Comment calculer le rang d'une matrice. Trouver le rang d'une matrice : méthodes et exemples. Deux façons de calculer le rang d'une matrice

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Lorsque vous recherchez le rang à l'aide de la méthode gaussienne, vous pouvez utiliser à la fois des lignes et des colonnes. Il est plus pratique de travailler avec des chaînes, par conséquent, dans les exemples de cette page, les transformations sont effectuées sur des chaînes matricielles.

Notez que la transposition ne change pas le rang de la matrice, c'est-à-dire $ \ rang (A) = \ rang (A ^ T) $. Dans certains cas, cette propriété est pratique à utiliser (voir exemple n°3), car, si nécessaire, il est facile de faire des lignes colonnes et vice versa.

Brève description de l'algorithme

Introduisons quelques termes. Ligne zéro- une chaîne dont tous les éléments sont égaux à zéro. Chaîne différente de zéro- une chaîne dont au moins un élément est différent de zéro. Élément de premier plan une chaîne non nulle est appelée son premier élément non nul (en comptant de gauche à droite). Par exemple, dans la ligne $ (0; 0; 5; -9; 0) $, l'élément de tête sera le troisième élément (il est égal à 5).

Le rang de toute matrice nulle est 0, nous considérerons donc des matrices autres que zéro. Le but ultime des transformations matricielles est de la rendre échelonnée. Le rang d'une matrice échelonnée est égal au nombre de lignes non nulles.

La méthode envisagée pour trouver le rang d'une matrice se compose de plusieurs étapes. La première étape utilise la première ligne, la deuxième étape utilise la seconde, et ainsi de suite. Lorsque sous la ligne que nous utilisons à l'étape actuelle, il ne reste que zéro ligne ou qu'il n'y a aucune ligne, l'algorithme s'arrête, car la matrice résultante sera échelonnée.

Passons maintenant à ces transformations sur les chaînes qui sont effectuées à chaque étape de l'algorithme. Supposons que sous la ligne courante, que nous devons utiliser à cette étape, il y ait des lignes non nulles, où $ k $ est le numéro de l'élément de tête de la ligne courante, et $ k _ (\ min) $ est le plus petit de les numéros des éléments principaux de ces lignes qui se trouvent en dessous de la ligne actuelle ...

Si $ k \ lt (k _ (\ min)) $, passez à l'étape suivante de l'algorithme, c'est-à-dire pour utiliser la ligne suivante.
Si $ k = k _ (\ min) $, alors nous mettons à zéro les éléments pivots des lignes sous-jacentes dont le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. Si aucune ligne n'apparaît, nous les transférons au bas de la matrice. Ensuite, nous passons à l'étape suivante de l'algorithme.
Si $ k \ gt (k _ (\ min)) $, alors nous échangeons la ligne actuelle avec l'une de ces lignes ci-dessous, dont le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. Après cela, nous mettons à zéro les éléments de pivot de ces lignes sous-jacentes dont le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. S'il n'y a pas de telles lignes, passez à l'étape suivante de l'algorithme. Si aucune ligne n'apparaît, nous les transférons au bas de la matrice.

Comment exactement les éléments de pivot sont mis à zéro, nous allons considérer dans la pratique. Les lettres $ r $ (du mot "ligne") désigneront les lignes : $ r_1 $ est la première ligne, $ r_2 $ est la deuxième ligne, et ainsi de suite. Les lettres $ c $ (du mot "colonne") désigneront les colonnes : $ c_1 $ - la première colonne, $ c_2 $ - la deuxième colonne, et ainsi de suite.

Dans les exemples de cette page, j'utiliserai $ k $ pour désigner le numéro de pivot de la ligne actuelle, et $ k _ (\ min) $ sera utilisé pour désigner le plus petit numéro de pivot des lignes en dessous de la ligne actuelle.

Exemple 1

Trouver le rang de la matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ fin (tableau) \ droite) $.

Premier pas

Dans la première étape, nous travaillons avec la première ligne. Dans la première ligne de la matrice donnée, l'élément principal est le premier élément, c'est-à-dire numéro de pivot de la première ligne $ k = 1 $. Regardons les lignes sous la première ligne. Les éléments principaux sur ces lignes sont numérotés 4, 1, 1 et 1. Le plus petit de ces nombres est $ k _ (\ min) = 1 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, nous mettons à zéro les éléments pivots de ces lignes sous-jacentes, pour lesquelles le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. En d'autres termes, vous devez mettre à zéro les éléments principaux des troisième, quatrième et cinquième lignes.

