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L'importance de la distribution normale dans de nombreux domaines scientifiques (par exemple, en statistique mathématique et en physique statistique) découle du théorème central limite de la théorie des probabilités. Si le résultat d'une observation est la somme de nombreuses variables aléatoires faiblement interdépendantes, dont chacune apporte une petite contribution par rapport à la somme totale, alors à mesure que le nombre de termes augmente, la distribution du résultat centré et normalisé tend vers la normale. Cette loi de la théorie des probabilités a pour conséquence la large distribution de la distribution normale, qui était l'une des raisons de son nom.
Propriétés
Des moments
Si variables aléatoires X 1 (\displaystyle X_(1)) et X 2 (\displaystyle X_(2)) sont indépendants et ont une distribution normale avec des attentes mathématiques µ 1 (\displaystyle\mu _(1)) et μ 2 (\displaystyle\mu _(2)) et dispersions σ 1 2 (\displaystyle\sigma _(1)^(2)) et σ 2 2 (\displaystyle\sigma _(2)^(2)) respectivement, alors X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) a aussi une distribution normale avec une valeur attendue µ 1 + µ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) et dispersion σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle\sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Cela implique qu'une variable aléatoire normale peut être représentée comme la somme d'un nombre arbitraire de variables aléatoires normales indépendantes.
Entropie maximale
La distribution normale a l'entropie différentielle maximale parmi toutes les distributions continues dont la variance ne dépasse pas une valeur donnée.
Modélisation de variables pseudo-aléatoires normales
Les méthodes de modélisation approchée les plus simples sont basées sur le théorème central limite . A savoir, si nous ajoutons plusieurs quantités indépendantes distribuées de manière identique avec une variance finie , alors la somme sera distribuée environ amende. Par exemple, si vous ajoutez 100 normes indépendantes uniformément variables aléatoires distribuées, alors la distribution de la somme sera approximativement Ordinaire.
Pour la génération logicielle de variables pseudo-aléatoires distribuées normalement, il est préférable d'utiliser la transformation Box - Muller. Il vous permet de générer une valeur normalement distribuée basée sur une valeur uniformément distribuée.
Distribution normale dans la nature et les applications
La distribution normale se retrouve souvent dans la nature. Par exemple, les variables aléatoires suivantes sont bien modélisées par la distribution normale :
- déviation de tir.
- erreurs de mesure (cependant, les erreurs de certains instruments de mesure ont des distributions non normales).
- certaines caractéristiques des organismes vivants d'une population.
Cette distribution est si répandue car il s'agit d'une distribution continue divisible à l'infini avec une variance finie. Par conséquent, d'autres l'approchent à la limite, comme le binôme et Poisson. De nombreux processus physiques non déterministes sont modélisés par cette distribution.
Relation avec d'autres distributions
- La distribution normale est une distribution de Pearson de type XI.
- Le rapport d'une paire de variables aléatoires standard indépendantes normalement distribuées a une distribution de Cauchy. Autrement dit, si la variable aléatoire X (\displaystyle X) représente la relation X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(où Oui (\displaystyle Y) et Z (\displaystyle Z) sont des variables aléatoires normales standard indépendantes), alors il aura une distribution de Cauchy.
- Si un z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) sont des variables aléatoires normales standard conjointement indépendantes, c'est-à-dire z je ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), alors la variable aléatoire x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) a une distribution du chi carré à k degrés de liberté.
- Si la variable aléatoire X (\displaystyle X) est soumis à une distribution log-normale, alors son logarithme népérien suit une distribution normale. C'est-à-dire si X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), alors Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Et inversement, si Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), alors X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \à droite)).
- Le rapport des carrés de deux variables aléatoires normales standard a
La loi de distribution normale (souvent appelée loi de Gauss) joue un rôle extrêmement important dans la théorie des probabilités et occupe une position particulière parmi les autres lois de distribution. C'est la loi de distribution la plus courante dans la pratique. Le trait principal qui distingue la loi normale des autres lois est qu'elle est la loi limite, à laquelle se rapprochent d'autres lois de distribution dans des conditions typiques très souvent rencontrées.
