Nous avons dit qu'une courbe algébrique du second ordre est déterminée par une équation algébrique du second degré par rapport à N.-É. et à... Sous sa forme générale, une telle équation s'écrit sous la forme

UNE N.-É. 2 + B hein+ C à 2 + D X+ E oui+ F = 0, (6)

de plus, А 2 + В 2 + С 2 0 (i.e. en même temps les nombres А, В, С ne disparaissent pas). Termes A N.-É. 2, B hein, AVEC à 2 sont appelés les termes supérieurs de l'équation, le nombre

appelé discriminant de cette équation. L'équation (6) est appelée équation générale courbe du second ordre.

Pour les courbes considérées précédemment, on a :

Ellipse: A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

cercle N.-É. 2 + à 2 = une 2 A = C = 1, B = D = E = 0, F = - une 2, d = 1> 0 ;

Hyperbole: A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Parabole: à 2 = 2pixels A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

N.-É. 2 = 2RU A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Les courbes données par l'équation (6) sont appelées central courbes si d¹0. Si d> 0, alors la courbe elliptique tapez si d<0, то кривая hyperbolique taper. Courbes pour lesquelles d = 0 sont des courbes parabolique taper.

Il est prouvé que la droite du second ordre dans tout Le système de coordonnées cartésiennes est donné par une équation algébrique du second ordre. Ce n'est que dans un système que l'équation a une forme complexe (par exemple, (6)), et dans l'autre, elle est plus simple, par exemple, (5). Par conséquent, il est commode de considérer un système de coordonnées dans lequel la courbe étudiée est écrite par l'équation la plus simple (par exemple, canonique). La transition d'un système de coordonnées, dans lequel la courbe est donnée par une équation de la forme (6) à un autre, où son équation a une forme plus simple, est appelée transformation de coordonnées.

Considérons les principaux types de transformations de coordonnées.

JE. Porter la transformation axes de coordonnées (avec préservation de la direction). Soit dans le système de coordonnées d'origine XOU le point M a des coordonnées ( N.-É., àN.-É.¢, à). On peut voir sur le dessin que les coordonnées du point M dans différents systèmes sont liées par les rapports

(7) ou (8).

Les formules (7) et (8) sont appelées formules de transformation de coordonnées.

II. Transformation de rotation axes de coordonnées à un angle a. Si le point M a des coordonnées ( N.-É., à), et dans le nouveau système de coordonnées XO ¢ Y il a des coordonnées ( N.-É.¢, à). Ensuite, le lien entre ces coordonnées est exprimé par les formules

, (9)

ou

En transformant les coordonnées, l'équation (6) peut être réduite à l'une des suivantes canoniqueéquations.

1) - ellipse,

2) - hyperbole,

3) à 2 = 2pixels, N.-É. 2 = 2RU- parabole

4) une 2 N.-É. 2 – b 2 oui 2 = 0 - une paire de lignes droites sécantes (Fig. A)

5) oui 2 – une 2 = 0 - une paire de droites parallèles (Fig. B)

6) X 2 –une 2 = 0 - une paire de droites parallèles (Fig. C)

7) oui 2 = 0 - droites coïncidentes (axe OX)

8) x 2 = 0 - lignes droites coïncidentes (axe OU)

9) un 2 N.-É. 2 + b 2 oui 2 = 0 - point (0, 0)

10) ellipse imaginaire

11) oui 2 + une 2 = 0 - une paire de lignes imaginaires

12) x 2 + une 2 = 0 est une paire de lignes imaginaires.

Chacune de ces équations est une équation de ligne du second ordre. Les droites définies par les équations 4 à 12 sont appelées dégénérer courbes du second ordre.

Considérez des exemples de conversion de l'équation générale d'une courbe en forme canonique.

1) 9N.-É. 2 + 4à 2 – 54N.-É. + 8à+ 49 = 0 (9 N.-É. 2 – 54N.-É.) + (4à 2 + 8à) + 49 = 0

9(N.-É. 2 – 6N.-É.+ 9) + 4(à 2 + 2à+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 9 ( N.-É. –3) 2 + 4(à+ 1) = 36,

.

nous mettons N.-É.¢ = N.-É. – 3, ࢠ= à+ 1, on obtient l'équation canonique de l'ellipse ... Égalité N.-É.¢ = N.-É. – 3, ࢠ= à+ 1 définit la transformation du transfert du repère vers le point (3, –1). Après avoir construit l'ancien et le nouveau système de coordonnées, il n'est pas difficile de dessiner cette ellipse.