En principe, vous pouvez procéder à la remise à zéro des éléments ci-dessus, cependant, pour les conversions effectuées à zéro, il est pratique que l'élément de tête de la chaîne utilisée soit un. Ce n'est pas nécessaire, mais cela rend les calculs très simples. Nous avons le nombre -2 comme élément principal de la première ligne. Il existe plusieurs options pour remplacer le nombre "incommode" par un (ou nombre (-1)). Vous pouvez, par exemple, multiplier la première ligne par 2, puis soustraire le cinquième de la première ligne. Ou vous pouvez simplement échanger les première et troisième colonnes. Après réarrangement des colonnes #1 et #3, on obtient une nouvelle matrice équivalente à la matrice $ A $ donnée :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (array) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) \ boldred (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) $$

L'élément principal de la première ligne est un. Le numéro de pivot de la première ligne n'a pas changé : $ k = 1 $. Les numéros des éléments de tête des lignes sous la première sont les suivants : 4, 1, 2, 1. Le plus petit nombre est $ k _ (\ min) = 1 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, nous mettons à zéro les éléments pivots de ces lignes sous-jacentes, pour lesquelles le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. Cela signifie que vous devez mettre à zéro les éléments principaux des troisième et cinquième lignes. Ces éléments sont surlignés en bleu et vert.

Pour mettre à zéro les éléments requis, nous allons effectuer des opérations avec les lignes de la matrice. Je vais écrire ces opérations séparément :

$$ \ begin (aligned) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) ( \ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ fin (aligné) $$

L'enregistrement $ r_3 + 5r_1 $ signifie que les éléments correspondants de la première ligne, multipliés par cinq, ont été ajoutés aux éléments de la troisième ligne. Le résultat est écrit à la place de la troisième ligne dans une nouvelle matrice. Si des difficultés surviennent lors de l'exécution orale d'une telle opération, cette action peut être effectuée séparément:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

L'action $ r_5-r_1 $ est similaire. À la suite de transformations de chaînes, nous obtenons la matrice suivante :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ fin (tableau) \ à droite) $$

À ce stade, la première étape peut être considérée comme terminée. Comme il y a des lignes différentes de zéro sous la première ligne, vous devez continuer à travailler. Seul bémol : dans la troisième ligne de la matrice résultante, tous les éléments sont divisés entièrement par 2. Pour réduire les nombres et simplifier nos calculs, on multiplie les éléments de la troisième ligne par $\frac (1) (2) $ , puis passez à la deuxième étape :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ fin (tableau) \ droite) $$

Deuxième étape

Dans la deuxième étape, nous travaillons avec la deuxième ligne. Dans la deuxième ligne de la matrice, l'élément principal est le quatrième, c'est-à-dire numéro de pivot de la deuxième ligne $ k = 4 $. Regardons les lignes au-dessous de la deuxième ligne. Les éléments principaux sur ces lignes sont numérotés 2, 2 et 2. Le plus petit de ces nombres est $ k _ (\ min) = 2 $. Depuis $ k \ gt (k _ (\ min)) $, alors vous devez échanger la deuxième ligne actuelle avec l'une de ces lignes dont le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. En d'autres termes, vous devez remplacer la deuxième ligne par la troisième, la quatrième ou la cinquième. Je choisirai la cinquième ligne (cela évitera l'apparition de fractions), c'est-à-dire permutez les cinquième et deuxième lignes :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ right) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) $$

Regardons à nouveau la deuxième ligne. Maintenant, l'élément principal est le deuxième élément (il est surligné en rouge), c'est-à-dire $ k = 2 $. Le plus petit des numéros pivot des lignes sous-jacentes (c'est-à-dire des numéros 2, 2 et 4) sera $ k _ (\ min) = 2 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, nous mettons à zéro les éléments pivots de ces lignes sous-jacentes, pour lesquelles le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. Cela signifie que vous devez mettre à zéro les éléments principaux des troisième et quatrième lignes. Ces éléments sont surlignés en bleu et vert.

Notez qu'à l'étape précédente, 1 est devenu l'élément principal de la ligne actuelle à l'aide de la permutation de colonne. Cela a été fait pour éviter de travailler avec des fractions. Ici aussi, vous pouvez en mettre un à la place du pivot de la deuxième ligne : par exemple, en intervertissant les deuxième et quatrième colonnes. Cependant, nous ne le ferons pas, car les fractions n'apparaîtront pas de toute façon. Les actions avec des chaînes seront comme ceci :

$$ \ begin (aligned) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ fin (aligné) $$

En effectuant les opérations indiquées, nous arrivons à la matrice suivante :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ fin (tableau ) \ à droite) $$

La deuxième étape est terminée. Puisqu'il y a des lignes non nulles sous la deuxième ligne, nous passons à la troisième étape.

