Le sujet « Multiples » est étudié en 5e année lycée. Son objectif est d’améliorer les compétences en calcul mathématique écrit et oral. Dans cette leçon, de nouveaux concepts sont introduits - les « nombres multiples » et les « diviseurs », la technique de recherche des diviseurs et des multiples d'un nombre naturel et la capacité de trouver le LCM de différentes manières sont pratiquées.

Ce sujet est très important. Sa connaissance peut être appliquée lors de la résolution d'exemples avec des fractions. Pour ce faire, vous devez trouver dénominateur commun en calculant le plus petit commun multiple (LCM).

Un multiple de A est un entier divisible par A sans reste.

Chaque nombre naturel en possède un nombre infini de multiples. Il est lui-même considéré comme le plus petit. Le multiple ne peut pas être inférieur au nombre lui-même.

Vous devez prouver que le nombre 125 est un multiple de 5. Pour ce faire, vous devez diviser le premier nombre par le second. Si 125 est divisible par 5 sans reste, alors la réponse est oui.

Cette méthode est applicable pour les petits nombres.

Il existe des cas particuliers lors du calcul du LOC.

1. Si vous avez besoin de trouver un multiple commun de 2 nombres (par exemple, 80 et 20), où l'un d'eux (80) est divisible par l'autre (20), alors ce nombre (80) est le plus petit multiple de ceux-ci. deux nombres.

LCM(80, 20) = 80.

2. Si deux n’ont pas de diviseur commun, alors on peut dire que leur LCM est le produit de ces deux nombres.

LCM(6, 7) = 42.

Regardons le dernier exemple. 6 et 7 par rapport à 42 sont des diviseurs. Ils divisent un multiple d'un nombre sans reste.

Dans cet exemple, 6 et 7 sont des facteurs appariés. Leur produit est égal au nombre le plus multiple (42).

Un nombre est dit premier s'il n'est divisible que par lui-même ou par 1 (3:1=3 ; 3:3=1). Les autres sont appelés composites.

Un autre exemple consiste à déterminer si 9 est un diviseur de 42.

42:9=4 (reste 6)

Réponse : 9 n'est pas un diviseur de 42 car la réponse a un reste.

Un diviseur diffère d'un multiple en ce sens que le diviseur est le nombre par lequel les nombres naturels sont divisés, et le multiple lui-même est divisible par ce nombre.

Le plus grand diviseur commun Nombres un Et b, multiplié par leur plus petit multiple, donnera le produit des nombres eux-mêmes un Et b.

A savoir : pgcd (a, b) x pgcd (a, b) = a x b.

Les multiples communs de nombres plus complexes se trouvent de la manière suivante.

Par exemple, recherchez le LCM pour 168, 180, 3024.

Nous transformons ces nombres en facteurs simples et les écrivons comme un produit de puissances :

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Signes de divisibilité nombres naturels.

Les nombres divisibles par 2 sans reste sont appelésmême .

Les nombres qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelésimpair .

Test de divisibilité par 2

Si un nombre naturel se termine par un chiffre pair, alors ce nombre est divisible par 2 sans reste, et si un nombre se termine par un chiffre impair, alors ce nombre n'est pas divisible par 2.

Par exemple, les chiffres 60 , 30 8 , 8 4 sont divisibles par 2 sans reste, et les nombres sont 51 , 8 5 , 16 7 ne sont pas divisibles par 2 sans reste.

Test de divisibilité par 3

Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 3, alors le nombre est divisible par 3 ; Si la somme des chiffres d’un nombre n’est pas divisible par 3, alors ce nombre n’est pas divisible par 3.

Par exemple, découvrons si le nombre 2772825 est divisible par 3. Pour ce faire, calculons la somme des chiffres de ce nombre : 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - divisible par 3. Cela signifie que le nombre 2772825 est divisible par 3.

