyse des diverses probabilités associées au système d'événements étudié. Qu'il suffise de dire que si, dans le cas général, pour décrire les probabilités de toutes les combinaisons possibles d'événements système, il faut spécifier 2 probabilités, alors dans le cas d'indépendance mutuelle de ces événements, seules k probabilités suffisent

Des événements indépendants sont très souvent rencontrés dans la réalité étudiée, ils sont réalisés dans des expériences (observations) réalisées indépendamment les uns des autres au sens physique habituel.

C'est la propriété d'indépendance des résultats de quatre lancers de dés consécutifs qui a permis (à l'aide de (4.13)) de calculer facilement la probabilité de ne pas tomber (pour aucun de ces lancers) un six dans le problème de la section 2.2.1. En effet, ayant désigné l'événement que le six n'est pas tombé au lancer (cette possibilité découle directement du fait que les événements épuisent l'espace total des événements élémentaires et ne se croisent pas deux à deux), c'est-à-dire

De plus, en utilisant le théorème de l'addition des probabilités (par rapport aux événements incohérents, qui sont des événements) et en calculant la probabilité de chacun des produits par la formule du produit des probabilités (4.1 D), on obtient (4.14).

formule de Bayes.

Passons d'abord au problème suivant. Dans l'entrepôt, il y a des appareils fabriqués par trois usines : 20 % des appareils de l'entrepôt sont fabriqués par l'usine n° 1, 50 % - par l'usine n° 2 et 30 % - par l'usine n° 3. La probabilité que l'appareil ait besoin de réparations pendant la période de garantie est pour les produits chacune des usines sont égales à 0,2, respectivement ; 0,1 ; 0.3. L'appareil sorti de l'entrepôt n'avait aucun marquage d'usine et nécessitait une réparation (pendant la période de garantie). Quelle plante a probablement été fabriquée avec cet appareil ? Quelle est cette probabilité ? Si l'on désigne un événement consistant dans le fait qu'un appareil pris accidentellement dans un entrepôt s'est avéré être fabriqué à

En substituant (4.16) et (4.17) dans (4.15), on obtient

En utilisant cette formule, il est facile de calculer les probabilités requises :

Par conséquent, le dispositif de qualité inférieure a très probablement été fabriqué à l'usine n° 3.

La démonstration de la formule (4.18) dans le cas d'un système complet d'événements constitué d'un nombre arbitraire k d'événements répète exactement la démonstration de la formule (4.18). Sous cette forme générale, la formule

communément appelée formule de Bayes.