Troisième étape

Dans la troisième étape, nous travaillons avec la troisième ligne. Dans la troisième ligne de la matrice, l'élément principal est le quatrième, c'est-à-dire numéro de pivot de la troisième ligne $ k = 4 $. Regardons les lignes sous la troisième ligne. Les éléments de tête de ces lignes sont numérotés 4 et 4, dont le plus petit est $ k _ (\ min) = 4 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, nous mettons à zéro les éléments pivots de ces lignes sous-jacentes, pour lesquelles le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. Cela signifie que vous devez mettre à zéro les éléments principaux des quatrième et cinquième lignes. Les transformations qui sont effectuées à cet effet sont tout à fait similaires à celles qui ont été effectuées précédemment :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fin (tableau) \ droite) $$

Il n'y a que zéro ligne sous la troisième ligne. Cela signifie que la conversion est terminée. Nous avons amené la matrice sous une forme échelonnée. Étant donné que la matrice réduite contient trois lignes non nulles, son rang est 3. Par conséquent, le rang de la matrice d'origine est également trois, c'est-à-dire $ \ a sonné A = 3 $. La solution complète sans explication est :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (array) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ begin (tableau) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ fin (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ right) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ gauche (\ début (tableau) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ fin (tableau) \ droite) \ début (tableau) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (tableau) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fin (tableau) \ droite) $$

Réponse: $ \ a sonné A = 3 $.

Exemple n°2

Trouver le rang de la matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ fin (tableau) \ droite) $.

Cette matrice n'est pas nulle, ce qui signifie que son rang est supérieur à zéro. Passons à la première étape de l'algorithme.

Premier pas

Dans la première étape, nous travaillons avec la première ligne. Dans la première ligne de la matrice donnée, l'élément principal est le premier élément, c'est-à-dire numéro de pivot de la première ligne $ k = 1 $. Regardons les lignes sous la première ligne. Les éléments principaux sur ces lignes sont numérotés 1, c'est-à-dire le plus petit nombre de pivot des lignes sous-jacentes est $ k _ (\ min) = 1 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, il est nécessaire de mettre à zéro les éléments de tête de ces lignes sous-jacentes, pour lesquelles le numéro de l'élément de tête est égal à $ k _ (\ min) $. En d'autres termes, vous devez mettre à zéro les éléments principaux des deuxième, troisième et quatrième lignes.

Pour la commodité des calculs, nous ferons en sorte que l'élément principal de la première ligne devienne un. Dans l'exemple précédent, pour cela, nous avons échangé les colonnes, mais cette action ne fonctionnera pas avec cette matrice - il n'y a pas d'éléments égaux à un dans cette matrice. Exécutons une action auxiliaire : $ r_1-5r_2 $. Alors le pivot de la première ligne sera 1.

L'élément principal de la première ligne est un. Mettons à zéro les éléments principaux des lignes sous-jacentes :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ fin (tableau) \ droite) \ début (tableau) (l) \ fantôme (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ fin (tableau) \ droite) $$

La première étape est terminée. Comme il y a des lignes différentes de zéro sous la première ligne, vous devez continuer à travailler.

Deuxième étape

Dans la deuxième étape, nous travaillons avec la deuxième ligne. Dans la deuxième ligne de la matrice, l'élément principal est le deuxième, c'est-à-dire numéro de pivot de la deuxième ligne $ k = 2 $. Les éléments de tête dans les lignes ci-dessous ont le même numéro 2, donc $ k _ (\ min) = 2 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, nous mettons à zéro les éléments pivots de ces lignes sous-jacentes, pour lesquelles le numéro de pivot est $ k _ (\ min) $. Cela signifie que vous devez mettre à zéro les éléments principaux des troisième et quatrième lignes.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ fin (tableau) \ droite) $$

Une ligne nulle est apparue. Déposons-le en bas de la matrice :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (array) \ right) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fin (tableau) \ droite) $$

La deuxième étape est terminée. Notez que nous avons déjà une matrice échelonnée. Cependant, nous pouvons formellement terminer notre algorithme. Comme il y a des lignes différentes de zéro sous la deuxième ligne, vous devez passer à la troisième étape et travailler avec la troisième ligne, mais il n'y a pas de lignes différentes de zéro sous la troisième ligne. La conversion est donc terminée.

Soit dit en passant, la matrice que nous avons reçue est trapézoïdale. La matrice trapézoïdale est un cas particulier de matrice étagée.

Étant donné que cette matrice contient trois lignes non nulles, son rang est 3. Par conséquent, le rang de la matrice d'origine est également trois, c'est-à-dire $ \ a sonné (A) = 3 $. La solution complète sans explication est :

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ fin (tableau) \ droite) \ début (tableau) (l) r_1-5r_2 \\ \ fantôme (0) \\ \ fantôme (0) \\ \ fantôme (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (array) \ right) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) ( \ sim ) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fin (tableau) \ droite) $$

Réponse: $ \ a sonné A = 3 $.

Exemple n° 3

Trouver le rang de la matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (tableau) \ right) $.