Test de divisibilité par 5

Si l'enregistrement d'un nombre naturel se termine par le chiffre 0 ou 5, alors ce nombre est divisible par 5 sans reste. Si l'enregistrement d'un nombre se termine par un autre chiffre, alors le nombre n'est pas divisible par 5 sans reste.

Par exemple, les chiffres 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sont divisibles par 5 sans reste, et les nombres sont 17 , 37 8 , 9 1 ne partage pas.

Test de divisibilité par 9

Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 9, alors le nombre est divisible par 9 ; Si la somme des chiffres d’un nombre n’est pas divisible par 9, alors ce nombre n’est pas divisible par 9.

Par exemple, découvrons si le nombre 5402070 est divisible par 9. Pour ce faire, calculons la somme des chiffres de ce nombre : 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - non divisible par 9 . Cela signifie que le nombre 5402070 n'est pas divisible par 9.

Test de divisibilité par 10

Si un nombre naturel se termine par le chiffre 0, alors ce nombre est divisible par 10 sans reste. Si un nombre naturel se termine par un autre chiffre, alors il n'est pas divisible par 10.

Par exemple, les chiffres 40 , 17 0 , 1409 0 sont divisibles par 10 sans reste, et les nombres 17 , 9 3 , 1430 7 - ne partagez pas.

La règle pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD).

Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres naturels, il faut :

2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;

3) trouver le produit des facteurs restants.

Exemple. Trouvons GCD (48;36). Utilisons la règle.

1. Factorisons les nombres 48 et 36 en facteurs premiers.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Des facteurs inclus dans le développement du nombre 48, nous supprimons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du nombre 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Les facteurs restants sont 2, 2 et 3.

3. Multipliez les facteurs restants et obtenez 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36.

PGCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

La règle pour trouver le plus petit commun multiple (LCM).

Pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres naturels, il faut :

1) les factoriser en facteurs premiers ;

2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;

3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;

4) trouver le produit des facteurs résultants.

Exemple. Trouvons le LOC (75;60). Utilisons la règle.

1. Factorisons les nombres 75 et 60 en facteurs premiers.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Écrivons les facteurs inclus dans le développement du nombre 75 : 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Ajoutez-y les facteurs manquants du développement du nombre 60, c'est-à-dire 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Trouver le produit des facteurs résultants

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Commençons par étudier le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus. Dans cette section, nous donnerons une définition du terme, considérerons le théorème qui établit le lien entre le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur et donnerons des exemples de résolution de problèmes.

Multiples communs – définition, exemples

Dans cette rubrique, nous ne nous intéresserons qu’aux multiples communs d’entiers différents de zéro.

Définition 1

Multiple commun d'entiers est un entier multiple de tous les nombres donnés. En fait, il s’agit de n’importe quel nombre entier pouvant être divisé par n’importe lequel des nombres donnés.

La définition des multiples communs fait référence à deux, trois entiers ou plus.

Exemple 1

D’après la définition donnée ci-dessus, les multiples communs du nombre 12 sont 3 et 2. De plus, le nombre 12 sera un multiple commun des nombres 2, 3 et 4. Les nombres 12 et -12 sont des multiples communs des nombres ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Parallèlement, les nombres communs multiples des nombres 2 et 3 seront les nombres 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 et toute une série d'autres.

Si nous prenons des nombres divisibles par le premier nombre d'une paire et non divisibles par le second, alors ces nombres ne seront pas des multiples communs. Ainsi, pour les nombres 2 et 3, les nombres 16, − 27, 5009, 27001 ne seront pas des multiples communs.

0 est un multiple commun de tout ensemble d’entiers autres que zéro.

Si l'on rappelle la propriété de divisibilité par rapport à nombres opposés, alors il s'avère qu'un entier k sera un multiple commun de ces nombres, tout comme le nombre - k. Cela signifie que les diviseurs communs peuvent être positifs ou négatifs.

Est-il possible de trouver le LCM pour tous les numéros ?

Le multiple commun peut être trouvé pour n’importe quel entier.

