Décimal fraction- variété fractions, qui a un nombre "arrondi" au dénominateur : 10, 100, 1000, etc., Par exemple, fraction 5/10 a une notation décimale de 0,5. Sur la base de ce principe, fraction peut être représenté dans la forme décimal fractions.

Instructions

Disons que vous devez vous soumettre à la forme décimal fraction 18/25.
Vous devez d'abord vous assurer que l'un des nombres "ronds" apparaît au dénominateur : 100, 1000, etc. Pour ce faire, vous devez multiplier le dénominateur par 4. Mais vous devez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par 4.

En multipliant le numérateur et le dénominateur fractions 18/25 par 4 est 72/100. Cette fraction en décimal la forme donc : 0,72.

Une fraction en mathématiques est un nombre rationnel égal à une ou plusieurs parties en lesquelles on est divisé. Dans ce cas, l'enregistrement de la fraction doit contenir une indication de deux nombres: l'un d'eux indique exactement en combien de fractions l'unité a été divisée lors de la création de cette fraction, et l'autre - combien de ces fractions incluent le nombre fractionnaire. Si ces deux nombres sont écrits sous la forme d'un numérateur et d'un dénominateur séparés par une barre, alors ce format est appelé une fraction "ordinaire". Cependant, il existe un autre format pour écrire des fractions appelé "décimal".

La forme à trois étages d'écriture des nombres, dans laquelle le dénominateur est situé au-dessus du numérateur, et il y a aussi une ligne de démarcation entre eux, n'est pas toujours pratique. Surtout cet inconvénient a commencé à se manifester avec la distribution massive d'ordinateurs personnels. La forme décimale de représentation des fractions est dépourvue de cet inconvénient - il n'est pas nécessaire d'y indiquer le numérateur, car il est, par définition, toujours égal à dix en puissance négative. Par conséquent, un nombre fractionnaire peut être écrit sur une ligne, bien que sa longueur soit dans la plupart des cas beaucoup plus grande que la longueur de la fraction ordinaire correspondante.

Un autre avantage de l'écriture des nombres au format décimal est qu'ils sont beaucoup plus faciles à comparer les uns avec les autres. Puisque le dénominateur de chaque chiffre de deux de ces nombres est le même, il suffit de comparer seulement deux chiffres des chiffres correspondants, tandis que lors de la comparaison de fractions ordinaires, il faut prendre en compte à la fois le numérateur et le dénominateur de chacun d'eux. Cet avantage est important non seulement pour les humains, mais aussi pour les ordinateurs - la comparaison de nombres au format décimal est assez facile à programmer.

Il existe des règles séculaires pour l'addition, la multiplication et d'autres opérations mathématiques qui vous permettent d'effectuer des calculs sur papier ou dans votre tête avec des nombres au format de fractions décimales. C'est un autre avantage de ce format par rapport aux fractions ordinaires. Bien qu'avec le développement de la technologie informatique, lorsqu'une calculatrice est même dans une montre, elle devient moins perceptible.

Les avantages décrits du format décimal pour l'écriture de nombres fractionnaires montrent que son objectif principal est de simplifier le travail avec des valeurs mathématiques. Ce format présente également des inconvénients - par exemple, pour écrire des fractions périodiques dans une fraction décimale, vous devez également ajouter un nombre entre parenthèses, et les nombres irrationnels au format décimal ont toujours une valeur approximative. Cependant, au niveau actuel de développement des personnes et de leurs technologies, il est beaucoup plus pratique à utiliser que le format habituel pour enregistrer des fractions.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance naturelle de 10. Il s'agit par exemple d'une fraction Cette fraction peut s'écrire sous la forme suivante : écrivez les chiffres du numérateur dans une chaîne et séparez-en autant avec une virgule à droite car il y a des zéros au dénominateur, à savoir :

Dans un tel enregistrement, les nombres à gauche de la virgule forment la partie entière, et les nombres à droite de la virgule forment la partie fractionnaire de cette fraction décimale.

Soit p / q n'importe quel nombre rationnel positif. De l'arithmétique, le processus de division est bien connu, qui permet de représenter un nombre sous forme de fraction décimale. L'essence du processus de division est de trouver d'abord le plus grand nombre entier de fois où q est contenu dans p ; si p est un multiple de q, alors c'est là que le processus de division se termine. Sinon, le reste apparaît. Ensuite, ils trouvent combien de dixièmes de q sont contenus dans ce reste, et à cette étape le processus peut se terminer, ou un nouveau reste apparaîtra. Dans ce dernier cas, ils trouvent combien de centièmes de q y sont contenus, et ainsi de suite.

Si le dénominateur q n'a pas d'autres diviseurs premiers que 2 ou 5, alors après un nombre fini d'étapes, le reste sera égal à zéro, le processus de division se terminera et cette fraction ordinaire se transformera en une fraction décimale finale. En effet, dans ce cas, vous pouvez toujours choisir un nombre entier tel qu'après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée par celui-ci, vous obtenez une fraction égale, dans laquelle le dénominateur représentera une puissance naturelle de dix. Telle est par exemple la fraction

qui peut être représenté comme ceci :

Cependant, sans faire ces transformations, en divisant le numérateur par le dénominateur, le lecteur obtiendra le même résultat :

Si le dénominateur d'une fraction irréductible a au moins un diviseur premier autre que 2 ou 5, alors le processus de division par q ne se terminera jamais (aucun des restes suivants ne disparaîtra).