On peut prouver que la somme d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes (ou faiblement dépendantes) soumises à des lois de distribution arbitraires (sous réserve de certaines restrictions très lâches) obéit approximativement à la loi normale, et cela est vrai d'autant plus précisément que nombre de variables aléatoires est additionné. La plupart des variables aléatoires rencontrées dans la pratique, telles que, par exemple, les erreurs de mesure, les erreurs de tir, etc., peuvent être représentées comme la somme d'un très grand nombre de termes relativement petits - erreurs élémentaires, dont chacune est causée par le action d'une cause distincte qui ne dépend pas des autres. Quelles que soient les lois de distribution pouvant être sujettes à des erreurs élémentaires individuelles, les caractéristiques de ces distributions dans la somme d'un grand nombre de termes sont nivelées, et la somme s'avère être soumise à une loi proche de la normale. La principale restriction imposée aux erreurs sommables est qu'elles jouent toutes également un rôle relativement faible dans la somme totale. Si cette condition n'est pas remplie et que, par exemple, l'une des erreurs aléatoires s'avère prévaloir nettement sur toutes les autres dans son influence sur la somme, alors la loi de distribution de cette erreur dominante imposera son influence sur la somme et déterminer dans ses grandes lignes sa loi de distribution.
Les théorèmes établissant la loi normale comme limite pour la somme de termes aléatoires indépendants uniformément petits seront examinés plus en détail au chapitre 13.
La loi de distribution normale est caractérisée par une densité de probabilité de la forme :
La courbe de distribution selon la loi normale a un aspect vallonné symétrique (Fig. 6.1.1). L'ordonnée maximale de la courbe, égale à , correspond au point ; à mesure qu'on s'éloigne du point, la densité de distribution diminue, et à , la courbe se rapproche asymptotiquement de l'axe des abscisses.
Découvrons la signification des paramètres numériques et inclus dans l'expression de la loi normale (6.1.1) ; nous prouverons que la valeur n'est rien d'autre que l'espérance mathématique, et la valeur est l'écart type de la valeur . Pour ce faire, nous calculons les principales caractéristiques numériques de la quantité - l'espérance mathématique et la variance.
Application du changement de variable
Il est facile de vérifier que le premier des deux intervalles de la formule (6.1.2) est égal à zéro ; la seconde est l'intégrale bien connue d'Euler-Poisson :
. (6.1.3)
Ainsi,
ceux. le paramètre est l'espérance mathématique de la valeur. Ce paramètre, en particulier dans les tâches de prise de vue, est souvent appelé centre de dispersion (en abrégé c.r.).
Calculons la dispersion de la quantité :
.
Appliquer à nouveau le changement de variable
En intégrant par parties, on obtient :
Le premier terme entre accolades est égal à zéro (car quand diminue plus vite que n'importe quelle puissance augmente), le second terme selon la formule (6.1.3) est égal à , d'où
Par conséquent, le paramètre dans la formule (6.1.1) n'est rien d'autre que l'écart type de la valeur .
Découvrons la signification des paramètres et la distribution normale. On peut voir directement à partir de la formule (6.1.1) que le centre de symétrie de la distribution est le centre de diffusion. Cela ressort clairement du fait que lorsque le signe de la différence est inversé, l'expression (6.1.1) ne change pas. Si vous modifiez le centre de dispersion , la courbe de distribution se déplacera le long de l'axe des x sans changer sa forme (Fig. 6.1.2). Le centre de diffusion caractérise la position de la distribution sur l'axe des abscisses.
La dimension du centre de diffusion est la même que la dimension de la variable aléatoire .
Le paramètre caractérise non pas la position, mais la forme même de la courbe de distribution. C'est la caractéristique de dispersion. La plus grande ordonnée de la courbe de distribution est inversement proportionnelle à ; en augmentant, l'ordonnée maximale diminue. Étant donné que l'aire de la courbe de distribution doit toujours rester égale à l'unité, à mesure que la courbe de distribution augmente, elle devient plus plate, s'étirant le long de l'axe des x; au contraire, avec une diminution, la courbe de distribution s'étire vers le haut, se rétrécit simultanément sur les côtés et devient plus en forme d'aiguille. Sur la fig. 6.1.3 montre trois courbes normales (I, II, III) à ; parmi celles-ci, la courbe I correspond à la plus grande valeur et la courbe III à la plus petite valeur. Changer le paramètre équivaut à changer l'échelle de la courbe de distribution - augmenter l'échelle le long d'un axe et la même diminution le long de l'autre.
