Dans la pratique du calcul, on a souvent affaire à des fonctions données par des tableaux de leurs valeurs pour un ensemble fini de valeurs N.-É. : .

Dans le processus de résolution du problème, il est nécessaire d'utiliser les valeurs
pour les valeurs intermédiaires de l'argument. Dans ce cas, une fonction (x) est construite, ce qui est assez simple pour les calculs, qui aux points donnés X 0 , X 1 , ..., X m , appelés nœuds d'interpolation, prend des valeurs, et en d'autres points du segment (x 0, x n) appartenant au domaine de définition
, représente approximativement la fonction
avec des degrés de précision variables.

Lors de la résolution du problème, dans ce cas, au lieu de la fonction
fonctionner avec la fonction (x). Le problème de construction d'une telle fonction Ф (x) est appelé problème d'interpolation. Le plus souvent, la fonction d'interpolation (x) est recherchée sous la forme d'un polynôme algébrique.

1. Polynôme d'interpolation

Pour chaque fonction
défini le [ un B], et tout ensemble de nœuds X 0 , X 1 , ...., X m (X je
[un B], X je X j pour moi j) parmi les polynômes algébriques de degré au plus n, il existe un unique polynôme d'interpolation (x), qui s'écrit sous la forme :

, (3.1)

où
- polynôme de degré n avec la propriété suivante :

Pour le polynôme d'interpolation, le polynôme
ressemble à:

Ce polynôme (3.1) résout le problème d'interpolation et est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange.

A titre d'exemple, considérons une fonction de la forme
sur l'intervalle
donné sous forme de tableau.

Il faut déterminer la valeur de la fonction au point x-2,5. Nous utiliserons pour cela le polynôme de Lagrange. Sur la base des formules (3.1 et 3.3), nous écrivons explicitement ce polynôme :

(3.4).

Ensuite, en substituant les valeurs initiales de notre tableau dans la formule (3.4), nous obtenons

Le résultat obtenu correspond à la théorie, c'est-à-dire ...

1. Formule d'interpolation de Lagrange

Le polynôme d'interpolation de Lagrange peut s'écrire sous une forme différente :

(3.5)

L'écriture du polynôme sous la forme (3.5) est plus pratique pour la programmation.

Lors de la résolution du problème d'interpolation, la quantité m est appelé l'ordre du polynôme d'interpolation. De plus, comme le montrent les formules (3.1) et (3.5), le nombre de nœuds d'interpolation sera toujours égal à n+1 et le sens X, dont la valeur
, doit se trouver à l'intérieur du domaine de définition des nœuds d'interpolation celles.

. (3.6)

Dans certains cas pratiques, le nombre total connu de nœuds d'interpolation est m peut être supérieur à l'ordre du polynôme d'interpolation m.

Dans ce cas, avant de mettre en œuvre la procédure d'interpolation selon la formule (3.5), il est nécessaire de déterminer les nœuds d'interpolation pour lesquels la condition (3.6) est valide. Il ne faut pas oublier que la plus petite erreur est obtenue lors de la recherche de la valeur X au centre de la zone d'interpolation. Pour s'en assurer, la procédure suivante est proposée :

Le but principal de l'interpolation est de calculer les valeurs d'une fonction tabulée pour les valeurs d'argument non nodales (intermédiaires). Par conséquent, l'interpolation est souvent appelée "l'art de lire des tableaux entre les lignes".

polynôme de Lagrange

Polynôme d'interpolation lagrangienne- un polynôme de degré minimum qui prend les valeurs données dans un ensemble de points donné. Pour m+ 1 paires de nombres, où tous X je différent, il n'y a qu'un seul polynôme L(X) degré pas plus m, Pour qui L(X je) = oui je .

Dans le cas le plus simple ( m= 1) est un polynôme linéaire dont le graphique est une droite passant par deux points donnés.

Définition

Cet exemple montre le polynôme d'interpolation de Lagrange pour quatre points (-9,5), (-4,2), (-1, -2) et (7,9), ainsi que les polynômes y j l j (x), dont chacun passe par l'un des points sélectionnés, et prend la valeur zéro dans le reste x je

Soit pour la fonction F(X) les valeurs sont connues oui j = F(X j) à certains points. Ensuite, nous pouvons interpoler cette fonction comme

En particulier,

Les valeurs des intégrales de je j ne dépend pas de F(X), et ils peuvent être calculés à l'avance, connaissant la séquence X je .