Après avoir effectué la division, nous trouvons

Pour enregistrer le résultat obtenu dans cet exemple, les chiffres 0 et 6 qui se répètent périodiquement sont mis entre parenthèses et écrits :

Dans cet exemple et dans d'autres cas similaires, l'action de division ne produit pas le résultat final sous forme décimale. Il est possible, en généralisant la notion de fraction décimale, de dire néanmoins que le quotient 965/132 est représenté par une fraction périodique infinie. Les nombres récurrents 06 sont appelés la période de cette fraction, et leur nombre, égal dans notre exemple, est la durée de la période.

Pour comprendre la raison du phénomène de la périodicité d'une fraction, analysons par exemple le processus de division par 7. Si la division n'est pas entièrement effectuée, alors un reste apparaît, qui ne peut avoir qu'une des valeurs suivantes : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Et à chacune des étapes suivantes, le reste aura à nouveau l'une de ces six valeurs. Par conséquent, au plus tard à la septième étape, nous rencontrerons inévitablement l'une des valeurs du reste, qui sont déjà apparues auparavant.À partir de ce moment, le processus de division prendra un caractère périodique. Les valeurs des résidus et du quotient seront répétées périodiquement. Ce raisonnement est applicable dans le cas de tout autre diviseur.

Ainsi, toute fraction ordinaire est représentée par une fraction décimale périodique finie ou infinie. Il est remarquable qu'à l'inverse, toute fraction décimale périodique puisse être représentée comme une fraction ordinaire. Montrons comment cette action est effectuée. Dans ce cas, la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est utilisée (article 92).

peut être compris comme suit :

ici, les termes du membre de droite, à partir du second, forment une progression géométrique infinie avec le dénominateur et le premier terme

En utilisant la formule (92.2) :

Il est clair que le même processus permettra de représenter toute fraction périodique infinie donnée sous la forme d'une fraction ordinaire (et, comme on peut le montrer, exactement celle à partir de laquelle, dans le processus de division, cette fraction périodique infinie est obtenue ). Il y a cependant une exception. Considérez la fraction

et lui appliquer le processus de conversion en une fraction ordinaire :

Nous sommes arrivés au nombre 1/2, qui est représenté par la fraction décimale finale

Un résultat similaire sera obtenu chaque fois que la période d'une fraction infinie donnée a la forme (9). Par conséquent, nous identifions des paires de nombres comme, par exemple,

Parfois, il est également utile de permettre des notations de la forme

représentant des fractions décimales formellement finies comme infinies avec une période (0).

Tout ce qui a été dit sur la conversion d'une fraction ordinaire en une fraction périodique décimale et vice versa s'applique aux nombres rationnels positifs. Dans le cas d'un nombre négatif, vous pouvez faire deux choses.

1) Prenez un nombre positif opposé à un nombre négatif donné, convertissez-le en fraction décimale, puis placez un signe moins devant. Par exemple, pour - 5/3 on obtient

2) Ce nombre rationnel négatif est représenté comme la somme de sa partie entière (négative) et de sa partie décimale (non négative), puis convertit uniquement cette partie décimale du nombre en une fraction décimale. Par exemple:

Pour écrire des nombres présentés comme la somme de leur partie entière négative et d'une fraction décimale finie ou infinie, la désignation suivante est adoptée (une forme artificielle d'écriture d'un nombre négatif) :

Ici, le signe moins est placé non pas devant la fraction entière, mais au-dessus de sa partie entière, afin de souligner que seule la partie entière est négative, et la partie fractionnaire suivant la virgule est positive.

Cette notation crée une uniformité dans la notation des fractions décimales positives et négatives et sera utilisée à l'avenir dans la théorie des logarithmes décimaux (p. 28). Pour la pratique, nous suggérons au lecteur de vérifier le passage d'un enregistrement à un autre dans les exemples :

Nous pouvons maintenant formuler la conclusion finale : tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction périodique décimale infinie, et, inversement, une telle fraction définit un nombre rationnel. La fraction décimale finale permet également deux formes de notation sous forme de fraction décimale infinie : avec un point (0) et avec un point (9).

Déjà à l'école primaire, les élèves sont confrontés à des fractions. Et puis ils apparaissent dans chaque sujet. Il est impossible d'oublier les actions avec ces chiffres. Par conséquent, vous devez connaître toutes les informations sur les fractions ordinaires et décimales. Ces concepts sont simples, l'essentiel est de tout comprendre dans l'ordre.

A quoi servent les fractions ?

Le monde qui nous entoure se compose d'objets entiers. Par conséquent, il n'y a pas besoin d'actions. Mais la vie quotidienne pousse constamment les gens à travailler avec des parties d'objets et de choses.

Par exemple, le chocolat a plusieurs tranches. Considérons une situation où sa tuile est formée de douze rectangles. Si vous le divisez en deux, vous obtenez 6 parties. Elle se divisera bien en trois. Mais cinq ne pourront pas donner un nombre entier de quartiers de chocolat.

Soit dit en passant, ces tranches sont déjà des fractions. Et leur division ultérieure conduit à l'apparition de nombres plus complexes.

Qu'est-ce qu'une fraction ?

C'est un nombre composé des parties d'un. Extérieurement, il ressemble à deux nombres séparés par une ligne horizontale ou oblique. Ce trait est appelé fractionnaire. Le nombre écrit en haut (à gauche) est appelé le numérateur. Le bas (à droite) est le dénominateur.

En fait, la barre fractionnaire s'avère être un signe de division. C'est-à-dire que le numérateur peut être appelé divisible et le dénominateur peut être appelé diviseur.

Quelles fractions y a-t-il ?

En mathématiques, il n'y en a que deux types : les fractions ordinaires et décimales. Les écoliers se familiarisent avec les premiers dans les classes élémentaires, les appelant simplement "fractions". Le second se reconnaîtra en 5e. C'est alors que ces noms apparaissent.