2) 3à 2 +4N.-É.– 12à+8 = 0. Transformer :

(3à 2 – 12à)+ 4 N.-É.+8 = 0

3(à 2 – 4à+4) - 12 + 4 N.-É. +8 = 0

3(oui - 2) 2 + 4(N.-É. –1) = 0

(à – 2) 2 = – (N.-É. – 1) .

nous mettons N.-É.¢ = N.-É. – 1, ࢠ= à- 2, on obtient l'équation de la parabole à 2 = - N.-É.. Le remplacement choisi correspond au transfert du repère au point O ¢ (1,2).

Dans cet article, nous examinerons l'équation générale d'une droite sur un plan. Donnons des exemples de construction de l'équation générale d'une droite si deux points de cette droite sont connus ou si un point et le vecteur normal de cette droite sont connus. Présentons les méthodes de transformation de l'équation sous forme générale en formes canoniques et paramétriques.

Soit un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires Oxy... Considérons une équation du premier degré ou une équation linéaire :

où A, B, C- quelques constantes, et au moins un des éléments UNE et B non nul.

Nous allons montrer qu'une équation linéaire dans un plan définit une droite. Démontrons le théorème suivant.

Théorème 1. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires sur un plan, chaque ligne droite peut être spécifiée par une équation linéaire. Inversement, chaque équation linéaire (1) dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires sur un plan définit une ligne droite.

Preuve. Il suffit de prouver que la ligne L est déterminé par une équation linéaire pour tout système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, puisqu'alors il sera déterminé par une équation linéaire et pour tout choix d'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Soit une droite sur le plan L... Choisissons un système de coordonnées pour que l'axe Bœuf coïncidait avec une droite L et l'axe Oy lui était perpendiculaire. Alors l'équation de la droite L prendra la forme suivante :

Tous les points sur une ligne droite L satisfera l'équation linéaire (2), et tous les points en dehors de cette ligne droite ne satisferont pas l'équation (2). La première partie du théorème est démontrée.

Soit un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes et soit une équation linéaire (1), où au moins un des éléments UNE et B non nul. Trouvons le lieu des points dont les coordonnées satisfont à l'équation (1). Étant donné qu'au moins un des coefficients UNE et B diffère de zéro, alors l'équation (1) a au moins une solution M(X 0 ,oui 0). (Par exemple, pour UNE 0, pointe M 0 (−CALIFORNIE, 0) appartient au lieu des points donné). En substituant ces coordonnées en (1), on obtient l'identité

Soustrayons l'identité (3) de (1) :

Évidemment, l'équation (4) est équivalente à l'équation (1). Il suffit donc de prouver que (4) définit une ligne.

Puisque nous considérons un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, il résulte de l'égalité (4) qu'un vecteur avec des composantes ( x − x 0 , oui − oui 0) est orthogonal au vecteur m avec coordonnées ( UN B}.

Considérez une ligne droite L passant par le point M 0 (X 0 , oui 0) et perpendiculaire au vecteur m(Fig. 1). Laissez le point M(X, y) appartient à la droite L... Alors le vecteur de coordonnées x − x 0 , oui − oui 0 perpendiculaire m et l'équation (4) est satisfaite (produit scalaire des vecteurs m et est égal à zéro). Retour si point M(X, y) ne se trouve pas sur la ligne droite L, alors le vecteur de coordonnées x − x 0 , oui − oui 0 n'est pas orthogonal au vecteur m et l'équation (4) n'est pas satisfaite. Le théorème est démontré.

Preuve. Puisque les lignes (5) et (6) définissent la même ligne, les vecteurs normaux m 1 ={UNE 1 ,B 1) et m 2 ={UNE 2 ,B 2) sont colinéaires. Puisque les vecteurs m 1 ≠0, m 2 0, alors il existe un nombre λ , Quel m 2 =m 1 λ ... On a donc : UNE 2 =UNE 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Prouvons que C 2 =C 1 λ ... De toute évidence, les lignes coïncidentes ont un point commun M 0 (X 0 , oui 0). Multiplier l'équation (5) par λ et en en soustrayant l'équation (6) on obtient :

Puisque les deux premières égalités des expressions (7) sont satisfaites, alors C 1 λ −C 2 = 0. Celles. C 2 =C 1 λ ... La remarque est prouvée.