Pour le cas d'une distribution uniforme des nœuds d'interpolation le long d'un segment

Dans ce cas, on peut exprimer X je par la distance entre les nœuds d'interpolation h et le point de départ X 0 :

et donc

En substituant ces expressions dans la formule du polynôme de base et en supprimant h pour les signes de multiplication dans le numérateur et le dénominateur, nous obtenons

Vous pouvez maintenant saisir le remplacement de variable

et obtenir un polynôme de oui qui est construit en utilisant uniquement l'arithmétique des nombres entiers. L'inconvénient de cette approche est la complexité factorielle du numérateur et du dénominateur, qui nécessite l'utilisation d'algorithmes avec représentation multi-octets des nombres.

Liens externes

Fondation Wikimédia. 2010.

Voyez ce qu'est « polynôme de Lagrange » dans d'autres dictionnaires :

Forme d'écriture d'un polynôme de degré n (polynôme d'interpolation de Lagrange) interpolant une fonction donnée f(x).Aux nœuds x 0, x1, ..., xn : Dans le cas où les valeurs de xi sont équidistantes, que est, en utilisant la notation (x x0) / h = t formule (1) ... ... Encyclopédie des mathématiques

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Nous allons construire un polynôme d'interpolation sous la forme

où sont les polynômes de degré au plus N.-É., ayant la propriété suivante :

En effet, dans ce cas le polynôme (4.9) à chaque nœud xj, j = 0,1, ... n, est égal à la valeur correspondante de la fonction oui j, c'est à dire. est l'interpolation.

Construisons de tels polynômes. Puisque pour x = x 0, x 1,… x i -1, x i +1,… x n, on peut factoriser comme suit

où c est une constante. De la condition on obtient que

Polynôme d'interpolation (4.1) écrit sous la forme

est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange.

La valeur approximative de la fonction au point X * calculé à l'aide du polynôme de Lagrange aura une erreur résiduelle (4.8). Si les valeurs de la fonction oui je aux nœuds d'interpolation x je sont réglés approximativement avec la même erreur absolue, alors au lieu de la valeur exacte, une valeur approximative sera calculée, et

où est l'erreur absolue de calcul du polynôme d'interpolation de Lagrange. Enfin, nous avons l'estimation suivante de l'erreur totale de la valeur approchée.

En particulier, les polynômes de Lagrange du premier et du deuxième degré auront la forme

et leurs erreurs totales au point x *

Il existe d'autres formes d'écriture du même polynôme d'interpolation (4.1), par exemple, la formule d'interpolation de Newton avec des différences séparées considérées ci-dessous et ses variantes. Pour des calculs précis, les valeurs Pn (x *) obtenus par différentes formules d'interpolation construites à partir des mêmes nœuds coïncident. La présence d'une erreur de calcul entraîne une différence dans les valeurs obtenues à partir de ces formules. L'écriture d'un polynôme sous la forme de Lagrange conduit, en règle générale, à une erreur de calcul plus petite.

L'utilisation de formules pour estimer les erreurs résultant de l'interpolation dépend de la formulation du problème. Par exemple, si le nombre de nœuds est connu et que la fonction est spécifiée avec un nombre suffisamment grand de signes corrects, alors le problème du calcul f (x *) avec la plus grande précision possible. Si, au contraire, le nombre de signes corrects est petit et le nombre de nœuds grand, alors le problème du calcul f (x *) avec la précision que permet la valeur de table de la fonction, et pour résoudre ce problème, à la fois la raréfaction et le compactage de la table peuvent être nécessaires.

§4.3. Différences séparées et leurs propriétés.

Le concept de la différence divisée est un concept généralisé de la dérivée. Soit les valeurs des fonctions f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Les différences de premier ordre séparées sont déterminées par les égalités

séparés par des différences du second ordre - égalités,

et les différences séparées k-ème ordre sont déterminés par la formule récursive suivante :

Les différences fractionnées sont généralement placées dans un tableau comme celui-ci :

Considérez les propriétés suivantes des différences séparées.