Parfois, en cours de résolution, il est pratique de transposer la matrice. Le rang de la matrice transposée étant égal au rang de la matrice d'origine, une telle opération est tout à fait admissible. Cet exemple considérera juste un tel cas. Lors des transformations, deux chaînes identiques $ (0; \; 1; \; - 2) $ (première et quatrième) apparaîtront. En principe, vous pouvez effectuer l'action $ r_4-r_1 $, puis la quatrième ligne sera mise à zéro, mais cela n'allongera la solution que d'un enregistrement, nous n'effectuerons donc pas la mise à zéro de la quatrième ligne.

$$ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ end (array) \ right) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ end (array) \ right) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_2)) (\ sim) \ left (\ begin ( array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 2r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-3r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fin (tableau) \ droite) $$

Le rang de la matrice transformée est 2, donc le rang de la matrice d'origine est $ \ rang (A) = 2 $. En principe, il était possible de retrouver le rang sans transposer la matrice : permuter la première ligne avec la deuxième, la troisième ou la cinquième et continuer les transformations habituelles avec les lignes. La méthode de réduction de la matrice à une forme échelonnée permet des variations dans le processus de résolution.

Réponse: $ \ a sonné A = 2 $.

Exemple n°4

Trouver le rang de la matrice $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ fin (tableau) \ droite) $.

Cette matrice n'est pas nulle, c'est-à-dire son rang est supérieur à zéro. Passons à la première étape de l'algorithme.

Premier pas

Dans la première étape, nous travaillons avec la première ligne. Dans la première ligne de la matrice donnée, l'élément principal est le second, c'est-à-dire numéro de pivot de la première ligne $ k = 2 $. Considérez les lignes sous la première ligne. Les éléments principaux de ces lignes sont numérotés 3, c'est-à-dire le plus petit nombre de pivot des lignes sous-jacentes est $ k _ (\ min) = 3 $. Puisque $ k \ lt (k _ (\ min)) $, nous passons à l'étape suivante de l'algorithme.

Deuxième étape

Dans la deuxième étape, nous travaillons avec la deuxième ligne. Dans la deuxième ligne, l'élément principal est le troisième, c'est-à-dire numéro de pivot de la deuxième ligne $ k = 3 $. En dessous de la deuxième ligne se trouve une seule troisième ligne, dont le numéro de pivot est 3, donc $ k _ (\ min) = 3 $. Puisque $ k = k _ (\ min) $, nous mettons à zéro l'élément de tête de la troisième ligne :

$$ \ left (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (array ) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-2r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ fin (tableau) \ à droite) $$

A reçu une matrice échelonnée. Le rang de la matrice transformée, et donc le rang de la matrice d'origine, est 3.

Réponse: $ \ a sonné A = 3 $.

Exemple n°5

Trouver le rang de la matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ Fin (tableau) \ droite) $.

Parfois, il est possible de réduire une matrice à une matrice échelonnée en utilisant une seule permutation de lignes ou de colonnes. Cela arrive, bien sûr, extrêmement rarement, mais un réarrangement réussi peut considérablement simplifier la solution.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (array ) \ right) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc ) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ fin (tableau) \ droite) $$

Matrice réduite à échelonnée, $ \ rang (A) = 3 $.

Réponse: $ \ a sonné A = 3 $.

Cet article discutera d'un concept tel que le rang d'une matrice et les concepts supplémentaires nécessaires. Nous donnerons des exemples et des preuves pour trouver le rang d'une matrice, et vous dirons également ce qu'est une matrice mineure et pourquoi elle est si importante.

Matrice mineure

Pour comprendre quel est le rang d'une matrice, vous devez comprendre un concept tel que le mineur d'une matrice.

Définition 1

Mineurk-matrice d'ordre est le déterminant d'une matrice carrée d'ordre k × k, qui est composée des éléments de la matrice A situés dans les k-lignes et k-colonnes présélectionnées, tout en maintenant la position des éléments de la matrice A.

En termes simples, si dans la matrice A nous supprimons (pk) lignes et (nk) colonnes, et à partir des éléments qui restent, composons une matrice, en préservant la disposition des éléments de la matrice A, alors le déterminant de la matrice résultante est un mineur d'ordre k de la matrice A.

De l'exemple, il résulte que les mineurs de premier ordre de la matrice A sont les éléments de la matrice eux-mêmes.

Il existe plusieurs exemples de mineurs du 2e ordre. Sélectionnons deux lignes et deux colonnes. Par exemple, 1ère et 2ème rangée, 3ème et 4ème colonne.

Avec ce choix d'éléments, la mineure du second ordre sera - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Un autre mineur de second ordre de la matrice A est 0 0 1 1 = 0

Donnons une illustration de la construction des mineurs du second ordre de la matrice A :

Un mineur de troisième ordre est obtenu en supprimant la troisième colonne de la matrice A :

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Une illustration de la façon dont le mineur d'ordre 3 de la matrice A est obtenu :

Pour une matrice donnée, il n'y a pas de mineurs supérieurs au 3ème ordre, car

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Combien y a-t-il de mineurs d'ordre k pour une matrice A d'ordre p × n ?