A noter que l'équation (4) définit l'équation de la droite passant par le point M 0 (X 0 , oui 0) et ayant un vecteur normal m={UN B). Par conséquent, si le vecteur normal de la droite et le point appartenant à cette droite sont connus, alors il est possible de construire l'équation générale de la droite à l'aide de l'équation (4).

Exemple 1. Une droite passe par un point M= (4, −1) et a un vecteur normal m= (3, 5). Construire l'équation générale de la droite.

Solution. Nous avons: X 0 =4, oui 0 =−1, UNE=3, B= 5. Pour construire une équation générale d'une droite, on substitue ces valeurs dans l'équation (4) :

Réponse:

Le vecteur est parallèle à la droite L et, par conséquent, est perdiculaire au vecteur normal de la ligne droite L... Construisons un vecteur normal d'une droite L, en tenant compte du fait que le produit scalaire des vecteurs m et est égal à zéro. On peut écrire, par exemple, m={1,−3}.

Pour construire l'équation générale de la droite, nous utiliserons la formule (4). Substituer en (4) les coordonnées du point M 1 (on peut aussi prendre les coordonnées du point M 2) et vecteur normal m:

Substitution des coordonnées des points M 1 et M 2 en (9) nous pouvons nous assurer que la droite donnée par l'équation (9) passe par ces points.

Réponse:

Soustraire (10) de (1) :

Nous avons obtenu l'équation canonique de la droite. Vecteur q={−B, UNE) est le vecteur directeur de la droite (12).

Voir transformation inverse.

Exemple 3. Une droite sur un plan est représentée par l'équation générale suivante :

Déplacez le deuxième terme vers la droite et divisez les deux membres de l'équation par 2 · 5.

Courbe du second ordre- lieu des points sur un plan, coordonnées rectangulaires

qui satisfont une équation de la forme :

dans laquelle au moins un des coefficients un 11, un 12, un 22 n'est pas nul.

Invariants des courbes du second ordre.

La forme de la courbe dépend de 4 invariants donnés ci-dessous :

Invariants de rotation et de translation du repère :

Invariant par rapport à la rotation du système de coordonnées ( semi-invariant):

Pour étudier les courbes du second ordre, considérons le produit A * C.

Général équation de la courbe du second ordre Ressemble à ça:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Si A * C> 0 type elliptique... Tout elliptique

une équation est une équation d'une ellipse ordinaire, ou d'une ellipse dégénérée (point), ou d'un imaginaire

une ellipse (dans ce cas, l'équation ne définit pas une seule image géométrique sur le plan) ;

Si A * C< 0 , alors l'équation prend la forme de l'équation type hyperbolique... Tout hyperbolique

l'équation exprime soit une hyperbole simple, soit une hyperbole dégénérée (deux droites sécantes) ;

Si A * C = 0, alors la ligne de second ordre ne sera pas centrale. Les équations de ce type sont appelées

équations type parabolique et exprimer sur un plan soit une parabole simple, soit 2 parallèles

(soit coïncidant) des lignes droites, ou n'expriment aucune image géométrique sur le plan ;

Si A * C 0, la courbe du second ordre sera

L'équation générale de la courbe du second ordre dans le plan est :

Hache 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Hé + F = 0, (39)

où UNE 2 + B 2 + C 2 0, (UNE, B, C, ré, E, F) R... Il définit toutes les sections coniques possibles qui sont arbitrairement situées sur le plan.

A partir des coefficients de l'équation (39), on compose deux déterminants :

Appelé le discriminant de l'équation(39), et - le discriminant des termes dominants de l'équation. A 0, l'équation (39) détermine : > 0 - ellipse ;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

De l'équation générale (39), vous pouvez passer à l'équation canonique si vous excluez les termes linéaires et croisés en passant à un nouveau système de coordonnées qui coïncide avec les axes de symétrie de la figure. Remplacer dans (39) X au X + une et oui au oui + b, où une, b quelques constantes. Écrivons les coefficients obtenus pour N.-É. et oui et les assimiler à 0

(Aa + Sib + ré)X = 0, (Cb + Ba + E)oui = 0. (41)

En conséquence, l'équation (39) prendra la forme :

UNE(X) 2 + 2B(X)(oui) + C(oui) 2 + F = 0, (42)

où les coefficients UNE, B, C n'ont pas changé, mais F= /. La solution du système d'équations (41) déterminera les coordonnées du centre de symétrie de la figure :

Si B= 0, alors une = -ré/UNE, b = -E/C et il convient d'exclure les termes linéaires de (39) par la méthode de réduction au carré parfait :

Hache 2 + 2Dx = UNE(X 2 + 2xD/UNE + (ré/UNE) 2 - (ré/UNE) 2) = UNE(X + ré/UNE) 2 - ré 2 /UNE.