Exemple 2

Supposons qu'on nous donne k entiers une 1 , une 2 , … , une k. Le nombre que nous obtenons en multipliant des nombres une 1 · une 2 · … · une k selon la propriété de divisibilité, il sera divisé en chacun des facteurs inclus dans le produit original. Cela signifie que le produit des nombres une 1 , une 2 , … , une k est le plus petit commun multiple de ces nombres.

Combien de multiples communs ces entiers peuvent-ils avoir ?

Un groupe d’entiers peut avoir un grand nombre de multiples communs. En fait, leur nombre est infini.

Exemple 3

Supposons que nous ayons un nombre k. Alors le produit des nombres k · z, où z est un nombre entier, sera un multiple commun des nombres k et z. Étant donné que le nombre de nombres est infini, le nombre de multiples communs est infini.

Le moins commun multiple (LCM) – Définition, notation et exemples

Rappelons la notion de plus petit nombre de ensemble donné nombres, que nous avons examinés dans la section « Comparaison d’entiers ». En tenant compte de ce concept, nous formulons la définition du plus petit commun multiple, qui a la plus grande signification pratique parmi tous les multiples communs.

Définition 2

Le plus petit commun multiple d'entiers donnés est le plus petit multiple commun positif de ces nombres.

Un multiple le plus petit commun existe pour tout nombre de nombres donnés. L'abréviation la plus couramment utilisée pour ce concept dans la littérature de référence est NOC. Notation courte pour le plus petit commun multiple de nombres une 1 , une 2 , … , une k aura la forme LOC (une 1 , une 2 , … , une k).

Exemple 4

Le plus petit commun multiple de 6 et 7 est 42. Ceux. LCM(6, 7) = 42. Le plus petit commun multiple des quatre nombres 2, 12, 15 et 3 est 60. Une notation courte ressemblera à LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Le plus petit commun multiple n’est pas évident pour tous les groupes de nombres donnés. Il faut souvent le calculer.

Relation entre NOC et GCD

Le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur sont liés. La relation entre les concepts est établie par le théorème.

Théorème 1

Le plus petit commun multiple de deux entiers positifs a et b est égal au produit de a et b divisé par le plus grand commun diviseur de a et b, c'est-à-dire LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b ).

Preuve 1

Supposons que nous ayons un nombre M, qui est un multiple des nombres a et b. Si le nombre M est divisible par a, il existe aussi un entier z , sous lequel l'égalité est vraie M = un k. D'après la définition de la divisibilité, si M est divisible par b, alors une · k divisé par b.

Si nous introduisons une nouvelle notation pour pgcd (a, b) comme d, alors on peut utiliser les égalités une = une 1 ré et b = b 1 · d. Dans ce cas, les deux égalités seront des nombres relativement premiers.

Nous avons déjà établi plus haut que une · k divisé par b. Or cette condition peut s’écrire comme suit :
un 1 j k divisé par b 1 j, ce qui équivaut à la condition un 1k divisé par b1 selon les propriétés de divisibilité.

D'après la propriété des nombres premiers entre eux, si un 1 Et b1– les nombres premiers entre eux, un 1 non divisible par b1 bien que un 1k divisé par b1, Que b1 doit être partagé k.

Dans ce cas, il serait approprié de supposer qu'il existe un certain nombre t, pour lequel k = b 1 t, et depuis b 1 = b : ré, Que k = b : rét.

Maintenant, au lieu de k substituons-nous à l'égalité M = un k expression de la forme b : dt. Cela nous permet d’atteindre l’égalité M = un b : d t. À t = 1 nous pouvons obtenir le multiple commun le moins positif de a et b , égal un b : d, à condition que les numéros a et b positif.

Nous avons donc prouvé que LCM (a, b) = a · b : PGCD (une, b).

L'établissement d'une connexion entre LCM et GCD vous permet de trouver le plus petit commun multiple via le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres donnés.