Des exemples de variables aléatoires distribuées selon la loi normale sont la taille d'une personne, la masse des poissons pêchés de la même espèce. La distribution normale signifie ce qui suit
: il existe des valeurs de taille humaine, la masse de poissons de la même espèce, qui sont perçues intuitivement comme "normales" (et en fait - moyennes), et elles sont beaucoup plus courantes dans un échantillon suffisamment grand que celles qui diffèrent vers le haut ou vers le bas.
La distribution de probabilité normale d'une variable aléatoire continue (parfois la distribution gaussienne) peut être appelée en forme de cloche en raison du fait que la fonction de densité de cette distribution, qui est symétrique par rapport à la moyenne, est très similaire à la coupe d'une cloche ( courbe rouge dans la figure ci-dessus).
La probabilité de rencontrer certaines valeurs dans l'échantillon est égale à l'aire du chiffre sous la courbe, et dans le cas d'une distribution normale, on voit que sous le haut de la "cloche" , qui correspond à des valeurs tendant vers la moyenne, la surface, et donc la probabilité, est plus grande que sous les bords. Ainsi, on obtient la même chose qui a déjà été dite : la probabilité de rencontrer une personne de taille "normale", d'attraper un poisson de poids "normal" est plus élevée que pour des valeurs qui diffèrent à la hausse ou à la baisse. Dans de très nombreux cas de pratique, les erreurs de mesure sont réparties selon une loi proche de la normale.
Arrêtons-nous à nouveau sur la figure du début de la leçon, qui montre la fonction de densité de la distribution normale. Le graphique de cette fonction a été obtenu en calculant un échantillon de données dans le progiciel STATISTIQUES. Sur celui-ci, les colonnes de l'histogramme représentent des intervalles de valeurs d'échantillon dont la distribution est proche (ou, comme on dit dans les statistiques, ne diffère pas significativement) du graphique de la fonction de densité de distribution normale lui-même, qui est une courbe rouge. Le graphique montre que cette courbe est bien en forme de cloche.
La distribution normale est précieuse à bien des égards, car connaissant uniquement la moyenne d'une variable aléatoire continue et l'écart type, vous pouvez calculer toute probabilité associée à cette variable.
La distribution normale a l'avantage supplémentaire d'être l'une des plus faciles à utiliser critères statistiques utilisés pour tester des hypothèses statistiques - test t de Student- ne peut être utilisé que dans le cas où les données de l'échantillon obéissent à la loi de distribution normale.
La fonction de densité de la distribution normale d'une variable aléatoire continue peut être trouvé à l'aide de la formule :
,
où X- valeur de la variable, - valeur moyenne, - écart-type, e\u003d 2,71828 ... - la base du logarithme naturel, \u003d 3,1416 ...
Propriétés de la fonction de densité de distribution normale
Les changements de moyenne déplacent la courbe en cloche dans la direction de l'axe Bœuf. Si elle augmente, la courbe se déplace vers la droite, si elle diminue, puis vers la gauche.
Si l'écart type change, la hauteur du sommet de la courbe change. Lorsque l'écart-type augmente, le sommet de la courbe est plus haut, lorsqu'il diminue, il est plus bas.
La probabilité que la valeur d'une variable aléatoire normalement distribuée tombe dans un intervalle donné
Déjà dans ce paragraphe, nous commencerons à résoudre des problèmes pratiques, dont la signification est indiquée dans le titre. Analysons les possibilités que la théorie offre pour résoudre les problèmes. Le concept de départ pour calculer la probabilité qu'une variable aléatoire normalement distribuée tombe dans un intervalle donné est la fonction intégrale de la distribution normale.
Fonction de distribution normale intégrale:
.