Dans l'équation (42), nous allons faire pivoter les coordonnées de l'angle a (38). Écrivons le coefficient obtenu au terme croisé Xoui et l'assimiler à 0

xy = 0. (44)

La condition (44) détermine l'angle de rotation requis des axes de coordonnées jusqu'à ce qu'ils coïncident avec les axes de symétrie de la figure et prend la forme :

L'équation (42) prend la forme :

UNE+ X 2 + C + Oui 2 + F = 0 (46)

d'où il est facile de passer à l'équation canonique de la courbe :

Chances UNE + , C+, sous réserve de (45), peut être représenté comme les racines d'une équation quadratique auxiliaire :

t 2 - (UNE + C)t + = 0. (48)

En conséquence, la position et la direction des axes de symétrie de la figure, son demi-axe ont été déterminés:

et il peut être construit géométriquement.

Dans le cas = 0, nous avons une parabole. Si son axe de symétrie est parallèle à l'axe Oh, alors l'équation se réduit à la forme :

sinon, sous la forme :

où les expressions entre parenthèses, égales à 0, définissent les lignes des nouveaux axes de coordonnées :,.

Résoudre des tâches typiques

Exemple 15.Équation 2 X 2 + 3oui 2 - 4X + 6oui- 7 = 0 à la forme canonique et construire une courbe.

Solution. B= 0, = -72 0, = 6> 0 ellipse.

Effectuons la réduction à un carré complet :

2(X - 1) 2 + 3(oui + 1) 2 - 12 = 0.

Centre de coordonnées de symétrie (1; -1), transformation linéaire X = X - 1, Oui = oui+ 1 amène l'équation à la forme canonique.

Exemple 16.Équation 2 xy = une 2 à la forme canonique et construire une courbe.

Solution. B = 1, = une 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Le centre du système de coordonnées est au centre de symétrie de la courbe ; il n'y a pas de termes linéaires dans l'équation. Faisons pivoter les axes selon l'angle a. Par la formule (45), on a tan2a = B/(UNE - C) =, c'est-à-dire a = 45°. Les coefficients de l'équation canonique (46) UNE + , C+ sont déterminés par l'équation (48): t 2 = 1 ou t 1,2 = 1 UNE + = 1, C+ = -1, c'est-à-dire
X 2 - Oui 2 = une 2 ou. Ainsi, l'équation 2 hein = une 2 décrit une hyperbole avec le centre de symétrie à (0; 0). Les axes de symétrie sont situés le long des bissectrices des angles de coordonnées, les axes de coordonnées sont les asymptotes, les demi-axes de l'hyperbole sont égaux une.y - 9 = 0 ;

9X 2 + oui 2 - 18X + 2oui + 1 = 0;

2X 2 + 4N.-É. + oui - 2 = 0;

3X 2 - 6N.-É. - oui + 2 = 0;

- X 2 + 4oui 2 - 8X - 9oui + 16 = 0;

4X 2 + 8N.-É. - oui - 5 = 0;

9X 2 - oui 2 + 18X + 2oui - 1 = 0;

9X 2 - 4oui 2 + 36X + 16oui - 16 = 0.

On établit un repère rectangulaire sur le plan et on considère l'équation générale du second degré

dans lequel
.

L'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation (8.4.1) est appelé courbé (ligne) deuxième ordre.

Pour toute courbe du second ordre, il existe un repère rectangulaire, dit canonique, dans lequel l'équation de cette courbe a l'une des formes suivantes :

1)
(ellipse);

2)
(ellipse imaginaire);

3)
(une paire de lignes d'intersection imaginaires);

4)
(hyperbole);

5)
(une paire de lignes sécantes);

6)
(parabole);

7)
(une paire de lignes parallèles);

8)
(une paire de lignes parallèles imaginaires);

9)
(une paire de lignes droites coïncidentes).

Les équations 1) –9) sont appelées équations canoniques des courbes du second ordre.