Le nombre de mineurs est calculé selon la formule suivante :

C p k × C n k, où e e C p k = p! k! (paquet)! et C n k = n! k! (n - k) ! - le nombre de combinaisons de p à k, de n à k, respectivement.

Après avoir décidé quels sont les mineurs de la matrice A, nous pouvons procéder à la détermination du rang de la matrice A.

Rang matriciel : méthodes de recherche

Définition 2

Rang de la matrice - l'ordre le plus élevé de la matrice autre que zéro.

Désignation 1

Rang (A), Rg (A), Rang (A).

A partir de la définition du rang de la matrice et du mineur de la matrice, il devient clair que le rang de la matrice zéro est nul et que le rang de la matrice non nulle est non nul.

Trouver le rang d'une matrice par définition

Définition 3

Dénombrement des mineurs - une méthode basée sur la détermination du rang d'une matrice.

Algorithme d'actions par dénombrement des mineurs :

Il faut trouver le rang de la matrice A d'ordre p× m... S'il y a au moins un élément non nul, alors le rang de la matrice est au moins égal à un ( puisque est un mineur du 1er ordre, qui n'est pas égal à zéro).

Elle est suivie d'une énumération des mineurs du second ordre. Si tous les mineurs de 2e ordre sont égaux à zéro, alors le rang est égal à un. S'il y a au moins un mineur non nul du 2ème ordre, il faut passer à une énumération des mineurs du 3ème ordre, et le rang de la matrice, dans ce cas, sera au moins égal à deux.

On agira de manière similaire avec le rang du troisième ordre : si tous les mineurs de la matrice sont égaux à zéro, alors le rang sera égal à deux. S'il existe au moins un mineur de troisième ordre non nul, alors le rang de la matrice est d'au moins trois. Et ainsi de suite, par analogie.

Exemple 2

Trouver le rang d'une matrice :

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

La matrice étant non nulle, son rang est au moins égal à un.

Le mineur de 2e ordre - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 n'est pas nul. Il s'ensuit que le rang de la matrice A est d'au moins deux.

On itère sur les mineurs du 3ème ordre : С 3 3 × С 5 3 = 1 5 ! 3 ! (5 - 3) ! = 10 pièces.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Les mineurs du 3ème ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice est égal à deux.

Réponse : Rang (A) = 2.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes

Définition 3

Méthode des mineurs frontaliers - une méthode qui permet d'obtenir un résultat avec moins de travail de calcul.

Face mineur - le mineur M ok (k + 1) -ième ordre de la matrice A, qui borde le mineur M d'ordre k de la matrice A, si la matrice qui correspond au mineur M ok "contient" la matrice qui correspond au mineur M.

En termes simples, la matrice qui correspond au mineur bordé M est obtenue à partir de la matrice correspondant au mineur bordant M k en supprimant les éléments d'une ligne et d'une colonne.

Exemple 3

Trouver le rang d'une matrice :

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Pour trouver le rang, on prend le mineur d'ordre 2 М = 2 - 1 4 1

Nous notons tous les mineurs limitrophes :

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Pour étayer la méthode des mineurs frontaliers, nous présentons un théorème dont la formulation ne nécessite pas de base de preuve.

Théorème 1

Si tous les mineurs bordant le mineur d'ordre k de la matrice A d'ordre p par n sont égaux à zéro, alors tous les mineurs d'ordre (k+1) de la matrice A sont égaux à zéro.

Algorithme d'actions :

Pour trouver le rang d'une matrice, il n'est pas nécessaire d'itérer sur tous les mineurs, il suffit de regarder les limitrophes.

Si les mineurs limitrophes sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est zéro. S'il y a au moins un mineur qui n'est pas égal à zéro, alors on considère les mineurs limitrophes.

S'ils sont tous nuls, alors le Rang (A) est deux. S'il y a au moins un mineur limitrophe différent de zéro, alors nous procédons à l'examen de ses mineurs limitrophes. Et ainsi de suite, de manière similaire.

Exemple 4

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Comment résoudre?

Puisque l'élément a 11 de la matrice A n'est pas égal à zéro, alors nous prenons un mineur du 1er ordre. Commençons à chercher un mineur limitrophe non nul :

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Nous avons trouvé un mineur de 2e ordre limitrophe non égal à zéro 2 0 4 1.

Parcourons les mineurs limitrophes - (il y a (4 - 2) × (5 - 2) = 6 pièces).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Réponse : Rang (A) = 2.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode de Gauss (à l'aide de transformations élémentaires)

Rappelons ce que sont les transformations élémentaires.