Les fractions ordinaires sont toutes celles qui s'écrivent sous la forme de deux nombres séparés par une barre. Par exemple, 4/7. Décimal est un nombre dans lequel la partie fractionnaire a une notation positionnelle et est séparée du tout par une virgule. Par exemple, 4.7. Les élèves doivent être clairs sur le fait que les deux exemples donnés sont des nombres complètement différents.

Chaque fraction peut être écrite sous forme décimale. Cette affirmation est presque toujours vraie dans la direction opposée. Il existe des règles qui vous permettent d'écrire une fraction décimale avec une fraction ordinaire.

Quelles sont les sous-espèces de ces types de fractions ?

Il est préférable de commencer par ordre chronologique au fur et à mesure qu'ils sont étudiés. Les fractions viennent en premier. Parmi elles, 5 sous-espèces peuvent être distinguées.

Correct. Son numérateur est toujours inférieur au dénominateur.

Tort. Son numérateur est supérieur ou égal au dénominateur.

Abrégé / irréductible. Cela peut être à la fois vrai et faux. Ce qui est important est de savoir si le numérateur avec le dénominateur a des facteurs communs. S'il y en a, ils sont censés diviser les deux parties de la fraction, c'est-à-dire la réduire.

Mixte. Un entier est affecté à sa partie fractionnaire correcte (incorrecte) habituelle. De plus, il se tient toujours à gauche.

Composite. Il est formé de deux fractions séparées l'une de l'autre. C'est-à-dire qu'il contient trois lignes fractionnaires à la fois.

Les fractions décimales n'ont que deux sous-espèces :

final, c'est-à-dire celui dans lequel la partie fractionnaire est limitée (a une fin);

infini - un nombre dont les chiffres après la virgule ne se terminent pas (ils peuvent être écrits à l'infini).

Comment convertir un nombre décimal en fraction ?

S'il s'agit d'un nombre fini, alors l'association basée sur la règle est appliquée - comme j'entends, alors j'écris. C'est-à-dire que vous devez le lire correctement et l'écrire, mais sans virgule, mais avec une ligne fractionnaire.

Comme indice sur le dénominateur requis, vous devez vous rappeler qu'il s'agit toujours d'un et de plusieurs zéros. Ces derniers doivent être écrits autant qu'il y a de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre en question.

Comment convertir des fractions décimales en fractions ordinaires si leur partie entière est absente, c'est-à-dire égale à zéro ? Par exemple, 0,9 ou 0,05. Après avoir appliqué la règle spécifiée, il s'avère que vous devez écrire zéro entier. Mais ce n'est pas indiqué. Il ne reste plus qu'à noter les parties fractionnaires. Le premier nombre aura le dénominateur 10, le second - 100. C'est-à-dire que les exemples donnés auront les nombres : 9/10, 5/100. De plus, il s'avère que ce dernier peut être réduit de 5. Par conséquent, le résultat pour cela doit être écrit 1/20.

Comment faire une fraction ordinaire à partir d'un nombre décimal si sa partie entière est non nulle ? Par exemple, 5.23 ou 13.00108. Dans les deux exemples, la partie entière est lue et sa valeur écrite. Dans le premier cas, c'est - 5, dans le second - 13. Ensuite, vous devez passer à la partie fractionnaire. Ils sont censés effectuer la même opération. Le premier nombre a 23/100, le second a 108/100000. La deuxième valeur doit être à nouveau raccourcie. La réponse est les fractions mixtes suivantes : 5 23/100 et 13 27/25000.

Comment convertir une fraction décimale infinie en fraction ?

Si elle n'est pas périodique, une telle opération échouera. Ce fait est dû au fait que chaque fraction décimale est toujours traduite en finale ou en périodique.

La seule chose que vous puissiez faire avec une telle fraction est de l'arrondir. Mais alors la décimale sera approximativement égale à cet infini. Il peut déjà être transformé en un ordinaire. Mais le processus inverse : la conversion en décimal - ne donnera jamais de valeur initiale. C'est-à-dire que les fractions non périodiques infinies ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires. Cela doit être rappelé.

Comment écrire une fraction périodique infinie comme une fraction ordinaire ?

Dans ces nombres, un ou plusieurs chiffres apparaissent toujours après la virgule décimale, qui sont répétés. On les appelle une période. Par exemple, 0,3 (3). Ici "3" dans la période. Ils sont classés comme rationnels, car ils peuvent être transformés en fractions.

Ceux qui ont rencontré des fractions périodiques savent qu'elles peuvent être pures ou mélangées. Dans le premier cas, le point commence immédiatement à partir de la virgule. Dans le second, la partie fractionnaire commence par quelques chiffres, puis la répétition commence.

La règle selon laquelle vous devez écrire une décimale infinie sous la forme d'une fraction ordinaire sera différente pour les deux types de nombres indiqués. Il est assez facile d'écrire des fractions périodiques pures avec des fractions ordinaires. Comme pour les derniers, ils doivent être convertis : écrivez le point au numérateur, et le dénominateur sera le nombre 9, répété autant de fois que le point contient.

Par exemple, 0, (5). Le nombre n'a pas de partie entière, vous devez donc commencer immédiatement par la partie fractionnaire. Écrivez 5 au numérateur et un au dénominateur, c'est-à-dire que la réponse sera la fraction 5/9.

Règle sur la façon d'écrire une fraction périodique décimale ordinaire qui est mélangée.

Regardez la durée de la période. Autant de 9 auront le dénominateur.

Notez le dénominateur : d'abord neuf, puis zéros.