Cependant, il est difficile d'obtenir des tableaux pour chaque combinaison possible de moyenne et d'écart type. Par conséquent, l'un des moyens simples de calculer la probabilité qu'une variable aléatoire distribuée normalement tombe dans un intervalle donné consiste à utiliser des tables de probabilité pour une distribution normale standardisée.
Une distribution normale est appelée distribution standardisée ou normalisée., dont la valeur moyenne est , et l'écart type est .
Fonction de densité de la distribution normale standardisée:
.
Fonction cumulative de la distribution normale standardisée:
.
La figure ci-dessous montre la fonction intégrale de la distribution normale standardisée, dont le graphique a été obtenu en calculant un échantillon de données dans le progiciel STATISTIQUES. Le graphique lui-même est une courbe rouge et les valeurs de l'échantillon s'en approchent.
Pour agrandir l'image, vous pouvez cliquer dessus avec le bouton gauche de la souris.
Standardiser une variable aléatoire signifie passer des unités d'origine utilisées dans la tâche aux unités standardisées. La normalisation est effectuée selon la formule
En pratique, toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire ne sont souvent pas connues, de sorte que les valeurs de la moyenne et de l'écart type ne peuvent pas être déterminées avec précision. Ils sont remplacés par la moyenne arithmétique des observations et l'écart type s. Valeur z exprime les écarts des valeurs d'une variable aléatoire par rapport à la moyenne arithmétique lors de la mesure des écarts-types.
Intervalle ouvert
La table de probabilité pour la distribution normale standardisée, qui est disponible dans presque tous les livres de statistiques, contient les probabilités qu'une variable aléatoire ayant une distribution normale standard Z prend une valeur inférieure à un certain nombre z. Autrement dit, il tombera dans l'intervalle ouvert de moins l'infini à z. Par exemple, la probabilité que la valeur Z moins de 1,5 est égal à 0,93319.
Exemple 1 L'entreprise fabrique des pièces qui ont une durée de vie normalement distribuée avec une moyenne de 1000 et un écart type de 200 heures.
Pour une pièce choisie au hasard, calculez la probabilité que sa durée de vie soit d'au moins 900 heures.
Décision. Introduisons la première notation :
La probabilité souhaitée.
Les valeurs de la variable aléatoire sont dans l'intervalle ouvert. Mais on peut calculer la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur inférieure à une valeur donnée, et selon l'état du problème, il faut trouver une valeur égale ou supérieure à une valeur donnée. C'est l'autre partie de l'espace sous la courbe en cloche. Par conséquent, afin de trouver la probabilité souhaitée, il est nécessaire de soustraire de l'un la probabilité mentionnée que la variable aléatoire prendra une valeur inférieure au 900 spécifié :
Maintenant, la variable aléatoire doit être normalisée.
On continue en introduisant la notation :
z = (X ≤ 900)
;
X= 900 - valeur donnée d'une variable aléatoire ;
μ
= 1000 - valeur moyenne ;
σ
= 200 - écart type.
A partir de ces données, on obtient les conditions du problème :
.
Selon les tables d'une variable aléatoire standardisée (limite d'intervalle) z= −0,5 correspond à la probabilité 0,30854. Soustrayez-le de l'unité et obtenez ce qui est requis dans l'état du problème :
Ainsi, la probabilité que la durée de vie de la pièce soit d'au moins 900 heures est de 69 %.
Cette probabilité peut être obtenue à l'aide de la fonction MS Excel NORM.DIST (la valeur de la valeur intégrale est 1) :
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - LOI.NORMALE(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
À propos des calculs dans MS Excel - dans l'un des paragraphes suivants de cette leçon.
Exemple 2 Dans une certaine ville, le revenu familial annuel moyen est une variable aléatoire normalement distribuée avec une valeur moyenne de 300 000 et un écart type de 50 000. On sait que le revenu de 40 % des familles est inférieur à la valeur UN. Trouver de la valeur UN.
Décision. Dans ce problème, 40 % n'est rien de plus que la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans un intervalle ouvert inférieure à une certaine valeur, indiquée par la lettre UN.