Transformations élémentaires:

en réarrangeant les lignes (colonnes) de la matrice ;
en multipliant tous les éléments de n'importe quelle ligne (colonne) de la matrice par un nombre arbitraire non nul k ;

en ajoutant aux éléments de toute ligne (colonne) des éléments qui correspondent à une autre ligne (colonne) de la matrice, qui sont multipliés par un nombre arbitraire k.

Définition 5

Trouver le rang d'une matrice par la méthode de Gauss - une méthode basée sur la théorie de l'équivalence des matrices : si la matrice B est obtenue à partir de la matrice A en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, alors Rang (A) = Rang (B).

La validité de cette affirmation découle de la définition de la matrice :

en cas de permutation de lignes ou de colonnes d'une matrice, son déterminant change de signe. S'il est égal à zéro, il reste égal à zéro lors de la réorganisation des lignes ou des colonnes ;
dans le cas de la multiplication de tous les éléments d'une ligne (colonne) de la matrice par un nombre arbitraire k, différent de zéro, le déterminant de la matrice résultante est égal au déterminant de la matrice d'origine, qui est multiplié par k ;

dans le cas d'ajouter aux éléments d'une certaine ligne ou colonne de la matrice les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, qui sont multipliés par le nombre k, ne change pas son déterminant.

L'essence de la méthode des transformations élémentaires : réduire la matrice dont on cherche le rang à une matrice trapézoïdale à l'aide de transformations élémentaires.

Pour quelle raison?

Le rang des matrices de ce type est assez facile à trouver. Il est égal au nombre de lignes qui contiennent au moins un élément différent de zéro. Et comme le rang ne change pas au cours des transformations élémentaires, ce sera le rang de la matrice.

Illustrons ce processus :

pour les matrices rectangulaires A d'ordre p par n, dont le nombre de lignes est supérieur au nombre de colonnes :

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milliard - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R an (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R anc (A) = k

pour les matrices rectangulaires A d'ordre p par n, dont le nombre de lignes est inférieur au nombre de colonnes :

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

pour les matrices carrées A d'ordre n par n :

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milliard - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R anc (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R anc (A) = k, k< n

Exemple 5

Trouver le rang de la matrice A en utilisant des transformations élémentaires :

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Comment résoudre?

L'élément a 11 étant non nul, il faut multiplier les éléments de la première ligne de la matrice A par 1 a 11 = 1 2 :

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Ajoutez aux éléments de la 2ème ligne les éléments correspondants de la 1ère ligne, qui sont multipliés par (-3). Aux éléments de la 3ème ligne, ajoutez les éléments de la 1ère ligne, qui sont multipliés par (-1) :

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

L'élément a 22 (2) est non nul, donc on multiplie les éléments de la 2ème rangée de la matrice A par A (2) par a 1 a 22 (2) = - 2 3 :

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Aux éléments de la 3ème ligne de la matrice résultante, ajoutez les éléments correspondants de la 2ème ligne, qui sont multipliés par 3 2;
aux éléments de la 4ème rangée - les éléments de la 2ème rangée, qui sont multipliés par 9 2;
aux éléments de la 5ème rangée - les éléments de la 2ème rangée, qui sont multipliés par 3 2.

Tous les éléments de ligne sont nuls. Ainsi, à l'aide de transformations élémentaires, nous avons amené la matrice à une forme trapézoïdale, d'où l'on peut voir que R a n k (A (4)) = 2. Il s'ensuit que le rang de la matrice d'origine est également égal à deux.

Commenter

Si vous effectuez des transformations élémentaires, les valeurs approximatives ne sont pas autorisées!

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Définition. Par le rang de la matrice est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes considérées comme vecteurs.

Théorème 1 sur le rang d'une matrice. Par le rang de la matrice est l'ordre maximum d'un mineur non nul de la matrice.

Nous avons déjà analysé le concept de mineure dans la leçon sur les déterminants, et maintenant nous allons le généraliser. Prenons dans la matrice des lignes et des colonnes, et ce "certain" doit être inférieur au nombre de lignes et de colonnes de la matrice, et pour les lignes et colonnes ce "certain" doit être le même nombre. Ensuite, à l'intersection de quelques lignes et du nombre de colonnes, il y aura une matrice d'ordre inférieur à notre matrice d'origine. Le déterminant de cette matrice sera le mineur d'ordre k si le "quelque" mentionné (le nombre de lignes et de colonnes) est noté k.

Définition. Mineur ( r+1) ème ordre, dans lequel se trouve le mineur sélectionné r-ème ordre est appelé bordant pour un mineur donné.

Les deux méthodes les plus couramment utilisées sont trouver le rang de la matrice... ce voie des mineurs limitrophes et méthode des transformations élémentaires(par la méthode de Gauss).

Le théorème suivant est utilisé pour la méthode des mineurs limitrophes.

Théorème 2 sur le rang d'une matrice. Si à partir des éléments de la matrice il est possible de composer un mineur r-ième ordre, différent de zéro, alors le rang de la matrice est r.