Définition 3

Le théorème a deux conséquences importantes :

• les multiples du plus petit commun multiple de deux nombres sont les mêmes que les communs multiples de ces deux nombres ;
• le plus petit commun multiple des nombres positifs mutuellement premiers a et b est égal à leur produit.

Il n'est pas difficile de justifier ces deux faits. Tout multiple commun de M des nombres a et b est défini par l'égalité M = LCM (a, b) · t pour une valeur entière t. Puisque a et b sont relativement premiers, alors pgcd (a, b) = 1, donc pgcd (a, b) = a · b : pgcd (a, b) = a · b : 1 = a · b.

Plus petit commun multiple de trois nombres ou plus

Afin de trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, il est nécessaire de trouver séquentiellement le LCM de deux nombres.

Théorème 2

Supposons que une 1 , une 2 , … , une k sont des entiers positifs. Afin de calculer le LCM mk ces nombres, nous devons calculer séquentiellement m 2 = LCM(une 1 , une 2) , m 3 = CNP(m 2 , une 3) , … , m k = CNP(m k - 1 , une k) .

Preuve 2

Le premier corollaire du premier théorème discuté dans ce sujet nous aidera à prouver la validité du deuxième théorème. Le raisonnement est basé sur l'algorithme suivant :

• multiples communs de nombres un 1 Et un 2 coïncident avec des multiples de leur LCM, en fait, ils coïncident avec des multiples du nombre m2;
• multiples communs de nombres un 1, un 2 Et un 3 m2 Et un 3 m3;
• multiples communs de nombres une 1 , une 2 , … , une k coïncider avec des multiples communs de nombres m k - 1 Et un k, coïncident donc avec des multiples du nombre mk;
• du fait que le plus petit multiple positif du nombre mk est le numéro lui-même mk, alors le plus petit commun multiple des nombres une 1 , une 2 , … , une k est mk.

C'est ainsi que nous avons prouvé le théorème.

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Le calculateur en ligne vous permet de trouver rapidement le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou de tout autre nombre de nombres.

Calculatrice pour trouver GCD et LCM

Trouver GCD et LOC

GCD et LOC trouvés : 6433

Comment utiliser la calculatrice

• Entrez des chiffres dans le champ de saisie
• Si vous saisissez des caractères incorrects, le champ de saisie sera surligné en rouge
• cliquez sur le bouton "Rechercher GCD et LOC"

Comment saisir des chiffres

• Les nombres sont saisis séparés par un espace, un point ou une virgule
• La longueur des numéros saisis n'est pas limitée, donc trouver GCD et LCM de nombres longs n'est pas difficile

Que sont GCD et NOC ?

Plus grand diviseur commun plusieurs nombres est le plus grand entier naturel par lequel tous les nombres originaux sont divisibles sans reste. Le plus grand diviseur commun s'abrège en PGCD.
Le plus petit commun multiple plusieurs chiffres sont le plus petit nombre, qui est divisible par chacun des nombres originaux sans reste. Le plus petit commun multiple est abrégé en CNP.

Comment vérifier qu'un nombre est divisible par un autre nombre sans reste ?

Pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans reste, vous pouvez utiliser certaines propriétés de divisibilité des nombres. Ensuite, en les combinant, vous pourrez vérifier la divisibilité de certains d’entre eux et leurs combinaisons.

Quelques signes de divisibilité des nombres

1. Test de divisibilité d'un nombre par 2
Pour déterminer si un nombre est divisible par deux (s'il est pair), il suffit de regarder le dernier chiffre de ce nombre : s'il est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, alors le nombre est pair, ce qui veut dire qu'il est divisible par 2.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 2.
Solution: Nous regardons le dernier chiffre : 8 - cela signifie que le nombre est divisible par deux.

2. Test de divisibilité d'un nombre par 3
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par trois. Ainsi, pour déterminer si un nombre est divisible par 3, vous devez calculer la somme des chiffres et vérifier s'il est divisible par 3. Même si la somme des chiffres est très grande, vous pouvez répéter le même processus.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 3.
Solution: On compte la somme des nombres : 3+4+9+3+8 = 27. 27 est divisible par 3, ce qui signifie que le nombre est divisible par trois.