1. Les différences divisées de tous les ordres sont des combinaisons linéaires de valeurs f (x je), c'est à dire. la formule suivante tient :

Prouvons la validité de cette formule par induction sur l'ordre des différences. Pour les différences de premier ordre

La formule (4.12) est valide. Supposons maintenant qu'elle soit valable pour toutes les différences d'ordre.

Alors, d'après (4.11) et (4.12), pour les différences d'ordre k = n + 1 on a

Les termes contenant f (x 0) et f (xn+1), avoir la forme requise. Considérez les termes contenant f (x je), i = 1, 2, ..., n... Il existe deux de ces termes - à partir des première et deuxième sommes :

celles. la formule (4.12) est valable pour la différence de commande k = n + 1, la preuve est complète.

2. La différence divisée est une fonction symétrique de ses arguments x 0, x 1,… x n (c'est-à-dire qu'elle ne change pour aucune permutation) :

Cette propriété découle directement de l'égalité (4.12).

3. Relation de différence simple F et dérivé f (n) (x) donne le théorème suivant.

Soit les nœuds x 0, x 1, ... x n appartiennent au segment et fonction f (x) a sur ce segment une dérivée d'ordre continue N.-É.... Ensuite, il y a un point xÎ, Quel

Démontrons d'abord la validité de la relation

D'après (4.12), l'expression entre crochets est

F.

Comparaison de (4.14) avec l'expression (4.7) pour le reste R n (x) = f (x) -L n (x) on obtient (4.13), le théorème est démontré.

Un corollaire simple découle de ce théorème. Pour polynôme N.-É.-ème degré

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

dérivé d'ordre N.-É. il y a évidemment

et la relation (4.13) donne pour la différence divisée la valeur

Ainsi, tout polynôme de degré N.-É. différences d'ordre séparés N.-É. sont égaux à une valeur constante - le coefficient au plus haut degré du polynôme. Différences séparées des ordres supérieurs
(Suite N.-É.) sont évidemment égaux à zéro. Cependant, cette conclusion n'est valable que s'il n'y a pas d'erreur de calcul pour les différences séparées.

§4.4. Interpolation polynôme de Newton avec différences séparées

On écrit le polynôme d'interpolation de Lagrange sous la forme suivante :

où L 0 (x) = f (x 0) = y 0, une Lk (x)- Polynôme de degré d'interpolation de Lagrange k construit par des nœuds x 0, x 1, ..., x k... Alors il existe un polynôme de degré k dont les racines sont des points x 0, x 1, ..., x k -1... On peut donc factoriser

où A k est une constante.

Conformément à (4.14), on obtient

En comparant (4.16) et (4.17), on obtient que (4.15) prend aussi la forme

qui s'appelle le polynôme d'interpolation de Newton avec des différences séparées.

Ce type d'enregistrement du polynôme d'interpolation est plus visuel (l'ajout d'un nœud correspond à l'apparition d'un terme) et permet de mieux tracer l'analogie des constructions en cours avec les constructions de base de l'analyse mathématique.

L'erreur résiduelle du polynôme d'interpolation de Newton est exprimée par la formule (4.8), mais elle, compte tenu de (4.13), peut s'écrire sous une autre forme

celles. l'erreur résiduelle peut être estimée par le module du premier terme rejeté dans le polynôme N n (x *).

Erreur de calcul N n (x *) sera déterminé par les erreurs des différences séparées. Nœuds d'interpolation les plus proches de la valeur interpolée X *, aura un plus grand impact sur le polynôme d'interpolation, se trouvant plus loin - moins. Par conséquent, il est conseillé, si possible, pour x 0 et x 1 prendre en venant à X * nœuds d'interpolation et effectuez d'abord une interpolation linéaire sur ces nœuds. Attirez ensuite progressivement les nœuds suivants afin qu'ils soient le plus symétriques possible par rapport à X * jusqu'à ce que le terme suivant en valeur absolue soit inférieur à l'erreur absolue de la différence divisée qu'il contient.

Laissez sur le segment fonction y = f (x) est placé dans une table, c'est-à-dire (x i, y i), (i = 0,1, .., n), où y i = f (x i). Cette fonction s'appelle " engrener».