Dans la méthode des transformations élémentaires, la propriété suivante est utilisée :

Si, par transformations élémentaires, on obtient une matrice trapézoïdale équivalente à celle d'origine, alors le rang de cette matrice est le nombre de lignes qu'il contient, à l'exception des lignes entièrement composées de zéros.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes

Un mineur limitrophe est un mineur d'ordre supérieur par rapport à un donné, si ce mineur d'ordre supérieur contient ce mineur.

Par exemple, étant donné la matrice

Prenons un mineur

limitrophes seront les mineurs suivants :

Algorithme pour trouver le rang d'une matrice Suivant.

1. Trouvez des mineurs non nuls du second ordre. Si tous les mineurs du second ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice sera égal à un ( r =1 ).

2. S'il y a au moins un mineur du deuxième ordre qui n'est pas égal à zéro, alors nous composons les mineurs limitrophes du troisième ordre. Si tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à deux ( r =2 ).

3. Si au moins un des mineurs limitrophes du troisième ordre n'est pas égal à zéro, alors nous composons les mineurs limitrophes. Si tous les mineurs limitrophes du quatrième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à trois ( r =2 ).

4. Continuez aussi longtemps que la taille de la matrice le permet.

Exemple 1. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Mineur du second ordre .

Nous l'encadrons. Il y aura quatre mineurs riverains :

Ainsi, tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de cette matrice est égal à deux ( r =2 ).

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est 1, puisque tous les mineurs de second ordre de cette matrice sont égaux à zéro (en cela, comme dans les cas des mineurs limitrophes dans les deux exemples suivants, les chers étudiants sont invités à vérifier par eux-mêmes, en utilisant éventuellement les règles de calcul des déterminants), et parmi les mineurs du premier ordre, c'est-à-dire parmi les éléments de la matrice, il n'y en a pas égal à zéro.

Exemple 3. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Mineur du deuxième ordre de cette matrice, dans tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro. Par conséquent, le rang de cette matrice est deux.

Exemple 4. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est 3, puisque le seul mineur de troisième ordre de cette matrice est 3.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires (méthode de Gauss)

Déjà dans l'exemple 1, on voit que le problème de la détermination du rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes nécessite le calcul d'un grand nombre de déterminants. Il existe cependant un moyen de réduire au minimum la quantité de calcul. Cette méthode est basée sur l'utilisation de transformations matricielles élémentaires et est également appelée méthode de Gauss.

Les transformations matricielles élémentaires sont comprises comme les opérations suivantes :

1) multiplication d'une ligne ou d'une colonne de la matrice par un nombre différent de zéro ;

2) ajouter aux éléments d'une ligne ou d'une colonne quelconque de la matrice les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, multipliés par le même nombre ;

3) permutation de deux lignes ou colonnes de la matrice ;

4) suppression des lignes "zéro", c'est-à-dire celles dont tous les éléments sont égaux à zéro;

5) suppression de toutes les lignes proportionnelles sauf une.

Théorème. Une transformation élémentaire ne change pas le rang de la matrice. En d'autres termes, si nous utilisons des transformations élémentaires de la matrice UNE est allé à la matrice B, alors .

Rangées colonnes). Plusieurs lignes (colonnes) sont dites linéairement indépendantes si aucune d'entre elles ne peut être exprimée linéairement par rapport aux autres. Le rang du système de lignes est toujours égal au rang du système de colonnes, et ce nombre est appelé le rang de la matrice.

Le rang d'une matrice est le plus élevé des ordres de tous les mineurs non nuls possibles de cette matrice. Le rang d'une matrice zéro de n'importe quelle taille est zéro. Si tous les mineurs du second ordre sont nuls, alors le rang est un, et ainsi de suite.

Le rang de la matrice est la dimension de l'image dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ operatorname (im) (A))) opérateur linéaire auquel correspond la matrice.

Généralement le rang de la matrice A (\ style d'affichage A) noté sonné ⁡ A (\ displaystyle \ nom d'opérateur (rang) A), r ⁡ A (\ displaystyle \ nom d'opérateur (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ nom de l'opérateur (rg) A) ou rang ⁡ A (\ displaystyle \ nom opérateur (rang) A)... Cette dernière variante est typique de l'anglais, tandis que les deux premières concernent l'allemand, le français et un certain nombre d'autres langues.

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Soit une matrice rectangulaire.

Alors, par définition, le rang de la matrice A (\ style d'affichage A) est un:

Théorème (sur la justesse de la définition des rangs). Que tous les mineurs de la matrice A m × n (\ displaystyle A_ (m \ fois n)) ordre k (\ style d'affichage k)égal à zéro ( M k = 0 (\ displaystyle M_ (k) = 0)). Puis ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0) s'ils existent.