Pour trouver la valeur UN, on compose d'abord la fonction intégrale :
Selon la tâche
μ
= 300000 - valeur moyenne ;
σ
= 50000 - écart type ;
X = UN est la valeur à trouver.
Faire l'égalité
.
D'après les tableaux statistiques, on trouve que la probabilité de 0,40 correspond à la valeur de la limite de l'intervalle z = −0,25
.
On fait donc l'égalité
et trouver sa solution :
UN = 287300
.
Réponse : le revenu de 40 % des familles est inférieur à 287 300.
Intervalle fermé
Dans de nombreux problèmes, il est nécessaire de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire normalement distribuée prenne une valeur dans l'intervalle de z 1 à z 2. C'est-à-dire qu'il tombera dans l'intervalle fermé. Pour résoudre de tels problèmes, il est nécessaire de trouver dans le tableau les probabilités correspondant aux bornes de l'intervalle, puis de trouver la différence entre ces probabilités. Cela nécessite de soustraire la plus petite valeur de la plus grande. Des exemples pour résoudre ces problèmes courants sont les suivants, et il est proposé de les résoudre vous-même, puis vous pourrez voir les bonnes solutions et réponses.
Exemple 3 Le bénéfice d'une entreprise pour une certaine période est une variable aléatoire soumise à la loi de distribution normale avec une valeur moyenne de 0,5 million d'u.m. et un écart type de 0,354. Déterminez, avec une précision de deux décimales, la probabilité que le profit de l'entreprise soit de 0,4 à 0,6 u.m.
Exemple 4 La longueur de la pièce fabriquée est une variable aléatoire distribuée selon la loi normale avec des paramètres μ
=10 et σ
=0,071 . Trouvez, avec une précision de deux décimales, la probabilité de mariage si les dimensions admissibles de la pièce devaient être de 10 ± 0,05.
Indice : dans ce problème, en plus de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle fermé (la probabilité d'obtenir une pièce non défectueuse), une action supplémentaire est requise.
permet de déterminer la probabilité que la valeur normalisée Z pas moins -z et pas plus +z, où z- une valeur choisie arbitrairement d'une variable aléatoire normalisée.
Une méthode approximative pour vérifier la normalité d'une distribution
Une méthode approximative pour vérifier la normalité de la distribution des valeurs d'échantillon est basée sur ce qui suit propriété d'une distribution normale : asymétrie β
1
et coefficient d'aplatissement β
2
zéro.
Coefficient d'asymétrie β
1
caractérise numériquement la symétrie de la distribution empirique par rapport à la moyenne. Si l'asymétrie est nulle, alors la moyenne arithmétique, la médiane et le mode sont égaux : et la courbe de densité de distribution est symétrique par rapport à la moyenne. Si le coefficient d'asymétrie est inférieur à zéro (β
1
< 0
), alors la moyenne arithmétique est inférieure à la médiane, et la médiane, à son tour, est inférieure au mode () et la courbe est décalée vers la droite (par rapport à la distribution normale). Si le coefficient d'asymétrie est supérieur à zéro (β
1
> 0
), alors la moyenne arithmétique est supérieure à la médiane, et la médiane, à son tour, est supérieure au mode () et la courbe est décalée vers la gauche (par rapport à la distribution normale).
Coefficient d'aplatissement β
2
caractérise la concentration de la distribution empirique autour de la moyenne arithmétique dans la direction de l'axe Oy et le degré de crête de la courbe de densité de distribution. Si le coefficient d'aplatissement est supérieur à zéro, alors la courbe est plus allongée (par rapport à la distribution normale) le long de l'axe Oy(le graphique est plus pointu). Si le coefficient d'aplatissement est inférieur à zéro, alors la courbe est plus aplatie (par rapport à une distribution normale) le long de l'axe Oy(le graphique est plus obtus).
Le coefficient d'asymétrie peut être calculé à l'aide de la fonction MS Excel SKRS. Si vous vérifiez un tableau de données, vous devez entrer une plage de données dans une case "Nombre".