Pour déterminer le numérateur, vous devez écrire la différence de deux nombres. Tous les chiffres après la virgule, ainsi que le point, seront décrémentés. Soustrait - il est sans point.

Par exemple, 0,5 (8) - notez la fraction décimale périodique comme une fraction ordinaire. Il y a un chiffre dans la partie fractionnaire avant le point. Donc zéro sera un. Il n'y a également qu'un seul nombre dans la période - 8. C'est-à-dire qu'il n'y a qu'un neuf. C'est-à-dire que vous devez écrire 90 au dénominateur.

Pour déterminer le numérateur de 58, vous devez soustraire 5. Il s'avère que 53. La réponse, par exemple, devra écrire 53/90.

Comment les fractions communes sont-elles converties en nombres décimaux ?

L'option la plus simple s'avère être un nombre dont le dénominateur est 10, 100, etc. Ensuite, le dénominateur est simplement supprimé et une virgule est placée entre les parties fractionnaire et entière.

Il y a des situations où le dénominateur se transforme facilement en 10, 100, etc. Par exemple, les nombres 5, 20, 25. Il suffit de les multiplier par 2, 5 et 4, respectivement. Seul le dénominateur est censé se multiplier, mais aussi le numérateur par le même nombre.

Pour tous les autres cas, une règle simple est pratique : divisez le numérateur par le dénominateur. Dans ce cas, vous pouvez obtenir deux options pour les réponses : une fraction décimale finale ou périodique.

Actions avec des fractions communes

Addition et soustraction

Les élèves apprennent à les connaître avant les autres. De plus, les fractions ont d'abord les mêmes dénominateurs, puis elles sont différentes. Les règles générales peuvent être résumées dans un tel plan.

Trouvez le plus petit commun multiple des dénominateurs.

Écrivez des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions courantes.

Multipliez les numérateurs et les dénominateurs par les facteurs définis pour eux.

Ajoutez (soustrayez) les numérateurs des fractions et laissez le dénominateur commun inchangé.

Si le numérateur du nombre réduit est inférieur à celui soustrait, alors vous devez savoir si nous avons un nombre mixte ou une fraction régulière.

Dans le premier cas, vous devez prendre une unité de toute la pièce. Ajoutez le dénominateur au numérateur de la fraction. Et puis faire la soustraction.

Dans le second, il faut appliquer la règle de soustraire le plus grand du plus petit nombre. C'est-à-dire, soustrayez le module du réduit du module du soustrait et, en réponse, mettez le signe "-".

Regardez attentivement le résultat de l'addition (soustraction). Si vous obtenez une fraction incorrecte, alors il est censé sélectionner la partie entière. C'est-à-dire diviser le numérateur par le dénominateur.

Multiplication et division

Les fractions n'ont pas besoin d'être ramenées à un dénominateur commun pour les compléter. Cela facilite le suivi. Mais ils doivent toujours suivre les règles.

Lorsque vous multipliez des fractions ordinaires, vous devez tenir compte des nombres dans les numérateurs et les dénominateurs. Si un numérateur et un dénominateur ont un facteur commun, ils peuvent être annulés.

Multipliez les numérateurs.

Multipliez les dénominateurs.

Si vous obtenez une fraction annulable, elle est censée être à nouveau simplifiée.

Lors de la division, vous devez d'abord remplacer la division par la multiplication, et le diviseur (deuxième fraction) par l'inverse (échanger le numérateur et le dénominateur).

Procédez ensuite comme pour la multiplication (à partir du point 1).

Dans les tâches où vous devez multiplier (diviser) par un entier, ce dernier est censé être écrit comme une fraction impropre. C'est-à-dire avec le dénominateur 1. Procédez ensuite comme décrit ci-dessus.



Actions décimales

Addition et soustraction

Bien sûr, vous pouvez toujours transformer un nombre décimal en fraction. Et d'agir selon le plan déjà décrit. Mais parfois, il est plus commode d'agir sans cette traduction. Ensuite, les règles pour les additionner et les soustraire seront exactement les mêmes.

Égalise le nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre, c'est-à-dire après la virgule. Ajoutez-y le nombre manquant de zéros.

Écrivez des fractions de sorte que la virgule soit en dessous de la virgule.

Ajouter (soustraire) sous forme de nombres naturels.

Supprimez la virgule.

Multiplication et division

Il est important que vous n'ayez pas besoin d'ajouter des zéros ici. Les fractions sont supposées être laissées telles qu'elles sont données dans l'exemple. Et puis allez selon le plan.

Pour la multiplication, vous devez écrire les fractions l'une en dessous de l'autre, en ignorant les virgules.

Multipliez en nombres naturels.

Mettez une virgule dans la réponse, en comptant à partir de l'extrémité droite de la réponse autant de chiffres qu'il y a dans les parties fractionnaires des deux facteurs.

Pour diviser, il faut d'abord transformer le diviseur : en faire un nombre naturel. C'est-à-dire, multipliez-le par 10, 100, etc., en fonction du nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du diviseur.

Multipliez le dividende par le même nombre.

Divisez un nombre décimal par un nombre naturel.

Mettez une virgule dans la réponse au moment où la division de la partie entière se termine.



Et s'il y avait les deux types de fractions dans un exemple ?

Oui, en mathématiques, il existe souvent des exemples dans lesquels vous devez effectuer des actions sur des fractions ordinaires et décimales. Dans de telles tâches, deux solutions sont possibles. Vous devez peser objectivement les nombres et choisir le meilleur.