Définitions associées

Propriétés

Théorème (à propos de mineur de base): Laisser être r = rang ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ nom d'opérateur (rang) A, M_ (r))- base mineure de la matrice A (\ style d'affichage A), alors:
Conséquences:
Théorème (sur l'invariance de rang sous transformations élémentaires) : Introduisons une notation pour les matrices obtenues les unes des autres par des transformations élémentaires. Alors l'affirmation suivante est vraie : Si A ∼ B (\ displaystyle A \ sim B), alors leurs rangs sont égaux.
Le théorème de Kronecker - Capelli : Un système d'équations algébriques linéaires est cohérent si et seulement si le rang de sa matrice principale est égal au rang de sa matrice étendue. En particulier:
- Le nombre de variables principales du système est égal au rang du système.
- Un système conjoint sera déterminé (sa solution est unique) si le rang du système est égal au nombre de toutes ses variables.
L'inégalité de Sylvestre : Si UNE et B matrices de taille m x n et n x k, alors

sonné ⁡ A B ≥ sonné ⁡ A + sonné ⁡ B - n (\ displaystyle \ operatorname (rang) AB \ geq \ operatorname (rang) A + \ operatorname (rang) B-n)

C'est un cas particulier de l'inégalité suivante.

Inégalité de Frobenius : Si AB, BC, ABC sont bien définis, alors

sonné ⁡ A B C ≥ sonné ⁡ A B + sonné ⁡ B C - sonné ⁡ B (\ displaystyle \ operatorname (rang) ABC \ geq \ operatorname (rang) AB + \ operatorname (rang) BC- \ operatorname (rang) B)

Transformation linéaire et rang d'une matrice

Laisser être A (\ style d'affichage A)- matrice de taille m × n (\ displaystyle m \ times n) sur le terrain C (\ style d'affichage C)(ou R (\ style d'affichage R)). Laisser être T (\ style d'affichage T)- transformation linéaire correspondante A (\ style d'affichage A) dans une base standard; cela signifie que T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = Ax). Rang de la matrice A (\ style d'affichage A) est la dimension de la plage de valeurs de la transformation T (\ style d'affichage T).

Méthodes

Il existe plusieurs méthodes pour trouver le rang d'une matrice :

Méthode de transformation élémentaire

Le rang de la matrice est égal au nombre de lignes non nulles dans la matrice après l'avoir réduite à une forme échelonnée à l'aide de transformations élémentaires sur les lignes de la matrice.

Méthode des mineurs frontaliers

Laissez dans la matrice A (\ style d'affichage A) mineur non nul trouvé k (\ style d'affichage k)-ème ordre M (\ style d'affichage M)... Considérez tous les mineurs (k + 1) (\ displaystyle (k + 1))-ème ordre, y compris (frontalier) mineur M (\ style d'affichage M); s'ils sont tous égaux à zéro, alors le rang de la matrice est k (\ style d'affichage k)... Sinon, il y en a un non nul parmi les mineurs riverains, et toute la procédure est répétée.

N'importe quelle matrice UNE ordre m × n peut être considéré comme un ensemble m vecteurs de ligne ou m vecteurs colonnes.

Par rang matrices UNE ordre m × n est le nombre maximal de vecteurs colonne ou de vecteurs ligne linéairement indépendants.

Si le rang de la matrice UNE est égal à r, alors il s'écrit :

Trouver le rang d'une matrice

Laisser être UNE matrice d'ordre arbitraire m× m... Pour trouver le rang d'une matrice UNE lui appliquer la méthode d'élimination de Gauss.

Notez que si à un certain stade de l'exclusion le pivot est égal à zéro, alors nous échangeons cette ligne avec la ligne dans laquelle le pivot est non nul. S'il s'avère qu'il n'y a pas de ligne de ce type, passez à la colonne suivante, etc.

Après le mouvement direct d'élimination de Gauss, nous obtenons une matrice dont les éléments sous la diagonale principale sont égaux à zéro. De plus, il peut y avoir zéro vecteurs linéaires.

Le nombre de vecteurs ligne non nul sera le rang de la matrice UNE.

Considérons tout cela avec des exemples simples.

Exemple 1.

En multipliant la première ligne par 4 et en ajoutant à la deuxième ligne et en multipliant la première ligne par 2 et en ajoutant à la troisième ligne, nous avons :

La deuxième ligne est multipliée par -1 et ajoutée à la troisième ligne :

Nous avons deux lignes non nulles et, par conséquent, le rang de la matrice est 2.

Exemple 2.

Trouver le rang de la matrice suivante :

Multipliez la première ligne par -2 et ajoutez à la deuxième ligne. De même, on met à zéro les éléments des troisième et quatrième lignes de la première colonne :

Zéro les éléments des troisième et quatrième lignes de la deuxième colonne en ajoutant les lignes correspondantes à la deuxième ligne multipliées par -1.

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