Formulation du problème: trouve polynôme algébrique (polynôme):

degré pas plus élevé m tel que

L n (x i) = y i,à je = 0,1, .., n,(5.6)

celles. ayant à des nœuds donnés x je, (je=0,1,..,m) les mêmes valeurs que la fonction grille à=f (x).

Le polynôme lui-même Ln (x) appelé polynôme d'interpolation, et la tâche est interpolation polynomiale .

Trouver le polynôme L n (x)- ça signifie trouver ses coefficients a 0 , une 1 ,…, UNE n.m. Pour cela il y a n + 1 condition (5.6), qui s'écrit sous la forme d'un système d'équations algébriques linéaires par rapport aux inconnues un je,(je=0, 1,…,m):

où X moi et oui je ( je=0,1,…,m) - valeurs de table de l'argument et de la fonction.

On sait d'après le cours d'algèbre que le déterminant de ce système, appelé déterminant de Vandermonde :

non nul et, par conséquent, le système (5.7) a seule décision.

Après avoir déterminé les coefficients une 0 , une 1 ,…, Un, système de résolution (5.7), on obtient ce que l'on appelle Polynôme d'interpolation de Lagrange pour la fonction f (x):

(5.8)

qui peut s'écrire comme :

Il est prouvé qu'étant donné m+1 valeurs de la fonction peuvent être tracées le seul polynôme d'interpolation de Lagrange(5.8).

En pratique, les polynômes d'interpolation de Lagrange du premier ( n = 1) et le deuxième ( n = 2) degrés.

À n = 1 information sur la fonction interpolée y = f (x) est fixé en deux points : (X 0 , oui 0 ) et (x 1 , oui 1 ), et le polynôme de Lagrange a la forme

Pour n = 2 le polynôme de Lagrange est construit à partir d'une table à trois points

Solution: Nous substituons les données initiales dans la formule (5.8). Le degré du polynôme de Lagrange obtenu n'est pas supérieur au tiers, puisque la fonction est spécifiée par quatre valeurs :

En utilisant le polynôme d'interpolation de Lagrange, vous pouvez trouver la valeur de la fonction à n'importe quel point intermédiaire, par exemple, pour N.-É.=4:

= 43

Polynômes d'interpolation de Lagrange utilisé dans méthode des éléments finis, largement utilisé pour résoudre les problèmes de construction.

D'autres formules d'interpolation sont également connues, par exemple, Formule d'interpolation de Newton utilisé pour l'interpolation dans le cas de nœuds équidistants ou d'un polynôme d'interpolation Hermita.

Interpolation de spline... Lors de l'utilisation d'un grand nombre de nœuds d'interpolation, une technique spéciale est utilisée - interpolation polynomiale par morceaux lorsque la fonction est interpolée par un polynôme de degré T entre tous les nœuds de grille adjacents.

Approximation quadratique moyenne des fonctions

Formulation du problème

Approximation efficace fonctions est une autre approche pour obtenir des expressions analytiques pour l'approximation des fonctions. Une caractéristique de ces problèmes est le fait que les données initiales pour la construction de certaines régularités sont évidemment caractère approximatif.

Ces données sont obtenues à la suite de toute expérience ou à la suite d'un processus de calcul. En conséquence, ces données contiennent des erreurs expérimentales (erreurs de l'équipement et des conditions de mesure, erreurs aléatoires, etc.) ou des erreurs d'arrondi.

Disons qu'un phénomène ou un processus fait l'objet d'une enquête. En général, l'objet de la recherche peut être représenté par un système cybernétique ("boîte noire") représenté sur la figure.

Variable N.-É. Est une variable contrôlée indépendante (paramètre d'entrée).

Variable Oui Est la réaction (réponse) de l'objet de recherche à l'influence du paramètre d'entrée. C'est la variable dépendante.

Supposons que lors du traitement des résultats de cette expérience, une certaine dépendance fonctionnelle ait été trouvée y = f (x) entre la variable indépendante N.-É. et variable dépendante à. Cette dépendance est présentée sous forme de tableau. 5.1 valeurs x je, y je (je=1,2,…, N) obtenu au cours de l'expérience.