La première façon: représenter décimal ordinaire

Il convient si, lors de la division ou de la traduction, des fractions finies sont obtenues. Si au moins un nombre donne la partie périodique, alors cette technique est interdite. Par conséquent, même si vous n'aimez pas travailler avec des fractions ordinaires, vous devrez les compter.

La deuxième façon: écrivez des fractions décimales avec des

Cette technique s'avère pratique s'il y a 1-2 chiffres dans la partie après la virgule. S'il y en a plus, une très grande fraction ordinaire peut s'avérer et les notations décimales vous permettront de compter la tâche plus rapidement et plus facilement. Par conséquent, vous devez toujours évaluer sobrement la tâche et choisir la méthode de résolution la plus simple.

Dans cet article, nous analyserons comment convertir des fractions ordinaires en fractions décimales, et également considérer le processus inverse - convertir les fractions décimales en fractions. Ici, nous allons énoncer les règles d'inversion des fractions et donner des solutions détaillées à des exemples typiques.

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Conversion de fractions en fractions décimales

Notons la séquence dans laquelle nous traiterons convertir des fractions ordinaires en fractions décimales.

Tout d'abord, nous verrons comment représenter des fractions communes avec des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... sous forme de fractions décimales. Cela est dû au fait que les fractions décimales sont essentiellement une forme compacte d'écriture de fractions communes avec les dénominateurs 10, 100,….

Après cela, nous irons plus loin et montrerons comment toute fraction ordinaire (pas seulement avec les dénominateurs 10, 100, ...) peut être écrite sous forme de fraction décimale. Cette conversion de fractions produit à la fois des fractions décimales finies et des fractions décimales périodiques infinies.

Parlons maintenant de tout dans l'ordre.

Conversion de fractions ordinaires aux dénominateurs 10, 100, ... en fractions décimales

Certaines fractions courantes régulières nécessitent une « préparation préliminaire » avant d'être converties en fractions décimales. Ceci s'applique aux fractions ordinaires, dont le nombre de chiffres au numérateur est inférieur au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, une fraction ordinaire 2/100 doit d'abord être préparée pour être convertie en fraction décimale, et la fraction 9/10 n'a pas besoin de préparation.

La "préparation préliminaire" des fractions ordinaires régulières pour la conversion en fractions décimales consiste à ajouter un tel nombre de zéros à gauche du numérateur de sorte que le nombre total de chiffres y devienne égal au nombre de zéros du dénominateur. Par exemple, après avoir ajouté des zéros, une fraction ressemblera à.

Après avoir préparé la fraction commune correcte, vous pouvez commencer à la convertir en fraction décimale.

Donne moi la règle pour convertir une fraction régulière avec un dénominateur de 10, ou 100, ou 1000, ... en un nombre décimal... Il se compose de trois étapes :

• écrire 0 ;
• après cela, nous mettons un point décimal;
• nous notons le nombre du numérateur (avec les zéros ajoutés, si nous les avons ajoutés).

Considérons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Convertissez la fraction régulière 37/100 en décimale.

Solution.

Le dénominateur contient le nombre 100, qui contient deux zéros. Le numérateur contient le nombre 37, il contient deux chiffres, par conséquent, cette fraction n'a pas besoin d'être préparée pour la conversion en fraction décimale.

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal et notons le nombre 37 du numérateur, et nous obtenons une fraction décimale de 0,37.

Réponse:

0,37 .

Pour consolider les compétences de traduction des fractions ordinaires régulières avec les numérateurs 10, 100, ... en fractions décimales, nous analyserons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction correcte 107/10 000 000 sous forme de fraction décimale.

Solution.

Le nombre de chiffres dans le numérateur est 3, et le nombre de zéros dans le dénominateur est 7, donc cette fraction ordinaire doit être préparée pour la conversion en décimal. Nous devons ajouter 7-3 = 4 zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre total de chiffres y devienne égal au nombre de zéros dans le dénominateur. Nous recevons.

Il reste à composer la fraction décimale souhaitée. Pour ce faire, premièrement, nous écrivons 0, deuxièmement, nous mettons une virgule, et troisièmement, nous écrivons le nombre du numérateur avec des zéros 0000107, nous avons donc une fraction décimale 0,0000107.

Réponse:

0,0000107 .

Les fractions irrégulières n'ont pas besoin de préparation lors de la conversion en nombres décimaux. Ce qui suit doit être respecté règles de conversion des fractions ordinaires irrégulières de dénominateurs 10, 100, ... en fractions décimales:

• notez le nombre du numérateur;
• nous séparons la virgule décimale d'autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros dans le dénominateur de la fraction originale.

Analysons l'application de cette règle lors de la résolution d'un exemple.

Exemple.

Convertir la fraction commune irrégulière 56 888 038 009/100 000 en une fraction décimale.

Solution.

Premièrement, nous écrivons le nombre du numérateur 56888038009, et deuxièmement, nous séparons la virgule décimale de 5 chiffres à droite, car il y a 5 zéros dans le dénominateur de la fraction d'origine. En conséquence, nous avons une fraction décimale 568 880.38009.

Réponse:

568 880,38009 .

Pour convertir un nombre mixte en une fraction décimale, dont le dénominateur de la partie fractionnaire est le nombre 10, ou 100, ou 1 000, ..., vous pouvez convertir le nombre mixte en une fraction commune impropre, après quoi la fraction résultante peut être converti en fraction décimale. Mais vous pouvez également utiliser ce qui suit la règle pour convertir les nombres fractionnaires avec le dénominateur de la partie fractionnaire 10, ou 100, ou 1000, ... en fractions décimales:

• si nécessaire, nous effectuons une "préparation préliminaire" de la partie fractionnaire du nombre mixte d'origine, en ajoutant le nombre requis de zéros à gauche dans le numérateur ;
• notez toute la partie du numéro mixte original;
• mettre un point décimal;
• nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés.