La solution au problème de la réduction de l'équation d'une courbe du second ordre à la forme canonique consiste à trouver l'équation canonique de la courbe et le système de coordonnées canoniques. La canonisation vous permet de calculer les paramètres d'une courbe et de déterminer son emplacement par rapport au système de coordonnées d'origine. Transition à partir du système de coordonnées rectangulaires d'origine
au canonique
s'effectue en faisant tourner les axes du système de coordonnées d'origine autour d'un point O par un certain angle et une translation parallèle subséquente du système de coordonnées.

Par les invariants d'une courbe du second ordre(8.4.1) de telles fonctions des coefficients de son équation sont appelées, dont les valeurs ne changent pas lors du passage d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre du même système.

Pour la courbe du second ordre (8.4.1), la somme des coefficients aux carrés des coordonnées

,

déterminant composé des coefficients aux termes les plus élevés

et le déterminant du troisième ordre

sont des invariants.

La valeur des invariants s, ,  permet de déterminer le type et de composer l'équation canonique d'une courbe du second ordre (tableau 8.1).

Tableau 8.1

Classification des courbes du second ordre basée sur des invariants

Considérons plus en détail l'ellipse, l'hyperbole et la parabole.

Ellipse(Fig. 8.1) est appelé le lieu des points du plan, pour lequel la somme des distances à deux points fixes
cet avion, appelé foyers d'une ellipse, il existe une valeur constante (supérieure à la distance entre les foyers). Ceci n'exclut pas la coïncidence des foyers de l'ellipse. Si les focus correspondent, alors l'ellipse est un cercle.

La demi-somme des distances entre le point de l'ellipse et ses foyers est notée une, la moitié de la distance entre les foyers - avec... Si un système de coordonnées rectangulaires sur le plan est choisi de telle sorte que les foyers de l'ellipse soient situés sur l'axe OX symétriquement par rapport à l'origine, alors dans ce système de coordonnées l'ellipse est donnée par l'équation

, (8.4.2)

appelé l'équation de l'ellipse canonique, où
.

Riz. 8.1

Avec le choix spécifié d'un système de coordonnées rectangulaires, l'ellipse est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et à l'origine. Les axes de symétrie de l'ellipse l'appellent essieux, et le centre de symétrie - le centre de l'ellipse... Dans le même temps, les nombres 2 sont souvent appelés axes de l'ellipse. une et 2 b et les nombres une et b – gros et demi-petit axe respectivement.

Les points d'intersection de l'ellipse avec ses axes sont appelés les sommets de l'ellipse... Les sommets de l'ellipse ont des coordonnées ( une, 0), (–une, 0), (0, b), (0, –b).

Ellipse d'excentricité appelé le numéro

. (8.4.3)

Depuis 0 c < une, excentricité de l'ellipse 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

On voit donc que l'excentricité caractérise la forme de l'ellipse : plus  est proche de zéro, plus l'ellipse ressemble à un cercle ; avec l'augmentation de , l'ellipse devient plus allongée.

Laisser être
- un point quelconque de l'ellipse,
et
- distance du point M avant les tours F 1 et F 2 respectivement. Les nombres r 1 et r 2 s'appellent rayons de foyer M ellipse et sont calculés par les formules

Directrices autre qu'un cercle ellipse avec l'équation canonique (8.4.2) sont deux droites

.

La directrice de l'ellipse est située à l'extérieur de l'ellipse (Fig. 8.1).

Rapport de rayon focal pointsMellipse à distance  cette ellipse (le foyer et la directrice sont considérés comme appropriés s'ils sont du même côté du centre de l'ellipse).

Hyperbole(Fig. 8.2) est appelé le lieu des points du plan pour lequel le module de la différence entre les distances à deux points fixes et cet avion, appelé foyers d'hyperbole, il existe une valeur constante (différente de zéro et inférieure à la distance entre les foyers).

Soit la distance entre les foyers de 2 avec, et le module indiqué de la différence de distance est 2 une... Choisissons un système de coordonnées rectangulaires de la même manière que pour une ellipse. Dans ce système de coordonnées, l'hyperbole est donnée par l'équation

, (8.4.4)

appelé l'équation de l'hyperbole canonique, où
.