3. Test de divisibilité d'un nombre par 5
Un nombre est divisible par 5 lorsque son dernier chiffre est zéro ou cinq.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 5.
Solution: regardez le dernier chiffre : 8 signifie que le nombre n’est PAS divisible par cinq.

4. Test de divisibilité d'un nombre par 9
Ce signe est très similaire au signe de divisibilité par trois : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 9.
Solution: On compte la somme des nombres : 3+4+9+3+8 = 27. 27 est divisible par 9, ce qui signifie que le nombre est divisible par neuf.

Comment trouver GCD et LCM de deux nombres

Comment trouver le pgcd de deux nombres

La plupart d'une manière simple Calculer le plus grand diviseur commun de deux nombres consiste à trouver tous les diviseurs possibles de ces nombres et à sélectionner le plus grand d'entre eux.

Considérons cette méthode en utilisant l'exemple de recherche de GCD(28, 36) :

1. Nous factorisons les deux nombres : 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. On trouve des facteurs communs, c'est-à-dire ceux que les deux nombres ont : 1, 2 et 2.
3. Nous calculons le produit de ces facteurs : 1 2 2 = 4 - c'est le plus grand diviseur commun des nombres 28 et 36.

Comment trouver le LCM de deux nombres

Il existe deux manières les plus courantes de trouver le plus petit multiple de deux nombres. La première méthode consiste à écrire les premiers multiples de deux nombres, puis à choisir parmi eux un nombre qui sera commun aux deux nombres et en même temps le plus petit. Et la seconde est de trouver le pgcd de ces nombres. Considérons seulement cela.

Pour calculer le LCM, vous devez calculer le produit des nombres d'origine, puis le diviser par le GCD précédemment trouvé. Trouvons le LCM pour les mêmes nombres 28 et 36 :

1. Trouver le produit des nombres 28 et 36 : 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), comme déjà connu, est égal à 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Trouver GCD et LCM pour plusieurs nombres

Le plus grand diviseur commun peut être trouvé pour plusieurs nombres, pas seulement pour deux. A cet effet, les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun sont factorisés en facteurs premiers, puis le produit des facteurs communs est trouvé facteurs premiers ces chiffres. Vous pouvez également utiliser la relation suivante pour trouver le pgcd de plusieurs nombres : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c).

Une relation similaire s'applique au plus petit commun multiple : LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemple: trouvez GCD et LCM pour les nombres 12, 32 et 36.

1. Tout d'abord, factorisons les nombres : 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Trouvons les facteurs communs : 1, 2 et 2.
3. Leur produit donnera GCD : 1·2·2 = 4
4. Trouvons maintenant le LCM : pour ce faire, trouvons d'abord le LCM(12, 32) : 12·32 / 4 = 96 .
5. Pour trouver le LCM des trois nombres, vous devez trouver GCD(96, 36) : 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Poursuivons la conversation sur le plus petit commun multiple, que nous avons commencée dans la section « LCM - le plus petit commun multiple, définition, exemples ». Dans cette rubrique, nous examinerons les moyens de trouver le LCM pour trois nombres ou plus, et nous examinerons la question de savoir comment trouver le LCM d'un nombre négatif.

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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD

Nous avons déjà établi la relation entre le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur. Apprenons maintenant comment déterminer LCM via GCD. Voyons d’abord comment procéder pour les nombres positifs.

Définition 1

Vous pouvez trouver le plus petit commun multiple par le plus grand commun diviseur en utilisant la formule LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b).

Exemple 1

Vous devez trouver le LCM des nombres 126 et 70.

Solution

Prenons a = 126, b = 70. Remplaçons les valeurs dans la formule de calcul du plus petit commun multiple par le plus grand commun diviseur LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b) .

Trouve le pgcd des nombres 70 et 126. Pour cela nous avons besoin de l'algorithme euclidien : 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, donc PGCD (126 , 70) = 14 .