Prenons un exemple, dans la résolution duquel nous effectuerons toutes les étapes nécessaires pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction décimale.

Exemple.

Convertissez le nombre mixte en un nombre décimal.

Solution.

Dans le dénominateur de la partie fractionnaire, il y a 4 zéros, dans le numérateur il y a le nombre 17, composé de 2 chiffres, par conséquent, nous devons ajouter deux zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre de chiffres y devienne égal à le nombre de zéros au dénominateur. En faisant cela, le numérateur sera 0017.

Maintenant, nous écrivons toute la partie du nombre d'origine, c'est-à-dire le nombre 23, mettons un point décimal, après quoi nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés, c'est-à-dire 0017, et nous obtenons le nombre souhaité fraction décimale 23.0017.

Écrivons brièvement la solution complète : .

Sans aucun doute, il était possible de représenter d'abord le nombre fractionnaire sous la forme d'une fraction impropre, puis de le convertir en fraction décimale. Avec cette approche, la solution ressemble à ceci :

Réponse:

23,0017 .

Conversion de fractions ordinaires en fractions décimales périodiques finies et infinies

Non seulement les fractions ordinaires avec les dénominateurs 10, 100, ..., mais les fractions ordinaires avec d'autres dénominateurs peuvent être converties en une fraction décimale. Maintenant, nous allons comprendre comment cela est fait.

Dans certains cas, la fraction commune d'origine se réduit facilement à l'un des dénominateurs 10, ou 100, ou 1000, ... (voir la réduction de la fraction commune au nouveau dénominateur), après quoi il n'est pas difficile de représenter le fraction résultante sous forme de fraction décimale. Par exemple, il est évident que la fraction 2/5 peut être réduite à une fraction avec un dénominateur de 10, pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donnera la fraction 4/10, ce qui, selon les règles discutées dans le paragraphe précédent, peuvent être facilement converties en la fraction décimale 0, 4 .

Dans d'autres cas, vous devez utiliser une méthode différente pour convertir une fraction ordinaire en décimale, à laquelle nous nous tournons maintenant.

Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, le numérateur de la fraction est divisé par le dénominateur, le numérateur est préalablement remplacé par une fraction décimale égale avec un nombre quelconque de zéros après la virgule (nous en avons parlé dans la section égal et fractions décimales inégales). Dans ce cas, la division est effectuée de la même manière que la division par une colonne de nombres naturels, et dans le quotient un point décimal est mis lorsque la division de la partie entière du dividende se termine. Tout cela deviendra clair à partir des solutions des exemples donnés ci-dessous.

Exemple.

Convertissez la fraction commune 621/4 en un nombre décimal.

Solution.

Nous représentons le nombre dans le numérateur 621 sous forme de fraction décimale, en ajoutant une virgule décimale et quelques zéros après. Pour commencer, nous ajoutons 2 chiffres 0, plus tard, si nécessaire, nous pouvons toujours ajouter plus de zéros. Nous avons donc 621,00.

Faisons maintenant la division en colonnes de 621 000 par 4. Les trois premières étapes ne sont pas différentes de la division des nombres naturels par une colonne, après quoi nous arrivons à l'image suivante :

Nous sommes donc arrivés à la virgule décimale du dividende, et le reste est différent de zéro. Dans ce cas, nous mettons un point décimal dans le quotient, et continuons la division avec une colonne, sans faire attention aux virgules :

Ceci termine la division, et en conséquence nous avons obtenu une fraction décimale 155,25, qui correspond à la fraction ordinaire d'origine.

Réponse:

155,25 .

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction commune 21/800 en décimal.

Solution.

Pour convertir cette fraction commune en un nombre décimal, divisons par une colonne de fraction décimale 21 000 ... par 800. Après la première étape, nous devrons mettre un point décimal dans le quotient, puis continuer la division :

Enfin, nous avons obtenu un reste de 0, c'est là que s'achève la conversion de la fraction ordinaire 21/400 en fraction décimale, et nous sommes arrivés à la fraction décimale 0,02625.

Réponse:

0,02625 .

Il peut arriver qu'en divisant le numérateur par le dénominateur d'une fraction ordinaire, on n'obtienne toujours pas le reste 0. Dans ces cas, la division peut être poursuivie aussi longtemps que souhaité. Cependant, à partir d'un certain pas, les restes sont répétés périodiquement et les nombres du quotient sont également répétés. Cela signifie que la fraction d'origine est convertie en une fraction décimale périodique infinie. Montrons cela avec un exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction 19/44 sous forme de fraction décimale.

Solution.

Pour convertir une fraction ordinaire en décimale, nous effectuons une division de colonne :

Il est déjà clair que pendant la division les restes 8 et 36 ont commencé à se répéter, tandis que dans le quotient les nombres 1 et 8 sont répétés. Ainsi, la fraction ordinaire d'origine 19/44 est convertie en une fraction décimale périodique 0,43181818 ... = 0,43 (18).

Réponse:

0,43(18) .

À la fin de ce paragraphe, nous déterminerons quelles fractions ordinaires peuvent être converties en fractions décimales finales et lesquelles - uniquement en fractions périodiques.

Qu'il y ait une fraction ordinaire irréductible devant nous (si la fraction est annulable, nous effectuons d'abord la réduction de la fraction), et nous devons découvrir en quelle fraction décimale elle peut être convertie - une fraction finale ou périodique.