Riz. 8.2

Avec ce choix d'un système de coordonnées rectangulaires, les axes de coordonnées sont les axes de symétrie de l'hyperbole, et l'origine est son centre de symétrie. Les axes de symétrie de l'hyperbole l'appellent essieux, et le centre de symétrie est centre d'hyperbole... Rectangle avec côtés 2 une et 2 b situé comme indiqué sur la fig. 8.2 s'appelle le rectangle principal de l'hyperbole... Numéros 2 une et 2 b Sont les axes de l'hyperbole, et les nombres une et b- sa demi-arbres... Les lignes qui prolongent les diagonales du rectangle principal forment asymptote hyperbole

.

Points d'intersection de l'hyperbole avec l'axe Bœuf sont appelés les sommets de l'hyperbole... Les sommets de l'hyperbole ont des coordonnées ( une, 0), (–une, 0).

Excentricité de l'hyperbole appelé le numéro

. (8.4.5)

Dans la mesure où avec > une, l'excentricité de l'hyperbole > 1. On réécrit l'égalité (8.4.5) sous la forme

.

Par conséquent, on peut voir que l'excentricité caractérise la forme du rectangle principal et, par conséquent, la forme de l'hyperbole elle-même : plus  est petit, plus le rectangle principal s'étire, et ensuite l'hyperbole elle-même le long de l'axe Bœuf.

Laisser être
- un point quelconque de l'hyperbole,
et
- distance du point M avant les tours F 1 et F 2 respectivement. Les nombres r 1 et r 2 s'appellent rayons de foyer M hyperbole et sont calculés par les formules

Directrices hyperbole avec l'équation canonique (8.4.4) sont deux droites

.

Les directrices de l'hyperbole coupent le rectangle principal et passent entre le centre et le sommet correspondant de l'hyperbole (Fig. 8.2).

O rapport de rayon focal pointsM hyperbole à distance de ce point au foyer correspondant la directrice est égale à l'excentricité de cette hyperbole (le foyer et la directrice sont considérés comme appropriés s'ils sont situés du même côté du centre de l'hyperbole).

Parabole(Fig. 8.3) est appelé le lieu des points du plan pour lesquels la distance à un point fixe F (parabole de mise au point) de ce plan est égale à la distance à une droite fixe ( directrice de la parabole), également situé dans le plan considéré.

Choisissons le début O système de coordonnées rectangulaires au milieu du segment [ FD], qui est un flou perpendiculaire Fà la directrice (on suppose que le foyer n'appartient pas à la directrice), et l'axe Bœuf et Oy directe comme le montre la fig. 8.3. Soit la longueur du segment [ FD] est égal à p... Puis dans le système de coordonnées choisi
et équation de parabole canonique a la forme

. (8.4.6)

La quantité p appelé paramètre de parabole.

La parabole a un axe de symétrie appelé axe de la parabole... Le point d'intersection d'une parabole avec son axe est appelé sommet d'une parabole... Si la parabole est donnée par son équation canonique (8.4.6), alors l'axe de la parabole est l'axe Bœuf... Évidemment, le sommet de la parabole est l'origine.

Exemple 1. Point UNE= (2, –1) appartient à l'ellipse, le point F= (1, 0) est son foyer, correspondant F la directrice est donnée par l'équation
... Égalisez cette ellipse.

Solution. Nous supposerons que le système de coordonnées est rectangulaire. puis la distance du point UNEà la directrice
conformément à la relation (8.1.8), dans laquelle


, équivaut à

.

Distance du point UNE se concentrer Féquivaut à

,

qui permet de déterminer l'excentricité de l'ellipse

.

Laisser être M = (X, oui) Est un point arbitraire de l'ellipse. puis la distance
du point Mà la directrice
par la formule (8.1.8) est égal à

et la distance du point M se concentrer Féquivaut à

.

Puisque pour tout point de l'ellipse le rapport est une valeur constante égale à l'excentricité de l'ellipse, on a donc

,

Exemple 2. La courbe est donnée par l'équation

dans un système de coordonnées rectangulaires. Trouvez le système de coordonnées canoniques et l'équation canonique de cette courbe. Déterminer le type de courbe.

Solution. Forme quadratique
a une matrice

.

Son polynôme caractéristique

a pour racines  1 = 4 et  2 = 9. Donc, dans la base orthonormée des vecteurs propres de la matrice UNE la forme quadratique considérée a la forme canonique

.

Procédons à la construction d'une matrice de transformation orthogonale des variables, qui réduit la forme quadratique considérée à la forme canonique indiquée. Pour cela, nous construirons des systèmes fondamentaux de solutions à des systèmes homogènes d'équations
et les orthonormaliser.