Le coefficient d'aplatissement peut être calculé à l'aide de la fonction d'aplatissement de MS Excel. Lors de la vérification d'un tableau de données, il suffit également d'entrer la plage de données dans une case "Numéro".
Ainsi, comme nous le savons déjà, avec une distribution normale, les coefficients d'asymétrie et d'aplatissement sont égaux à zéro. Mais que se passe-t-il si nous obtenons des coefficients d'asymétrie égaux à -0,14, 0,22, 0,43 et des coefficients d'aplatissement égaux à 0,17, -0,31, 0,55 ? La question est tout à fait juste, car dans la pratique, nous n'avons affaire qu'à des valeurs approximatives et sélectives d'asymétrie et d'aplatissement, qui sont soumises à une dispersion inévitable et incontrôlable. Il est donc impossible d'exiger une égalité stricte de ces coefficients à zéro, ils doivent seulement être suffisamment proches de zéro. Mais que signifie assez ?
Il est nécessaire de comparer les valeurs empiriques reçues avec les valeurs admissibles. Pour ce faire, vous devez vérifier les inégalités suivantes (comparer les valeurs des coefficients modulo avec les valeurs critiques - les limites de la zone de test d'hypothèse).
Pour le coefficient d'asymétrie β
1
.
) joue un rôle particulièrement important dans la théorie des probabilités et est le plus souvent utilisé pour résoudre des problèmes pratiques. Sa principale caractéristique est qu'il s'agit de la loi limite, qui est approchée par d'autres lois de distribution dans des conditions typiques très courantes. Par exemple, la somme d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes (ou faiblement dépendantes) obéit approximativement à la loi normale, et celle-ci est d'autant plus précise que plus les variables aléatoires sont sommées.
Il a été prouvé expérimentalement que les erreurs de mesure, les écarts dans les dimensions géométriques et les positions des éléments des structures de construction lors de leur fabrication et de leur installation, la variabilité des caractéristiques physiques et mécaniques des matériaux et les charges agissant sur les structures de construction sont soumises à la loi normale.
Presque toutes les variables aléatoires obéissent à la distribution gaussienne, dont l'écart par rapport aux valeurs moyennes est causé par un grand nombre de facteurs aléatoires, dont chacun est individuellement insignifiant (théorème central limite).
distribution normale appelée la distribution d'une variable continue aléatoire dont la densité de probabilité a la forme (Fig. 18.1).
Riz. 18.1. Loi de distribution normale pour un 1< a 2 .
où a et sont les paramètres de distribution.
Les caractéristiques probabilistes d'une variable aléatoire distribuée selon la loi normale sont :
Espérance mathématique (18.2)
Dispersion (18.3)
Écart type (18,4)
Coefficient d'asymétrie A = 0(18.5)
Excès E= 0. (18.6)
Le paramètre σ inclus dans la distribution gaussienne est égal au rapport racine-carré moyen d'une variable aléatoire. Valeur un détermine la position du centre de distribution (voir Fig. 18.1), et la valeur un- largeur de distribution (Fig. 18.2), c'est-à-dire dispersion statistique autour de la moyenne.
Riz. 18.2. Loi de distribution normale pour σ 1< σ 2 < σ 3
La probabilité de tomber dans un intervalle donné (de x 1 à x 2) pour une distribution normale, comme dans tous les cas, est déterminée par l'intégrale de la densité de probabilité (18.1), qui n'est pas exprimée en termes de fonctions élémentaires et est représenté par une fonction spéciale, appelée fonction de Laplace (intégrale des probabilités).
Une des représentations de l'intégrale de probabilité :
Valeur et appelé quantile.
On peut voir que Ф(х) est une fonction impaire, c'est-à-dire Ф(-х) = -Ф(х) .
Les valeurs de cette fonction sont calculées et présentées sous forme de tableaux dans la littérature technique et pédagogique.
La fonction de distribution de la loi normale (Fig. 18.3) peut être exprimée en termes d'intégrale de probabilité :
Riz. 18.2. La fonction de la loi de distribution normale.
La probabilité qu'une variable aléatoire distribuée selon la loi normale tombe dans l'intervalle de X.à x, est déterminé par l'expression :
Il convient de noter que
Ф(0) = 0 ; Ф(∞) = 0,5 ; Ф(-∞) = -0,5.