Il est clair que si une fraction ordinaire peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ..., alors la fraction résultante peut être facilement convertie en une fraction décimale finale selon les règles exposées dans le paragraphe précédent. Mais aux dénominateurs 10, 100, 1 000, etc. loin de toutes les fractions ordinaires sont données. A de tels dénominateurs ne peuvent être réduites que des fractions dont les dénominateurs sont au moins l'un des nombres 10, 100, ... Et quels nombres peuvent être des diviseurs de 10, 100, ... ? Les nombres 10, 100,… vont nous permettre de répondre à cette question, et ils sont les suivants : 10 = 2 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5, 1 000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 ,…. Il s'ensuit que les diviseurs sont 10, 100, 1 000, etc. il ne peut y avoir que des nombres dont les factorisations premières ne contiennent que les nombres 2 et (ou) 5.

Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la conversion des fractions ordinaires en décimales :

• si dans le développement du dénominateur en facteurs premiers il n'y a que des nombres 2 et (ou) 5, alors cette fraction peut être convertie en une fraction décimale finale ;
• si, en plus de deux et cinq, d'autres nombres premiers sont présents dans le développement du dénominateur, alors cette fraction est convertie en une fraction périodique décimale infinie.

Exemple.

Sans convertir les fractions ordinaires en décimales, dites-moi laquelle des fractions 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 peut être convertie en une fraction décimale finale, et laquelle - uniquement en une fraction périodique.

Solution.

La factorisation première du dénominateur de 47/20 est 20 = 2 · 2 · 5. Cette expansion ne contient que des deux et des cinq, donc cette fraction peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... (dans cet exemple, au dénominateur 100), elle peut donc être convertie en une fraction décimale finale .

La factorisation première du dénominateur de la fraction 7/12 est 12 = 2 · 2 · 3. Puisqu'elle contient un facteur premier de 3 autre que 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une fraction décimale finale, mais peut être convertie en une fraction décimale périodique.

Fraction 21/56 est contractile, après contraction il prend la forme 3/8. La factorisation du dénominateur en facteurs premiers contient trois facteurs égaux à 2, par conséquent, la fraction ordinaire 3/8, et donc la fraction 21/56 qui lui est égale, peut être convertie en une fraction décimale finale.

Enfin, le développement du dénominateur de la fraction 31/17 est lui-même 17, par conséquent, cette fraction ne peut pas être convertie en une fraction décimale finie, mais peut être convertie en une fraction périodique infinie.

Réponse:

47/20 et 21/56 peuvent être convertis en décimal final, et 7/12 et 31/17 ne peuvent être convertis qu'en périodique.

Les fractions ne sont pas converties en nombres décimaux infinis non périodiques

L'information du paragraphe précédent soulève la question : « Pouvons-nous obtenir une fraction non périodique infinie en divisant le numérateur d'une fraction par le dénominateur ?

La réponse est non. Lors de la traduction d'une fraction ordinaire, vous pouvez obtenir soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

Il ressort du théorème de divisibilité avec reste que le reste est toujours inférieur au diviseur, c'est-à-dire que si nous divisons un entier par un entier q, alors le reste ne peut être que l'un des nombres 0, 1, 2,… , q − 1. Il s'ensuit qu'après l'achèvement de la division par une colonne de la partie entière du numérateur de la fraction ordinaire par le dénominateur q, en pas plus de q étapes, l'une des deux situations suivantes se présentera :

• ou nous obtiendrons un reste de 0, à ce moment la division se terminera, et nous obtiendrons la fraction décimale finale ;
• ou nous obtenons le reste, qui est déjà apparu auparavant, après quoi les restes commenceront à se répéter comme dans l'exemple précédent (puisque lorsque des nombres égaux sont divisés par q, des restes égaux sont obtenus, ce qui découle du théorème de divisibilité déjà mentionné), donc une fraction décimale périodique infinie sera obtenue.

Il ne peut y avoir d'autres options, par conséquent, lors de la conversion d'une fraction ordinaire en une fraction décimale, une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être obtenue.

Du raisonnement donné dans ce paragraphe, il résulte également que la longueur de la période de la fraction décimale est toujours inférieure à la valeur du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de fractions décimales en fractions

Voyons maintenant comment convertir une fraction décimale en une fraction ordinaire. Commençons par convertir les fractions décimales finales en fractions. Après cela, considérez la méthode d'inversion des fractions décimales périodiques infinies. En conclusion, disons sur l'impossibilité de convertir des fractions décimales non périodiques infinies en fractions ordinaires.

Conversion des décimales finales en fractions

Il est assez facile d'obtenir une fraction ordinaire, qui s'écrit sous la forme d'une fraction décimale finale. Règle de conversion des décimales finales en fractions se compose de trois étapes :

• d'abord, écrivez la fraction décimale donnée dans le numérateur, après avoir éliminé la virgule décimale et tous les zéros à gauche, le cas échéant ;
• deuxièmement, écrivez une unité au dénominateur et ajoutez-y autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction décimale d'origine ;
• troisièmement, si nécessaire, effectuez la réduction de la fraction résultante.

Considérons des solutions d'exemples.

Exemple.

Convertissez le nombre décimal 3.025 en fraction.

Solution.

Si nous supprimons le point décimal dans la fraction décimale d'origine, nous obtenons le nombre 3 025. Il n'a pas de zéros à gauche que nous écarterions. Donc, au numérateur de la fraction désirée, écrivez 3 025.

Nous écrivons le nombre 1 dans le dénominateur et y ajoutons 3 zéros à droite, car il y a 3 chiffres dans la fraction décimale d'origine après la virgule.

On a donc la fraction commune 3 025/1000. Cette fraction peut être annulée par 25, on obtient .