Tableau 5.1

Si l'expression de la fonction analytique y = f (x) est inconnue ou très difficile, alors se pose le problème de trouver la fonction y = j (N.-É.), dont les valeurs à x = x je, peut-être un peu différentà partir de données expérimentales ouais, (je=1,..,m). Ainsi, la dépendance étudiée est approchée par la fonction y = j (N.-É.) sur le segment [ X 1 , xn]:

f (x) @ j (N.-É.). (5.9)

Fonction approximative y = j (N.-É.) appelé formule empirique (FE) ou équation de régression (RR).

Les formules empiriques ne prétendent pas être les lois de la nature, mais ne sont que des hypothèses qui décrivent plus ou moins adéquatement les données expérimentales. Cependant, leur importance est très grande. Dans l'histoire des sciences, il y a des cas où la formule empirique réussie obtenue a conduit à de grandes découvertes scientifiques.

La formule empirique est adéquat s'il peut être utilisé pour décrire l'objet à l'étude avec une précision suffisante pour la pratique.

A quoi sert cette dépendance ?

Si l'approximation (5.9) est trouvée, alors il est possible :

Faire une prédiction sur le comportement de l'objet étudié en dehors du segment ( extrapolation );

Sélectionner optimale la direction de développement du procédé à l'étude.

L'équation de régression peut avoir une forme différente et un niveau de complexité différent, selon les caractéristiques de l'objet à l'étude et la précision de représentation requise.

Géométriquement le problème de construction de l'équation de régression consiste à tracer la courbe L: y = j (N.-É.) « aussi proche que possible»Adjacent au système de points expérimentaux M i (x i, y i), i = 1,2, .., n tableau donné. 5.1 (Figure 5.2).

La construction de l'équation de régression (fonction empirique) comprend 2 étapes :

1. choix de la vue généraleéquations de régression,

2. définir ses paramètres.

À succès choix l'équation de régression dépend en grande partie de l'expérience de l'expérimentateur, étudiant un processus ou un phénomène.

Un polynôme (polynôme) est souvent choisi comme équation de régression :

Deuxième tâche, recherche de paramètres les équations de régression sont résolues par des méthodes régulières, par exemple, méthode des moindres carrés(OLS), qui est largement utilisé dans l'étude de toute régularité basée sur des observations ou des expériences.

Le développement de cette méthode est associé aux noms de mathématiciens célèbres du passé - K. Gauss et A. Legendre.

Méthode des moindres carrés

Supposons que les résultats de l'expérience soient présentés sous forme de tableau. 5.1. Et l'équation de régression s'écrit sous la forme (5.11), c'est-à-dire dépend de ( m+1) paramètre

Ces paramètres déterminent l'emplacement du graphique de l'équation de régression par rapport aux points expérimentaux. M i (x i, y i), i = 1,2, .., n(Figure 5.2).

Cependant, ces paramètres ne sont pas définis de manière unique. Il est nécessaire de sélectionner les paramètres pour que le graphique de l'équation de régression se trouve " aussi proche que possible» Au système de ces points expérimentaux.

Présentons le concept écarts valeurs de l'équation de régression (5.11) à partir de la valeur du tableau oui je pour x je : , je = 1,2, .., n.

Envisager la somme des carrés des écarts, qui dépend de( m+1) paramètre

Selon OLS, les meilleurs coefficients un je(je=0,1,..,m) sont ceux qui minimisent la somme des carrés des écarts, c'est-à-dire fonction.

À l'aide de conditions nécessaires à l'extremum de la fonction plusieurs variables, on obtient ce qu'on appelle système normal pour déterminer des coefficients inconnus :

Pour la fonction d'approximation (5.11), le système (5.14) est un système d'équations algébriques linéaires pour les inconnues .

Des cas sont possibles :

1. Si, alors il existe une infinité de polynômes (5.11) qui minimisent la fonction (5.13).

2. Si m = n–1, alors il n'y a qu'une fonction de minimisation polynomiale (5.11) (5.13).

Le moins m, plus la formule empirique est simple, mais elle n'est pas toujours meilleure. Il faut se rappeler que la formule empirique résultante doit être adéquat objet à l'étude.