Lors de la résolution de problèmes pratiques liés à la distribution, il faut souvent considérer la probabilité de tomber dans un intervalle symétrique par rapport à l'espérance mathématique, si la longueur de cet intervalle, c'est-à-dire si l'intervalle lui-même a une frontière de à , nous avons :
Lors de la résolution de problèmes pratiques, les limites des écarts de variables aléatoires sont exprimées par la norme, l'écart type, multiplié par un certain facteur qui détermine les limites de la zone d'écarts d'une variable aléatoire.
En prenant et en utilisant également la formule (18.10) et le tableau F (x) (Annexe n° 1), on obtient
Ces formules montrent que si une variable aléatoire a une distribution normale, alors la probabilité de son écart par rapport à sa valeur moyenne de pas plus de σ est de 68,27 %, pas plus de 2σ - 95,45 % et pas plus de 3σ - 99,73 %.
Puisque la valeur de 0,9973 est proche de l'unité, il est pratiquement impossible que la distribution normale d'une variable aléatoire s'écarte de l'espérance mathématique de plus de 3σ. Cette règle, qui n'est valable que pour une distribution normale, est appelée la règle des trois sigma. La violation de celui-ci est probable P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Cette règle est utilisée lors de la définition des limites des écarts admissibles des tolérances des caractéristiques géométriques des produits et des structures.
Aléatoire si, du fait de l'expérience, il peut prendre des valeurs réelles avec certaines probabilités. La caractéristique la plus complète et exhaustive d'une variable aléatoire est la loi de distribution. La loi de distribution est une fonction (tableau, graphique, formule) qui permet de déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire X prenne une certaine valeur xi ou tombe dans un certain intervalle. Si une variable aléatoire a une loi de distribution donnée, alors on dit qu'elle est distribuée selon cette loi ou obéit à cette loi de distribution.
Tout le monde droit de la distribution est une fonction qui décrit complètement une variable aléatoire d'un point de vue probabiliste. En pratique, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X doit souvent être jugée uniquement par les résultats des tests.
Distribution normale
Distribution normale, également appelée distribution gaussienne, est une distribution de probabilité qui joue un rôle crucial dans de nombreux domaines de la connaissance, notamment en physique. Une grandeur physique obéit à une distribution normale lorsqu'elle est influencée par un grand nombre de bruits aléatoires. Il est clair que cette situation est extrêmement courante, nous pouvons donc dire que de toutes les distributions, c'est la distribution normale qui se produit le plus souvent dans la nature - d'où l'un de ses noms.
La distribution normale dépend de deux paramètres - le déplacement et l'échelle, c'est-à-dire que d'un point de vue mathématique, ce n'est pas une distribution, mais toute une famille d'entre eux. Les valeurs des paramètres correspondent aux valeurs moyennes (espérance mathématique) et étendues (écart type).
La distribution normale standard est une distribution normale de moyenne 0 et d'écart type 1.
Coefficient d'asymétrie
Le coefficient d'asymétrie est positif si la queue droite de la distribution est plus longue que la gauche, et négatif sinon.
Si la distribution est symétrique par rapport à l'espérance mathématique, alors son coefficient d'asymétrie est égal à zéro.
Le coefficient d'asymétrie de l'échantillon est utilisé pour tester la distribution pour la symétrie, ainsi que pour un test préliminaire approximatif de normalité. Elle permet de rejeter, mais ne permet pas d'accepter l'hypothèse de normalité.
Coefficient d'aplatissement
Le coefficient d'aplatissement (coefficient de netteté) est une mesure de la netteté du pic de la distribution d'une variable aléatoire.
"Moins trois" à la fin de la formule est introduit de sorte que le coefficient d'aplatissement de la distribution normale soit égal à zéro. Il est positif si le pic de la distribution près de la valeur attendue est net et négatif si le pic est lisse.
Moments d'une variable aléatoire
Le moment d'une variable aléatoire est une caractéristique numérique de la distribution d'une variable aléatoire donnée.
