Les informations contenues dans cet article fournissent une compréhension générale de entiers. Tout d’abord, une définition des nombres entiers est donnée et des exemples sont donnés. Ensuite, nous examinons les nombres entiers sur la droite numérique, d'où il devient clair quels nombres sont appelés entiers positifs et lesquels sont appelés entiers négatifs. Après cela, il est montré comment les changements de quantités sont décrits à l'aide d'entiers, et les entiers sont pris en compte nombres négatifs au sens de dette.

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Entiers - Définition et exemples

Définition.

Nombres entiers– ce sont les nombres naturels, le nombre zéro, ainsi que les nombres opposés aux nombres naturels.

La définition des nombres entiers indique que l'un des nombres 1, 2, 3,…, le nombre 0, ainsi que l'un des nombres −1, −2, −3,… est un nombre entier. Maintenant, nous pouvons facilement apporter exemples d'entiers. Par exemple, le nombre 38 est un nombre entier, le nombre 70 040 est également un nombre entier, zéro est un nombre entier (rappelez-vous que zéro n'est PAS un nombre naturel, zéro est un nombre entier), les nombres −999, −1, −8 934 832 sont également exemples de nombres entiers.

Il est pratique de représenter tous les entiers comme une séquence d'entiers, qui a la forme suivante : 0, ±1, ±2, ±3, ... Une séquence d'entiers peut s'écrire comme ceci : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

De la définition des nombres entiers, il s'ensuit que l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers. Par conséquent, tout nombre naturel est un nombre entier, mais tout nombre entier n’est pas un nombre naturel.

Entiers sur une ligne de coordonnées

Définition.

Entiers positifs sont des entiers supérieurs à zéro.

Définition.

Entiers négatifs sont des entiers qui moins que zéro.

Les entiers positifs et négatifs peuvent également être déterminés par leur position sur la ligne de coordonnées. Sur une ligne de coordonnées horizontales, les points dont les coordonnées sont des entiers positifs se trouvent à droite de l'origine. À leur tour, les points avec des coordonnées entières négatives sont situés à gauche du point O.

Il est clair que l’ensemble de tous les entiers positifs est l’ensemble des nombres naturels. À son tour, l’ensemble de tous les entiers négatifs est l’ensemble de tous les nombres opposés aux nombres naturels.

Séparément, attirons votre attention sur le fait que nous pouvons appeler en toute sécurité n'importe quel nombre naturel un nombre entier, mais nous ne pouvons pas appeler n'importe quel nombre entier un nombre naturel. Nous ne pouvons appeler n’importe quel entier positif qu’un nombre naturel, puisque les entiers négatifs et zéro ne sont pas des nombres naturels.

Entiers non positifs et non négatifs

Donnons des définitions des entiers non positifs et des entiers non négatifs.

Définition.

Tous les entiers positifs, ainsi que le nombre zéro, sont appelés entiers non négatifs.

Définition.

Entiers non positifs– ce sont tous des entiers négatifs avec le chiffre 0.

En d’autres termes, un entier non négatif est un entier supérieur à zéro ou égal à zéro, et un entier non positif est un entier inférieur à zéro ou égal à zéro.

Des exemples d'entiers non positifs sont les nombres −511, −10 030, 0, −2, et comme exemples d'entiers non négatifs nous donnons les nombres 45, 506, 0, 900 321.

Le plus souvent, les termes « entiers non positifs » et « entiers non négatifs » sont utilisés par souci de concision. Par exemple, au lieu de l'expression « le nombre a est un nombre entier et a est supérieur à zéro ou égal à zéro », vous pouvez dire « a est un entier non négatif ».

Décrire les changements de quantités à l'aide de nombres entiers

Il est temps de parler de la raison pour laquelle les nombres entiers sont nécessaires en premier lieu.

L'objectif principal des nombres entiers est qu'avec leur aide, il est pratique de décrire les changements dans la quantité de n'importe quel objet. Comprenons cela avec des exemples.

Qu'il y ait un certain nombre de pièces dans l'entrepôt. Si, par exemple, 400 pièces supplémentaires sont amenées à l'entrepôt, alors le nombre de pièces dans l'entrepôt augmentera et le nombre 400 exprime ce changement de quantité en côté positif(en augmentant). Si, par exemple, 100 pièces sont retirées de l'entrepôt, le nombre de pièces dans l'entrepôt diminuera et le nombre 100 exprimera un changement de quantité dans le sens négatif (vers le bas). Les pièces ne seront pas amenées à l'entrepôt et les pièces ne seront pas retirées de l'entrepôt, nous pouvons alors parler de quantité constante de pièces (c'est-à-dire que nous pouvons parler de changement nul dans la quantité).

Dans les exemples donnés, l'évolution du nombre de pièces peut être décrite à l'aide des nombres entiers 400, −100 et 0, respectivement. Un entier positif 400 indique un changement de quantité dans un sens positif (augmentation). Un entier négatif −100 exprime un changement de quantité dans un sens négatif (diminution). L'entier 0 indique que la quantité reste inchangée.

L'avantage d'utiliser des nombres entiers par rapport à l'utilisation de nombres naturels est que vous n'avez pas besoin d'indiquer explicitement si la quantité augmente ou diminue - l'entier quantifie le changement et le signe de l'entier indique la direction du changement.

Les nombres entiers peuvent également exprimer non seulement un changement de quantité, mais également un changement d'une certaine quantité. Comprenons cela en utilisant l'exemple des changements de température.

Une augmentation de température de, disons, 4 degrés est exprimée par un entier positif 4. Une diminution de la température, par exemple de 12 degrés, peut être décrite par un entier négatif −12. Et l'invariance de la température est son changement, déterminé par l'entier 0.

Séparément, il faut parler de l'interprétation des nombres entiers négatifs comme montant de la dette. Par exemple, si nous avons 3 pommes, alors l’entier positif 3 représente le nombre de pommes que nous possédons. En revanche, si nous devons donner 5 pommes à quelqu’un, mais que nous ne les avons pas en stock, alors cette situation peut être décrite par un entier négatif −5. Dans ce cas, nous « possédons » -5 pommes, le signe moins indique une dette et le chiffre 5 quantifie la dette.

Comprendre un entier négatif comme une dette permet par exemple de justifier la règle d'addition d'entiers négatifs. Donnons un exemple. Si quelqu’un doit 2 pommes à une personne et 1 pomme à une autre, alors la dette totale est de 2+1=3 pommes, donc −2+(−1)=−3.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question. ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "Aporia of Zeno"]. Tout le monde comprend qu'ils se font berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce que je veux souligner Attention particulière, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : sur différentes pièces il y a différentes quantités la saleté, la structure cristalline et la disposition atomique de chaque pièce sont uniques...

Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamans, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les chiffres sont symboles graphiques, à l'aide duquel nous écrivons des nombres et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : "Trouver la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre." Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Il ne s'agit pas d'une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Il ne s'agit pas d'une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Voilà pour les mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue l'action.