Calculons le LCM : LCD (126, 70) = 126 70 : PGCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Répondre: LCM(126, 70) = 630.

Exemple 2

Trouvez les nombres 68 et 34.

Solution

PGCD dans dans ce cas Ce n’est pas difficile puisque 68 est divisible par 34. Calculons le plus petit commun multiple en utilisant la formule : LCM (68, 34) = 68 34 : PGCD (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.

Répondre: LCM(68, 34) = 68.

Dans cet exemple, nous avons utilisé la règle pour trouver le plus petit commun multiple des entiers positifs a et b : si le premier nombre est divisible par le second, le LCM de ces nombres sera égal au premier nombre.

Trouver le LCM en factorisant les nombres en facteurs premiers

Examinons maintenant une méthode pour trouver le LCM, basée sur la factorisation des nombres en facteurs premiers.

Définition 2

Pour trouver le plus petit commun multiple, nous devons effectuer un certain nombre d’étapes simples :

• nous composons le produit de tous les facteurs premiers des nombres pour lesquels nous devons trouver le LCM ;
• nous excluons tous les facteurs premiers des produits résultants ;
• le produit obtenu après élimination des facteurs premiers communs sera égal au LCM des nombres donnés.

Cette méthode de recherche du plus petit commun multiple est basée sur l'égalité LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b). Si vous regardez la formule, cela deviendra clair : le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs qui participent à la décomposition de ces deux nombres. Dans ce cas, le pgcd de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les factorisations de ces deux nombres.

Exemple 3

Nous avons deux nombres 75 et 210. Nous pouvons les factoriser de la manière suivante : 75 = 3 5 5 Et 210 = 2 3 5 7. Si vous composez le produit de tous les facteurs des deux nombres d’origine, vous obtenez : 2 3 3 5 5 5 7.

Si l'on exclut les facteurs communs aux nombres 3 et 5, nous obtenons un produit de la forme suivante : 2 3 5 5 7 = 1050. Ce produit sera notre LCM pour les numéros 75 et 210.

Exemple 4

Trouver le LCM des nombres 441 Et 700 , en factorisant les deux nombres en facteurs premiers.

Solution

Trouvons tous les facteurs premiers des nombres donnés dans la condition :

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nous obtenons deux chaînes de nombres : 441 = 3 3 7 7 et 700 = 2 2 5 5 7.

Le produit de tous les facteurs ayant participé à la décomposition de ces nombres aura la forme : 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Trouvons des facteurs communs. C'est le numéro 7. Excluons-le du produit total : 2 2 3 3 5 5 7 7. Il s'avère que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Répondre: LOC(441, 700) = 44 100.

Donnons une autre formulation de la méthode pour trouver le LCM en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Définition 3

Auparavant, nous excluions du nombre total les facteurs communs aux deux nombres. Maintenant, nous allons procéder différemment :

• Factorisons les deux nombres en facteurs premiers :
• ajouter au produit des facteurs premiers du premier nombre les facteurs manquants du deuxième nombre ;
• on obtient le produit, qui sera le LCM souhaité de deux nombres.

Exemple 5

Revenons aux nombres 75 et 210, pour lesquels nous avons déjà recherché le LCM dans un des exemples précédents. Décomposons-les en facteurs simples : 75 = 3 5 5 Et 210 = 2 3 5 7. Au produit des facteurs 3, 5 et 5 les nombres 75 ajoutent les facteurs manquants 2 Et 7 numéros 210. On obtient : 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Il s'agit du LCM des nombres 75 et 210.

Exemple 6

Il faut calculer le LCM des nombres 84 et 648.

Solution

Factorisons les chiffres de la condition en facteurs simples : 84 = 2 2 3 7 Et 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ajoutons au produit les facteurs 2, 2, 3 et 7 nombres 84 facteurs manquants 2, 3, 3 et
3 numéros 648. Nous obtenons le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Il s'agit du plus petit commun multiple de 84 et 648.