Réponse:

.

Exemple.

Convertissez la fraction décimale 0,0017 en une fraction commune.

Solution.

Sans point décimal, la fraction décimale d'origine a la forme 00017, en laissant tomber les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 17, qui est le numérateur de la fraction ordinaire souhaitée.

Nous écrivons une unité avec quatre zéros au dénominateur, car il y a 4 chiffres dans la fraction décimale d'origine après la virgule.

En conséquence, nous avons une fraction ordinaire de 17/10000. Cette fraction est irréductible, et la conversion de la fraction décimale en fraction ordinaire est complète.

Réponse:

.

Lorsque la partie entière de la fraction décimale finale d'origine est différente de zéro, elle peut alors être immédiatement convertie en un nombre mixte, sans passer par la fraction ordinaire. Donne moi règle pour convertir le nombre décimal final en nombre mixte:

• le nombre à la virgule décimale doit être écrit sous la forme d'une partie entière du nombre mixte souhaité ;
• dans le numérateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre obtenu à partir de la partie fractionnaire de la fraction décimale d'origine après avoir laissé tomber tous les zéros à partir de la gauche;
• au dénominateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le chiffre 1, auquel vous ajoutez autant de zéros à droite qu'il y a de chiffres dans la fraction décimale d'origine après la virgule ;
• si nécessaire, réduisez la partie fractionnaire du nombre mixte résultant.

Regardons un exemple de conversion d'un nombre décimal en un nombre mixte.

Exemple.

Envoyer le nombre décimal 152.06005 sous forme de nombre mixte

Pour écrire le nombre rationnel m / n sous forme de fraction décimale, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Dans ce cas, le quotient s'écrit dans une fraction décimale finie ou infinie.

Écris le nombre donné sous forme de fraction décimale.

Solution. Divisez dans une colonne le numérateur de chaque fraction par son dénominateur : une) diviser 6 par 25 ; b) diviser 2 par 3; v) divisez 1 par 2, puis attribuez la fraction résultante à un - la partie entière de ce nombre mixte.

Fractions ordinaires irréductibles dont les dénominateurs ne contiennent pas d'autres facteurs premiers, sauf 2 et 5 , sont écrits en fraction décimale finale.

V Exemple 1 lorsque une) dénominateur 25 = 5 · 5; lorsque v) le dénominateur est 2, nous avons donc les décimales finales 0,24 et 1,5. Lorsque b) le dénominateur est 3, donc le résultat ne peut pas être écrit sous forme de fraction décimale finale.

Est-il possible, sans division en colonne, de transformer en fraction décimale une telle fraction ordinaire dont le dénominateur ne contient pas d'autres facteurs que 2 et 5 ? Trouvons-le ! Quelle fraction s'appelle un nombre décimal et s'écrit sans barre de fraction ? Réponse : fraction de dénominateur 10 ; 100 ; 1000, etc... Et chacun de ces nombres est un produit égal le nombre de "deux" et de "cinq". En fait : 10 = 2 · 5 ; 100 = 2 5 2 5; 1000 = 2 5 2 5 2 5, etc.

Par conséquent, le dénominateur d'une fraction ordinaire irréductible devra être représenté comme un produit de « deux » et « cinq », puis multiplié par 2 et (ou) par 5 pour que les « deux » et « cinq » deviennent égaux. Alors le dénominateur de la fraction sera 10 ou 100 ou 1000, etc. Pour que la valeur de la fraction ne change pas, nous multiplions le numérateur de la fraction par le même nombre par lequel le dénominateur a été multiplié.

Présentez les fractions suivantes sous forme décimale :

Solution. Chacune de ces fractions est irréductible. Séparons le dénominateur de chaque fraction en facteurs premiers.

20 = 2 2 5. Conclusion : il manque un "cinq".

8 = 2 2 2. Conclusion : il manque trois "cinq".

25 = 5 5. Conclusion : il manque deux "deux".

Commenter. En pratique, ils n'utilisent souvent pas la factorisation du dénominateur, mais se posent simplement la question : combien faut-il multiplier le dénominateur pour que le résultat soit une unité avec des zéros (10 ou 100 ou 1000, etc.). Et puis le numérateur est multiplié par le même nombre.

Donc, dans le cas une)(exemple 2) à partir du nombre 20, vous pouvez obtenir 100 en multipliant par 5, vous devez donc multiplier le numérateur et le dénominateur par 5.

Lorsque b)(exemple 2) à partir du nombre 8, le nombre 100 ne fonctionnera pas, mais le nombre 1000 sera multiplié par 125. Le numérateur (3) et le dénominateur (8) de la fraction sont multipliés par 125.

Lorsque v)(exemple 2) sur 25 vous obtenez 100 si vous multipliez par 4. Cela signifie que le numérateur 8 doit être multiplié par 4.

Une fraction décimale infinie dans laquelle un ou plusieurs chiffres sont invariablement répétés dans la même séquence est appelée périodique fraction décimale. La collection de nombres répétés est appelée la période de cette fraction. Par souci de concision, la période de la fraction est enregistrée une fois, en la mettant entre parenthèses.

Lorsque b)(exemple 1) le chiffre répété est un et égal à 6. Par conséquent, notre résultat 0,66 ... sera écrit comme ceci : 0, (6). Lire : zéro point, six dans une période.

S'il y a un ou plusieurs chiffres non répétitifs entre la virgule et le premier point, alors une telle fraction périodique est appelée fraction périodique mixte.

Fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur est avec d'autres multiplicateurs contient le facteur 2 ou 5 , devient mixte fraction périodique.

Écrivez les nombres sous forme de fraction décimale.