À
ce système a la forme

Sa solution générale est
... Il y a une variable libre ici. Par conséquent, le système fondamental de décisions se compose d'un vecteur, par exemple, du vecteur
... En le normalisant, on obtient le vecteur

.

À
aussi construire un vecteur

.

Vecteurs et sont déjà orthogonales, puisqu'elles renvoient à différentes valeurs propres de la matrice symétrique UNE... Ils constituent la base orthonormée canonique de la forme quadratique donnée. La matrice orthogonale requise (matrice de rotation) est construite à partir des colonnes de leurs coordonnées

.

Vérifions l'exactitude de trouver la matrice R selon la formule
, où
- matrice de forme quadratique dans la base
:

Matrice R trouvé correctement.

Effectuons la transformation des variables

et écrire l'équation de cette courbe dans un nouveau système de coordonnées rectangulaires avec les anciens vecteurs centre et direction
:

où
.

Reçu l'équation canonique de l'ellipse

.

En raison du fait que la transformation résultante des coordonnées rectangulaires est déterminée par les formules

,

,

système de coordonnées canoniques
a un commencement
et vecteurs de guidage
.

Exemple 3. En utilisant la théorie invariante, déterminez le type et écrivez l'équation canonique de la courbe

Solution. Dans la mesure où

,

conformément au tableau. 8.1, nous concluons qu'il s'agit d'une hyperbole.

Puisque s = 0, le polynôme caractéristique d'une matrice de forme quadratique

Ses racines
et
permet d'écrire l'équation canonique de la courbe

où AVEC se trouve à partir de la condition

,

.

L'équation canonique désirée de la courbe

.

Dans les tâches de cette section, les coordonnéesX, ouisont supposés rectangulaires.

8.4.1. Pour les ellipses
et
trouve:

a) demi-axes ;

b) trucs;

c) excentricité ;

d) équations directrice.

8.4.2. Faire les équations d'une ellipse, connaissant son foyer
correspondant au directeur X= 8 et excentricité ... Trouvez le deuxième foyer et la deuxième directrice de l'ellipse.

8.4.3. Égaliser une ellipse dont le foyer est aux coordonnées (1, 0) et (0, 1), et le grand axe est deux.

8.4.4. Hyperbole donnée
... Trouve:

a) demi-axes une et b;

b) trucs;

c) excentricité ;

d) les équations des asymptotes ;

e) équations directrice.

8.4.5. Hyperbole donnée
... Trouve:

a) demi-axes une et b;

b) trucs;

c) excentricité ;

d) les équations des asymptotes ;

e) équations directrice.

8.4.6. Point
appartient à l'hyperbole dont le foyer est
, et la directrice correspondante est donnée par l'équation
... Égalisez cette hyperbole.

8.4.7. Égaliser une parabole si son foyer est donné
et la directrice
.

8.4.8. Étant donné le sommet de la parabole
et l'équation directrice
... Égalisez cette parabole.

8.4.9. Égaliser une parabole dont le foyer est en un point

et la directrice est donnée par l'équation
.

8.4.10. Égaliser une courbe du second ordre, connaissant son excentricité
, se concentrer
et le directeur correspondant
.

8.4.11. Déterminez le type de la courbe du second ordre, écrivez son équation canonique et trouvez le système de coordonnées canonique :

G)
;

8.4.12.

est une ellipse. Trouver les longueurs des demi-axes et l'excentricité de cette ellipse, les coordonnées du centre et des foyers, faire les équations des axes et de la directrice.

8.4.13. Montrer que la courbe du second ordre donnée par l'équation

est une hyperbole. Trouver les longueurs des demi-axes et l'excentricité de cette hyperbole, les coordonnées du centre et des foyers, faire les équations des axes, directrices et asymptotes.

8.4.14. Montrer que la courbe du second ordre donnée par l'équation

,

est une parabole. Trouvez le paramètre de cette parabole, les coordonnées des sommets et du foyer, faites les équations pour l'axe et la directrice.

8.4.15. Apportez chacune des équations suivantes sous une forme canonique. Tracez la courbe de second ordre correspondante dans le dessin par rapport au système de coordonnées rectangulaires d'origine :

8.4.16. En utilisant la théorie invariante, déterminez le type et écrivez l'équation canonique de la courbe.