Répondre: LCM(84, 648) = 4 536.

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Quel que soit le nombre de nombres auxquels nous avons affaire, l'algorithme de nos actions sera toujours le même : nous trouverons séquentiellement le LCM de deux nombres. Il existe un théorème pour ce cas.

Théorème 1

Supposons que nous ayons des entiers une 1 , une 2 , … , une k. CNP mk ces nombres sont trouvés en calculant séquentiellement m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Voyons maintenant comment le théorème peut être appliqué pour résoudre des problèmes spécifiques.

Exemple 7

Vous devez calculer le plus petit commun multiple de quatre nombres 140, 9, 54 et 250 .

Solution

Introduisons la notation : a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Commençons par calculer m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Appliquons l'algorithme euclidien pour calculer le PGCD des nombres 140 et 9 : 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. On obtient : PGCD (140, 9) = 1, PGCD (140, 9) = 140 · 9 : PGCD (140, 9) = 140 · 9 : 1 = 1 260. Par conséquent, m 2 = 1 260.

Calculons maintenant en utilisant le même algorithme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Lors des calculs on obtient m 3 = 3 780.

Il suffit de calculer m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Nous suivons le même algorithme. On obtient m 4 = 94 500.

Le LCM des quatre nombres de l’exemple de condition est 94 500.

Répondre: CNP (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Comme vous pouvez le constater, les calculs sont simples, mais assez laborieux. Pour gagner du temps, vous pouvez procéder autrement.

Définition 4

Nous vous proposons l'algorithme d'actions suivant :

• nous décomposons tous les nombres en facteurs premiers ;
• au produit des facteurs du premier nombre on ajoute les facteurs manquants du produit du deuxième nombre ;
• au produit obtenu à l'étape précédente on ajoute les facteurs manquants du troisième nombre, etc. ;
• le produit résultant sera le plus petit commun multiple de tous les nombres de la condition.

Exemple 8

Vous devez trouver le LCM de cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.

Solution

Factorisons les cinq nombres en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Nombres premiers, qui est le nombre 7, ne peut pas être factorisé en facteurs premiers. Ces nombres coïncident avec leur décomposition en facteurs premiers.

Prenons maintenant le produit des facteurs premiers 2, 2, 3 et 7 du nombre 84 et ajoutons-y les facteurs manquants du deuxième nombre. Nous avons décomposé le nombre 6 en 2 et 3. Ces facteurs sont déjà dans le produit du premier nombre. Nous les omettons donc.

Nous continuons à ajouter les multiplicateurs manquants. Passons au nombre 48, du produit des facteurs premiers duquel on prend 2 et 2. Ensuite, on additionne le facteur premier de 7 du quatrième nombre et les facteurs de 11 et 13 du cinquième. On obtient : 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Il s’agit du plus petit commun multiple des cinq nombres originaux.

Répondre: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs

Pour trouver le plus petit commun multiple nombres négatifs, ces chiffres doivent d'abord être remplacés par des chiffres avec signe opposé, puis effectuez des calculs à l'aide des algorithmes ci-dessus.

Exemple 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) et LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

De telles actions sont autorisées car si nous acceptons cela un Et − un– les nombres opposés,
alors l'ensemble des multiples d'un nombre un correspond à l'ensemble des multiples d'un nombre − un.

Exemple 10

Il faut calculer le LCM des nombres négatifs − 145 Et − 45 .

Solution

Remplaçons les chiffres − 145 Et − 45 à leurs homologues 145 Et 45 . Maintenant, en utilisant l'algorithme, nous calculons le LCM (145, 45) = 145 · 45 : PGCD (145, 45) = 145 · 45 : 5 = 1 305, après avoir préalablement déterminé le PGCD à l'aide de l'algorithme euclidien.

On obtient que le LCM des nombres est − 145 et − 45 est égal 1 305 .

Répondre: LCM (− 145, − 45) = 1 305.

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